›
›
›

Công phá Toán Lớp 10 - Câu 61-90 (Có lời giải)

doc 58 trang nhungbui22 11/08/2022 3280
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Công phá Toán Lớp 10 - Câu 61-90 (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doccong_pha_toan_lop_10_cau_61_90_co_loi_giai.doc

Nội dung text: Công phá Toán Lớp 10 - Câu 61-90 (Có lời giải)

  1. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Vậy M 2; 1 OM 2 2 1 2 5 . STUDY TIP Cách 2: d : y m 1 x 2m 3 y m x 2 x 3. Với M x 0 ; y0 thì Ta thấy với x 2 thì y 1 m . OM x2 y2 2 2 0 0 Vậy M 2; 1 OM 2 1 5 . Dạng 4 Hàm số y ax b Ví dụ 9: Vẽ đồ thị hàm số y x . Lời giải x khi x 0 Ta có y x . x khi x 0 Từ đó ta có đồ thị hàm số là đường nét liền gấp khúc như trong hình dưới đây. * Tổng quát: LOVEBOOK.VN | 1
  2. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Xét hàm số y ax b ( a 0 ). ax b khi ax b 0 Ta có y ax b . ax b khi ax b 0 Cách vẽ đồ thị hàm số y ax b a 0 : - Vẽ đường thẳng y ax b ; - Lấy đối xứng phần nằm dưới trục hoành của đường thẳng y ax b qua trục hoành rồi xóa phần nằm dưới trục hoành đó đi. Ví dụ ta có đồ thị của hàm số y 2x 3 là đường nét liền gấp khúc như trong hình bên. * Nhận xét: Hàm số y ax b a 0 : STUDY TIP b Đồ thị hàm số - Có đồ thị là một đường gấp khúc, đối xứng qua đường thẳng x và cắt trục a y ax b ( a 0 ) b hoành tại điểm I ;0 ; luôn có hình dạng là a một chữ V với đáy nhọn (điểm thấp b b - Nghịch biến trên khoảng ; , đồng biến trên khoảng ; . nhất) thuộc trục a a hoành (giá trị nhỏ Đặc biệt, hàm số y x là một hàm số chẵn, có đồ thị đối xứng qua trục tung, nhất luôn bằng 0). nghịch biến trên khoảng ;0 , đồng biến trên khoảng 0; . Ví dụ 10: Hàm số y x 3 2x 1 x 1 đồng biến trong khoảng nào dưới đây? 1 A. ; B. 3; C. 1; D. ; 2 Lời giải Ta có y x 3 2x 1 x 1 x 3 2x 1 x 1 . Lại có: LOVEBOOK.VN | 2
  3. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing x 3 khi x 3 x 1 khi x 1 2x 1 khi x 1/ 2 x 3 ; x 1 ; 2x 1 x 3 khi x 3 x 1 khi x 1 2x 1 khi x 1/ 2 Từ đó ta có bảng sau: 1 x 3 1 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 y 4x 5 2x 1 3 4x 5 1 Từ bảng trên suy ra hàm số đã cho đồng biến trong khoảng ; . 2 Lưu ý: Có thể dùng máy tính cầm tay (chức năng TABLE) để tìm khoảng đồng biến của hàm số (xem lại Bài 1 - Đại cương về hàm số). Đáp án D. LOVEBOOK.VN | 3
  4. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book C. 2a b 2 D. 2a b 3 C. Bài tập rèn luyện kĩ năng Xem đáp án chi tiết tại trang 80 Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 x 1 2x 2 m có hai Câu 1: Cho các đường thẳng sau đây: nghiệm phân biệt. x 3y 6x 1 0; y 0,5x 4; y 3 ; 2 A. m 6; B. m 4; 2y x 6 ; 2x y 1 và y 0,5x 1 C. m 1; D. m 1; Trong các đường thẳng trên, có bao nhiêu cặp Câu 6: Một tia sáng chiếu xiên một góc 45° đường thẳng song song? đến điểm O trên bề mặt của một chất lỏng thì bị A. 0B. 1 C. 2D. 3 khúc xạ như hình dưới đây. Ta lập hệ tọa độ Câu 2: Tìm biểu thức xác định hàm số Oxy như thể hiện trên hình vẽ. y f x , biết rằng đồ thị của nó là đường thẳng đối xứng với đường thẳng y 0,5x 2 qua trục tung. A. y f x 2x 4 1 B. y f x x 2 2 1 C. y f x x 2 2 Tìm hàm số y f x có đồ thị trùng với D. y f x 2x 4 đường đi của tia sáng nói trên. x khi x 0 Câu 3: Cho hàm số f x ax b . Xác định A. y f x 2x khi x 0 a b , biết f x 1 x 3,x ¡ . x khi x 0 B. y f x A. a b 3 B. a b 2 2x khi x 0 C. a b 1 D. a b 0 x khi x 0 C. y f x Câu 4: Gọi M a;b là điểm sao cho đường 2x khi x 0 thẳng y 2mx 1 m luôn đi qua, dù m lấy bất x khi x 0 D. y f x cứ giá trị nào. Tìm 2a b . 2x khi x 0 A. 2a b 0 B. 2a b 1 LOVEBOOK.VN | 4
  5. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Câu 7: Cho hàm số m x 3 f x 2 m 2 x . Có bao nhiêu giá x 3 trị nguyên âm của tham số m để f x 0 với mọi x thuộc đoạn 1;2? A. 0B. 1 C. 2D. 3 Câu 8: Cho hàm số 2x 3 khi x 1 2x 1 khi 1 x 0 f x . x 1 khi 0 x 1 x 1 khi x 1 Xét các khẳng định sau: (I) max f x 1 ¡ (II) min f x 1 ¡ (III) max f x 1  1;0 (IV) min f x 0 0;1 Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng? A. 1B. 2 C. 3D. 4 Câu 9: Cho hàm số f x x x 2 x 2 . Biết S ;a  b;c (với a b c ) là tập hợp tất cả các giá trị của x mà tại đó hàm số có giá trị dương. Tìm a b c . A. a b c 0 B. a b c 2 C. a b c 2 D. a b c 4 LOVEBOOK.VN | 5
  6. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book §3. Hàm số bậc hai A. Lý thuyết Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y ax2 bx c , với a, b, c là các hệ số, a 0 . 1. Tập xác định: D ¡ . 2. Chiều biến thiên: a 0 a 0 b b x x 2a 2a y 4a y 4a 3. Đồ thị Đồ thị là một parabol có tính chất sau: b - Có đỉnh I ; . 2a 4a - Quay bề lõm lên trên khi a 0 , quay bề lõm xuống dưới khi a 0 b - Có trục đối xứng là đường thẳng x (đường thẳng đi qua đỉnh I và song 2a song với trục tung). LOVEBOOK.VN | 6
  7. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing y ax2 bx c a 0 y ax2 bx c a 0 4. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất b - Khi a 0 , giá trị nhỏ nhất trên ¡ của hàm số là đạt được khi x . 4a 2a b Đỉnh I ; là điểm thấp nhất của đồ thị hàm số. 2a 4a b - Khi a 0 , giá trị lớn nhất trên ¡ của hàm số là đạt được khi x . 4a 2a b Đỉnh I ; là điểm cao nhất của đồ thị hàm số. 2a 4a B. Các dạng toán điển hình Dạng 1 Chiều biến thiên của hàm số bậc hai Ví dụ 1: Cho hàm số y x2 6x 1. Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? STUDY TIP A. ;3 B. 3; C. ;6 D. 6; Chiều biến thiên của hàm số bậc hai phụ Lời giải thuộc vào dấu của hệ b 6 Ta có a 1 0, 3. Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ;3 . số a. 2a 2. 1 LOVEBOOK.VN | 7
  8. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Đáp án A. Ví dụ 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y x2 2 m 1 x 3 đồng biến trên khoảng 4;2018 ? A. 0B. 1C. 2D. 3 Lời giải b Hàm số có a 1 0, m 1 nên đồng biến trên khoảng m 1; . 2a Do đó để hàm số đồng biến trên khoảng 4;2018 thì ta phải có 4;2018  m 1; m 1 4 m 3. Vậy có ba giá trị nguyên dương của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 1, 2, 3. Đáp án D. Dạng 2 Đồ thị của hàm số bậc hai Ví dụ 3: Parabol y 2x2 4x 1 có đỉnh là: A. I 1; 1 B. I 2;1 C. I 1;7 D. I 2;17 Lời giải STUDY TIP b 4 Các yếu tố đặc trưng Hoành độ của đỉnh của parabol là x 1. 2a 2.2 của parabol 2 y ax2 bx c : Khi đó tung độ của đỉnh của parabol là y 2.1 4.1 1 1. - Đỉnh; Vậy parabol đã cho có đỉnh là I 1; 1 . - Trục đối xứng; Đáp án A. - Hướng bề lõm. Lưu ý: + Ta có thể dùng công thức để tính tung độ của đỉnh là yI . Ở bài 4a này, việc tìm tung độ của đỉnh là đơn giản nên ta thay trực tiếp mà không dùng công thức. + Ta có thể dùng máy tính cầm tay Casio để tìm tọa độ của đỉnh như sau: LOVEBOOK.VN | 8
  9. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing - Đầu tiên, ta giải phương trình ax2 bx c 0 bằng chức năng giải phương trình bậc hai. - Sau khi bấm hiển thị hết nghiệm của phương trình ta bấm dấu “=” hai lần liên tiếp. Máy sẽ hiển thị xmin , ymin (với a 0 ) hoặc xmax , ymax (với a 0 ). Từ đó ta có tọa độ của đỉnh của parabol. Chẳng hạn với bài toán trên ta có như sau: Ví dụ 4: Parabol y x2 3x 2 có trục đối xứng là: 3 3 A. y 3 B. y C. x D. x 3 2 2 Lời giải b 3 3 Trục đối xứng của parabol có phương trình là x x x . 2a 2. 1 2 Đáp án C. STUDY TIP Ví dụ 5: Cho parabol P đi qua hai điểm A 1;4 và B 3;4 . Tìm phương Cho đường thẳng y m cắt parabol trình trục đối xứng của P . 2 P : y ax bx c A. y 2 B. y 1 C. x 2 D. x 1 tại hai điểm phân biệt A xA;m và Lời giải 2 B xB ;m . Khi đó Ta có kết quả: Nếu đường thẳng y m cắt parabol P : y ax bx c tại hai trục đối xứng của điểm phân biệt thì hai điểm đó đối xứng với nhau qua trục đối xứng của parabol. P có phương trình Trong bài này ta thấy hai điểm A, B cùng thuộc đường thẳng y 4 . Vậy A, B đối x x xứng với nhau qua trục đối xứng của parabol. Suy ra phương trình của trục đối là x A B . x x 1 3 2 xứng là x A B x x 1. 2 2 Đáp án D. LOVEBOOK.VN | 9
  10. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Dạng 3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Ví dụ 6: Khẳng định nào dưới đây đúng? 25 A. Hàm số y 3x2 x 2 có giá trị lớn nhất bằng 12 25 B. Hàm số y 3x2 x 2 có giá trị nhỏ nhất bằng 12 25 C. Hàm số y 3x2 x 2 có giá trị lớn nhất bằng 3 25 D. Hàm số y 3x2 x 2 có giá trị nhỏ nhất bằng . 3 STUDY TIP Có thể dùng MTCT Lời giải Casio để tìm giá trị Ta có 12 4. 3 .2 25 lớn nhất của hàm số như đã trình bày 25 Vì a 3 0 nên hàm số có giá trị lớn nhất là: . trong Ví dụ 3. 4a 12 Đáp án A. Ví dụ 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y 5x2 2x 1 trên đoạn  2;2 là: 4 16 A. 17B. 25C. D. 5 5 Lời giải b 1 4 Ta có  2;2,a 5 0 . Do đó min f x min f x . 2a 5  2;2 ¡ 4a 5 Để dễ hiểu hơn, ta quan sát bảng biến thiên của hàm số 1 x 2 2 5 y 4 5 LOVEBOOK.VN | 10
  11. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Lưu ý: max f x max f 2 , f 2  max 17,25 25 .  2;2 Ví dụ 8: Giá trị lớn nhất của hàm số y 3x2 2x 1 trên đoạn 1;3 là: 4 1 A. B. 0C. D. 20 STUDY TIP 5 3 Khi giải bài toán liên Lời giải quan đến GTLN, b 1 Ta có và a 3 0 . Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng GTNN của hàm số 2a 3 bậc hai 1 1 ; . Mà 1;3  ; . Do đó trên đoạn 1;3 hàm số đạt giá trị lớn nhất f x ax2 bx c 3 3 tại điểm x 1, tức là max f x f 1 0 . trên một đoạn, ta cần 1;3 b Đáp án B. xác định xem 2a Lưu ý: Ta có thể sử dụng chức năng TABLE của MTCT để giải bài toán tìm thuộc hay không GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn. Chẳng hạn với bài này, ta cho Start thuộc vào đoạn đó để bằng 1, End bằng 3 và Step bằng 0,2 (nếu máy tính hiển thị được n dòng kết quả End Start có cách giải cho ngắn trong bảng, thì ta có thể chọn Step bằng ). n 1 gọn, chính xác. Quan sát kết quả ta chọn đáp án B. Dạng 4 Sự tương giao giữa parabol với đồ thị các hàm số khác Ví dụ 9: Cho hai parabol có phương trình y x2 x 1 và y 2x2 x 2 . Biết hai parabol cắt nhau tại hai điểm A và B ( xA xB ). Tính độ dài đoạn thẳng AB. STUDY TIP A. AB 4 2 B. AB 2 26 C. AB 4 10 D. AB 2 10 Khoảng cách giữa hai Lời giải điểm Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol: A xA; yB , B xB ; yB là: x 1 2 2 2x2 x 2 x2 x 1 x2 2x 3 0 . AB xB xA yB yA x 3 LOVEBOOK.VN | 11
  12. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x 1 y 1; x 3 y 13 , do đó hai giao điểm là A 1;1 và B 3;13 . 2 2 STUDY TIP Từ đó AB 3 1 13 1 4 10 . Bài toán tương giao Đáp án C. giữa parabol với parabol hoặc parabol Ví dụ 10: Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong nửa khoảng  10; 4 để với đường thẳng đường thẳng d : y m 1 x m 2 cắt parabol P : y x2 x 2 tại hai thường quy về bài điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung? toán biện luận nghiệm của phương A. 6B. 5C. 7D. 8 trình bậc hai. Do đó để làm tốt phần này Lời giải độc giả nên xem kĩ Phương trình hoành độ giao điểm của d và P : lại các kiến thức về 2 2 phương trình bậc hai x x 2 m 1 x m 2 x m 2 x m 4 0 * . trong chương trình d cắt P tại hai điểm phân biệt nằm về cùng một phía đối với trục tung khi và lớp 9. chỉ khi * có hai nghiệm phân biệt cùng đấu STUDY TIP 0 m2 8m 20 0 m 4 . Phép biến đổi P 0 m 4 0 phương trình Vậy có 6 giá trị m nguyên trong nửa khoảng  10; 4 thỏa mãn ycbt. f x,m 0 thành phương trình Đáp án A. g x h m (một Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình vế là biểu thức của ẩn x2 2 x 1 m 0 có bốn nghiệm phân biệt? x, một vế là biểu thức của tham số m) được A. 0B. 1C. 2D. Vô số gọi là phép “cô lập Lời giải tham số m”. 2 2 Muốn sử dụng Cách 1: x 2 x 1 m 0 x 2 x 1 m * . Số nghiệm của * là số phương pháp đồ thị giao điểm của đồ thị hàm số y x2 2 x 1 và đường thẳng y m . để biện luận số nghiệm của một phương trình, ta cần LOVEBOOK.VN | 12 thực hiện việc cô lập tham số m đưa phương trình về dạng g x h m
  13. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Dễ thấy hàm số y x2 2 x 1 là một hàm số chẵn, do đó có đồ thị đối xứng qua trục Oy. Mặt khác ta có y x2 2 x 1 x2 2x 1 với x 0 . Từ đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y x2 2 x 1 như sau: - Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y x2 2x 1; STUDY TIP - Bước 2: Xóa phần nằm bên trái trục tung (ứng với x 0 ) của đồ thị hàm số Các bước vẽ đồ thị y x2 2x 1; hàm số y f x : - Bước 3: Lấy đối xứng phần nằm bên phải trục tung (ứng với x 0 ) của đồ thị - Bước 1: Vy=ẽ đồ hàm số y x2 2x 1 qua trục tung. thị hàm số y f x ; - Bước 2: Xóa phần nằm bên trái Oy của đồ thị hàm số y f x ; - Bước 3: Lấy đối xứng phần nằm bên phải Oy của đồ thị Quan sát trên đồ thị ta thấy đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x2 2 x 1 hàm số y f x tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi 0 m 1. Suy ra không có giá trị nguyên qua Oy. nào của m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt. Cách 2: Đặt t x ,t 0 . Phương trình đã cho trở thành t 2 2t 1 m 0 ( ). STUDY TIP Ta thấy với t 0 thì x 0 , với t 0 thì x t . Khi biện luận số nghiệm của phương Do đó để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt thì ( ) phải có hai trình bằng phương ' 0 1 1 m 0 m 0 pháp đặt ẩn phụ, phải nghiệm dương phân biệt S 0 2 0 0 m 1. m 1 đặt điều kiện chặt chẽ P 0 1 m 0 cho ẩn phụ. Trong nhiều trường hợp ta Do đó không có giá trị nguyên nào của m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phải xét xem mỗi giá phân biệt. trị của ẩn phụ cho ta Đáp án A. bao nhiêu giá trị của ẩn x. LOVEBOOK.VN | 13
  14. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book STUDY TIP Các bước vẽ đồ thị Ví dụ 12: Biết S a;b là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đường hàm số y f x : thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x2 4x 3 tại bốn điểm phân biệt. Tìm - Bước 1: Vẽ đồ thị a b . hàm số y f x ; A. a b 1 B. a b 1 C. a b 2 D. a b 2 - Bước 2: Giữ nguyên Lời giải phần nằm trên trục Ox của đồ thị hàm số x2 4x 3 khi x2 4x 3 0 2 Ta có y x 4x 3 . y f x ; 2 2 x 4x 3 khi x 4x 3 0 - Bước 3: Lấy đối 2 Từ đó ta có cách vẽ đồ thị hàm số y x 4x 3 : xứng phần ằm dưới trục Ox của đồ thị - Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y x2 4x 3 ; hàm số y f x - Bước 2: Giữ nguyên phần nằm trên trục Ox của đồ thị hàm số y x2 4x 3 ; qua Ox rồi xóa phần ằm dưới trục Ox của - Bước 3: Lấy đối xứng phần nằm dưới trục Ox của đồ thị hàm số đồ thị hàm số y x2 4x 3 . y f x . Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y x2 4x 3 tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi 0 m 1. Vậy S 0;1 . Suy ra a b 1. Đáp án A. LOVEBOOK.VN | 14
  15. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Dạng 5 Tìm phương trình của parabol Ví dụ 13: Cho parabol P có phương trình y ax2 bx c . Tìm a b c , biết P đi qua điểm A 0;3 và có đỉnh I 1;2 . A. a b c 6 B. a b c 5 C. a b c 4 D. a b c 3 Lời giải P đi qua điểm A 0;3 c 3. b 1 b 2a a 1 P có đỉnh I 1;2 2a a b c 6 . a 2a 1 b 2 a b 3 2 Đáp án A. Ví dụ 14: Cho parabol P : y ax2 bx c đi qua ba điểm A 1;4 , B 1; 4 STUDY TIP và C 2; 11 . Tọa độ đỉnh của P là: Máy tính cầm tay có chức năng giải hệ A. 2; 11 B. 2;5 C. 1;4 D. 3;6 phương trình bậc nhất 2 ẩn, 3 ẩn. Một Lời giải số dòng máy còn 2 trang bị chức năng P : y ax bx c đi qua ba điểm A 1;4 , B 1; 4 và C 2; 11 suy ra giải hệ phương trình a b c 4 a 1 bậc nhất 4 ẩn. 2 a b c 4 b 4 P : y x 4x 1. 4a 2b c 11 c 1 b Hoành độ của đỉnh của P là x 2 . Suy ra tung độ của đỉnh của P là 2a y 22 4.2 1 5 . Đáp án B. LOVEBOOK.VN | 15
  16. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 15: Cho parabol P có phương trình y f x thỏa mãn f x 1 x2 5x 5 x ¡ . Số giao điểm của P và trục hoành là: A. 0B. 1C. 2D. 3 Lời giải Ta có f x 1 x2 5x 5 x 1 2 3 x 1 1. Suy ra f x x2 3x 1. Phương trình x2 3x 1 0 có 32 4.1.1 5 0 nên có hai nghiệm phân biệt. Vậy P cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 16
  17. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing 2 C. Bài tập rèn luyện kĩ năng Câu 5: Cho parabol P : y x mx và đường Xem đáp án chi tiết tại trang 82 thẳng d : y m 2 x 1, trong đó m là tham Câu 1: Gọi M là điểm cố định mà parabol số. Khi parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai 2 điểm phân biệt M, N, tập hợp trung điểm I của Pm : y x 3mx 6m 1 luôn đi qua với mọi đoạn thẳng MN là: giá trị của tham số m. Tính tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ. A. một parabolB. một đường thẳng A. 7B. 3 C. 2 D. 5 C. một đoạn thẳng D. một điểm Câu 2: Cho parabol Câu 6: Một chiếc ăng - ten chảo parabol có chiều cao h 0,5m và đường kính miệng y ax2 bx c có đồ d 4m . Mặt cắt qua trục là một parabol dạng thị như hình vẽ dưới m đây. Khẳng định nào y ax2 . Biết a , trong đó m, n là các số n dưới đây đúng? nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tính A. a 0,b 0,c 0 m n . B. a 0,b 0,c 0 A. m n 7 B. m n 7 C. a 0,b 0,c 0 C. m n 31 D. m n 31 D. a 0,b 0,c 0 Câu 7: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x2 2 x là: Câu 3: Giá trị lớn nhất của hàm số 2 y bằng: A. 1B. 0 C. 1 D. 2 x2 5x 9 Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 11 11 4 8 2 A. B. C. D. y x 4 x 3 là: 8 4 11 11 A. 1 B. 1C. 4D. 3 Câu 4: Cho parabol P : y x2 2 m 1 x 2 , trong đó m là tham Câu 9: Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng số. Quỹ tích đỉnh của P khi m thay đổi là: quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol A. một parabolB. một đường thẳng trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng C. một đoạn thẳng D. một điểm được đá lên; h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao LOVEBOOK.VN | 17
  18. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó đạt độ cao m min f x và M max f x . Gọi S là x  1;1 x  1;1 6m. Hỏi sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho kể từ khi được đá lên (tính chính xác đến hàng M m 8. Tính tổng bình phương các phần tử phần trăm? thuộc S. A. 2,56 giâyB. 2,57 giây A. 0B. 1 C. 2D. 4 C. 2,58 giây D. 2,59 giây Câu 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc 2 Câu 10: Cho parabol P : y ax bx c . đoạn 1;2018 của tham số m để bất phương Tìm a b c , biết rằng đường thẳng y 2,5 trình x2 2x x 2 2 m thỏa mãn với mọi có một điểm chung duy nhất với P và đường x  4;1 ? thẳng y 2 cắt P tại hai điểm có hoành độ A. 2013B. 2014 C. 2016D. 2017 là 1 và 5. Câu 15: Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham A. a b c 2 B. a b c 2 số m để phương trình x x2 4 x 4 m có 6 C. a b c 1 D. a b c 1 nghiệm phân biệt là khoảng a;b . Tính a b . Câu 11: Cho parabol P : y x2 3mx m2 1 và đường thẳng d A. a b 6 B. a b 4 có phương trình y mx m2 , m là tham số. Có C. a b 1 D. a b 2 bao nhiêu giá trị nguyên của m để đường thẳng d cắt parabol P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x1 x2 1? A. 0B. 1 C. 2D. 3 Câu 12: Tìm số các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x2 2m 1 x m2 1 trên đoạn 0;1 là bằng 1. A. 0B. 1 C. 2D. 3 Câu 13: Cho hàm số 2 1 f x x 2 m x m . Đặt m LOVEBOOK.VN | 18
  19. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ II Xem đáp án chi tiết tại trang 84 x 0 1 Câu 1: Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị 5 4 2 y hàm số y x 2x 1? A. 1;2 B. 2;7 C. 0; 1 D. 1; 2 1 Câu 2: Cho các hàm số sau: Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; B. 0;1 x2 2 (I) y 2x 3 (II) y ; x C. ;0 D. ;1 Câu 6: Cho hàm số y f x x2 x . Khẳng (III) y x3 1; (IV) y 2 x 2 x định nào sau đây là đúng? Trong các hàm số trên, hàm số nào là hàm số A. Đồ thị của hàm số đối xứng qua gốc tọa độ. chẵn? B. Đồ thị của hàm số đối xứng qua trục tung A. (I)B. (II)C. (III)D. (IV) C. Đồ thị của hàm số đối xứng qua trục hoành D. Đồ thị của hàm số đối xứng qua đường Câu 3: Parabol y x2 2x 2 có đỉnh là 1 thẳng x A. I 2;2 B. I 1;1 2 x 3 Câu 7: Cho hàm số y . Khẳng định nào C. I 1;5 D. I 2;10 x 2 sau đây là đúng? Câu 4: Cho bốn hàm số sau: A. Hàm số đồng biến trên ¡ (I) y 2018 ; (II) y 3x2 1; B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 2; x2 x4 1 (III) y x4 3x 2 ; (IV) y . C. Hàm số nghịch biến trên ¡ x D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng Trong các hàm số trên, hàm số nào là hàm số ; 2 và 2; lẻ? Câu 8: Cho hàm số y f x xác định trên ¡ A. (I)B. (II)C. (III)D. (IV) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào dưới Câu 5: Cho hàm số y f x có bảng biến đây? thiên như sau: LOVEBOOK.VN | 19
  20. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 12: Cho hàm số y f x xác định trên tập D có đồ thị là C , A là một điểm bất kì thuộc trục Ox, A O . Từ A dựng đường thẳng d song song với trục Oy. Số điểm chung tối đa của d và C là: A. 0B. 1 C. 2D. 3 A. 2;0 B. 1; Câu 13: Cho hàm số chẵn f xác định trên D. C. ; 2 D. 2;1 Biết rằng f đồng biến trên a;b  D . Xác định Câu 9: Tìm tập xác định D của hàm số: chiều biến thiên của f trên b; a . 2x 4 y f x 3x 5 . A. Đồng biến x 3 5 5 B. Nghịch biến A. D ; B. D ; \ 3 3 3 C. Không đồng biến, không nghịch biến 3 D. Không xác định được C. D ; \ 3 D. D ¡ \ 3 5 Câu 14: Cho parabol 3 Câu 10: Hàm số y x 3x nghịch biến trên 2 Pm : y x 2mx 1 m , trong đó m là tham khoảng nào trong các khoảng sau đây? số. Tập hợp các đỉnh của P khi m thay đổi A. 1;1 B. ; m là một parabol P . Đỉnh của P là: C. ; 1 D. 1; Câu 11: Cho hàm số y f x xác định trên A. I 1;1 B. I 1;3 ¡ có đồ thị như hình bên dưới: 1 3 1 7 C. I ; D. I ; . 2 4 2 4 Câu 15: Parabol P : y x2 và đường cong C : y x4 3x2 2 có bao nhiêu giao điểm? A. 0B. 1 C. 2D. 4 Câu 16: Cho parabol P : y x2 3x 4 và đường thẳng d : y 2x m , trong đó m là Số nghiệm của phương trình 2 f x 3 0 là: tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của A. 4B. 2 C. 0D. 3 tham số m để P và d có điểm chung? LOVEBOOK.VN | 20
  21. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing A. 5B. 17 C. 1D. N, P biết N nằm giữa M và P. Tính độ dài MẶT Câu 17: Một chiếc cổng hình parabol dạng PHẲNG. 1 y x2 có chiều rộng d 8m . Điểm cao A. MP 2 B. MP 3 2 C. MP 1 D. MP 4 nhất của cổng cách mặt đất một khoảng bằng bao nhiêu mét? Câu 22: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để A. 32B. 16 C. 8D. 4 đường thẳng d : y mx cắt parabol 2 Câu 18: Đường thẳng y x 1 và đồ thị hàm P : y x x 1 tại hai điểm phân biệt A, B số y x3 x2 x 1 có hai điểm chung. Tìm mà trung điểm I của AB thuộc đường thẳng tổng tung độ các giao điểm đó. : y 2x 1? A. 3 B. 2C. 0D. 1 A. 0B. 1 C. 2D. vô số Câu 19: Cho hàm số y f x có bảng biến Câu 23: Cho các hàm số sau: thiên như sau: (I) y x 2 x 2 ; (II) y 2x 1 2x 1 ; x 4 x 4 (III) y ; x 3 x 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương (IV) y 2x 3 . 2x 3 . trình f x m 0 có ba nghiệm phân biệt. Trong các hàm số trên, số các hàm số chẵn là: A. m 2 B. 2 m 4 A. 1B. 2 C. 3D. 4 C. 2 m 4 D. m 4 Câu 24: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m Câu 20: Tìm biểu thức xác định hàm số thuộc đoạn  14;15 sao cho đường thẳng y f x , biết rằng đồ thị của nó là đường 2x 1 thẳng đối xứng với đường thẳng y 2x 3 y mx 3 cắt đồ thị hàm số y tại hai x 1 qua trục hoành. điểm phân biệt? A. y 2x 3 B. y 2x 3 A. 16B. 15 C. 20D. 17 C. y 2x 3 D. y 2x 3 Câu 25: Cho hàm số y x4 2mx2 m . Tập Câu 21: Đường thẳng y 1 cắt đồ thị hàm số tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y x3 3x2 2x 1 tại ba điểm phân biệt M, đã cho cắt đường thẳng y 3 tại 4 điểm phân LOVEBOOK.VN | 21
  22. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book biệt, trong đó có 1 điểm có hoành độ lớn hơn 2 A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn 1, là Câu 30: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham khoảng a;b . Khi đó 15ab nhận giá trị nào số m để phương trình x2 6 x 5 m có 8 sau đây? nghiệm phân biệt? A. 63 B. 63C. 95D. 95 A. 3B. 2 C. 1D. 4 Câu 26: Cho hàm số f x m 1 x 2 . Có Câu 31: Hàm số f x 2x x2 . Tìm giá trị bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để lớn nhất M của hàm số. f x 0 với mọi x  1;3? 1 A. M 0 B. M 4 C. M 1 D. M A. 0B. 1 C. 2D. 3 4 Câu 27: Cho parabol P có phương trình 2 1 Câu 32: Cho P : y x và A 2; . Gọi M y ax2 bx 2 . Có bao nhiêu bộ số a;b , 2 là một điểm bất kì thuộc P . Khoảng cách MA biết P đi qua điểm A 1;6 và tung độ của bé nhất là: 1 đỉnh là . 4 7 2 3 2 5 A. B. C. D. A. 0B. 1 C. 2D. vô số 2 3 2 2 Câu 28: Bảng biến thiên dưới đây là của hàm Câu 33: Biết hàm số y f x có tập xác định số nào? là đoạn  1;0 . Tìm tập xác định D của hàm số y f x 1 . A. D  1;0 B. D 0;1 A. y x 1 x 3 B. y 3 x x 1 C. D  2; 1 2 2 C. y x 4x 3 D. y x 4 x 3 D. D ; 2 1; Câu 29: Cho hàm số Câu 34: Giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất y 2x2 3 m 1 x m2 3m 2 , trong đó m m của hàm số y x2 4x 3 trên đoạn 0;3 là tham số. Giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt giá là trị lớn nhất bằng bao nhiêu khi m thay đổi? A. M 3,m 0 B. M 2;m 1 LOVEBOOK.VN | 22
  23. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing C. M 3;m 1 D. M 0,m 1 Đặt fn x f fn 1 x ,n ¥ ,n 2 với 2 f x  f x . Tính f 1 . Câu 35: Hàm số y nghịch biến trên 1 10 x2 1 1 1 khoảng nào dưới đây? A. f 1 B. f 1 10 10 10 11 A. 1;1 B. ; 1 1 C. f10 1 D. f10 1 C. 0; D. ;0 2 3 13 1 Câu 36: Hàm số nào đồng biến trên khoảng Câu 40: Cho hàm số y x , giá trị nhỏ x 2 ; ? nhất m của hàm số trên  1;2 là: A. y x 1 B. y x3 x 2 9 1 A. m 0 B. m 2 C. m D. m x 1 4 2 C. y x4 2x2 1 D. y x 1 Câu 41: Cho hàm số Câu 37: Biết hàm số y f x có tập xác định m x 2 f x 2 m 1 x . Có bao nhiêu giá là đoạn  1;0. Tìm tập xác định D của hàm số x 2 trị nguyên dương của tham số m để đồ thị của x y f . hàm số y f x cắt trục hoành tại một điểm x có hoành độ thuộc khoảng 1;3 ? A. D  1;0 B. D  1;0 A. 0B. 1 C. 2D. 3 C. D 1 D. D ;0 Câu 42: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của Câu 38: Cho hàm số y f x xác định trên tham số m để phương trình x x 1 x 2 m vô nghiệm? 1 3 1 ¡ thỏa mãn f x x 3 x 0. Tính x x A. 0B. 1 C. 2D. 3 f 2 . Câu 43: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham A. f 2 14 B. f 2 2 số m để phương trình x x 2 x 2 m có ba nghiêm phân biệt? C. f 2 8 D. f 2 0 A. 2B. 3 C. 4D. 5 x Câu 39: Cho hàm số f x . 1 x2 LOVEBOOK.VN | 23
  24. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 44: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số Câu 47: Giá trị lớn nhất của hàm số 2x 3 y . Tìm M  . y x 2 x là: x2 1 5 9 1 A. B. 2C. C. A. 2B. 3 C. 4D. 5 4 4 4 Câu 45: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và Câu 48: Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số 2x 1 giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên y f x 4 x2 2x 3 2x x2 . Tính tích x 1 đoạn 0;3 . Tính giá trị M m . các nghiệm của phương trình f x M . A. 2B. 0 C. 1 D. 1 9 A. M m B. M m 3 4 Câu 49: Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham 9 1 3 x 1 C. M m D. M m số thực m để phương trình m 0 có 2 4 4 x 2 Câu 46: Cho hàm số f x xác định trên nghiệm phân biệt là khoảng a;b . Tính a b . ¡ \ 0 thỏa mãn 7 3 5 9  A. B. C. D. 2 2 2 2 1 4x2 3 2 f x f x 0 . Tính f 2 . x x Câu 50: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số 10 A. f 2 3 B. f 2 2 3 y x 2x m 4 trên đoạn  2;1 bằng 4? 11 A. 1B. 2 C. 3D. 4 C. f 2 D. f 2 4 3 LOVEBOOK.VN | 24
  25. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 2 I. ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ f x 1 0 f x 1. Câu 1: Đáp án C. Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng y 1 cắt Quan sát trên đồ thị ta thấy đồ thị hàm số đi lên đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt, trong đó có 2 điểm có hoành độ nhỏ hơn 2. Vậy phương trên khoảng 1;0 . Vậy hàm số đồng biến trên trình f x 1 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ khoảng 1;0 . hơn 2. Câu 2: Đáp án C. Tập xác định của hàm số y x 2 là ¡ Tập xác định của hàm số y x x 1 2 x2 là ¡ . Mặt khác ta có y x x 1 2 x2 x 2 . Vậy đồ thị của b) Đáp án A. hàm số y x x 1 2 x2 trùng với đồ thị Quan sát đồ thị ta thấy với x 1 thì đồ thị của hàm số y x 2 . hàm số nằm dưới đường thẳng y 2 và có hai Các hàm số còn lại mặc dù sau khi rút gon đều điểm thuộc đường thẳng y 2 , đó là các điểm có dạng y x 2 nhưng có tập xác định không 1;2 và 2;2 . phải là ¡ nên đồ thị không trùng với đồ thị Suy ra tập nghiệm của bất phương trình hàm số y x 2 . f x 2 là  1; . 2 Thật vậy, hàm số y x 2 có tập xác định x 2 2 là  2; ; hàm số y có tập xác x 2 x2 x 2 định là ¡ \ 2 ; hàm số y có tập x2 xác định là ¡ \ 0 . Câu 3: a) Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 25
  26. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 4: Đáp án C. D ;0  0 0; ¡ là tập đối Các hàm số: xứng. y x x 2 và y 2x2 5 x đều có tập xác + Khi x 0 thì x 0 định là ¡ . f x 1 f x . x 2 Hàm số y có tập xác định ¡ \ 0 là + Khi x 0 thì x 0 x2 f x 1 f x . tập đối xứng. x 2 + Khi x 0 thì Hàm số y có tập xác định ¡ \ 2 là x 2 f 0 f 0 0 f 0 . tập đối xứng. Suy ra với mọi x ¡ thì 2 Mặt khác dễ thấy các hàm số y x và y x f x f x . là các hàm số chẵn, hàm số y x là hàm số lẻ Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. nên dễ dàng suy ra các hàm số y 2x2 5 x , Lưu ý: Hàm số trong ví dụ trên được gọi là x 2 x 2 y và y là các hàm số chẵn, hàm dấu (sign). x2 x 2 Câu 8: Đáp án C. còn hàm số y x x 2 là hàm số lẻ. Với x 0 thì x 2 0 nên hàm số xác định Câu 5: Đáp án D. với mọi x 0 . Đường cong trong hình vẽ đối xứng qua trục Với x 0 : Hàm số xác định khi Oy nên là đồ thị của một hàm số chẵn. Mặt 1 x 0 x 1. khác đường cong đi qua điểm 0;3 . Do đó nó Vậy D ;0 0;1 ;1 . 4 2 là đồ thị của hàm số y x 2x 3 . Câu 9: Đáp án B. Câu 6: Đáp án D. Giả sử f x là hàm số xác định trên ¡ vừa là Quan sát trên đồ thị ta thấy f x 0x 1;2 hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ. và f x 0 x 2;3 . f x f x Khi đó ta có x ¡ : Do đó f 1,5 0 f 2,5 . f x f x Câu 7: Đáp án B. 2 f x 0 f x 0 . Tập xác định: Vậy f x 0x ¡ . LOVEBOOK.VN | 26
  27. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Ngược lại nếu f x 0 x ¡ thì dễ thấy x 1 0 x 1 . 2 f x vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ. x 2x 2 0 x 1 3 Vậy có 3 điểm nào trên đồ thị hàm số có tung Vậy f x 0 x ¡ là hàm số duy nhất xác độ bằng 1. định trên ¡ vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số Câu 13: Đáp án A. lẻ. Phương trình hoành độ giao điểm: Câu 10: Đáp án B. 2x2 3x 2 2x 1 Tập xác định D ¡ là tập đối xứng. x 1 Ta có x ¡ : 2 2x x 3 0 3 . x f x x x 2 x 2 2 3 x x 2 x 2 Với x 1 thì y 3 ; với x thì y 2 . 2 x x 2 x 2 f x . 3 Vậy A ; 2 và B 1;3 . Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. 2 Cách khác: Dựa vào các nhận xét đã nêu trong 3 Suy ra C ;0 và D 1;0 . phần B- Các dạng bài tập điển hình, ta có các 2 hàm số h x x và g x x 2 x 2 là các hàm số lẻ. Do đó hàm số f x x x 2 x 2 là một hàm số lẻ. Câu 11: Đáp án C. Điều kiện xác định của hàm số y f x2 là: 1 x2 0 0 x2 1 1 x 1 Vậy D  1;1. Câu 12: Đáp án D. y 1 x3 3x2 3 1 3 2 x 3x 2 0 Diện tích tứ giác ABCD là: x 1 x2 2x 2 0 LOVEBOOK.VN | 27
  28. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 5 2 2 2 3 AC BD CD 25 Vậy D ; không chứa số nguyên S 2 . 3 3 2 2 4 dương nào. Câu 14: Đáp án A. Với D: Điều kiện xác định: Tập xác định D ¡ là tập đối xứng. 27 x3 0 3 Ta có x ¡ : 1 27 x 0 3 0 f x x 2 2 x 27 x x3 27 x 3 x2 2 x f x Vậy D ;3 , chứa 2 số nguyên dương là 1; Vậy hàm số y f x x2 2 là hàm số chẵn. 2. Do đó đồ thị của nó đối xứng qua trục Oy. Câu 16: Đáp án A. Trong bốn đường cong đã cho chỉ có đường cong trong hình A là đối xứng qua Oy. Vậy A Hàm số xác định khi và chỉ khi: là đáp án đúng. x 2m x 2m 0 7m 1 . Câu 15: Đáp án A. 7m 1 2x 0 x 2 Với A: Điều kiện xác định: Để tập xác định của hàm số chứa đoạn 1;1 3 x 0 x 3 .   thì ta phải có Vậy D ;3, chứa 3 số nguyên dương là 7m 1 1;2;3. 1 m 1/ 7 2 1 m 1/ 2 m . Với B: Điều kiện xác định: 2m 1 2 m 1/ 2 x 2 0 2m 1 2 x 2 x 2 . 0 Vậy không có giá trị nguyên âm nào của m thỏa x 2 mãn yêu cầu bài toán. Vậy D 2;2, chứa 2 số nguyên dương là 1; Câu 17: Đáp án A. 2. Điều kiện xác định của hàm số: Với C: Điều kiện xác định: x 1 x 1 0 m 2 2 4 2 2 m 1 x 4 9x 0 x x . m 2x 0 x 2 9 3 3 2 m (do m 2 nên 1). 2 LOVEBOOK.VN | 28
  29. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing m x2 2m 3 x 2m 3 0 (*) Vậy D 1; . Độ dài của D bằng 1 khi và 2 (do x 1 không là nghiệm của phương trình). m chỉ khi 1 1 m 0 . 2 Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số x2 3x 3 Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài y tại hai điểm phân biệt A, B khi toán. 2x 2 và chỉ khi: Câu 18: Đáp án B. 2 Điều kiện xác định: 2m 3 4 2m 3 x 0 2m 3 2m 1 0 x 0 . x x 0 2m 3 0 2m 3 0 hoặc 2m 1 0 2m 1 0 Đặt x x n,n ¥ . Suy ra: 1 x x n2 4x 4 x 1 4n2 1 m 2 ( ). 2 2 3 2 x 1 2n 1 m 2 2 x 1 2n 2 x 1 2n 1 Khi đó xA , xB là hai nghiệm của (*). Theo Viet xA xB 2m 3 2 x 1 2n 1 ta có: . xA.xB 2m 3 2 x 1 2n 1 Mặt khác yA yB m . (do 2 x 1 2n 0) Ta có: AB 5 4 x 0 x 0. x x 2 y y 2 5 Với x 0 thì y 0. Vậy có duy nhất một điểm B A B A có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số, đó là 2 xA xA 5 điểm có tọa độ 0;0 . x x 2 4x x 5 Câu 19: Đáp án C. B A A B 2 Phương trình hoành độ giao điểm: 2m 3 4 2m 3 5 0 x2 3x 3 m 2m 3 1 m 2 2x 2 (tm ( )). 2m 3 5 m 1 LOVEBOOK.VN | 29
  30. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài Đồ thị hàm số y x4 2x2 m cắt trục hoành toán. tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình Câu 20: Đáp án C. x4 2x2 m 0 có 4 nghiệm phân biệt 2 Nhận xét: Dễ thấy điểm A 3;20 thuôc đồ thị phương trình t 2t m 0 có hai nghiệm dương phân biệt (với t x2 0) C . Vậy A là một giao điểm của d và C . ' 1 m 0 Phương trình đường thẳng d: S 2 0 P m 0 y m x 3 20 y mx 20 3m . m 1 Phương trình hoành độ giao điểm của d và 0 m 1. m 0 C : Câu 22: Đáp án C. x3 3x 2 mx 20 3m Tập xác định: D 2; x3 m 3 x 3m 18 0 (*). Ta có x 2; : Vì A 3;20 là một giao điểm của d và C nên phương trình (*) chắc chắn có một nghiệm y f x x x 2 bằng 3. x 2 x 2 2 Từ đó ta có: 2 3 1 7 7 x m 3 x 3m 18 0 x 2 . 2 4 4 2 x 3 x 3x 6 m 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 9 x 3 x 2 0 x . 2 4 2 x 3x 6 m 0 7 Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là bằng . d cắt C tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) 4 có 3 nghiệm phân biệt ( ) có hai nghiệm Câu 23: Đáp án A. phân biệt khác 3 Điều kiện xác định: D  1;1. 15 4m 15 0 m . Dễ thấy y 0,x 1;1 . 2 4   3 3.3 6 m 0 m 24 Ta có y2 2 2 1 x2 nên suy ra: Câu 21: Đáp án D. LOVEBOOK.VN | 30
  31. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing 2 y2 4 2 y 2 . Với 3 x 5 thì x 3 0;5 x 0 , suy ra y x 3 5 x 0. y 2 1 x2 0 x 1; Với x 3 hoặc x 5 thì y 0. y 2 1 x2 1 x 0 . Vậy m 0 . Vậy m 2 và M 2 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương Do đó M m 2 2 . x 3 và 5 x ta có: Câu 24: Đáp án C. 2 x 3 5 x x 3 5 x 16. Gọi y0 là một giá trị bất kì thuộc tập giá trị của 4 hàm số đã cho. Khi đó phải tồn tại một giá trị x Dấu bằng xảy ra khi sao cho x 3 5 x x 1. x2 8x 7 y Vậy M 16 . Do đó M 2m 16 . 0 x2 1 Hoặc có thể giải như sau: 2 y0 1 x 8x y0 7 0 (*). y x2 2x 15 x2 2x 1 16 3 + Nếu y 1 thì x . 2 0 0 4 16 x 1 16 + Nếu y0 1 thì (*) có nghiệm khi và chỉ khi: y 16 x 1. Vậy M 16 . 2 ' y0 8y0 9 0 1 y0 9 . Câu 26: Đáp án D. 2 2 Kết hợp hai trường hợp ta có: Ta có y x x 1 1. x 1 x 1 1 y0 9 . Với x 1 thì x 1 0 . Ta thấy y 1 x 2 ; 0 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có 1 2 y 9 x . x 1 2 2 . Suy ra y 2 2 1. 0 2 x 1 Vậy m min y 1;M max y 9 2 ¡ ¡ y 2 2 1 khi x 1 x 1 M m 10 . x 1 2 2 x 1 2 Câu 25: Đáp án B. Vậy m 2 2 1 m 3 . LOVEBOOK.VN | 31
  32. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 27: Đáp án A. Ta có x ¡ : x2 1 2 x . Tập xác định: D  1;1. 4x 4x Suy ra 2 2 2 2 2 . a) Đáp án A. x 1 x 1 Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: f x 2 x 1; 2 x 1 x2 12 12 x2 1 x2 2 f x 1 x 1. Vậy f x có tập giá trị là đoạn  2;2. Suy ra f x 2 . 2 Dấu bằng xảy ra khi * Với g x x 2 x : 2 2 Tập xác định D 2; 2 . x 1 x x . 2 Ta có x 2; 2 x2 0 . Vậy max f x 2 .  1;1 Suy ra x 2 x2 2 . Dấu bằng xảy ra khi f x m với mọi x  1;1 khi và chỉ khi và chỉ khi x 2 . m max f x m 2 .  1;1 Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có b) Đáp án D. 2 g 2 x x 2 x2 Ta có x  1;1: x 1 và 1 x2 0 nên 1 1 x2 2 x2 4 x 1 x2 1. Suy ra g x 2 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 1. Vậy min f x 1. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  1;1 x 0 f x m với mọi x 1;1 khi và chỉ khi x 2 x2 x 1.   2 2 x 2 x m min f x m 1.  1;1 Vậy 2 g x 2 . Câu 28: Đáp án D. Vậy g x có tập giá trị là đoạn 2;2 . 4x * Với f x : x2 1 x2 2 * Với h x : Tập xác định D ¡ . x2 1 LOVEBOOK.VN | 32
  33. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Tập xác định D ¡ . x x 1 2 2 2 2 x 2 1 1 x2 1 x1 Ta có x2 1 2 . x2 1 x2 1 Do đó với x1, x2 0 ta có Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: y x y x 2 1 0 ; 2 1 2 x x x 1 x 1 1 x 0 2 1 x2 1 y x y x với x , x 0 ta có 2 1 0 . Vậy h x có tập giá trị là nửa khoảng 2; . 1 2  x2 x1 * Với k x 4x x2 : Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1;0 và nghịch biến trên khoảng 0;1 , tức là hàm số Tập xác định D 0;4 . không đồng biến trên khoảng 1;1 . Ta có x 0;4 : * Xét hàm số y x2 : 0 4x x2 4 x 2 2 4 . Tập xác định D ¡ ; Suy ra 0 k x 2. x1, x2 ¡ , x1 x2 : k x 0 x 0 hoặc x 4 ; y x y x x2 x2 2 1 2 1 x x . x x x x 2 1 k x 2 x 2 . 2 1 2 1 Do đó với x1, x2 0 ta có Vậy k x có tập giá trị là đoạn 0;2 y x2 y x1 Câu 29: Đáp án D. 0 ; x2 x1 * Xét hàm số y 1 x2 : y x y x với x , x 0 ta có 2 1 0 . 1 2 x x Tập xác định D  1;1; 2 1 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 x1, x2 1;1 , x1 x2 : và đồng biến trên khoảng 0; , tức là hàm 2 2 y x2 y x1 1 x2 1 x1 số không đồng biến trên khoảng 1;1 . x2 x1 x2 x1 x 1 x2 x2 * Xét hàm số y : 1 2 x x x 1 x2 1 x2 2 1 2 1 LOVEBOOK.VN | 33
  34. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Tập xác định D ¡ \ 0 . ở phần B - Các dạng bài tập điển hình. Độc giả hãy tự thực hiện để kiểm chứng kết quả như x1, x2 ¡ \ 0, x1 x2 : trong cách 1 đã nêu ở trên. x 1 x 1 x x Câu 30: Đáp án A. y x y x 2 1 1 2 2 1 x x x x 2 1 1 2 Ta có 2x 5 1 x 3. y x y x 1 2 2 1 . Vậy f 1 3 3.3 2 16 . x2 x1 x1x2 Lại có 5x 1 16 x 3. Do đó với x1, x2 0 và với x1, x2 0 3 3 Vậy g f 1 . y x y x 3 7 4 ta đều có 2 1 0 . x x 2 1 Câu 31: Đáp án B. Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng 1 3 1 Ta có f x x 3 ;0 0; , tức là hàm số không đồng x x biến trên khoảng 1;1 . 3 1 1 x 3 x . * Do đó đáp án đúng là D. Thật vậy xét hàm số x x 3 y x 3x ta có Do đó f x x3 3x . Tập xác định D ¡ ; Vậy f 3 33 3.3 18. x1, x2 ¡ , x1 x2 : Câu 32: Đáp án A. y x y x x3 x3 3 x x 2 1 1 2 2 1 3x 2 x x x x Cách 1: Đặt t 2 1 2 1 x 1 3 x2 x x x2 t 2 3t 8 1 1 2 2 x x 2 . t 3 t 3 Với x 1, x 1 ta có 1 2 Do đó ta có 2 2 x1 1, x2 1, x1x2 1 x1x2 1, 3t 8 3x 8 f t f x . t 3 x 3 2 2 do đó x1 x1x2 x2 3 Vậy f 2 f 4 6. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1;1 . Cách 2: Cách 2: Sử dụng chức năng TABLE của máy tính cầm tay như đã giới thiệu trong Bài tập 17 LOVEBOOK.VN | 34
  35. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing 3x 2 Dễ thấy các nghiệm này là phân biệt. 2 x 0 f 2 2 ; x 1 Câu 34: Đáp án A. 3x 2 4 x 2 f 2 4 . Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: x 1 2 2 1 1 2 3x 1 3.x . 3 9 x 3 . Vậy f 2 f 4 6. 3 3 Câu 33: Đáp án C. 28 Suy ra 3x 1 x2 3 Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số 3 y 4x3 6x2 1 cắt trục hoành tại ba điểm 3x 1 28 84 . phân biệt có hoành độ lần lượt là x2 3 3 3 x 1;0 , x 0;1 , x 1;2 . 1 2 3 Dấu bằng xảy ra khi 3 Do đó phương trình 4x 6x 1 0 có ba x 3 x 9 . nghiệm phân biệt lần lượt là 3 1 x1 1;0 , x2 0;1 , x3 1;2 . 3 3 2 84 Đặt t 4x 6x 1 thì phương trình Vậy M , tức là 3 2 3 4 4x3 6x2 1 6 4x3 6x2 1 1 0 trở a 84,b 3 a b 87 . thành 4t3 6t 1 0 . Theo trên thì phương Lưu ý: Với kĩ thuật tương tự, các bạn dễ dàng trình này có ba nghiệm lần lượt là t1 1;0 , tìm được giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của t 0;1 , t 1;2 2 3 ax b các hàm số có dạng f x . 2 Xét phương trình 4x3 6x2 1 t . cx d 2 Quan sát trên đồ thị ta thấy: Câu 35: Đáp án C. + Nếu t 1;1 thì phương trình có 3 nghiệm Tập xác định: D ¡ . phân biệt. Đặt t 4x x2 . + Nếu t 1;2 thì phương trình có 1 nghiệm 2 Phương trình f 4x x 2 0 trở thành duy nhất. f 2 t (*). Từ các nhận xét trên ta suy ra phương trình Mặt khác t 4x x2 x2 4x t 0 ( ). Ta 3 2 3 3 2 2 4 4x 6x 1 6 4x 6x 1 1 0 có coi ( ) là phương trình bậc hai ẩn x tham số t. 2 3 1 7 nghiệm. Khi đó ta có ' 4 t LOVEBOOK.VN | 35
  36. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book ' 0 4 t 0 t 4: phương trình ( ) 250 2x2 x 5 (TMĐK). có hai nghiệm phân biệt. x ' 0 4 t 0 t 4 : phương trình ( ) Vậy kích thước của bể nước sao cho chi phí có nghiệm kép x 2 . thuê nhân công thấp nhất là chiều dài 10m, chiều rộng 5m, chiều cao thước của bể nước ' 0 4 t 0 t 4 : phương trình vô sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất là nghiệm. 10 chiều dài 10m, chiều rộng 5m, chiều cao m. Vậy với mỗi giá trị t 4 cho ta hai giá trị phân 3 biệt của x, với t 4 cho ta một giá trị x 2 , với mỗi giá trị t 4 không cho ta giá trị nào II. HÀM SỐ BẬC NHẤT của x. Câu 1: Đáp án D. Dựa vào bảng biến thiên dễ thấy phương trình 1 Ta có: 3y 6x 1 0 y 2x ; (*) có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 4 và một 3 nghiệm lớn hơn 4. Suy ra phương trình 1 2 2y x 6 y x 3 ; f 4x x 2 0 có 4 nghiệm phân biệt. Đáp 2 án đúng là C. 2x y 1 y 2x 1. Câu 36: Đáp án B. Do đó có 3 cặp đường thẳng song song, đó là: Gọi x là chiều rồng của bể chứa nước (đơn vị: 3y 6x 1 0 và 2x y 1; m, điều kiện: x 0 ). y 0,5x 4 và 2y x 6 ; Khi đó chiều dài của bể chứa nước là 2x và 500 250 2 chiều cao của bể chứa nước là . y 3 và y 0,5x 1. 3.x.2x 3x2 x Diện tích cần xây dựng là: Câu 2: Đáp án B. 250 2 500 Cách 1: Đường thẳng y 0,5x 2 đi qua hai S x.2x 2 .2 x 2x 2x . 3x x điểm là A 4;0 và và B 0; 2 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: Điểm đối xứng với A, B qua trục tung lần lượt 250 250 S 2x2 là A' 4;0 và B ' 0; 2 . x x Áp dụng kết quả “Đường thẳng đi qua hai điểm 250 250 33 2x2. . 30 A a;0 và B 0;b , trong đó a, b là các số thực x x x y khác 0, có phương trình là 1”, ta có Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: a b LOVEBOOK.VN | 36
  37. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing phương trình đường thẳng đối xứng với đường Vậy a 1;b 2 a b 1. thẳng y 0,5x 2 qua trục tung là: Câu 4: Đáp án C. x y 1 4 2 Ta có y 2mx 1 m 1 y m 2x 1 1. x 2y 4 y x 2 . 2 1 Ta thấy với x thì y 1 m . 1 Vậy y f x x 2 . 2 2 1 Vậy M ;1 . Cách 2: Gọi d là đường thẳng y 0,2x 2 và 2 d ' là đường thẳng đối xứng với d qua trục 1 tung. Do đó a ;b 1 2a b 2 . 2 Ta có nếu M x;0,5x 2 d thì Câu 5: Đáp án B. M ' x;0,5x 2 d ' . Ta có bảng sau: 1 M ' x;0,5x 2 x; x 2 2 1 Vậy d ': y x 2 . 2 Câu 3: Đáp án C. Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số: Cách 1: f x 1 x 3 a x 1 b x 3 ax a b x 3 a 1 a 1 Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân a b 3 b 2 biệt khi và chỉ khi m 4; . Vậy a b 1. Câu 6: Đáp án C. Cách 2: f x 1 x 3 Nửa đường đi của tia sáng nằm phía trên trục hoành (ứng với x 0 ) đi qua gốc tọa độ và f x 1 x 1 2 điểm 1;1 nên có phương trình y x . Suy ra f x x 2 . LOVEBOOK.VN | 37
  38. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Nửa đường đi của tia sáng nằm phía dưới trục hoành (ứng với x 0 ) đi qua gốc tọa độ và điểm 1; 2 nên có phương trình y 2x . Vậy hàm số y f x có đồ thị trùng với đường đi của tia sáng đã cho là Câu 8: Đáp án C. x khi x 0 Ta có bảng biến thiên của hàm số: y f x . 2x khi x 0 Câu 7: Đáp án A. Với x 1;2 thì x 3 0 x 3 x 3 . Từ đó suy ra: Do đó f x 2 m 2 x m . min f x 1, max f x 1 và ¡  1;0 Đặt h x 2 m 2 x m . min f x 0, còn giá trị lớn nhất của hàm số 0;1 Ta cần tìm m sao cho h x 0 với mọi trên ¡ thì không tồn tại. x 1;2 (1). Vậy có 3 khẳng định đúng. Gọi A 1;h 1 và B 2;h 2 là hai điểm Câu 9: Đáp án A. thuộc đồ thị của hàm số y h x . Khi đó đồ Ta có bảng sau: thị hàm số y h x là đường thẳng AB. Do đó x 4 khi x 2 Vậy f x x khi 2 x 2 . điều kiện 1 có nghĩa là đoạn thẳng AB nằm x 4 khi x 2 hoàn toàn phía trên trục hoành. Điều này xảy ra khi và chỉ khi cả hai đầu mút A, B của đoạn Từ đó ta có đồ thị của hàm số: thẳng đều nằm phía trên trục hoành, có nghĩa là h 1 m 4 0 . h 2 3m 8 0 Giải hệ tìm được m 4 . Vậy không có giá trị nguyên âm nào của tham số m thỏa mãn yêu Suy ra S ; 4  0;4 . cầu bài toán. LOVEBOOK.VN | 38
  39. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Vậy a 4,b 0,c 4 . Hoành độ của đỉnh xI m 1. Do đó a b c 0 . Tung độ của đỉnh: 2 2 III. HÀM SỐ BẬC HAI yI m 1 2 m 1 2 Câu 1: Đáp án A. 2 2 m 1 2 xI 2 y x2 3mx 6m 1 Vậy đỉnh I của P thuộc parabol y x2 2. y x2 3m x 2 1 Câu 5: Đáp án A. Ta thấy với mọi m: Phương trình hoành độ giao điểm của P và Khi x 2 thì y 5 . d : Vậy M 2;5 . x2 mx m 2 x 1 Do đó tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là 2 5 7 . x2 2 m 1 x 1 0 (*). Câu 2: Đáp án C. (*) có a, c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân Parabol quay bề lõm xuống dưới a 0 . biệt với mọi m. Do đó P và d luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m. Khi đó Parabol cắt Oy tại điểm có tung độ dương x , x là hai nghiệm phân biệt của (*). c 0 . M N Đỉnh của parabol có hoành độ dương Theo Viet ta có xM xN 2 m 1 . b b 0 0 mà a 0 nên suy ra b 0 . x x 2a a Ta có x M N m 1. I 2 Câu 3: Đáp án D. Suy ra yI m 2 m 1 1 Hàm số y x2 5x 9 có giá trị nhỏ nhất là 2 2 11 m 1 m 1 1 xI xI 1. 0 . 4 Vậy I luôn thuộc parabol y x2 x 1 với mọi 2 Suy ra hàm số y có giá trị lớn m. x2 5x 9 2 8 Chú ý: Cho hai điểm A xA; yA , B xB ; yB . nhất là . 11 11 Trung điểm của đoạn thẳng AB là 4 xA xB yA yB I ; . Câu 4: Đáp án A. 2 2 LOVEBOOK.VN | 39
  40. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 6: Đáp án B. Câu 9: Đáp án C. Từ giả thiết suy ra parabol y ax2 đi qua điểm Gọi phương trình của parabol quỹ đạo là 2 1 h at bt c . Từ giả thiết suy ra parabol đi I 2; . 2 qua các điểm 0;1;2 , 1;8;5 và 2;6 . 1 1 Từ đó ta có a.22 a . 2 8 Vậy m n 1 8 7 . Câu 7: Đáp án C. Từ đó ta có Cách 1: Đặt t x ,t 0 . c 1,2 a 4,9 2 a b c 8,5 b 12,2 . Hàm số f t t 2t đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4a 2b c 6 c 1,2 1 khi t 1 0 . Vậy phương trình của parabol quỹ đạo là Vậy hàm số y x2 2 x đạt giá trị nhỏ nhất h 4,9t 2 12,2t 1,2 . bằng 1 khi x 1 x 1. Giải phương trình Cách 2: Ta có h 0 4,9t 2 12,2t 1,2 0 ta tìm được 2 y x2 2 x x 1 1 1 x ; một nghiệm dương là t 2,58. y 1 x 1 x 1. Câu 10: Đáp án D. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1. Vì đường thẳng y 2,5 có một điểm chung Câu 8: Đáp án D. duy nhất với P và đường thẳng y 2 cắt Ta có x2 0 x, x 0 x . P tại hai điểm có hoành độ là 1 và 5 nên suy ra tọa độ đỉnh của P là: Suy ra x2 4 x 3 3 x . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 0 . Vậy giá trị nhỏ nhất của 1 5 ;2,5 2;2,5 . hàm số đã cho là 3. 2 LOVEBOOK.VN | 40
  41. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Vậy P đi qua ba điểm 2;2,5 , 1;2 và Câu 12: Đáp án C. 5;2 . b 2m 1 Ta có ; 4m 5 . 2a 2 Từ đó ta có hệ Vì a 0 nên đồ thị hàm số là một parabol quay 1 a bề lõm lên trên và có điểm thấp nhất là đỉnh 10 a b c 2 b 4 I ; . 25a 5b c 2 b . 2a 4a 10 4a 2b c 2,5 15 Từ đó ta xét các trường hợp sau: c 10 * Trường hợp 1: Vậy a b c 1. b 2m 1 0;1 0 1 Câu 11: Đáp án A. 2a 2 Phương trình hoành độ giao điểm của P và 3 1 m (1). d : 2 2 4m 5 x2 3mx m2 1 mx m2 Khi đó min f x . 0;1 4a 4 x2 4mx 1 0 (1). 4m 5 Vậy ta phải có 1 (1) có hai nghiệm dương phân biệt 4 ' 0 4m2 1 0 9 1 m (không thỏa mãn (1)). S 0 4m 0 m (2). 4 2 P 0 1 0 * Trường hợp 2: x x 4m b 2m 1 1 Theo Vi-et ta có 1 2 . 0 0 m (2). 2a 2 2 x1x2 1 2 2 Khi đó min f x f 0 m 1. 0;1 x1 x2 1 x1 x2 1 Ta phải có m2 1 1 m 2 . x1 x2 2 x1x2 1 4m 2 1 Chỉ có m 2 thỏa mãn 2 . 3 m (thỏa mãn (2)). 4 * Trường hợp 3: Vậy không có giá trị nguyên nào của m thỏa b 2m 1 3 1 1 m (3). mãn yêu cầu bài toán. 2a 2 2 LOVEBOOK.VN | 41
  42. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Khi đó min f x f 1 m2 2m 1. 1 1 0;1 4 m 8 m 2 m m Ta phải có m2 2m 1 1 m 0 hoặc m 1. m 2 . Vậy S 1;1. Do đó tổng bình phương các Chỉ có m 2 thỏa mãn 3 . phần tử thuộc S bằng 2. Vậy m 2; 2. Câu 14: Đáp án B. Câu 13: Đáp án C. Đặt f x x2 2x x 2 2 . Đồ thị hàm số là một parabol quay bề lõm lên Bất phương trình 1 trên và có đỉnh có hoành độ x m . 2 0 m x 2x x 2 2 m thỏa mãn với mọi 1 1 x  4;1 khi và chỉ khi Ta có x m m 0 0 m m m max f x .  4;1 1 2 m . 2 . 2 m Ta có f x x 2x x 2 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi m 1 3x2 4x 2 khi x 2 . 2 x 4x 2 khi x 2 Vậy x0  1;1. Từ đó ta có đồ thị của hàm số y f x như Ta thấy nếu x0 1 thì sau: m min f x f 1 , x  1;1 M max f x f 1 . x  1;1 Ngược lại nếu x0 1 thì m min f x f 1 , x  1;1 M max f x f 1 . x  1;1 Vậy M m 8 f 1 f 1 8 Suy ra max f x f 1 5 .  4;1 LOVEBOOK.VN | 42
  43. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Vậy m 5 . Suy ra có 2014 giá trị nguyên thuộc đoạn 1;2018 của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 15: Đáp án C. Ta có x x2 4 x 4 m 2 x x 2 m - Bước 3: Từ đồ thị hàm số y x x 2 suy ra x x 2 m đồ thị hàm số y x x 2 . Phương trình x x 2 m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y x x 2 và đường thẳng y m . Vẽ đồ thị hàm số y x x 2 : - Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y x x 2 . Quan sát đồ thị ta thấy phương trình x x2 4 x 4 m có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m 0;1 . Vậy a b 1. IV. ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 2 - Bước 2: Từ đồ thị hàm số y x x 2 suy ra đồ Câu 1: Đáp án A. thị hàm số y x x 2 . Với x 1 thì y 2 điểm 1;2 không thuộc đồ thị của hàm số. Câu 2: Đáp án D. Xem lại Ví dụ 13 – dạng 4, §1. Đại cương về hàm số. Câu 3: Đáp án B. LOVEBOOK.VN | 43
  44. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Hoành độ của đỉnh: x 1 Tung độ của đỉnh: y x y x 1 1 2 2 y 1 2.1 2 1. x1 x2 x1 2 x2 2 Câu 4: Đáp án D. y x y x Do đó: x , x ; 2 : 1 2 0 1 2 x x Rõ ràng I , II , III không phải là các hàm 1 2 số lẻ. y x y x x , x 2; : 1 2 0. 1 2 x x x2 x4 1 1 2 Xét hàm số: y . x Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng + TXĐ: D ;0  0; là tập đối xứng. ; 2 và 2; . Câu 8: Đáp án A. x 2 x 4 1 + x D : y x x Trên khoảng 2;0 : Đồ thị hàm số có chiều đi x2 x4 1 xuống từ trái qua phải. y x x Câu 9: Đáp án B. x2 x4 1 Hàm số xác định Hàm số y là hàm số lẻ. x x 3 x 3 0 Câu 5: Đáp án C. 5 3x 5 0 x Câu 6: Đáp án B. 3 Dễ thấy hàm số y f x là hàm số chẵn. Do 5 D ; \ 3. 3 đó đồ thị hàm số y f x đối xứng qua trục Câu 10: Đáp án A. tung. Tập xác định: D ¡ . Câu 7: Đáp án D. x , x ¡ ; x x : TXĐ: D ; 2  2; . 1 2 1 2 3 2 y x1 y x2 x1 3x1 x2 3x2 x1, x2 D; x1 x2 ta có: 2 2 x 3 x 3 x1 x2 x1 x1x2 x2 3 y x y x 1 2 1 2 x 2 x 2 1 2 y x y x 1 2 x2 x x x2 3. x x x x 1 1 2 2 2 1 1 2 x1 2 x2 2 Ta có: x1, x2 1;1 : LOVEBOOK.VN | 44
  45. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing 2 2 2 2 2 x1 x1x2 x2 x1 x1x2 x2 3 0 Im m;m m 1 là đỉnh của Pm . y x y x Im thuộc parabol 1 2 0 x1 x2 P : y x2 x 1. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 1 3 1;1 . Do đó đỉnh của P là I ; . 2 4 Câu 11: Đáp án A. Câu 15: Đáp án C. 3 2 f x 3 0 f x . Phương trình hoành độ giao điểm của C và 2 P : 3 Ta thấy đường thẳng y cắt đồ thị hàm số 2 x4 3x2 2 x2 x4 4x2 2 0 (1) tại 4 điểm phân biệt. Đặt: t x2 ,t 0 thì (1) trở thành t 2 4t 2 0 3 Vậy phương trình f x có 4 nghiệm (2) 2 phân biệt. Phương trình (2) có ac 0 nên có 2 nghiệm trái dấu. Suy ra (1) có 2 nghiệm phân biệt Câu 12: Đáp án B. P và C có hai giao điểm. Xem lại Ví dụ 4 – dạng 2, §1. Đại cương về hàm số. Câu 16: Đáp án D. Câu 13: Đáp án B. Phương trình hoành độ giao điểm của P và Khoảng a;b đối xứng với khoảng b; a d : qua điểm x 0 . x2 3x 4 2x m Hàm số f là hàm số chẵn xác định trên D nên D x2 x 4 m 0 (*) là tập đối xứng qua điểm x 0 . P và d có điểm chung Mà a;c  D nên b; a  D . * có nghiệm 0 Mặt khác đồ thị của f đối xứng qua trục Oy. Mà f đồng biến trên a;b . 17 4m 17 0 m 4 Do đó f sẽ nghịch biến trên b; a . Có 4 giá trị nguyên âm của m để P và Câu 14: Đáp án C. d có điểm chung, đó là: 4; 3; 2; 1. LOVEBOOK.VN | 45
  46. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 17: Đáp án C. Cách 1: Đường thẳng y 2x 3 đi qua 2 3 điểm A ;0 và B 0;3 . 2 3 Suy ra A' ;0 và B ' 0; 3 lần lượt là các 2 điểm đối xứng với A và B qua Ox. Do đó đường thẳng đối xứng với đường thẳng y 2x 3 qua trục hoành có phương trình là: Từ giả thiết suy ra điểm cao nhất của cổng cách mặt đất một khoảng bằng 8m. x y 1 y 2x 3. 3 3 Câu 18: Đáp án D. 2 Phương trình hoành độ giao điểm: Cách 2: Gọi d là đường thẳng: y 2x 3 và 3 2 x x x 1 x 1 d ' là đường thẳng đối xứng với d qua Ox. 3 2 2 x x 0 x x 1 0 Ta có nếu M x; 2x 3 d thì M ' x;2x 3 d '. x1 0 hoặc x2 1. Tổng tung độ các điểm chung: Do đó phương trình của d ' là: y 2x 3 . y1 y2 x1 1 x2 1 Câu 21: Đáp án A. x1 x2 2 0 1 2 1. Phương trình hoành độ giao điểm Câu 19: Đáp án B. x3 3x2 2x 1 0 x3 3x2 2x 0 f x m 0 f x m . x 0 Quan sát bảng biến thiên ta thấy đường thẳng x x2 3x 2 0 x 1 . y m cắt đường thẳng y f x tại 3 điểm x 2 phân biệt M 0;1 , N 1;1 và P 2;1 . 2 m 4 . Câu 20: Đáp án A. Câu 22: Đáp án A. Phương trình hoành độ giao điểm: x2 x 1 mx LOVEBOOK.VN | 46
  47. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing 2 x m 1 x 1 0 (*) m 4 3 7 m 4 3 7 d cắt P tại hai điểm phân biệt Kết hợp với (1): * có 2 nghiệm phân biệt m ; 4 3 7  4 3 7;0  0; m2 2m 3 0 ( ) m 1 Trên đoạn  14;15 có 16 giá trị nguyên Khi đó: x x A B 2 của m thỏa mãn yêu cầu bài toán, đó là các giá trị 14;1;2; ;15. m 1 m m 1 I ; 2 2 Câu 25: Đáp án C. m m 1 m 1 Phương trình hoành độ giao điểm: I 2. 1 2 2 x4 2mx2 m 3 2 m m 0 m 0 hoặc m 1, cả hai giá x4 2mx2 m 3 0 (1) trị này của m đều không thỏa mãn ( ). Vậy A Đặt t x2 ,t 0 thì (1) trở thành: là đáp án đúng. 2 Câu 23: Đáp án B. f t t 2mt m 3 0 (2) Các hàm số chẵn là (II) và (IV). (1) có 4 nghiệm phân biệt trong đó có một Câu 24: Đáp án A. nghiệm lớn hơn 2 còn ba nghiệm kia nhỏ hơn 1 Phương trình hoành độ giao điểm: (2) có 2 nghiệm t1;t2 thỏa mãn 0 t 1 4 t 2x 1 1 2 mx 3 x 1 x 1 f 1 0 3m 4 0 2 mx 1 m x 4 0 (*) f 4 0 9m 19 0 m 3 0 (*) có 2 nghiệm phân biệt f 0 0 19 m 0 1 3 m 2 9 m 14m 1 0 2 19 15ab 15. 3 . 95 . 2 m 7 4 3 9 2 m 7 48 m 7 4 3 Câu 26: Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 47
  48. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book f 1 0 f x 0 x  1;3 f 3 0 m 3 3 m 0 1 1 m 3 3m 1 0 m 3 3 Có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Suy ra, các giá trị nguyên của m để phương Câu 27: Đáp án C. trình x2 6 x 5 m có 8 nghiệm phân biệt là P đi qua A 1;6 . 1, 2, 3. a b 2 6 a b 4 a b 4 Câu 31: Đáp án C. 2 2 1 1 Ta có: 2x x 1 x 1 1 x . Tung độ của đỉnh là 4 4a 4 0 y 2x x2 1 x thuộc tập xác định b2 8a 1 b2 8a a của hàm số. 4a 4 Có y 1 x 1. b2 9a 0 Vậy M 1. b2 9 b 4 0 b2 9b 36 0 (*) Câu 32: Đáp án D. Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. Suy ra 2 1 có hai bộ số a;b thõa mãn yêu cầu bài toán. M x; x , A 2; 2 Câu 28: Đáp án C. 2 2 2 2 1 MA x 2 x Từ bảng biến thiên ta thấy y 0 x . 2 Từ đó đáp án đúng là C. 17 x4 4x Câu 29: Đáp án D. 4 Giá trị nhỏ nhất của hàm số là Ta có: x4 1 1 1 4 4 x4 4 x x m2 6m 25 f m . 17 5 5 8 x4 4x 4 x 4x x . 4 4 4 Câu 30: Đáp án A. Dấu bằng xảy ra khi: Đồ thị hàm số y x2 6 x 5 : LOVEBOOK.VN | 48
  49. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing 4 x 1 y x1 y x2 x 1. 0 . x x 4 x 4x 0 1 2 5 Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 0; . Vậy MA bé nhất bằng khi M 1;1 . 2 Câu 36: Đáp án B. Câu 33: Đáp án C. Loại ngay A và D vì các hàm số này có tập xác 1 x 0 2 x 1 1. định không phải là khoảng ; . Vậy tập xác định của hàm số y f x 1 là Với hàm số y x3 x 2 : D  2; 1. + Tập xác định: D ¡ ; Câu 34: Đáp án C. + x1, x2 ¡ ; x1 x2 : b Ta có: 2 0;3 . y x1 y x2 2 2 2a x1 x1x2 x2 1 x1 x2 f 0 3; f 2 1; f 3 0. 2 1 3 2 x1 x2 x2 1 0 . Vậy m 1;M 3 . 2 4 (Xem lại Ví dụ 8, Bài 3 – Hàm số bậc hai hoặc Vậy hàm số y x3 x 2x đồng biến trên có thể dùng chức năng Table của MTCT). ; . Câu 35: Đáp án C. Câu 37: Đáp án D. Tập xác định: D ¡ x Ta có x , x ¡ ; x x Ta có: x 0 1  1;0; 1 2 1 2 x 2 2 y x y x x 1 2 x2 1 x2 1 x 0 1  1;0 1 2 x 2 x x x x 2 1 2 1 Vậy D ;0 . 2 2 x1 1 x2 1 Câu 38: Đáp án A. y x y x 2 x x 1 2 2 1 2 2 1 3 1 x x x 1 x 1 f x x 3 1 2 1 2 x x x , x 0; thì x x 0 3 1 2 1 2 1 1 x 3 x x x LOVEBOOK.VN | 49
  50. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book f x x3 3x f 2 14 . Dấu bằng xảy ra khi x 1. Câu 39: Đáp án B. Vậy m 0 . Cách 1: Nhập vào màn hình MTCT như sau: Câu 41: Đáp án A. Tập xác định D ¡ \ 2. Ta có g x 2 m 1 x m khi x 2 f x h x 2 m 1 x m khi x 2 Đồ thị hàm số y h x cắt Ox tại một điểm có Bấm CALC, nhập A 0; X 1, bấm phím = hoành độ thuộc khoảng 1;2 khi và chỉ khi liên tiếp đến khi A 10 thì bấm phím = thêm một lần nữa, kết quả Y trên màn hình là giá trị h 1 .h 2 0 cần tìm. 4 m 2 3m 4 0 m ;2 . 3 Đồ thị hàm số y g x cắt Ox tại một điểm có hoành độ thuộc khoảng 2;3 khi và chỉ khi g 2 .g 3 0 4 6 5m 4 7m 6 0 m ; Cách 2: Dễ chứng minh được bằng quy nạp: 5 7 x f x , n ¥ . 4 6 4 n 2 Ta thấy hai khoảng ; và ;2 là rời 1 nx 5 7 3 1 nhau. Vậy f10 1 . 11 Vậy tập hợp các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu Câu 40: Đáp án A. bài toán là Vì x  1;2 nên x 2 0. 4 6 4 ;  ;2 5 7 3 Ta có: Từ đó đáp án đúng là A. 1 1 x x 2 2 2 2 0 . x 2 x 2 Câu 42: Đáp án B. Ta có bảng biến thiên của hàm số LOVEBOOK.VN | 50
  51. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing y x x 1 x 2 : Câu 45: Đáp án C. Dễ chứng minh được hàm số f x đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1; . 5 Vậy M f 3 và m f 0 1. 4 Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên dương của m 9 để phương trình y x x 1 x 2 m vô Do đó M m 4 nghiệm, đó là m 1. Câu 46: Đáp án C. (Xem lại Ví dụ 10, Bài 2 – Hàm số bậc nhất) Ta có: Câu 43: Đáp án B. 1 19 2 f 2 f Bảng biến thiên của hàm số: 2 2 11 f 2 . y x x 2 x 2 : 1 3 2 f f 2 8 2 Câu 47: Đáp án C. Tập xác định: D  2; Ta có: Vậy có 3 giá trị nguyên của m để phương trình x x 2 x 2 m có 3 nghiệm phân biệt là y x 2 x x 2 x 2 2 m 1; m 0 ; m 1. 2 1 1 9 x 2 2 Câu 44: Đáp án B. 2 4 4 Ta có: 2x 3 2 2.x 3.1 2 Dấu bằng xảy ra khi 1 7 22 32 x2 1 x 2 x . 2 4 2x 3 9 13 Vậy GTLN của hàm số là . x2 1 4 x 2 2 Câu 48: Đáp án C. Dấu bằng xảy ra khi x . 1 3 3 Tập xác định: D ¡ . Vậy M 13 M  3. 2 2 f x 4 x 2x 3 x 2x 3 3 LOVEBOOK.VN | 51
  52. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 2 Loại m 8 . x2 2x 3 2 7 7 . + Với m 0 : m 5 5 4 . Dấu bằng xảy ra khi Loại m 0 . x2 2x 3 2 0 x 1 2 . * m 5 4 m 9 hoặc m 1 Vậy M 7 và phương trình f x M có hai + Với m 9 : m 1 8 4 . nghiệm là Loại m 9 . x 1 2 . Câu 49: Đáp án A. + Với m 1: m 4 3 4; Tập xác định: D ¡ . m 1 0 4 . Nhận m 1. 3 x 1 m m 3 x 1 2m . * m 1 4 m 5 hoặc m 3 x 2 + Với m 5: m 4 1 4 ; + m 3 0 m 3: phương trình trở thành 0. x 5 . Phương trình này vô nghiệm. m 5 0 4 . Nhận m 5 . + m 3 0 m 3 : phương trình tương + Với m 3: m 5 8 4 . 1 2m đương với x . m 3 Loại m 3 . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt * Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. 1 2m 1 0 m ;3 . m 3 2 1 7 Vậy a b 3 . 2 2 Câu 50: Đáp án B. b Ta có: 1  2;1 . 2a y 2 m 4 ; y 1 m 5 ; y 1 m 1 . * m 4 4 m 8 hoặc m 0 + Với m 8 : m 1 7 4 . LOVEBOOK.VN | 52
  53. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Chủ đề 3 PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vấn đề cần nắm: Qua chủ đề này ta hình thành cho học sinh khái niệm phương trình một cách chính xác theo quan điểm của mệnh đề chứa biến, rèn luyện cho học sinh cách 1. Khái niệm phương giải và biện luận phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình trình và hệ phương trình bậc hai. 2. Phương trình bậc Kiến thức trong chủ đề này bổ sung và hoàn chỉnh những kiến thức ở THCS, nhất và quy về bậc nhất do đó yêu cầu đối với học sinh gồm mấy điểm: 3. Phương trình bậc 1. Biết giải và biện luận phương trình, hệ phương trình trong trường hợp có nhất và quy về bậc hai tham số. 4. Hệ phương trình 2. Biết giải một số hệ phương trình bậc hai đặc biệt và các hệ đối xứng loại 1, loại 2 và hệ đẳng cấp. §1. Khái niệm phương trình A. Lý thuyết I. Phương trình một ẩn 1. Điều kiện xác định của phương trình là những điều kiện của ẩn để các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa. 2. Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Hai phương trình vô nghiệm là tương đương. 3. Nếu mọi nghiệm của phương trình f x g x đều là nghiệm của phương trình f1 x g1 x thì phương trình f1 x g1 x được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f x g x . Ta viết: f x g x f1 x g1 x . Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. II. Các phép biến đổi phương trình 1. Nếu hàm h x xác định với mọi giá trị của x mà tại đó f x và g x đều có nghĩa thì: f x g x f x h x g x h x . LOVEBOOK.VN | 53
  54. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 2. Nếu hàm h x xác định với mọi giá trị của x mà tại đó f x và g x đều có nghĩa và h x 0,x thì: f x g x f x .h x g x .h x . 3. Đối với bất kỳ các hàm f x và g x và n là số tự nhiên ta có: n n f x g x f x g x . Đặc biệt: n n + Nếu n là số tự nhiên lẻ thì: f x g x f x g x 2 2 + f x 0; g x 0 thì: f x g x f x g x f x g x + f x g x f x g x B. Các dạng toán điển hình Dạng 1 Tìm điều kiện của phương trình x2 1 Ví dụ 1: Tìm điều kiện của phương trình sau: 3x . x 2 x 0 A. B. x 2 C. x 0 D. x 2 x 2 Lời giải x 2 Để phương trình có nghĩa ta phải có: . x 0 STUDY TIP Đáp án A. + Điều kiện để A x2 1 Ví dụ 2: Điều kiện xác định của phương trình x 2 là: có nghĩa là A 0 7 x f x A. x 7 B. 2 x 7 C. 2 x 7 D. x 2 + Điều kiện để g x có nghĩa là f x 0 LOVEBOOK.VN | 54
  55. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Lời giải x 2 0 x 2 Phương trình xác định khi: . 7 x 0 x 7 Đáp án C. x 1 Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của phương trình: 0 . x 4 x 0 x 0 A. x 0 B. C. D. x 0 x 4 x 4 Lời giải x 0 x 0 x 0 x 0 Điều kiện: . x 4 0 x 4 x 4 x 4 Đáp án B. x2 1 Ví dụ 4: Tìm m để phương trình 0 xác định trên  1;1 . x m 2 m 1 m 1 m 1 A. B. C. D. 1 m 3 m 3 m 3 m 3 Lời giải Phương trình xác định khi: x m 2. Khi đó để phương trình xác định trên  1;1 thì: m 2 1 m 1 m 2  1;1 m 2 1 m 3 Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 55
  56. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 1 Ví dụ 5: Cho phương trình: x 2m 1 0 . Tìm m để phương x m 2 trình xác định trên 0;1. A. 1 m 2 B. 1 m 2 C. 1 m 2 D. 1 m 2 Lời giải STUDY TIP Điều kiện xác định của phương trình là: Điều kiện ở biểu thức x 2m 1 0 x 2m 1 thứ 2 chỉ là: m 2 x 2m 1 x m 2 0 x m 2 x m 2 0 vì căn thức nằm ở mẫu. Hay phương trình xác định trên m 2;2m 1 do đó điều kiện để phương trình xác định trên 0;1 là: 0;1  m 2;2m 1 m 2 m 2 0 1 2m 1 hay 1 m 2 . m 1 Đáp án B. Dạng 2 Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Ví dụ 1: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: x2 4 0 ? A. 2 x x2 2x 1 0 B. x 2 x2 3x 2 0 C. x2 3 1 D. x2 4x 4 0 Lời giải Ta có phương trình: x2 4 0 x 2 do đó tập nghiệm của phương trình đã cho là: S 2;2. Xét các đáp án: STUDY TIP 0 Hai phương trình - Đáp án A: Giải phương trình: 2 x x2 2x 1 0 được gọi là tương x 2 0 x 2 đương nếu chúng có 2 cùng tập nghiệm. x 2x 1 0 x 1 2 LOVEBOOK.VN | 56
  57. Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing Do đó tập nghiệm của phương trình là: S1 2;1 2;1 2 S0 STUDY TIP x 2 f x g x 2 - Đáp án B: Giải phương trình: x 2 x 3x 2 0 x 1 x 2 2 f x g x Do đó tập nghiệm của phương trình là: S 2; 1;2 S . g x 0 2  0 - Đáp án C: Giải phương trình: x2 3 1 x2 3 1 x 2 Do đó tập nghiệm S3 S0 nên chọn đáp án C. - Đáp án D: Có S4 2 S0 . Đáp án C. Ví dụ 2: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: x2 3x 0 ? 1 1 A. x2 x 2 3x x 2 B. x2 3x x 3 x 3 C. x2 x 3 3x x 3 D. x2 x2 1 3x x2 1 Lời giải 2 x 0 Giải phương trình đã cho: x 3x 0 Tập nghiệm là S0 0;3 . x 3 Xét các đáp án: - Đáp án A: 2 x 0 2 x 3x x x 2 3x x 2 x 3 x 3 S1 3 S0 x 2 x 2 - Đáp án B: 2 x 0 2 1 1 x 3x x 3x x 3 x 0 S2 0 S0 x 3 x 3 x 3 x 3 LOVEBOOK.VN | 57
  58. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book LOVEBOOK.VN | 58