Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Chuyên đề 3: Dấu của nhị thức bậc nhất - Bài 4: Dấu của nhị thức bậc nhất - Đặng Việt Đông

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức. Bất phương trình - Chuyên đề 3: Dấu của nhị thức bậc nhất - Bài 4: Dấu của nhị thức bậc nhất - Đặng Việt Đông

1. BẤT ĐẲNG THỨC Chương 4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHUYÊN ĐỀ 3 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT §4. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT A TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Nhị thức bậc nhất và dấu của nó. a) Định nghĩa nhị thức bậc nhất: Nhị thức bậc nhất (đối với x ) là biểu thức dạng ax + b, trong đó a và b là hai số cho trước với a ¹ 0. b x = - được gọi là nghiệm cảu nhị thức bậc nhất f (x ) = ax + b . 0 a b) Dấu của nhị thức bậc nhất Định lí: Nhị thức bậc nhất f (x ) = ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số a x nhỏ hơn nghiệm của nó. 2. Một số ứng dụng. a) Giải bất phương trình tích Dạng P(x) > 0 (1) (trong đó P (x ) là tích các nhị thức bậc nhất.) Cách giải: Lập bảng xét dấu củaP (x ) . Từ đó suy ra tập nghiệm của (1). b) Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu P(x) Dạng > 0 (2) (trong đó P (x ), Q (x ) là tích những nhị thức bậc nhất.) Q(x) P(x) Cách giải: Lập bảng xét dấu của . Từ đó suy ra tập nghiệm của (2). Q(x) Chú ý: 1) Không nên qui đồng và khử mẫu. 2) Rút gọn bớt các nhị thức có lũy thừa bậc chẵn (cần lưu ý trong việc rút gọn để tránh làm mất nghiệm). c) Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. éA 0 ta có A B Û ê . êA > B ëê Câu 1. Cho nhị thức bậc nhất f x 23x 20 . Khẳng định nào sau đây đúng? 20 A. f x 0 với x ¡ .B. f x 0 với x ; . 23 5 20 C. f x 0 với x .D. f x 0 với x ; 2 23 Hướng dẫn giải Chọn D. 2x 20 5x 1 3 25x 5 2x 15 0 x . 5 23 Câu 2. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x x x 6 5 2x 10 x x 8 luôn dương? A. .B. ¡ . C. ;5 .D. 5; . Hướng dẫn giải Chọn A. 1
2. x x 6 5 2x 10 x x 8 0 0x 5 vô nghiệm. Vậy x . 1 1 Câu 3. Các giá trị của x thoả mãn điều kiện đa thức f x x 1 x2 1 x 2 x 1 A. x 2 và x 1.B. x 1. C. x 1. D. x 2 . Hướng dẫn giải Chọn A. x 2 0 x 2 x 2 Điều kiện x 1 0 x 1 . x 1 2 x 1 0 x ¡ 2 Câu 4. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x 1 âm? 1 x A. ; 1 . B. ; 1  1; . C. 1; . D. 1;1 . Hướng dẫn giải Chọn B 2 2 1 x x 1 x 1 1 0 0 0 . 1 x 1 x 1 x x 1 Câu 5. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x x 1 x 3 không âm A. 3,1 .B.  3,1 .C. , 31, .D. , 3 1, . Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có x 1 x 3 0 3 x 1. Vậy x  3,1. 4x 1 Câu 6. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x 3 không dương 3x 1 4 1 4 1 4 4 A. , B. , C. , .D. , . 5 3 5 3 5 5 Hướng dẫn giải Chọn A. 4x 1 5x 4 4 1 Ta có 3 0 0 x . 3x 1 3x 1 5 3 4 1 Vậy x , . 5 3 4 Câu 7. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x 2 không dương x 3 A. , 3  1, .B. 3, 1.C.  1, .D. , 1. Hướng dẫn giải Chọn A. 4 2x 2 x 3 Ta có 2 0 0 . x 3 x 3 x 1 Vậy x , 3 1, . Câu 8. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x 2x 5 3 không dương 5 A.1 x 4 .B. x .C. x 0 . D. x 1. 2 Hướng dẫn giải Chọn A. 2
3. 2x 5 3 x 4 Ta có 2x 5 3 0 2x 5 3 1 x 4 . 2x 5 3 x 1 Vậy x 1,4. x 1 Câu 9. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức f x không dương? x2 4x 3 A. S ;1 . B. S 3; 1 1; . C. S ; 3  1;1 . D. S 3;1 . Hướng dẫn giải Chọn C. x 1 + f x . x2 4x 3 Ta có x 1 0 x 1 2 x 3 x 4x 3 0 x 1 + Xét dấu f x : + Vậy f x 0 khi x ; 3  1;1. Vậy x ; 3  1;1 2 x Câu 10. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x không âm? 2x 1 1 1 A. S ;2 . B. S ;  2; . 2 2 1 1 C. S ; 2; . D. S ;2 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có 2 x 0 x 2 1 2x 1 0 x 2 + Xét dấu f x : 3
4. 1 + Vậy f x 0 khi x ;2 . 2 Câu 11. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức f x x x2 1 không âm? A. ; 1 1; . B.  1;01; . C. ; 10;1 .D.  1;1. Hướng dẫn giải Chọn B. x 0 2 Cho x x 1 0 x 1 . x 1 Bảng xét dấu Căn cứ bảng xét dấu ta được x  1;01; Câu 12. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x 2x 3 1 không dương? A.1 x 3 . B. 1 x 1. C. 1 x 2 . D. 1 x 2 . Hướng dẫn giải Chọn C 2x 3 1 0 2x 3 1 1 2x 3 1 1 x 2 . x 1 Câu 13. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x 5x 4 2x 7 luôn âm 5 A.  . B. ¡ . C. ; 1 . D. 1; . Hướng dẫn giải Chọn C. x 1 5x 4 2x 7 0 14x 14 0 x 1. 5 Vậy x ; 1 . Câu 14. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x x2 2x 3 luôn dương A. . B. ¡ .C. ; 1  3; .D. 1;3 . Hướng dẫn giải Chọn B. 2 2 Ta có x 2x 3 x 1 2 2,x ¡ .Vậy x ¡ . Câu 15. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x x2 9 6x luôn dương A. ¡ \ 3.B. ¡ . C. 3; .D. ;3 . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có x2 9 6x 0 x 3 2 0 x 3 . Vậy x ¡ \ 3 . Câu 16. Tìm tham số thực m để tồn tại x thỏa f x m2 x 3 mx 4 âm 4
5. A. m 1. B. m 0 . C. m 1hoặc m 0 . D. m ¡ . Hướng dẫn giải Chọn D. m2 x 3 mx 4 0 m2 m x 1. 2 m 0 + Xét m m 0 thì bất phương trình đã cho có nghiệm. m 1 + Xét m2 m 0 thì bất phương trình đã cho luôn có nghiệm Vậy m ¡ thỏa YCBT. 3 3 Câu 17. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x 2x 3 âm 2x 4 2x 4 3 3 A. 2x 3.B. x và x 2 .C. x .D. Tất cả đều đúng. 2 2 Hướng dẫn giải Chọn B . x 2 3 3 Ta có: 2x 3 0 3 . 2x 4 2x 4 x 2 Câu 18. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x 2 x 1 x 3 x 1 2x 5 luôn dương A. x ¡ .B. x 3,24 .C. x 2,12.D. Vô nghiệm. Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có 2 x 1 x 3 x 1 2x 5 0 x 2 x 8 2 8 (luôn đúng). Vậy x ¡ . Câu 19. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x 5 x 1 x 7 x x2 2x luôn dương A. Vô nghiệm.B. x ¡ . C. x 2,5.D. x 2,6 . Hướng dẫn giải Chọn A. Ta có 5 x 1 x 7 x x2 2x 0 5x 5 7x x2 x2 2x 5 0 (vô lý). Vậy vô nghiệm. Câu 20. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x x2 6x 8 không dương. A. 2;3 . B. ;24; . C. 2;4 . D. 1;4. Hướng dẫn giải Chọn C. Để f x không dương thì x2 6x 8 0 x 2 x 4 0 Lập bảng xét dấu f x ta thấy để f x 0 x 2;4 Câu 21. Số các giá trị nguyên âm của x để đa thức f x x 3 x 2 x 4 không âm là A. 0 .B. 1. C. 2 .D. 3 . Hướng dẫn giải Chọn D. x 3 Ta có x 3 x 2 x 4 0 x 4 x 2 Bảng xét dấu f x 5
6. Dựa vào bảng xét dấu, để f x không ấm thì x  3,24, . Vậy có 3 số nghiệm nguyên âm x thỏa YCBT. 5x 13 x 9 2x Câu 22. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x luôn âm 5 21 15 25 35 257 5 A. x 0 .B. x C. x .D. x 5 . 295 2 Hướng dẫn giải Chọn B. 5x 13 x 9 2x 118 514 257 Ta có 0 x x . 5 21 15 25 35 105 525 295 x 2 Câu 23. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x không dương x 5 A. 2,5 .B. 2,5 C. 2,5.D.  2,5 . Hướng dẫn giải Chọn A. x 2 Ta có 0 2 x 5. Tập x  2,5. x 5 1 1 Câu 24. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x luôn âm x 1 x 1 A. ¡ .B.  .C. 1,1 .D. Một đáp số khác. Hướng dẫn giải Chọn C. 1 1 1 1 2 Ta có 0 0 1 x 1. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy x 1,1 . 2x Câu 25. Các số tự nhiên bé hơn 4 để đa thức f x 23 2x 16 luôn âm 5 35 A. 4; 3; 2; 1;0;1;2;3.B. x 4 . 8 C. 0;1;2;3.D. 0;1;2; 3 Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có 2x 2x 2x 8x 35 23 2x 16 0 23 2x 16 2x 23 16 7 x . 5 5 5 5 8 Vậy x 0,1,2,3 . Câu 26. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x x 5x 2 x x2 6 không dương A. ;14; . B. 1;4. C. 1;4 . D. 0;14; 6
7. Hướng dẫn giải Chọn D. x 5x 2 x x2 6 0 x x2 5x 4 0 Vậy x 0;14; . Câu 27. Với giá trị nào của m thì không tồn tại giá trị của x để f x mx m 2x luôn âm A. m 0 .B. m 2 . C. m 2 .D. m ¡ . Hướng dẫn giải Chọn B mx m 2x 0 m 2 x m 0 m 2 bất phương trình trở thành 2 0 bất phương trình vô nghiệm. Câu 28. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x x2 – 4x 3 luôn âm A. ;1 3; . B. ;1  4; . C. 1;3 . D.1;3 . Hướng dẫn giải Chọn C. Vậy x 1;3 . Câu 29. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x 2x2 7x –15 không âm 3 3 A. ; 5; . B. ; 5 ; . 2 2 3 3 C. 5; . D. ;5 . 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. 7
8. 3 Vậy x ; 5; 2 Câu 30. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x x2 6x 7 không âm A. ; 17; B.  1;7 C. ; 71; D.  7;1. Hướng dẫn giải Chọn B. x2 6x 7 0 x 1 x 7 0 x  1;7 x 5 Câu 31. Tìm số nguyên nhỏ nhất của x để f x luôn dương x 7 x 2 A. x –3. B. x 4. C. x –5. D. x –6. Hướng dẫn giải Chọn D x 5 – Lập bảng xét dấu f x (x 7)(x 2) – Suy ra x 7; 2  5; – Vậy x 6 1 2x Câu 32. Các số tự nhiên bé hơn 6 để đa thức f x 5x 12 luôn dương 3 3 A. 2;3;4;5 .B. 3;4;5 .C. 0;1;2;3;4;5.D. 3;4;5;6 . Hướng dẫn giải Chọn B. 1 2x 2x 1 37 Ta có 5x 12 0 5x 12 x . 3 3 3 3 17 Vậy x 3,4,5. 3x 5 x 2 Câu 33. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x 1 x luôn âm 2 3 A. Vô nghiệm.B. Mọi x đều là nghiệm. C. x 4,11. D. x 5. Hướng dẫn giải Chọn D. 3x 5 x 2 Ta có 1 x 0 9x 15 6 2x 4 6x x 5 . 2 3 x 1 x 2 Câu 34. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x không âm? x 2 x 1 1 1 1 A. 2; . B. 2; . C. 2;  1; . D. ; 2  ;1 . 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D. Đkxđ: x 2; x 1. 2 2 x 1 x 2 x 1 x 2 6x 3 YCBT 0 0 0 . x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 1 Cho 6x 3 0 x . 2 x 1 Cho x 1 x 2 0 . x 2 Bảng xét dấu 8
9. 1 Căn cứ bảng xét dấu ta được x ; 2  ;1 . 2 Câu 35. Với giá trị nào của m thì nhị thức bậc nhất f x mx 3luôn âm với mọi x A. m 0 .B. m 0 . C. m 0 . D. m 0 . Hướng dẫn giải Chọn A. 3 + Nếu m 0 , mx 3 0 x không thỏa mãn đề bài. m 3 + Nếu m 0 , mx 3 0 x không thỏa mãn đề bài. m + Nếu m 0 , bpt trở thành 3 0 luôn đúng với mọi x . 1 1 Câu 36. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x luôn âm. x 3 2 A. x 3 hay x 5. B. x 5 hay x 3. C. x 3 hay x 5.D. x ¡ . Hướng dẫn giải Chọn A. 1 1 1 1 5 x Ta có 0 0 0 . x 3 2 x 3 2 2. x 3 5 t Đặt t x , bpt trở thành 0 . 2 t 3 Cho 5 t 0 t 5 . Cho t 3 0 t 3 . Bảng xét dấu Căn cứ bảng xét dấu ta được x 3 hay x 5. Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đa thức f x m x m x 1 không âm với mọi x ;m 1. A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1. Hướng dẫn giải Chọn C. m x m x 1 0 m 1 x m2 1. 1 + Xét m 1 x ¡ . (không thỏa) 9
10. + Xét m 1 thì 1 x m 1 không thỏa điều kiện nghiệm đã cho. + Xét m 1 thì 1 x m 1 thỏa điều kiện nghiệm đã cho. Vậy m 1. Câu 38. Gọi S là tập tất cả các giá trị của x để đa thức f x mx 6 2x 3m luôn âm khi m 2 . Hỏi các tập hợp nào sau đây là phần bù của tập S ? A. 3; . B. 3; . C. ;3 . D. ;3. Hướng dẫn giải Chọn D. mx 6 2x 3m 0 2 m x 6 3m x 3 (do m 2 ) Vậy S 3; C¡ S ;3. Câu 39. Tìm các giá trị thực của tham số m đểkhông tồn tại giá trị nào của x sao cho nhị thức f x mx m 2x luôn âm. A. m 0 . B. m 2 . C. m 2 . D. m ¡ . Hướng dẫn giải Chọn B. f x 0 mx m 2x 0 m 2 x m 0 . + Xét m 2 thì f x 2 0,x ¡ hay f x 0 vô nghiệm (thỏa mãn). m + Xét m 2 thì f x 0 khi x (tồn tại nghiệm – loại). m 2 m + Xét m 2 thì f x 0 khi x (tồn tại nghiệm – loại). m 2 Vậy chỉ có m 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 40. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x 2x 1 x luôn dương 1 1 A. ;  1; . B. ;1 . C. ¡ . D. vô nghiệm. 3 3 Hướng dẫn giải Chọn A. 1 + Xét x thì ta có nhị thức f x x 1 để f x 0 thì x 1. 2 1 1 + Xét x thì ta có nhị thức f x 3x 1 để f x 0 thì x . 2 3 1 Vậy để f x 0 thì x ;  1; 3 x 4 2 4x Câu 41. Tìm số nguyên lớn nhất của x để đa thức f x luôn âm x2 9 x 3 3x x2 A. x 2 .B. x 1.C. x 2.D. x 1. Hướng dẫn giải Chọn A. x2 9 0 x 3 Điều kiện x 3 0 x 3. 2 3x x 0 x 0 x 4 2 4x x 4 2 4x Ta có 0 x2 9 x 3 3x x2 x2 9 x 3 3x x2 x 4 2 x 3 4 x 3 3x 22 0 0 . x 3 x 3 x 3 x 3 Bảng xét dấu 10
11. 22 Dựa vào bảng xét dấu ta có x ,  3,3 . 3 Vậy x 2 thỏa YCBT. Câu 42. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất x để nhị thức bậc nhất f x x 1 x 4 7 luôn dương A. x 4 .B. x 5.C. x 6 . D. x 7 . Hướng dẫn giải Chọn C. Ta có x 1 x 4 7 0 x 1 x 4 7 * Bảng xét dấu Trường hợp x 1, ta có * x 1 x 4 7 x 4 . So với trường hợp đang xét ta có tập nghiệm S1 , 4 . Trường hợp 1 x 4 , ta có * x 1 x 4 7 5 7 (vô lý). Do đó, tập nghiệm S2  . Trường hợp x 4 , ta có * x 1 x 4 7 x 5 . So với trường hợp đang xét ta có tập nghiệm S3 5, . Vậy x S1  S2  S3 , 4  5, . Nên x 6 thỏa YCBT. x 1 Câu 43. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x 1luôn âm x 2 1 1 1 A. x 2, x .B. 2 x .C. x , x 2 .D. Vô nghiệm. 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn A. x 1 x 1 1 0 1 * x 2 x 2 x 1 3 Trường hợp x 1, ta có * 1 0 x 2 0 x 2 . So với trường hợp x 2 x 2 đang xét ta có tập nghiệm bất phương trình là S1 1, . 1 x 1 2x Trường hợp x 1, ta có * 1 0. x 2 x 2 Bảng xét dấu 11
12. 1 Dựa vào bảng xét dấu, ta có x , 2  ,1 . 2 1 Vậy x S1  S2 , 2  , . 2 Câu 44. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x 2 x 1 x 4 luôn dương A. x 2 .B. x 2 hoặc x 2 . C. 1 x 1.D. Một đáp số khác. Hướng dẫn giải Chọn B. x 4 0 x 4 x 4 x 4 0 x 4 2 x 1 x 4 0 2 x 1 x 4 4 x 2 . 2 x 1 x 4 x 2 x 2 2 x 1 x 4 x 2 Vậy x , 2  2, . Câu 45. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x x 2 x 4 không dương A. x 2.B. x 6. C. Vô nghiệm. D. 1, Hướng dẫn giải Chọn D. Với x 4 , ta có x 2 6 1 0 x 4 x 2 x 4 x 4 x 2 x 4 0 1 x 4 x 1. x 4 x 2 2x 2 1 0 x 1 x 4 x 4 Không nhận x 4 vậy x  1, . 16 4x f x 4 x2 x 12 Câu 46. Cho các đa thức tìm các giá trị của x để f x luôn âm, và g x luôn 1 1 1 g x x 2 x 1 x dương A. 2;0  1; 2  2; . B. 4; 3  0;1  2;2 . C. 3; 2  4; . D. 4; 2  1; . Hướng dẫn giải Chọn A. ĐK: x ¹ - 3; x ¹ 1; x ¹ 2; x ¹ 4 . 12
13. 2 16 4x 16 4x 4x2 4x 48 4 x 16 x 4 4 0 0 0 0 x2 x 12 x2 x 12 x 4 x 3 x 3 x 3 1 1 1 x x 1 x x 2 x 1 x 2 0 0 x 4 x 2 x 1 x x x 2 x 1 x2 - 2 é- 2 0 Û ê x x - 2 x - 1 ê ( )( ) ëê1 2 Vậy x Î (- 2;0)È(1; 2)È(2;+ ¥ ) Câu 47. Tím x để f x x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 luôn dương A. x 2 B. 1; C.–3; –1–1; 11; 3 D. –3; –1  –1;1  1;3 Hướng dẫn giải Chọn C x 1 x 2 x 1 x 2 x 3 0 x 1 2 x 2 x 1 x 3 0 * Chọn x 3 thay vào (*) ta thấy (*) thỏa mãn nên chọn đáp án C x2 5x 6 Câu 48. Tìm x để f x không âm x 1 A. 1;3. B. 1;23; .C. 2;3 . D. ;1 2;3. Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện xác định: x 1 x2 5x 6 x 2 x 3 0 0 x 1 x 1 Ta có: x 2 x 2 x 3 0 ; x 3 x 1 0 x 1 Bảng xét dấu: Vậy x 1;23; . 2x 1 Câu 49. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x 2 luôn dương x 1 3 3 3 A. 1, .B. ,  3, .C. ,1 .D. , \ 1. 4 4 4 Hướng dẫn giải Chọn D. 13
14. 2x 1 1 2 0 x 1 2x 1 2x 1 x 1 x 1 Ta có 2 0 2 3 . x 1 x 1 2x 1 4x 3 x 1 2 0 4 x 1 x 1 3 Tập x , \ 1. 4 x 1 x 5 Câu 50. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì biểu thức f x không âm x 1 x 1 A.1, B. , 1  1,3 .C. 3,5  6,16 . D. 6,4 . Hướng dẫn giải Chọn B. x 1 x 5 2x 6 Ta có 0 0. x 1 x 1 x 1 x 1 Bảng xét dấu Vậy x , 1  1,3. 14