Đề cương ôn tập HSG Toán THCS - Chương 3, Chủ đề 12: Một số bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học THPT quốc gia và lớp 10 Chuyên Toán

Nội dung text: Đề cương ôn tập HSG Toán THCS - Chương 3, Chủ đề 12: Một số bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học THPT quốc gia và lớp 10 Chuyên Toán

1. Bài 102. Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn M in a b; b c; c a 0 và a2 b2 c2 2 ab bc ca . ab bc ca 1 Chứng minh rằng: a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 Phân tích và lời giải Trước hết ta phân tích các giả thiết của bài toán, từ M in a b; b c; c a 0 ta suy ra được trong các tổng trên không có tổng nào bằng không và từ giả thiết thứ hai ta thu được trong các biến a, b, c chỉ có có thể có một biến bằng 0. Do đó ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại a b; c 0 và các hoán vị của nó. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy không thể đánh giá trực tiếp tử hoặc mẫu của các biểu thức. 2 2 ab ab a b Do đó ta hướng đến biến đổi các biểu thức trước. Chú ý đến phép biến đổi . a2 b2 a2 b2 Để đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra ta nhân với 2 . Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành 2ab a2 b2 2bc b2 c2 2ca c2 a2 1 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Đến đây áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 2 2ab a b 2ab.2ab 2ab a2 b2 a2 b2 a2 b2 Áp dụng tương tự ta được 2 2 2 2 2bc b c 2bc 2ca c a 2ca ; b2 c2 b2 c2 c2 a2 c2 a2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 2 2 2 2 2 2 2ab a b 2bc b c 2ca c a 2ab 2bc 2ca a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Khi đó phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2ab 2bc 2ca 1 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 2 2 2ab 2bc 2ca a b b c c a Để ý là 3 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Lúc này áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 2 2 2 a b b c c a 2a 2b 2c a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 a2 b2 c2 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 8 ab bc ca 4 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 2ab 2bc 2ca Do đó ta có 1 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b; c 0 và các hoán vị. Bài 103. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng:
2. ab bc ca 1 a b 2c b c 2a c a 2b 2 Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức trên ta thấy được một số ý tưởng tiếp cận như sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki để khử các căn bậc hai, đổi biến để đơn giản hóa giả thiết, Cách 1: Trước hết với ý tưởng khử các căn bậc hai, ta chú ý đến đánh giá bằng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau 2 4 a b 2c 1 1 2 a b 2c a b 2 c Khi đó kết hợp với bất đẳng thức Cauchy ta được ab 2 ab 2 ab 1 ab ab a b 2c 4 a b 2c a b 2 c 2 a c b c Áp dụng tương tự ta có bc 1 bc bc ca 1 ca ca ; b c 2a 2 a b a c c a 2b 2 a b b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab bc ca 1 1 a b c a b 2c b c 2a c a 2b 2 2 1 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c . 9 Cách 2: Đặt x a; y b; z c . Từ giả thiết ta suy ra x y z 1. Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành xy yz zx 1 x2 y2 2z2 y2 z2 2x2 z2 x2 2y2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 4 x2 y2 2z2 1 1 2 x2 y2 2z2 x y 2z Do đó ta có xy 2xy 2xy 1 xy xy x2 y2 2z2 4 x2 y2 2z2 x y 2z 2 x z y z Áp dụng tương tự ta được yz 1 yz yz zx 1 zx zx ; y2 z2 2x2 2 x y x z z2 x2 2y2 2 x y y z Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được xy yz zx x y z 1 x2 y2 2z2 y2 z2 2x2 z2 x2 2y2 2 2 Bất đẳng thức được chứng minh xong. 1 1 1 Bài 104. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1. Chứng minh rằng: a b c
3. b c c a a b 2 a2 b2 c2 Phân tích và lời giải 1 1 1 Từ giả thiết của bài toán thì suy nghĩ rất tự nhiên là đổi biến x ; y ; z , khi đó giả a b c thiết trở thành x y z 1 và bất đẳng thức được viết lại là x2 y z y2 z x z2 x y 2 yz zx xy Quan sát bất đẳng thức trên ta có các cách xử lý như sau Cách 1: Chú ý đến dụng bất đẳng thức Cauchy ta được các đánh giá 2 2 2 x y y z z x xy ; yz ; zx 4 4 4 Khi đó ta được bất đẳng thức sau 2 2 2 x y z y z x z x y 4x2 4y2 4z2 yz zx xy y z z x x y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cộng mẫu ta có 2 4x2 4y2 4z2 4 x y z 2 x y z 2 y z z x x y 2 x y z Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 3. Cách 2: Biến đổi bất đẳng thức thành 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 x y z y z z x x y 2 Theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 2 2 1 1 x 1 1 4x x y z y z y z y z y z 2 2 2 1 1 y 1 1 4y y z x z x z x z x z x 2 2 2 1 1 z 1 1 4z z x y x y x y x y x y Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 4x 4y 4z x y z y z z x x y y z z x x y Đến đây đánh giả tương tự như cách 1 hoặc có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau đây 4x2 4y2 4z2 4x2 4y2 4z2 2 x y y z z x y z z x x y y z z x x y 2 x y z 2 2 y z z x x y 2 x y z 2 y z z x x y Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 105. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
4. 2 2 2 2 2a 2b 2c 9 a b c 1 1 1 b c a ab bc ca Phân tích và lời giải Để ý đến các đại lượng vế trái của bất đẳng thức ta nhận thấy các ý tưởng tiếp cận bài toán như khai triển rồi đánh giá bằng bất đẳng thức Cauchy hoặc sử dụng đánh giá quen thuộc 2 3 x2 y2 z2 x y z . Ta đi phân tích các ý tưởng đó theo các cách sau Cách 1: Triển khai vế trái ta được 2 2 2 2a 2b 2c a b c a2 b2 c2 1 1 1 3 4 4 2 2 2 b c a b c a b c a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được a2 b2 c2 a b c 1 1 1 2 2 2 2 b c a b c a 2 a2 b2 c2 a b c a b c 3 3 2 2 2 b c a b c a b c a Từ đó ta được a b c a2 b2 c2 a b c 3 4 4 9 2 2 2 b c a b c a b c a Để ý là theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 a b c a2 b2 c2 a b c b c a ab bc ca ab bc ca 2 2 2 2 2a 2b 2c 9 a b c Suy ra 1 1 1 b c a ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 2 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức 3 x2 y2 z2 x y z ta được 2 2 2 2 2a 2b 2c 1 a b c 1 1 1 3 2 b c a 3 b c a 2 2 1 a b c 9 a b c Ta cần chứng minh được 3 2 3 b c a ab bc ca Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 a b c a b c b c a ab bc ca Như vậy phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 a b c a b c 3 2 27 b c a b c a a b c Thật vậy, đặt t t 3. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành b c a
5. 2 3 2t 27t t 3 4t 3 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do t 3. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi Bài 106. Cho a, b, c, d là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a b c a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 3 Phân tích và lời giải Quan sát bất đẳng thức thì suy nghĩ đấu tiên đó là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Do đó ta thử tiếp cận bài toán với bất đẳng thức xem như thế nào? Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được a3 b3 c3 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 2 2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 a2c ca2 a b c a2 b2 c2 a2 b2 c2 a b c Ta cần chứng minh a b c 3 2 Hay 3 a2 b2 c2 a b c Bất đẳng thức cuối cùng là một đánh giá quen thuộc. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Ngoài ra để ý đến mối liên hệ giữa tử và mẫu ta chú ý đến hằng đẳng thức bậc ba quen thuộc a3 b3 a b a2 ab b2 . Do đó ta có phép biến đổi a3 b3 a3 b3 a b a2 ab b2 a2 ab b2 a2 ab b2 Hoàn toàn tương tự ta có 2a3 2b3 2c3 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 a3 b3 b3 c3 c3 a3 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 a b a2 ab b2 Để ý là a3 b3 a b a2 ab b2 3 a3 b3 a b Khi này ta được , đến đây bài toán xem như được chứng minh và ta trình bày lại a2 ab b2 3 lời giải như sau Cách 2: Ta có a3 b3 a3 b3 a b a2 ab b2 a2 ab b2 a2 ab b2 Áp dụng tương tự ta được b3 c3 c3 a3 b c; c a b2 bc c2 b2 bc c2 c2 ac a2 c2 ac a2 Công theo vế các đẳng thức trên ta được
6. a3 b3 c3 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c c ac a b3 c3 a3 0 2 2 2 2 2 2 a ab b b bc c c ac a Hay a3 b3 c3 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 b3 c3 a3 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 Do đó ta được 2a3 2b3 2c3 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 a3 b3 b3 c3 c3 a3 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 Để ý ta thấy a b a2 ab b2 a3 b3 a b a2 ab b2 3 a3 b3 a b Do đó ta được a2 ab b2 3 Áp dụng tương tự ta được a3 b3 b3 c3 c3 a3 2 a b c a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 3 2a3 2b3 2c3 2 a b c Suy ra a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 3 a3 b3 c3 a b c Hay a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c Cách 3: Ngoài hai lời giải trên ta có thể tham khảo thêm lời giải bằng phương pháp biến đổi tương đương như sau Vì a, b là các số thực dương nên ta có 3 2 3a a b a b 0 3a3 2a b a2 ab b2 2a b a2 ab b2 Áp dụng tương tự ta được 3b3 3c3 2b c; 2c a b2 bc c2 c2 ac a2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được a3 b3 c3 a b c a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ac a2 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. 1 1 1 Bài 107. Cho tam giác có ba cạnh a, b, c thỏa mãn 2. Chứng minh rằng: a2 1 b2 1 c2 1 3 a b c a b c b c a c a b 4 Phân tích và lời giải
7. Khi tiếp cận bài toán này có lẽ ấn tượng đầu tiên là giả thiết của bài toán là một đẳng thức phức tạp. Tuy nhiên khi nhìn bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy tích các đại lượng a b c; b c a; c a b thì thấy tự tin hơn tí vì ít nhiều liên tưởng đến một số đánh giá quen thuộc. Để có các bước đi hợp lí ta đi đánh giá lại giả thiết trước. 1 1 1 a2 b2 c2 Từ giả thiết 2, ta được 1 a2 1 b2 1 c2 1 a2 1 b2 1 c2 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhia copxki ta được 2 a2 b2 c2 a b c 1 a2 1 b2 1 c2 1 a2 b2 c2 3 2 3 Suy ra a2 b2 c2 3 a b c hay ab bc ca . 2 Quan sát tích các đại lượng dưới dấu căn ta liên tưởng đến một bất đẳng thức khá là hay gặp a b c b c a c a b abc . Như vậy ta thu được bất đẳng thức a b c a b c b c a c a b a b c abc 2 ab bc ca Đến đây ta chú ý đến đánh giá abc a b c 3 Khi đó ta được 2 ab bc ca 3 a b c a b c b c a c a b 3 4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Bài 108. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng mỉnh rằng: 3 a2 b2 c2 4abc 13 Phân tích và lời giải Trước hết ta đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. Quan sát bất đẳng thức ta thấy xuất hiện đại lượng a2 b2 c2 liên hệ với giả thiết của bài toán bằng một hằng đẳng thức quen thuộc 2 a b c a2 b2 c2 2 ab bc ca . Như vậy khi đó ta trong bất đẳng thức sẽ có đại lượng ab bc ca và abc. Hai đại lượng này làm ta liên tưởng đến phép sắp thứ tự để giảm biến, hoặc sử dụng bất đẳng thức phụ quen thuộc, hoặc sử dụng nguyên lí Dirichlet. Từ sự phân tích đó ta có các lời giải sau Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 3 a b c 6 ab bc ca 4abc 13 Hay 3 ab bc ca 2abc 7 Không mất tính tổng quát ta giả sử a b c , do đó ta được a 1. Khi đó ta có 3 ab bc ca 2abc 3a b c bc 3 2a 2 b c 3 2a 3a b c 4 2 3 a 3 2a 27 3a2 2a3 3a 3 a 4 4 27 3a2 2a3 Ta cần chứng minh 7 4
8. 2 Hay 2a3 3a2 1 0 a 1 2a 1 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Cách 2: Ta có a b c b c a c a b 3 2c 3 2b 3 2a 27 18 a b c 12 ab bc ca 8abc 12 ab bc ca 27 8abc Mặt khác ta dễ dàng chứng minh được abc a b c b c a c a b Do đó ta được abc 12 ab bc ca 27 7abc 4 ab bc ca Hay abc 3 3 16 ab bc ca Do đó ta có 3 a2 b2 c2 4abc 3 a2 b2 c2 12 3 16 ab bc ca Ta cần chứng minh 3 a2 b2 c2 12 13 3 Hay 9 a2 b2 c2 16 ab bc ca 75 Thật vậy, áp dụng một đánh giá quen thuộc ta có 9 a2 b2 c2 16 ab bc ca a2 b2 c2 8 a2 b2 c2 2 ab bc ca 2 a b c 2 8 a b c 3 72 75 3 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Cách 3: Trong ba số dương bất kì a, b, c luôn tồn tại hai số cùng phía so với 1. Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là a và b. khi đó ta có c 1 a 1 b 0 abc c a b c Ta có 2 a b 3 a2 b2 c2 4abc 3 c2 4c a b 4c 2 2 2 3 c c 1 26 3 c2 4c 3 c 4c 13 2 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Bài 109. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 2abc. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 2 2 a 2a 1 b 2b 1 c 2c 1 2 Phân tích và lời giải Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Cauchy. Ở đây ta thực hiện đổi biến và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki xem có thể chứng minh được không.
9. 1 1 1 Từ giả thiết ab bc ca 2abc suy ra 2. a b c 1 1 1 Đặt x ; y ; z , khi đó ta có x y z 2. a b c x 3 y3 z3 1 Bất đẳng thức được viết lại là 2 2 2 2 x 2 y 2 z 2 x 3 y3 z3 1 Hay 2 2 2 y z z x x y 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 2 2 2 x 3 y3 z3 x y z 2 2 2 2 2 2 y z z x x y x y z y z x z x y 2 x2 y2 z2 x2y y2x x2z z2x y2z z2y 6xyz Ta cần chứng minh 2 2 2 2 x y z 1 x2y y2x x2z z2x y2z z2y 6xyz 2 2 Hay 2 x2 y2 z2 x2y y2x x2z z2x y2z z2y 6xyz Thật vậy, theo một đánh giá quen thuộc ta có 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 2 x2 y2 z2 2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 3 Mà ta lại có x y z x2 y2 z2 x 3 y3 z3 x2y y2x x2z z2x y2z z2y Suy ra ta có 2 2 x y z x2 y2 z2 4 x 3 y3 z3 x2y y2x x2z z2x y2z z2y 3 3 Ta cần chỉ ra được 4 x 3 y3 z3 x2y y2x x2z z2x y2z z2y 3 x2y y2x x2z z2x y2z z2y 6xyz Hay 4 x 3 y3 z3 x2y y2x x2z z2x y2z z2y 18xyz Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 4 x 3 y3 z3 12xyz; x2y y2x x2z 3xyz; z2x y2z z2y 3xyz Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 4 x 3 y3 z3 x2y y2x x2z z2x y2z z2y 18xyz 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c . 2 Bài 110. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng:
10. 5 3 a2 abc b2 abc c2 abc 9 abc 3 Phân tích: Chú ý đến phép biến đổi a2 abc a2 a b c abc a a b a c , do đó ta có a a b a c a a 1 đánh giá a2 abc a a b a c . 2 2 Lời giải Ta có a2 abc a2 a b c abc a a b a c Do đó ta được a a b a c a a 1 a2 abc a a b a c 2 2 Chứng minh tương tự ta được b b 1 c c 1 b2 abc ; c2 abc 2 2 Do đó ta được a a 1 b b 1 c c 1 a2 abc b2 abc c2 abc 2 2 2 Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có a a 1 a 1 b c a b c 1 abc a a a 2 2 2 2 Chứng minh tương tự ta được b b 1 c c 1 abc b; abc c 2 2 Như vậy ta có a2 abc b2 abc c2 abc 9 abc a b c 6 abc Mà ta có 3 a b c 2 a b c 3 a b c 3; 6 abc 6 3 3 Nên ta suy ra 2 5 5 3 a2 abc b2 abc c2 abc 9 abc 3 . 3 3 3 1 Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c . 3 Bài 111. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: a b c 1 a b3 c3 b c3 a3 c a3 b3 Phân tích: Để đồng bậc mẫu ta chú ý đến đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 2 a b3 c3 a3 b c a2 b2 c2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 a b3 c3 a3 b c a2 b2 c2
11. 3 a a a b c a4 ab ac Suy ra 3 3 3 3 3 2 a b c a b c a b c a2 b2 c2 Chứng minh tương tự ta được b b4 ab bc c c4 ca bc ; 3 3 2 3 3 2 b c a a2 b2 c2 c a b a2 b2 c2 Do đó ta được bất đẳng thức sau 4 4 4 a b c a b c 2 ab bc ca 3 3 3 3 3 3 2 a b c b c a c a b a2 b2 c2 a4 b4 c4 2 ab bc ca Ta cần chứng minh 1 2 a2 b2 c2 Hay a2b2 b2c2 c2a2 ab bc ca Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki và bất đẳng thức Cauchy ta được 2 4 3 a2b2 b2c2 c2a2 ab bc ca ; a2b2 b2c2 c2a2 33 abc 3 Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 2 2 a2b2 b2c2 c2a2 ab bc ca Hay a2b2 b2c2 c2a2 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1. Bài 112. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a2 1 b2 1 c2 1 2 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta chú ý đến đổi chiều bất đẳng thức. Ngoài ra ta có thể sắp thứ tự các biến để chứng minh bài toán. Lời giải Cách 1: Không mất tính tổng quát, giải sử a b c Do ab bc ca 3 bc 1 Ta chứng minh bất đẳng thức sau: Với x, y 0; xy 1 ta có 1 1 2 y2 1 z2 1 yz 1 2 Thật vậy, ta có y2 z2 2 yz 1 y2 1 z2 1 y z yz 1 0 Không mất tính tổng quát, giải sử a b c . Do ab bc ca 3 bc 1 Áp dụng bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 1 2 a2 1 b2 1 c2 1 a2 1 bc 1 Do đó ta sẽ chứng minh: 1 2 3 a2 3 bc 3a2bc 0 a a b c 3abc 0 a2 1 bc 1 2 Từ giả thiết ab bc ca 3, suy ra a b c 3 và abc 1. Do đó a b c 3abc 0 Do đó ta được
12. 1 1 1 1 2 3 a2 1 b2 1 c2 1 a2 1 bc 1 2 Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Cách 2: Gọi biểu thức vế trái là P, ta biến đổi biểu thức P như sau 1 1 1 a2 b2 c P 3 2 2 2 2 2 2 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 4a2 4a2 a2 a2 a a2 3a2 3 3a2 ab bc ca a2 ab ac 2a2 bc a b c 2a2 bc Áp dụng tương tự với hai biểu thức còn lại ta được 4a2 4b2 4c2 a2 b2 c2 1 3a2 3 3b2 3 3c2 3 2a2 bc 2b2 ca 2c2 ab a2 b2 c2 Ta sẽ chứng minh 1 2a2 bc 2b2 ca 2c2 ab Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 3 a2 b2 c2 1 2 2 2 2 2a bc 2b ca 2c ab 2 bc ca ab 1 Hay 2a2 bc 2b2 ca 2c2 ab 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 2 2 bc ca ab bc ca ab 2a2 bc 2b2 ca 2c2 ab 2a2bc b2c2 2ab2c c2a2 2abc2 a2b2 2 ab bc ca 1 a2b2 b2c2 c2a2 2abc a b c Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 113. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a4 b3 c2 b4 c3 a2 c4 a3 b2 Phân tích: Để ý là theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có đánh giá 2 a4 b3 c2 1 b c2 a2 b2 c2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 a4 b3 c2 1 b c2 a2 b2 c2 1 1 b c2 1 b c2 Do đó ta có 4 3 2 4 3 2 2 2 a b c a b c 1 b c a2 b2 c2 Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức 1 1 1 3 a b c a2 b2 c2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 2 a b c b c a c a b a2 b2 c2
13. 3 a b c a2 b2 c2 Ta cần chứng minh 1 2 a2 b2 c2 2 Hay a2 b2 c2 3 a b c a2 b2 c2 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 a2 b2 c2 33 a2b2c2 a2 b2 c2 3 a2 b2 c2 Từ giả thiết abc 1 suy ra a b c 3. 2 a b c Do đó ta được a2 b2 c2 a b c; a2 b2 c2 33 a2b2c2 3 3 Suy ra 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a b c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a b c 1 Bài 114. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 a bc b ca c ab 2 Phân tích: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta để ý đến các đánh giá 2 a3 a bc 1 a3 a bc 1 3a a b c 33 . . và ab bc ca a bc 4 2 a bc 4 2 2 3 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được a3 a bc 1 a3 a bc 1 3a 33 . . a bc 4 2 a bc 4 2 2 a3 5a bc 1 Suy ra a bc 4 4 2 Chứng minh tương tự ta được b3 5b ca 1 c3 5c ab 1 ; b ca 4 4 2 c ab 4 4 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được a3 b3 c3 5 a b c ab bc ca 3 a bc b ca c ab 4 4 2 9 ab bc ca 4 4 2 a b c Mặt khác ta lại có ab bc ca 9 3 a3 b3 c3 9 3 3 Do đó ta có a bc b ca c ab 4 4 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1. Bài 115. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ab a b 3. Chứng minh rằng: 3a 3b ab 3 a2 b2 b 1 a 1 a b 2 2 Phân tích: Chú ý đến đánh giá a b 4ab , khi đó ta viết lại được giả thiết của bài toán là 2 a b 4 a b 12 0 và đặt t a b .
14. Lời giải Từ giả thiết ab a b 3 suy ra 3 a b ab . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 a b 2 3 a b ab a b 4 a b 12 0 2 a b 3 4 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 3 a b 2ab 3 a b 3 a b 2 3 a b 2ab ab a b 1 a b 2 2 3 a b 6 2 a b 3 a b 3 a b 2 3 a b 6 2 a b 4 a b 2 Đặt t a b 2 t 3. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2 3 t 6 2t 3t 3 t 3 t 2 6 2t 4 t 2 3t 3 9t 2 18t 12 4t 4t 3 6t 2 18t t 2 t 2 t 6 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với t 2. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b 1. Bài 116. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãna b c 1. Chứng minh rằng: 1 a 1 b 1 c a b c 2 b c c a a b b c a Phân tích: Để ý đến giả thiết a b c 1 ta có các phép biến đổi sau 1 a 2a b c 2a a a ac 1 và b c b c b c b b c b b c Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được 1 a 1 b 1 c a b c 2a 2b 2c a b c 2 3 2 b c c a a b b c a b c c a a b b c a a a b b c c 3 ac bc ab 3 b b c c a c a a b 2 b b c a a b c c a 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 ac bc ab ab bc ca b b c a a b c c a 2abc a b c 2 ab bc ca 3 Ta cần chứng minh 2abc a b c 2 2 Hay ab bc ca 3abc a b c Đánh giá cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c . 3 Bài 117. Cho a, b, c là các số thực không âm tùy ý. Chứng minh rằng:
15. 1 1 1 ab bc ca 4 2 2 2 a b b c c a 2 2 2 Phân tích: Bất đẳng thức có các đại lượng a b ; b c ; c a dưới mẫu, do đó đẳng thức không thể xẩy ra tại a b c. Ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại một biến bằng 0. Do đó ta nghĩ đến sắp thứ tự các biến để giảm biến cho bài toán. Lời giải Không mất tính tổng quát ta giả sử a b c , khi đó ta có 1 1 1 1 ab bc ca ab; ; 2 2 2 2 b c b c a a Do đó ta được bất đẳng thức sau 1 1 1 1 1 1 ab bc ca ab 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b b a 1 1 1 Ta cần chứng minh ab 4 2 2 2 a b b a Thật vậy, ta có 2 1 1 1 ab a b ab a b ab 2 2 2 2 2 2 a b b a a b b a a b ab 2 2 ab a b ab a b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 . 2 2 2 a b ab a b ab 1 1 1 Suy ra ab 4 2 2 2 a b b a Vậy bất đẳng thức được chứng minh. c 0 c 0 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2 3 5 b a b ab a 2 Bài 118. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: ab bc ca 3 c 3 ab a 3 bc b 3 ca 4 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta chú ý đến phép đổi biến x a; y b; z c và để có các đánh giá hợp lí ta có thể đổi chiều bất đẳng thức. Lời giải Đặt x a; y b; z c . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
16. xy yz zx 3 z2 3xy a2 3yz y2 3zx 4 Ta biến đổi biểu thức vế trái như sau xy yz zx 1 3xy 3yz 3zx P 2 2 2 2 2 2 z 3xy a 3yz y 3zx 3 z 3xy a 3yz y 3zx 1 z2 x2 y2 1 1 1 2 2 2 3 z 3xy x 3yz y 3zx 1 z2 x2 y2 1 2 2 2 3 z 3xy x 3yz y 3zx z2 x2 y2 Đặt Q z2 3xy x2 3yz y2 3zx Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và một đánh gia quen thuộc ta được 2 z2 x2 y2 x y z Q z2 3xy x2 3yz y2 3zx x2 y2 z2 3 xy yz zx 2 x y z 3 2 4 2 x y z x y z 3 1 3 3 Do đó ta được P 1 . . Vậy bài toán được chứng minh. 3 4 4 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Bài 119. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 0. Chứng minh rằng: a3 b3 16c3 16 3 a b c 81 a3 b3 16c3 a3 b3 16c3 Phân tích: Để ý là . Khi đó ta nghĩ đến 3 3 3 3 a b c a b c a b c a b c a b c phép đổi biến x ; y ; z . a b c a b c a b c Lời giải a b c Đặt x ; y ; z . Khi đó ta được x y z 1. a b c a b c a b c Bất đẳng thức được viết lại thành a3 b3 16c3 16 x 3 y3 16z3 3 3 3 a b c a b c a b c 81 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 2 2 2 1 x y 4z 1 1 x y z 1 4 4 Suy ra x2 y2 4z2 9 Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được
17. 2 2 3 3 3 2 2 2 4 x y z x y 16z x y 4z 9 16 Hay x 3 y3 16z3 81 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y 4z 1 1 1 x y 4z a b 4c x2 y2 16z2 3 Bài 120. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c . Chứng minh rằng: 2 1 1 3 17 a b 1 c2 a2b2 c2 2 Phân tích: Để ý đến phép biến đối 2 1 2 1 2 1 1 a b 1 a b 1 a b 2 2 2 2 a b a b a b Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến đánh giá 2 2 x2 m2 y2 n2 x y m n Lời giải Dễ dàng chứng minh được: Với các số thực dương x, y, m, n ta luôn có 2 2 x2 m2 y2 n2 x y m n Thật vậy, bình phương hai vế và rút gọn ta được x2 m2 y2 n2 xy mn 2 Hay x2 m2 y2 n2 xy mn Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Bunhiacopxki quen thuộc. Gọi vế trái của bất đẳng thức trên là P, áp dụng bất đẳng thức trên ta được 1 1 2 1 1 P a b 1 c2 a b 1 c2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 a b c2 a b c 2 a b c a b c 1 1 1 9 Mà ta lại có a b c a b c 2 81 Nên ta được P a b c 2 a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
18. 2 81 2 81 1215 P a b c a b c 2 2 2 a b c 16 a b c 16 a b c 81 1215 3 17 2 2 16 3 2 16 2 3 17 1 Hay P . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c . 2 2 Bài 121. Cho các số thức a,b,c 0;1 . Chứng minh rằng: 1 1 1 a 1 b 1 c a b c 3 Lời giải a 1 Không mất tính tổng quát ta giả sử 1 a b c 0, khi đó ta có . a b c 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 3 1 b 1 c 1 b c 33 1 b 1 c 1 b c Suy ra 1 1 b 1 c 1 b c Do đó ta được 1 a 1 a 1 b 1 c 1 b c 1 a Hay 1 a 1 b 1 c 1 b c 1 a 1 a Mặt khác ta lại có a b c 1 b c 1 a Nên ta được 1 a 1 b 1 c a b c Suy ra 1 a 1 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c a b c a b c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1 Bài 122. Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a2 2b2 1. Chứng minh rằng: a 4b 3 3 b2 a2 b2 Lời giải a4 a4 a4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 27a4 2 4 2 2 2 3 a b a b b a2 2b2 3 a2 a Suy ra 27a4 hay 3 3a2 b4 b2 Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có
19. 16b4 a4 a4 108b4 2 2 2 2 2 3 3 2b a b a b 2b2 a2 b2 a2 b2 2a2 4b2 3 3 16b2 4b Suy ra 108b4 hay 6 3b2 2 2 2 a2 b2 a b a 4b Do đó ta được 3 3 a2 2b2 3 3 b2 a2 b2 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b 3 Bài 123. Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng : a3 4b3 1 3 3 3 a 8b b3 a b 4b3 1 3 Phân tích: Biểu thức vế trái được viết lại thành a . Đến đây ta nghĩ đến 3 3 8b 3 1 b b 3 1 a 3 a a b phép đổi biến t . a Lời giải 4b3 1 3 Biểu thức vế trái được viết lại là a 3 3 8b 3 1 b b 3 1 a 3 a a b Đặt t 0. Khi đó bất đẳng thức được viết lại là a 1 4t 3 1 3 3 1 8t t 3 1 t Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 2 4t 2 1 8t 3 1 2t 1 2t 4t 2 1 2t 2 2 1 1 1 Suy ra 3 2 2 1 8t 1 2t 2 1 2t 4t 3 2t 2 Ta sẽ chứng minh 3 2 t 3 1 t 1 2t Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với
20. 2 3 2 4t 2t 2 3 2 1 2t 2 t 4 t 1 t t 1 2t 2 t 1 0 3 2 t 3 1 t 1 2t Bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi t. 1 4t 3 1 2t 2 Do đó ta được 1 3 3 2 2 1 8t t 3 1 t 1 2t 1 2t Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b . 3 Bài 124. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a b c . Chứng minh rằng: 4 1 1 1 3 3 a 3b 3 b 3c 3 c 3a 1 Phân tích: Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c . Khi đó ta có đánh giá theo bất đẳng 4 a 3b 2 thức Cauchy là 3 a 3b 3 a 3b .1.1 . 3 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được a 3b 2 3 a 3b 3 a 3b .1.1 3 1 3 Do đó ta được 3 a 3b a 3b 2 1 3 1 3 Áp dụng tương tự ta được ; 3 b 3c b 3c 2 3 c 3a c 3a 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 3 3 3 3 a 3b 3 b 3c 3 c 3a a 3b 2 b 3c 2 c 3a 2 Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 3 3 3 3.9 3 a 3b 2 b 3c 2 c 3a 2 4 a b c 6 1 1 1 Do đó ta được 3 3 a 3b 3 b 3c 3 c 3a 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c . 4 Bài 125. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: ab bc ca ab bc ca 2 c ab a bc a ca c ab a bc a ca Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 ab bc ca ab bc ca c ab a bc a ca a2b2 b2c2 c2a2 3abc