Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HSG MÔN TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2020 -2021 Thời gian làm bài: 180 phút Không tính thời gian phát đề ĐỀ BÀI 3 Bài 1 (4 điểm). Cho hàm số y x3 mx2 m3 có đồ thị (C ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để 2 m hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABO có diện tích bằng 32 (với O là gốc tọa độ). Bài 2 (6 điểm). 1. Giải phương trình x 3 1 4x 3 2x 1 3 2 y y x 2 (1) 2. Giải hệ phương trình 3 2 2 8y 3y 2x 3 2x y 7 7 (2) Bài 3 (2 điểm). Cho đa giác đều 30 đỉnh A1, A2 , , A30 . Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 30 điểm A1, A2 , , A30 đồng thời không có cạnh nào là cạnh của đa giác. Bài 4 (3 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 1. Gọi M , N là hai điểm thay đổi lần lượt trên các cạnh AB, A D sao cho đường thẳng MN tạo với mặt phẳng ABCD một góc bằng 60 . 1. Tính độ dài đoạn thẳng MN . 2. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và CC . 1 2 Bài 5 (3 điểm) Cho dãy số un xác định bởi u1 6,un 1 un 4un 9 ;n 1,2, 2 1. Chứng minh dãy số là dãy số tăng. 1 1 1 1 2. Chứng minh . u1 1 u2 1 u2020 1 3 Bài 6 (2 điểm). Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a2 b2 c2 ab bc ca 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (a b)(b c)(c a). Hết
2. LỜI GIẢI THAM KHẢO 3 Bài 1. Cho hàm số y x3 mx2 m3 có đồ thị (C ) . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có 2 m hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABO có diện tích bằng 32 (với O là gốc tọa độ). Lời giải Ta có y 3x2 3mx 3x(x m) . Để hàm số có hai điểm cực trị thì m 0 . Với m 0 . 3 1 3 Không mất tính tổng quát gọi A(0;m ) , B m; m . Ta có 2 1 1 AB m2 m6 m 4 m4 . 4 2 3 x 2 y m Đường thẳng qua hai điểm cực trị A, B là m2 x 2y 2m3 0 . 1 m2 2m3 Suy ra khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là d O; AB . m4 4 2m3 1 1 1 4 Theo giả thiết ta có S ABO 32 AB.d O; AB 32 . m 4 m . 32 2 2 2 m4 4 m 4 64 m 2 2 m 2 2 (thỏa mãn). Vậy m 2 2 . Bài 2 1. Giải phương trình x 3 1 4x 3 2x 1 Lời giải 3 ĐK: x . 4 Với đk trên, PT tương đương với (2x 1 4x 3) (x 2x 1) x 3 3x 2 0 (2x 1)2 (4x 3) x 2 (2x 1) (x 1)2.(x 2) 0 2x 1 4x 3 x 2x 1 4 1 (x 1)2.( x 2) 0 2x 1 4x 3 x 2x 1 (x 1)2 0 x 1 4 1 x 2 0 2x 1 4x 3 x 2x 1 3 4 1 Vì x nên x 2 0 do đó phương trình có nghiệm duy nhất 4 2x 1 4x 3 x 2x 1 x 1. 3 2 y y x 2 (1) 2. Giải hệ phương trình 3 2 2 8y 3y 2x 3 2x y 7 7 (2) Lời giải
3. PT(1) y 3 y 2 x 2 0 (y 1)(y 2 y 2) 0 y 1 PT(2) (2y )3 (2y ) ( 3 2x 2 y 7)3 3 2x 2 y 7 (3) Xét hàm số đặc trưng f (t ) t 3 t với t 2. Ta có f '(t ) 3t 2 1 0,t 2 f (t ) đồng biến trên khoảng 2; Từ đó PT(3) f (2y ) f ( 3 2x 2 y 7) 2y 3 2x 2 y 7 8y 3 2x 2 y 7 8y 3 y 7 x 2 thế vào PT(1) ta được 2 8y 3 y 7 y 3 y 2 2 (y 1)(2y 2 2y 1) 0 y 1 x 0. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y ) (0;1). Bài 3 (2 điểm): Cho đa giác đều 30 đỉnh A1, A2 , , A30 . Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 30 điểm A1, A2 , , A30 đồng thời không có cạnh nào là cạnh của đa giác. Lời giải 3 * Ta có số tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm trong 30 điểm A1, A2 , , A30 là C30 . * Ba đỉnh liên tiếp của đa giác đều A1 A2 A30 xác định một tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của đa giác đó. Đó là các tam giác A1 A2 A3 , A2 A3 A4 , , A30 A1 A2 . Vậy có 30 tam giác loại này. * Xét tam giác có một cạnh bất kỳ của đa giác đều A1 A2 A30 . Xét một cạnh của tam giác là A1 A2 bỏ đi hai đỉnh kề là A3 và A30 , 26 đỉnh còn lại cùng với A1 A2 tạo nên 26 tam giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác đều A1 A2 A30 . Vậy có 30.26 tam giác loại này. 3 Khi đó số tam giác thỏa mãn là C30 30 30.26 3250 (tam giác). Bài 4 (3 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng 1. Gọi M , N là hai điểm thay đổi lần lượt trên các cạnh AB, A D sao cho đường thẳng MN tạo với mặt phẳng ABCD một góc bằng 60 . 1. Tính độ dài đoạn thẳng MN . Lời giải
4. B' C' N A' D' M B C K A H D Kẻ NH  AD . Vì ABCD.A B C D là hình lập phương nên NH  ABCD MH là hình chiếu vuông góc của MN trên mặt phẳng ABCD . Suy ra góc giữa MN và mặt phẳng ABCD là góc N· MH N· MH 60. Xét tam giác MNH có N· HM 90, NH AA a và N· MH 60 NH 1 2 MN . sin N· MH sin 60 3 2 3 Vậy MN . 3 2. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và CC . Ta có CC / /DD / /(MNH ) d CC , MN d C,(MNH ) Kẻ CK  MH tại K thì d C, MNH CK Đặt AM x; A' N y AH y 0 x 1;0 y 1 1 1 1 S 1;S xy;S 1 y ;S 1 x ABCD AMH 2 DHC 2 BMC 2 1 1 S MHC 1 xy 1 x 1 y x y xy 2 2 2S MNPC x y xy d MN ,CC ' CK MH x2 y2 Mặt khác do: HN 3 H· MN 600 , HN 1 MH x2 y2 tan 600 3 d MN ,CC ' 3 x y xy
5. 2 1 x y 1 2 1 Từ x2 y2 x y 2xy xy 3 3 3 2 Mặt khác ta có: 2 2 2 2 2 2 x y 4xy x y 2 x y x y 3 3 6 0 x y do x 0; y 0 3 2 1 x y 3 Từ đó: d MN ,CC ' 3 x y xy 3 x y 2 6 Đặt t x y 0 t 3 3 2 1 6 d MN ,CC ' t 2t f t ,t 0; 2 3 3 3 6 f ' t 2t 2 0,t 0; 2 3 6 3 f t f 2 3 6 3 6 6 Vậy giá trị lớn nhất của: d 2 khi x y x y MN ,CC ' 6 3 6 1 2 Bài 5. Cho dãy số un xác định bởi u1 6,un 1 un 4un 9 ;n 1,2, 2 1. Chứng minh dãy số là dãy số tăng. 1 1 1 1 2. Chứng minh . u1 1 u2 1 u2020 1 3 Lời giải 1 2 1 2 1) Ta có un 1 un un 6un 9 un 3 . 2 2 2 Do u1 6 u1 3 3 0 nên un 3 0 un 1 un 0 un 1 un Vậy un là dãy số tăng. 1 2 1 2) Ta có un 1 3 un 4un 3 un 3 un 1 . 2 2 1 2 Suy ra un 1 3 un 3 un 1
6. 1 1 1 un 1 3 un 3 un 1 1 1 1 un 1 un 3 un 1 3 1 1 1 1 1 Do đó u1 1 u2 1 u2020 1 u1 3 u2020 3 1 1 1 1 1 . u1 1 u2 1 u2020 1 3 u2020 3 1 Vì u1 6 3,n ¥ * u2020 3 0 0 u2020 3 1 1 1 Do đó . 3 u2020 3 3 1 1 1 1 Vậy (điều phải chứng minh). u1 1 u2 1 u2020 1 3 Bài 6. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a2 b2 c2 ab bc ca 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P (a b)(b c)(c a). Lời giải Cách 1: Không mất tổng quát, giả sử a,b c , ta có 2 2 (a c)(b c) (a c)(b c) 4 2 3 P 4 (a b) . . (a b) (a c)(b c) 2 2 27 4 (a2 b2 c2 ab bc ca)3 32 27 Do đó 4 2 P 4 2 . Vậy Pmin 4 2 . 2 Cách 2: Ta có a2 b2 c2 ab bc ca 6 12 a b 2 b c a c 2 . 2 x2 y2 z2 12 x y 2xy z2 12 Đặt x a b; y b c; z c a , ta có x y z 0 x y z 2 2 2 2 Suy ra xy z 6. Ta có 4xy x y 4 z 6 z z 2 2;2 2 . Từ P xyz z2 6 z z3 6z. Suy ra P z 3z2 6 P z 0 z 2. Ta có Pmin P 2 P 2 2 4 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c a 2  c a 2 2. Hết .