›
›
›

Công phá Toán Lớp 10 - Câu 191-220 (Có lời giải)

doc 57 trang nhungbui22 11/08/2022 2680
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Công phá Toán Lớp 10 - Câu 191-220 (Có lời giải)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doccong_pha_toan_lop_10_cau_191_220_co_loi_giai.doc

Nội dung text: Công phá Toán Lớp 10 - Câu 191-220 (Có lời giải)

  1. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Câu 24: Cho a là số thực thay đổi, luôn thuộc đoạn Câu 19: Biểu thức F a2 2a 1 a2 6a 9 đạt 2;10 và xét biểu thức K 3 a 2 3 10 a . Mệnh đề giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:   nào sau đây đúng? A. a 3 B. a 3 hoặc a 1 A. min K 3 12 B. min K 8 C. 3 a 1 D. a 1 C. min K 2 D. min K 0 Câu 20: Biểu thức F x2 2xy 4y2 2x 10y 3 đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi: Câu 25: Biểu thức A x 4 x 5 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng: A. x 3 và y 2 B. x 3 và y 2 A. 2B. 7C. 3D. 2 C. x 1 và y 2 D. x 1 và y 2 Câu 26: Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn Câu 21: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều điều kiện x y z 3. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức kiện a b ab . Giá trị nhỏ nhất của a b là: 1 1 1 F bằng: 1 A. 4B. 2C. 1D. 2x y 2y z 2z x 4 4 4 A. B. 1C. 3D. Câu 22: Cho a, b, c là các số thực dương và xét các bất 9 3 1 1 1 9 đẳng thức sau: (I): ; Câu 27: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều a b c a b c kiện a b 4 . Giá trị lớn nhất của ab bằng: (II): 1 a 1 b 1 c 8 abc ; A. 2B. 4C. 8D. 16 a b c 3 (III): . Câu 28: Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn hệ thức b c c a a b 2 a b c 6 . Biểu thức Z a2 b2 c2 đạt giá trị lớn Số bất đẳng thức đúng trong các bất đẳng thức trên là: nhất thì trường hợp nào dưới đây xảy ra? A. 0B. 3C. 1D. 2 A. a b c 2 B. a 6;b c 0 Câu 23: Cho x, y, z là ba số thực dương có tích bằng 8. C. a 4;b 2;c 0 D. a b 3;c 0 Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng? Câu 29: Cho a, b là hai số nguyên dương thay đổi và A. x y z 24 thỏa mãn a b 2019 . Khi tích ab đạt giá trị lớn nhất B. x3 y3 z2 24 thì xảy ra trường hợp nào dưới đây? C. x2 y2 z2 12 A. a 1009;b 1010 B. a 1002;b 1017 C. a b 1009,5 D. a 1011;b 1008 D. x y y z z x 64 LOVEBOOK.VN | 1
  2. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 30: Cho hai số dương x, y thay đổi nhưng luôn thỏa A. 259 B. 68C. 0D. 4 mãn x 2y 6 . Giá trị của xy là lớn nhất khi và chỉ khi Câu 35: Biết rằng f x là đa thức thỏa mãn: A. x y 2 B. x 4; y 1 f x 2 f 1 x 3x2 2x 5,x ¡ . 3 2 C. x 3; y D. x 3; y 2 3 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn 4;2 . Giá trị của Câu 31: Biết rằng tồn tại các số nguyên a, b sao cho giá   trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3M 4m bằng x2 ax b A. 147B. 119C. 151D. 123 y là các số nguyên. Biết rằng tập giá trị x2 1 Câu 36: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số: của hàm số đã cho có đúng 11 số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? x3 3x2 1 f x với x 0 . x A. a2 b 1 2 100 B. a2 b 1 2 100 9 15 27 A. m B. m C. m 33 3 D. m C. a2 b 1 2 10 D. a2 b 1 2 10 4 4 8 Câu 32: Biết rằng hàm số: Câu 37: Cho a, b, c là các số thay đổi thuộc 0;2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? f x x 1 x2 1 x2 4 x 2 A. min a 2 b ;b 2 c ;c 2 a  1 đạt giá trị nhỏ nhất tại mọi x a;b . Giá trị của 3a 2b B. max a 2 b ;b 2 c ;c 2 a 1 bằng:  A. 7 B. 8 C. 8D. 7 C. max a 2 c ;bc; 2 b 2 c  4 Câu 33: Cho m là tham số, còn x, y là các biến số thay D. min a 2 b ;b 2 c ;c 2 a  0 đổi. Biểu thức T x 2y 1 2x my 1 đạt giá trị Câu 38: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện nhỏ nhất là một số dương khi x; y x ; y . Mệnh đề 0 0 x 2y 8 0 nào dưới đây đúng? x y 2 0 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất 2x y 4 0 A. 2x0 4y0 5 0 B. x0 2y0 1 0 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S x2 y2 . Trung bình C. 2x0 4y0 1 0 D. x0 2y0 2 0 cộng của M và m bằng: Câu 34: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x3 2x2 7x 116 58 A. B. C. 11 D. 22 trên đoạn 0;4 bằng: 5 5 LOVEBOOK.VN | 2
  3. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Câu 39: Gọi S là tập giá trị của hàm số nửa chu vi của tam giác ABC, tìm giá trị nhỏ nhất của 1974 1979 25 20x2 10x 3 biểu thức M . y p a p b p c 3x2 2x 1 A. 2018B. 8072C. 1009D. 4036 Trong tập hợp S có bao nhiêu số nguyên? A. 6B. 3C. 2D. 5 Câu 45: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a 2b 3c 6 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Câu 40: Cho x, y, z, t thỏa mãn x2 y2 1 và z t 3. F 3a 12b 6b 18c 9c 6a . Biết rằng giá trị lớn nhất của biểu thức xz yt zt bằng m n p A. 9 2 B. 2 6 15 , trong đó m, n, p là các số nguyên dương. Giá 4 57 trị lớn nhất của m n p bằng C. D. 6 3 2 A. 82B. 20C. 81D. 104 Câu 46: Cho các số thực x, y, z có tổng bằng 5 và thỏa Câu 41: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số mãn điều kiện x2 y2 z2 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 y 3x 4 25 x lần lượt là biểu thức P xy . A. 25 và 15 B. 625 và 15 9 7 16 A. B. 4C. D. C. 24 và 15 D. 24 và 75 2 4 9 Câu 42: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn Câu 47: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều 2 2 2x 3y 5z 3 x y xy x y xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu kiện . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3x 4y 18z 13 thức S x y . T x2 y2 4z2 bằng: A. 1B. 4C. 3D. 2 13 Câu 43: Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều A. B. 10C. 1D. 5 4 kiện a2 b2 c2 3abc 36. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá Câu 48: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: trị lớn nhất của biểu thức S a2 b2 c2 . 2 2 A. 12 và 108B. 16 và 108 P x 10x 793 x 14x 292 . C. 12 và 36D. 8 và 36 A. 2019 B. 291 C. 1879 D. 151 Câu 44: Xét các tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, 2mx y 3m Câu 49: Biết rằng hệ có hai nghiệm là b, c thỏa mãn 1964a 15bc 10ca 2018abc . Gọi p là 2 2 x y 4y x1; y1 và x2 ; y2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: LOVEBOOK.VN | 3
  4. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 2 2 P x2 x1 y2 y1 . A. 4B. 8C. 16D. 64 Câu 50: Cho các số thực x, y thay đổi nhưng thỏa mãn x2 4y2 17 . Mệnh đề nào sau đây đúng đối với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x2 xy 4y2 ? A. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của M là các số nguyên dương B. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của M là các số hữu tỷ dương C. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của M là các số vô tỷ dương D. Giá trị lớn nhất và số hữu tỷ dương còn giá trị nhỏ nhất là số nguyên dương LOVEBOOK.VN | 4
  5. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Điều kiện: 7 x 9 . Ta có y 0 . HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 4 y2 16 2 x 7 9 x I. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG Câu 1: Đáp án B. 16 2 64 x 1 2 Câu 2: Đáp án D. Suy ra 16 y2 16 2 64 32 Câu 3: Đáp án D. Câu 4: Đáp án D. 4 y 4 2 . Câu 5: Đáp án B. Câu 25: Đáp án D. Câu 6: Đáp án C. +) Ta có Câu 7: Đáp án B. a b 2 a2 b2 2ab a2 b2 9 Câu 8: Đáp án C. Suy ra a b 3;a b 3 Câu 9: Đáp án C. a 3 a 0 hoặc . Câu 10: Đáp án B. b 0 b 3 Câu 11: Đáp án B. +) Lại có a b 2 2 a2 b2 18 . Câu 12: Đáp án C. 3 2 Câu 13: Đáp án D. Suy ra a b 3 2;a b 3 2 a b . 2 Câu 14: Đáp án C. Vậy, T 3;3 2 . Câu 15: Đáp án C. Câu 16: Đáp án A. Câu 26: Đáp án A. Câu 17: Đáp án B. Đặt t x2 . Câu 18: Đáp án D. Do x  2;3 nên t 0;9. Câu 19: Đáp án C. Xét hàm số y f t t 2 4t 9 . Câu 20: Đáp án D. b Ta có 2 0;9 và f 0 9, f 2 5, f 9 54 . Câu 21: Đáp án C. 2a Câu 22: Đáp án C. Suy ra, max y 54 .  2;3 Câu 23: Đáp án B. Câu 27: Đáp án C. Câu 24: Đáp án A. LOVEBOOK.VN | 5
  6. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 7 7 Khi đó, f x 0 . Ta có y 0 1; y 3 nên m 1;M . 5 5 +) f 2 x x 11 2 7 2x 3x 4 Câu 28: Đáp án A. 1 1 29 29 Ta có f 0 m2 m2 ; f 1 1 m4 m2 3x 4 2 7 2x 3x 4 2 3 3 3 1 4 2 29 29 4 Do f 0 f 1 m m 1 0 Suy ra, f x , f x x . 2 3 3 3 nên min f x f 0 m4 m2 . 2 0;1 4 +) f 2 x 2. x 3. x 2 3 Theo giả thiết thì 4 2 4 2 7 4 145 m m 2 m m 2 0 2 3 . x x . 2 3 6 m2 2 m 2 . 145 Câu 29: Đáp án B. Suy ra, f x . 6 1 1 Với x ;3 thì f x 0 và f x 0 x . 7 4 x x 2 2 145 47 f x 2 3 x Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: 6 2 3 30 145 29 2x 1 22 1 x2 1 5. x2 1 Do đó, M và m . 6 3 Đẳng thức xảy ra khi 2 2 Vậy 6M 12m 261. x 1 1 x 2 ;3 . Câu 31: Đáp án D. 2 1 2 Điều kiện: 4x x2 0 0 x 4 . 2x 1 Khi đó, 5 . 1 x2 1 Ta có f x 4x x2 4 4x x2 0 4 1 Do đó, p 2,q . Đẳng thức xảy ra khi 2 4x x2 0 x 0 hoặc x 4 . Vậy 4 p2 12q2 19 . 2 2 Câu 30: Đáp án A. Lại có 4x x 4 2 x 4 nên 4 7 1 Điều kiện: x . f x 4 4 4 3 . 3 2 4 LOVEBOOK.VN | 6
  7. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Đẳng thức xảy ra khi x 2 . ' Q2 3 4 Q2 0 Suy ra, tập giá trị của hàm số là 3;0 . Các số nguyên   Q2 4 Q 2 thuộc tập giá trị của hàm số là 3; 2; 1;0 . 4 Q 2 3y2 4 y 0 y 0; y Câu 32: Đáp án A. 3 Điều kiện: 3 x 3 . Vậy min Q 2 . +) Có f x x 3; Câu 35: Đáp án B. f x 3 x 3 . Đặt a 2x;b 3y . 2 2 2 4 54 +) f x 1 1 x 9 x 18 Khi đó, ta có a 0;b 0;a b 2 và A 2 2 . a b ab f x 3 2 . Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có 3 2 a b 2 ab . f x 3 2 x . 2 Từ giả thiết a b 2, ta có ab 1. 2 2 Do đó, m 3;M 3 2 nên M m 27 . 1 1 4 Áp dụng bất đẳng thức với x 0; y 0 ta x y x y Câu 33: Đáp án C. 1 1 4 được: 1. 2 3 1 4 3 a2 b2 2ab 2 Ta có f 1; f ; f nên a b 3 4 2 5 5 Suy ra 1 min f x . ¡ 2 4 4 52 A 4 52 56 . a2 b2 2ab ab Câu 34: Đáp án A. a b 2 Từ điều kiện đã cho, ta có x 2y 0 và x 2 y . Suy A 56 ab 1 a b 1. ra, Q 0 . 2 2 a b 2ab Q x y x Q y . 1 1 Khi đó x ; y . 2 2 3 Q y 4y2 4 Vậy, biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 56. 3y2 2Q y 4 Q2 0 Câu 36: Đáp án A. Do tồn tại y nên phương trình trên phải có nghiệm Đặt x b c a, y c a b, z a b c LOVEBOOK.VN | 7
  8. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Khi đó, x 0, y 0, z 0 và x y z 2 . 6 2 6 2 x; y ; y z z x x y 2 2 Suy ra a ;b ;c . 2 2 2 2 6 2 6 hoặc x; y ; . 1 y z z x x y 2 2 Do đó S 4. 9. 2 x y z Do đó, min P 2 2 3 . 1 y x z x z y 4 9 4 9 Câu 38: Đáp án B. 2 x y x z y z 2 2x y 2 8xy 13 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có Ta có P 2x y y x z x z y 4 4; 9 6;4 9 12 . 11 x y x z y z 2 2x y 2x y Do đó, S 11. Vì x 0; x y nên 2x y 0 . y 2x S 11 z 3x Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có P 2 22 . x y z 2 11 2 2x y P 2 22 2x y 1 2 x; y; z ; ;1 . xy 3 3 3 1 2 5 2 1 118 22 118 22 Với x; y; z ; ;1 thì a;b;c ; ; . x; y ; 2 3 6 3 2 8 4 Suy ra, 18m 15n 12 p 19 . 35 Suy ra 4 p2 q2 . 2 Câu 37: Đáp án C. Câu 39: Đáp án C. Do x y nên x y 0 . Ta có Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có y 1 y 1 2 M x y x y 2xy 2 P x y 2 2 2 2 x y x y 4 2 1 x y 2 x y y 1 P 2 2 xy 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có LOVEBOOK.VN | 8
  9. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing x y y 1 2 8 4 x y z 2 xy yz zx xyz M 2 2 1 2 x y y 1 12 x y z 2 x2 y2 z2 xyz x y y 1 2 4 . 1 3 13 x2 y2 z2 xyz và T 0 nên 2 x y y 1 0 13 x2 y2 z2 xyz y 1 4 M 3 x y 2 2 x y y 1 x2 y2 z2 xyz 13 y 1 2 2 2 x y x 2 +) x y z xyz 13 2 . y 1 y 1 2 2 x 2 y 2 z 0 x y z 5 Do đó, min M 3 . Câu 40: Đáp án A. x 2 y 2 hoặc y z 3 z x 3 Ta có A x2 y2 z2 t 2 2 xy zt z 2 22 92 192 452 2 xy zt hoặc . x y 3 2471 2 xy zt Rõ ràng tồn tại vô số giá trị của bộ số x; y; z để biểu Vì x, y, z,t 2,9,19,45 nên xy zt thức đã cho đạt được giá trị lớn nhất. Chú ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho, 2.9 19.45;2.19 9.45;2.45 9.19 chúng ta có thể dựa vào bất đẳng thức: xy zt 873;443;261. 2 x 2 y 2 z A 2993;3357;4217. 3 2 x 2 y 2 z 1 . m 2993, M 4217 3 27 Suy ra, m M 7210 . Câu 42: Đáp án B. Câu 41: Đáp án D. Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: 2 2 2 2 2 Do x,y, z thuộc đoạn 0;2 nên 2 x 0 , 2 y 0 , x y t z xt yz . 2 z 0 . Theo giả thiết thì, Ta có T 2 x 2 y 2 z . x2 y2 t 2 z2 xt yz 2 . LOVEBOOK.VN | 9
  10. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 2 2 2 2 2 1 Do đó, x y t z xt yz xz yt Do a 0,b 0 nên c 3. 2 Từ z2 t 2 16 suy ra z, t không đồng thời bằng 0. Suy ra 3 T 11. 2 2 - Nếu t 0 thì z 16 và x 0, y 9 . Lúc này, ta có Tập giá trị của T có 11 số nguyên dương là 1; 2; 3; ; x z 4 hoặc x z 4. 11. 2 Câu 44: Đáp án A. z 2 z 2 16 2 - Nếu t 0 thì y x x x 9 t x t t 9 +) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 nên y 1 0 với 16 x2 ax b 1 Do đó, z2 x2 16 16x2 9z2 144 mọi x và đẳng thức xảy ra 0,x ¡ 9 x2 1 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có: x z 1 a 4 b 1 0 2 +) Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 nên y 3 0 với 1 1 1 1 2 2 .4x .3z 16x 9z 4 3 16 9 mọi x và đẳng thức xảy ra 2 2 x ax b 3 x z 25 5 x z 5 . 0,x ¡ x2 1 2 16x 9z 2 +) x z 25 2 a 4 b 3 0 2 2 16x 9z 144 2 a 4 b 1 0 9 16 Giải hệ x; z ; a2 4 b 3 0 5 5 9 16 a 2 hoặc x; z ; . ta được . Suy ra a 3 b 8. 5 5 b 2 9 16 12 Câu 45: Đáp án B. Khi x; z ; thì y t và x z 5 . 5 5 5 Bằng cách sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương Vậy, max x z 5 . trình, chúng ta có: Khi a 0 thì hàm số chỉ đạt giá trị lớn nhất (khi b 0 ) hoặc chỉ đạt giá trị nhỏ nhất (khi Câu 43: Đáp án B. b 0 ). Còn khi a 0 thì 3a 5b 4c 23 a 6 2c b a2 b2 b a2 b2 Ta có: . y . a 2b 6c 4 b 2c 1 2 2 T 9 4c b a2 b2 b a2 b2 Do đó, min y và max y ¡ 2 ¡ 2 LOVEBOOK.VN | 10
  11. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Vì min y;max y là các số nguyên nên tập giá trị của hàm 2 2 2 2 ¡ ¡ Ta có y x p p q x q số đã cho chỉ có đúng 6 số nguyên khi và chỉ khi Xét hai vectơ max y min y 5 ¡ ¡ a x p; p ,b q x; q . a2 b2 5 a2 b2 25 2 2 b 5 b 5 Do a b a b nên y q p p q . Suy ra, min y và max y ¡ 2 ¡ 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Theo giả thiết, thì b là số nguyên lẻ và a 0 nên p q q p a2 16,b2 9 . x . p q Do đó, a2 2b2 34 . 2 Vậy, min y q p 2 p q Câu 46: Đáp án B. ¡ x y 10 2 p2 q2 pq pq x y 3 Biểu diễn miền nghiệm của hệ trong mặt Câu 48: Đáp án B. 5x 4y 35 x 0, y 0 a 0 2 Ta có f x 0,x ¡ 4ac b phẳng tọa độ Oxy, ta được miền tam giác ABC, trong đó 0 47 20 A ; , B 3;0 , C 7;0 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: 9 9 4a c 2 4ac 2 b2 2b 47 20 355 F 2 . Ta có: P ; ; b b b b 9 9 9 c 4a F 2 b c 4a . P 3;0 15; P 7;0 35 2 b 4ac 355 47 20 Suy ra, max P x; y khi x; y ; . Vậy, Fmin 2 . ABC 9 9 9 Câu 49: Đáp án A. a 355 Theo giả thiết, ta có nên a b nhỏ nhất khi và b 9 P x2 2 2y 3 x 3y2 5y 4 . chỉ khi a 355,b 9 . Với y 3;5 thì 2y 3 3;7. Lúc đó a b x0 y0 382 . Đặt f x x2 2 2y 3 x 3y2 5y 4 . Câu 47: Đáp án D. LOVEBOOK.VN | 11
  12. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book b 2 2 Ta có: 2y 3 1;1 và a b k c 1 2 2   ab c 2kc k nên 2a 2 2 4 2 f 1 3y y 1 g1 y ; 3 1 a2 b2 c2 c2 kc k 2 2 2 2 f 1 3y 9y 11 g2 y . 2 3 1 1 2 Lại có f 1 f 1 4 2y 3 0 nên c k k . 2 3 3 min f x f 1 và max f x f 1 .  1;1  1;1 1 Vì c 1945 nên c k 1945 673 1272 . 3 Dựa vào cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 3 hàm số bậc hai trên một đoạn, ta được Suy ra a2 b2 c2 .12722 6732 3785763 2 min g2 y g2 3 11 và max g1 y g1 5 69 . 3;5 3;5 Đẳng thức xảy ra khi Như vậy, với mọi x  1;1, y 3;5 thì c 1945 a b 37 a b . 11 f 1 P f 1 69 . c 1945 a b c 2019 x 1 x 1 P 11 và P 69 T 19c0 5b0 1890a0 107 070 . y 3 y 5 Do đó, M 69 và m 11 II. ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 4 M m Câu 1: Đáp án D. 40 . 2 Câu 2: Đáp án B. Câu 50: Đáp án A. Câu 3: Đáp án B. Đặt k 2019 . Câu 4: Đáp án C. Ta có: a2 b2 c2 Câu 5: Đáp án B. a b c 2 2 ab bc ca Câu 6: Đáp án B. Câu 7: Đáp án A. k 2 2ab 2c k c Câu 8: Đáp án B. 2c2 2kc 2ab k 2 Câu 9: Đáp án A. Lại do Câu 10: Đáp án D. Câu 11: Đáp án A. LOVEBOOK.VN | 12
  13. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Câu 12: Đáp án A. +) Nếu y0 1 thì phương trình trên có nghiệm khi và chỉ Câu 13: Đáp án C. khi 2 Câu 14: Đáp án A. a 4 1 y0 b y0 0 Câu 15: Đáp án C. 2 2 4y0 4 b 1 y0 a 4b 0 Câu 16: Đáp án C. b 1 a2 b 1 2 Câu 17: Đáp án B. 2 Câu 18: Đáp án A. b 1 a2 b 1 2 Câu 19: Đáp án C. y 0 2 Câu 20: Đáp án A. Kết hợp hai trường hợp, ta có tập giá trị của hàm số là Câu 21: Đáp án A. b 1 a2 b 1 2 b 1 a2 b 1 2 Câu 22: Đáp án D. ; 2 2 Câu 23: Đáp án D. Câu 24: Đáp án C. Vì giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là các số nguyên và Câu 25: Đáp án B. tập giá trị của hàm số có đúng 11 số nguyên dương nên Câu 26: Đáp án B. b 1 a2 b 1 2 b 1 a2 b 1 2 10 Câu 27: Đáp án D. 2 2 Câu 28: Đáp án B. a2 b 1 2 10 a2 b 1 2 100 Câu 29: Đáp án A. Câu 32: Đáp án B. Câu 30: Đáp án C. Ta có f x x2 1 4 x2 x 2 x 1 Câu 31: Đáp án A. x2 1 4 x2 x 2 x 1 4 . Gọi y0 là giá trị bất kỳ thuộc miền giá trị của hàm số đã 2 x ax b 2 2 cho. Khi đó, phương trình y x 1 4 x 0 x2 1 0 f x 4 x 2 x 1 0 2 1 y0 x ax b y0 0 có nghiệm 2 x 1. +) Nếu 1 y 0 y 1 thì phương trình có nghiệm 0 0 Câu 33: Đáp án C. khi a 0 hoặc a 0,b 1. Ta có T 0,x, y ¡ . LOVEBOOK.VN | 13
  14. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x 2y 1 0 Thử lại, thấy f x x2 6x 5 thỏa mãn. Vậy, T 0 có nghiệm m 4 . 2x my 1 0 f x x2 6x 5 . Với m 4 , thì T x 2y 1 2x 4y 1 . b Ta có 3  4;2 và f 4 45; f 2 3 nên 2a Đặt t x 2y 1 thì T t 2t 3 . M 45 và m 3 . Do đó, 3M 4m 123. Xét hàm số f t t 2t 3 trên ¡ . Câu 36: Đáp án B. 3 3 2 1 Ta có f 0 3; f Ta có f x x 3x 2 2 x 3 3 2 1 1 1 nên min f t f . x 3 x ¡ 2 2 8x 8x 4x 3 Do x 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có Suy ra T đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi 2 2 1 1 3 1 3 x ; x 1. x 2y 1 2x 4y 1 0. 8x 8x 4 4x 2 3 15 Suy ra f x 3 , Câu 34: Đáp án D. 4 4 Với x 0;4 thì y 7x 28 nên loại ngay được 15 1 x 0; f x x . phương án A. 4 2 Xét phương án D: Phương trình x3 2x2 7x 4 nhận Câu 37: Đáp án A. x 1 0;4 làm nghiệm nên min y 4 . Cách 1: (Lời giải tự luận) 0;4 Do a, b, c thuộc 0;2 Câu 35: Đáp án D. Từ giả thiết, thay x bởi 1 x , ta được nên 2 a 0,2 b 0,2 c 0 . 2 f x f 1 x 3x2 8x 10 . Theo bất đẳng thức Cô-si thì 2 Do đó, ta có hệ phương trình a 2 a 0 a 2 a 1. 2 2 f x 2 f 1 x 3x 2x 5 . 2 Tương tự, 2 f x f 1 x 3x 8x 10 0 b 2 b 1;0 c 2 c 1. f x x2 6x 5. Suy ra a 2 b b 2 c c 2 a 1. LOVEBOOK.VN | 14
  15. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Do đó, min a 2 b ;b 2 c ;c 2 a  1. Bằng phương pháp miền giá trị của hàm số, chúng ta có 5 Cách 2: (Lời giải trắc nghiệm) S ;7 . 2 Do a, b, c thuộc 0;2 Do đó, S chứa 5 số nguyên. nên a 2 b 0;b 2 c 0 Câu 40: Đáp án A. Ta có: xz yt zt và c 2 a 0 nên loại được phương án D. 1 2 2 2 Cũng từ giả thiết, ta có x2 y2 z t x z y t 2 a 2 c 4; 2 b 2 c 4 1 2 2 5 x z y t . và bc 4 nên loại ngay được phương án C. 2 3 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường tròn C có Cho a ;b ;c 1 thì 2 2 phương trình x2 y2 1 (tâm O 0;0 , bán kính R 1) max a 2 b ;b 2 c ;c 2 a  và đường thẳng : x y 3. 9 1 1  9 Khi đó, điểm P x; y C và điểm Q z;t . max ; ;  1 4 2 2 4 Lại do Δ và C không có điểm chung nên Do đó, loại được phương án B. 3 2 2 Câu 38: Đáp án B. PQ d O, R Suy ra 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét điểm P x; y với x, y 2 2 2 3 2 2 11 6 2 thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho. Khi đó, ta có x z y t 2 2 S OP2 . Biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác ABC, trong đó xz yy zt A 0;4 , B 2;0 và C 4;2 . 1 11 6 2 9 6 2 5 . . Dựa vào tính chất hình học, ta có 2 2 4 16 9 6 2 m d 2 O, AB Vậy, xz yt zt đạt giá trị lớn nhất bằng . 5 4 và M max OA2 ;OB2 ;OC 2 20 . 9 6 2 9 1. 72  Với cách viết thì m n p đạt giá 4 4 Câu 39: Đáp án D. trị lớn nhất, và giá trị đó bằng 82. LOVEBOOK.VN | 15
  16. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Câu 41: Đáp án A. Câu 43: Đáp án C. Điều kiện 5 x 5. +) Vì a,b,c không âm nên +) Với x  5;5 thì y 3x 15; a2 b2 c2 36. 3x 15 Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi y 15 x 5 2 25 x 0 a 6,b c 0 . +) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có +) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có 2 2 2 2 2 2 3 y 3x 4 25 x 2 2 2 a b c abc a b c . 3 32 42 x2 25 x2 625 Đặt t a2 b2 c2 thì từ giả thiết và đánh giá trên, ta có Lại có 3 t 36 t 3 x 25 x2 27 y2 625 x 3 . 3 4 t3 36 t 0 36 t 2 Khi x 3 thì y 25. 3 3 t 3 36 t Vậy max y 25;min y 15.  5;5  5;5 t 36 t 12 t 2 9t 324 0 Câu 42: Đáp án B. Ta có: x2 y xy2 x y 3xy 12 t 36 2 2 2 1 1 Suy ra a b c 12 . x y 3 x y Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 4 2 2 2 Vì x 0, y 0 nên . a b c 3abc 36 x y x y a b c 2. a b c 4 Do đó, x y 3 Vậy, a2 b2 c2 đạt giá trị lớn nhất bằng 36 và đạt giá x y trị nhỏ nhất bằng 12. 2 x y 3 x y 4 0 Câu 44: Đáp án B. x y 4 . Từ giả thiết, ta có 15 10 1964 Đẳng thức xảy ra khi x y 2 . 2018. a b c LOVEBOOK.VN | 16
  17. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 1 1 1 1 2 M 1964 15 hay a;b;c 2;1; . p a p b p b p c 3 1 1 Vậy, F đạt giá trị lớn nhất bằng 9 2 . 10 p c p a Câu 46: Đáp án D. 1 1 4 4 x y z 5 x y z 5 Lại có ; p a p b p a p b c 2 2 2 x y z 9 xy yz zx 8 1 1 4 1 1 4 ; x y 5 z p b p c a p c p a b . 2 xy z 5z 8 15 10 1964 nên M 4 8072 . Do tồn tại x, y nên hệ trên có nghiệm a b c 2 2 1989 5 z 4 z 5z 8 0 Đẳng thức xảy ra khi a b c 2018 7 1 z . Câu 45: Đáp án A. 3 Đặt x a; y 2b; z 3c Xét hàm số f z z2 5z 8 thì x y z 6 và 7 trên đoạn 1; . F 3x 6y 3y 6z 3z 6x 3 b 5 7 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có Ta có 1; 2a 2 3 18 3x 6y 18 3x 6y ; 2 7 16 và f 1 4; f . 3 9 18 3x 6y 18 3y 6z và 2 16 Suy ra, min xy min f z . 7 1; 9 18 3z 6x 3 18 3z 6x . 2 Câu 47: Đáp án D. 54 9 x y z Suy ra 18.F 54 Ta có 2 2x 3y 5z 3 x 3 2z F 9 2 . 3x 4y 18z 13 y 1 3z F 9 2 x y z 2 1 Vì x, y, z không âm nên 0 z . 3 LOVEBOOK.VN | 17
  18. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book T 3 2z 2 1 3z 2 4z2 2mx y 3m 0 và x2 y2 4y 0 . 9z2 18z 10 . C có tâm I 0;2 và bán kính R 2 2 1 Do hệ có hai nghiệm nên d cắt C tại hai điểm phân Xét hàm số f z 9z 18z 10 trên đoạn 0; . 3 biệt b 1 Ta có 1 0; 3m 2 2a 3 d I,d R 2 4m2 1 1 3 và f 0 10; f 5 . m  m 0 3 4 Vậy, minT min f z 5 . 1 Với điều kiện trên thì A x1; y1 , B x2 ; y2 là hai giao 0; 3 điểm của d và C , đồng thời P AB2 . Câu 48: Đáp án A. d đi qua I khi và chỉ khi Ta có 2 2 2 2 3m 0 m ™. P 5 x 2 16 3 x 7 2 9 3 3 2 Với m thì d cắt C theo dây cung là đường kính Xét hai vectơ a 5 x;16 3 và b x 7;9 3 . 3 nên P lớn nhất bằng 2R 2 16 . Khi đó P a b Câu 50: Đáp án B. 2 2 và a b 12 25 3 2019 . Lại có 17 17 Lại do a b a b nên P 2019 . 17 x2 4y2 4 xy xy 4 4 P 2019 9 3 5 x 16 3 x 7 17 17 85 51 xy M . 4 4 4 4 67 x 51 25 +) M 4 Vậy, P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2019 . x 2y x 2y Câu 49: Đáp án C. 2 2 34 x 4y 17 y Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường thẳng d và 4 đường tròn C có phương trình lần lượt là LOVEBOOK.VN | 18
  19. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 85 +) M 4 x 2y x 2y 2 2 34 x 4y 17 y 4 LOVEBOOK.VN | 19
  20. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Chủ đề 3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG Vấn đề cần nắm: TRÌNH 1. Bất phương trình, hệ Bất phương trình là khái niệm mà học sinh đã được làm quen ở cấp THCS. bất phương trình một Chủ đề này sẽ hoàn thiện hơn khái niệm bất phương trình, đồng thời cung cấp ẩn cho học sinh những kiến thức mới như vấn đề xét dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai. Chúng có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc giải 2. Bất phương trình, hệ và biện luận các phương trình và bất phương trình. Học sinh cần nắm vững các bất phương trình hai ẩn kiến thức đó, đồng thời rèn luyện kĩ năng áp dụng chúng để giải các bài toán trong khuôn khổ của chương trình lớp 10. §1. Bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn A. Lý thuyết I. Đại cương về bất phương trình 1. Khái niệm bất phương trình một ẩn - Định nghĩa: Cho hai hàm số y f x và y g x có tập xác định lần lượt là Df và Dg . STUDY TIP Đặt D Df  Dg . Mệnh đề chứa biến “ f x g x ” được gọi là bất phương Ta trình bày lý thuyết cho bất phương trình trình một ẩn, x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D được gọi là tập xác định của bất f x g x . Các kết phương trình. quả này cũng đúng cho các bất phương trình - Số x0 D được gọi là một nghiệm của bất phương trình f x g x nếu “ f x g x , f x0 g x0 ” là một mệnh đề đúng. f x g x , - Giải bất phương trình f x g x là đi tìm tất cả các nghiệm của nó, tức là f x g x . tập hợp S x D | f x g x  , S được gọi là tập nghiệm của bất phương trình. Nếu S  thì ta nói bất phương trình vô nghiệm. LOVEBOOK.VN | 20
  21. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing STUDY TIP Ví dụ 1: Số 2 thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào dưới đây? A x 2 + Biểu thức xác A. 2x 1 1 x B. 2x 1 1 x x B x định khi và chỉ khi 1 2 C. 2 0 D. 2 x x 2 0 A x , B x xác định và 1 x B x 0 . Lời giải + Biểu thức A x xác 2 định khi và chỉ khi Ta có “ 2. 2 1 1 2 2 ” là một mệnh đề đúng. Vậy 2 thuộc tập A x 0 . nghiệm của bất phương trình 2x 1 1 x x2 . A x + Biểu thức xác 2 B x (Ta còn nói 2 thỏa mãn bất phương trình 2x 1 1 x x ). định khi và chỉ khi A x Đáp án B. xác định và B x 0 . Lưu ý: Trong thực hành ta không cần viết rõ tập D mà chỉ cần tìm điều kiện của + Biểu thức x để f x và g x có nghĩa. Điều kiện đó được gọi là điều kiện xác định (hay A x B x xác gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình. định khi và chỉ khi A x 0 và B x 0 . 1 6 x Ví dụ 2: Điều kiện của bất phương trình 3 là x 2 0 , x 2 x 6 x 0 và x 0 . 2. Hệ bất phương trình một ẩn - Định nghĩa: Hệ bất phương trình một ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. - Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. - Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. - Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình trong hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm của các bất phương trình đó. LOVEBOOK.VN | 21
  22. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 3. Một số phép biến đổi bất phương trình LƯU Ý - Định nghĩa: Định nghĩa tương tự cho Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình hệ bất phương trình. tương đương. Nếu bất phương trình f x g x tương đương với bất phương trình h x k x thì ta viết f x g x h x k x . - Định nghĩa: Phép biến đổi tương đương và phép biến đổi một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương với nó. LƯU Ý Định lí: h x có thể là một hằng Cho bất phương trình f x g x có tập xác định là D; y h x là một hàm số. số xác định trên D. Khi đó trên D, ta có: + f x g x f x h x g x h x . STUDY TIP Chuyển vế và đổi dấu một + f x g x f x .h x g x .h x nếu h x 0 x D . hạng tử trong một bất phương trình ta được một + f x g x f x .h x g x .h x nếu h x 0 x D . bất phương trình tương đương. + f x g x f 2 x g 2 x nếu f x 0; g x 0 x D . Hệ quả: f x g x h x f x h x g x . 3 3x x 2 1 5 Ví dụ 3: Tập nghiệm của hệ bất phương trình là: 6x 3 2x 1 2 2 5 5 7 5 7 A. ; B. ; C. ; D. ; 2 2 10 2 10 LOVEBOOK.VN | 22
  23. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Lời giải Giải từng bất phương trình ta có: 3 3 * 3x x 2 3x x 2 (chuyển vế, đổi dấu) 5 5 7 2x (rút gọn từng vế của bất phương trình) 5 7 x (chia cả hai vế cho 2 0 ). 10 6x 3 * 2x 1 6x 3 4x 2 (nhân cả hai vế với 2 0 ) 2 6x 4 2 3 (chuyển vế, đổi dấu) 2x 5 (rút gọn từng vế của bất phương trình) 5 x (chia cả hai vế cho 2 0 ). 2 Biểu diễn trên trục số các tập nghiệm của các bất phương trình: Tập nghiệm của bất phương trình (1): Tập nghiệm của bất phương trình (2): 7 5 Giao của hai tập hợp trên là đoạn ; . 10 2 7 5 Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là đoạn ; . 10 2 Ta viết ngắn gọn như sau: 3 7 3x x 2 7 7 x 5 2x x 10 7 5 5 10 x . 6x 3 5 10 2 2x 1 6x 3 4x 2 2x 5 x 2 2 Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 23
  24. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Lưu ý: - Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới. - Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình f x g x với biểu thức h x ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của h x . Nếu h x nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình. - Khi giải bất phương trình f x g x mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp. + f x , g x cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình. + f x , g x cùng có giá trị âm, ta viết: f x g x f x g x rồi bình phương hai vế bất phương trình mới (sau khi bình phương thì bất phương trình đổi chiều). Ví dụ 4: Bất phương trình x 1 0 (*) tương đương với bao nhiêu bất phương trình cho dưới đây? 1 1 (I) x 1 (II) x 1 x 2 x 2 ; x2 1 x2 1 1 1 1 1 (III) x 1 ; (IV) x 1 x 3 x 3 x 4 2 x 4 2 A. 1B. 2C. 3D. 4 Lời giải Ta có (*) xác định trên ¡ . Mặt khác x 1 0 x 1. + Xét bất phương trình (I): LOVEBOOK.VN | 24
  25. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 1 Cộng cả 2 vế của (*) với ta được bất phương trình (I). Mà hàm số STUDY TIP x2 1 Cộng (trừ) hai vế của bất 1 y xác định trên ¡ nên suy ra (*) tương đương với (I). phương trình với cùng x2 1 một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện + Xét bất phương trình (II): Cộng cả 2 vế của (*) với x 2 ta được bất phương của bất phương trình ta trình (II). Tuy nhiên hàm số y x 2 xác định trên 2; nên ta chưa thể được một bất phương trình tương đương. khẳng định được ngay (*) có tương đương với (II) hay không. Ta có: x 2 0 x 2 x 2 STUDY TIP x 1 x 2 x 2 x 2 x 1 x 2 x 2 0 x 1 0 x 1 Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng Vậy (*) không tương đương với (II). một biểu thức mà làm + Xét bất phương trình (III): Tương tự như trên, ta chưa thể khẳng định ngay thay đổi điều kiện của bất được là (*) có tương đương với (III) không. phương trình thì ta chưa thể khẳng định ngay là 1 1 x 3 0 x 3 bất phương trình mới thu Ta có: x 1 x 1. x 3 x 3 x 1 0 x 1 được có tương đương với bất phương trình đã cho Vậy (*) tương đương với (III). hay không. + Xét bất phương trình (IV): Tương tự, ta có: 1 1 x 4 0 x 4 x 1 2 2 . x 4 x 4 x 1 0 x 1 Vậy (*) không tương đương với (IV). + Tóm lại (*) tương đương với hai bất phương trình (I) và (III). Đáp án B. Ví dụ 5: Bất phương trình 2x 1 x tương đương với bất phương trình nào sau đây? A. 2x 1 2 x2 B. 2x 1 x 5 x x 5 2x 1 x 1 1 C. D. x2 3 x2 3 2x 1 x LOVEBOOK.VN | 25
  26. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Lời giải - Với đáp án A: 2x 1 và x là các biểu thức nhận cả giá trị âm và giá trị dương STUDY TIP trên ¡ nên khi bình phương hai vế, bất phương trình mới thu được không tương Nếu hai vế của một bất đương. phương trình đều dương trên D thì khi nghịch đảo - Với đáp án B: Vì x 5 là biểu thức nhận cả giá trị âm và giá trị dương trên ¡ hai vế và đổi chiều ta nên khi nhân cả hai vế của bất phương trình ban đầu với x 5 ta được bất được bất phương trình phương trình không tương đương. tương đương trên D. - Với đáp án C: x2 3 0 x ¡ nên chia cả hai vế của bất phương trình 2x 1 x cho x2 3 ta được bất phương trình tương đương. Vậy C là đáp án đúng. - Với đáp án D: Vì 2x 1 và x là các biểu thức nhận cả giá trị âm và giá trị dương trên ¡ nên khi nghịch đảo (dù có cả đổi chiều) ta không thu được bất phương trình tương đương. Đáp án C. II. Dấu của nhị thức bậc nhất Định nghĩa: Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng f x ax b , trong đó a, b là các hệ số, a 0 . Định lí: Nhị thức f x ax b a 0 có giá trị: b - Cùng dấu với a khi x ; a b - Trái dấu với a khi x . a Bảng tóm tắt về dấu của f x ax b a 0 : LOVEBOOK.VN | 26
  27. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing b x a trái dấu cùng dấu STUDY TIP f x ax b 0 với a với a Cách ghi nhớ: “trái khác, phải cùng”. b b Ta có f 0 . Ta nói số x0 là nghiệm của nhị thức f x . a a b Nghiệm x chia trục số thành hai khoảng mà trên đó dấu của nhị thức là 0 a STUDY TIP trái nhau. Dấu của nhị thức bậc nhất f x cùng dấu với a f x ax b phụ thuộc f x trái dấu với a b vào dấu của hệ số a. x a Một số kết quả quan trọng: Xét nhị thức f x ax b : a 0 a 0 + f x 0 x ¡ ; f x 0 x ¡ . b 0 b 0 a 0 a 0 + f x 0 x ; f x 0 x . f 0 f 0 a 0 a 0 + f x 0 x ; f x 0 x . f 0 f 0 f 0 f 0 + f x 0 x  ;  ; f x 0 x  ;  . f  0 f  0 LOVEBOOK.VN | 27
  28. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 6: Cho nhị thức f x m 1 x 3 m , m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để: a) f x 0 x ¡ ; c) f x 0 x 1; b) f x 0 x 2 ; d) f x 0 x 0;5 Lời giải m 1 0 m 1 a) f x 0 x ¡ m 1. 3 m 0 m 3 m 1 0 m 1 m 1 b) f x 0 x 2 m 1. f 2 0 m 1 0 m 1 m 1 0 m 1 m 1 c) f x 0 x 1 m 1. f 1 0 2m 4 0 m 2 m 3 f 0 0 3 m 0 d) f x 0 x 0;5 1 m  . f 5 0 4m 2 0 m 2 III. Dấu của tam thức bậc hai. Bất phương trình bậc hai 1. Dấu của tam thức bậc hai - Định nghĩa: STUDY TIP Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f x ax2 bx c , trong đó a, Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào dấu của Δ b, c là các hệ số; a 0 . và dấu của hệ số a. - Định lí: Cho f a ax2 bx c a 0 , b2 4ac . LOVEBOOK.VN | 28
  29. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Nếu 0 thì f x luôn cùng dấu với a, tức là x ¡ : af x 0 . STUDY TIP x Quy tắc xét dấu của tam f x cùng dấu với a thức bậc hai khi 0 : “trong trái, ngoài cùng”. af x + b b Nếu 0 thì f x luôn cùng dấu với a trừ khi x , tức là x : a a b af x 0 (hay x ¡ : af x 0, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x ). 2a b x a f x cùng dấu với a 0 cùng dấu với a af x + 0 + Nếu 0 thì f x cùng dấu với a khi x x1 hoặc x x2 , trái dấu với a khi x1 x x2 , trong đó x1, x2 x1 x2 là hai nghiệm của f x , tức là: af x 0 x1 x x2 ; x x1 af x 0 . x x2 x x1 x2 f x cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a af x + 0 0 Lưu ý: Ta có thể dùng ' b'2 ac thay cho Δ. * Một số kết quả quan trọng: LOVEBOOK.VN | 29
  30. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book 2 a 0 + ax bx c 0,x ; 0 2 a 0 + ax bx c 0,x ; 0 2 a 0 + ax bx c 0,x ; 0 2 a 0 + ax bx c 0,x . 0 Ví dụ 7: Xét dấu các tam thức bậc hai sau: a) f x x2 x 1 b) g x x2 3x 2 Lời giải a) 1 4.1.1 3 0 mà a 1 0 . Vậy f x 0 x ¡ . b) g x có 2 nghiệm là x1 1 và x2 2,a 1 0 . Bảng xét dấu g x : x 1 2 g x 0 + 0 Ví dụ 8: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y f x mx2 2 2m 1 x 4m xác định với mọi x ¡ . Hỏi S chứa khoảng nào trong các khoảng sau? A. 2;0 B. 0;2 C. 2;4 D. 0;4 Lời giải LOVEBOOK.VN | 30
  31. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Hàm số xác định x ¡ mx2 2 2m 1 x 4m 0 x ¡ . STUDY TIP a 0 m 0 Khi xét dấu tam thức bậc - TH1: b 0 2 2m 1 0 (Hệ vô nghiệm). hai mà hệ số a chứa tham c 0 số, ta lưu ý trường hợp 4m 0 a 0 . m 0 a 0 m 0 1 - TH2: 1 m . ' 0 4m 1 0 m 4 4 1 Vậy S ; . Do đó S chứa khoảng 2;4 . 4 Đáp án C. 2. Bất phương trình bậc hai - Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2 bx c 0 (hoặc ax2 bx c 0 , ax2 bx c 0 , ax2 bx c 0 ) trong đó a, b, c là các hệ số, a 0 . - Các bước giải bất phương trình bậc hai: + Xét dấu biểu thức f x ax2 bx c . + Dựa vào kết quả xét dấu để kết luận về nghiệm của bất phương trình. Ví dụ 9: Tập nghiệm S của bất phương trình 2x2 x 1 0 là: 1 1 A. S ;  1; B. S ; 1; 2 2 1 1 C. S ;1 D. S ;1 2 2 Lời giải 1 f x 2x2 x 1 có hai nghiệm là 1 và , có a 2 0 . 2 LOVEBOOK.VN | 31
  32. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Bảng xét dấu f x : STUDY TIP 1 Có thể sử dụng chức năng x 2 giải bất phương trình bậc 2 hai của máy tính cầm tay! f x + 0 0 + 1 1 Vậy f x 0 x ;1 . Do đó S ;1 . 2 2 Đáp án C. IV. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu 1. Xét dấu biểu thức có dạng tích, thương các đa thức * Xét biểu thức P x có dạng tích các đa thức: - Cách 1: Xét dấu P x bằng phương pháp lập bảng xét dấu (độc giả đọc trong Sách giáo khoa Đại số 10). - Cách 2: Xét dấu P x bằng phương pháp khoảng. + Bước 1: Giải phương trình P x 0 được các nghiệm x1 x2 xn . + Bước 2: Đặt các điểm x1, x2 , , xn lên trục số. Các điểm này chia trục số thành n 1 khoảng. STUDY TIP Ở bước 3, ta thường chọn + Bước 3: Xác định dấu của P x trên một trong các khoảng nói trên (dấu của khoảng chứa số 0 (nếu 0 P x trùng với dấu của P a với a là một điểm tùy ý thuộc khoảng đó). không phải là một trong các điểm x , x , , x ) rồi 1 2 n + Bước 4: Suy ra dấu của P x trên các khoảng còn lại theo quy tắc: “qua” chọn a 0 . nghiệm bội lẻ thì P x đổi dấu, “qua” nghiệm bội chẵn thì P x không đổi dấu. Ví dụ 10: Xét dấu biểu thức P x x 1 x 2 2 x 3 3 . Lời giải P x 0 x 1 x 2 2 x 3 3 0 x 1; x 2 hoặc x 3. LOVEBOOK.VN | 32
  33. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Trong đó x 1 và x 3 là các nghiệm bội lẻ, x 2 là nghiệm bội chẵn. Ta có P 0 1 . 2 2 . 3 3 0 . Từ đó ta có kết quả xét dấu P x : x 1 2 3 P x + 0 0 0 + R x * Xét các biểu thức P x có dạng thương các đa thức: P x . S x Giải phương trình R x 0 và S x 0 được các nghiệm x1 x2 xn . Các nghiệm này chia trục số thành n 1 khoảng. R x Ta có một kết quả quan trọng: Dấu của phân thức trùng với dấu của tích S x R x .S x trên các khoảng đó. Ta tìm hiểu cụ thể qua ví dụ sau: x 1 x2 3x 2 Ví dụ 11: Xét dấu của biểu thức P x . x 2 2 x2 7x 12 Lời giải - Giải phương trình x 1 x2 3x 2 0 được các nghiệm: x 1 (bội 2) và x 2 (bội 1). - Giải phương trình x 2 2 x2 7x 12 0 được các nghiệm: x 2 (bội 2), x 3 (bội 1) và x 4 (bội 1). STUDY TIP Vậy ta có thể coi x 1 là nghiệm bội 2, x 2 là “nghiệm” bội 3, x 3 và x 4 Tại các điểm 2, 3, 4: là các “nghiệm” bội 1 của P x . P x không xác định. 1.2 P 0 0. 2 2 .12 Từ đó ta có kết quả xét dấu P x như sau: LOVEBOOK.VN | 33
  34. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x 1 2 3 4 P x 0 + + 2. Áp dụng giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu Ví dụ 12: Cho phương trình 4x 1 x 2 5 3x 0 . Số nghiệm nguyên trong đoạn 0;2018 của bất phương trình là: A. 1B. 2018C. 2019D. 0 Lời giải 1 5 Ta có 4x 1 x 2 5 3x 0 x ; x 2 hoặc x . 4 3 Kết quả xét dấu của biểu thức P x 4x 1 x 2 5 3x : x 2 1/4 5 / 3 P x + 0 0 + 0 1 5 Vậy P x 0 x 2;  ; . 4 3 Do đó các nghiệm nguyên của bất phương trình P x 0 trong đoạn 0;2018 là 0; 2; 3; ; 2018 Có 2018 số. STUDY TIP Đáp án B. Với bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, không 2x 5 3x 2 Ví dụ 13: Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên âm? được tùy tiện quy đồng 3x 2 2x 5 khử mẫu khi chưa xác định được dấu của các A. 0B. 7C. 6D. Vô số biểu thức trong bất phương trình. Lời giải 2 5 Điều kiện: x và x . 3 2 LOVEBOOK.VN | 34
  35. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 2 2 2x 5 3x 2 2x 5 3x 2 2x 5 3x 2 5x 3 x 7 0 0 0 3x 2 2x 5 3x 2 2x 5 3x 2 2x 5 3x 2 2x 5 Kết quả xét dấu vế trái: x 7 2 / 3 3 / 5 5 / 2 VT + 0 + 0 + 2 3 5 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là x 7;  ; . 3 5 2 Suy ra bất phương trình đã cho có 6 nghiệm nguyên âm là 6; 5; 4; 3; 2; 1. Đáp án C. V. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Một số kết quả quan trọng thường sử dụng: STUDY TIP f x nÕu f x 0 Giá trị tuyệt đối của một 1. f x ; f x nÕu f x 0 số là khoảng cách từ số đó đến số 0 trên trục số. 2 2. f x f 2 x . 3. Với a 0 thì: + f x a a f x a ; f x a + f x a ; f x a 4. Cho f x và g x là các biểu thức của x: 2 2 + f x g x f x g x f x g x f x g x 0 ; + f x g x g x f x g x ; f x g x + f x g x . f x g x LOVEBOOK.VN | 35
  36. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 14: Biết tập nghiệm của bất phương trình 2x 1 x 2 là đoạn a;b . Tính b a . 4 8 10 A. B. C. 4D. 3 3 3 Lời giải x 3 x 3 1 2x 1 x 2 x 2 2x 1 x 2 1 x 3 . 3x 1 x 3 3 1 1 10 Vậy a ;b 3 b a 3 . 3 3 3 Đáp án D. Ví dụ 15: Có bao nhiêu số tự nhiên khác 0 thuộc tập nghiệm của bất phương x2 4x 3 trình: 1 (1)? x2 x 5 A. 0B. 2C. 5D. Vô số STUDY TIP Lời giải Ta thường sử dụng 2 phương pháp chia khoảng Lập bảng chia khoảng xét dấu hai biểu thức x 4x và x 5 : xét dấu khi bất phương trình chứa ẩn dưới dấu giá x 0 4 5 trị tuyệt đối nhưng không x2 4x + 0 0 + + được đưa về dạng cơ bản như trong mục 3, 4 ở trên. x 5 0 0 - TH1: Với x 0 hoặc 4 x 5 , bất phương trình (1) trở thành: x2 4x 3 1 x2 4x 3 x2 x 5 (do x2 x 5 0 x ) x2 x 5 2 3x 2 x . 3 LOVEBOOK.VN | 36
  37. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 2 Vậy trong trường hợp này bất phương trình đã cho có nghiệm là x ; . 3 - TH2: Với 0 x 4 , bất phương trình (1) trở thành: x2 4x 3 1 1 x2 4x 3 x2 x 5 2x2 5x 2 0 x 2 . x2 x 5 2 1 Vậy trong trường hợp này bất phương trình đã cho có nghiệm là x ;2 . 2 - TH3: Với x 5, bất phương trình (1) trở thành: x2 4x 3 1 x2 4x 3 x2 x 5 (do với x 5 thì x2 x 5 0 ) x2 x 5 8 5x 8 x (loại). 5 2 1 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là x ;  ;2 . 3 2 Do đó 2 số tự nhiên khác 0 thuộc tập nghiệm của bất phương trình đã cho. Đáp án B. VI. Bất phương trình chứa căn thức (Trong chương trình chuẩn không có nội dung bất phương trình chứa căn thức. Vì vậy phần này chỉ mang tính chất tham khảo). * Một số kết quả quan trọng: LOVEBOOK.VN | 37
  38. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book + A có nghĩa A 0 ; 2 A nÕu A 0 + A A ; A nÕu A 0 f x 0 + f x g x g x 0 ; 2 f x g x g x 0 f x 0 + f x g x . g x 0 2 f x g x Ví dụ 16: Bất phương trình 2x2 6x 1 x 2 có tập nghiệm là nửa khoảng a;b . Tính 2a b . 9 7 A. 6 7 B. C. 5 7 D. 6 2 Lời giải x 2 0 1 2 2 2x 6x 1 x 2 2x 6x 1 0 2 2 2 2x 6x 1 x 2 3 1 x 2 . 3 7 3 7 2 x ;  ; . 2 2 3 x2 2x 3 0 x 1;3 . LOVEBOOK.VN | 38
  39. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 3 7 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S ;3 . 2 Do đó 2a b 6 7 . Đáp án A. B. Các dạng toán điển hình Dạng 1 Bài tập về phép biến đổi tương đương Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình x x 2 2 x 2 là: A. ; 2 B. 2 C.  2;2 D.  Lời giải STUDY TIP Cần lưu ý đến điều kiện Điều kiện: x 2 0 x 2 . xác định khi giải bất Ta có: x x 2 2 x 2 x 2 . phương trình chứa căn thức. (Lưu ý: Ta nói x 2 là hệ quả của bất phương trình x x 2 2 x 2 ) Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là 2 x 2 . Đáp án C. Ví dụ 2: Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình x 3 0 ? A. x 3 x 4 0 B. x 3 1 x 1 x C. x 5 2 x 3 0 D. x2 x 3 0 STUDY TIP Lời giải Trong nhiều trường hợp, Ta có: x 3 0 x 3. giải bất bất phương trình thì mới khẳng định được x 4 0 x 4 phép biến đổi có tương Với A: x 3 x 4 0 x 3. x 3 0 x 3 đương hay không. LOVEBOOK.VN | 39
  40. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Vậy bất phương trình x 3 x 4 0 và bất phương trình x 3 0 có cùng tập nghiệm, do đó tương đương với nhau. A là đáp án đúng. Giải thích thêm: 1 x 0 x 1 * x 3 1 x 1 x 3 x 1. x 3 0 x 3 Vậy bất phương trình x 3 1 x 1 x và bất phương trình x 3 0 không có cùng tập nghiệm. Do đó chúng không tương đương với nhau. 2 x 5 x 5 * x 5 x 3 0 . x 3 0 x 3 Tương tự suy ra C không phải là đáp án đúng. 2 x 0 x 0 * x x 3 0 . x 3 0 x 3 Do đó D cũng không phải là đáp án đúng. Đáp án A. Dạng 2 Giải bất phương trình, hệ bất phương trình Ví dụ 3: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x 2018 2018 x ? A. S 2018 B. S  C. S ;2018 D. S 2018; Lời giải STUDY TIP x 2018 0 x 2018 Cần lưu ý đến điều kiện Điều kiện: x 2018 . 2018 x 0 x 2018 xác định khi giải bất phương trình. Dễ thấy x 2018 không thỏa mãn bất phương trình đã cho. Vậy S  . Đáp án B. LOVEBOOK.VN | 40
  41. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Ví dụ 4: Cho bất phương trình x2 x 1 x2 4 x 1 x2 4 4x 4 có tập nghiệm S. Khẳng định nào dưới đây là đúng? STUDY TIP A. S có 3 nghiệm nguyên không âm. Lời giải sai: Bất phương B. S có 1 nghiệm duy nhất. trình tương đương với x2 4x 4 C. Số x0 1 là phần tử có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất của S. 2 x 2 0 D. S chứa khoảng 3;4 . x 2 . Lời giải x2 x 1 x2 4 x 1 x2 4 4x 4 x 1 x2 4 x2 4x 4 0 . STUDY TIP Ta có x 1 x2 4 x2 4x 4 0 có các nghiệm x 1 (bội 1), x 2 (bội Không được tùy tiện chia 3) và x 2 (bội 1). Xét dấu vế trái: 2 vế của bất phương trình cho một biểu thức khi x 2 1 2 chưa xác định được dấu của biểu thức đó. VT 0 + 0 0 + Vậy S ; 21;2. Do đó C là đáp án đúng. Đáp án C. Ví dụ 5: Gọi M, m lần lượt là nghiệm nguyên lớn nhất và nhỏ nhất của bất x2 x 10 phương trình 2 . Tính M m . x2 2x 3 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 STUDY TIP Lời giải Lời giải sai: Bất phương 2 trình tương đương với Điều kiện: x 2x 3 0 x 1 và x 3. x2 x 10 2x2 4x 6 x2 x 10 x2 x 10 x2 5x 4 x2 5x 4 2 2 0 0 0 . x2 5 4 0 x2 2x 3 x2 2x 3 x2 2x 3 x2 2x 3 x  4; 1 Bảng xét dấu vế trái: LOVEBOOK.VN | 41
  42. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book STUDY TIP x 4 3 1 1 Không được tùy tiện quy đồng khử mẫu khi giải bất VT + 0 + 0 + phương trình chứa ẩn ở x 4;3  1;1 mẫu. Suy ra nghiệm của bất phương trình là   . Do đó M 0 và m 4 M m 4 . Đáp án B. Ví dụ 6: Bất phương trình 4x2 4x 5 2x 1 có tập nghiệm S a;b ( a b ). Tính a2 b2 . 17 5 5 A. a2 b2 B. a2 b2 C. a2 b2 D. a2 b2 5 4 2 4 Lời giải 2x 1 4x2 4x 5 1 2x 1 4x2 4x 5 2 2x 1 4x 4x 5 2 3 1 4x2 2x 6 0 x 1. 2 1 (2) 4x2 6x 4 0 2 x . 2 Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 3 1 S ;1  2;  2;1 . 2 2 Do đó a2 b2 5. Đáp án D. Ví dụ 7: Biết tập nghiệm của bất phương trình x2 4x 5 2x 3 là nửa khoảng a; . Tìm a . A. 0B. 1C. 2D. 3 LOVEBOOK.VN | 42
  43. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Lời giải 3 2x 0 I x2 4x 5 0 2 2 STUDY TIP x 4x 5 2x 3 x 4x 5 3 2x 3 2x 0 Phần nguyên của một số II 2 2 thực x là số nguyên lớn x 4x 5 3 2x nhất không vượt quá x, kí hiệu x . Ví dụ: 3 x 3 2,5 2; 2,5 3 . I 2 x . 2 x ¡ 3 3 x x 2 2 3 II 2 x . 2 2 3 2 3x 8x 4 0 x 2 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 2 3 3 2 S ;  ; ; . 3 2 2 3 2 Từ đó ta có a a 0 . 3 Đáp án A. 2 x 7x 6 0 Ví dụ 8: Hệ bất phương trình 2 có bao nhiêu nghiệm x 4x 0 nguyên? A. 0B. 1C. 2D. 3 STUDY TIP Lời giải Cho hàm số y f x xác định trên D. Khi đó * x2 7x 6 0 1 x 6 (*). f x 0,x D . * x2 4x 0 x2 4x 0 (do x2 4x 0 x ) LOVEBOOK.VN | 43
  44. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book x2 4x 0 x x 4 0 x 0 hoặc x 4 , trong hai giá trị này của x chỉ có giá trị x 4 thỏa mãn (*). Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 4 . Đáp án B. Dạng 3 Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất chứa tham số Ví dụ 9: Số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình m2 x 1 x 3 0 nghiệm đúng x  5;2 là: A. Vô sốB. 1C. 3D. 4 STUDY TIP Lời giải f x ax b 0 m2 x 1 x 3 0 m2 1 x m2 3 0 . x  ;  Đặt f x m2 1 x m2 3. f 0 . f  0 f 5 0 6m2 8 0 f x 0 x 5;2   2 f 2 0 m 1 0 6m2 8 0 m 1 1 m 1. 2 m 1 Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán, đó là giá trị m 0 . Đáp án B. 3 x 6 3 Ví dụ 10: Hệ bất phương trình 5x m có nghiệm khi và chỉ khi: 7 STUDY TIP 2 Hệ bất phương trình trong A. m 11 B. m 11 C. m 11 D. m 11 Ví dụ 10 vô nghiệm 14 m 5 Lời giải 5 m 11. * 3 x 6 3 x 6 1 x 5 . LOVEBOOK.VN | 44
  45. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing 5x m 14 m * 7 5x m 14 x . 2 5 Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 14 m 5 14 m 25 m 11. 5 Đáp án D. Dạng 4 Tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai chứa tham số Ví dụ 11: Cho bất phương trình f x 3x2 2 2m 1 x m 4 0 , trong đó m là tham số, m ¢ . Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để bất phương trình vô nghiệm? A. Vô sốB. 2C. 3D. 4 Lời giải Bất phương trình f x 0 vô nghiệm f x 0 x ¡ ' 0 11 4m2 7m 11 0 1 m . 4 Mà m ¢ m 0;1;2 . Đáp án C. Ví dụ 12: Cho bất phương trình f x mx2 2m 1 x m 1 0 (m là tham số). Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm. S chứa khoảng nào trong các khoảng dưới đây? A. 1;0 B. 0;1 C. 1;2 D. 2;3 Lời giải Ta tìm điều kiện của m để bất phương trình f x 0 vô nghiệm. - TH1: m 0 . Khi đó f x x 1 0 x 1. LOVEBOOK.VN | 45
  46. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Vậy với m 0 thì bất phương trình f x 0 có nghiệm. - TH2: m 0 . Khi đó bất phương trình f x 0 vô nghiệm STUDY TIP Phương pháp “tìm phần f x 0 x ¡ bù”: Thay vì tìm m để bất m 0 phương trình f x 0 m 0 m 0 1 m . có nghiệm, ta tìm m để 1 0 1 8m 0 m 8 bất phương trình 8 f x 0 vô nghiệm. 1 Vậy m thì bất phương trình f x 0 vô nghiệm. 8 1 1 Suy ra với m thì bất phương trình f x 0 có nghiệm S ; . 8 8 Vậy S chứa khoảng 1;0 . Đáp án A. Ví dụ 13: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x2 2x 5 0 nghiệm đúng x ¡ . x2 mx 1 A. m ¡ B. m 2;2 C. m  2;2 D. m ; 22; STUDY TIP Lời giải Việc xác định chính xác Ta có f x x2 2x 5 có ' 0 , a 0 nên f x 0 x ¡ . dấu của tử thức 2 x2 2x 5 giúp ta có x 2x 5 Do đó 0 x2 mx 1 0 . được lời giải đơn giản cho x2 mx 1 bài toán này. x2 2x 5 Bất phương trình 0 nghiệm đúng x ¡ x2 mx 1 0 x2 mx 1 nghiệm đúng x ¡ m2 4 0 m2 4 2 m 2 . Đáp án B. LOVEBOOK.VN | 46
  47. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Dạng 5 Biện luận về nghiệm của phương trình bậc hai Ví dụ 14: Cho phương trình m 2 x2 2 m 1 x 4 0 . Biết tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình vô nghiệm là khoảng a;b . Tính b a . A. b a 8 B. b a 6 C. b a 8 D. b a 6 Lời giải * TH1: m 2 0 m 2 . Phương trình đã cho trở thành: 2 6x 4 0 x . 3 * TH2: m 2 0 m 2 . Khi đó phương trình đã cho có nghiệm. ' m2 6m 7 0 m 1;7 . Vậy với m 1;7 thì phương trình đã cho vô nghiệm. Do đó b a 7 1 8 . Đáp án A. STUDY TIP Khi phương trình dạng Ví dụ 15: Gọi m0 là giá trị nguyên dương nhỏ nhất của tham số m để phương ax2 bx c 0 có hệ số trình 2x2 2 m 1 x m2 5m 6 0 có hai nghiệm trái dấu. Khi đó số ước a chứa tham số ta cần phải chú ý đến trường nguyên dương của m0 là: hợp a 0 . A. 1B. 2C. 3D. 4 Lời giải Phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu 2 m2 5m 6 0 STUDY TIP Phương trình m2 5m 6 0 m ;2  3; . ax2 bx c 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ Vậy m0 1. Do đó m0 có 1 ước nguyên dương. khi ac 0 . Đáp án A. LOVEBOOK.VN | 47
  48. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Ví dụ 16: Cho phương trình x2 2 m 1 x 4m 8 0 . Biết tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt là khoảng a;b . Tìm độ dài của đoạn a;b trên trục số. A. 1B. 2C. 3D. 6 STUDY TIP Lời giải Độ dài của đoạn a;b ' 0 trên trục số là b a . Phương trình đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt S 0 P 0 m2 6m 7 0 m ; 1  7; 2 m 1 0 m 1 m 2; 1 . 4m 8 0 m 2 Vậy đoạn a;b có độ dài là 1 2 1. Đáp án A. Lưu ý: b Cho phương trình bậc hai ax2 bx c 0 a 0 , b2 4ac , S , a c P . a 0 + Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt S 0 ; P 0 0 + Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt S 0 ; P 0 0 + Phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu ; P 0 LOVEBOOK.VN | 48
  49. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing + Phương trình có 2 nghiệm trái dấu P 0 ac 0 . LOVEBOOK.VN | 49
  50. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book C. Bài tập rèn luyện kĩ năng Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình Xem đáp án chi tiết tại trang 228 x2 9 x2 5x 4 0 là: Câu hỏi ở mức độ nhận biết A. S ; 33; Câu 1: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để bất phương trình mx m 2x vô nghiệm? B. S ; 3 13; A. 0B. 1C. 2D. Vô số C. S ; 3 14; Câu 2: Có bao nhiêu số nguyen nhỏ hơn 10 thuộc tập D. S ; 33;4  4; 1 1 nghiệm của bất phương trình ? 2x 3 5 x Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình: A. Vô sốB. 4C. 5D. 6 x x 2 2 x 2 là: Câu 3: Nếu m 1 thì tập nghiệm của bất phương trình A.  B. 2 ẩn x, tham số m: 2 m 1 x m 1 2 x 1 là: C. ;2 D. 2; m 1 m 1 A. ; B. ; Câu 8: Khẳng định nào sau đây đúng? m 1 m 1 A. x2 3x x 3 m 1 m 1 C. ; D. ; x 1 m 1 m 1 B. 0 x 1 0 x 2 2 Câu 4: Cho phương trình: m 2 x2 2 2m 3 x 5m 6 0 C. x 1 x 0 x 1 0 Gọi a và b lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất D. x x 1 2 x 1 x 2 của tham số m để phương trình có nghiệm. Tính a b . Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để A. 4 B. 4C. 2 D. 2 1 hàm số y 2m 6 x xác định trên khoảng x m Câu 5: Cho hàm số 1;0 ? 2x 1 y . Tập hợp các giá trị 5m m2 4 x2 m 4 x 1 A. 0B. 1C. 2D. 3 của tham số m để hàm số có tập xác định ¡ là: Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để x2 2x m 4 4 x ¡ ta luôn có 2 3? A. 1; B. 1; C. 1;4 D.  2x2 3x 2 3 3 LOVEBOOK.VN | 50
  51. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing A. 1B. 2C. 3D. 4 Câu 11: Tập nghiệm của bất phương trình: x 2 x2 4x 4 4 là: A. ; 2 B. 2;2 C. 2; D.  Câu 12: Gọi M là số dương nhỏ nhất và m là số âm lớn nhất thuộc tập xác định của hàm số: y x2 x 3 x 6 . Tính M m . A. 4B. 2 C. 2D. 0 x 4m2 2mx 1 Câu 13: Cho hệ bất phương trình: . 3x 2 2x 1 Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng 10;10 của tham số m để hệ vô nghiệm? A. 8B. 7C. 10D. 19 Câu 14: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình x2 2mx 5m 8 0 có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 4 trên trục số. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng: A. 5 B. 1C. 5D. 8 Câu 15: Biết bất phương trình 2x2 4x 9 5x 6 7x 11 0 có tập nghiệm S a;b. Tính a b . 4 A. B. 3C. 1 D. 1 5 LOVEBOOK.VN | 51
  52. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book §2. Bất phương trình, hệ bất phương trình hai ẩn A. Lý thuyết I. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Định nghĩa: STUDY TIP Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax by c (hoặc Ta trình bày lí thuyết cho ax by c ; ax by c;ax by c ), trong đó a, b, c là các hệ số, a và b không bất phương trình dạng đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số. ax by c . Hoàn toàn tương tự cho các dạng Cặp số x0 ; y0 sao cho “ ax0 by0 c ” là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm ax by c ; ax by c ; của bất phương trình ax by c . ax by c . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax by c được gọi là miền nghiệm của bất phương trình. STUDY TIP Ví dụ 1: Bất phương trình 2x y 3 có một nghiệm là 1;1 vì “ 2.1 1 3” là Các bước vẽ đường thẳng một mệnh đề đúng. : ax by c ( a,b 0 ): 2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn - Cho x 0 thì y c / b . Quy tắc thực hành biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ax by c . Ta được điểm A 0;c / b . Vẽ điểm A trên mặt phẳng Oxy A Oy . - Cho y 0 thì x c / a . Ta được điểm B c / a;0 . Vẽ điểm B trên mặt phẳng Oxy B Ox . - Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Đó chính là đường thẳng Δ. LOVEBOOK.VN | 52
  53. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing - Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng : ax by c . - Bước 2: Lấy một điểm M 0 x0 ; y0 không thuộc Δ (ta thường lấy gốc tọa độ O). - Bước 3: Tính ax0 by0 và so sánh ax0 by0 với c. - Bước 4: Kết luận. + Nếu ax0 by0 c thì nửa mặt phẳng bờ Δ chứa M 0 là miền nghiệm của bất phương trình ax by c . + Nếu ax0 by0 c thì nửa mặt phẳng bờ Δ không chứa M 0 là miền nghiệm của bất phương trình ax by c . STUDY TIP Ví dụ 2: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2x y 3 . Miền nghiệm của bất Lời giải phương trình ax by c bỏ đi đường thẳng - Vẽ đường thẳng Δ có phương trình 2x y 3 . ax by c là miền - Lấy gốc tọa độ 0;0 , ta thấy O . nghiệm của bất phương trình ax by c - Ta có: 2.0 0 3. Vậy nửa mặt phẳng bờ Δ chứa gốc O là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị gạch bỏ trong hình). LOVEBOOK.VN | 53
  54. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book II. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. * Định nghĩa: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. x y 1 Ví dụ 3: 1;1 là một nghiệm của hệ bất phương trình . 3x y 5 * Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: - Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại. - Miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. 3x y 6 x y 4 Ví dụ 4: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình hai ẩn . x 0 y 0 STUDY TIP Lời giải - Đường thẳng x 0 là đường thẳng chứa trục - Vẽ các đường thẳng d1 :3x y 6 và Oy. d2 : x y 4 . - Đường thẳng y 0 là đường thẳng chứa trục - Lấy điểm M 0 1;1 . Ta thấy tọa độ của Ox. M 0 thỏa mãn cả bốn bất phương trình trong hệ. - Miền không bị gạch (miền tứ giác OAIC, kể cả bốn cạnh của nó, với A 2;0 , I 1;3 LOVEBOOK.VN | 54
  55. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing và C 0;4 , chứa điểm M 0 ) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. * Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng F ax by , trong đó x, y nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho. - Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Miền nghiệm nhận được thường là một miền đa giác. - Tính giá trị của F ứng với x; y là tọa độ các đỉnh của miền đa giác nói trên rồi so sánh các kết quả, từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức F 2x 1,6y trong đó x; y là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho ở Ví dụ 4. Lời giải Lập bảng: Đỉnh O 0;0 A 2;0 I 1;3 C 0;4 F 2x 1,6y 0 4 6,8 6,4 LOVEBOOK.VN | 55
  56. Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book B. Các dạng toán điển hình Dạng 1 Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn Ví dụ 1: Miền không bị gạch bỏ (không tính đường thẳng d) trong hình bên dưới là miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây? A. x y 4 0 B. x 2y 4 0 C. 2x y 4 0 D. x y 4 0 STUDY TIP Lời giải Phương trình đường x y Đường thẳng d trong hình có phương trình: 1 x 2y 4 0 . thẳng theo đoạn chắn: 4 2 Đường thẳng đi qua 2 Lấy điểm O 0;0 ta có O d và 0 2.0 4 0 . điểm A a;0 và B 0;b với ab 0 có phương Từ đó suy ra miền không bị gạch bỏ (không tính đường thẳng d) là miền nghiệm trình là của bất phương trình x 2y 4 0 . x y 1 . a b Đáp án B. y 2 Ví dụ 2: Miền biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình x 2 là một 2x y 8 miền đa giác. Tính diện tích S của đa giác đó. A. S 25 B. S 4 C. S 9 D. S 18 Lời giải LOVEBOOK.VN | 56
  57. Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing Miền nghiệm của hệ bất phương trình STUDY TIP đã cho là miền tam giác ABC kể cả các - Đường thẳng x a là cạnh AB, BC, CA, trong đó đường thẳng song song A 2; 2 , B 5; 2 và C 2;4 . Dễ thấy với trục Oy, cắt trục Ox ABC vuông tại A. Do đó ta có: tại điểm có hoành độ bằng a. 1 1 S S ABC AB.AC .3.6 9. - Đường thẳng y b là 2 2 đường thẳng song song với trục Ox, cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng b. Đáp án C. LOVEBOOK.VN | 57