Đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án)

1. Câu 1: Một số có 4 chữ số là số chính phương và có tính chất: Nếu tất cả các chữ số của nó cùng trừ đi một số thì cũng được một số có 4 chữ số cũng là số chính phương. Tìm tất cả các số có 4 chữ số thỏa mãn tính chất nêu trên. Câu 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 3y2 2xy 2x 10y 4 0 . Câu 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 2y2 3xy x y 3 0 . Câu 4: Tìm một hằng số nguyên dương c sao cho phương trình. xy2 y2 x y c . có đúng ba nghiệm nguyên dương (x, y) . Câu 5: Cho a,m,n là các số nguyên dương sao cho a 1, m n. Chứng minh rằng nếu am 1 và an 1 có các ước nguyên tố giống nhau, thì a 1 là một lũy thừa của 2 . Câu 6: Cho số nguyên n 1. Tìm số lớn nhất các cặp gồm 2 phần tử phân biệt của tập 1;2; ;n sao cho tổng của các cặp khác nhau là các số nguyên khác nhau và không vượt quá n . Câu 7: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P x không đồng nhất không thỏa mãn: P 2014 2046, P(x) P(x2 1) 33 32,x 0. Câu 8: Trên bảng ô vuông cố định có kích thước 3 3 người ta xếp một số viên sỏi sao cho mỗi ô vuông có nhiều nhất một viên sỏi. Mỗi cách xếp sỏi được tính điểm như sau, nếu tổng số sỏi trên một hàng (hoặc trên một cột hoặc trên một trong hai đường chéo) là một số lẻ thì được tính 1 điểm. Bảng không có sỏi ứng với 0 điểm, bảng xếp kín 9 viên sỏi ứng với 8 điểm. a)Tồn tại hay không cách xếp sỏi sao cho ô chính giữa bảng không có sỏi và số điểm. tương ứng với cách xếp đó là 8 . b)Chứng minh rằng số cách xếp sỏi với điểm số là một số chẵn bằng số cách xếp sỏi. với điểm số là một số lẻ. Câu 9: Cho tập hợp A 1;2; ;2013. Cần phải loại khỏi A ít nhất bao nhiêu phần tử để tập hợp còn lại có tính chất: Không phần tử nào bằng tích của hai phần tử khác. Câu 10: Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình x1 x2 x3 x4 25 thỏa mãn điều kiện x1 3; x2 2; x3 4 . 2a 2b 1 Câu 11: Tìm các số nguyên dương a,b,c sao cho A là một số nguyên. 2c 1 Câu 12: Cho m và n là các số nguyên dương thỏa mãn 2016m 1 là ước của 2016n 1.Chứng minh rằng m là ước của n . Câu 13: Cho a,b là hai số nguyên dương với b a . Biết rằng tồn tại cặp số nguyên dương u,v sao cho u2 v2 auv b . Chứng minh rằng b là số chính phương. Câu 14: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho trong mặt phẳng tồn tại n đường thẳng mà mổi đường thẳng cắt đúng 2014 đường khác. Câu 15: Cho số nguyên dương n 3 . Chứng minh rằng tập hợp X 1; 2; 3; ; n2 n có thể chia thành hai tập con không giao nhau sao cho không tập nào trong chúng chứa n phần tử a a a ,a , ,a với a a a và a k 1 k 1 với mọi k 2; 3; , n 1. 1 2 n 1 2 n k 2 Câu 16: Tìm tất cả số nguyên x sao cho x 3 chia hết cho x2 1.
2. Câu 17: Cho P(x) là đa thức có bậc n 1 với hệ số nguyên. Chứng minh rằng có tối đa n số nguyên t sao cho P P t t . Câu 18: Cho n là số nguyên dương. Cho 2n điểm trên phân biệt trên một đường tròn được gán giá trị bởi các số 1;2; ;2n (2 điểm khác nhau được gán giá trị khác nhau) theo một cách nào đó. Mỗi dây cung được nối 2 điểm trong các điểm trên và được gán giá trị bằng độ chênh lệch dương giữa 2 đầu mút. Chứng minh rằng ta có thể chọn được n dây cung đôi một không cắt nhau sao cho tổng giá trị của các dây cung bằng n2 .