Đề cương ôn tập Học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Phần lý thuyết

Nội dung text: Đề cương ôn tập Học kì 2 môn Toán Lớp 11 - Phần lý thuyết

1. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH CHƯƠNG III: CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. CẤP SỐ CỘNG đ/n a) Định nghĩa: u là cấp số cộng u u d;n N* với d là số không đổi. n n 1 n b) Công thức số hạng tổng quát: u u n 1 d;n 2 . n 1 u u c) Tính chất các số hạng của CSC: u k 1 k 1 ;k 2 k 2 (trừ số hạng đầu và số hạng cuối). d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: Cho (un ) là một CSC. Khi đó n u un n2u n 1 d. S u u u 1 1 n 1 2 n 2 2 2. CẤP SỐ NHÂN đ/n a) Định nghĩa: u là cấp số nhân u u q;n N* với q là số không đổi. n n 1 n b) Công thức số hạng tổng quát: u u qn -1;n 2 . n 1 c) Tính chất các số hạng của CSC: u 2 u .u ;k 2 k k 1 k 1 hay u u .u (trừ số hạng đầu và số hạng cuối). k k 1 k 1 d) Tổng của n số hạng đầu của một CSC: Cho (un ) là một CSN. 1 qn Sn u u un u ;q 1 Khi đó 1 2 1 1 q . S nu khi q 1 n 1 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP 1. Dạng 1. Chứng minh một dãy số là một cấp số cộng, cấp số nhân * Phương pháp chứng minh một dãy số là một CSC: Để chứng minh dãy số (un ) là một CSC ta xét hiệu H un 1 un
2. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT - Nếu H là hằng số thì (un ) là một CSC có công sai d H . - Nếu H phụ thuộc vào n thì (un ) không là CSC. * Phương pháp chứng minh một dãy số là một CSN: un 1 Để chứng minh dãy số (un ) là một CSN ta xét thương T ,n 1 un - Nếu T là hằng số thì (un ) là một CSN có công bội q T . - Nếu T phụ thuộc vào n thì (un ) không là CSN. 2. Dạng 2. Xác định công sai và số hạng đầu của một CSC hoặc CSN * Phương pháp xác định công sai và số hạng đầu của một CSC: - Ta thiết lập một hệ phương trình mà u1 và d phải thỏa. Giải hệ này ta được u1 và d . * Phương pháp xác định công bội và số hạng đầu của một CSN: - Ta thiết lập một hệ phương trình mà u1 và q phải thỏa. Giải hệ này ta được u1 và q . 3. Dạng 3. Dùng công thức un và S n của CSC, CSN để chứng minh hay tính tổng * Phương pháp dùng công thức un và S n của CSC để chứng minh hay tính tổng Ta thường dùng linh hoạt các công thức: - Nếu (un ) là một CSC có công sai d thì d un 1 un ; un u1 n 1 d n u u n2u n 1 d S 1 n 1 để biến đổi, rút gọn và tính toán. n 2 2 - Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSC a c 2b . * Phương pháp dùng công thức un và S n của CSN để chứng minh hay tính tổng Ta thường dùng linh hoạt các công thức: un 1 - Nếu (un ) là một CSN có công bội q thì q , n 1 un n 1 un u1q ;n 2 1 q n S u ;q 1 n 1 1 q S n nu1 khi q 1 để biến đổi, rút gọn và tính toán. - Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một CSN ac b 2 .
3. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN lim f (x) g(x) L M , x x0 a) Giả sử lim f (x) L, lim g(x) M . Khi đó lim f (x).g(x) L.M , x x0 x x0 x x0 f (x) L lim ,(M 0) x x0 g(x) M b) Nếu f (x) 0 và lim f (x) L thì L 0, lim f (x) L (dấu của f(x) được xét trên khoảng x x0 x x0 đang tìm giới hạn, với x x0 . Chú ý: Định lý trên vẫn đúng cho trường hợp x x0 , x x0 , x , x . 2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN MỘT BÊN lim f (x) L lim f (x) lim f (x) L _ x x0 x x0 x x0 3. CÁC QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ 1 +) Nếu lim f x thì lim 0 x x0 x x0 f x + Bảng quy tắc lim f (x) lim g(x) Dấu của f (x) lim f (x) lim g(x) lim f (x).g(x) x x0 x x0 lim x x0 x x0 x x0 g(x) x x0 g(x) + ∞ + ∞ L > 0 + + ∞ - ∞ - ∞ L > 0 - - ∞ + ∞ - ∞ 0 L < 0 + - ∞ - ∞ + ∞ L < 0 - + ∞ u 4. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN: S 1 ,| q | 1 1 q CHÚ Ý:Các giới hạn cơ bản:
4. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT 1. lim C C (C = const) 2. Nếu h/s f(x) x/đ tại điểm x0 thì lim f (x) f (x0 ) x x0 x x0 1 3. lim n 0 (với n > 0) x x0 x 5. HÀM SỐ LIÊN TỤC a) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x0 K . Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f (x) f x0 . x x0 b) Một số định lý cơ bản: ĐL 1: - Hàm số đa thức liên tục trên R. - Hàm phân thức hữu tỉ và các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng. ĐL 2: Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại x0 là những hàm số liên tục tại x0 (trường hợp thương thì mẫu phải khác 0 tại x0 ). ĐL 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên a;bvà f(a).f(b)<0 thì tồn tại ít nhất một điểm c a;b sao cho f(c) = 0. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP 1. Dạng 1. Tìm giới hạn của hàm số. Phương pháp: - Sử dụng các quy tắc đã học để tính. 0 - Nếu giới hạn của hàm số cần tính có một trong bốn dạng ; ; ; 0.∞ thì ta phải khử 0 dạng đó, bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi giản ước hoặc nhân lượng liên hợp hoặc chia cả tử và mẫu cho xk với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu Cụ thể: 0 * Dạng : 0 - Nếu tử, mẫu là những đa thức thì ta đặt thừa số x x0 làm nhân tử chung và rút gọn nhân tử này ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác định. - Nếu tử hay mẫu có chứa căn thức thì nhân tử và mẫu với lượng liên hợp của tử hoặc mẫu và cũng rút gọn thừa số x x0 ở tử và mẫu ta sẽ đưa được giới hạn về dạng xác định.
5. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT a 2 b 2 a 3 b3 Cần chú ý các công thức biến đổi sau: a b ;a b a  b a 2  ab b 2 + Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x) + Liên hợp của biểu thức: 1. a b là a b 2. a b là a b 3. 3 a b là 3 a2 3 a.b b2 4. 3 a b là 3 a2 3 a.b b2 * Dạng : - Chia cả tử và mẫu cho xk với k là mũ cao nhất của tử hoặc mẫu. 1 - Sau đó dùng các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương cùng giới hạn lim 0 x x k với k nguyên dương. * Dạng : 0 - Nếu x x thì ta quy đồng mẫu số để đưa về dạng . 0 0 - Nếu x thì ta nhân và chia với lượng liên hợp để đưa về dạng . * Dạng 0.∞ - Để khử dạng này thì ta cần thực hiện một số biến đổi như đưa thừa số vào trong dấu căn, quy đồng mẫu số, ta có thể đưa giới hạn đã cho về dạng quen thuộc. 2. Dạng 2: Tính tổng của CSN lùi vô hạn u S 1 ,| q | 1 - Sử dụng công thức 1 q . 3. Dạng 3: Xét tính liên tục của hàm số 3.1 Xét tính liên tục của hàm số tại điểm: f1(x) khi x x0 - Dạng I: Cho h/s f (x) Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0? f2 (x) khi x x0 Phương pháp chung: B1: Tìm TXĐ: D = R B2: Tính f(x0); lim f (x) x x0
6. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT B3: lim f (x) = f(x0) KL liên tục tại x0 x x0 3.2 Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng Phương pháp chung: B1: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn B2: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao B3: Kết luận 3.3 Tìm điều kiện của tham số để hàm số liên tục tại x0 3.4 Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có k nghiệm trên a;b : B1: Tính f(a), f(b) f(a).f(b) 0) U ( x) = U (U 0) 2 x 2 U
7. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT sin x ' cos x sinU ' U 'cosU cos x ' sin x cosU ' U 'sinU 1 tan x ' 1 tan 2 x U ' 2 . tanU ' cos x cos 2 U 1 cot x ' 1 cot 2 x ' U ' 2 cotU sin x sin 2 U 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM (Ký hiệu U = U(x), V=V(x)). U V U V U.V ' U'.V V'.U U U'.V V'.U (k.U) k.U (k là hằng số) V V 2 3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP: g(x) = f[U(x)] , g' x = f 'u . U x 4. ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ Đạo hàm cấp 2: f (x)  f (x) Đạo hàm cấp n: f (n) (x) f (n 1) (x) 5. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) Lưu ý: f’( x0 ) = hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C): y = f(x) tại điểm M x0 , f x0 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 1. Dạng 1: Tính đạo hàm, đạo hàm cấp cao của các hàm số Sử dụng các quy tắc và bảng đạo hàm để tính. 2. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) * Loại 1: Tiếp tuyến tại điểm M x0 , f x0 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) (*) * Loại 2: Tiếp tuyến với hệ số góc k + Tiếp tuyến song song với đường thẳng d cho trước: Phương pháp: B1: Tiếp tuyến d’ // d nên kd ' kd
8. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT B2: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có f’(x0)= kd (3) B3: Giải (3) tìm x0. Từ đó suy ra f(x0). B4: Thay các kết quả vừa tìm vào pt dạng (*) ta được pt tiếp tuyến cần lập. + Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d cho trước Phương pháp: 1 B1: Tiếp tuyến d’ // d nên kd ' kd B2: Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Khi đó ta có f’(x0)= kd (4) B3: Giải (4) tìm x0. Từ đó suy ra f(x0). B4: Thay các kết quả vừa tìm vào pt dạng (*) ta được pt tiếp tuyến cần lập. * Loại 3: Tiếp tuyến đi qua điểm A cho trước Phương pháp: B1: Gọi d là tiếp tuyến cần viết và M x0 , y0 là tiếp điểm. Khi đó d có pt dạng y y0 f ' x0 x x0 B2: Cho d đi qua A ta được y A y0 f ' x0 x A x0 (5) B3: Giải (5) tìm x0 y0 ?. Suy ra pt tiếp tuyến cần viết. B. HÌNH HỌC I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900 . Phương pháp 2: a  b u.v 0 (u, v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b). Phương pháp 3: Chứng minh a  ( )  b hoặc b  ( )  a Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( a  b a  b' với b’ là hình chiếu của đt b lên mp chứa đt a). * LƯU Ý: Trong các phương pháp trên thì phương pháp 3 là thông dụng nhất. Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P). Phương pháp 1: Chứng minh: d  a và d  b với a  b = M; a,b  (P) Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a  (P)
9. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT Phương pháp 3: Chứng minh: d  (Q)  (P), d  a = (P)  (Q). Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q)  (R) và (Q) (P), (R)  (P). Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc. Phương pháp 1: Chứng minh (P)  a  (Q). Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R)  (Q). Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a  (Q). Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b. Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’  b’ = O) - Khi đó: (a, b) = (a’, b’). Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P). Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là +) Nếu d  (P) thì = 900. +) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P) - Khi đó: = (d,d’) Dạng 6: Tính góc giữa hai mp (P) và (Q). Phương pháp 1: Xác định a  (P), b  (Q). Tính góc = (a,b) Phương pháp 2: Nếu (P)  (Q) = d Tìm (R)  d Xác định a = (R)  (P) Xác định b = (R)  (Q) Tính góc = (a,b). Dạng 7: Tính khoảng cách. Tính khoảng từ một điểm M đến đt a: Phương pháp: d(M ,a) MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a). Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P): Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
10. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT - d(M, (P)) = AH Tính khoảng giữa đt và mp (P) song song với nó: d( , (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc ). Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b: +) Phương pháp 1: Nếu a  b : Dựng (P)  a và (P)  b Xác định A = (P)  b Dựng hình chiếu H của A lên b AH là đoạn vuông góc chung của a và b +) Phương pháp 2: Dựng (P)  a và (P) // b. Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’  a = H Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A. AH là đoạn vuông góc chung của a và b. +) Phương pháp 3: Dựng mp (P)  a tại I cắt b tại O Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O). Kẻ IK  b’ tại K. Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H. Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A. AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
11. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ 2 MÔN TOÁN LỚP 11 – PHẦN LÍ THUYẾT