Đề cương ôn tập HSG Toán THCS - Chủ đề 11: Một số bất đẳng thức hay và khó

Nội dung text: Đề cương ôn tập HSG Toán THCS - Chủ đề 11: Một số bất đẳng thức hay và khó

1. Chương III. TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Nội dung cơ bản của chương gồm Lựa chọn và giới thiệu một số bài toán bất đẳng thức hay và khó, cùng với đó là quá trình phân tích các hướng tiếp cận bài toán và các lời giải độc đáo. Tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán bất đẳng thức từ các đề thi học sinh giỏi môn Toán cấp THCS, THPT và một số bất đẳng thức từ các đề thi vào lớp 10 chuyên toán trong một số năm trở lại đây . Giới thiệu các bài tập tổng hợp để các em học sinh có thể tự rèn luyện. Chủ đề 11 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ Trong chủ đề này, chúng tôi đã tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán bất đẳng thức hay và khó, cùng với đó là quá trình phân tích để đi đến hình thành lời giải cho bài toán bất đẳng thức đó. Từ các bài toán đó ta sẽ thấy được quá trình phân tích đặc điểm của giả thiết bài toán cũng như bất đẳng thức cần chứng minh, từ đó có những nhận định, định hướng để tìm tòi lời giải và cách trình bày lời giải cho một bài toán bất đẳng thức. Bài 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: bc ca ab 1 1 1 a2 b c b2 c a c2 a b 2a 2b 2c Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c. Có thể nói đây là một bất đẳng thức hay tuy nhiên nó không thực sự khó. Quan sát bất đẳng thức ta có một cách tiếp cận bài toán như sau Cách 1: Từ chiều của bất đẳng thức, ý tưởng đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá. 1 Nhưng ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho bao nhiều số? Để ý bên vế trái bất đẳng thức có chứa và a2 1 bên vế phải lại chứa nên ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số, ta cũng cần triệt tiêu các đại a bc lượng . Chú ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta có đánh giá sau b c bc b c bc b c 1 2  a2 b c 4bc a2 b c 4bc a Thực hiện tương tự ta có ca c a 1 ab a b 1 ; b2 c a 4ca b c2 a b 4ab c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được bc ca ab b c c a a b 1 1 1 a2 b c b2 c a c2 a b 4bc 4ca 4ab a b c b c c a a b 1 1 1 1 Để ý là , lúc này ta thu được 4bc 4ca 4ab 2 a b c bc ca ab 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c b c a c a b a b c 2 a b c
2. bc ca ab 1 1 1 Hay a2 b c b2 c a c2 a b 2a 2b 2c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Cách 2: Ý tưởng thứ hai là áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 2 bc ca ab ab bc ca a2 b c b2 c a c2 a b abc a b c b c a c a b Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 2 ab bc ca 1 1 1 abc a b c b c a c a b 2a 2b 2c Biến đổi vế trái ta được 2 2 ab bc ca ab bc ca 1 1 1 abc a b c b c a c a b 2abc ab bc ca 2a 2b 2c Điều này có nghĩa là bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Ý tưởng tiếp theo là sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh bài toán. Chú ý đến bc 1 ab bc ca phép biến đổi , khi đó ta thu được bất đẳng thức cần chứng sau a2 b c a a2 b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca 3 1 1 1 . Biến đổi vế trái ta lại được 2 2 2 a b c b c a c a b 2 a b c 3 1 1 1 3 ab bc ca . Đến lúc này ta đưa bài toán cần chứng minh thành 2 a b c 2abc 1 1 1 3 a2 b c b2 c a c2 a b 2abc Đến đây ta biến đổi bất đẳng thức bằng cách nhân cả hai vế với tích abc ta được bc ca ab 3 ab ca bc ab ca bc 2 Bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức Neibitz. Điều này đồng nghĩa với việc bất đẳng thức được chứng minh. Cách 4: Ta tiếp tục phân tích tìm lời giải với ý tưởng đổi biến, quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy bc 1 , khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 2 a b c 2 1 1 a b c 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 a b c a b c b c c a a b 1 1 1 Đến đây ta đặt x ; y ; z . Khi đó bất đẳng thức trở thành a b c x2 y2 z2 x y z y z z x x y 2 Bất đẳng thức cuối cùng làm ta liên tưởng đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức
3. 2 x2 y2 z2 x y z x y z y z z x x y 2 x y z 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Bài 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a b c 1 b 2c c 2a a 2b Phân tích và lời giải Cũng như bài toán trên ta dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại a b c. Với bất đẳng thức trên ta cũng có một số ý tưởng tiếp cận bài toán như sau Cách 1: Ý tưởng đầu tiên là đánh giá bất đẳng thức trên theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Khi đó ta được 2 a b c a2 b2 c2 a b c b 2c c 2a a 2b ab 2ca bc 2ab ca 2bc 3 ab bc ca 2 a b c Bài toán sẽ được hoàn tất nếu ta chỉ ra được 1, nhưng đánh giá này chính là 3 ab bc ca 2 a b c 3 ab bc ca . Đây là một bất đẳng thức quen thuộc. Như vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Ta tiếp tục đánh giá bất đẳng thức với ý tưởng đổi biến. Quan sát bất đẳng thức ta hướng đến việc đổi biến làm đơn giản mẫu các phân số. Cho nên rất tự nhiên ta thực hiện phép đặt x b 2c; y c 2a; z a 2b , khi đó suy ra x, y, z 0. Thực hiện biểu diễn các biến cũ theo 4y z 2x 4z x 2y 4x y 2z biến mới ta được a ; b ; c 9 9 9 Khi này bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 4y z 2x 4z x 2y 4x y 2z 1 9x 9y 9z 4 y z x 1 z x y 2 Hay 1 9 x y z 9 x y z 3 y z x z x y Dễ dàng nhận ra 3; 3 theo bất đẳng thức Cauchy. Do đó ta được x y z x y z 4 y z x 1 z x y 2 4 1 2 1 9 x y z 9 x y z 3 3 3 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. Cách 3: Bây giờ ta thử đánh giá bất đẳng thức trên theo hướng đánh giá mẫu của các các phân thức xem sau. Quan sát ta nhận thấy b 2c b 2a 2 a b c , lại theo một bất đẳng thức Cauchy ta thấy 2 2a 2b 2c 2 b 2c b 2a a b c cho nên rất tự nhiên ta thực hiện phép đánh giá 4 sau
4. a a b 2a a b 2a 2 b 2c b 2c b 2a a b c Thực hiện tương tự ta được b b c 2b c c a 2c ; 2 2 c 2a a b c a 2b a b c Lúc này ta thu được bất đẳng thức a b c a b 2a b c 2b c a 2c 2 b 2c c 2a a 2b a b c Để ý là a b 2a b c 2b c a 2c a2 b2 c2 2 ab bc ca 1 2 2 a b c a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: a b c 1 1 b a 1 c b 1 a c Phân tích và lời giải 1 Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại a b c . Trước hết ta áp dụng giả thiết viết lại 3 a b c bất đẳng thức cần chứng minh thành 1. Đây chính là bất đẳng thức trong c 2b a 2c b 2a bài 2, do đó ta có thể chứng minh bất đẳng thức theo các cách như trên. Ngoài ra ta còn có thêm giả thiết a b c 1, ta thử phân tích xem còn có thêm ý tưởng nào khác không? 2 Cách 1: Để ý là a b c 1 ta có a b c 1. Khi đó ta cần biến đổi a b c làm xuất hiện a b c các đại lượng ; ; . Với nhận định này ta biến đổi được như sau c 2b a 2c b 2a a b c a b c a c 2b b a 2c c b 2a c 2b a 2c b 2a Khi đó ta sẽ được 2 2 a b c a b c a c 2b b a 2c c b 2a c 2b a 2c b 2a Để ý là theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 a b c a c 2b b a 2c c b 2a c 2b a 2c b 2a a b c a c 2b b a 2c c b 2a c 2b a 2c b 2a 2 a b c a b c Như vậy lúc này ta được c 2b a 2c b 2a 3 ab bc ca
5. Rõ ràng đây cũng là một đánh giá đúng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Điều này đồng nghĩa với bài toán được chứng minh. a Cách 2: Cũng từ giả thiết a b c 1 ta được 1 b a 0, suy ra 0. 1 b a 2 a 1 a b 2 a Dễ thấy 1 a b 1, do đó ta có a 1 a b 1 b a 1 b a Ta thực hiện tương tự được b c b 1 b c ; c 1 b a 1 c b 1 a b Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được a b c a 1 a b b 1 b c c 1 c a 1 b a 1 c b 1 a c Bài toán sẽ được hoàn tất nếu ta chỉ ra được a 1 a b b 1 b c c 1 c a 1 Hay a b c a2 b2 c2 ab bc ca 1 Chú ý đến đánh giá a2 b2 c2 ab bc ca ta thấy đánh giá cuối cùng luôn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 4. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c b c a c a b a b c Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c. Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có b c a 0; c a b 0; a b a 0. Chú ý đến hình thức phát biểu của bài toán ta có một số ý tưởng chứng minh như sau Cách 1: Cách phát biểu vế trái của bất đẳng thức làm ta liên tưởng đến áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và ta có kết quả là 2 a2 b2 c2 a b c a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c Đây chính là điều ta cần phải chứng minh. Cách 2: Ý tưởng thứ hai là sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Khi đó ta được a2 b2 c2 b c a 2a; c a b 2b; a b c 2c b c a c a b a b c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được a2 b2 c2 a b c 2 a b c b c a c a b a b c a2 b2 c2 Hay a b c b c a c a b a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. a2 Cách 3: Trước hết ta chứng minh 3a b c . b c a Thật vậy, với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên bất đẳng thức trên tương đương với
6. a2 b c a 3a b c 2 2 a2 3a2 4a b c b c 2a b c 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng, do đó bất đẳng thức trên được chứng minh. Áp dụng tương tự ta được b2 c2 3b c a ; 3c a b c a b a b c Do đó ta được a2 b2 c2 3 a b c 2 a b c a b c b c a c a b a b c Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 a3 b c b3 c a c3 a b 2 Phân tích và lời giải Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có một số ý tưởng tiếp bài toán như sau Cách 1: Ý tưởng đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Ở đây ta phân tích xem nên sử dụng cho mấy 1 số. Đầu tiên ta chú ý đến đại lượng bên vế trái nên rất tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy cho a3 1 ba số, ta cũng cần phải làm triệt tiêu . Để ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta có đánh giá là b c 1 b c 1 3 . a3 b c 4 2 2a Áp dụng tương tự ta có 1 c a 1 3 1 a b 1 3 ; b3 c a 4 2 2b c3 a b 4 2 2c Lúc này cộng theo vế các bất đẳng thức trên thì được 1 1 1 a b c 3 3 3 3 a3 b c b3 c a c3 a b 2 2 2 2 2a 2b 2c 1 1 1 1 1 1 3 Hay a3 b c b3 c a c3 a b a b c 2 1 1 1 1 Để ý tiếp ta lại thấy 3.3 3 a b c abc 1 1 1 3 Do đó ta được a3 b c b3 c a c3 a b 2 Như vậy bài toán được chứng minh. Cũng sử dụng bất đẳng thức Cauchy nhưng với hai số dương ta có thể thực hiện được không? Ta 1 1 1 chú ý đến đại lượng bên vế trái, nếu muốn đánh giá về ta cần khử được và như a3 b c a a b c
7. vậy chú ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương đó là 1 a b c và . Khi đó ta được a3 b c 4 1 a b c 1 a b c 1 2  a3 b c 4 a3 b c 4 a Áp dụng tương tự ta được 1 b c a 1 1 c a b 1 ; b3 c a 4 b c3 a b 4 c Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 ab bc ca 1 1 1 a3 b c b3 c a c3 a b 2 a b c Để ý đến giả thiết abc 1 ta được 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 a b c b c a c a b 2 a b c Đến đây ta thực hiện tương tự như trên. Cách 2: Chú ý đến giả thiết abc 1 ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh 1 1 1 3 a3 b c b3 c a c3 a b 2 abc abc abc 1 1 1 2 2 2 3 Hay a b c 1 1 1 1 1 1 2 b c c a a b 1 1 1 Đến đây để đơn giản hóa ta đặt x ; y ; z , suy ra xyz 1và bất đẳng thức cần a b c chứng minh được viết lại thành x2 y2 z2 3 y z z x x y 2 Đến đây ta có hai hướng xử lý bất đẳng thức trên. Hướng 1: Áp dụng các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và bất đẳng thức Cauchy ta được 2 x2 y2 z2 x y z x y z 33 xyz 3 y z z x x y 2 x y z 2 2 2 Hướng 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được x2 y z x2 y z 2  x y z 4 y z 4 y2 z x y2 z x 2  y z x 4 z x 4 z2 x y z2 x y 2  z x y 2 x y 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
8. x2 y2 z2 x y z x y z y z z x x y 2 x2 y2 z2 x y z 33 xyz Hay 1 y z z x x y 2 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 6. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a5 b5 c5 a3 b3 c3 a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 3 Phân tích và lời giải Quan sát cách phát biểu của bài toán thì ý tưởng đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức và khi đó ta được 2 3 3 3 a5 b5 c5 a b c a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 Như vậy ta cần chỉ ra được 2 3 3 3 a b c a3 b3 c3 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 3 Hay 2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 Dễ thấy a3 b3 ab a b ; b3 c3 bc b c ; c3 a3 ca c a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c. a5 Ý tưởng thứ hai là sử dụng bất đẳng thức Cauchy, để ý đến đại lượng bên vế trái và a2 ab b2 a3 đại lương bên vế phải, ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng Cauchy cho hai số dương, để ý đến dấu đẳng thức 3 xẩy ra tại a b c và cần triệt tiêu được a2 ab b2 nên ta chọn hai số đó là 2 2 a5 a a ab b ; . Khi đó ta được a2 ab b2 9 2 2 2 2 a5 a a ab b a5 a a ab b 2a3 2  a2 ab b2 9 a2 ab b2 9 3 Áp dụng tương tự ta có 2 2 2 2 b5 b b bc c 2b3 c5 c c ca a 2c3 ; b2 bc c2 9 3 c2 ca a2 9 3 a5 b5 c5 Để đơn giản hóa ta đặt A a2 ab b2 b2 bc c2 c2 ca a2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được a a2 ab b2 b b2 bc c2 c c2 ca a2 2 a3 b3 c3 A 9 9 9 3
9. 5 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 Hay A 9 Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 3 3 3 2 2 2 2 2 2 5 a b c a b ab b c bc c a ca a3 b3 c3 9 3 2 a3 b3 c3 a2b ab2 b2c bc2 c2a ca2 Đến đây ta thực hiện tương tự như cách 1. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 30 a2 b2 c2 ab bc ca Phân tích và lời giải 1 Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại a b c . Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh 3 ta nhận thấy các biến đều nằm dưới mẫu nên rất tự nhiên ta nghĩ đến các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki dạng phân thức Cách 1: Trước hết ta tiếp cận bất đẳng thức trên với ý tưởng đánh giá bằng bất đẳng thức Cauchy. Để ý đến bảo toàn dấu đẳng thức ta có a2 b2 c2 ab bc ca nên đầu tiên để tạo ra đại lượng 1 1 1 9 ab bc ca ta có đánh giá quen thuộc là . ab bc ca ab bc ca Do đó ta có bất đẳng thức 1 1 1 1 1 9 a2 b2 c2 ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca Như vậy ta cần phải chứng minh được 1 9 30 a2 b2 c2 ab bc ca Lại chú ý đến đánh giá tương tự như trên nhưng ta cần cộng các mẫu sao cho có thể viết được thành 2 a b c điều này có nghĩa là ta cần đến 2 ab bc ca . Đến đây ta hai hướng là: 2 1 2 1 2 2 - Thứ nhất là đánh giá 1 2 , Tuy nhiên 2 2 2 2 a b c 2 ab bc ca a b c đánh giá này không xẩy ra dấu đẳng thức. 1 1 1 9 - Thứ hai là đánh giá 9. 2 2 2 2 a b c ab bc ca ab bc ca a b c 7 Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 21 ab bc ca 2 a b c 1 Tuy nhiên, dễ thấy ab bc ca ab bc ca 3 3 7 Do đó ta được 21 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra thì ta được
10. 1 1 1 1 16 a2 b2 c2 3ab 3bc 3ca a2 b2 c2 3 ab bc ca 16 12 2 1 2 a b c a b c 3 Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 2 1 1 1 18 3 ab bc ca Để ý tiếp bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 2 1 1 1 6 6 18 3 ab bc ca ab bc ca 1 2 a b c 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Theo một đánh giá quen thuộc ta có 1 1 1 9 ab bc ca ab bc ca Do đó ta có bất đẳng thức 1 1 1 1 1 9 a2 b2 c2 ab bc ca a2 b2 c2 ab bc ca Áp dụng tiếp đánh giá trên ta được 1 1 1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 9 2 2 2 a b c ab bc ca ab bc ca 1 2 Hay 9 a2 b2 c2 ab bc ca 7 Mặt khác ta lại có 21 ab bc ca Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 1 1 1 30. a2 b2 c2 ab bc ca 1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c . 3 Bài 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: a b c 3 b c a Phân tích và lời giải Trước hết để mất dấu căn ta đặt x a; y b; z c , khi đó từ giả thiết ta có x2 y2 z2 x2 y2 z2 3 và bất đẳng thức được viết lại thành 3. Quan sát bất đẳng thức và dự y z x đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại x y z 1, ta có một số ý tưởng tiếp cận bài toán như sau Cách 1: Từ cách phát biểu vế trái ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên cần chú ý đến giả thiết x2 y2 z2 3, khi đó ta có đánh giá 2 2 2 2 x2 y2 z2 x 4 y4 z4 x y z 9 y z x x2y y2z z2x x2y y2z z2x x2y y2z z2x
11. Ta quy bài toán về chứng minh 9 3 3 x2y y2z z2x x2y y2z z2x Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta được x 3 xy2 2x2y; y3 yz2 2y2z; z3 zx2 2z2x Do đó ta có x 3 y3 z3 x2y xy2 x2z xz2 y2z yz2 3 x2y y2z xz2 Mà ta có đẳng thức quen thuộc x2 y2 z2 x y z x 3 y3 z3 x2y xy2 x2z xz2 y2z yz2 Do đó ta được x2 y2 z2 x y z 3 x2y xz2 y2z Để ý tiếp đến giả thiết x2 y2 z2 3, ta có x y z x2y y2z xz2 Mà ta có x y z 3 x2 y2 z2 3 suy ra 3 x2y y2z z2x . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1. Cách 2: Cũng từ cách phát biểu vế trái ta nghĩ đến đánh giá bằng bất đẳng thức Cauchy, tuy nhiên khi áp dụng trực tiếp ta cần chú ý làm triệt tiêu các mẫu số và đánh giá về bình phương của các biến. Do đó ta đánh giá như sau x2 y2 z2 x2y 2x2; y2z 2y2; z2x 2z2 y z x Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được x2 y2 z2 x2y y2z z2x 2x2 2y2 2z2 6 y z x x2 y2 z2 Hay 6 x2y y2z z2x y z x Bài toán sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 6 x2y y2z z2x 3 hay 3 x2y y2z z2x Đến đây ta làm như cách thứ 1. Cách 3: Cũng áp dụng bất đẳng thức Cauchy, tuy nhiên trong tình huống này ta bình phương hai vế trước x2 y2 z2 Đặt A , khi đó ta được y z x 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 x y z x y z x y y z z x A 2 2 2 2 y z x y z x z x y Đến đây ta chú ý đến cách ghép cặp sau x 4 x2y x2y z2 4x2 y2 z z y4 y2z y2z x2 4y2 z2 x x z4 z2x z2x y2 4z2 x2 y y Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được A 2 x2 y2 z2 4 x2 y2 z2 A 2 9 A 3
12. x2 y2 z2 Hay 3 y z x Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1 Cách 4: Trong các hướng tiếp cận trên ta đều thực hiện đánh giá sau quá trình đổi biến mà quên đi một a 2a đánh giá quan trọng là 2 b b 1, khi đó ta có . Đây là một đánh giá cùng chiều mà vẫn b b 1 bảo toàn dấu đẳng thức, ta thử thực hiện tiếp xem sao Theo bất đẳng thức Cauchy ta có a b c 2a 2b 2c b c a b 1 c 1 a 1 2a 2b 2c Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 3. Nhìn cách phát b 1 c 1 a 1 biểu của bất đẳng thức ta nghĩ đến bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có 2 2 2a 2b 2c 2 a b c 6 a b c 2 b 1 c 1 a 1 ab bc ca 3 a b c 9 2 6 a b c Ta cần chứng minh được 3 2 a b c 9 2 2 2 Hay 2 a b c a b c 9 a b c 9 a b c 3 Đẳng thức cuối cùng chính là giả thiết. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 9. Cho a, b, c là các số thực không âm bất kì. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 2abc 1 2 ab bc ca Phân tích và lời giải Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1, quan sát bất đẳng thức ta nghĩ đến một số ý tưởng tiếp cận như Sử dụng nguyên lí Dirichlet, sử dụng tính chất của tam thức bậc hai, sử dụng bất đẳng thức Cauchy, , bây giờ ta đi phân tích từng ý tưởng để tìm lời giải cho bài toán. Cách 1: Trước hết ta thấy ta để ý đến đẳng thức xẩy ra tại a b c 1 điều này có nghĩa là khi đẳng thức xẩy ra thì a 1; b 1; c 1 cùng bằng 0, ngoài ta trong bất đẳng thức chứa các đại lượng ac, bc,abc,... nên ta nghĩ đến tích c a 1 b 1 , tuy nhiên ta chưa thể khẳng định được tích đó có không âm hay không nên ta sử dụng nguyên lí Dirichlet. Theo nguyên lí Dirichlet trong ba số a 1; b 1; c 1 luôn tồn tai hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát ta giả sử hai đó là a 1; b 1, khi đó ta có a 1 b 1 0 c a 1 b 1 0 abc ac bc c 0 Khi đó ta có 2 2 a2 b2 c2 2abc 1 a b 1 c 2 abc ac bc c 2 ab bc ca 2 2 Dễ thấy a b 1 c 2 abc ac bc c 0 nên ta có 2 2 a b 2ab 1 c 2c 2abc 2ac 2bc 2 bc ca 2 ab bc ca Suy ra a2 b2 c2 2abc 1 2 ab bc ca Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1.
13. Cách 2: Dễ thấy bất đẳng thức có bâc hai đối với mỗi biến do đó ta có thể viết lại bất đẳng thức về dạng đa thức biến a, còn b và c đóng vai trò tham số Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh là a2 2 bc b c a b2 c2 2bc 1 0 Xét f(a) a2 2 bc b c a b2 c2 2bc 1 Quan sát đa thức f(a) ta nhận thấy nếu bc b c 0 thì khi đó ta luôn có f(a) 0, tức là a2 2 bc b c a b2 c2 2bc 1 0. Bây giờ ta xét trường hợp sau bc b c 0 2 Khi đó ta có ' bc b c b2 c2 2bc 1 a Để ý đến hệ số của hạng tử bậc hai là số dương nên để f(a) 0 thì ta phải chỉ ra được 2 ' bc b c b2 c2 2bc 1 0 a Hay bc b 2 c 2 1 0 Để ý đến bc b c 0 ta được b 1 c 1 1, lúc này xẩy ta các khả năng sau - Cả b 1 ; c 1 cùng nhỏ hơn 1 hay cả b, c đều nhỏ hơn 2, khi đó theo bất đẳng thức Cauchy ta được 2 2 b 2 b c 2 c b 2 b 1; c 2 c 1 4 4 Suy ra bc b 2 c 2 1 nên ta có bc b 2 c 2 1 0. - Trong hai số b 1 ; c 1 có một số lớn hơn 1 và một số nhỏ hơn 1 khi đó trong b, c có một số lớn hơn 2 và một số nhỏ hơn 2 suy ra bc b 2 c 2 0 nên ta cũng có bc b 2 c 2 1 0. ' Như vậy cả hai khả năng đều cho a 0 nên bất đẳng thức được chứng minh. Vậy bài toán được chứng minh xong. Cách 3: Dễ thấy theo bất đẳng thức Cauchy ta có đánh giá 2abc 1 abc abc 1 33 a2b2c2 Lúc này ta được bất đẳng thức a2 b2 c2 2abc 1 a2 b2 c2 33 a2b2c2 . Ta cần chỉ ra được a2 b2 c2 33 a2b2c2 2 ab bc ca . Để làm mất căn bậc 3 ta có thể đặt a2 x 3; b2 y3; c2 z3 , khi đó bất đẳng thức được viết lại thành x 3 y3 z3 3xyz 2 x 3y3 y3z3 z3x 3 Để ý đến đánh giá 2 xy x y khi đó ta viết được 2 x 3y3 y3z3 z3x 3 xy x y yz y z zx z z Bất đẳng thức sẽ được chứng minh xong nếu ta chỉ ra được x 3 y3 z3 3xyz xy x y yz y z zx z z Khai triển và phân tích ta được bất đẳng thức xyz x y z y z x z x y Đây là một đánh giá đúng quen thuộc. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 4: Ngoài các cách giải như trên ta cũng có thể tham khảo thêm cách giải sau:
14. Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh là 2 a b c 2abc 1 4 ab bc ca Đặt a b c k , khi đó ta cần phải chứng minh k2 2abc 1 4 ab bc ca 4 ab bc ca k2 2abc 1 Ta dễ dàng chứng minh được abc a b c b c a c a b hay abc k 2a k 2b k 2c 4k ab bc ca k a b c 8abc 9abc 4 ab bc ca k2 k Như vậy để hoàn tất chứng minh ta chỉ cần chỉ ra được 9abc 9 2k abc 2abc 1 1 k k 3 a b c k3 Theo bất đẳng thức Cauchy ta có abc nên cần chứng minh 3 27 9 2k abc 9 2k k3 9 2k k2 1 k 27k 27 + Nếu 9 2k 0, bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng. + Nếu 9 2k 0, khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 3 9 2k k 1 9 2k k k 1 27 27 3 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Bài 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: a b c 3 ab 3c bc 3a ca 3b 4 Phâ tích và lời giải Trước hết ta dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại a b c 1. Quan sát cách phát biểu của bài toán ta nghĩ đến sử dụng các bất đẳng thức Bunhiacopxki, Cauchy, . Chú ý đến dấu đẳng thức xẩy ra ta có các ý tưởng tiếp cận bài toán như sau Cách 1: Ý tưởng đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, khi đó ta được a b c a2 b2 c2 ab 3c bc 3a ca 3b a2b 3ac b2c 3ab c2a 3bc 2 a b c a2b b2c c2a 3 ab bc ca 2 a b c 3 Ta cần chứng minh . a2b b2c c2a 3 ab bc ca 4 Hay ta cần chứng minh 2 4 a b c 3 a2b b2c c2a 9 ab bc ca 4 a2 b2 c2 3 a2b b2c c2a ab bc ca Mà ta có a2 b2 c2 ab bc ca, do đó để hoàn tất chứng minh ta cần chỉ ra được 3 a2 b2 c2 3 a2b b2c c2a
15. Nhận thấy trong bất đẳng thức cần chứng minh, vế trái có bậc 2 và vế phải có bậc 3, do đó trước hết ta đồng bậc hai về. Chú ý đến giả thiết a b c 3 ta có 3 a2 b2 c2 3 a2b b2c c2a a b c a2 b2 c2 3 a2b b2c c2a a3 b3 c3 ab2 bc2 ca2 2 a2b b2c c2a 2 2 2 a a b b b c c c a 0 Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Hoặc ta có thể chứng minh theo bất đẳng thức Cauchy như sau a3 ab2 a2b; b3 bc2 b2c; c3 ca2 c2a Cộng theo vế các bất đẳng trên ta cũng được điều phải chứng minh. Vậy bài toán được chứng minh xong. Cách 2: Trong bài toán có giả thiết a b c 3 và trong bất đẳng thức cũng xuất hiện các số 3. Vậy thì các số 3 đó ẩn ý gì hay không? Để ý ta thấy ab 3c ab c a b c a c b c , áp dụng tương tự ta viết lại được bất đẳng thức cần chứng minh là a b c 3 a c b c a b c a c a a b 4 Đến đây ta có các hướng xử lí bất đẳng thức trên + Hướng 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta được a b c 3 a c b c a b c a c a a b 4 3 a a b b b c c c a a b b c c a 4 4 a2 b2 c2 ab bc ca 3 3 a 3 b 3 c 4 9 ab bc ca 3 27 9 a b c 3 ab bc ca abc 36 4 ab bc ca 9 ab bc ca 3abc 36 3abc 13 ab bc ca Bất đẳng thức cuối cùng ta thấy có sự xuất hiện của các đại lượng ab bc ca; abc và chú ý đến chiều của bất đẳng thức ta để ý đến abc a b c b c a c a b hay abc 3 2a 3 2b 3 2c 3abc 9 4 ab bc ca 3abc 36 4 ab bc ca 27 Đến đây để hoàn tất chứng minh ta cần chỉ ra được 4 ab bc ca 27 13 ab bc ca ab bc ca 3 2 Vì 9 a b c 3 ab bc ca ab bc ca 3. Như vây bài toán được chứng minh xong. + Hướng 2: Để đơn giản hóa bất đẳng thức ta đặt x b c; y c a; z a b , khi đó ta được x y z 6. Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành y z x z x y x y z 3 xy yz zx 2
16. 3xyz Hay x2 y2 z2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 3 x y z x y z 3xyz 2 2 2 xyz 8 12 và x y z 12 3 2 3 3xyz Từ hai bất đẳng thức trên ta có x2 y2 z2 . Đến đây bài toán được chứng minh xong. 2 a + Hướng 3: Từ đại lượng ta liên tưởng đến kỹ thuật thêm – bớt trong bất đẳng thức a c b c Cauchy, ta được a a a c a b c 3a a a2 ab 2ac 3a a c b c 8 8 4 a c b c 8 4 Áp dụng tương tự ta được b b2 bc 2ab 3b c c2 ca 2bc 3c ; a b c a 8 4 b c a b 8 4 Gọi vế trái của bất đẳng thức là A, khi đó cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được a2 ab 2ac b2 bc 2ab c2 ca 2bc 3 a b c A 8 8 8 4 2 2 2 a b c a b c 9 a b c ab bc ca 9 3 Hay A 3 4 8 4 8 4 Đến đây bài toán được chứng minh xong. Bài 11. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 b c a 2 2 2 Phân tích và lời giải Cách 1: Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xấy ra tại a b c, quan sát bất đẳng thức ta nhân thấy vế trái chứa các căn bậc hai, do đó ta hướng đến đánh giá làm mất các căn bậc hai. Tuy nhiên nếu ta sử dụng 2 đánh giá 2 a2 b2 a b thì sẽ thu được bất đẳng thức ngược chiều. Nên ta nghĩ đến bình phương hai vế, có điều nếu khai triển theo phép biến đổi tương đương thì vẫn còn căn bậc hai. Áp dụng một đánh giá quen thuộc ta có 2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 3 2 2 2 2 2 2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Hay 3 a2 b2 c2 2 2 2 a2 b2 c2 Như vậy ta cần chỉ ra được 3 a2 b2 c2 b c a a2 b2 c2 Chú ý bên vế trái xuất hiện đại lượng nên ta sẽ đánh giá theo bất đẳng thức b c a Bunhiacopxki dạng phân thức, tuy nhiên ta cần đánh giá là xuất hiện a2 b2 c2 . Khi đó ta được
17. 2 2 2 2 a2 b2 c2 a4 b4 c4 a b c b c a a2b b2c c2a a2b b2c c2a Đến đây ta cần chứng minh được 2 a2 b2 c2 3 a2 b2 c2 a2b b2c c2a 3 2 Hay a2 b2 c2 3 a2b b2c c2a 2 Nhận thấy a2 b2 c2 3 a2b2 b2c2 c2a2 3 Do đó ta được a2 b2 c2 3 a2b2 b2c2 c2a2 a2 b2 c2 Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì 2 a2b2 b2c2 c2a2 a2 b2 c2 a2b b2c c2a 3 2 Do đó ta được a2 b2 c2 3 a2b b2c c2a Vậy bài toán được chứng minh xong. Cách 2: Bây giờ ta thử đánh giá từ vế trái sang vế phải đồng thời làm xuất hiện các căn bậc hai như vế a2 a2 b2 phải xem sao? Để ý đến phép biến đổi b , khi đó ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy để b b đánh giá, chú ý đến đẳng thức xẩy ra tại a b c nên để triệt tiêu b ở mẫu ta cộng thêm vào 2b, như a2 b2 vậy ta sẽ được 2b 2 2 a2 b2 . Do đó ta có đánh giá b a2 a2 b2 3b 2b 2 2 a2 b2 b b Thực hiện tương tự ta được bất đẳng thức a2 b2 c2 3 a b c 2 2 a2 b2 2 2 b2 c2 2 2 c2 a2 b c a Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 2 2 a2 b2 2 2 b2 c2 2 2 c2 a2 3 a b c a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 2 2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Hay a b c 2 2 2 2 Đến đây thì đơn giản hơn rồi, để ý đến bất đẳng quen thuộc 2 x2 y2 x y , khi đó ta được a2 b2 a b b2 c2 b c c2 a2 c a ; ; 2 2 2 2 2 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được a2 b2 b2 c2 c2 a2 a b c 2 2 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 3: Chú ý là đẳng thức xẩy ra tại a b c và trong các biến có các lũy thừa bậc 2, do đó ta thử 2 2 2 biến đổi hai vế để làm xuất hiện các đại lượng kiểu a b ; b c ; c a .
18. 2 a2 a b Trước hết ta biến đổi vế trái, để ý là 2a b , như vậy ta sẽ được b b 2 2 2 a2 b2 c2 a b b c c a 2a b 2b c 2c a b c a b c c 2 2 2 a2 b2 c2 a b b c c a Do đó suy ra a b c . b c a b c c Như vậy để bất đẳng thức tương đương thì ta phải bớt ở vế phải đại lượng a b c và lúc này ta a2 b2 b2 c2 c2 a2 cần biến đổi biểu thức a b c làm xuất hiện 2 2 2 2 2 2 a b ; b c ; c a . 2 a2 b2 a b a b Ta để ý đến phép biến đổi , hoàn toàn tương tự 2 2 2 2 a2 b2 2 a b thì vế phải trở thành 2 2 2 a b b c c a 2 2 a2 b2 2 a b 2 2 b2 c2 2 b c 2 2 c2 a2 2 c a 1 1 Đến đây ta chỉ cần chỉ ra được 0, rõ ràng đánh giá này hoàn b 2 2 a2 b2 2 a b toàn đúng. Tươngng tự ta trình bày được lời giải như sau: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 b2 c2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2a b 2b c 2c a a b c b c a 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a2 b2 a b b2 c2 b c c2 a2 c a b c c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a b b c b c c 2 2 a2 b2 2 a b 2 2 b2 c2 2 b c 2 c a 2 2 c2 a2 2 c a 2 1 1 2 1 1 a b b c b 2 2 a2 b2 2 a b c 2 2 b2 c2 2 b c 2 1 1 c a 0 c 2 2 c2 a2 2 c a
19. Đặt 1 1 A b 2 2 a2 b2 2 a b 1 1 B c 2 2 b2 c2 2 b c 1 1 C c 2 2 c2 a2 2 c a Chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được A, B,C 0. Thật vậy 2 2 1 1 2 2 a b 2a b A 0 b 2 2 a2 b2 2 a b 2 2 a2 b2 2 a b Hoàn toàn tương tự ta có B,C 0. Vậy bài toán được chứng minh xong. Cách 4: Bây giờ ta thử biến đổi từ vế phải sang vế trái xem sao, ở đây ta cần làm mất các căn bậc hai. Để 2 thực hiện được biến đổi đó ta nghĩ đến đánh giá 2 a2 b2 a b nhưng tiếc là đánh giá này lại ngược chiều. Một cách khác đó là sử dụng đánh giá kiểu 2 xy x y , đánh giá này cùng chiều nên ta a2 b2 tập trung theo hướng này. Như vây ta cần viết được sao cho xuất hiện tích của hai đại lượng và 2 a2 sau khi đánh giá thì xuất hiện . Để ý ta thấy b 2 2 2 2 2 2 2 a b 2 2 a b 2 2 1 a b ab 1 a a b a b ab b 2b a 2 2 2 b 2 b Áp dụng tương tự ta được b2 c2 1 b2 c2 a2 1 c2 2c b ; 2a c 2 2 c 2 2 a Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được 1 a2 b2 c2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a b c 2 b c a 2 2 2 a2 b2 c2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Hay a b c 2 2 2 b c a 2 2 2 Đến đây ta trình bày hoàn toàn tương tự như cách thứ nhất. a2 b2 b2 c2 c2 a2 Cách 5: Để ý ta thấy a b b c c a 0 nên ta được a b b c c a a2 b2 c2 b2 c2 a2 a b b c c a a b b c c a 2a2 2b2 2c2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Suy ra a b b c c a a b b c c a Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1 a2 b2 c2 2a2 2b2 2c2 a b c 2 b c a a b b c c a
20. a2 b2 c2 Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có a b c b c a a2 b2 c2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Do đó ta được b c a a b b c c a Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a b b c c a 2 2 2 Đến đây thì áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được 2 a2 b2 a b a2 b2 a2 b2 2 a b a b 2 b2 c2 b2 c2 c2 a2 c2 a2 Áp dụng tương tự ta thu được ; b c 2 c a 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta thu được a2 b2 b2 c2 c2 a2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 a b b c c a 2 2 2 Vậy bài toán được chứng minh xong. Bài 12. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a2 b2 ab b2 c2 bc c2 a2 ca b c a Phân tích và lời giải Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy, bây giờ ta tìm hiểu xem ngoài cách làm đó thì còn cách chứng minh nào khác không? Cách 1: Quan sát bất đẳng thức ta nhân thấy dấu hiệu sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, khi đó ta được a2 b2 c2 a b c b c a Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được a b c a2 b2 ab b2 c2 bc c2 a2 ca Tuy nhiên đánh giá trên không đúng, nên ta sẽ đi sang hướng khác. Nhớ lại cách đánh giá tạo ra đại lượng a2 b2 ab ta có a2 a2 b2 ab a b b b 2 a2 b2 ab b b Áp dụng tương tự ta được a2 b2 c2 a b c 2 a2 b2 ab 2 b2 c2 bc 2 c2 a2 ca b c a Như vậy ta cần chỉ ta được a2 b2 c2 a2 b2 c2 2 a b c b c a b c a Và đây là một đánh giá hoàn toàn đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Cách 2: Tương tự như bài toán trên ta nhận thấy bất đẳng thức có thể chứng minh được bằng phép biến 2 a2 a b đổi tương đương, để ý ta thấy 2a b b b