Đề cương ôn tập môn Toán 9 vào Lớp 10 - Chủ đề: Kết nối các góc bằng nhau thông qua tứ giác nội tiếp - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Yên Phong

Nội dung text: Đề cương ôn tập môn Toán 9 vào Lớp 10 - Chủ đề: Kết nối các góc bằng nhau thông qua tứ giác nội tiếp - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Yên Phong

1. SHCM HUYỆN ÔN THI VÀO 10 CÔ THỦY Ngày dạy: 09/04/2024- THCS Yên Trung Chủ đề: KẾT NỐI CÁC GÓC BẰNG NHAU THÔNG QUA TỨ GIÁC NỘI TIẾP. Thời gian: 60 phút I. Kiến thức cần nhớ: 1. Định nghĩa tứ giác nội tiếp: 2. Tính chất tứ giác nội tiếp: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn thì: +) D· AB D· CB ·ADC ·ABC 180 Nhận xét: Nếu tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, B· Cx là góc ngoài của tứ giác đó, thì: +) D· AC D· BC +) B· Cx B· AD 3. Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Định nghĩa - Định lý đảo - Quỹ tích cung chứa góc - Góc ngoài II. Bài tập: Bài toán: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB AC và nội tiếp đường tròn O . Gọi AD, BE,CF là các đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC . a) Chứng minh các tứ giác AEHF , BFEC là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF . b) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp DEF . c) Gọi AD và BE lần lượt cắt O tại N và M ( N A , M B ). Chứng minh DE / /MN . NĂM HỌC 2023- 2024 1 THCS YÊN PHONG
2. SHCM HUYỆN ÔN THI VÀO 10 CÔ THỦY d) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF cắt đường tròn O tại điểm thứ hai I ( A không trùng với I ). Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại K . Chứng minh ba điểm A, I, K thẳng hàng. e) Chứng minh hai tam giác IBC và IFE đồng dạng với nhau. f) Gọi J là giao của EF và AH . Chứng minh JE.KF JF.KE . a) Chứng minh các tứ giác AEHF , BFEC là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF . Do AD, BE,CF là các đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC . Nên ·AEB B· EC ·AFC B· FC 90 hay ·AEH B· EC ·AFH B· FC 90 +) Xét tứ giác AEHF có NĂM HỌC 2023- 2024 2 THCS YÊN PHONG
3. SHCM HUYỆN ÔN THI VÀO 10 CÔ THỦY ·AFH ·AEH 90 90 180 Suy ra tứ giác AEHF nội tiếp. Mà ·AEH 90 nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF có tâm là Q là trung điểm của AH, bán kính R=1/2 AH. +) Xét tứ giác BFEC có B· EC B· FC 90 Suy ra tứ giác BFEC nội tiếp. b) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp DEF . Tương tự ta có tứ giác BFHD, DHEC nội tiếp. Do BFHD nội tiếp nên H· DF H· BF ( góc nội tiếp chắn F¼H ) Do DHEC nội tiếp nên H· DE H· CE ( góc nội tiếp chắn E¼H ) Lại có tứ giác BFEC nội tiếp nên F· BE F· CE F· BH H· CE Khi đó H· DF H· DE . Mà tia DH nằm giữa 2 tia DE, DF nên tia DH là tia phân giác của F· DE . Tương tự ta có tia EH là tia phân giác của D· EF . Xét tam giác DEF có DH và EH là các đường phân giác mà DH  EH H nên H là tâm đường tròn nội tiếp DEF . c) Chứng minh DE / /MN . Xét O có ·ABM ·ANM ( góc nội tiếp chắn ¼AM ) hay F· BH ·ANM . mà H· DF H· BF và H· DF H· DE ( cmt). Nên H· DF ·ANM . Mặt khác H· DF, ·ANM là 2 góc đồng vị nên DE / /MN . d) Chứng minh ba điểm A, I, K thẳng hàng. Tứ giác IAEF nội tiếp I·FK I·AE Tứ giác IABC nội tiếp I·BK I·AE I·BK I·FK tứ giác IFBK nội tiếp Vậy K· IF K· BF 180 mà K· BF F· EC F· IA Nên K· IF F· IA 180 hay A, I, K thẳng hàng. NĂM HỌC 2023- 2024 3 THCS YÊN PHONG
4. SHCM HUYỆN ÔN THI VÀO 10 CÔ THỦY e) Chứng minh hai tam giác IBC và IFE đồng dạng với nhau. Ta có I·EF I·AF ( cùng chắn cung IºF ) và I·AF I·CB ( cùng chắn cung IºB ) do đó I·EF I·CB tương tự F· IE B· IC Từ đó có được tam giác IBC đồng dạng với tam giác IFE f) Gọi J là giao của EF và AH . Chứng minh JE.KF JF.KE . III. Bài tập tự luyện: Bài 1: (ts BẮC NINH 2022-2023)Cho đường tròn O;R và dây MN cố định ( MN 2R ). Kẻ đường kính AB vuông góc với dây MN tại E . Lấy điểm C thuộc dây MN (C khác M , N , E ). Đường thẳng BC cắt O;R tại điểm K ( K khác B ). 1. Chứng minh AKCE là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh BM 2 BK  BC . NĂM HỌC 2023- 2024 4 THCS YÊN PHONG
5. SHCM HUYỆN ÔN THI VÀO 10 CÔ THỦY 3. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AK và MN ; D là giao điểm của hai đường thẳng AC và BI . Chứng minh điểm C cách đều ba cạnh của DEK . Bài 2 :(ts Quảng Trị 2022-2023) Cho đường tròn O bán kính R , đường kính AB , tiếp tuyến Ax . Trên Ax lấy điểm P sao cho AP R . Gọi M là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ hai kẻ từ P của đường tròn O . a) Chứng minh AOMP là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh BM //OP . c) Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt BM tại N , OM cắt PN tại J . i)Chứng minh AONP là hình chữ nhật. ii) Gọi K là tâm của hình chữ nhật AONP và I là giao điểm của PM và ON . Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Bài 3: (ts THANH HÓA 2022-2023)Cho tam giác nhọn ABC có AB AC và nội tiếp đường tròn O . Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC và E là hình chiếu vuông góc của điểm B lên đường thẳng AO . 1. Chứng minh AEHB là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh đường thẳng HE vuông góc với đường thẳng AC . ME 3. Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Tính tỉ số . MH Bài 4: (ts Vĩnh Phúc 2022-2023)Cho tam gíác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R) và AB < AC . Ba đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC(D,E,F là chân các đường cao) đồng quy tại điểm H . Kẻ đường kính AK của đường tròn (O;R). Gọi M là hình chiếu vuông góc của C trên đường thằng AK . a) Chứmg minh rằng tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh rằng tam giác ABD đồng dạng với tam giác AKC và MD song song với BK . c) Già sử hai đỉnh B,C cố định trên đường tròn (O;R) và đinh A di động trển cung lớn BC của đường tròn (O;R). Chứng minh rằng đường thẳng MF luôn đi qua một điểm cố định và tìm vị trí của đinh A sao cho diện tích tam giác AEH lớn nhất. Bài 5: (ts Sơn La 2022-2023)Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O . Các đường cao AE, BF cắt nhau tại trực tâm H của tam giác, AO cắt đường tròn tại điểm thứ hai M . a) Chứng minh tứ giác EHFC nội tiếp được đường tròn. b) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành. c) Chứng minh CO  EF . NĂM HỌC 2023- 2024 5 THCS YÊN PHONG
6. SHCM HUYỆN ÔN THI VÀO 10 CÔ THỦY Bài 6 :(ts Quảng Bình 2022-2023)Cho ABC nhọn với AB AC . Các đường cao BM , CN cắt nhau tại H . a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp. b) Gọi D là giao điểm của AH và BC . Chứng minh DA là tia phân giác của M· DN . c) Đường thẳng qua D và song song với MN cắt AB , CN lần lượt tại I và J . Chứng minh D là trung điểm IJ . Bài 7 (ts Bình Thuận 2022-2023)Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn O; R , có ba đường cao AK, BE và CF cắt nhau tại H . 1. Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp. 2. Hai đường thẳng BE và CF cắt đường tròn O lần lượt tại M và N (M khác B ; N khác C ). Chứng minh: MN / /EF . 3. Giả sử hai điểm B,C cố định, điểm A di động trên cung lớnB C của đường tròn O (A khácB ,C ). Tìm vị trí của điểm A sao cho chu vi tam giác KEF đạt giá trị lớn nhất. Bài 8: (ts Đà Nẵng 2022-2023) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB AC . Vẽ các đường cao AD, BE,CF của tam giác đó. Gọi H là giao điểm của các đường cao vừa vẽ. a. Chứng minh rằng các tứ giác AEHF và BFEC nội tiếp . b. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BC . Chứng minh rằng FM.FC FN.FA . c. Gọi P, Q lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M , N đến đường thẳng DF . Chứng minh rằng đường tròn đường kính PQ đi qua giao điểm của FE vàMN . Bài 9 : (ts Huế 2022-2023) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB AC và nội tiếp đường tròn O . Gọi BE,CF là các đường cao và H là trực tâm của tam giác ABC . a) Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp. b) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF cắt đường tròn O tại điểm thứ hai I ( A không trùng với I ). Chứng minh hai tam giác IBC và IFE đồng dạng với nhau. c) Hai đường thẳng BC và EF cắt nhau tại K . Chứng minh ba điểm A, I, K thẳng hàng. NĂM HỌC 2023- 2024 6 THCS YÊN PHONG