Công phá Toán Lớp 10 - Câu 441-481 (Phần 1 - Có lời giải)

69 trang nhungbui22 11/08/2022 2100

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Công phá Toán Lớp 10 - Câu 441-481 (Phần 1 - Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

cong_pha_toan_lop_10_cau_441_481_phan_1_co_loi_giai.doc

Nội dung text: Công phá Toán Lớp 10 - Câu 441-481 (Phần 1 - Có lời giải)

B. Các dạng toán điển hình Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d :3x y 6 0 là đường thẳng A. đi qua M 0; 6 và có VTCP u 3; 1 B. đi qua B 0; 6 ; C 1;2 C. đi qua D 2;0 và có VTPT n 1;3 D. qua N 2;0 và có hệ số góc là 3. STUDY TIPS Lời giải Phương trình đường Đường thẳng d đi qua N 2;0 và có hệ số góc là k 3 có phương trình là: thẳng qua N x0 ; y0 và có hệ có góc k là: y 0 3 x 2 3x y 6 0 Đáp án D. y y0 k x x0 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình đường thẳng d đi qua A 1; 3 có VTCP là u 1;2 là x 1 t x 1 t A. B. y 2 3t y 3 2t x 3t x 1 t C. D. y 1 6t y 2 2t Lời giải STUDY TIPS x 1 t ' + d đi qua qua A 1; 3 có VTCP là u 1;2 d : Cho 2 đường thẳng y 3 2t ' 1, 2 : Đến đây ta kiểm tra xem đường thẳng d có trùng với đường nào trong các phương án trên.  1 có 1 2  2 x 1 t + A. đường thẳng b : có VTPT u ' 1; 3 không cùng phương với y 3 2t vô số nghiệm u 1;2 nên loại. x 1 t  + B. đường thẳng a : có VTPT u ' 1;2 không cùng phương với y 2 3t u 1;2 nên loại.
x 3t  + C. đường thẳng c : có VTPT u ' 3; 6 cùng phương với y 1 6t u 1;2 nên đường thẳng c song song hoặc trùng với đường thẳng d. (Đến đây ta sẽ chọn một điểm bất kì thuộc đường thẳng d rồi thay vào phương trình đường c nếu thỏa mãn thì d trùng với c còn không thì d song song với c) x 1 t ' x 1 + Từ d : , giả sử chọn t ' 0 M 1; 3 (Bạn có y 3 2t ' y 3 thể chọn giá trị t bất kì sao cho dễ tính toán) x 3t 1 3t 1 Thế vào đường thẳng c : t thỏa mãn y 1 6t 3 1 6t 3 x 3t c  d phương trình đường thẳng d : y 1 6t (Tương tự như vậy ta sẽ thấy đường thẳng ở ý D song song với đường d) Đáp án C Lưu ý: Bạn có thể tìm hai đường thẳng trùng nhau bằng cách xét hệ phương trình của hai đường đó (nếu hệ đó có vô số nghiệm thì hai đường thẳng trùng nhau). x t Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho A 1;3 và đường thẳng d : . y 4 t Tọa độ điểm B đối xứng với A qua d là A. B 1;5 B. B 1; 5 C. B 1;5 D. B 1; 5 Lời giải  STUDY TIPS + Gọi hình chiếu của A lên d là H H t;4 t AH t 1;t 1 B đối xứng với A qua  + VTCP của d là u 1;1 AH.u 0 t 1 t 1 0 t 0 H 0;4 đường thẳng d H là trung điểm của AB + B đối xứng với A qua d nên H là trung điểm của AB với H là hình chiếu xA xB 1 xB xH 0 2 2 xB 1 của A lên d B 1;5 y y 3 y y 5 A B y B 4 B 2 H 2 Lưu ý: Bạn có thể viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với d H  d Đáp án C.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng đi qua M 1;2 và chắn trên 2 trục tọa độ hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau là A. x y 3 0; 2x y 4 0 B. x y 3 0; x y 1 0 C. x y 3 0; x y 1 0 D. x 2y 5 0; x y 1 0 Lời giải STUDY TIPS + Giả sử đường thẳng cần tìm là d đi qua M 1;2 cắt Ox, Oy lần lượt tại Đường thẳng đi qua x y A a;0 ; B 0;b d : 1 A a;0 ; B 0;b có a b x y 1 2 a b dạng 1 + d qua M 1 1 , mà OA OB a b a b a b a b 1 2 3 - Với a b thế vào (1) 1 1 a 3 b 3 a a a x y phương trình đường thẳng cần tìm 1 x y 3 0 3 3 1 2 - Với a b thế vào (1) 1 a 1 b 1 a a x y phương trình đường thẳng cần tìm 1 x y 1 0 1 1 Đáp án C Lưu ý: Bạn có thể giải bằng cách thử từng đáp án để kiểm tra. Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x y 5 0 và I 2;0 . Tìm điểm M thuộc d sao cho MI 3 A. 2;3 ; 5;0 B. 2;3 ; 1;6 C. 1;6 ; 5;0 D. 3;2 ; 2;3 Lời giải Cách 1:  + M d : y x 5 M m; m 5 MI 2 m;m 5 + MI 3 2 m2 m 5 2 9 4 4m m2 m2 10m 25 9 2 m 2 2m 14m 20 0 M 2;3 ; M 5;0 m 5
STUDY TIPS Tìm M d sao cho Cách 2: (dùng khi đã học phương trình đường tròn) IM a - Cách 1 + Ta có IM 3 M thuộc đường tròn (C) có tâm I 2;0 , bán kính R 3 + Bước 1: Tham số hóa M theo d C : x 2 2 y2 9 + Bước 2: Từ IM a kết quả x 2 - Cách 2: IM a I d y x 5 y 3 thuộc đường tròn (C) + Xét hệ M 2;3 ; M 5;0 2 2 tâm I bán kính C x 2 y 9 x 5 R  a M C  d y 0 Đáp án A. (Xem lại khi đã học xong về phưng trình đường tròn) Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho A 1;1 ; B 4; 3 , điểm M1 x1; y1 ; M2 x2 ; y2 thuộc đường thẳng dx 2y 1 0 sao cho khoảng cách từ M đến AB là 6. Khi đó x1 x2 là 120 6 34 70 A. B. C. D. 11 11 11 11 Lời giải + Phương trình đường thẳng AB: 4x 3y 7 0 STUDY TIPS + M d : x 2y 1 M 2t 1;t Tìm M d sao cho t 3 d a Mà d M;AB 6 11t 3 30 27 M; t 11 Bước 1: Tham số hóa - Với t 3 M 7;3 M theo d M t 27 43 27 Bước 2: d M; a - Với t M ; 11 11 11 f t 0 t M 43 34 x x 7 1 2 11 11 Đáp án C Lưu ý: Ví dụ 5 và Ví dụ 6 là hai bài toán tìm điểm cơ bản, nó là công cụ định hướng để ta giải quyết những bài toán tổng hợp khó hơn sau này.
7 Ví dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy, một trong các đường thẳng qua E ; 2 3 và cách M 1;2 một khoảng là 4, có dạng d : Ax By 15 0. Khi đó giá trị A B là A. 1 B. – 1 C. 3 D. 7 Lời giải STUDY TIPS Viết phương trình + Gọi VTPT của d là n A;B 0 đường thẳng d qua M và cách N một khoảng 7 7 + d qua E ; 2 A x B y 2 0 k. 3 3 - Bước 1: 3Ax 3By 7A 6B 0 Gọi VTPT của d là n A;B 0 , suy ra 3A 6B 7A 6B + Mà d M;d 4 4 phương trình đường 2 2 thẳng d 9A 9B Ax By C 0 2 A 0 - Bước 2: 8A 6AB 0 4A 3B Mà d N;d k - Với A 0 , chọn B 1 f A;B 0 A kB Phương trình đường thẳng d :3x 6 0 y 2 0 Biện luận A,B kết - Với 4A 3B , chọn A 3 B 4 quả (phương trình f A;B 0 là phương Phương trình đường thẳng d :3x 4y 15 0 trình đẳng cấp bậc 2 với Vậy A B 1 ẩn A; B) Đáp án B Lưu ý: Với ví dụ này bạn có thể giải hệ điều kiện gồm: 7 A 2B 15 0 E d 3 A 3 d 4 A 2B 15 B 4 M;d 4 A2 B2 Ví dụ 8: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng qua M 1;1 và tạo với đường thẳng d : 2x 3y 1 0 một góc 450 có dạng ax 5y 4 0 và a 'x y 6 0 . Khi đó giá trị a a ' là A. 4 B. 6 C. – 6 D. –4 Lời giải   Gọi VTPT của là n1 a;b 0 , VTPT của d là n2 2;3 Mà góc giữa d và là góc 450
STUDY TIPS   Phương pháp viết n .n 0 1 2 2 2a 3b 2 2 phương trình đường cos 45   5a 5b 24ab 0 1 n n 2 2 2 2 2 thẳng qua điểm M 1 2 a b . 2 3 và tạo với đường  2 thẳng d một góc - Với b 0 5a 0 n1 0;0 loại - Bước 1: Gọi VTPT của d là a  2 5 a 5b a a b n a;b 0 - Với b 0 1 5 24 5 0 1 b b a 1 a b - Bước 2: 5   b 5 n .nd cos   + Với a = 5b chọn b 1 n1 5;1 :5x y 6 0 n nd 2 2  ma nab pb 0 1 + Với a b chọn b 5 n2 1; 5 : x 5y 4 0 5 a kb a 1; a ' 5 a a ' 6 a k 'b  Đáp án B Chọn b n Lưu ý: 1. Với ví dụ 7 và ví dụ 8 ở trên là bài toán viết phương trình đường thẳng khi chưa biết VTPT (VTCP) nên ta đặt VTPT là n a;b 0 rồi khai thác giả thiết tìm mối liên hệ giữa a, b (a = kb). Chọn b a VTCP kết quả. STUDY TIPS 2. Bài này bạn cũng có thẻ sử dụng đường thẳng đi qua điểm M x0 ; y0 là Đường thẳng qua 1 : y k x x0 y0 và 2 : x x0 M x0 ; y0 có dạng: 1 : y k x x0 y0 - Bước 1: Kiểm tra điều kiện 2 với yêu cầu bài toán và 2 : x x0 - Bước 2: Từ giả thiết với 1 phương trình f k 0 k 1 (k là hệ số góc của 1 ) Cái hay ở cách này là bạn chỉ có 1 ẩn k nhưng dễ bị quên mất trường hợp 1 : x x0  Ox nên khi giải mà thiếu trường hợp thì để ý và kiểm tra trường hợp 1 Ví dụ 9: Trong mặt phẳng Oxy, có bao nhiêu đường thẳng song song với đường thẳng :3x 4y 2 0 và cách M 1;1 một khoảng là 1? A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số Lời giải + Gọi đường thẳng cần tìm là d / / d :3x 4y c 0 c 2
STUDY TIPS - Đường thẳng d / / : 3 4 c c 2 l + Mà d 1 1 7 c 5 có 1 đường Ax By C 0 M;d 2 2 3 4 c 13 t / m d : Ax By C' C C' thẳng thỏa mãn. - Đường thẳng d có Đáp án B. VTPT là n A;B Lưu ý: Bạn có thể giải bài toán này bằng cách sau: d : Ax By C 0 (C Vì d / / có VTPT là n 3;4 đường thẳng d có dạng 3x 4y c 0 (lưu ý là tham số) là d / / c 2 ) và làm tương tự. x 1 t Ví dụ 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho 1 : và 2 : x 3y 9 0 , y 4 2t điểm P 1;3 . Đường thẳng đi qua P và cắt 1, 2 tại A, B sao cho P là trung điểm của AB. Khi đó khoảng cách từ M 1; 1 đến đường thẳng d là 6 5 A. B. 5 2 C. 5 D. 2 5 5 Lời giải STUDY TIPS + A A 1 t;4 2t Nếu A, P, B thẳng hàng 1 và   + B 2 : x 3y 9 B 3b 9;b PA kPB PA kPB   + P 1;3 là trung điểm AB PA kPB 1 t 3b 9 1 2 t 3b 6 t 0 A 1;4 , B 3;2 4 2t b 2t b 2 b 2 3 2 x 1 y 4 d : d : x 2y 7 0 3 1 2 4 1 2 1 7 10 d M;d 2 5 12 2 2 5 Đáp án D. Lưu ý: Bài toán này có thể hỏi rộng hơn là: Viết phương trình đường thẳng d qua P cắt 1, 2 lần lượt tại A, B sao cho:   1. PA kPB - Bước 1: Tham số hóa A, B theo 1, 2 - Bước 2: Từ hệ thức vecto tham số kết quả
và làm tương tự như trên (do P,A,B d ) §2. Phương trình đường tròn A. Lý thuyết 1. Phương trình đường tròn + Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I a;b ; bán kính R M x; y C IM R x a 2 y b 2 R x a 2 y b 2 R 2 1 Phương trình (1) được gọi là phương trình (dạng chính tắc) của đường tròn C I;R + Từ 1 x2 y2 2ax 2by a 2 b2 R 2 0 * STUDY TIPS + Đường tròn (C) tâm Đặt a 2 b2 R 2 c * x2 y2 2ax 2by c 0 2 I a;b ; bán kính R có 2 2 phương trình (dạng Phương trình (2) với a b c 0 là phương trình (dạng tổng quát) đường chính tắc) 2 2 2 2 tròn tâm I a;b ; bán kính R a b c x a y b R 2 + Phương trình Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải là 2 2 x y 2ax 2by c 0 phương trình đường tròn? 2 2 với a b c 0 là 2 2 2 2 phương trình (dạng tổng A. x 2 y 1 1 B. x y 4x 6y 1 0 quát) đường tròn tâm C. x2 2y2 4x 6y 1 0 D. 2x2 2y2 4x 6y 1 0 I a;b ; bán kính Lời giải R a 2 b2 c - Phương án A: Dạng phương trình (1), là đường tròn (C) tâm I 2;1 ; bán kính R = 1. - Phương án B: Dạng phương trình (2), có a 2 b2 c 22 32 1 0 là đường tròn - Phương án C: Không đưa được về dạng phương trình (1) và (2) nên không phải là phương trình đường tròn. 2 2 1 3 - Phương án D: PT x y 2x 3y 0 là đường tròn tâm I 1; , bán 2 2 2 1 3 1 11 2. kính R 1 2 2 2   PA kPB Đáp án C. PA kPB   PA kPB STUDY TIPS Muốn viết phương trình đường tròn ta tìm 2 yếu tố: tâm I a;b và bán kính R Phương trình x a 2 y b 2 R 2
10a c 25 a 2 2 2 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy,2a choc 1 phương trình b đường 1 tròn C (C): x đi y 4x 2y 5 0a qua 3 điểm A 5;0 ; B 1;0 6;aC 8 b3 ;4c là: 25 c 5 Đáp án D. A. x 2 2 y 1 2 10 B. x 2 2 y 1 2 10 Lưu ý: 2 2 2 2 C. x y 4x 2y 5+ Bạn0 D. có thể tìmx tâmy (C) 4x bằng 2y cách 5 tìm0 giao điểm của 2 đường trung trực của Lời giải tam giác ABC Cách 1: Gọi tâm + Đối với các phương án trong ví dụ này bạn có thể thử A, B, C vào các phương của đường tròn là trình để tìm được phương trình đúng. I a;b 2. Vị trí tương đối của một đường thẳng với đường tròn, tiếp tuyến của đường2 2 tròn 2 2 IA IB 5 a b 1 a b a 2 a.2 Vị trí tương đối2 2 IA IC 5 a b2 3 a 4 b b 1 2 2 2 Cho đường tròn C : x a y b R có tâm I a;b và đường thẳng I 2;1 ; bán : Ax By C 0 kính R IA 10 đường tròn (C) có phương trình: x 2 2 y 1 2 10 x2 y2 4x 2y 5 0 Cách 2: Gọi phương trình C : x2 y2 2ax 2by c 0 a 2 b2 c 0 Đường tròn (C) qua A, B, C 5 2 02 2a. 5 2b.0 c 0 2 2 1 0 2.a.1 2.b.0 c 0 2 2 3 4 2a. 3 2b.4 c 0
Aa Bb C Cách 1: Xét d I; A2 B2 + Nếu d I; R và (C) không có điểm chung. + Nếu d I; R tiếp xúc với (C) tại H (H là hình chiếu của I lên ). Khi này ta nói là tiếp tuyến của (C) với H là tiếp điểm. + Nếu d I; R cắt (C) tại hai điểm phân biệt (AB là một dây cung của đường tròn). Ax By C 0 Cách 2: Xét hệ 1 2 2 2 C x a y b R + Nếu hệ (1) vô nghiệm và (C) không có điểm chung + Nếu (1) có 1 nghiệm x0 ; y0 tiếp xúc với (C) tại H x0 ; y0 + Nếu (1) có 2 ngiệm cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. b. Tiếp tuyến của đường tròn C : x - a 2 + y - b 2 = R2 tại điểm M x0;y0 C Tiếp tuyến tại M x0 ; y0 của (C) là đường thẳng qua M x0 ; y0 và vuông  góc với MI có VTPT n IM x0 a; y0 b phương trình : x0 a x x0 y b y y0 0 3 3 là phương trình tiếp tuyến của (C) tại M Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho C : x 1 2 y 2 2 4 phương trình tiếp tuyến của (C) tại M 3; 2 của (C) là d : x by c 0 . Khi đó giá trị b c là A. b c 2 B. b c 3 C. b c 6 D. b c 5 STUDY TIPS Lời giải Phương trình tiếp (C) có tâm I 1; 2 , bán kính R 2 tuyến của (C) tại IM 22 02 2 R M C M x0 ; y0 là: Tiếp tuyến của (C) tại M là đường thẳng qua M 3; 2 và có VTPT x0 a x x0  IM 2;0 y0 b y y0 0
b 0 : 2 x 3 0 y 2 0 x 3 0 b c 3 c 3 Đáp án B. Lưu ý: Bạn có thể áp dụng trực tiếp công thức (3) sẽ nhanh hơn: C : x 1 2 y 2 2 4; M 3; 2 Phương trình tiếp tuyến tại M của đường tròn (C) là: 3 1 x 3 2 2 y 2 0 x 3 0 c. Tiếp tuyến của đường tròn C qua điểm M nằm ngoài đường tròn Cho đường tròn (C) tâm I, bán kính R và điểm M thỏa mãn IM R Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho C : x2 y2 2x 2y 2 0 và M 3;5 . Khi đó khoảng cách từ điểm N 2;3 đến đường thẳng điq au M và tiếp xúc với (C) là 1 3 A. 1 B. C. 2 D. 2 3 Lời giải STUDY TIPS Cách 1: IM R qua M có + (C) có tâm I 1;1 , bán kính R 12 12 2 2 2 tiếp tuyến đến (C) IM 3 1 2 5 1 2 20 2 5 R Qua M có 2 tiếp tuyến đến (C) + Gọi n a;b 0 là VTPT của đường thẳng qua M 3;5 STUDY TIPS : a x 3 b y 5 0 ax by 3a 5b 0 Bài toán viết phương + là tiếp tuyến của (C) d I; R trình tiếp tuyến của a b 3a 5b C I;R biết tiếp 2 2a 4b 2 a 2 b2 a 2 b2 tuyến đi qua M là bài b 0 toán viết phương trình 2 3b 4ab 0 4a đường thẳng qua M và b 3 cách I một khoảng - Với b =0 chọn a = 1 không đổi R. n 1;0 1 :1 x 3 0 y 5 0 x 3 0 4a - Với b chọn a = 3 3
b 4 n 3; 4 2 :3x 4y 11 0 Cách 2: + qua M 3;5 có hệ số góc k: y k x 3 5 kx y 5 3k 0 k 1 5 3k 3 + tiếp xúc với (C) d I; R 2 k k2 1 4 Tiếp tuyến là 3 : y x 3 5 3x 4y 11 0 d N; 1 1 4 1 STUDY TIPS Tiếp tuyến còn lại là đường thẳng 2 : x 3 0 Qua điểm M nằm 1 3 Thật vậy: d I; 2 2 R d N; 2 1 ngoài đường tròn (C) 12 0 luôn có 2 tiếp tuyến Đáp án A. đến C Tổng quát: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn qua M x0 ; y0 - Bước 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua M có hệ số góc k: : y k x x0 y0 - Bước 2: Buộc tiếp xúc với (C) d I; R f k 0 2 giá trị k tương ứng với 2 tiếp tuyến 1 và 2 (Nếu từ phương trình trên chỉ tìm được 1 tiếp tuyến thì tiếp tuyến thứ 2 là đường thẳng 2 : x x0 0 ) B. Các dạng toán điển hình Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 2 Cm : x y 2mx 4 m 2 y 6 m 0 . Số giá trị nguyên để Cm không phải là phương trình đường tròn là A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số STUDY TIPS Lời giải x2 y2 2ax 2by c 0 không phải là phương 2 2 Cm là phương trình đường tròn m 2 m 2 6 m 0 trình đường tròn 17 89 a 2 b2 c 0 m 2 10 5m 17m 10 0 17 89 m 10 STUDY TIPS x2 y2 2ax 2by c 0 1 là đường tròn a 2 b2 c 0 STUDY TIPS a 0 + ax b 0 x b 0 + ax2 bx c 0 x a 0 b 0 c 0
Yêu cầu bài toán đường tròn điều kiện (*) 17 89 17 89 x f m 1 m - Bước 2: Gọi tâm là I x; y 10 10 y h m 2 có 2 giá trị nguyên thỏa mãn Rút m từ 1 phương trình thế vào phương trình còn lại f x; y 0 Đáp án C. - Bước 3: Đối chiếu điều kiện (*) Lời giải Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn Ta có 2 2 Cm : x y 2mx 4 m 1 y 1 0 . 2 2 m 2 m 1 1 0 m C m Khi đó tập hợp tâm của C khi m thay đổi là là đường tròn m với m A. một đường thẳng B. một đường tròn Gọi tâm của C. một parabol D. một điểm cố định Cm là f x; y 0 Kết luận: Tập hợp là đường t / m * x m 1 I x; y y 2 m 1 2 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, số điểm cố định mà đường tròn C : x2 y2 2mx 4 m 1 y 1 0 luôn đi qua khi m thay đổi là Từ m A. 0 B. 1C. 2 D. vô số 1 m x Lời giải thế vào Giả sử điểm cố định mà C luôn đi qua là A a;b 2 y 2 x 1 y 2x 2 3 m phương trình a 2 b2 2am 4b m 1 1 0 đúng với m I x; y thỏa mãn 2 2 2a 4b m a b 4b 1 0 đúng với m phương trình (3) với m tập hợp I là đường thẳng (3) Lưu ý: Phương pháp tìm tập hợp tâm của đường tròn Cm - Bước 1: Tìm điều kiện của m để Cm là
a 2 b 1 2a 4b 0 a 2b 2 2 2 2 a a b 4b 1 0 5b 4b 1 0 5 STUDY TIPS 1 I ;R cắt I ;R b 1 1 2 2 5 R R I I R R 1 2 1 2 1 2 Vậy có hai điểm cố định mà đường tròn Cm luôn đi qua khi m thay đổi. Đáp án C. STUDY TIPS Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đường tròn: Cho đường tròn 2 2 2 2 C1 : x y 2x 4y 4 0 và C2 : x 1 y 1 16 C ; C cắt nhau 1 2 Đường thẳng đi qua giao điểm của 2 đường tròn là: và luôn có phương A. 3x 2y 1 0 B. 3x 2y 1 0 trình f x; y 0 và C. 2x 3y 5 0 D. 2x 3y 5 0 g x; y 0 . Khi đó Lời giải phương trình đường C1 có tâm I1 1; 2 , bán kính R1 3 thẳng qua điểm của C2 có tâm I2 1;1 , bán kính R 2 4 C1 ; C2 là: R1 R 2 I1I2 R1 R 2 C1 cắt C2 f x; y g x; y 0 Gọi điểm M x; y thuộc đường thẳng cần tìm 2 2 x y 2x 4y 4 0 Tọa độ M thỏa mãn hệ 2 2 x 1 y 1 16 2 2 x y 2x 4y 4 0 1 2 2 x y 2x 2y 14 0 2 Lấy 1 2 4x 6y 10 0 2x 3y 5 0 3 Nhận thấy M x; y luôn thỏa mãn phương trình (3) Đường thẳng qua giao điểm của hai đường tròn là: 2x 3y 5 0 Đáp án D. C1 Lưu ý: Bạn có thể giải bài này bằng cách giải hệ 2 giao điểm A và B C2 và viết phương trình đường thẳng qua AB. Tuy nhiên cách này sẽ dài hơn đặc biệt là nếu tọa độ A và B lẻ nên không phù hợp khi làm bài trắc nghiệm.
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn 2 2 2 2 C1 : x y 2x 4y 4 0 và C2 : x y 1. Đường tròn C đi qua giao điểm C1 , C2 và A 1;2 có tâm là I m;n . Khi đó giá trị m n là: 4 4 A. 3 B. C. 4 D. 3 3 Lời giải STUDY TIPS Phương trình đường tròn C qua giao điểm của C1 và C2 có dạng: Phương trình chùm a x2 y2 2x 4y 4 b x2 y2 1 0 * a b 0 đường tròn đi qua giao điểm của 2 Đường tròn này qua A 1;2 đường tròn a 12 22 2 8 4 b 12 22 1 0 7a 4b 0 C1 : f x; y 0 và 7 7 Chọn a 1 b C : x2 y2 2x 4y 4 x2 y2 1 0 C2 : g x; y 0 là: 4 4 3 3 9 8 16 f x; y g x; y 0 C : x2 y2 2x 4y 0 x2 y2 x y 3 0 4 4 4 3 3 2 2 4 8 4 8 53 C có tâm I ; , bán kính R 3 3 3 3 3 3 4 8 4 m n 3 3 3 Đáp án B. Lưu ý: + Bạn có thể giải trực tiếp bằng cách tìm giao điểm của C1 và C2 là B và C rồi tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (bạn đọc tự giải). + Phương pháp trên thường sử dụng trong các bài toán viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của 2 đường tròn và thỏa mãn điều kiện nào đó. Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn đi qua A 3;1 ; B 5;5 và tâm nằm trên trục hoành có chu vi là: A. 100 B. 100 C. 2 50 D. 2 50 Lời giải Gọi đường tròn cần tìm là C có tâm I Ox I a;0 STUDY TIPS Cho C I;R + Chu vi: 2 R + Diện tích: R 2 Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng d và thỏa mãn điều kiện (*) . - Bước 1: Tham số hóa tâm I theo d - Bước 2: Áp dụng điều kiện (*) tham số - Bước 3: Thay lại rồi suy ra kết quả
Đường tròn qua 2 2 2 2 R IA 1 3 1 1 2 C : x 3 y 1 4 A, B - Với a 5 b 9 C có tâm I 5;9 và bán kính IA IB a 10 I 10;0 R 1 5 2 1 9 2 10 C : x 5 2 y 9 2 100 Bán kính Đáp án D. R IA 10 3 2 0 1 2 50 Chu vi là: C 2 R 2 50 Đáp án C Lời giải Ví dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C) đi qua A 1;1 ; B 3;3 và Gọi tâm đường tròn (C) là tâm tiếp xúc với đường thẳng : x 5 0 có phương trình là: 2 2 2 2 I a;b A. x 3 y 1 4 và x 5 y 9 10 (C) qua A, B IA IB B. x 3 2 y 1 2 2 và x 5 2 y 9 2 100 C. x 3 2 y 1 2 100 1 a 2 1 b 2 3 a 2 3 b 2 a b 4 1 Ví dụ 8: 2 Trong mặt2 phẳng Oxy,2 cho điểm2 M 3;5 và đường tròn D. x 3 y 1 4 và x 5 y 9 100 C : x2 y2 2x 4y 4 0 . Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến đến (C) với A, (C) tiếp xúc với B là tiếp điểm. Viết phương trình đường thẳng AB. d I; A. 2x 3y 17 0 B. 2x 3y 17 0 a 5 2 2 1 a C. 1 2 xb 3y 2 16 0 D. 2x 3y 16 0 12 02 Từ 1 b 4 a thế vào 2 2 2 a 5 1 a 1 4 a 2 a 5 a 2a 15 0 a 3 - Với a 3 b 1 C có tâm I 3;1 và bán kính STUDY TIPS Nếu MA tạo với MB một góc A· MB · 0 AMB 180
Lời giải Vậy phương trình đường thẳng AB là 2x 3y 17 0 Đường tròn (C) Ví dụ 9: Trong mặt phẳng Oxy, có bao nhiêu điểm M d : x y 3 0 mà có tâm I 1;2 , từ M kẻ được đến C : x2 y2 2x 4y 1 0 hai tiếp tuyến mà hai tiếp bán kính tuyến đó tạo với nhau một góc 600 R 12 22 4 3 A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 IM 13 R Từ M Lời giải có 2 tiếp tuyến đến (C) Gọi hai tiếp điểm là A và B Xét AIM vuông góc(C) có tâm I 1;2 và bán kính R 2 tại A cóM d : y x 3 M m;m 3 AI R 3; IM 13 MA tạo với MB một góc 600 A· MB 600 hoặc A· MB 1200 AM IM2 AI2 13 32 2 AI - TH1: A· MB 600 A· MI 300 sin 300 IM Mà AM MB 2 (tính chất tiếp tuyến đường tròn) A, B cách điểm M một khoảng là 2 A, B nằm trên đường tròn C1 có tâm M 3;5 và bán kính R1 MA 2 2 2 2 2 C1 : x 3 y 5 4 x y 6x 10y 30 0 Tọa độ A, B thỏa mãn hệ 2 2 x y 2x 4y 4 0 1 2 2 x y 6x 10y 30 0 2 Lấy 1 2 4x 6y 34 0 2x 3y 17 0
bán kính R 32 32 14 2 AB Gọi H là trung điểm AB IH  AB; HA 3 2 2 AIH vuông tại H IH IA2 AH2 22 3 1 d I;d đường thẳng d đi qua M 6;2 và cách I 3;3 một khoảng là 1 Gọi VTPT của d là n a;b 0 d : a x 6 b y 2 0 ax by 6a 2b 0 a 0 3a 3b 6a 2b 2 Mà d I;d 1 1 8a 6ab 0 3 a 2 b2 a b 4 - Với a = 0 chọn b 1 d : y 2 0 1 1 2 m 1 2 2 2 m3 5 m 1 m - 5Với a b chọn b 4 a 3 d :3x 4y 26 0 2 4 có 2 điểm M Từ (1) và (2) ta chọn đáp án A thỏa mãn (1) Đáp án A. - TH2: Lưu ý: Bài toán viết phương trình đường thẳng d qua M cắt đường tròn (C) tại 2 AI A· MB 1200 A· MI 600 sin 600 điểm A, B thỏa mãnIM tính chất K ta thường làm như sau: 3 2 6m2 36m 62 0 2 m 1 2 m 5 2 vô nghiệm (2) Từ (1) và (2) có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán Đáp án C. STUDY TIPS Lưu ý: Đối với + sin A· IB lớn nhất ví dụ này bạn · 0 đọc phải nhớ có AIBVí 9dụ0 10: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng qua M 6;2 và cắt 2 2 a b 2 2 2 trường hợp + a.b C : x ay,b 6x 6y 14 0 tại 2 điểm A và B sao cho AB 2 3 là: 2 Lời giải A. y 2 và 3x 4y 26 0 B. x 2 và 3x 4y 26 0 Dấu bằng xảy ra a b Đường tròn (C) C. y 2 và 3x 4y 30 0 D. x 2 và 3x 4y 30 0 có tâm I 3;3 ,
+ Bước 1: Từ 2 IH AI.cos 450 2. 1 tính chất K, tính 2 IH a (với I là m 0 tm 2 2m 2m 3 tâm (C), H là d I;d IH 1 1 8 12 m2 m ktm trung điểm AB) 15 + Bước 2: Viết có 1 giá trị m nguyên phương trình d AH2 IH2 AI2 R 2 Cách 2: SIAB AH.IH qua M cách I một 2 2 2 khoảng a kết R 2 maxSIAB AH IH IAH vuông cân tại H quả 2 Lời giải Ví dụ 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn Cách 1: Đường C : x2 y2 4x 4y 6 0 và đường thẳng d : x my 2m 3 0 . Gọi tròn (C) có tâm I là tâm của (C). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (C) tại 2 điểm I 2; 2 , bán phân biệt A, B sao cho diện tích IAB là lớn nhất kính R 2 A. 0 B. 1 C. 2 D. vô số Giả sử d  C R IH 1, làm tương tự như trên ta được kết quả tại 2 điểm A, B 2 1 Đáp án B S .IA.IB.sin A· IB IAB 2 1 1 1 .R 2.sin A· IB .R 2 maxS R 2 A· IB 900 2 2 IAB 2 A· IH 450 (H là trung điểm AB) C. Bài tập rèn luyện kĩ năng Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) Xem đáp án chi tiết tại trang có tâm I 2;3 và bán kính R 6 . Phương trình Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn nào là phương trình đường tròn (C)? 2 2 C : x y 6x 8y 9 0 . Tâm và bán kính A. x 2 2 y 3 2 6 đường tròn là B. x 2 2 y 3 2 36 A. I 6;8 và R 19 B. I 3;4 và R 4 C. x2 y2 4x 6y 23 0 C. I 3; 4 và R 9 D. I 3; 4 và R 4
D. Cả B và C 2 2 625 A. x 4 y 3 Câu 3: Trong các phương trình sau, phương trình 17 2 2 169 nào là phương trình đường tròn? B. x 4 y 3 2 2 17 1 1 1 x y 0 2 2 625 2 2 C. x 4 y 3 17 2 x 1 2 y 1 2 8 2 2 169 D. x 4 y 3 2 2 17 3 x 6 y 3 25 Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình A. Chỉ (1) và (3)B. Chỉ (2) và (3) đường tròn (C) có tâm I nằm trên đường thẳng C. Cả (1); (2); (3)D. Chỉ (1) và (2) d : x 2y 6 0 và tiếp xúc với hai trục tọa độ là Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình tổng A. C : x 6 2 y 6 2 36 quát của đường tròn (C) có tâm I 0; 1 và đi qua 2 2 A 1;4 là: B. C : x 2 y 2 4 2 2 2 2 A. x y 2y 25 0 C. C1 : x 6 y 6 36 2 2 2 2 B. x y 1 26 Hoặc C2 : x 2 y 2 4 C. Cả A và B 2 2 D. C1 : x 6 y 6 36 D. x2 y2 2y 27 0 Hoặc C : x 2 2 y 2 2 4 Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn (C) có đường tròn (C) có đường kính AB với A 2;8 và tâm I thuộc đường thẳng : x 3y 0 tiếp xúc B 6; 4 là: với đường thẳng d : x y 8 0 tại A 4;4 . Có 2 2 A. x 2 y 6 212 bao nhiêu đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán? B. x 4 2 y 6 2 2 10 A. 2B. 1C. 0D. vô số Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình C. x 4 2 y 2 2 40 đường tròn (C) có tâm I thuộc đường thẳng 2 2 D. x 4 y 2 40 x 1 t d : và tiếp xúc với hai đường thẳng y t Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy, có bao nhiêu d : 2x y 3 0 và d : 2x y 3 0 và đường tròn (C) đi qua A 2;4 và B 0;3 , tâm I 1 2 d : x 2y 4 0 là: thuộc đường thẳng d : x 2y 5 0 ? 2 2 2 49 A. 1B. 2C. 0D. Vô số A. x 4 y 3 5 Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình chính 2 2 2 1 16 tắc của đường tròn (C) có tâm I 4; 3 và tiếp B. x y 3 3 5 xúc với đường thẳng d : 4x y 6 0 là: C. Cả A và B
2 2 2 1 16 Câu 16: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn D. x y 3 3 5 C : x 4 2 y2 5. Phương trình tiếp tuyến của Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình (C) vuông góc với đường thẳng d : 2x y 1 0 đường tròn (C) đi qua 3 điểm là: 1 : x 2y a 0 và 2 : x 2y b 0 . Khi A 1;1 , B 4; 3 , C 3;5 có dạng đó: 2 2 x y ax by c 0. Tính P a b c A. a b 10 B. a b 8 128 9 16 8 A. B. C. D. C. a b 10 D. a b 8 9 8 9 9 Câu 17: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác C : x 5 2 y 1 2 34 . Số tiếp tuyến của (C) ABC biết tạo độ đỉnh A 3;7 . Trực tâm tạo với đường thẳng d : x 4y 7 0 một góc H 3; 1 và tâm đường tròn ngoại tiếp là I 2;0 450 là: khi đó tọa độ đỉnh C a;b biết hoành độ điểm C A. 0B. 1C. vô sốD. 2 dương khi đó giá trị a b là Câu 18: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn A. 1 65 B. 1 65 C : x2 y2 2x 4y 20 0 với đường thẳng C. 1 2 65 D. 1 2 65 : 2x y 3 0 . Qua M , kẻ hai tiếp tuyến Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn MA, MB đến (C) với A, B là tiếp điểm. Tìm M C : x2 y2 2x 4y 3 0 . Phương trình tiếp biết AB 4 5 tuyến của (C) tại A 0; 3 là ax by 3 0 thì: A. M 1 2 5; 2 5 và M 1 2 5; 2 5 A. a b 3 B. a b 0 B. M 2 5; 1 2 5 và M 1 2 5; 2 5 C. a b 3 D. a b 2 Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C. M 1 2 5; 2 5 và M 1 2 5; 2 5 2 2 C : x 2 y 3 2 . Phương trình tiếp D. M 2 2 5; 2 5 và M 1 2 5; 1 2 5 tuyến d của (C) đi qua M 1;3 có dạng Câu 19: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn a C : x2 y2 8x 6y 5 0 với đường thẳng ax by c 0 . Tính . b : x y 1 0 . Qua M , kẻ hai tiếp tuyến A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 MA, MB đến (C) với AB là tiếp điểm để MAB Câu 15: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn đều biết M xM ; yM và xM 0 . Khi đó xM yM C : x2 y2 8x 4y 18 0 . Có bao nhiêu tiếp là: tuyến của (C) song song với đường thẳng A. xM yM 1 B. xM yM 1 d : x y 0? C. x y 4 6 1 D. x y 4 6 A. 1B. 2C. 0D. Vô số M M M M Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x2 y2 16 với đường thẳng : x 2y 0 .
Qua M , kẻ được 2 tiếp tuyến MA, MB đến 12 5 A. P 0 hoặc P B. P 0 hoặc P (C) với A, B là tiếp điểm. Điểm M thuộc cung 5 12 108 12 12 phần tư thứ mấy? Biết S C. P D. P 0 hoặc P AMB 25 5 5 A. Thứ I và thứ IIB. Thứ II và thứ IV Câu 25: Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình C. Thứ I và thứ IIID. Thứ II và thứ III đường thẳng d đi qua M 2; 2 cắt đường tròn Câu 21: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x2 y2 2x 2y 0 tại 2 điểm phân biệt A, C : x2 y2 10x 8y 1 0 với đường thẳng B sao cho diện tích IAB 1 với I là tâm đường : x y 5 0 . Qua M thuộc đường thẳng , tròn (C). kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) với A. x 2 0 và 3x 4y 2 0 A, B là tiếp điểm. Số điểm M thỏa mãn để S IAB B. x 2 0 và 4x 3y 2 0 đạt giá trị lớn nhất (với I là tâm đường tròn (C)) là C. y 2 0 và 4x 3y 2 0 A. 0B. 1C. 2D. vô số D. y 2 0 và 3x 4y 2 0 Câu 22: Trong mặt phẳng Oxy, cho M 2;3 và Câu 26: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn đường tròn C : x2 y2 2x 4y 4 0 . Từ M C : x2 y2 12 . Đường thẳng d đi qua kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB đến (C) với A, B là tiếp M 3; 1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao điểm. Độ dài dây cung AB bằng cho IAB đều (I là tâm đường tròn (C)). Số 15 34 34 15 A. B. đường thẳng d thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 7 7 A. 0B. 1C. 2D. Vô số 90 25 C. D. Câu 27: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn 7 2 C : x2 y2 4x 10y 4 0 . Đường thẳng d đi Câu 23: Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình đường thẳng d đi qua M 4;0 cắt đường tròn qua M 1;3 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Giá trị lớn nhất của diện tích IAB là: C : x2 y2 6x 4y 4 0 tại 2 điểm phân biệt 25 25 25 A, B sao cho M là trung điểm AB. A. B. 25C. D. 2 4 3 A. x 2y 4 0 B. x 2y 4 0 Câu 28: Với giá trị nào của tham số m thì C. x 2y 4 0 D. x 2y 4 0 2 2 Cm : x y 2mx 6 m 2 y 16m 26 0 Câu 24: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn là đường tròn? C : x2 y2 8x 10y 16 0 . Đường thẳng d đi A. m ¡ qua M 1; 7 cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B B. M 1 sao cho AB 8 có dạng ax by a 7b 0 . 1 C. m ; 1; 5 b Tính P a 1 D. m ;  1; 5
Câu 29: Trong mặt phẳng Oxy, cho A. 24B. 25C. 26D. 27 2 2 Cm : x y 2mx 8 m 3 y 28m 17 0 . Tập hợp của Cm khi m thay đổi là: A. y 2x 6 B. y x 3 C. y 4x 12 D. y 4x 12 Câu 30: Trong mặt phẳng Oxy, cho 23 C : x2 y2 2 m 1 x 4 m 2 y m 0 m 4 Số điểm cố định mà Cm luôn đi qua là: A. 0B. 1C. 2D. 3 Câu 31: Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 2 Cm : x y 2mx 2my m 1 0 . Gọi S là tập hợp các giá trị m để Cm tiếp xúc với đường thẳng d : x 2y 5 0 . Tính tổng các phần tử của S. 25 A. 745 B. 745 C. 25D. 2 Câu 32: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x2 y2 1 và đường thẳng : m 3 x y 2 m 3 0 . Tính giá trị của m để trên tồn tại duy nhất một điểm M để từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) với A, B là tiếp điểm sao cho diện tích IAB đạt GTLN với I là tâm đường tròn. STUDY TIPS + Cho F1,F2 cố định, a không đổi. Tập hợp M thỏa mãn: MF1 MF2 2a 0 là đường elip + E : M\MF1 MF2 2a
§3. Phương trình đường elip A. Lý thuyết 1. Định nghĩa Elip là tập hợp tất cả những điểm thuộc mặt phẳng và tổng khoảng cách tới hai điểm cố định F1,F2 luôn là một số dương không đổi 2a. Khi đó: + F1,F2 gọi là tiêu điểm của elip + F1F2 2c 0 c a gọi là tiêu cự của elip c + Tỉ số e 1 gọi là tâm sai a Ví dụ 1: Cho 2 đường tròn C1 và C2 thỏa mãn C2 qua tâm C1 . Tập hợp tâm các đường tròn tiếp xúc ngoài với C2 và tiếp xúc trong với C1 là A. một đường thẳngB. một đường tròn C. một đường parabolD. một đường elip Lời giải + Gọi đường tròn tiếp xúc ngoài với C2 và tiếp xúc trong với C1 là Cm có tâm M và bán kính là R. C1 có tâm I1 và bán kính R1 C2 có tâm I2 và bán kính R 2 + Do Cm tiếp xúc trong với C1 MI1 R1 R Cm tiếp xúc ngoài với C2 MI2 R 2 R MI1 MI2 R1 R 2 * Do C1 , C2 cố định nên I1,I2 cố định và R1 R 2 2a 0 là số không đổi nên * Tổng khoảng cách từ M đến 2 điểm cố định I1,I2 là một số dương không đổi 2a R1 R 2 Tập hợp M là một đường elip (tiêu điểm I1,I2 ) Đáp án D. 2. Phương trình elip
a c 0 M x; y thỏa mãn MF1 MF2 2a ta được cx MF a 1 a 1 gọi lá bán kính qua tiêu điểm của M cx MF a 2 a cx 2 2 cx 2 2 2 2 2 2 2 2 + Từ MF1 a x c y a a c x a x a c a a a x2 y2 Đặt b2 a 2 c2 0 b2x2 a 2 y2 a 2b2 1 2 a 2 b2 Phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của elip có: + Tiêu điểm F1 c;0 ; F2 c;0 + Tiêu cự F1F2 c1c2 c + Tâm sai e a Lưu ý: (1) được chứng minh trong sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao x2 y2 Ví dụ 2: Cho E : 1. Một tiêu điểm của (E) có tọa độ là 25 16 A. F1 3;0 B. F1 0; 3 C. F1 3;0 D. F1 0;5 Lời giải 2 2 2 Ta có c a b 25 16 9 c 3 F1 3;0 Đáp án C. x2 y2 Ví dụ 3: Cho E : 1. Có bao nhiêu điểm M E sao cho + 25 16 Trong mặt phẳng MF1 2MF2 Oxy, cho A. 0 B. 1C. 2D. 4 F c;0 , F c;0 1 2 Lời giải và độ dài không Gọi M x; y E đổi 2a với cx 3x cx 3x Ta có a 5; b 4; c 3 MF a 5 ; MF a 5 STUDY TIPS 1 a 5 2 a 5 Phương trình chính 2 25 2 tắc của elip 3x 3x 25 9 y 8 14 MF1 2MF2 5 2 5 x 1 y x2 y2 5 5 9 25 16 9 E : 1 với a 2 b2 a,b,c 0 . 2 2 2 b a c Tiêu điểm là F1 c;0 ; F2 c;0
Vậy có 2 điểm M thỏa mãn Đáp án C 3. Dạng của elip - Tính đối xứng: 2 2 x2 y2 x2 y2 x y Cho E : 1 M x ; y E 0 0 1 0 0 1 a 2 b2 1 0 0 a 2 b2 a 2 b2 M2 x0 ; y0 , M3 x0 ; y0 và M4 x0 ; y0 cũng thuộc (E) (E) đối xứng qua hai trục tọa độ và gốc tọa độ bởi vậy để chứng minh một tính chất bất kì của (E) ta có quyền giả sử x, y là các số không âm. - Giao điểm với các trục: x2 y2 E : 1 cắt Ox tại A a;0 , A a;0 và cắt Oy tại B 0; b , B 0;b a 2 b2 1 2 1 2 A1A2 2a là trục lớn của (E) B1B2 2b là trục nhỏ của (E) - Hình chữ nhật cơ sở là hình chữ nhật ABCD với A a;b ,B a;b ,C a; b ,D a; b Diện tích hình chữ nhật cơ sở là SABCD 2a.2b 4ab STUDY TIPS Ví dụ 4: (E) có một tiêu điểm là F 2;0 và một đỉnh A 5;0 có phương Phương pháp viết phương trình elip: trình là Bước 1: Gọi x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 E : 1 với 25 4 25 21 4 25 21 25 a 2 b2 a,b,c 0 Lời giải 1 . 2 2 2 b a c x2 y2 a,b,c 0 Gọi elip cần tìm là E : 1 với 2 2 2 2 2 Bước 2: Từ giả thiết a b b a c suy ra hai phương trình: Tiêu điểm F 2;0 c 2 f a,b,c 0 2 Đỉnh A 5;0 a 5 g a,b,c 0 2 2 Bước 3: giải hệ 2 2 2 x y Có b a c 25 4 21 E : 1 a 25 21 1 b E Đáp án B. 2 c Lưu ý: Với bài này bạn có thể giải bằng cách thử từng phương án tìm tiêu điểm (Mục tiêu là từ giả thiết ta tìm ra a và b) và đỉnh rồi kiểm tra lại với giả thiết và kết luận
x2 y2 5 Ví dụ 5: Elip có phương trình E : 1 biết (E) có tâm sai là ; a 2 b2 3 hình chữ nhật cơ sở có chu vi là 20. Khi đó giá trị a 2b là A. 35 B. – 5 C. 7D. 8 Lời giải x2 y2 a,b,c 0 Ta có E : 2 2 1 với 2 2 2 a b b a c 1 5 c 5 5 Tâm sai của (E) là c a 2 3 a 3 3 STUDY TIPS Chu vi hình chữ nhật cơ sở là 20 2. 2a 2b 20 a b 5 b 5 a 3 Chu vi hình chữ nhật 2 2 5 2 a 3 Thế (2), (3) vào (1) 5 a a a cơ sở là 2 2a 2b 9 a 15 - Với a 3 b 2 thỏa mãn a 2b 27 (đáp án C) - Với a 15 b 10 (loại) do a,b,c 0 Đáp án C 4. Vị trí tương đối của một điểm với (E), của một đường thẳng với (E) a. Vị trí tương đối của một điểm với (E) x2 y2 Cho E : 1 với a,b,c 0 và điểm M x ; y a 2 b2 0 0 x2 y2 Xét biểu thức 0 0 T a 2 b2 + Nếu T 1 M nằm ngoài (E) + Nếu T 1 M nằm trên (E) (hay M E ) + Nếu T 1 M nằm trong (E) b. Vị trí tương đối của đường thẳng với (E) x2 y2 Cho E : 1 với a,b,c 0 và đường thẳng : Ax By C 0 a 2 b2 Ax By C 0 1 Xét hệ x2 y2 1 2 a 2 b2 2 Rút y từ (1) thế vào (2) A1x B1y C1 0 3 + Nếu (3) vô nghiệm và (E) không có điểm chung + Nếu (3) có nghiệm kép và (E) tiếp xúc nhau.
+ Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt và (E) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. x2 y2 Ví dụ 6: Cho E : 1 và đường tròn 25 9 2 2 Cm : x y 2 m 1 x 2y 1 0 . Số giá trị m nguyên để đường tròn Cm có tâm nằm hoàn toàn tròn (E) là: A. 7 B. 8 C. 9D. 10 Lời giải (C) có tâm là I m 1; 1 . Tâm I nằm trong (E) 2 2 m 1 1 2 8 10 2 10 2 1 m 1 .25 1 m 1 25 9 9 3 3 có 9 giá trị m nguyên thỏa mãn Đáp án C. x2 y2 Ví dụ 7: Cho E : 1 và điểm I 1;2 đường thẳng d đi qua I cắt (E) tại 16 9 hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của MN có vecto chỉ phương là u a;b b .Khi đó giá trị là: a 32 9 9 A. B. không tồn tại C. D. 9 32 32 Lời giải b Đường thẳng d có VTCP là u a;b k là hệ số góc của đường thẳng d a d qua I và có hệ số góc k d : y k x 1 2 1 y k x 1 2 1 Tọa độ M, N là nghiệm của hệ x2 y2 1 2 16 9 2 2 thế (1) vào (2) 9x 16 k x 1 2 144 16k2 9 x2 16 4k 2k2 16k2 64k 80 0 3 Nhận thấy qua I luôn có đường thẳng cắt (E) tại hai điểm phân biệt, (3) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với k là hoành độ của M, N. Mà M, N, I thẳng hàng (cùng thuộc d) I là trung điểm của MN 2 x x 16 4k 2k 9 1 2 x 1 k 2 1 2 16k2 9 32
Đáp án C. B. Các dạng toán điển hình STUDY TIPS 3 Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, elip (E) có tiêu cự bằng 12 và tâm sai e . x2 y2 5 Cho E : 2 2 1 a b Cho các mệnh đề sau: với a,b,c 0 : (1) (E) có tiêu điểm F1 8;0 và F2 8;0 b2 a 2 c2 (2) (E) có độ dài trục nhỏ bằng 16. 1. F1 c;0 , F2 c;0 là (3) (E) có đỉnh A2 10;0 tiêu điểm; FF 2c là 1 2 Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào sai? tiêu cự. A. (1) và (2) B. (2) và (3)C. (1), (2) và (3)D. (1) và (3) 2. A1 a;0 ;A2 a;0; Lời giải (E) có tiêu cự bằng 12 2c 12 c 6 B1 0; b ; B2 0;b là c 3 4 đỉnh của (E). Tâm sai e a 10 b 8 a 5 A A 2a là độ dài 1 2 Vậy mệnh đề (1), (3) là mệnh đề sai trục lớn Đáp án D B B 2b là độ dài 2 2 1 2 x y Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, elip E : 1. Tìm khẳng định đúng? trục bé. 81 49 c A. (E) có đỉnh A 9;0 và B 0; 7 3. Tâm sai e 1; 1 1 a B. (E) có dộ dài trục bé bằng 4 2 phương trình đường C. (E) có dộ dài trục lớn bằng 18 a chuẩn x e D. (E) có diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 63. 4. Khoảng cách giữa Lời giải 2 2 a x y 2 2 hai đường chuẩn: 2 E : 1 a 9; b 7 c a b 4 2 e 81 49 5. Diện tích hình chữ Độ dài trục lớn là 2a 18 nhật cơ sở: Đáp án C. S 2a.2b 4ab 5 Ví dụ 3: Tìm phương trình chính tắc của elip có tâm sai e và hình chữ 3 nhật cơ sở có chu vi bằng 20. x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. 1 B. 0 C. 1 D. 1 9 5 9 4 9 4 4 5 Lời giải x2 y2 Gọi phương trình chính tắc của elip E : 1 a,b 0 a 2 b2 STUDY TIPS Chu vi hình chữ nhật cơ sở là 2 2a 2b STUDY TIPS Để giải hệ phương trình (I) ta đặt 1 1 u; v a 2 b2 Khi đó 3u 9v 1 I 27u v 1 1 u a 2 30 30 1 v b2 10 10
Tâm sai Đáp án B. 5 c 5 Ví dụ 5: Tìm phương trình elip đi qua hai điểm M 3;3 , N 3 3;1 e 1 3 a 3 x2 y2 A. 30x2 10y2 1 B. 1 Hình chữ nhật cơ 30 10 x2 y2 x2 y2 sở có chu vi bằng C. 1 D. 0 20 30 10 30 10 Lời giải 2 2a 2b 20 2 2 2 x y Giả sử E : 2 2 1 a,b 0 Có a b 2 2 2 3 9 c a b 3 1 2 a 2 b2 a 30 x2 y2 Vì M, N E nên ta có hệ I : E : 1 Từ 27 1 b2 10 30 10 1 a 2 b2 a 3 x2 y2 1 , 2 , 3 b 2 E : 1 Đáp án B. 9 4 c 5 Đáp án C. Ví dụ 4: Trong mặt phẳngSTUDY Oxy, TIPS cho elip (E) có độ dài trục nhỏ bằng 8, tâm sai 3 e . Khi đó hìnhPhương chữ nhật trình cơ sởbậc có hai diện tích bằng: 5 ax2 bx c 0 a 0 A. 20 (đvdt)B. 80 (đvdt)C. 18 (đvdt)D. 36 (đvdt) có b2 4ac hoặc Lời giải b2 Độ dài trục nhỏ ' ac 2 bằng 8 + Nếu hoặc 2b 8 b 4 ' 0 phương Tâm sai trình vô nghiệm 3 c 3 3 e c+ Nếua hoặc 5 a 5 5 ' 0 phương Có trình có nghiệm kép + Nếu2 hoặc 2 2 2 2 3 a 5 a c b a a 16 '5 0 phương a 5 loai trình có 2 nghiệm Diện tích hìnhphân biệt chữ nhật cơ sở là: S 2a.2b 2.5.2.4 80 (đvdt) STUDY TIPS x2 y2 E : 1 và a 2 b2 : Ax By C 0 là tiếp tuyến của (E) A2a 2 B2b2 C2
16.12 9.12 c2 c2 25 c 5 x2 Đáp án C. Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip E : y2 1 và đường thẳng 4 x2 y2 Ví dụ 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip E : 1. Số đường thẳng d cắt : x 2y 5 0 . Đường thẳng cắt (E) tại mấy điểm? 32 16 A. 0 B. 1elipC. 2(E)D. tạiVô hai số điểm phân biệt có tọa độ nguyên là: Lời giải A. 9 B. 18 C. 120D. 1 Xét hệ tọa độ giao Lời giải điểm Giả sử M x0 ; y0 E có tọa độ nguyên 2 x 2 2 2 2 y 1 x0 y0 2 y0 2 2 2 4 1 x0 32 1 2 16 y0 0 16 y0 0 y0 16 32 16 16 x 2y 5 0 2 Mà y0 ¢ y0 4; 3; 2; 1;0 5 x 2 y 2 thế vào (1) ta được: 2 2 x 5 x 2 2 2 1 x x 10 25 4 0 2x 10x 21 0 * 4 2 Xét phương trình (*) có ' 5 2 2.21 17 0 phương trình vô nghiệm Vậy đường thẳng không cắt (E). Đáp án A. x2 y2 Ví dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip E : 1 và đường thẳng 16 9 : x y c 0 . Với giáSTUDY trị nào củaTIPS c thi là tiếp tuyến của (E) ? A. 5 dB. đi 2 qua5 M x0 ; y0 C. 5 D. 5 Lời giải và có hệ số góc k E có d : y k x x0 y0 a 2 16; b2 9 Để là tiếp tuyến của (E) thì STUDY TIPS Phương trình ax2 bx c 0 a 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Hệ thức Vi-et: b x x 1 2 a c x x 1 2 a
Với 2 2 4x 9y 36 2 2 4x 9 kx k 2 36 y kx k 2 y0 4 x0 0 M1 0;4 (nhận) 4x2 9 k2x2 k2 4 2k2x 4kx 4k 36 0 Với 4 9k2 x2 2k 9k 18 x 9k2 36k 0 * y0 4 x0 0 M2 0; 4 (nhận) Để (E) cắt d tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân Với biệt xA , xB y 3 x 34 ¢ 2 2 2 2 0 0 ' 0 k 9k 18 4 9k 9k 36k 0 2 2 2 4 3 Với k 81k 324k 324 36k 144k 81k 324k 0 y 3 x 34 ¢ 1 0 0 288k2 144k 0 0 k 1 2 Với k thỏa mãn điều kiện (1) thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt xA , xB Với 2 18k 36k xA xB 2 y 0 x 32 ¢ 9k 4 0 0 Khi đó theo Vi-et ta có: 9k2 36k x x A B 2 Vậy chỉ có duy 4 9k nhất môtj đường thẳng d cắt (E) tại hai điểm có tọa độ nguyên. Đáp án D. Ví dụ 9: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip E : 4x2 9y2 36 và điểm M 1; 2 . Lập phương trình đường thẳng d đi qua M cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là tring điểm của AB. A. 2x 9y 20 0 B. 2x y 20 0 C. 2x 9y 20 0 D. 9x 2y 13 0 Lời giải Giả sử d đi qua M 1; 2 và có hệ số góc k d : y k x 1 2 d : y kx k 2 Xét hệ tọa độ giao điểm
Vì M là trung điểm của AB nên xA xB 2xM 18k2 36k 2 2.1 2 18k2 36k 18k2 8 k (TMĐK (1)) 9k2 4 9 2 2 20 Với k d : y x d : 2x 9y 20 0 9 9 9 Đáp án A. x2 y2 Ví dụ 10: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip E : 1. Điểm M E thỏa 16 8 mãn bán kính qua tiêu điểm trái bằng 4 lần bán kính qua tiêu điểm phải. Điểm M thuộc cung phần tư thứ mấy? A. I và III B. I và II C. I và IVD. II và III Lời giải (E) có a 4; b 2 2; c 2 2 E có hai tiêu điểm F1 2 2;0 và F2 2 2;0 Giả sử M x; y E là điểm cần tìm 3a 3a 2 3.42 12 2 Khi đó MF 4MF a ex 4 a ex 1 2 5e 5c 5.2 2 5 2 2 x 18 2 56 2 14 Vì M E y 1 .8 1 .8 y y 16 25 25 5 Vậy có 3 điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 12 2 2 14 12 2 2 14 M ; ; M ; 1 2 5 5 5 5 Đáp án C. x2 y2 Ví dụ 11: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip E : 1. Tìm M E sao 100 25 · 0 cho F1MF2 120 ( F1,F2 là hai tiêu điểm của elip)? A. M 0;5 B. M 0; 5 STUDY TIPS C. M1 5;0 hoặc M2 5;0 D. Cả A và B đều đúng M nhìn F ,F dưới một 1 2 Lời giải góc (E) có a 10; b 5 c 5 3 MF2 MF2 FF2 cos 1 2 1 2 E có hai tiêu điểm F1 5 3;0 ; F2 5 3;0 2.MF1.MF2 Giả sử M x; y E
3 3 Có MF 10 x; MF 10 x 1 2 2 2 2 2 2 · Có F1F2 MF1 MF2 2.MF1.MF2.cos F1MF2 2 2 2 3 3 3 3 0 10 3 10 x 10 x 2 10 x 10 x cos120 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 1 300 100 x 10 3x 100 x 10 3x 2 100 x 4 4 4 2 x 0 y 5 M1 0;5 ; M2 0; 5 Đáp án D. x2 y2 Ví dụ 12: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip E : 1 và đường thẳng 32 16 : x 2 2y 0 cắt elip (E) tại hai điểm phân biệt B và C. Điểm A E sao 2 2 cho ABC có diện tích lớn nhất. Tính giá trị của P xA yA . A. 2 B. 0 C. 6D. –6 STUDY TIPS Lời giải Phương trình chính tắc x 4 2 sin t Phương trình tham số của E : t 0;2  x2 y2 y 2cos t của E : 1 a 2 b2 Vì A E nên A 4 2 sin t; 2cos t phương trình tham số của 1 x a sin t S .BC.d A; E : t 0;2  ABC 2 y bcos t Vì BC không đổi nên S ABCmax d A; max 4 2 sin t 4 2 cos t 4 2 sin t cos t Có d A; 2 3 STUDY TIPS 1 2 2 B 0 1. A B A B 4 2. 2 sin t 8 sin t 4 4 8 A B 3 3 3 2. sin 1 k2 sin t 1 2 4 S ABCmax sin t 1 4 sin 1 k2 sin t 1 2 4 k ¢
3 t k2 t k2 4 2 4 k ¢ t k2 t k2 4 2 4 3 t 4 Vậy t 0;2  t 4 3 2 - Với t A 2; 2 P x2 y2 22 2 2 4 A A 3 2 2 - Với t A 2; 2 P x2 y2 2 2 2 4 A A Đáp án A. Ví dụ 13: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x2 y2 8 . Phương trình nào là phương trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại 4 điểm tạo thành 4 đỉnh của một hình vuông? x2 3y2 x2 3y2 x2 3y2 x2 3y2 A. 1 B. 1 C. 1 D. 1 16 16 16 16 16 16 16 16 3 3 Lời giải x2 y2 Phương trình chính tắc của (E) có dạng: 1 a b 0 a 2 b2 (E) có độ dài trục lớn bằng 8 2a 8 a 4 Do (E) và (C) cùng nhận Ox, Oy làm trục đối xứng và các giao điểm là các đỉnh của hình vuông nên (E) và (C) có 1 giao điểm với tọa độ dạng A t;t với t 0 Vì A C t2 t2 8 t 2 4 4 16 Vì A 2;2 E 1 b2 162 b2 3 x2 3y2 Vậy phương trình chính tắc của (E) là: 1 16 16 3 Đáp án B.
x2 y2 Vậy phương trình chính tắc của E : 1 Ví dụ 14: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có A2C0 25BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình x2 y2 4 . Viết Đáp án C. §4. Một số dạng bài toán điển hình phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi. Biết I. Một số bài toán về giải tam giác A Ox . Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có A 2;3 , phương trình đường x2 y2 x2 y2 x2 y2 A. x2 4y2 20 B. 1 C. 1 D. 1 20 25 20 5 20 5 trung tuyến từ B, C lần lượt là d1 : 2x 7y 30 0 và d2 : 7x 5y 14 0 . Lời giải Phương trình đường thẳng AB có dạng ax by c 0 . Khi đó giá trị biểu thức Giả sử Q a bc bằng: x2 y2 E : 1 a b 0A. 34 B. 32C. – 22 D. 44 a 2 b2 Lời giải Hình thoi ABCD + A 2;3 d1;d2 có + Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ AC 2BD OA 2OB A,B,C,D E Giả sử A a;0 và a B 0; 2 H là hình chiếu vuông góc của O trên AB. OH là bán kính của đường tròn C : x2 y2 4 OH 2 Ta có: 1 1 1 1 1 1 a 2 20 OH2 OA2 OB2 a 2 a 2 4 Có OA2 OA2 20 OB2 b2 5 4
4 STUDY TIPS x 2x 7y 30 3 4 14 G ; G là trọng tâm của 7x 5y 14 14 3 3 y ABC 3 3xG xA xB xC 2b 30 14 5c + B d1 B b; ; C d2 C ;c 3yG yA yB yC 7 7 14 5c 2 b 4 7 b 1 + Ta có: B 1;4 ; C 3;7 2b 30 c 7 3 c 14 7 qua A 2;3 x 2 y 3 + AB: AB: x 3y 11 0 qua B 1;4 3 1 Khi đó: a 1; b 3; c 11 Q 1 3 .11 32 Đáp án B. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có M 2; 1 là trung điểm AB. Đường trung tuyến và đường cao qua A lần lượt là: d1 : x y 7 0 và d2 :5x 3y 29 0 . Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng AC? A. P 3;2 B. Q 2; 7 C. R 2018;2017 D. S 1056;1055 Lời giải + A d1  d2 A 4;3 + M 2;1 trung điểm AB B 8; 1 + BC  d BC : 3x 5y c 0 STUDY TIPS 2  d : Ax By C 0 Mà B 8; 1 BC C 19 BC : 3x 5y 19 0 : Bx Ay C' 0 + I d1  BC I 2;5 là trung điểm BC C 12;11 qua A 4;3 x 4 y 3 + AC AC : x y 1 0 qua C 12;11 8 8 Đáp án B. Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có C 2;1 . Đường phân giác góc A và đường trunh tuyến AM lần lượt là d1 : 2x y 1 0 và d2 : x y 2 0 . Tìm tọa độ điểm B. 8 7 1 5 7 2 4 13 A. B ; B. B ; C. B ; D. B ; 3 3 3 3 3 3 3 3
Lời giải + A d1  d2 A 1;3 + C’ đối xứng với C qua d1 qua C 2;1 + CC' CC': x 2y 4 0  d1 : 2x y 1 0 2 9 6 13 + H d1  CC' H ; là trung điểm CC’ C' ; 5 5 3 5 qua A 1;3 + AB: 6 13 qua C' ; AB: 2x 11y 31 0 5 5 31 11b + B AB B ;b 2 M d2 M m;2 m 7 31 11b b 2 2m 3 8 7 + M là trung điểm BC 2 B ; 1 3 3 b 1 4 2m m 3 Đáp án A. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có A 1;2 . Đường trung tuyến BM và phân giác trong CI có phương trình lần lượt là d1 : x y 2 0 và d2 : 2x y 3 0 . Tìm tọa độ điểm B a; b . Tính P a b . 31 31 A. B. –2 C. D. 2 6 6 Lời giải + A’ đối xứng với A qua d2 , AA ' d2 K qua A 1;2 + AA ' AA ': x 2y 5 0  d2 : 2x y 3 0 1 13 7 16 + K AA ' d2 K ; A ' ; 5 5 5 5 + M d1 M a;a 2 C d2 C b;3 2b
STUDY TIPS 1 1 11 a M ; Nếu đề bài cho đường 2a b 1 6 6 6 M là trung điểm AC có: 2a 4 3 2b 2 2 2 3 phân giác, ta sẽ lấy b C ; 3 3 5 điểm đối xứng qua đường phân giác 7 16 qua A ' ; 5 5 + BC BC : 23x 11y 3 0 2 5 qua C ; 3 3 19 43 19 43 + B BC  d1 B ; a ; b P 2 12 12 12 12 Đáp án B. Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy, có A 2; 1 . Đường phân giác trong góc B và C có phương trình lần lượt là d1 : x 2y 1 0 và d2 : x y 3 0 . Phương trình đường thẳng đi qua B và song song với AC là đường thẳng: 9 9 A. 4x y 0 B. 4x y 0 7 7 C. 7x 28y 9 0 D. x 4y 9 0 Lời giải + D đối xứng với A qua d1 : F AD  d1 + E đối xứng với A qua d2 : I AE  d2 qua A 2; 1 + AD  d1 : x 2y 1 0 AD : 2x y 3 0 F AD  d1 P 1;1 là trung điểm AD D 0;3 qua A 2; 1 + AE AE : x y 3 0  d2 : x y 3 0 I AE  d2 I 0; 3 là trung điểm AE E 2; 5 qua D 0;3 + BC BC : 4x y 3 0 qua E 2; 5 5 1 6 9 B BC  d1 B ; ; C d2  BC C ; 7 7 5 5
qua A 2; 1 STUDY TIPS + AC 6 9 AC : x 4y 6 0 / /d : Ax By C 0 qua C ; 5 5 : Ax By C' 0 + / /AC : x 4y c 0 c 6 C C' 5 1 9 B ; c t / m : 7x 28y 9 0 7 7 7 Đáp án C. Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, ABC có A d : 2x 5y 7 0; BC / /d , đường cao BH có phương trình d1 : x 2y 1 0 . M 2;1 là trung điểm AC. Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC 50 11 11 13 11 A. 13;11 B. ; C. 13; D. ; 9 3 3 3 3 Lời giải  BH + AC AC : 2x y 3 0 qua M 2;1 11 2 + A AC  d A ; 6 3 13 4 + M là trung điểm AC C ; 6 3 / / d : 2x 5y 7 0 + BC 13 4 BC : 2x 5y 11 0 qua C ; 6 3 + B BC  BH B 17;9 13 11 Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G ; 3 3 Đáp án D Ví dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy, ABC có phương trình cạnh AB, AC lần lượt là d1 :8x 5y 15 0; d2 : 2x 5y 3 0 . Trung điểm của BC là M 6;1 . Đỉnh C và đỉnh B thuộc cung phần tư thứ mấy? A. I và IV B. I và IIC. IV và I D. II và III Lời giải 9 3 + A d1  d2 A ; 5 25
+ Gọi P là trung + C d1  AC C 8;0 điểm AB . Ta có: qua C 8;0 + BC BC : x 6y 8 0 / / AC  d : 6x y 13 0 MP MP : 2x 5y 27 0 qua M 6;1 32 28 + B BC  AB B ; 17 17 + +  BC : x 6y 8 0 : 6x y c 0 11 13 13 29 47 79 P MP  d1 P ; B ; C ; 5 25 32 285 25 2 250 25 220 B ; c : 6x y 0 :102x 17y 220 0 17 17 17 17 B thuộc cung Đáp án C. phần tư thứ IV và Lưu ý: Cần nhận ra được 2 đường thẳng d1;d2 là những đường cao của ABC C thuộc cung Ví dụ 9: Trong mặt phẳng Oxy, ABC có phương trình cạnh AB, AC, BC lần phần tư thứ nhất. lượt là 2x 3y 1 0; x y 3 0 và x y 4 0 . H là chân đường cao hạ từ Đáp án A. C. Điểm H thuộc cung phần tư thứ mấy? Ví dụ 8: Trong mặt phẳng, ABC có phương trình cạnh A. IV B. IIIC. II D. I AB:3x y 4 0; AC : x y 8 0 . Hai đường cao có phương trình lần lượt là Lời giải d1 : x 3y 8 0; d2 : 6x y 13 0 . Phương trình đường thẳng đi qua B và vuông góc với BC là: 220 A. x 6y 8 0 B. 6x y 0 17 220 C. 102x 17y 220 0 D. x 6y 0 17 Lời giải + A AB AC A 1;7 + d1  AB d1 là đường cao xuất phát từ C của ABC A d2 d2 là đường cao xuất phát từ A của ABC
1 7 + C AC  BC C ; 7 2 1 7 qua C ; 11 + CH 2 2 CH :3x 2y 0 2  AB: 2x 3y 1 0 29 14 + H CH  AB H ; H thuộc cung phần tư thứ I 26 13 Đáp án D. Ví dụ 10: Trong mặt phẳng Oxy, ABC có trọng tâm G 4; 2 , phương trình cạnh AB: 2x y 3 0 ; phương trình cạnh AC : 4x y 9 0 . Tìm tung độ lớn nhất trong 3 điểm A, B, C. A. –2 B. 1C. –13 D. 6 Lời giải + A AB AC A 2;1 + C AC : 4x y 9 0 C c;4c 9 + B AB: 2x y 3 0 B b; 3 2b 9 b 2 b c 12 2 + G 4; 2 là trọng tâm tam giác ABC 1 3 2b 4c 9 6 11 c 2 9 11 B ;6 ; C ; 13 2 2 Đáp án D. Ví dụ 11: Trong mặt phẳng Oxy, ABC cân tại A 3;1 . B,C d : x 7 y 54 0. Xác định hoành độ lớn nhất của điểm B biết S ABC 10 17 41 3 39 A. B. C. D. 5 5 5 5 Lời giải + Gọi I là trung điểm BC. Tam giác ABC cân AI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến AI  BC 3.1 7.1 54 + d A;BC 5 2 AI 12 7 2
1 1 1 10 10 + S ABC 10 S ABI S ABC .10 5 .AI.BI 5 BI 2 1 STUDY TIPS 2 2 2 AI 5 2 1. Cho điểm M x ; y qua A 3;1 0 0 + AI AI : 7x y 22 0  BC : x 7y 54 0 và đường thẳng: d : Ax By C 0 + I AI  BC I 2;8 d : M;d B BC : x 7y 54 0 B 7b 54b;b Ax By C 0 0 Có: BI 2 BI2 2 2 7b 54 2 8 b 2 2 56 7b 2 8 b 2 2 A2 B2  41 17 41 2. AB AB b B ; 5 5 5 50b2 800b 3198 0 2 2 x x y y 39 3 39 B A B A B B ; 5 5 5 Đáp án A. Ví dụ 12: Trong mặt phẳng Oxy, ABC cân tại A 1;1 . Đường thẳng d đi qua trung điểm AB, AC có phương trình: 2x y 5 0 . Tìm tọa độ điểm C biết E 3;1 nằm trên đường cao qua C và xB 3 . 11 2 13 13 4 13 2 13 4 13 A. ; B. 11 ;13 5 5 5 5 11 2 13 47 4 13 11 2 13 13 4 13 C. ; D. ; 5 5 5 5 Lời giải + d đi qua trung điểm AB; AC d / / BC AI  BC I là trung điểm BC (do tam giác ABC cân tại A) d  AI d / /BC  d : 2x y 5 0 + AI AI : x 2y 1 0 qua A 1;1 9 7 13 9 + H AI  d H ; I ; 5 5 5 5 13 9 I ; BC c' 7 tm BC : 2x y 7 0 5 5 STUDY TIP 26 17 + B BC B b;7 2b C b; 2b a  b a.b 0 5 5   41 22 + BA 1 b;2b 6 ; CE b; 2b 5 5 STUDY TIP G là trọng tâm ABC S ABG S AGC S BGC 1 S 3 ABC
Theo giả thiết ta 13 a   a 4. 4a 3 17 15a 29 68 5 có: BA  CE 0 4 17 15a 29 68 1 2 15a 29 68 97 1 4 a 41 22 1 b . b 2b 6 . 2b 0 15 5 5 13 13 67 9 236 - Với a G ; C ; 5 5 5 5 5 15 2 13 b 97 97 343 127 308 2 173 5 5b 30b 0- Với a G ; C ; 5 155 2 13 5 15 5 5 b loai x 3 5 B Đáp án C. Với 15 2 13 11 2 13 13 4 13 b C ; 5 5 5 Đáp án D. Ví dụ 13: Trong mặt phẳng Oxy, ABC có A 1; 4 ; B 5; 3 . Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d có phương trình: 4x y 3 0. Tìm hoành độ nhỏ nhất của điểm C. Biết S ABC 102 . 308 236 127 9 A. B. C. D. 5 5 5 5 Lời giải + A 1; 4 ; B 5; 3 AB 17 + G d : 4x y 3 0 G a;4a 3 qua A 1; 4 x 1 y 4 AB AB: x 4y 17 0 qua B 5 3 4 1 + 1 1 1 S S .102 34 .d G;AB .AB 34 d G;AB 4 17 ABG 3 ABC 3 2
Ví dụ 14: Trong mặt phẳng Oxy, ABC có C 5;3 . A,B : x y 4 0 . I 3;5 là trung điểm AB. Tìm tung độ lớn nhất của điểm A biết S ABC 12 A. 2 3 B. 6 3 C. 2 3 D. 6 3 Lời giải 5.1 3.1 4 + d C; 3 2 12 11 1 + S 12 S 6 AI.d C; 6 AI.3 2 12 AI 2 2 ABC ACI 2 + A : x y 4 0 A a;4 a STUDY TIP AI 2 2 3 a 2 5 4 a 2 2 2 I là trung điểm AB 1 a 2 3 S S S 2 2 2 ACI CBI 2 ABC a 6a 9 a 2a 1 8 2a 8a 2 0 a 2 3 - Với a 2 3 A 2 3;6 3 - Với a 2 3 A 2 3;6 3 Đáp án B. Ví dụ 15: Trong mặt phẳng Oxy, ABC có C 2;1 . Đường phân gaics trong góc A có phương trình d : x y 5 0 . Nhận xét nào sau đây là sai khi nói về đường thẳng AB? Biết tam giác ABC vuông tại A và xA  3;1 A. Đường thẳng AB luôn đi qua 1 điểm cố định. B. Đường thẳng AB có VTCP u 1;0 , VTPT n 0;1 C. Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng x 2 0 D. Đường thẳng AB có hệ số góc k 1 Lời giải + C’ đối xứng vói C qua d; CC' d H qua C 2;1 + CC' CC': x y 1 0  d : x y 5 0 H CC' d H 3;2 C' 4;3 + A d : x y 5 0 A a;a 5   AC 2 a; 4 a ; AC' 4 a; 2 a
  STUDY TIP + Tam giác ABC vuông tại A AC.AC' 0 Đường thẳng 2 a . 4 a 4 a . 2 a 0 qua xA ; yA a 2 tm 2a 2 12a 16 0 qua xB ; yB a 4 loai vì x 3;1 A   + Nếu x x A B Với a 2 A 2;3 phương trình đường qua A 2;3 + AB AB: y 3 thẳng : x a A qua C' 4;3 + Nếu y y A B Vậy ta có đường thẳng AB: y 3 : phương trình đường - Luôn đi qua điểm I 0;3 cố định. thẳng : y yA - Có VTCP u 1;0 , VTPT n 0;1 + Nếu xA xB ; yA yB - Vuông góc với đường thẳng AC : x 2 phương trình đường - Hệ số góc k 0 thẳng : Đáp án D. x x y y A B xB xA yB yA Ví dụ 16: Trong mặt phẳng Oxy, ABC cân tại A. A,B d : x 2y 2 0 . B,C Oy . Xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC biết chu vi tam giác ABC bằng 2 2 5 . 2 G ; 2 2 2 2 3 G 2; A. G ; 2 B. G ;0 C. D. 3 3 3 2 G ;0 G 2; 6 3 Lời giải + B Oy B 0; y B d x 2y 0 y 1 B 0; 1 + C Oy C 0;c + A d : x 2y 2 0 A 2a 2;a + ABC cân tại A AB AC AB2 AC2 2a 2 2 a 1 2 2a 2 2 c a 2 a 2 2a 1 c2 2ac a 2 2a 1 c 1 c . 1 c 0 STUDY TIP G là trọng tâm ABC xA xB xC yA yB yC G ; 3 3
+ M’ đốic xứng 1 lo vớiai M vì quac AD.1 MM’ cắt AD tại I 2a 1 c . 1 c 0 c 2a 1 2a q uca M1 03;4 + MM ' MM ': 4x 3y 0  AD : 2x 4y 25 0 + I MM ' AD I 3; 4 M ' 9; 12 AB 2a 2 2 a 1 2 qua M ' 9; 12 + AB AB: x 2y 15 0  CH : 2x y 5 0 + A AB AD A 1; 7 AC 2a 2 2 c a 2 2a 2 2 a 1 2 B AB: x 2y 15 0 B 15 2b;b Có AB 2AM 15 2b 1 2 b 7 2 2 3 1 2 4 7 2 BC c 1 2 2a 2 2 vì c 2a 1 Có: AB AC BC 2 2 5 2a 2 2 a 1 2 2a 2 2 a 1 2 2a 2 2 2 2 5 2 5 a 1 2 2 a 1 2 2 2 5 5. a 1 a 1 1 5 a 1 1 a 0 a 1 1 a 1 1 a 2 - Với 2 a 0 A 2;0 C 0;1 G ;0 3 - Với 2 a 2 A 2;2 C 0; 3 G ; 2 3 Đáp án C. Ví dụ 17: Trong mặt phẳng Oxy, ABC có phân giác trong AD, đường cao CH lần lượt có phương tình 3x 4y 25 0 và 2x y 5 0 . M 3;4 là trung điểm của AC. Điểm B thuộc cung phần tư thứ mấy? Biết AB 2AM . A. II và IV B. I và IIIC. I và IV D. II và III Lời giải STUDY TIP B 0 A B A B A B
2 2 4c 12 6c 8 2c 4 4. b 7 b 7 + d 2C.5;A5B 10 5 2 2 1 6 37 2 1 b 3 1 2c 4 5. b 7 10 5+ S b 7 .1d0 C ;A B .AB 74 . . 37 74 ABC 2 b 17 2 37 2c 4 148 c 72 - Với 2c 4 148 2c 4 148 c 76 b 3 B 21;3 - Với c 72 C 276;72 - Với - Với c 76 C 316; 76 b 17 B 19; 17 Có P 1 276.72 19872 P2 316 . 76 24016 Pmax 24016 Đáp án A. Vậy điểm B thuộc cung phần tư thứ II và IV. Đáp án A. Lưu ý: Chúng ta có thể tìm điểm B qua biểu thức AB AC (vì AB AC 2AM ). Bạn đọc tự giải Ví dụ 18: Trong mặt phẳng Oxy, ABC có A 2;1 , B 4;2 . C d : x 4y 12 0 . S ABC 74 . Tìm giá trị lớn nhất của P xC.yC A. 20416 B. 87216C. 19872D. 5472 Lời giải + A 2;1 , B 4;2 AB 37 + qua A 2;1 AB AB: x 6y 8 0 qua B 4;2 + C d : x 4y 12 0 C 4c 12;c
Ví dụ 19: Trong mặt phẳng Oxy, ABC có A 0; 1 , B 3;0 . Trung điểm I của AC nằm trên đường thẳng d : x y 0 . S ABC 10 . Điểm C thuộc cung phần tư thứ IV thì yC ? 9 11 7 13 A. B. C. D. 2 2 2 2 Lời giải qua A 0; 1 x 0 y 1 + AB AB: AB: x 3y 3 0 qua B 3;0 3 1 + A 0; 1 , B 3;0 AB 10 + I d : x y 0 I a; a C 2a;1 2a 2a 3 1 2a 3 8a 6 + d C;AB 10 2 2 10 STUDY TIP a 3 Cho điểm M x ; y và 13 0 0 a 8a 6 20 4 đường thẳng 8a 6 20 8a 6 20 7 a : Ax By C 0 4 Ax By C d M; 0 0 13 13 11 2 2 - Với a C ; A B 4 2 2 7 7 9 - Với a C ; 4 4 2 11 Vì C thuộc cung phần tư thứ IV y C 2 Đáp án B. Ví dụ 20: Trong mặt phẳng Oxy, ABC vuông cân tại A. Cạnh huyền nằm trên đường thẳng : 2x y 8 0 . Điểm M 2; 1 thuộc đường thẳng AB. Điểm 3 N ;4 thuộc đường thẳng AC. Phương trình đường thẳng AB có dạng: 2 ax by c 0 . Tìm tọa độ điểm A biết a kb k 0 69 67 A. A ; B. A 3,45;3,35 C. A 0,05;0,35 D. Cả A và B 20 20 Lời giải ABC vuông cân tại A AB và AC đều tạo với đường thẳng một góc 450
Giả sử d là đường thẳng tạo với một góc 450  d có VTCP n1 a;b  có VTPT n2 2;1   n1.n2 2a b 2 2a b Ta có: cos 450   2 2 2 2 2 2 2 n1 . n2 a b . 2 1 5. a b 1 STUDY TIP a b 10a 2 10b2 4 4a 2 b2 4ab 6a 2 16ab 6b2 0 3 Đường thẳng d có  a 3b VTPT n1 1 + Với a b . Chọn a 1; b 3 d : x 3y c 0 Đường thẳng có 3  VTPT n 2 M 2; 1 d c 1 AB: x 3y 1 0 Gọi là góc tạo bởi + Với a 3b . Chọn a 3; b 1 d : 3x y c' 0 hai đường thẳng 3 1 1   N ;4 d c' AC : 3x y 0 n1.n2 2 2 2 cos   n1 . n2 1 7 A AB AC A ; 20 20 Đáp án C. Ví dụ 21: Trong mặt phẳng Oxy, ABC có A 2; 1 ; B 4;0 ; C 6;m . G là trọng tâm ABC. Tìm m để GBC vuông tại G. A. Không có giá trị nào của m.B. m 49 1  C. m ;1 D. m 47 2  Lời giải STUDY TIP + G là trọng tâm tam giác ABC   ABC vuông tại A 1 m 1 m 2m 1 G 4; ; GB 0; ; GC 2;   3 3 3 AB.AC 0   1 m 2m 1 + Để ABC vuông tại G GB.GC 0 0.2 . 0 3 3 m 1 2 1 m . 2m 1 0 2m m 1 0 1 m 2 Đáp án C.
Ví dụ 22: Trong mặt phẳng Oxy, ABC vuông tại A. H là hình chiếu của A lên cạnh BC. D là điểm đối xứng của B qua H. Kl là hình chiếu của C lên AD. H 2; 4 ; K 7; 1 . Trung điểm AC nằm trên đường thẳng d : x y 4 0 . Điểm A thuộc cung phần tư thứ mấy? A. II B. IIIC. IVD. I Lời giải AC + Gọi I là trung điểm AC. Có IH IK IH2 IK2 2 a 2 2 a 8 2 a 7 2 a 5 2 a 2 4a 4 a 2 16a 64 a 2 14a 49 a 2 10a 25 1 1 17 24a 6 a I ; 4 4 4 + AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến. ABD cân tại A AH là đường phân giác H· AB H· AD 1 + A· HC A· KC 900 A; H; K; C thuộc đường tròn tâm I bán kính IA. 1 + Có: H· AB H· KA sđ A»H 2 2 STUDY TIP · · BA BD, CA CD Từ (1) và (2) HKA HAD AHK cân tại H HA HK A và D đối xứng Mặt khác: IA IK A đối xứng với K qua IH nhau qua BC 1 17 qua I ; 4 4 + IH IH : x 7y 30 qua H 2; 4 qua K 7; 1 + Giả sử A a;b . AK AK : 7x y 50 0  IH : x 7y 30 0 Có trung điểm AK thuộc IH và AK  IH nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 29 7a b 50 0 a 5 29 47 a 7 b 1 A ; 7. 30 0 47 5 5 2 2 b 5 Đáp án C. II. Một số bài toán sử dụng tính chất hình học phẳng
Bài toán 1: Cho ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I có H, G lần lượt là trực tâm và trọng tâm, D là giao điểm của AH và (C). Chứng minh rằng: a) D đối xứng với H qua BC.   b) AH 2IM (M là trung điểm của BC).  2  c) HG HI (G, H, I thẳng hàng – đường thẳng Euler). 3 Chứng minh: µ ¶ » a) Ta có: B1 A2 (cùng chắn cung DC) ¶ ¶ µ B2 A1 (cùng phụ với C1 ) µ ¶ B1 B2 BHD cân tại B, mà BC  HD H đối xứng với D qua BC (đpcm) b) Gọi A ' AI  C BH / /A 'C (cùng vuông góc với AC) CH / /A 'C (cùng vuông góc với AB) BHCA ' là hình bình hành Mà M là trung điểm của B M là trung điểm của HA’   MI là đường trung bình trong AHA ' AH 2IM (đpcm)  2  c) G là trọng tâm ABC AG AM 1 3  2  Xét AHA ' có AM là trung tuyến mà AG AM theo (1) 3 G là trọng tâm AHA ' mà HI là đường trung tuyến trong AHA '  2  HG HI (đpcm) 3 Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có đỉnh A 1; 3 ;H 1; 1 và I 2; 2 lần lượt là trực tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC. Tìm phát biểu sai? A. Tọa độ trung điểm của BC là M 3; 1 . B. Chân đường cao của ABC hạ từ A là K 2;0 . 2 2 C. Tọa độ trọng tâm G của ABC là G ; 3 3
5 5 D. Tọa độ trọng tâm G của ABC là G ; 3 3 Lời giải   2 2 x 2 x 3 + Gọi M x; y mà AH 2IM M 3; 1 A đúng 2 2 y 2 y 1 + Gọi D là giao điểm thứ 2 của AH với đường tròn (C) ngoại tiếp ABC. (C) có tâm I 2; 2 , bán kính IA 10 C : x 2 2 y 2 2 10 AH : x y 2 0 x 3 2 2 x 2 y 2 10 y 1 Xét hệ D 3;1 do A 1; 3 x y 2 0 x 1 y 3 Mà K là trung điểm của HD K 2;0 B đúng 2 5 x 1 2 1 x  2  G 3 G 3 5 5 + Ta có: HG HI G ; D đúng. 3 2 5 3 3 y 1 2 1 y G 3 G 3 Đáp án C. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có đỉnh A 3; 7 , trực tâm là H 3; 1 , tâm đường tròn ngoại tiếp I 2;0 , biết C a;b với a > 0. Khi đó giá trị a b là: A. 1 65 B. 1 65 C. 5 65 D. 5 65 Lời giải   + Ta có AH 2IM với M x; y là trung điểm BC. 0 2 x 2 x 2 M 2;3 6 2y y 3  + BC đi qua M 2;3 và vuông góc với MI vecto pháp tuyến MI 0; 3 BC : y 3 + Gọi C BC C t;3 ( t 0 tham số) Mà CI AI CI 74 1 2 2 32 74
t 2 65 tm C 2 65;3 a b 1 65 t 2 65 loai Đáp án A. Lưu ý: Yêu cầu bài toán tìm tọa độ C nên ta sẽ viết phương trình đường thẳng qua C, rồi tham số hóa C theo đường thẳng tìm được (ở đây là đường thẳng BC). Dựa vào giả thiết lập phương trình với ẩn là tham số của C, suy ra kết quả. Bài toán 2: Cho ABC, E, F, D lần lượt là chân đường cao hạ từ B, C, A; I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, H là trực tâm. Chứng minh rằng: a) AI  EF, BI  FD và CI  DE b) DH là phân giác của E· DF . Từ đó suy ra H là tâm của đường tròn nội tiếp DEF Chứng minh a) Kẻ tiếp tuyến At của đường tròn (C) ngoại tiếp ABC At  AI Có t·AB A· CB 1 (góc tạo bới tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn A»B ) Lại có B· EC B· FC 900 BFEC nội tiếp đường tròn. E· CB E· FA 2 (cùng bù với E· FB) Từ (1) và (2) có t·AB E· FA At / EF (góc so le) EF  AI At  AI đpcm. b) Ta có tứ giác BFHD nội tiếp (F, D nhìn BH dưới một góc vuông) H· DF H· BF 3 (cùng chắn cung F»H của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFHD) Tứ giác AEDB nội tiếp (E, D cùng nhìn AB dưới một góc vuông) E· AB E· DA 4 (cùng chắn cung A»E của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEDB) Từ (3) và (4) H· DF E· DA HD là đường phân giác của góc E· DF Tương tự HE, HF lần lượt là phân giác của góc F· ED và E· FD H là trực tâm đường tròn nội tiếp EFD Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x 1 2 y 1 2 25 ngoại tiếp ABC có tọa độ chân đường cao hạ từ B và C lần lượt là E 0;2 và F 1;2 . Khi đó tọa độ đỉnh A a;b với b 0 thì a 2 2b là: A. – 9 B. 9 C. –11 D. 11
Lời giải Tâm đường tròn (C) nội tiếp ABC là I 1;1 , bán kính R 5  Vì AI  EF AI qua I 1;1 và có vecto pháp tuyến EF 1;0 AI : x 1 x 1 Mà A C  AI tạo độ A là ngiệm của hệ: 2 2 x 1 y 1 25 x 1 ktm y 6 A 1; 4 a 2 2b 1 8 9 x 1 tm y 4 Đáp án B. Lưu ý: Ta có thể tìm tọa độ điểm A bằng cách tham số hóa A theo AI rồi tính AI R AI 5 tọa độ A. Ví dụ 2: Cho ABC, D 3; 1 ; E 3;2 ; F 1;2 lần lượt là chân đường cao hạ từ A, B, C. Khi đó đường thẳng AC có phương trình là: A. x y 1 0 B. x y 1 0 C. x y 5 0 D. x y 5 0 Lời giải + Ta có BE là phân giác của góc D· EF (tính chất) ED : x 3 0 EF : y 2 0 đường phân giác tạo bởi ED và EF là: STUDY TIP x y 1 0 1 x 3 y 2 2 đường phân giác của x y 5 0 2 góc tạo bởi 2 đường + Xét vị trí tương đối của D và F với 1 được: thẳng cắt nhau thì 3 1 1 1 2 1 12 0 vuông góc với nhau D, F nằm về hai phía của 1 1 là đường BE. Mà AC  BE AC là đường 2 : x y 5 0 Đáp án D. Bài toán 3: Cho ABC có I, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp, gọi D là giao điểm thứ 2 của đường tròn ngoại tiếp ABC với đường thẳng AJ. Chứng minh rằng: a) DI  BC b) D là tâm đường tròn ngoại tiếp của JBC
Chứng minh a) Ta có B· AD C· AD D¼mB D¼nC 1 D nằm giữa cùn BC DI  BC (tính chất bán kính dây cung) b) Gọi E là giao điểm thứ 2 của CJ với đường tròn ngoại tiếp ABC A¼pE B¼qE 2 Từ (1) và (2) D¼mB B¼qE D¼nC A¼pE D¼BE C¼nD A¼pE E· CD C· JD DJC cân tại D. ¶ ¶ DC DJ mà DC DB A1 A2 DC DJ DB D là tâm đường tròn ngoại tiếp CJB Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có A 3;4 , đường phân giác trong góc A là d : x y 1 0 ; tâm đường tròn ngoại tiếp I 1;7 . Khi đó hệ số góc của đường thẳng BC là: 3 4 3 4 A. k B. k C. k D. k 4 3 4 3 Lời giải Đường tròn (C) ngoại tiếp ABC có tâm I 1;7 và bán kính R AI 5 C : x 1 2 y 7 2 5 Gọi D là giao điểm thứ hai của d : x y 1 0 và (C) x 2 x y 1 0 y 3 tọa độ điểm D thỏa mãn hệ D 2;3 2 2 x 1 y 7 5 x 3 y 4 Tọa độ D 3;4  A (loại)  I 1;7 , D 2;3 DI 3;4 . BC  DI Vecto pháp tuyến của BC là  DI 3;4 Vecto chỉ phương của BC là u 4; 3 3 Hệ số góc k 4 Đáp án C.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có A 2;3 ; I 6;6 ; J 4;5 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của ABC. Khi đó phương trình đường thẳng BC là: A. 3x 4y 42 0 B. 3x 4y 42 0 C. 3x 4y 42 0 D. 3x 4y 42 0 Lời giải I 6;6 2 2 Đường tròn C1 ngoại tiếp ABC có C1 : x 6 y 6 25 R IA 5 AJ : x y 1 0 qua A,J Gọi D là giao điểm của C1 với AJ Tọa độ điểm D là nghiệm của hệ: x 2 D 2;3  A ktm x y 1 0 y 3 2 2 x 6 y 6 25 x 9 D 9;10 tm y 10 Mà DJ BD DC (tính chất) BC nằm trên đường tròn C2 có tâm D 9;10 bán kính R DJ 5 2 2 2 C2 : x 9 y 10 50 2 2 x 6 y 6 25 1 Tọa độ B, C thỏa mãn hệ: 2 2 x 9 y 10 50 2 Lấy (1) trừ (2) 3x 4y 42 0 phương trình đường thẳng BC: 3x 4y 42 0 Đáp án A. Bài toán 4: Tính chất 1: Cho ABC vuông tại A; F; E lần lượt là trung điểm HC, HA (H là chân đường cao hạ từ A). Khi đó BE  AF Chứng minh Ta có: FE / /AC (đường trung bình trong HAC ) EF  AB (vì AB  AC ) Lại có AE  BC ABF có E là trực tâm BE  AF (đpcm)
Ví dụ 1: Cho ABC vuông tại A, H là chân đường cao hạ từ A của ABC. F là trung điểm của HC, biết A 1;2 ; H 3; 4 ; F 3; 5 . Khi đó đường trung tuyến hạ từ đỉnh B của ABH có phương trình là: ax by 11 0 thì a b là A. – 3 B. 3 C. 11D. – 11 Lời giải Gọi E là trung điểm của AH E 1; 1 đường cần tìm là BE Dựa vào tính chất 1 BE  AF BE qua E 1; 1 và có vecto pháp tuyến  AF 4; 7 BE : 4 x 7 y 11 0 a b 4 7 3 Đáp án B. Tính chất 2: Cho hình vuông ABCD tâm I. M, N lần lượt là trung điểm của AB, IC. Khi đó MN  ND . Chứng minh Gọi E là trung điểm của DI NE / /DC NE  AD (chứng minh tương tự với tính chất 1) E là trực tâm ADN AE  DN 1 1 NE DC NE / /AM Lại có 2 AMNE là hình bình hành NE AM NE / /DC MN / /AE 2 Từ (1), (2) MN  DN (đpcm) Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của AB, N là một điểm thuộc AC sao cho AN 3NC . Tính diện tích tam giác AMN biết M 1;2 , N 2; 1 . 10 A. 10 B. 5 2 C. D. 5 2 Lời giải Theo tính chất 2 MN  DN tứ giác AMND nội tiếp D· AN D· MN (cùng chắn cung DN) Mà A· DN 450 D· MN 450 DMN vuông cân tại N 1 1 1 2 S DN.MN MN2 10 5 DMN 2 2 2 Đáp án D.
Tính chất 3: Cho hình chữ nhật ABCD, H là hình chiếu của B lên AC. M, N lần lượt là trung điểm của AH, DC. Khi đó BM  MN . Chứng minh Gọi E là trung điểm của BH, theo tính chất 1 ta có: CE  BM 1 ME / /AB và ME AB (là đường trung bình trong HBA ) 2 ME / /NC và ME NC MECN là hình bình hành MN / /EC mà EC  BM MN  BM (đpcm) 1 Tính chất 4: Hình thang vuông ABCD vuông tại A, D; AB CD . H là chan 2 đường vuông góc hạ từ D xuống AC, M là trung điểm của HC. Khi đó BM  DM . Chứng minh Gọi E là trung điểm của HD, theo tính chất 1 ta có: AE  DM 1 Ta có EM / /DC và EM DC AEMB là hình bình hành 2 AE / / BM BM  DM (đpcm) 6 7 Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có H ; là chân 5 5 đường cao hạ từ A lên BD, trung điểm BC là M 1;0 . Phương trình đường trung tuyến kẻ từ A của ADH là 7x y 3 0. Tọa độ đỉnh D a;b . Khi đó A. a b 3 B. a b 1 C. a b 1 D. a b 3 Lời giải Gọi N là trung điểm của HD AN : 7x y 3 0 Theo tính chất 3 AN  MN MN qua M 1;0 và vuông góc với AN MN : x 7y 1 0 2 1 Mà N MN  AN N ; 5 5 N là trung điểm của HD D 2; 1 a b 1 Đáp án C.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A, B; AD 2BC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BD và E trung điểm của 5 HD. Giả sử H 1;3 , AE : 4x y 3 0 và C ;4 . Khi đó phương trình 2 đường thẳng AB là: A. x 2y 3 0 B. x 2y 3 0 C. x 2y 3 0 D. x 2y 3 0 Lời giải Theo tính chất 4 ta có: AE  CE CE : x 4y c 0 5 5 27 CE qua C ;4 4.4 c 0 c CE : 2x 8y 27 0 2 2 2 3 E AE  CE E ;3 2 E là trung điểm của HD D 2;3 BD : y 3 0 AH : x 1 0  A AE  AH A 1;1 AB qua A 1;1 và vecto pháp tuyến AD 1;2 AB: 1 x 1 2 y 1 0 x 2y 3 0 Đáp án C. Bài toán 5: Cho hình chữ nhật ABCD, M là điểm bất kì thỏa mãn MD  MB . Khi đó MA  MC Chứng minh MD  MB M thuộc đường tròn đường kính BD M, B, C, A, D cùng thuộc đường tròn đường kính BD cũng là đường tròn đường kính AC MA  MC Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật ABCD có A 1;5 điểm C d : x 3y 7 0 . M là 5 1 điểm nằm trên tia đối của tia BC, N là hình chiếu của B lên MD. Biết N ; 2 2 tọa độ điểm C a;b . Tính a b A. – 1 B. 1 C. 3 D. – 3 Lời giải Hình chữ nhật ABCD có NB  ND NA  NC (bài toán 5)  7 9 NC qua N và có vecto pháp tuyến NA ; NC : 7x 9y 13 0 2 2 Do C NC  d C 2; 3 a b 1
Đáp án A. III. Một số bài toán cực trị Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x 1 2 y 1 2 13 và điểm M 5; 3 . Tìm trên (C) điểm N a;b sao cho khoảng cách từ N đến M là lớn nhất. Khi đó a b là: A. 3 B. –3 C. 7 D. –7 Lời giải Đường tròn (C) có tâm I 1;1 , bán kính R 13 IM 62 42 52 R M nằm ngoài (C) x 1 3t STUDY TIP Đường thẳng d đi qua I 1;1 và M 5; 3 có phương trình y 1 2t Tìm trên đường tròn (C) Tọa độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của hệ: điểm có khoảng cách x 4 đến M là lớn nhất. x 1 3t x 1 3t y 3 - Bước 1: Viết phương y 1 2t y 1 2t x 2 2 2 2 2 trình đường thẳng MI. x 1 y 1 13 9t 4t 13 y 1 - Bước 2: Tìm giao d  C tại 2 điểm N1 4;3 và N2 2; 1 điểm N1, N2 của (C) và Ta có: MN MN N C thì MN MN MN MI. 1 2 2 1 MN đạt giá trị lớn nhất N N 4;3 a b 7 - Bước 3: So sánh MN1  1 và MN2 Kết luận Đáp án C. Lưu ý: Với bài này điểm N2 2; 1 là điểm thuộc (C) sao cho khoảng cách đến M là nhỏ nhất. Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x y 2 0 và các điểm A 2;1 ,B 1;3 . Tìm điểm M d sao cho MA MB đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó đường tròn tâm O đi qua M và có bán kính là: 5 10 244 A. R 2 B. R C. R 130 D. R 11 121 Lời giải Ta có: 2 1 2 1 3 2 0 A, B cùng một phía với đường thẳng d. Gọi A’ đối xứng với A qua đường thẳng d MA MA ' MA MB MA ' MB A 'B (không đổi) MA MB đạt giá trị nhỏ nhất là A 'B M A 'B d
Đường thẳng qua A và vuông góc với d : x y 1 0 STUDY TIP 1 ABC có cạnh a, b, c x x y 1 0 2 1 3 ta có: Xét hệ I ; x y 2 0 3 2 2 y a b c 2 1 b c a A’ đối xứng với A qua d I là trung điểm của AA’ A ' 3; 4 c a b A 'B: 7x 4y 5 0 a b c 13 2 b c a x 7x 4y 5 0 11 13 9 5 10 Xét hệ M ; OM R c a b x y 2 0 9 11 11 11 x 11 Đáp án B. Lưu ý: Nếu A, B không cùng phía với đường thẳng d MA MB AB (không đổi) MA MB đạt giá trị nhỏ nhất là AB M AB d Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : 2 x y 3 0 và hai điểm A 2; 1 ,B 0;2 . Khi đó điểm M thuộc d sao cho MA MB đạt giá trị lớn nhất có khoảng cách đến đường thẳng :3x 4y 5 0 là: 39 39 10 39 A. B. C. D. 7 35 9 5 Lời giải Xét 2.2 1 3 2.0 2 3 0 A, B nằm cùng phía với đường thẳng d Với đường thẳng d MA MB AB MA MB AB M AB d max Đường thẳng AB có phương trình: x 2 y 1 3x 6 2y 2 3c 2y 4 0 0 2 2 1 2 x 3x 2y 4 0 7 2 17 39 Xét hệ M ; d M; 2x y 3 0 17 7 7 35 y 7 Đáp án B. Lưu ý: Nếu A, B khác phía đối xứng với đường thẳng d, lấy A’ đối xứng với A qua đường thẳng d MA MB MA ' MB A 'B (không đổi) MA MB A 'B M A 'B d max STUDY TIP Bạn đọc có thể làm tương tự với bài toán tìm M d sao cho MA2 MB2 đạt giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.
theo một dây cung. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn C : x 2 2 y 3 2 8 . Đáp án A. Ví dụ 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho A 2;3 ,B 2;2 và đường thẳng Đường thẳng d qua M 3;2 cắt (C) theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất là: d : x 1 0 . Tìm M a;b trên d sao cho MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính A. x y 1 0 B. x y 1 0 C. x y 1 0 D. x 2y 1 0 Lời giải a b ? 3 3 5 5 Giả sử AB là dây A. B. C. D. 2 2 2 2 cung có M là Lời giải trung điểm. Khi đó d : x 1 mà M d M 1;m 2 2 2 2 2 2 2 d I;AB IM IH MA MB 3 m 3 1 m 2 2m 10m 23 (I là tâm của (C) m 5 và H là trung 2 điểm của một dây 2m2 10m 23 cung tùy ý qua M) 21 AB là dây 2 21 21 cung có độ dài MA2 MB2 MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ nhất là 2 2 nhỏ nhất 5 5 3 d qua M 2;3 m M 1; a b 2 2 2 và vuông góc với Đáp án B. IM Vecto pháp tuyến  IM 1; 1 phương tình đường thẳng d : x y 1 0 C có tâm I 2;3 , bán kính R 2 2 : IM 2 R M nằm trong (C) STUDY TIP Đường thẳng d : x y 1 0 A a;0 Ox ; thỏa mãn cắt (C) B 0;b Oy; a,b 0 x y AB: 1 a b STUDY TIP ax by2 a 2 b2 x2 y2 Dấu “=” xảy ra a b xy 0 x y
x y Phương trình AB: 1 x 6y 19 0 19 Ví dụ 6: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng qua 19 M 1;3 cắt các trục Ox, Oy 6 2 1 lần lượt tại A và B sao cho đạt giá trị nhỏ nhất có phương trình: Đáp án D. OA2 OB2 Lưu ý: A. x 6y 19 0 B. x 6y 19 0 + Với ví dụ trên ta phải khéo léo tách (1) như biểu thức (3) để khi sử dụng bất x y C. 1 D. đẳng thức Bunhiacopxkix 6choy 1ta9 biểu 0 thức (2) cần tìm. 19 19 + Ta có bài toán tổng quát: Viết phương trình đường thẳng đi qua M x ; y cắt Lời giải 0 0 m n Giả sử Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho m,n 0 đạt giá trị nhỏ nhất. OA2 OB2 x y A a;0 , B 0;b ; a,b 0 AB: 1 a b AB qua 1 3 M 1;3 1 1 a b Ta có: 2 1 2 1 2 OA2 OB2 a 2 b2 Từ 2 2 2 1 3 1 2 1 1 1 . 3. 3 a b 2 a b 1 2 1 9 2 2 a b (bđt Bunhiacopxki) 2 1 2 a 2 b2 19 Đẳng thức xảy ra khi 1 3 1 a b a 19 1 19 2 3 b 6 2 1 a b
đạt giá trị nhỏ nhất 0;  0 ta làm tương tự. Ví dụ 7: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua M 1;4 cắt các tia Ox, Oy Ví dụ 8: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua M 4;9 cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OA OB nhỏ nhất có phương trình là: lần lượt tại A, B sao cho diện tích AOB nhor nhất có phương trình là x y x y x y x y A. 1 B. ax by 17 2 C. 0 . Khi đó a b1 bằng:D. 1 3 6 6 3 3 6 1 2 A. 13 B. – 13 C. 26 D. – 26 Lời giải Lời giải Giả sử Giả sử A a;0 , B 0;b a 0;b 0 A a;0 ,B 0;b . x y 4 9 Vì d cắt các tia Phương trình AB: 1 qua M 1 a b a b Ox, Oy 4 9 4.9 12 a;b 0 1 2 1 ab 144 (bđt Cô-si) a b ab ab phương trình đường thẳng x y d : 1 a b d qua 1 4 M 1;4 1 a b OA OB a b Ta có 2 2 1 4 2 2 1 2 2 a b a b 1 2 9 a b 9 a b a b Dấu đẳng thức xảy ra 1 4 1 a b a 3 x y a b d : 1 b 6 3 6 1 2 a b Đáp án C. Lưu ý: Đối với bài toán tổng quát là tìm điều kiện để OA OB
4 9 1 a b a 8 Dấu đẳng thức xảy ra 4 9 b 18 a b x y AB: 1 9x 4y 72 0 8 18 d : 9x 4y 72 0 a b 9 4 13 Đáp án B. C. Bài tập rèn luyện kĩ năng Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC vuông Xem đáp án chi tiết tại trang tại A. H 2;3 là chân đường cao hạ từ A. Câu 1: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có E 4;1 ; F 1; 3 thuộc đoạn AH và BH sao cho điểm H 0;4 ; I 2; 4 ;K 0;2 lần lượt là trực 2 1 EH AH, BF BH . Đường thẳng AC có tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, chân đường cao 3 3 hạ từ A. Tìm tung độ lớn nhất của 3 điểm A, B, dạng ax by c 0 . Tính a b c biết a, b, c là C. các số nguyên tố cùng nhau. A. 8B. 2C. – 6 D. 0 53 A. B. – 47 C. 77D. 26 Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có trực 3 tâm H 1;2 . Gọi D, E, F lần lượt là chân đường Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có tâm I 0;1 . Trung điểm của cạnh AB cao hạ từ A, B, C của ABC và O 0;0 là trung điểm của BC. Đường thẳng chứa BC : x 2y 0 ; là M 0;3 . Trung điểm IC là E 1;0 . Tính chu EF : 2x 3y 14 0 . Tọa độ điểm A a;b . Tính vi của hình vuông ABCD. A. 16B. 16 2 C. 32D. 8 P 7a b . Câu 6: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có 53 58 10 22 A. B. C. D. 7 7 7 7 A 2;3 , I 4; 1 là tâm đường tròn ngoại tiếp Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC ngoại ABC. Trung điểm của BC là M 1; 4 . Tìm tiếp đường tròn tâm J 2;1 . Biết đường cao xuất khẳng định đúng? phát từ A của ABC có phương trình A. Tọa độ trực tâm H 12; 7 d : 2x y 10 0 và D 2; 4 là giao điểm thứ B. Tọa độ chân đường cao hạ từ A là K 6; 5 hai của AJ với đường tròn ngoại tiếp ABC. Khi C. Trọng tâm G của ABC thuộc cung phần tư đó hệ số góc của phương trình đường thẳng AC là thứ IV. bo nhiêu biết B có hoành độ âm và B thuộc 4 5 đường thẳng : x y 7 0 . D. Tọa độ trọng tâm G ; 3 3 1 1 A. B. 2C. – 2 D. Câu 7: Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật 2 2 ABCD có H 3;0 là hình chiếu vuông góc của A
trên đường thẳng BD. Trung điểm BC là ngoại tiếp tam giác ABC là J 2;4 , biết bán K 0; 2 . Phương trình đường trung tuyến đi qua kính đường tròn ngoại tiếp ABC là R 2 và A của ADH là d : 7x 9y 47 0 . Tính diện hoành độ của điểm A nhỏ hơn 1. Khi đó phương tích tam giác AMK với M là trung điểm của DH. trình đường thẳng BC là: 15 13 85 65 15 5 A. 4x 29 0 B. 4x 53 0 A. B. C. D. 4 4 4 4 C. y 1 D. 32x 16y 77 0 Câu 8: Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang Câu 12: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng vuông ABCD ( B· AD A· DC 900 có đỉnh d : x 2y 4 0 và các điểm A 1; 4 ;B 3;7 . D 2;2 ; CD 2AB ). Gọi H là hình chiếu vuông Điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA MB góc của D lên đường chéo AC. Điểm đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó xM yM 22 14 53 1 1 5 M ; là trung điểm HC. Trung điểm E của A. B. C. D. 5 5 10 2 2 2 HD thuộc cung phần tư thứ mấy biết đỉnh B Câu 13: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng thuộc đường thẳng : x 2y 4 0 d : 2x y 7 0 và các điểm A 1;3 ;B 5; 1 . A. IVB. IIIC. IID. I Điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA MB Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy cho hình nhật đạt giá trị lớn nhất. Khi đó bán kính R của đường ABCD có điểm C thuộc đường thẳng tròn (C) tâm I 3; 5 đi qua M là: d :3x y 6 0 và đỉnh A 3;9 . E là điểm đối 6 170 373 xứng với B qua C. Hình chiếu vuông góc của B A. 2 37 B. C. 6 2 D. 5 5 trên ED là F 6; 3 . Khi đó diện tích hình chữ Câu 14: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng nhật ABCD là: d đi qua M 5; 2 cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A 105 21 5 A. B. 105 C. 21 5 D. 25 4 2 2 và B sao cho 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất. OA OB Câu 10: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có Khi đó đường thẳng d vuông góc với đường D 2; 2 ; E 2;1 ; F 1; 2 lần lượt là chân thẳng nào sau đây? đường cao hạ từ đỉnh A, B, C. Khi đó tọa độ trực A. 2x 5y 20 0 B. 5x 2y 7 0 tâm của ABC: C. 2x 5y 9 0 D. 4x 10y 8 0 5 2 10 5 2 10 10 10 Câu 15: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A. H ; B. H ; 4 10 4 10 2 2 A 1;2 ; B 1;1 và đường thẳng d : x y 1 0 . 7 7 7 7 2 2 C. H ; D. H ; Tìm M a;b thuộc d sao cho MA 3MB đạt 5 5 5 5 a Câu 11: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC có giá trị lớn nhất. Khi đó b phương trình đường phân giác trong góc a là 3 5 A. – 5 B. 5C. D. d : x 2y 6 0 . Tâm I 2;1 là tâm đường tròn 2 3
Câu 16: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn Câu 21: Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật C : x 2 2 y 3 2 5 . Điểm M 4;7 thỏa ABCD có đường thẳng CD: 3x 4y 1 0. Điểm mãn trên (C) lấy N sao cho khoảng cách từ N đến I 2;3 thuộc đoạn AC sao cho IA 2IC, biết M đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó N thuộc đường AB 2BC và điểm C có hoành độ nguyên là xC thẳng nào sau đây? khi đó: A. x 2y 1 0 B. x y 2 0 21 A. xC B. xC 1 C. x 2y 1 0 D. x y 2 0 5 Câu 17: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng C. xC 1 D. xC 4 d đi qua M 3;1 cắt các tia Ox, Oy lần lượt tại A Câu 22: Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang ABCD với hai đáy AB, CD và CD 2AB . Gọi H và B sao cho 3OA 4OB nhỏ nhất có phương là chân đường vuông góc hạ từ D xuống AC và trình là x by c 0 với b, c là các số nguyên. M là trung điểm HC. Đỉnh B 4;5 , phương trình Khi đó b c ? đường thẳng DH: x y 0 và đường thẳng DM: A. –8 B. 8C. –3 D. 7 Câu 18: Trong mặt phẳng Oxy cho M 6;8 2 3y 5 0 . Tọa độ điểm A a;b . Khi đó đường thẳng d đi qua M cắt các tia Ox, Oy lần a b 16 97 59 lượt tại A, B sao cho diện tích AOB đạt giá trị A. 26B. C. D. 3 6 6 nhỏ nhất. Khi đó hệ số góc của đường thẳng d là: Câu 23: Trong mặt phẳng Oxy cho hình thoi 3 4 3 4 A. B. C. D. 4 3 4 3 ABCD biết phương trình đường chéo là Câu 19: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn 3x y 7 0; B 0; 3 , diện tích hình thoi là 20 C : x 3 2 y 5 2 36 . Phương trình đường (đvdt). Khi đó tọa độ đỉnh A 2;b thì: thẳng d đi qua M 1;4 cắt (C) theo một dây A. b 5 B. b 4 C. b 2 D. b 1 Câu 24: Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình cung có độ dài nhỏ nhất là 1 vecto pháp tuyến là: hành ABCD có diện tích là 6 và 2 đỉnh A 1; 2 ; A. n 4;1 B. n 1; 4 B 2; 3 . Khi đó tọa độ đỉnh D a;b thì a b C. n 4; 1 D. n 1;4 bằng: (biết giao điểm 2 đường chéo nằm trên Ox Câu 20: Trong mặt phẳng Oxy cho hình thang và có hoành độ dương) cân ABCD có 2 đường chéo vuông góc với nhau A. –5 B. 5C. 10D. –7 và AD 3BC . Đường thẳng BD có phương trình Câu 25: Trong mặt phẳng Oxy cho x 2y 6 0 và ABD có trực tâm H 3;2 . C : x2 y2 2 , phương trình tiếp tuyến của (C) Phương trình đường thẳng CD có dạng là : a x by 2 0 cắt tia Ox, Oy lần lượt tại A x y c 0 với c ¢ . Khi đó giá trị c là: và B cho diện tích tam giacs ABC đạt giá trị nhỏ A. 5B. –41 C. –5 D. 41 nhất. Khi đó a b bằng
1 A. 2B. 4C. 1D. 2