Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường Toán Lớp 11 - Năm học 2012-2013 - Trường THPT Tam Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường Toán Lớp 11 - Năm học 2012-2013 - Trường THPT Tam Dương (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI HSG CẤP TRƯỜNG LỚP 11 NĂM HỌC 2012-2013 ————————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN TRƯỜNG THPT TAM DƯƠNG Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu I: (2,0 điểm). 1.Giải phương trình: (1 t anx)cos3x (1 cot x)sin3 x 2sin 2x. 2. Tìm các nghiệm trong khoảng ; của phương trình: 2 2sin 3x 1 8sin 2xcos 2x. 4 Câu II: (2,0 điểm). 1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn và 3 số lẻ ? 2. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5 k 2011. 0 k 1 k 1 5 k 5 k Chứng minh rằng: C5.C2011 C5.C2011 C5.C2011 C2016 . Câu III: (2,0 điểm). 2 2 2 1. Cho Pn= 1 1 1 2.3 3.4 (n 1)(n 2) Gọi U là số hạng tổng quát của P . Tìm lim Un n n n (x2 2012) 3 1 2x 2012 4x 1 2. Tìm giới hạn: lim x 0 x Câu IV: (1,0 điểm). u1 11 Cho dãy số (un) xác định bởi : un 1 10un 1 9n,n N. Tìm công thức tính un theo n. Câu V: ( 3,0 điểm). 1. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. M là điểm tùy ý trên cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q. Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó. 1
2. 2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Xác định điểm M bên trong tam giác sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: 2
3. HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN : TOÁN 11 THPT Câu Nội dung Điểm I 2.0 1. (1.0 đ). ĐK: sin xcos x 0.Khi đó pt trở thành: sinx cos x 2 sin xcos x . (1) 0.25 ĐK: sinx cos x 0 dẫn tới sinx 0;cos x 0. 0.25 Khi đó: (1) sin 2x 1 x k . 4 0.25 KL nghiệm : x 2m . 4 0.25 2. (1.0 đ).ĐK: sin 3x 0. (1) 4 0,25 Khi đó phương trình đã cho tương đương với pt: 1 5 sin 2x x k ; x k 2 12 12 0.25 Trong khoảng ; ta nhận các giá trị : 11 5 7 x ; x ; x ; x . 12 12 12 12 0.25 Kết hợp với đk (1) ta nhận được hai giá trị thỏa mãn là: 7 x ; x . 12 12 0,25 II 3.0 3
4. 1. (1.0 đ). TH1: Trong 3 số chẵn đó có mặt số 0. 2 3 Số các số tìm được là 5.C4.C5.5! 36000 (số). 0.5 TH2: Trong 3 số chẵn đó không có mặt số 0. 3 3 Số các số tìm được là C4.C5.6! 28800 (số). 0.25 Đ/ số 36000 28800 64800 số. 0.25 5 2011 2016 2. (1.0 đ) Dễ thấy 1 x 1 x 1 x ; và 5 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 M 1 x C5 C5x C5x C5x C5x C5x 0.25 2011 0 1 1 k k 2011 2011 N 1 x C2011 C2011x C2011x C2011x . 2016 0 1 k k 2016 2016 P 1 x C2016 C2016x C2016x C2016x . 0.25 k k Ta có hệ số của x trong P là C2016 . Vì P M.N , mà số hạng chứa xk trong M.N là : 0 k k 1 k 1 k 1 2 2 k 2 k 2 3 3 k 3 k 3 4 4 k 4 k 4 5 5 k 5 k 5 C5.C2011x C5xC2011x C5x C2011x C5x C2011x C5x C2011x C5x C2011x 0.25 nên 0 k 1 k 1 5 k 5 k C5.C2011 C5.C2011 C5.C2011 C2016 0.25 3. (1 điểm) u1 11 10 1 Ta có: u2 10.11 1 9 102 100 2 u3 10.102 1 9.2 1003 1000 3 0.25 n Dự đoán: un = 10 + n (1) 0.25 Chứng minh: 1 Ta có: u1 = 11 = 10 + 1 , công thức (1) đúng với n=1 k Giả sử công thức (1) đúng với n=k ta có : uk = 10 + k 0.25 4
5. k k+1 Ta có: uk + 1 = 10(10 + k) + 1 - 9k = 10 + (k + 1). Công thức(1) đúng với n=k+1 n Vậy un = 10 + n, n N. 0.25 III 2.0 1. (1 đ) 2 k(k 3) Ta có: 1 (k 1)(k 2) (k 1)(k 2) 0.25 Cho k=1,2,3, ,n ta được 1.4.2.5.3.6 n(n 3) Sn 2.3.3.4.4.5 (n+2)(n 1) 0.25 (n 3) Un= 3(n 1) 0.25 (n 3) 1 lim Un = lim n n 3(n 1) 3 0.25 2.(1 điểm) 3 1 2x 1 4x 1 1 Ta có L Lim x 3 1 2x 2012 2012 . x 0 x x 0.25 Lim x 3 1 2x 0 . x 0 3 1 2x 1 2x 2 2` Lim Lim Lim x 0 x x 0 x( 3 (1 2x)2 3 1 2x 1) x 0 ( 3 (1 2x)2 3 1 2x 1) 3 4x 1 1 4x 4 Lim Lim Lim 2 x 0 x x 0 x( 4x 1 1) x 0 4x 1 1 0.5 2 16096 Vậy L 0 2012 2012.2 3 3 0.25 IV 3.0 1.(2 đ) +) Chứng minh được MNPQ là hình bình hành. 0.5 MN NP +) MNPQ là hình vuông MP NQ 1.0 5
6. M là trung điểm của AB và a = c. 1 2 +) Lúc đó SMNPQ = b . 4 0.5 2.(1 đ) Dùng phép quay quanh A với góc quay 600 biến M thành M’; C thành C’ 0.25 Ta có MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’ MA+MB+MC bé nhất khi bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng. 0.5 Khi đó góc BMA=1200, góc AMC=1200 Ta được vị trí của M trong tam giác ABC. 0.25 Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa 6