Đề cương ôn tập HSG Toán THCS - Chủ đề 2: Sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức

Nội dung text: Đề cương ôn tập HSG Toán THCS - Chủ đề 2: Sử dụng các tính chất của tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối và tính chất của tam thức bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức

1. Chủ đề 2 SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA TỈ SỐ, TÍNH CHẤT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT CỦA TAM THỨC BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC A. Kiến thức cần nhớ 1. Một số tính chất của tỉ số 1 1 + Với các số thực dương a, b bất kì, ta luôn có a b a b + Với các số thực dương a, b, c, d bất kì, ta có: a a a c - Nếu 1 thì b b b c a a a c - Nếu 1 thì b b b c a c a a c c - Nếu thì b d b b d d 2. Một số tính chất của giá trị tuyệt đối trong bất đẳng thức + a a; a 0 + a b b a b a b + a b 0 a b + a b a b . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu. + a b a b . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a, b cùng dấu. + a b a b . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b 0 hoặc a b 0. + Cho các số thực a1,a2,...,an , thế thì hiển nhiên ta có a1 a2 ... an a1 a2 ... an + Cho các số thực khác không bất kì a; b, thế thì hiển nhiên ta có a b 2. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b . b a 3. Một số tính chất của tam thức bậc hai thường dùng trong bất đẳng thức. Cho tam thức bậc hai f(x) ax2 bx c với a 0. Khi đó ta viết được 2 b f(x) ax2 bx c a ax với b2 4ac 2 2a 4a Từ đó ta có một số tính chất sau: Tính chất 1: Đa thức có nghiệm khi và chỉ khi b2 4ac 0 Tính chất 2: Nếu b2 4ac 0 thì af(x) 0 . Tính chất 3: Nếu b2 4ac 0 và đa thức có hai nghiệm x ; x x x thì 1 2 1 2 + af(x) 0 với mọi giá trị x1 x x2 .
2. + af(x)> 0 với mọi giá trị x x1 hoặc x x2 . B. Một số ví dụ minh họa. 1. Sử dụng tính chất của tỉ số. Ví dụ 1. Cho a, b là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: a b 1 2a b a 2b a b Phân tích: Để ý ta thấy 1, như vậy để chứng minh bất đẳng thức ta cần đánh giá được a b a b a a b b ; . 2a b a b 2b a a b Lời giải Do a, b là các số dương nên ta có 2a b a b; a 2b a b a a b b Từ đó suy ra ; 2a b a b 2b a a b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được a b a b a b 1 2a b 2b a a b a b a b Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 2. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: a b c 1 2 a b b c c a Phân tích: Quan sát bất đẳng thức kép trên ta nhận thấy khó có thể biến đổi tương đương để chứng minh bài toán, ở đây ta cũng không cần phải dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra. Để ý một chút ta có a b c a a 1 , như vậy cần đánh giá được . Dễ nhận thấy a b c a b c a b c a b c a b đánh giá đó hiển nhiên đúng, do đó chỉ cần áp dụng tương tự thì bất đẳng thức bên trái được chứng minh. a a c Để chứng minh được bất đẳng thức bên phải thì ta cần phải đánh giá được , việc này a b a b c hoàn toàn có thể thực hiện được nhờ tính chất của tỉ số. Lời giải a Do a, b, c là các số dương nên ta có 1. Vì vậy theo tính chất của tỉ số ta được a b a a a c a b c a b a b c Áp dụng tương tự ta có b b a b c c b c , a b c b c a b c a b c c a a b c Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức kép trên ta được a b c 1 2 a b b c c a Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 3. Cho a, b, c, d là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
3. a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Lời giải Theo tính chất của tỉ số ta có a a a d 1 a b c a b c a b c d a a Mặt khác ta lại có a b c a b c d Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được a a a d a b c d a b c a b c d Tương tự ta có b b b a a b c d b c d a b c d c c b c a b c d c d a a b c d d d d c a b c d d a b a b c d Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được. a b c d 1 2 a b c b c d c d a d a b Nhận xét: Để chứng minh các bất đẳng thức ta cần tinh ý sử dụng các tính chất của tỉ số. Ngoài ra các bất đẳng thức trong ở hai ví dụ trên có thể được phát biểu lại như sau: Cho các biểu thức với a, b, c là các số thực dương. a b c A a b b c c a a b c d B a b c b c d c d a d a b Chứng minh A, B không thể nhận các giá trị nguyên. a c Ví dụ 4. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng: b d a ab cd c b b2 d2 d a c ab cd Phân tích: Để ý ta nhận thấy , đến đây ta áp dụng tính chất của tỉ số để chứng minh b d b2 d2 bất đẳng thức. Lời giải a c ab cd Từ suy ra , theo tính chất tỉ số ta được b d b2 d2 ab ab cd cd c b2 b2 d2 d2 d a ab cd c Do đó ta có b b2 d2 d Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
4. a b c 1 b c c a a b Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có chứa căn, nhìn chiều bất đẳng thức ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Tuy nhiên để đánh giá được bất đẳng thức theo Cauchy không hề đơn giản tí nào với những ai mới học bất đẳng thức. a Chú ý đến giả thiết a, b, c là ba cạnh của một tam giác, nó có mối liên hệ như thế nào với , b c a do b c a nên ta thấy được 0 1, với kết quả đó ta có thể khử căn bằng đánh giá b c a a . Đến đây thì bài toán đươc giải quyết triệt để tương tự như ví dụ thứ nhất. b c b c Lời giải Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có a a a 0 1 b c b c b c a a Vì a là số dương nên theo tính chất của tỉ số ta được b c a b c a a Do đó ta có b c a b c b b c c Chứng minh tương tự ta được ; c a a b c a b a b c a b c Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được 1 b c c a a b Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 6. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: 1 a b a b a b 2 a 1 b 1 a b 1 a 1 b 1 a a a a a b Phân tích: Để ý ta thấy 1 nên có và , áp dụng tương tự ta a 1 a b 1 a 1 a 1 a b 1 chứng minh được bất đẳng thức. Lời giải 1 a b a b + Trước hết ta chứng minh 2 a 1 b 1 a b 1 a a a b Do a là số thực dương nên ta có 1 suy ra a 1 a 1 a b 1 b a b Chứng minh tương tự ta có b 1 a b 1 Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức cuối ta được 1 a b a b 2 a 1 b 1 a b 1 a b a b + Ta chứng minh a b 1 a 1 b 1 a a b b Do a, b dương ta có và a 1 a b 1 b 1 a b 1
5. a b a b Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức này ta được a b 1 a 1 b 1 Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được bài toán cần chứng minh. Ví dụ 7. Cho a1; a2;...; an; b1; b2;...; bn là các số thực dương. Kí hiệu a a a a a a M Max 1 ; 2 ; ...; n ; m Min 1 ; 2 ; ...; n b b b b b b 1 2 n 1 2 n a a ..... a Chứng minh rằng: m 1 2 n M b1 b2 .... bn a a a a a a a Phân tích: Nhận thấy M Max 1 ; 2 ; ...; n ; m Min 1 ; 2 ; ...; n nên ta có m i M b b b b b b b 1 2 n 1 2 n i với mọi i 1, 2, , n . Do đó ta được mbi ai Mbi , đến đây ta áp dụng cho i 1, 2, , n thì ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Lời giải a a a a a a Vì M Max 1 ; 2 ; ...; n ; m Min 1 ; 2 ; ...; n nên ta được b b b b b b 1 2 n 1 2 n a m i M với mọi i 1, 2, , n . bi Suy ra mbi ai Mbi với mọi i 1, 2, , n . Lần lượt cho i bằng các giá trị 1, 2, , n rồi cộng các theo vế lại với nhau ta được b1 b2 .... bn m a1 a2 ..... an M b1 b2 .... bn a a ..... a Hay m 1 2 n M . Vậy bài toán được chứng minh. b1 b2 .... bn Ví dụ 8. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy cần phải thay đại lượng ở các mẫu bên vế trái bởi các đại lượng nhỏ hơn sao cho khi biểu thức thu được vẫn nhỏ hơn hoặc bằng vế phải. Điều đó có nghĩa là cần tìm vế phải cho bất đẳng thức a3 b3 abc ?, để ý trong vế trái của bất đẳng thức ta không đánh giá được gì từ tích abc, cho nên ta tập trung đánh giá a3 b3 . Trong vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh có chứa tích abc ở mẫu nên khi đánh giá mẫu vế trái ta cũng cần làm xuất hiện tích abc ở các phân thức, như vậy khi đánh giá a3 b3 cần làm xuất hiện tích ab, điều này gợi ý cho ta đánh giá rất đẹp a3 b3 ab a b . Nếu chứng minh được bất đẳng thức đó thì ta thu được kết quả là a3 b3 ab a b khi đó ta suy ra được đánh giá a3 b3 abc ab a b c . Đến đây ta có các đánh giá tiếp theo 1 1 c a3 b3 abc ab a b c abc a b c
6. Như vậy ta cần tập trung chứng minh a3 b3 ab a b , bất đẳng thức này được biến đổi tương 2 đương thành a b a b 0 là một đánh giá đúng. Lời giải Ta có a3 b3 ab a b a b a2 ab b2 ab a b a b a2 ab b2 ab a b a2 2ab b2 2 a b a b 0 Suy ra a3 b3 ab a b a3 b3 abc ab a b abc a3 b3 abc ab a b c 1 1 c Từ đó ta được a3 b3 abc ab a b c abc a b c Chứng minh tương tự ta có 1 1 a b3 c3 abc bc a b c abc a b c 1 1 b c3 a3 abc ac a b c abc a b c Cộng theo vế các bất đẳngthức trên ta được 1 1 1 1 a3 b3 abc b3 c3 abc c3 a3 abc abc Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Nhận xét: Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức hay. Để chứng minh được nó ta cần chứng minh a3 b3 ab a b . Nhưng vấn đề là làm sao tìm ra được bất đẳng thức phụ đó. Đầu tiên là do yêu cầu làm xuất hiện tích ab, kế đến là cần phải làm cho hai vế đồng bậc 3 và cuối cùng là chú ý khi a b thì hai vế của bất đẳng thức đó bằng nhau. Khi phân tích bài toán ta cần chú ý đến các yếu tố như đẳng thức xẩy ra ở đâu, tính đồng bậc của bất đẳng thức, chọn chiều đánh giá như thế nào cho hợp lí,... Tuy nhiên khi tiến hành các bước phân tích mà giả thiết càng gần với kết luận thì cơ hội càng lớn. Ví dụ 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a2 2b2 3 b2 2c2 3 c2 2a2 3 2 Phân tích: Ý tưởng tương tự như ví dụ trên, ở đây ta chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra khi a b c 1, như vậy ta cần có các đánh giá sao cho đảm bảo có đẳng thức xẩy ra. Nhận thấy a2 b2 2ab; b2 1 2b nên a2 2b2 3 2 ab b 1 . 1 1 1 Khi đó ta có đánh giá  . Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức a2 2b2 3 2 ab b 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3 2 ab b 1 bc c 1 ac a 1 1 1 1 Vấn đề còn lại là chứng minh được 1. Đây là một đẳng ab b 1 bc c 1 ca a 1 thức quen thuộc và nhiều hướng để xử lí nó. Lời giải
7. Ta có a2 b2 2ab; b2 1 2b a2 2b2 3 2 ab b 1 1 1 1 Do đó ta được  a2 2b2 3 2 ab b 1 Chứng minh tương tự ta có 1 1 1 1 1 1  ;  b2 2c2 3 2 bc c 1 c2 2a2 3 2 ac a 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a 2b 3 b 2c 3 c 2a 3 2 ab b 1 bc c 1 ac a 1 1 1 1 Ta cần chứng minh 1 ab b 1 bc c 1 ca a 1 Đến đây ta có hai cách chứng minh đẳng thức trên như sau x y z Cách 1: Do abc 1, nên tồn tại các số dương x, y, z để a ; b ; c y z x Khi đó ta có 1 1 1 1 1 1 ab b 1 bc c 1 ca a 1 x y y z x z 1 1 1 z z x x y y z x y 1 x y z x y z x y z Cách 2: Do abc 1, nên ta được 1 1 1 abc a 1 ab b 1 bc c 1 ca a 1 ab b abc abc ac a ca a 1 ac a 1 1 a 1 ac 1 ac a ca a 1 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Ví dụ 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 2 2 2 a 1 b2 1 b 1 c2 1 a 1 b2 1 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 a 1 b2 1 a2 b2 2a 2 2ab 2a 2 Áp dụng tương tự ta được 2 2 2 2 2 2 a 1 b2 1 b 1 c2 1 a 1 b2 1 1 1 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 1 1 1 Ta cần chứng minh 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 Đến đây ta có hai cách chứng minh đẳng thức trên như sau x y z Cách 1: Do abc 1, nên tồn tại các số dương x, y, z để a ; b ; c y z x Khi đó ta có
8. 1 1 1 1 1 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 x x y y z z 1 1 1 z y x z y x yz xz yy 1 xy yz zx xy yz zx xy yz zx Cách 2: Do abc 1, nên ta được 1 1 1 abc 1 b ab a 1 bc b 1 ca c 1 ab a abc bc b 1 cab bc b bc 1 b 1 bc b 1 bc b 1 1 bc b Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Nhận xét: Các bất đẳng thức trong ví dụ 8, 9 và 10 cho thấy kỹ thuật đánh giá ở mẫu được sử dụng như thế nào trong chứng minh bất đẳng thức, thực chất của việc đánh giá này là thay thế các mẫu bởi các đại lượng khác sao cho các đánh giá cùng chiều và đảm bảo dấu đẳng thức xẩy ra. Điều quan trọng là biết cách chọn các đánh giá phù hợp sao cho càng chặt càng tốt. Ví dụ 11. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1. Chứng minh rằng: ab bc ca 1 a b ab b c bc c a ca Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. Quan sát bất đẳng thức ta có nhận xét là tử của các phân thức là các đại lượng ab, bc, ca. Chú ý đến giả thiết abc 1 ta có thể viết lại phân ab 1 ab 1 thức bên vế trái theo các ý tưởng như hoặc là . a b ab ac bc 1 a b ab 1 1 1 a b Đến đây ta viết được vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh thành các biểu thức 1 1 1 1 1 1 hoặc và để đơn giản ta có ac bc 1 ab bc 1 bc ca 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b b c c a 1 1 1 thể đặt x 3 ab; y3 bc; z3 ca hoặc x 3 ; y3 ; z3 và chú ý đến giả thiết abc 1 dẫn đến a b c được xyz 1, lúc này ta được bất đẳng thức như ví dụ 9. Lời giải Để ý với điều kiện abc 1, khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b b c c a 1 1 1 Đặt x 3 ; y3 ; z3 , khi đó ta được xyz 1. a b c Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1 1 1 1 x 3 y3 1 y3 z3 1 z3 x 3 1 Ta chứng minh được x 3 y3 1 xy x y xyz xy x y z và áp dụng tương tự ta được 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 x y 1 y z 1 z x 1 x y z xy yz zx
9. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. Nhận xét: Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức khó, khi tôi phân tích để tìm lời giải thì các câu hỏi được đặt ra như biến đổi các biểu thức như thế nào để bài toán đơn giản hơn, sử dụng giả thiết như thế nào đây, thay vì đánh giá cả tử và mẫu ta có quy vế đánh giá mẫu được không. Sau các bước biến đổi như trên thì bài toán nhìn có vẻ dễ hơn đôi chút và nếu tận dụng tốt các lợi thế này thì công việc còn lại sẽ không gây được khó khăn nữa. Ví dụ 12. Cho các số thực a; b; c [0; 1]. Chứng minh rằng: a b c 1 ac b 1 ab c 1 bc a 1 Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy không thể trực tiếp đánh giá tử của các phân thức, do vậy ta tìm cách đánh giá mẫu của mỗi phân thức. Chú ý đến chiều của bất đẳng thức trên, ta cần một đánh giá kiểu ab c 1 ?. Giả thiết có gợi cho ta điều gì? Nên nhớ là khi a; b; c [0; 1] ta thường thu được các bất đẳng thức dạng 1 a 1 b 0 hay 1 ab a b , đến đây ta cộng vào hai vế với c thì được ab c 1 a b c . Lúc này ta có đánh giá a a tốt cho việc chứng minh bất đẳng thức là . Chỉ cần áp dụng tương tự cho các ab c 1 a b c trường hợp còn lại là ta hoàn thành chứng minh bài toán. Lời giải Vì a; b [0; 1] nên ta có 1 a 1 b 0 suy ta 1 ab a b a a Do đó ta được ab c 1 a b c suy ra . ab c 1 a b c Chứng minh tương tự ta được b b c c ; ab c 1 a b c bc a 1 a b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được a b c 1 ac b 1 ab c 1 bc a 1 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Ví dụ 13. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: 1 a2 1 b2 1 c2 7 1 b2 1 c2 1 a2 2 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy đẳng thức không xẩy ra tại a b c mà xẩy ra tại a 1; b c 0 và các hoán vị. Trong trường hợp này để dễ có những đánh giá hợp lí ta có thể sắp thứ tự các biến. Vì đẳng thức xẩy ra tại a 1; b c 0 nên không mất tính tổng quát ta sắp thứ tự các biến bằng cách chọn a là số lớn nhất. Khi đó ta mạnh dạn có các đánh giá kiểu như 1 b2 1; 1 c2 1 mà 1 a2 1 b2 vẫn bảo toàn được dấu đẳng thức xẩy ra, các đánh giá này dẫn tới 1 a2; 1 b2 . Còn 1 b2 1 c2 1 c2 lại cần phải đánh giá như thế nào để cùng chiều với hai đánh giá trước đó. Để ý là sau khi đánh giá 1 a2 1 c2 hai phân thức đầu ta thu được a2 b2 như vậy ta cần làm xuất hiện c2 trong đánh giá . Để ý đến a 1 a2
10. 1 c2 1 là số lớn nhất nên ta có c2 . Kết quả là sau một số bước đánh giá như trên ta thu được 1 a2 1 a2 1 đại lượng 2 a2 b2 c2 , bây giờ nếu biến đổi được thành biểu thức chỉ chứa biến a thì càng 1 a2 dễ chứng minh hơn. Từ giả thiết a b c 1 và chú ý đến b c 0 ta có một đánh giá rất tự nhiên là 2 2 b2 c2 b c 1 a . Bây giờ việc chứng minh bất đẳng thức hoàn toàn đơn giản. Lời giải Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử a là số lớn nhất trong ba số a, b, c. Khi đó ta có 1 b2 1; 1 c2 1. 1 a2 1 b2 1 c2 1 Do đó 1 a2; 1 b2; c2 1 b2 1 c2 1 a2 1 a2 Từ đó ta được bất đẳng thức 1 a2 1 b2 1 c2 1 2 a2 b2 c2 1 b2 1 c2 1 a2 1 a2 2 1 2 1 2 a2 b c 2 a2 1 a 1 a2 1 a2 Ta cần chứng minh 2 1 7 2 a2 1 a a 1 4a3 3a 1 0 1 a2 2 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 1; b c 0 và các hoán vị. Nhận xét: Điểm mấu chốt để tìm ra cách chứng minh bất đẳng thức trên chính là các đánh giá 1 a2 1 b2 1 c2 1 1 a2; 1 b2; c2 , việc phát hiện ra các đánh giá đó đòi hỏi phải có 1 b2 1 c2 1 a2 1 a2 sự suy luận một cách lôgic. a b c Ví dụ 14. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 3. 1 bc 1 ca 1 ab a b c 3 Chứng minh rằng: 1 a bc 1 b ca 1 c ab 4 Lời giải a b c Đặt x ; y ; z , suy ra ta có x y z 3 1 bc 1 ca 1 ab Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành x y z 3 1 x 1 y 1 z 4 x x y y z z Mà ta có ; ; 1 x 1 x y z 1 y 1 x y z 1 z 1 x y z Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được x y z 3 1 x 1 y 1 z 4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi a 3; b c 0 và các hoán vị. 2. Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối. Ví dụ 15. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
11. a b c b c a 1 b c a c a c a b c b c a a2c b2a c2b a2b c2a b2c Phân tích: Để ý ta có , phân tích thành nhân b c a c a c abc tử a2c b2a c2b a2b c2a b2c a b b c c a , mà a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a b c; b c a; c a b . Đến đây ta chứng minh được bất đẳng thức. Lời giải Ta có a b c b c a a2c b2a c2b a2b c2a b2c b c a c a c abc a b b c c a abc Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên ta có a b c; b c a; c a b Do đó ta suy ra a b b c c a abc a b b c c a Hay 1 abc a b c b c a Suy ra 1 b c a c a c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 16. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a b c 3 . Chứng minh rằng: a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 3 Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. Quan sát kĩ bất đẳng thức ta có 2 nhận định là cần phải có một đánh giá kiểu a2 ab b2 k a b để khi khử căn ta thu được a b . Vấn đề là cần xác định giá trị của k để đánh giá trên là đúng, nhớ là đẳng thức xảy ra tại a b c nên ta 1 1 2 xác định được k , tức là ta có a2 ab b2 a b . Một điều nữa cần chú ý là các biến a, b, c là 4 4 các số thực bất kì nên khi khử căn ta cần lấy giá trị tuyệt đối và để ý đến a b a b . Lời giải 2 a b Trước hết ta chứng minh a2 ab b2 . 4 Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 4 a2 b2 ab a2 b2 2ab 3 a2 2ab b2 0 3 a b 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức trên được chứng minh. Từ bất đẳng thức trên ta có
12. 2 a b a b a b a2 ab b2 4 2 2 Chứng minh tương tự ta được b c c a b2 bc c2 ; c2 ca a2 2 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 2 a b c a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 3 2 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1 Ví dụ 17. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: a b c a b c a b b c c a Phân tích: Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta luôn có a b a b , bây giờ ta tìm cách chứng minh c a b c b c c a . Để là mất các giá trị tuyệt đối ta thường sử dùng cách xét dấu các số hoặc là bình phương hai vế, trong trường hợp này ta chọn cách bình phương hai vế vì việc xét dấu rất khó khăn. Khi bình phương hai vế ta thu được kết quả là: ab c a b c a c b c ab c a b c ab c a b c Bất đẳng thức sẽ được giải quyết nếu như ta khẳng định được ab 0. Chú ý đến vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức thì việc giả sử ab 0 là hoàn toàn thực hiện được. Bây giờ ta cần trình bày lại lời giải nữa là xong. Lời giải Trong ba số a, b, c có ít nhất hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là a, b. Khi đó ta được a b a b Như vậy ta chỉ cần chứng minh c a b c b c c a Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2 2 c2 a b c 2 c a b c a c b c 2 a c b c ab c a b c a c b c ab c a b c ab c a b c Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi a, b, c cùng dấu. Ví dụ 18. Cho a, b là các số thực không âm. Chứng minh rằng: a b 1 ab 1 2 1 a 1 b 4 2 2 2 Phân tích: Ta có một đẳng thức quen thuộc là 1 a 1 b 1 a b ab và như vậy nếu ta 1 2 đánh giá được a b 1 ab 1 a b ab thì bài toán xem như được giải quyết. Để ý đến 4 1 2 đánh giá theo bất đẳng thức Cauchylaf a b 1 ab 1 a b ab và ta cần chỉ ra được 4 a b 1 ab a b 1 ab , đánh giá này là hoàn toàn đúng đắn theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối.
13. Lời giải Theo bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta được a b a b ; 1 ab 1 ab Do đó ta được 2 a b 1 ab a b 1 ab ab a b 1 1 2 2 2 2 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b 4 1 a 1 b 4 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi a 0; b 1 hoặc a 1; b 0. Ví dụ 19. Cho a, b, c là các số thực đôi một không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: a2 b2 b2 c2 c2 a2 1 1 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Phân tích: Ta viết lại bất đẳng thức là 1, như vậy nếu đánh giá được a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 a2 b2 thì bài toán được chứng minh. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 b2 c2 c2 a2 1 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức a2 b2 a2 b2 . Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 2 a2 b2 a2 b2 4a2b2 0, Đúng với mọi a, b. Chứng minh tương tự như trên ta được b2 c2 b2 c2 ; c2 a2 c2 a2 Nhân theo vế các kết quả trên ta được a2 b2 b2 c2 c2 a2 1 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Vì đẳng thức không xẩy ra nên ta được a2 b2 b2 c2 c2 a2 1 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 20. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng: 33 abc a b b c c a a b c Phân tích: Nhận định đầu tiên khi tìm hiểu bất đẳng thức trên là tìm cách phá giá trị tuyệt đối. Quan sát kĩ ta thấy không thể bình phương cũng không thể xét dấu các đại lượng để phá giá trị tuyệt đối được. Trong trường hợp này ta thử nghĩ đến cách sắp thứ tự các biến để phá giá trị tuyệt đối xem có thể chứng minh được hay không. Chẳng hạn ta chọn a b c, khi đó ta phá được các giá trị tuyệt đối và bất đẳng
14. thức được viết lại thành 33 abc a b 3c 0, nhận thấy a b 0; 33 abc 3c 0 nên bất đẳng thức thu được hoàn toàn đúng. Lời giải Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử a b c. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 33 abc a b b c a c a b c 33 abc a b 3c 0 a b 33 c 3 ab 3 c2 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì a b c. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 21. Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: a b b c c a 2 a2 b2 c2 ab bc ca Lời giải Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử a b c. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành a b b c a c 2 a2 b2 c2 ab bc ca 2 a c 2 a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 2 2 4 a c 2 a b b c c a 2 2 2 2 2 2 a c b c c a a b b c b c c a 2 a b b c 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do a b c. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Ví dụ 22. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3 a b b c c a abc 3 4 Phân tích: Trước hết ta dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại a b c. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế phải xuất hiện các đại lượng a b; b c; c a nên suy nghĩ đầu tiên khi biến đổi bất đẳng thức là cần phải làm thế nào để xuất hiện ở vế trái các đại lượng a b; b c; c a, chính yêu cầu này làm ta liên tưởng đến một hằng đẳng thức bậc ba hết sức quen thuộc đó là 1 2 2 2 a3 b3 c3 3abc a b c a b b c c a . Như vậy sau khi áp dụng thì vế trái 2 2 2 2 của bất đẳng chứa đại lượng a b b c c a mà bên vế phải lại là tích các đại lượng a b; b c; c a, từ chiều của bất đẳng thức cần chứng minh ta nghĩ đến đánh giá 2 2 2 2 a b b c c a 33 a b b c c a . Bây giờ ta cần một đánh giá kiểu 2 a b c 33 a b b c c a là hoàn thành chứng minh bất đẳng thức. Chú ý đến dấu giá trị tuyệt đối và các biến không âm ta có được các đánh giá đúng là a b a b ; b c b c ; c a c a , đến đây thì các yêu cầu để chứng minh bài toán đã được xử lí, việc trình bày lời giải hoàn toàn đơn giản. Lời giải
15. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2 2 a b c a b b c c a 3 a b b c c a 6 4 2 2 2 2 a b c a b b c c a 9 a b b c c a Theo tính chất của bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có a b a b ; b c b c ; c a c a Do đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 a b c a b b c c a a b b c c a 33 a b b c c a 2 2 2 2 Và a b b c c a 33 a b b c c a Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được 2 2 2 2 a b c a b b c c a 9 a b b c c a Vậy Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Ví dụ 23. Cho n số thực x1; x2;...;xn (với n 3). Chứng minh rằng: x x ... x x x x x ... x x Max{ x ; x ;...; x } 1 2 n 1 2 2 3 n x 1 1 2 n n 2n Trong đó Max{ x1; x2;...; xn } là số lớn nhất trong các số thực x1; x2;...;xn Lời giải Để ý là trong hai số thực x, y bất kì ta luôn có x y x y Min{ x, y} x, y Max{ x, y} và Max{ x, y} 2 x y x y Sử dụng đẳng thức Max{ x, y} , ta có: 2 x x ... x x x x x ... x x 1 2 n 1 2 2 3 n 1 n 2n x x x x x x x x x x x x 1 2 1 2 2 2 2 3 ... n 1 n 1 2n 2n 2n Max{ x , x } Max{ x , x} Max{ x , x } 1 2 2 n 1 Max{ x ; x ;...; x } n 1 2 n Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x1 x2 ... xn . 3. Sử dụng tính chất của tam thức bậc hai. Ví dụ 24. Cho a, b là các số thực thỏa mãn a2 a 2b 4b2 4ab 0 Chứng minh rằng: 0 a 2b 1
16. 2 Phân tích: Để ý rằng bất phương trình bậc hai At Bt C 0 t 1 t t 2 với A 0, trong đó 2 t1; t 2 là các nghiệm của tam thức At Bt C . Phân tích bất đẳng thức giả thiết ta thu được 2 a 2b a 2b 0, ta xem vế trái là đa thức biến a 2b , khi đó ta có lời giải sau. Lời giải Bât đẳng thức giả thiết tương đương với 2 a2 4ab 4b2 a 2b 0 a 2b a 2b 0 Đặt t a 2b t 2 t 0 0 t 1 0 a 2b 1 Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 25. Cho a, b là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: a2b4 2 a2 2 b2 4ab a2 4ab3 Phân tích: Bất đẳng thức có hai biến và biến a có bậc cao nhất là 2, do đó ta biến đổi bất đẳng thức theo hướng xuất hiện một tam thức bậc hai có biến là a như sau 2 b2 1 a2 4b 1 b2 a 4b2 0 2 Ta xem vế trái của bất đẳng thức là tam thức bậc hai, để ý đến b2 1 0, ta cần chứng minh được biệt thức của tam thức có giá trị âm. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 b2 1 a2 4b 1 b2 a 4b2 0 2 Xét đa thức f(a) b2 1 a2 4b 1 b2 a 4b2 2 2 Khi đó ta có 4b 1 b2 4 b2 1 .4b2 16b2 0 2 2 Do đó ta có b2 1 f(a) 0 mà b2 1 0 nên ta được 2 f(a) b2 1 a2 4b 1 b2 a 4b2 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 26. Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn b c d . Chứng minh rằng: 2 a b c d 8 ac bd Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 a2 2 b 3c d a b c d 8bd 0 2 Xét tam thức f(a) a2 2 b 3c d a b c d 8bd 2 2 Khi đó ta có ' b 3c d b c d 8bd 8 c b c d Do b c d nên ta được ' 0 suy ra f(a) 0 2 Hay a2 2 b 3c d a b c d 8bd 0. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
17. Ví dụ 27. Cho a, b, c, d, e là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e Phân tích: Bất đẳng thức này đã được chứng minh bằng kĩ thuật biến đổi tương đương. Ở đây ta sử dụng tư tưởng của tam thức bậc hai để chứng minh. Để ý ta viết lại được bất đẳng thức như sau f(a) a2 b c d e a b2 c2 d2 e2 , đến đây ta cần phải chứng minh được b c d e 2 4 b2 c2 d2 e2 0. Việc này hoàn toàn thực hiện được nhờ phép biến đổi tương đương hoặc bất đẳng thức Bunhiacpoxki. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e 0 Xét f(a) a2 b c d e a b2 c2 d2 e2 Khi đó ta có b c d e 2 4 b2 c2 d2 e2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 4 b2 c2 d2 e2 1 1 1 1 b2 c2 d2 e2 2 b c c e Suy ra b c d e 2 4 b2 c2 d2 e2 0 Do đó ta được f(a) a2 b c d e a b2 c2 d2 e2 0 Hay bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 28. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn 1 a, b, c 2 và a b c 0 . Chứng minh rằng: a2 b2 c2 6 Phân tích: Từ giả thiết 1 a 2, ta có thể thiết lập được bất đẳng thức bậc hai dạng a 2 a 1 0, áp dụng tương tự và chú ý đến giả thiết a b c 0 . Giải Theo tính chất về dấu của tam thức bậc hai ta có 1 a 2 a 2 a 1 0 1 b 2 b 2 b 1 0 1 c 2 c 2 c 1 0 Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được a2 a 2 b2 b 2 c2 c 2 0 a2 b2 c2 a b c 6 Vì a b c 0 nên a2 b2 c2 6. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 29. Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki. a) Cho các số thực bất kỳ a1, a2, a3, b1, b2, b3 khác 0. Chứng minh rằng: 2 a b a b a b a2 a2 a2 b2 b2 b2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
18. a a a Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 2 3 b1 b2 b3 b) Cho các số thực bất kỳ a1, a2, ..., an, b1, b2,..., bn khác 0. Chứng minh rằng: 2 a b a b ... a b a2 a2 ... a2 b2 b2 ... b2 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n a a a Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 2 ... n b1 b2 bn Lời giải a) Xét đa thức f(x) a2 a2 a2 x2 2 a b a b a b b2 b2 b2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 a2x2 2a b x b2 a2x2 2a b x b2 a2x2 2a b x b2 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 a1x b1 a2x b2 a3x b3 0 Vì f(x) 0, x R nên ta có 2 ' a b a b a b a2 a2 a2 b2 b2 b2 0 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 2 Hay a b a b a b a2 a2 a2 b2 b2 b2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1 a2 a3 a1x b1 a2x b2 a3x b3 b1 b2 b3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. b) Xét da thức f(x) a2 a2 ... a2 x2 2 a b a b ... a b b2 b2 ... b2 1 2 n 1 1 2 2 n n 1 2 n a2x2 2a b x b2 a2x2 2a b x b2 ... a2 x2 2a b x b2 1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n 2 2 2 a1x b1 a2x b2 ... anx bn 0 Vì f(x) 0, x R nên ta có 2 ' a b a b ... a b a2 a2 ... a2 b2 b2 ... b2 0 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n 2 Hay a b a b ... a b a2 a2 ... a2 b2 b2 ... b2 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1 a2 an a1x b1 a2x b2 ... anx bn ... b1 b2 bn Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 30. Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn a d b c. Chứng minh rằng: Nếu tồn tại số thực m sao cho 2m ad bc thì với mọi x R ta luôn có: x a x b x c x d m2 0 Phân tích: Quan sát biểu thức bên vế trái ta nhận thấy ngay đây là đa thức bậc 4, với phép đặt biến phụ y x2 a d x x2 b c x , khi đó vế trái trở thành đa thức bậc hai, bây giờ ta cần chứng minh được
19. biệt thức âm, cần chú ý đến giả thiết 2m ad bc vì chắc chắn phải cần đến nó mới có thể chứng minh được. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x2 a d x ad x2 b c x bc m2 0 Do a d b c nên ta đặt y x2 a d x x2 b c x , khi đó ta được bất đẳng thức y ad y bc m2 0 y2 ad bc y abcd m2 0 Xét f(y) y2 ad bc y abcd m2 2 2 Ta có ad bc 4.1. abcd m2 ad bc 4m2 y 2 2 Vì 2m ad bc nên 4m ad bc y 0 do đó ta có f(y) 0 Hay x a x b x c x d m2 0 Vậy bài toán được chứng minh. Ví dụ 31. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: 2 3a 4b 5c 44 ab bc ca Phân tích: Bất đẳng thức có bậc hai đối với mỗi biến, nên ta nghĩ đến việc đưa về tam thức bậc hai. Bất đẳng thức có ba biến nhưng có thêm điều kiện a b c 1 cho nên ta có thể chuyển bất đẳng thức thành bất đẳng thức chỉ có hai biến. Đến đây ta chọn một biến làm biến chính, còn lại ta xem như là tham số và sử dụng tính chất tam thức bậc hai là một ý tưởng không tồi chút nào. Lời giải Từ giả thiết a b c 1 suy ra c 1 a b , thay vào bất đẳng thức ta được 2 3a 4b 5 5a 5b 44ab 44 a b 1 a b 48a2 16 3b 4 a 45b2 54b 25 0 Xét f(a) 48a2 16 3b 4 a 45b2 54b 25, khi đó ta được 2 2 ' 64 3b 4 48 45b2 54b 25 176 3b 1 0 Do đó suy ra f(a) 0 hay 48a2 16 3b 4 a 45b2 54b 25 0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 1 1 1 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a ; b ; c . 2 3 6 Ví dụ 32. Cho a, b là các số thực bất kì. Chứng minh rằng: 3 1 a a2 1 b b2 2 1 ab a2b2 Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy, bất đẳng thức có tính đối xứng với hai biến a, b và là có bậc hai đối với mỗi biến do đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến sử dụng tính chất tam thức bậc hai để chứng minh. Trước hết ta viết lại bất đẳng thức b2 3b 3 a2 3b2 5b 3 a 3b2 3b 1 0 Xem vế trái là một tam thức bậc hai biến a khi đó, để ý đến b2 3b 3 0 ta cần chứng minh được biệt thức 0.
20. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với b2 3b 3 a2 3b2 5b 3 a 3b2 3b 1 0 Xét tam thức bậc hai f(a) b2 3b 3 a2 3b2 5b 3 a 3b2 3b 1 Khi đó ta được 2 3b2 5b 3 4 b2 3b 3 3b2 3b 1 a2 3a 1 0 2 2 3 3 Để ý ta thấy b 3b 3 b 0, do đó ta được f(a) 0 2 4 Hay b2 3b 3 a2 3b2 5b 3 a 3b2 3b 1 0. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra ki và chỉ khi b2 3b 1 0 2 3 5 3b 5b 3 a b a 2 2 b2 3b 3 Ví dụ 33. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng: 3 1 a a2 1 b b2 1 c c2 1 abc a2b2c2 Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy bất đẳng thức có tính đối xứng và có bậc hai đối với mỗi biến, do đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến tam thức bậc hai. Như vậy ta cần chọn một biến chính, là c chẳng hạn, khi đó các biến a, b đóng vai trò tham số. Để ý thấy vế trái của bất đẳng thức có đại lượng 1 a a2 1 b b2 rất cồng kềnh khi biến đổi, do đó ta cần thay đại lượng đó bằng một đại lượng bé hơn, chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta có hai ý tưởng là 1 a a2 1 b b2 2a a 2b b ab 2 2 2 2 2 1 a b a b 1 a 1 b 1 a2b2 Hoặc 1 a a2 1 b b2 2 2 Nhận thấy ngay ý tưởng đầu không thực hiện được vì chẳng hạn ab 0 thì bất đẳng thức 3ab 1 c c2 1 abc a2b2c2 không đúng. Do đó ta chỉ có thể theo ý tưởng thứ hai. Lúc ta được bất đẳng thức 2 1 a a2 1 b b2 1 c c2 1 a2b2 1 c c2 Bây giờ ta cần chứng minh 3 1 a2b2 1 c c2 2 1 abc a2b2c2 , viết thành f(c) 3 a2b2 c2 3 2ab 3a2b2 c 1 3a2b2 0. Công việc cuối cùng là chứng minh 2 3 2ab 3a2b2 4 3 a2b2 1 3a2b2 0 thì bài toán xem như được chứng minh. Ở đây nếu như ta không chứng minh được biệt thức 0 thì ý tưởng trên hoàn toàn phá sản. Cũng may trong bài 4 toán này ta thu được 3 1 ab 0. Đến đây chỉ cần trình bày lại lời giải nữa là xong. Lời giải