Đề cương ôn tập HSG Toán THCS - Chủ đề 12: Một số bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học THPT quốc gia và lớp 10 Chuyên Toán

Nội dung text: Đề cương ôn tập HSG Toán THCS - Chủ đề 12: Một số bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi và tuyển sinh đại học THPT quốc gia và lớp 10 Chuyên Toán

1. Chủ đề 12 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÀ TUYỂN SINH ĐH- THPT QUỐC GIA VÀ LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán THCS, THPT và các kì thi tuyển sinh lớp 10 chuyên, nội dung về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất xuất hiện một cách đều đặn trong các đề thì với các bài toán ngày càng khó hơn. Trong chủ đề này, chúng tôi đã tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất được trích trong các đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh và các đề thi chuyên toán các năm gần đây. 1 1 1 Bài 1. a) Cho các số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng: a b c 9 a b c b) Cho các số dương a, b, c thoả mãn a b c 3. Chứng ming rằng: 1 2009 670 a2 b2 c2 ab bc ca Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Hải Phòng năm 2009 - 2010 Lời giải 1 1 1 1 a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương a b c 3 abc; 3 a b c 3 abc 1 1 1 Suy ra a b c 9 a b c Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 2 a b c b) Ta có ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca 3 3 2007 Suy ra 669 ab bc ca Áp dụng bất đẳng thức trong câu a, ta có 1 1 1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 9 2 2 2 a b c ab bc ca ab bc ca 1 1 9 Suy ra 1 2 2 2 2 a b c ab bc ca a b c 1 2009 Do đó ta được 670. a2 b2 c2 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1. 1 Bài 2. Với số tự nhiên n 3. Chúng minh rằng S . n 2 1 1 1 Với Sn ... 3 1 2 5 2 3 2n 1 n n 1 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình Định năm 2009-2010 Lời giải Với n 3 , ta có
2. 1 n 1 n n 1 n 2n 1 n n 1 2n 1 4n2 4n 1 n 1 n n + 1 - n 1 1 1 4n2 4n 2 n 1. n 2 n n 1 Do đó ta được 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn 1 ... 1 2 2 2 3 n n 1 2 n 1 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. m 1 Bài 3. Chứng minh rằng 2 , với mọi số nguyên m, n. n n2 3 2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình năm 2009-2010 Lời giải m m Vì m, n là các số nguyên nên là số hữu tỉ và 2 là số vô tỉ nên 2 0 . n n Ta xét hai trường hợp sau m + Trường hợp 1: Với 2 , khi đó ta được n m2 2n2 m2 2n2 1 hay m 2n2 1 Từ đó suy ra m 2n2 1 1 2 2 2 2 n n n2 1 2 2 2 1 1 n 1 1 n2 3 2 2 2 n2 2 2 n2 2 n m + Trường hợp 2: Với 2 , khi đó ta được n m2 2n2 m2 2n2 1 hay m 2n2 1 Từ đó suy ra 1 2 2 m m 2n2 1 1 2 2 2 2 2 2 n n n n n2 1 2 2 n2 1 1 1 n2 3 2 n2 2 2 2 n Vậy bài toán được chứng minh. Bài 4. Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
3. a2 b2 c2 2 2 2 2 b c c a a b Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúcnăm 2009-2010 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 a b c ab bc ca 2 2 b c c a a b b c c a c a a b a b b c Mà ta lại có ab bc ca b c c a c a a b a b b c ab a b bc b c ca c a a b b c c a 1 a b b c c a a b b c c a 2 a b c Do đó bất đẳng thức trên trở thành 0 . b c c a a b Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn a b c 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ab bc ca P a2 b2 c2 a2b b2c c2a Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2009-2010 Lời giải Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1 và giá trị nhỏ nhất của P là 4. Ta quy bài toán về chứng minh bất đẳng thức ab bc ca a2 b2 c2 4 a2b b2c c2a Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có 3 a2 b2 c2 a b c a2 b2 c2 a3 b3 c3 a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có a3 ab2 2a2b;b3 bc2 2b2c; c3 ca2 2c2a Suy ra 3 a2 b2 c2 3 a2b b2c c2a 0 ab bc ca ab bc ca Do đó ta được a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2b b2c c2a a2 b2 c2 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được ab bc ca a2 b2 c2 4 a2 b2 c2 9 a2 b2 c2 Hay a2 b2 c2 4 2 a2 b2 c2 Đặt t a2 b2 c2 . Từ giả thiết a b c 3 a2 b2 c2 3 , do đó ta được t 3
4. Bất đẳng thức trên trở thành 9 t t 4 2t 2 9 t 8t t 3 2t 3 0 2t Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do t 3. Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 6. Cho biểu thức P a2 b2 c2 d2 ac bd , trong đó ad bc 1. Chứng minh rằng: P 3 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010 Lời giải Cách 1: Ta có 2 2 ac bd ad bc a2c2 2abcd b2d2 a2d2 2abcd b2c2 a2 c2 d2 b2 d2 c2 a2 b2 c2 d2 2 Vì ad bc 1 nên 1 ac bd a2 b2 c2 d2 (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được P a2 b2 c2 d2 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 2 2 Suy ta P 2 1 ac bd ac bd . Rõ ràng P 0 vì 2 1 ac bd ac bd Đặt x ac bd , khi đó ta được P 2 1 x2 x P2 4 1 x2 4x 1 x2 x2 1 x2 4x 1 x2 4x2 3 2 Hay P2 1 x2 2x 3 3. Do đó ta được P 3 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi ad bc 1 2a 3d c 2b 3c d Cách 2: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành a2 b2 c2 d2 ac bd 3 ad bc Hay a2 b2 c2 d2 ac bd a 3d c b 3c d Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 3d c 3d2 2 3cd c2 a 3d c a2 a2 4 4 2 3c d 3d2 2 3cd c2 b 3c d b2 b2 4 4 Cộng theo về hai bất đẳng thức trên ta được a2 b2 c2 d2 ac bd a 3d c b 3c d Bài toán được chứng minh xong. Bài 7. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có:
5. x2 y2 z2 2x2 2y2 2z2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Thanh Hóa năm 2009-2010 Lời giải Cách 1: Vì a2 b2 c2 0 nên ta có x2 y2 z2 a2 b2 c2 2 2 2 a b c b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 x2 2 y2 2 z2 2 2 2 2 a b c b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 2x2 2y2 2z2 x2 y2 z2 2 2 2 a b c Giả sử a b c, khi đó c2 a2 0; c2 b2 0. Với c là cạnh lớn nhất và các góc đều nhọn nên c2 a2 b2 . Do đó ta có b2 c2 a2 0; a2 c2 b2 0; a2 b2 c2 0 Suy ra b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 2x2 2y2 2z2 x2 y2 z2 2 2 2 a b c 2x2 2y2 2z2 x2 y2 z2 Hay a2 b2 c2 2x2 2y2 2z2 2 2 2 a b c x2 y2 z2 2x2 2y2 2z2 Hay . Bài toán được chứng minh xong a2 b2 c2 a2 b2 c2 Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x2 2x2 y2 2y2 z2 2z2 0 a2 a2 b2 c2 b2 a2 b2 c2 c2 a2 b2 c2 x2 b2 c2 a2 y2 a2 c2 b2 z2 a2 b2 c2 0 a2 a2 b2 c2 b2 a2 b2 c2 c2 a2 b2 c2 Do a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác nhọn nên a2 b2 c2; b2 c2 a2; c2 a2 b2 Nên ta được b2 c2 a2 0; a2 c2 b2 0; a2 b2 c2 0 Do vậy bất đẳng thức trên luôn đúng. Bài toán được chứng minh xong. Bài 8. a) Cho k là số nguyên dương bất kì. Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 1 1 2 k 1 k k k 1 1 1 1 1 88 b) Chứng minh rằng:  2 3 2 4 3 2010 2009 45 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Thái Bình năm 2009-2010 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
6. 1 2 k 1 2 k 2 2k 1 2 k k 1 0 k 1 k 0 k 1 k k. k 1 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi k nguyên dương. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. b) Áp dụng kết quả câu a ta có 1 1 1 1 VT  2 1 3 2 4 3 2010 2009 1 1 1 1 1 1 2 2  2 1 2 2 3 2009 2010 1 1 88 2 1 2 1 VP 2010 45 45 Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Bài 9. Với a, b, c là những số thực dương. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c 3a2 8b2 14ab 3b2 8c2 14bc 3c2 8a2 14ca 5 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 3a2 8b2 14ab 3a2 8b2 12ab 2ab 4a2 9b2 12ab 2a 3b a2 a2 a2 Suy ra 2 3a2 8b2 14ab 2a 3b 2a 3b Áp dụng tương tự ta thu được a2 b2 c2 3a2 8b2 14ab 3b2 8c2 14bc 3c2 8a2 14ca a2 b2 c2 2a 3b 2b 3c 2c 3a Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 a2 b2 c2 a b c a b c 2a 3b 2b 3c 2c 3a 5 a b c 5 Do đó ta được a2 b2 c2 a b c 3a2 8b2 14ab 3b2 8c2 14bc 3c2 8a2 14ca 5 Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c Bài 10. Giả sử x, y, z là những số thực thoả mãn điều kiện 0 x, y, z 2 và x y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức: M x 4 y4 z4 12 1 x 1 y 1 z Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHKHTN Hà Nội năm 2009-2010 Lời giải Đặt a x 1; b y 1; c z 1, ta được 1 a; b; c 1 và a b c 0. Biểu thức M được viết lại thành M a4 b4 c4 4 a3 b3 c3 6 a2 b2 c2 4 a b c 3 12abc
7. Để ý là khi a b c 0 thì a3 b3 c3 3abc 0 nên biểu thức trên thử thành M a4 b4 c4 6 a2 b2 c2 3 Theo một đánh giá quen thuộc thì a4 b4 c4 abc a b c 0 1 2 a2 b2 c2 a b c 0 3 Do đó suy ra M 3 hay giá trị nhỏ nhất của M là 3. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 0 hay x y z 1. Mặt khác do 1 a; b; c 1 nên ta có a ; b ; c 1. Từ đó ta có a4 a2 a ; b4 b2 b ; c4 c2 c Suy ra M a4 b4 c4 6 a2 b2 c2 3 7 a b c 3 Mà ta lại có a b c 0 nên trong ba số a, b, c có một hoặc hai số âm, tức là luôn tồn tại hai số cùng dấu. Không mất tính tổng quát ta giả sử hai số đó là b và c. Khi đó ta được b c b c a Đến đây ta có M 14 a 3 17 hay giá trị lớn nhất của M là 17. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a 1; b 1;c 0 và các hoán vị hay x 2; y 0; z 1 và các hoán vị Bài 11. a) Cho 3 số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng: 2 2 2 a b b c c a a2 b2 c2 ab bc ca 26 6 2009 1 2 8 b) Cho a 0; b 0. Chứng minh rằng a b 2a b Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hồ Chí Minh năm 2009-2010 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b b c c a 2 2 2 26 6 2009 2 2 2 12 a b b c 2007 c a Hay 0 13 3 2 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 2 8 a b 2a b Đặt c b, do b 0 nên ta được c 0, khi đó bất đẳng thức trên được viết lại thành 1 2 8 a c 2a c Theo một đánh giá quen thuộc ta được 1 2 2 2 2.4 8 a c 2a c 2a c 2a c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 2a b . a 2b 1 Bài 12. Cho a, b là các số dương thỏa mãn 1. Chứng minh ab2 . 1 a 1 b 8
8. Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Quảng Bình năm 2015-2016 Lời giải a 2b a b x y Từ giả thiết 1. Đặt x ; y Suy ra a ; b . 1 a 1 b 1 a 1 b 1 x 1 y Khi đó ta được x 2y 1 và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành xy2 1 2 1 x 1 y 8 Từ giả thiết ta suy ra 1 x 2y; 1 y x y nên lại viết bất đẳng thức cần chứng minh thành 2 xy 1 2 4xy x y 2 2y x y 8 Đánh giá cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b . Bài 13. Cho x, y, z là các số thực dương sao cho xyz x y z 2. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 xy yz zx 2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2009-2010 Lời giải 1 1 1 Giả thiết của bài toán được viết lại thành 1. x 1 y 1 z 1 1 1 1 Đặt a ; b ; c . Khi đó ta được a b c 1. Từ đó suy ra x 1 y 1 z 1 1 a b c 1 b c a 1 c a b x ; y ; z a a b b c a Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành ab bc ca 3 b c c a c a a b a b b c 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được ab 1 b a b c c a 2 b c c a bc 1 c b c a a b 2 c a a b ca 1 a c a b b c 2 a b b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab bc ca 3 b c c a c a a b a b b c 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 2 Bài 14. Cho các số thực không âm a, b, c sao cho ab bc ca 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 a2 2 b2 2 c2 2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2009-2010
9. Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 c2 1 a2 2 b2 2 c2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 2 a2 b2 c2 a b c a b c 1 a2 2 b2 2 c2 2 a2 b2 c2 6 a2 b2 c2 2 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1. Bài 15. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x 2y 3z 18. Chứng minh rằng: 2y 3z 5 3z x 5 x 2y 5 51 1 x 1 2y 1 3z 7 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán Đại học Vinh, 2009 – 2010 Lời giải Đặt a x; b 2y; c 3x , khi đó giả thiết trở thành a b c 18 và bất đẳng thức được viết lại thành b c 5 c a 5 a b 5 51 1 a 1 b 1 c 7 Bất đẳng thức trên tương đương với b c 5 c a 5 a b 5 51 1 1 1 3 1 a 1 b 1 c 7 1 1 1 72 Hay a b c 6 1 a 1 b 1 c 7 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 1 1 1 3 1 a 1 b 1 c 7 Thật vậy theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 1 1 9 9 3 1 a 1 b 1 c 3 a b c 21 7 Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 6 hay x 6; y 3; z 2. Bài 16. Giả sử x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x y z 1. xy z 2x2 2y2 Chứng minh rằng: 1 1 xy Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐH KHTN Hà Nội năm 2010-2011 Lời giải Ta sẽ quy bài toán về việc chứng minh bất đẳng thức cùng bậc là xy z x y z 2x2 2y2 1 x y z xy x z y z 2x2 2y2 x y z xy Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2x2 2y2 x y Do đó ta chỉ cần chứng minh z x z y z xy Bất đẳng thức trên tương đương với
10. 2 z2 xy z x y z2 xy 2z xy z x y 0 1 Bài toán được chứng minh hoàn toàn. Đẳng thức xảy ra khi x y ; z 0. 2 Bài 17. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a b c ab bc ca 6. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a2 b2 c2 3 b c a Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHNN Hà Nội năm 2010-2011 Lời giải a3 b3 c3 Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức a2 b2 c2 b c a Thật vậy, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 2 2 2 a3 b3 c3 a b c b c a ab bc ac Theo một đánh giá quen thuộc ta có a2 b2 c2 ab bc ca 2 Do đó ta được a2 b2 c2 a2 b2 c2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 Nên ta có a2 b2 c2 ab bc ac a3 b3 c3 Do đó ta suy ra a2 b2 c2 b c a + Chứng minh a2 b2 c2 3. Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a2 b2 2ab; b2 c2 2bc; c2 a2 2ca; a2 1 2a;b2 1 2b;c2 1 2c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 3 a2 b2 c2 3 2 ab bc ca a b c 12 Hay a2 b2 c2 3 a3 b3 c3 Kết hợp hai kết quả trên ta được a2 b2 c2 3 b c a Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1. Bài 18. Cho các số dương a, b, c thoả mãn a b c abc. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a b c S bc 1 a2 ca 1 b2 ab 1 c2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2010-2011 Lời giải Cách 1: Kết hợp với giả thiết ta có bc 1 a2 bc a2bc bc a a b c a b a c Hoàn toàn tương tự ta được ca 1 b2 a b b c ; ba 1 c2 a c b c ; Nên
11. a b c S a b a c a b b c a c b c a a b b c c . . . a b a c b c b c c b a c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được a a 1 a a . a b a c 2 a b a c Hoàn toàn tương tự ta được 1 a a b b c c 3 S 2 a b a c b c a b a c b c 2 3 Vậy giá trị lớn nhất của S là . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 3 . 2 1 1 1 Cách 2: Ta viết lại giả thiết thành 1. ab bc ca 1 1 1 Đăt x ; y ; z , khi đó giả thiết trở thành xy yz zx 1 a b c Ta viết lại biểu thức S thành yz zx xy S x2 1 y2 1 z2 1 Để ý đến giả thiết xy yz zx 1 ta được yz zx xy S x y x z y z x z z x y z Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh được yz zx xy 3 x y x z y z x z z x y z 2 3 Vậy giá trị lớn nhất của S là . 2 Bài 19. Cho các số dương a, b c .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 c ab 1 a bc 1 b ca 1 S b2 bc 1 c2 ca 1 a2 ab 1 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Thọ năm 2010-2011 Lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng x y z 33 xyz ta được 2 2 2 c ab 1 .a bc 1 .b ca 1 ab 1 bc 1 ac 1 S 33 33 b2 bc 1 .c2 ac 1 .a2 ab 1 abc 2 ab.2 bc.2 ca 33 6 abc Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 6, đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1
12. ab 1 bc 1 ca 1 Cách 2: Đặt x ; y ; z b c a x2 y2 z2 Khi đó biểu thức được viết lại thành S y z x Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 2 x2 y2 z2 x y z S x y z y z x x y z Do đó ta được ab 1 bc 1 ca 1 1 1 1 S a b c 6 b c a a b c Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 6, đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1 Bài 20. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 18 2 . Chứng minh rằng: 1 1 1 1 x y z y z x z x y 4 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán Đại học Vinh, 2010 – 2011 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 1 1 1 2x y z 2y z x 2z x y 4 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2x y z 2x y z , do đó ta được 1 2 2x y z 2x y z Hoàn toàn tương tự ta được bất đẳng thức 1 1 1 1 1 1 2 2x y z 2y z x 2z x y 2x y z x 2y z x y 2z Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 1 1 1 1 2x y z x 2y z x y 2z 8 2 Thật vậy theo bất đẳng thức Cauchy ta được 1 1 1 9 9 1 2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z 4.18 2 8 2 Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y z 6 2 . Bài 21: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 3 6 1 a b c ab bc ca Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh vĩnh Phúc năm 2010-2011 Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức đã cho tương đương: a b c ab bc ca 3 ab bc ca 6 a b c
13. 2 Để ý rằng ab bc ca 3abc a b c 3 a b c 3 Nên bài toán quy về chứng minh 3 a b c 3 3 a b c 6 a b c 2 Bất đẳng thức trên tương đương với 3 a b c a b c 3 0 Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1 1 1 1 Cách 2: Đặt a ;b ;c xyz 1. Khi đó ta có x y z 3 6 3abc 6abc 1 1 a b c ab bc ca a b c ab bc ca 3 6 3 6 1 1 1 1 1 1 1 1 xy yz zx x y z ab bc ca a b c 2 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 xy yz zx x y z 3 9 Suy ra 1 1 2 xy yz zx x y z 2 9 6 3 Mặt khác 1 1 0 với x, y,z 0. 2  x y z x y z x y z 9 6 Nên ta được 1 2 x y x x y z 3 6 Từ đó ta được bất đẳng thức 1 xy yz zx x y z Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Bài 22. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 2. Chứng minh rằng: 1 1 1 97 a2 b2 c2 b2 c2 a2 2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán TP Hải Phòng năm 2010-2011 Lời giải Cách 1: Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau 2 2 a2 x2 b2 y2 a b x y Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với 2 2 2 a2 b2 x2 y2 a x b y 2 2 a2 b2 x2 y2 2ax 2by a2 b2 x2 y2 ax by Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Bunhiacopxki Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
14. 2 1 1 1 2 1 1 1 a2 b2 c2 a b c2 2 2 2 2 b c a a b a 2 2 1 1 1 a b c a b c 2 2 1 1 1 97 Ta cần chứng minh a b c a b c 4 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy và chú ý giả thiết a b c 2, ta được 2 2 1 1 1 2 81 a b c a b c 2 a b c a b c 2 16 65 97 a b c 2 2 a b c a b c 4 2 Bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 3 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 1 81 9 9 a2 1 a a 2 b 16 4b 4b 97 1 9 Hay a2 a 4 b2 4b Chứng minh tương tự ta được 97 1 9 97 1 9 b2 b ; c2 c 4 c2 4c 4 a2 4a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 97 1 1 1 9 1 1 1 a2 b2 c2 a b c 2 2 2 4 b c a 4 a b c 1 1 1 9 Mà ta lại có a b c a b c Do đó ta được 1 1 1 4 81 a2 b2 c2 a b c b2 c2 a2 4 a b c 97 4 81 97 Ta cần chứng minh a b c 4 a b c 2 97 81 97 Hay a b c 4 a b c 8 Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
15. 81 4 65 a b c a b c 4 a b c a b c 4 a b c 4 65 65 97 2 a b c 4 a b c 4.2 8 8 2 Bất đẳng thức đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 3 Bài 23: Cho các số a, b, c 1;2 . Chứng minhrằng: a2 b2 b2 c2 c2 a2 7 ab bc ca Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Hà Tĩnh năm 2010-2011 Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 7abc c ab ca b2 bc a ab ca b2 bc 5abc 2bc2 2a2b 0 ab ca b2 bc c a b 4ca 2c2 2a2 ca 0 a b b c c a b 2a c 2c a 0 Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử 2 a b c 1 khi đó ta được 2a 2 c; 2c 2 a . Do đó ta được a b b c c a 0; b 2a c 2c a 0 Nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b 2; c 1 và các hoán vị. Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b b c c a 7 b a c b a c Vì vai trò các biến như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử 2 a b c 1. Khi đó ta có a a b a b 1 1 1 0 c b c b c c b c b c 1 1 1 0 a a b a b Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được a c a b b c a c a b b c a c 2 0 2 2 c a b c a b c a b c a b c a Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được a c 2 5 2a c a 2c 0 c a Từ 2 a b c 1 suy ra 2a 2 c; 2c 2 a nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 24. Cho a, b, c là các số thực dương không âm thỏa mãn a b c 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P a b b c c a abc Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2010-2011 Lời giải
16. Đặt x a; y b; z c . Từ giả thiết ta được x2 y2 z2 3. Khi này biểu thức P trở thành P x2y y2z z2x xyz Dễ thấy P 0 theo bất đẳng thức Cauchy Không mất tính tổng quát ta giả sử y là số nằm giữa x, z. Khi đó ta có z y z y x 0 y2z z2x xyz z2y Do đó ta có P x2y y2z z2x xyz x2y z2y y x2 z2 Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có 3 2x2 2y2 2z2 2y2 x2 z2 x2 z2 8 3 Suy ra y x2 z2 2 nên ta được P 2. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y z a b c 1 z 0 và các hoán vị và các hoán vị a 2; b 1; c 0 x2 2y2 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 2. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1 hoặc a 2; b 1; c 0 và các hoán vị. Bài 25. Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1. Chứng minh rằng: a2 1 a b2 1 b c2 1 c 1 1 1 bc ac ab a b c Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Hưng Yên năm 2010-2011 Lời giải Để ý là a2 1 a2 ab bc ca a b c a , do đó ta được a2 1 a b c a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2a b c 2 a b c a a a a 1 a 2 b c 1 1 1 bc bc bc 2bc 2 b c b2 1 b 1 1 1 c2 1 c 1 1 1 Hoàn toàn tương tự ta được ; ac 2 a c ab 2 a b Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được a2 1 a b2 1 b c2 1 c 1 1 1 bc ac ab a b c 1 Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 3 1 1 1 1 Bài 26. a) Cho 2 số dương a và b. Chứng minh rằng : a b 4 a b 1 1 1 b) Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn 2010. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: x y z 1 1 1 P 2x y z x 2y z x y 2z
17. Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Phú Yên năm 2010-2011 Lời giải a) Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau 1 1 1 1 2 2 4ab a b 0 a b a b 4 a b Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b b) Áp dụng bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 1 1 2 1 1 2x y z 4 x y x z 16 x y z Hoàn toàn tương tự ta được 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 ; x 2y z 16 x y z x y 2z 16 x y z Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 1 1 1 1 2010 1005 P 2x y z x 2y z x y 2z 4 x y z 4 2 1005 Vậy giá trị lớn nhất của P là . Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y z 670 2 Bài 27. Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a b c 3. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 1 ab 1 bc 1 ca 2 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình Phước năm 2011-2012 Lời giải Cách 1: Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 1 1 9 A 1 ab 1 bc 1 ca 3 ab bc ca 2 a b c Mặt khác dễ thấy ab bc ca 3 Mà a b c 3 nên ab bc ca 3 9 9 3 Do đó ta được A . 3 ab bc ca 3 3 2 1 ab 1 bc 1 ca Dấu bằng xảy ra khi a b c a b c 1 a b c 3 Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 1 ab 1 1 ab 1 1 ab 3 ab 2 . 1 1 1 ab 4 1 ab 4 1 ab 4 4 1 3 ab 1 3 ca Hoàn toàn tương tự ta có ; 1 ab 4 1 ca 4 1 1 1 9 ab bc ca Do đó ta được . 1 ab 1 bc 1 ca 4 Mặt khác ta chứng minh được ab bc ca 3
18. 1 1 1 9 ab bc ca 3 Do đó ta suy ra 1 ab 1 bc 1 ca 4 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 ab ab ab 1 1 1 1 ab 1 ab 2 ab 2 1 bc 1 ca Tương tự ta có 1 ; 1 1 bc 2 1 ca 2 Cộng theo vế theo vế các bất đẳng thức trên và áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: 1 1 1 1 3 ab bc ca 1 ab 1 bc 1 ca 2 1 a b b c c a a b c 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 Bài toán được chứng minh xong. Bài 28. Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 1 ... 4 1 2 3 4 5 6 79 80 Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán ĐHSP Hà Nội năm 2011-2012 Lời giải 1 1 1 1 1 1 Dễ thấy ; ;... 1 2 2 3 3 4 3 4 79 80 80 81 Do đó ta được 1 1 1 1 1 1 ... ... 1 2 3 4 79 80 2 3 4 5 80 81 Suy ra 1 1 1 1 1 1 2 ... ... 1 2 3 4 79 80 1 2 2 3 80 81 1 1 1 Hay 2 ... 2 1 3 2 ... 81 80 1 2 3 4 79 80 1 1 1 Nên ta được ... 4 1 2 3 4 79 80 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 29. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng: a2b b2c c2a ab2 bc2 ca2 abc 3 a3 abc b3 abc c3 abc Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2011-2012 Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b c b c a a2 b2 c2 1 3 1 1 1 c a b c a b bc ca ab a b c Đặt x ; y ; z x; y; z 0; xyz 1 b c a Khi đó bất đẳng thức trên trở thành
19. x y z xy yz zx x y z 1 3 1 1 1 z x y x y y z z x x y y z z x xyz 1 3 xyz x y y z z x 1 1 3 x y y z z x Đặt t 3 x y y z z x suy ra t 2. Khi đó ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành t 3 1 1 t t 3 1 1 2t t 2 t t 2 t 1 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do t 2. Vậy bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a b c b c a a2 b2 c2 1 3 1 1 1 c a b c a b bc ca ab bc ca ab a2 b2 c2 a2 b2 c2 Hay 3 1 3 1 1 1 2 2 2 a b c bc ca ab bc ca ab a2 b2 c2 Đặt x ; y ; z , khi đó ta có xyz 1 bc ca ab Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1 1 1 3 x y z 1 3 1 x 1 y 1 z x y z Hay 3 x y z xy yz zx 1 3 2 x y z xy yz zx Đặt t 3 2 x y z xy yz zx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x y z xy yz zx 6 Do đó ta có t 3 2 6 2 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành t 3 1 1 t t 2 1 t 2 2t 1 t t 1 t 2 0 Đánh giá cuối cùng đúng với mọi t 2. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c . Bài 30. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a b c 2. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: ab bc ca P ab 2c bc 2a ca 2b Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Thanh Hóa năm 2011-2012 Lời giải Để ý đến giả thiết a b c 2 ta có ab 2c ab c a b c b c c a Do đó theo bất đẳng thức Cauchy ta được
20. ab ab 2ab 2ab ab 2c b c c a b c c a bc 2bc 2bc ca 2ca 2ca Hoàn toàn tương tự ta được ; bc 2a a b c a ca 2b a b b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được ab bc ca 2ab 2ab 2bc 2bc 2ca 2ca ab 2c bc 2a ca 2b b c c a a b c a a b b c 2 a b c 4 Hay P 4. Vậy giá trị lớn nhất của P là 4. 2 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khia b c 3 9 Bài 31. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc . Chứng minh rằng: 4 a3 b3 c3 a b c b a c c a b Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2011-2012 Lời giải Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a3 b3 ab a b ab a b ab a b a b 2 2 9 abc c 4 a3 b3 a b Từ đó ta có c3 c3 2c a b 2 c Tương tự ta có a3 c3 a c b3 b3 2b a c 2 b b3 c3 b c a3 a3 2a b c 2 a Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: a3 b3 c3 a b c b a c c a b Bài toán được chứng minh xong. Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 2 a b c b a c c a b 2 a b c a2 b2 c2 9 2 a b c a2 b2 c2 abc a b c a2 b2 c2 4 1 2 Theo một bất đẳng thức quen thuộc ta có abc a b c ab bc ca 3 Từ đó ta được 2 abc a b c a2 b2 c2 a2 b2 c2 ab bc ca 3 6 a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca a b c 34 34