Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 3 - Chuyên đề 3: Góc - Bài 1: Khoảng cách và góc - Đặng Việt Đông

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 3 - Chuyên đề 3: Góc - Bài 1: Khoảng cách và góc - Đặng Việt Đông

1. Chương 3 CHUYÊN ĐỀ 3 GÓC §3. KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 1. Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng : a) Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng : Cho đường thẳng D : ax + by + c = 0 và điểm M (x0;y0 ). Khi đó khoảng cách từ M đến (D) được tính ax + by + c bởi công thức: d(M ,(D)) = 0 0 . a2 + b2 b) Vị trí của hai điểm đối với đường thẳng. Cho đường thẳng V:ax + by + c = 0 và M (xM ;yM ) Ï D, N (xN ;yN ) Ï D . Khi đó: - M, N cùng phía với D Û (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0 - M, N khác phía với D Û (axM + byM + c)(axN + byN + c) < 0 Chú ý: Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng : D 1 : a1x + b1y + c1 = 0 và D 2 : a2x + b2y + c2 = 0 là: a x + by + c a x + b y + c 1 1 1 = ± 2 2 2 . 2 2 2 2 a1 + b1 a2 + b2 2. Góc giữa hai đường thẳng: a) Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b , hay đơn giản là góc giữa a và b . Khi a song song hoặc trùng với b , ta quy ước góc giữa chúng bằng 00 . b) Công thức xác định góc giữa hai đường thẳng. Góc xác định hai đường thẳng D 1 và D 2 có phương trình D 1 : a1x + b1y + c1 = 0 và a a + bb D : a x + b y + c = 0 được xác định bởi công thức cos(D ;D ) = 1 2 1 2 . 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 a1 + b1 a2 + b2 Câu 1: Góc giữa hai đường thẳng 1 : a1x b1 y c1 0 và 2 : a2 x b2 y c2 0 được xác định theo công thức: a a b b a a b b A. cos , 1 2 1 2 . B. cos , 1 2 1 2 . 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 a1 b1 . a2 b2 a1 b1 . a2 b2 a a b b a a b b c c C. cos , 1 2 1 2 . D. cos , 1 2 1 2 1 2 . 1 2 2 2 2 2 1 2 a2 b2 a1 b1 a1 b1 Lời giải Chọn C. n .n 1 2 a1a2 b1b2 cos , cos n 1 ,n 2 . 1 2 2 2 2 2 n 1 . n 2 a1 b1 a1 b1 x 2 t Câu 2: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng 1 : 10x 5y 1 0 và 2 : . y 1 t 3 10 3 10 3 A. . B. . C. . D. . 10 10 10 5 1
2. Lời giải Chọn C.   Véctơ pháp tuyến của , lần lượt là n (2;1), n (1;1). 1 2  1 2   | n .n | 3  1 2 cos 1, 2 | cos n1,n2 | . | n1 || n2 | 10 Câu 3: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng 1 : x 2y 2 0 và 2 : x y 0 . 10 2 3 A. . B. 2. C. . D. . 10 3 3 Lời giải Chọn A.   Véctơ pháp tuyến của , lần lượt là n (1;2), n (1; 1). 1 2  1 2   | n .n | 1 10 cos , | cos n ,n |  1 2 . 1 2 1 2 | n1 || n2 | 10 10 Câu 4: Tìm côsin giữa 2 đường thẳng : 2x 3y 10 0 và : 2x 3y 4 0. 1 2 7 6 5 A. . B. . C. 13. D. . 13 13 13 Lời giải Chọn D.   Véctơ pháp tuyến của , lần lượt là n (2;3), n (2; 3). 1 2  1 2   | n .n | 5 cos , | cos n ,n |  1 2 . 1 2 1 2 | n1 || n2 | 13 Câu 5: Tìm góc giữa 2 đường thẳng 1 : 2x 2 3y 5 0và 2 : y 6 0 A. 60 . B. 125 . C. 145 . D. 30 . Lời giải Chọn D.   Véctơ pháp tuyến của , lần lượt là n (1; 3), n (0;1). 1 2  1 2   | n .n | 3  1 2 cos 1, 2 | cos n1,n2 | 1, 2 30. | n1 || n2 | 2 Câu 6: Tìm góc giữa hai đường thẳng 1 : x 3y 0 và 2 : x 10 0 . A. 45. B. 125 . C. 30 . D. 60 . Lời giải Chọn D.   Véctơ pháp tuyến của , lần lượt là n (1; 3), n (1;0). 1 2  1 2   | n .n | 1  1 2 cos 1, 2 | cos n1,n2 | 1, 2 60 | n1 || n2 | 2 Câu 7: Tìm góc giữa 2 đường thẳng 1 : 2x y 10 0 và 2 : x 3y 9 0 . A. 60 . B. 0 . C. 90 . D. 45. Lời giải Chọn D.   Véctơ pháp tuyến của , lần lượt là n (2; 1), n (1; 3). 1 2  1 2   | n .n | 2  1 2 cos 1, 2 | cos n1,n2 | 1, 2 45 | n1 || n2 | 2 Câu 8: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng 1 : x 2y 7 0 và 2 : 2x 4y 9 0 . 2
3. 3 2 1 3 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 Lời giải Chọn A.   Véctơ pháp tuyến của , lần lượt là n (1;2), n (2; 4). 1 2  1 2   | n .n | 3  1 2 cos 1, 2 | cos n1,n2 | . | n1 || n2 | 5 Câu 9: Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng 1 : x 2y 6 0 và 2 : x 3y 9 0 . Tính góc tạo bởi 1 và 2 A. 30. B. 135. C. 45. D. 60. Lời giải Chọn C. n 1 .nΔ2 1 ,Δ cos n ,nΔ ,Δ 45 . 1 2 1 2 1 2 n 1 . nΔ2 2 Câu 10: Cho hai đường thẳng d1 : x 2y 4 0; d2 : 2x y 6 0 . Số đo góc giữa d1 và d2 là A. 30 . B. 60 . C. 45. D. 90 . Lời giải Chọn D. Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d là n1 1;2 . 1 Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d là n2 2; 1 . 2 Ta có n1.n2 0 d1  d2. x 10 6t Câu 11: Tìm góc giữa 2 đường thẳng 1 : 6x 5y 15 0và 2 : . y 1 5t A. 90 . B. 60 . C. 0 . D. 45. Lời giải Chọn A.  Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là n (6; 5) . 1 1 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là n (5;6) .   2 2 Ta có n1.n2 0 1  2 . x 15 12t Câu 12: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng 1 :3x 4y 1 0 và 2 : . y 1 5t 56 63 6 33 A. . B. . C. . D. . 65 13 65 65 Lời giải Chọn D.  Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là n (3;4) . 1 1 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là n (5; 12) . 2  2 n1.n2 33 Gọi là góc gữa , cos   . 1 2 65 n1 . n2 Câu 13: Cho đoạn thẳng AB với A 1;2 , B( 3;4) và đường thẳng d : 4x 7y m 0 . Định m để d và đoạn thẳng AB có điểm chung. A. 10 m 40 . B. m 40 hoặc m 10 . C. m 40 . D. m 10 . 3
4. Lời giải Chọn A. Đường thẳng d và đoạn thẳng AB có điểm chung A, B nằm về hai phía của đường thẳng d (4 14 m)( 12 28 m) 0 10 m 40. Câu 14: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi đường thẳng : x y 0 và trục hoành Ox ? A. (1 2)x y 0 ; x (1 2)y 0 . B. (1 2)x y 0 ; x (1 2)y 0 . C. (1 2)x y 0 ; x (1 2)y 0 . D. x (1 2)y 0 ; x (1 2)y 0 . Lời giải Chọn D. Gọi M (x; y) là điểm thuộc đường phân giác d(M , ) d(M ,Ox) x y y x (1 2)y 0 . 2 x 2 t Câu 15: Cho đường thẳng d : và 2 điểm A 1 ; 2 , B( 2 ; m). Định m để A và B nằm y 1 3t cùng phía đối với d . A. m 13 . B. m 13 . C. . m 13. D. m 13 . Lời giải Chọn A. Phương trình tổng quát của đường thẳng d :3(x 2) 1(y 1) 0 hay d :3x y 7 0 . A, B cùng phía với d (3xA yA 7)(3xB yB 7) 0 2( 13 m) 0 m 13 Câu 16: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng 1 : x 2y 3 0 và 2 : 2x y 3 0 . A. 3x y 0 và x 3y 0 . B. 3x y 0 và x 3y 6 0 . C. 3x y 0 và x 3y 6 0 . D. 3x y 6 0 và x 3y 6 0 . Lời giải Chọn C. Gọi M (x; y) là điểm thuộc đường phân giác d(M , 1) d(M , 2 ) x 2y 3 2x y 3 x 3y 6 0 x 2y 3 2x y 3 . 5 5 3x y 0 Câu 17: Cho hai đường thẳng d1 : 2x 4y 3 0;d2 :3x y 17 0 . Số đo góc giữa d1 và d2 là 3 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 4 Lời giải Chọn A. 1 cos d ,d d ,d . 1 2 2 1 2 4 Câu 18: Cho đường thẳng d :3x 4y 5 0 và 2 điểm A 1;3 , B 2;m . Định m để A và B nằm cùng phía đối với d . 1 1 A. m 0 . B. m . C. m 1. D. m . 4 4 Lời giải Chọn B. A, B nằm về hai phía của đường thẳng d 4
5. 1 (3 12 5)(6 4m 5) 0 m . 4 Câu 19: Cho ABC với A 1;3 , B( 2;4), C( 1;5) và đường thẳng d : 2x 3y 6 0 . Đường thẳng d cắt cạnh nào của ABC ? A. Cạnh AC . B. Không cạnh nào. C. Cạnh AB . D. Cạnh BC . Lời giải Chọn B. Thay điểm A vào phương trình đường thẳng d ta được 1 Thay điểm B vào phương trình đường thẳng d ta được 10 Thay điểm C vào phương trình đường thẳng d ta được 11 Suy ra điểm A và B nằm cùng phía đối với d nên d không cắt cạnh AB. điểm A và C nằm cùng phía đối với d nên d không cắt cạnh AC điểm C và B nằm cùng phía đối với d nên d không cắt cạnh BC. Câu 20: Cho hai đường thẳng 1 : x y 5 0 và 2 : y 10 . Góc giữa 1 và Δ2 là A. 30 . B. 45. C. 8857'52''. D. 113'8'' . Lời giải Chọn B. Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là n1 1;1 . 1 Véctơ pháp tuyến của đường thẳng 2 là n2 0;1 . n1.n2 1 Ta có cos 1, 2 cos n1,n2 1, 2 45 n1 . n2 2 Câu 21: Cho tam giác ABC có A 0;1 , B 2;0 ,C 2; 5 . Tính diện tích S của tam giác ABC 5 7 A. S . B. S 5. C. S 7 . D. S . 2 2 Lời giải Chọn C. Ta có AB 5 ; AC 40 2 10. ; BC 41. 5 2 10 41 p 2 S p p AB p AC p BC 7. x m 2t Câu 22: Cho đoạn thẳng AB với A 1;2 , B( 3;4) và đường thẳng d : . Định m để d cắt y 1 t đoạn thẳng AB . A. m 3 . B. m 3 . C. m 3 . D. Không có m nào. Lời giải Chọn D. Phương trình tổng quát của đường thẳng d : x 2y m 2 0 Đường thẳng d và đoạn thẳng AB có điểm chung A, B nằm về hai phía của đường thẳng d (1 4 m 2)( 3 8 m 2) 0 . (3 m)(3 m) 0 vô nghiệm. Câu 23: Đường thẳng ax by 3 0, a,b ¢ đi qua điểm M 1;1 và tạo với đường thẳng :3x y 7 0 một góc 45. Khi đó a b bằng A. 6. B. 4. C. 3. D. 1. Lời giải Chọn D. 5
6. Gọi đường thẳng d có véctơ pháp tuyến n a;b với a,b ¢ . n .nd 2 Ta có ,d 45 cos n ,nd cos 45 n . nd 2 a 2b 3a b 2 2 2 2 2 3a b 5. a b 2a 3ab 2b 0 1 . 10 a2 b2 2 a b 2 Với a 2b chọn B 1; A 2 d : 2x y 3 0. 1 Với a b chọn B 2; A 1 d : x 2y 1 0. 2 1 Câu 24: Cho d :3x y 0 và d ': mx y 1 0 . Tìm m để cos d,d ' 10 4 3 A. m 0 . B. m hoặc m 0 . C. m hoặc m 0 . D. m 3 . 3 4 Lời giải Chọn C.  Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d là d 3; 1 .  Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d ' là d ' m;1 . 1 1 nd .nd ' 1 Ta có cos d,d ' cos nd ,nd ' 10 10 nd . nd ' 10 m 0 3m 1 1 2 2 3m 1 m 1 8m 6m 0 3 10 1 m2 10 m 4 Câu 25: Cho tam giác ABC có A 0;1 , B 2;0 , C 2;5 . Tính diện tích S của tam giác ABC 5 3 A. S 3. B. S 5. C. S . D. S . 2 2 Lời giải Chọn A. Ta có AB 5 ; AC 20 ; BC 41. 5 20 41 p 2 S p p AB p AC p BC 3. Câu 26: Có hai giá trị m1, m2 để đường thẳng x my 3 0 hợp với đường thẳng x y 0 một góc 60 . Tổng m1 m2 bằng: A. 1. B. 1. C. 4 . D. 4 . Lời giải Chọn C. 1 nd .nd ' 1 Ta có cos d,d ' 60 cos nd ,nd ' 2 nd . nd ' 2 m 1 1 2 m 1 2. m2 1 m2 4m 1 0 . 2 1 m2 2 b m m 4. 1 2 a 6
7. x 2 at Câu 27: Xác định giá trị của a để góc tạo bởi hai đường thẳng và đường thẳng y 1 2t 3x 4y 12 0 một góc bằng 45. 2 2 A. a ;a 14 . B. a ;a 14 . C. a 1;a 14 . D. a 2;a 14 . 7 7 Lời giải Chọn A. Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d là n1 2;a . 1 Véctơ pháp tuyến của đường thẳng d2 là n2 3;4 . nd1 .nd2 2 Ta có d ,d 45 cos nd1 ,nd2 cos 45 1 2 2 nd1 . nd2 2 4a 6 2 a 2 4a 6 5 2. a2 4 7a2 96a 28 0 7 . 5 4 a2 2 a 14 Câu 28: Phương trình đường thẳng đi qua A 2;0 và tạo với đường thẳng d : x 3y 3 0 một góc 45 là A. 2x y 4 0; x 2y 2 0 . B. 2x y 4 0; x 2y 2 0 . C. 2x y 4 0; x 2y 2 0 . D. 2x y 4 0; x 2y 2 0 . Lời giải Chọn A. 2 2 Gọi đường thẳng đi qua A 2;0 có véctơ pháp tuyến n A; B ; A B 0 . n .nd 2 Ta có ,d 45 cos n ,nd cos 45 n . nd 2 A 2B A 3B 2 2 2 2 2 A 3B 5. A B 4A 6AB 4B 0 1 10 A2 B2 2 A B 2 Với A 2B chọn B 1; A 2 : 2x y 4 0. 1 Với A B chọn B 2; A 1 : x 2y 2 0 2 Câu 29: Đường thẳng đi qua B 4;5 và tạo với đường thẳng : 7x y 8 0 một góc 45có phương trình là A. x 2y 6 0 và 2x 11y 63 0 . B. x 2y 6 0 và 2x 11y 63 0 . C. x 2y 6 0 và 2x 11y 63 0. D. x 2y 6 0 và 2x 11y 63 0. Lời giải Chọn C. 2 2 Gọi đường thẳng d đi qua B 4;5 có véctơ pháp tuyến n A; B ; A B 0 . n .nd 2 Ta có ,d 45 cos n ,nd cos 45 n . nd 2 1 A B 7A B 2 2 2 2 2 2 7A B 5. A B 22A 7AB 2B 0 2 2 2 2 50 A B A B 11 7
8. 1 Với A B chọn B 2; A 1 d : x 2y 6 0. 2 2 Với A B chọn B 11; A 2 d : 2x 11y 63 0. 11 Câu 30: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho đường thẳng d : x y 3 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A 2; 4 và tạo với đường thẳng d một góc bằng 45. A. y 4 0 và x 2 0 .B. y 4 0 và x 2 0. C. y 4 0 và x 2 0. D. y 4 0 và x 2 0 . Lời giải Chọn D. 2 2 Gọi đường thẳng có véctơ pháp tuyến n a;b với a b 0. n .nd 2 Ta có ,d 45 cos n ,nd cos 45 n . nd 2 a b 2 2 2 a 0 a b a b ab 0 . 2 a2 b2 2 b 0 Với a 0 chọn b 1 : y 4 0. Với b 0 chọn a 1 : x 2 0. Câu 31: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy , hãy lập phương trình đường phân giác của góc tù tạo bởi hai đường thẳng 1 :3x 4y 12 0, 2 :12x 3y 7 0 . A. d : 60 9 17 x 15 12 17 y 35 36 17 0 . B. d : 60 9 17 x 15 12 17 y 35 36 17 0. C. d : 60 9 17 x 15 12 17 y 35 36 17 0. D. d : 60 9 17 x 15 12 17 y 35 36 17 0. Lời giải Chọn B. Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là nΔ1 3; 4 . 1 Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là nΔ2 12;3 . 2 Vì nΔ1 .nΔ2 24 0 nên đường phân giác góc tù tạo bởi 2 hai đường thẳng là 3x 4y 12 12x 3y 7 60 9 17 x 15 12 17 y 35 36 17 0. 5 3 17 Câu 32: Cho hình vuông ABCD có đỉnh A 4;5 và một đường chéo có phương trình 7x y 8 0 . Tọa độ điểm C là A. C 5;14 . B. C 5; 14 . C. C 5; 14 . D. C 5;14 . Lời giải Chọn B. Vì A 4;5 7x y 8 0 nên đường chéo BD : 7x y 8 0. Phương trình đường chéo AC đi qua A 4;5 và vuông góc với BD là x 7y 31 0 . 7x y 8 0 1 9 Gọi tâm hình vuông là I x; y , tọa độ điểm I x; y thỏa mãn I ; . x 7y 31 0 2 2 xC 2xI xA 5 I là trung điểm AC suy ra C 5; 14 . yC 2yI yA 14 8
9. 1 Câu 33: Cho d : 3x y 0 và d ': mx y 1 0 . Tìm m để cos d,d ' 2 A. m 0 . B. m 3 . C. m 3 hoặc m 0 . D. m 3 hoặc m 0 . Lời giải Chọn C. 3m 1 m 0 1 1 2 2 cos d,d ' 3m 1 m 1 m 3m 0 . 2 2 m2 1 2 m 3 Câu 34: Có hai giá trị m1, m2 để đường thẳng mx y 3 0 hợp với đường thẳng x y 0 một góc 60 . Tổng m1 m2 bằng A. 3. B. 3. C. 4. D. 4. Lời giải Chọn D. n .nd 1 Ta có ,d 60 cos n ,nd cos60 n . nd 2 m 1 1 2 2 b 2 m 1 2 m 1 m 4m 1 0 m1 m2 4. 2 m2 1 2 a Câu 35: Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng 1 : 3x 4y 1 0 và 2 : x 2y 4 0 . A. (3 5)x 2(2 5)y 1 4 5 0 và (3 5)x 2(2 5)y 1 4 5 0 . B. (3 5)x 2(2 5)y 1 4 5 0 và (3 5)x 2(2 5)y 1 4 5 0. C. (3 5)x 2(2 5)y 1 4 5 0 và (3 5)x 2(2 5)y 1 4 5 0 . D. (3 5)x 2(2 5)y 1 4 5 0 và (3 5)x 2(2 5)y 1 4 5 0 . Lời giải Chọn B. Cặp đường thẳng là phân giác của các góc tạo bởi 1, 2 là | 3x 4y 1| | x 2y 4 | 3x 4y 1 5(x 2y 4) 3x 4y 1 5(x 2y 4) 5 5 3x 4y 1 5(x 2y 4) 3x 4y 1 5(x 2y 4) (3 5)x 2(2 5)y 1 4 5 0 . (3 5)x 2(2 5)y 1 4 5 0 Câu 36: Đường thẳng bx ay 3 0, a,b ¢ đi qua điểm M 1;1 và tạo với đường thẳng :3x y 7 0 một góc 45 . Khi đó 2a 5b bằng A. 8. B. 8. C. 1. D. 1. Lời giải Chọn A. 2 2 Gọi đường thẳng d có véctơ pháp tuyến n A; B với A B 0. n .nd 2 Ta có ,d 45 cos n ,nd cos 45 n . nd 2 A 2B 3A B 2 2 2 2 2 3A B 5. A B 2A 3AB 2B 0 1 . 10 A2 B2 2 A B 2 Với A 2B chọn B 1; A 2 d : 2x y 3 0. 9
10. 1 Với A B chọn B 2; A 1 d : x 2y 1 0. 2 x 2 3t Câu 37: Viết phương trình đường thẳng qua B 1;2 tạo với đường thẳng d : một góc 60 . y 2t A. 645 24 x 3y 645 30 0; 645 24 x 3y 645 30 0. B. 645 24 x 3y 645 30 0; 645 24 x 3y 645 30 0. C. 645 24 x 3y 645 30 0; 645 24 x 3y 645 30 0. D. 645 24 x 3y 645 30 0; 645 24 x 3y 645 30 0. Lời giải Chọn D. 2 2 Gọi đường thẳng Δ đi qua B 1;2 có véctơ pháp tuyến n a;b với a b 0. n .nd 1 Ta có ,d 60 cos n ,nd cos60 n . nd 2 2a 3b 1 2 2a 3b 13. a2 b2 3a2 48ab 23b2 0 13 a2 b2 2 24 645 a b 3 . 24 645 a b 3 24 645 Với a b chọn b 3; a 24 645 Δ : 645 24 x 3y 645 30 0. 3 24 645 Với a b chọn b 3; a 24 645 Δ : 645 24 x 3y 645 30 0. 3 Câu 38: Cho đoạn thẳng AB với A 1;2 , B 3;4 và đường thẳng d : 4x 7y m 0 . Tìm m để d và đường thẳng AB tạo với nhau góc 60 . A. m 1. B. m 1;2. C. m ¡ . D. không tồn tại m . Lời giải Chọn B. Gọi đường thẳng AB có véctơ pháp tuyến n AB 2;4 2 1;2 . n AB .nd 2 13 Ta có AB,d cos n AB ,nd n AB . nd 13 AB,d 56 . Câu 39: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng 1 : x 2y 6 0 và 2 : x 3y 9 0 . Viết phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi 1 và 2 . A. 2 1 x 2 2 3 y 6 2 9 0. B. 2 1 x 2 2 3 y 6 2 9 0. C. 2 1 x 2 2 3 y 6 2 9 0. D. 2 1 x 2 2 3 y 6 2 9 0. Lời giải Chọn B. Véctơ pháp tuyến của đường thẳng là nΔ1 1;2 . 1 Véctơ pháp tuyến của đường thẳng 2 là nΔ2 1; 3 . 10
11. Vì nΔ1 .nΔ2 5 0 nên đường phân giác góc tù tạo bởi 2 hai đường thẳng là x 2y 6 x 3y 9 2 1 x 2 2 3 y 6 2 9 0 . 5 10 Câu 40: Lập phương trình đi qua A 2;1 và tạo với đường thẳng d : 2x 3y 4 0 một góc 45. A. 5x y 11 0; x 5y 3 0. B. 5x y 11 0; x 5y 3 0. C. 5x y 11 0; x 5y 3 0. D. 5x 2y 12 0; 2x 5y 1 0. Lời giải Chọn A. 2 2 Gọi đường thẳng Δ đi qua A 2;1 có véctơ pháp tuyến n a;b với a b 0. n .nd 2 Ta có ,d 45 cos n ,nd cos 45 n . nd 2 a 5b 2a 3b 2 2 2a 3b 26. a2 b2 10a2 48ab 10b2 0 1 . 13 a2 b2 2 a b 5 Với a 5b chọn b 1; a 5 Δ :5x y 11 0. 1 Với a b chọn b 5; a 1 Δ : x 5y 3 0. 5 Câu 41: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy , cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình: d1 : x y 1, d2 : x 3y 3 0 . Hãy viết phương trình đường thẳng d đối xứng với d2 qua đường thẳng d1 . A. d :3x y 1 0 . B. d :3x y 1 0 . C. d :3x y 1 0. D. d :3x y 1 0 . Lời giải Chọn B. Gọi I x; y d1  d2 . Khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình x y 1 x 0 I 0;1 . x 3y 3 0 y 1 Chọn M 3;0 d2 . Gọi đi qua M và vuông góc với d1 . Suy ra có dạng x y c 0 . Vì M 3;0 c 3 : x y 3 0 Gọi H x; y d1  . Khi đó tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình x y 3 0 x 1 H 1;2 . x y 1 y 2 Gọi N là điểm đối xứng của M qua d1 . Khi đó H là trung điểm của MN. xN 2xH xM 1 N 1;4 . yN 2yH yM 4 Vậy đường thẳng d chính là đường thẳng IN , ta có x 0 y 1 3x y 1 0 . 1 3 Câu 42: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 2x y 2 0 và d2 : 2x 4y 7 0 . Viết phương trình đường thẳng qua điểm P 3;1 cùng với d1 , d2 tạo thành tam giác cân có đỉnh là giao điểm của d1 và d2 . d :3x y 10 0 d :3x y 10 0 d : 2x y 7 0 d :3x y 10 0 A. . B. . C. . D. . d : x 3y 0 d : x 3y 0 d : x 2y 1 0 d : x 3y 0 11
12. Lời giải Chọn D. Gọi phương trình đường thẳng d đi qua điểm P có véctơ pháp tuyến n A; B , A2 B2 0. Theo giả thiết ta có d,d1 d,d2 cos d,d1 cos d,d2 2A B 2A 4B 5. A2 B2 2 5. A2 B2 2 2A B 2A 4B A 3B 2. 2A B 2A 4B 1 . 2 2A B 2A 4B A B 3 Với A 3B chọn B 1; A 3 d :3x y 10 0 . 1 Với A B chọn B 3; A 1 d : x 3y 0 . 3 Câu 43: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy , cho tam giác cân PRQ , biết phương trình cạnh đáy PQ : 2x 3y 5 0, cạnh bên PR : x y 1 0 . Tìm phương trình cạnh bên RQ biết rằng nó đi qua điểm D 1;1 A. RQ :17x 7y 24 0 .B. RQ :17x 7y 24 0 . C. RQ :17x 7y 24 0 . D. RQ :17x 7y 24 0 . Lời giải Chọn C. Gọi phương trình cạnh bên RQ đi qua điểm D có véctơ pháp tuyến n A; B , A2 B2 0. Vì tam giác PRQ cân tại R nên RQ, PQ PQ, PR cos RQ, PQ cos PQ, PR 2A 3B 1 2. 2A 3B A2 B2 13. A2 B2 13. 2 17 A B 7A2 24AB 17B2 0 7 A B 17 Với A B chọn B 7; A 17 RQ :17x 7y 24 0 . 7 Với A B chọn B 1; A 11 RQ : x y 2 0 loại vì RQ // PR . Vậy đường thẳng cần tìm là RQ :17x 7y 24 0 . Câu 44: Trong mặt phẳng Oxy , cho 3 đường thẳng d1 :3x 4y 6 0 ; d2 : 4x 3y 1 0 và d3 : y 0. Gọi A d1  d2 ; B d2  d3 ; C d3  d1 . Viết phương trình đường phân giác trong của góc B . A. 4x 2y 1 0. B. 4x 2y 1 0. C. 4x 8y 1 0. D. 4x 8y 1 0. Lời giải Chọn A. 3x 4y 6 0 A d1  d2 , suy ta tọa độ điểm A x; y thỏa mãn A 2;3 . 4x 3y 1 0 y 0 1 B d2  d3 , suy ta tọa độ điểm B x; y thỏa mãn B ;0 . 4x 3y 1 0 4 3x 4y 6 0 C d3  d1 , suy ta tọa độ điểm C x; y thỏa mãn C 2;0 . y 0 4x 3y 1 4x 2y 1 0 1 Phương trình các đường phân giác góc B là y . 5 4x 8y 1 0 2 12
13. Xét đường thẳng 1 : 4x 2y 1 0, ta có 4xA 2yA 1 4xC 2yC 1 105 0 Suy ra A và C nằm khác phía đối với 1 . Do đó đường phân giác trong góc B là 1 : 4x 2y 1 0. Câu 45: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy , cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình: d1 : x y 1, d2 : x 3y 3 0 . Hãy viết phương trình đường thẳng d3 đối xứng với d1 qua đường thẳng d2 . A. 7x y 1 0 . B. 7x y 1 0 . C. 7x y 1 0 . D. 7x y 1 0 . Lời giải Chọn A. Gọi I x; y d1  d2 . Khi đó tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình x y 1 x 0 I 0;1 . x 3y 3 0 y 1 Chọn M 1;0 d1 . Gọi đi qua M và vuông góc với d2 . Suy ra có dạng 3x y c 0 . Vì M 1;0 c 3 :3x y 3 0. Gọi H x; y d2  . Khi đó tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 3 x 3x y 3 0 5 3 6 H ; . x 3y 3 0 6 5 5 y 5 Gọi N là điểm đối xứng của M qua d2 . Khi đó H là trung điểm của MN. 1 x 2x x N H M 5 1 12 N ; . 12 5 5 y 2y y N H M 5 Vậy đường thẳng d3 chính là đường thẳng IN , ta có x 0 y 1 7x y 1 0 . 1 12 0 1 5 5 Câu 46: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho ΔABC có đỉnh A 3;0 và phương trình hai đường cao BB ' : 2x 2y 9 0 và CC ' :3x 12y 1 0 . Viết phương trình cạnh BC . A. 4x 5y 20 0. B. 4x 5y 20 0. C. 4x 5y 20 0. D. 4x 5y 20 0. Lời giải Chọn C. Gọi H x; y là trực tâm của tam giác ΔABC . Khi đó tọa độ điểm H x; y là nghiệm của hệ 11 x 2x 2y 9 0 3 11 5 phương trình H ; . 3x 12y 1 0 5 3 6 y 6 Phương trình cạnh AC đi qua A 3;0 và vuông góc với BB nên AC có dạng 2x 2y c 0 . Vì A 3;0 AC nên 6 c 0 c 6. Do đó AC : 2x 2y 6 0 x y 3 0 . Ta có C AC CC nên tọa độ điểm C x; y là nghiệm của hệ phương trình 13
14. 35 x 3x 12y 1 0 9 35 8 C ; . x y 3 0 8 9 9 y 9 35 8  2 5 1 Phương trình cạnh BC đi qua điểm C ; nhận AH ; 4;5 . làm véctơ pháp 9 9 3 6 6 tuyến BC : 4x 5y 20 0. Câu 47: Cho tam giác ABC , đỉnh B 2; 1 , đường cao AA :3x 4y 27 0 và đường phân giác trong của góc C là CD : x 2y 5 0 . Khi đó phương trình cạnh AB là A. 4x 7y 15 0. B. 2x 5y 1 0. C. 4x 7y 1 0. D. 2x 5y 9 0. Lời giải Chọn C. Phương trình cạnh BC đi qua B 2; 1 và vuông góc với AA là 4x 3y 5 0. x 2y 5 0 x 1 Gọi C x; y , tọa độ điểm C x; y thỏa mãn C 1;3 4x 3y 5 0 y 3 Gọi M là điểm đối xứng của B qua CD . Khi đó tọa độ điểm M x; y thỏa mãn 2 x 2 y 1 0 2x y 5 0 x 2 y 1 M 4;3 . 2 5 0 x 2y 10 0 2 2 Phương trình cạnh AC chính là MC , ta có AC : y 3. 3x 4y 27 0 x 5 Gọi A x; y , tọa độ điểm A x; y thỏa mãn A 5;3 . y 3 y 3 x 5 y 3 Phương trình cạnh AB là 4x 7y 1 0. 7 4 Câu 48: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy , cho ABC có điểm A 2; 1 và hai đường phân giác trong của hai góc B, C lần lượt có phương trình B : x 2y 1 0, C : x y 3 0 . Viết phương trình cạnh BC . A. BC : 4x y 3 0 B. BC : 4x y 3 0 .C. BC : 4x y 3 0 D. BC : 4x y 3 0 Lời giải A Chọn B. B' C' +) Gọi H xH ; yH là hình chiếu của điểm A lên B   AH  u AH.u 0. H B B K Ta có H 2y 1; y ;  H H B AH 2yH 3; yH 1 ; u B 2;1 . C  B N M AH.u B 0 2 2yH 3 yH 1 0 yH 1 H 1;1 . Gọi M là điểm đối xứng của A qua B . xM 2xH xA 0 Khi đó H là trung điểm của AM M 0;3 . yM 2yH yA 3   +) Gọi K xK ; yK là hình chiếu của điểm A lên C AK  u C AK.u C 0.  Ta có K x ; x 3 ; AK x 2; x 2 ; u C 1; 1 .  K K C K K ADK.u C 0 xK 2 xK 2 0 xK 0 K 0; 3 . Gọi N là điểm đối xứng của A qua C . 14
15. xN 2xK xA 2 Khi đó K là trung điểm của AN N 2; 5 . yM 2yK yA 5 Phương trình đường thẳng BC chính là phương trình đường thẳng MN . x 0 y 3 đường thẳng BC : 4x y 3 0 2 8 Câu 49: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Descarter vuông góc Oxy , cho ABC vuông cân tại A 4;1 và cạnh huyền BC có phương trình: 3x y 5 0 . Viết phương trình hai cạnh góc vuông AC và AB. A. x 2y 2 0 và 2x y 9 0 . B. x 2y 2 0 và 2x y 9 0 . C. x 2y 2 0 và 2x y 9 0 . D. x 2y 2 0 và 2x y 9 0 . Lời giải Chọn A. Cách 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua A tạo với đường thẳng BC một góc 45. Cách 2: Gọi H x; y là hình chiếu của A 4;1 lên BC . d đi qua A 4;1 và vuông góc với BC nên d có dạng x 3y c 0. Vì A 4;1 d 7 c 0 c 7 nên d : x 3y 7 0. Khi đó tọa độ điểm H x; y là nghiệm của hệ phương trình 4 x 3x y 5 0 5 4 13 H ; . x 3y 7 0 13 5 5 y 5 Vì ABC vuông cân tại A nên A, B, C thuộc đường tròn C ngoại tiếp ABC có tâm 4 13 8 10 H ; và bán kính R AH . 5 5 5 2 2 4 13 128 Phương trình đường tròn C : x y . 5 5 5 Tọa độ điểm B, C là nghiệm của hệ phương trình 3x y 5 0 y 3x 5 2 2 2 2 4 13 128 4 13 128 x y x 3x 5 5 5 5 5 5 5 4 37 x y y 3x 5 5 5 25x2 40x 48 0 12 11 x y 5 5 4 37 12 11 4 37 12 11 Suy ra 2 điểm B ; ; C ; hoặc C ; ; B ; . 5 5 5 5 5 5 5 5 Vậy phương trình hai cạnh AB và AC là x 4 y 1 x 4 y 1 AB : 2x y 9 0 ; AC : x 2y 2 0. 4 37 12 11 4 1 4 1 5 5 5 5 x 4 y 1 x 4 y 1 Hoặc AC : 2x y 9 0 ; AB : x 2y 2 0. 4 37 12 11 4 1 4 1 5 5 5 5 15
16. Câu 50: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A , có đỉnh C 4;1 , phân giác trong góc A có phương trình x y 5 0 . Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. A. BC :3x 4y 16 0 . B. BC :3x 4y 16 0 C. BC :3x 4y 16 0 . D. BC :3x 4y 8 0 Lời giải Chọn A. Cách 1: Gọi D là điểm đối xứng của C 4;1 qua đường thẳng x y 5 0 D suy ra tọa độ điểm D x; y là nghiệm của d x 4 y 1 0 B hệ phương trình x 4 y 1 D 4;9 . 5 0 2 2 A Điểm A thuộc đường tròn đường kính CD C x y 5 0 nên tọa độ điểm A x; y thỏa mãn với x 0, suy ra điểm A 4;1 . 2 2 x y 5 32 1 2S Ta có S AB.AC 24 AB ABC 6 ABC 2 AC B thuộc đường thẳng AD : x 4, suy ra tọa độ B 4; y thỏa mãn y 1 2 36 B 4;7 hoặc B 4; 5 .   Do d là phân giác trong góc A , nên AB và AD cùng hướng, suy ra B 4;7 . Do đó, đường thẳng BC có phương trình : 3x 4y 16 0. Cách 2: Gọi đường thẳng AC đi qua điểm C 4;1 có véctơ pháp tuyến n a;b , a2 b2 0. 2 d Vì AC,d 45 cos n AC ,nd 2 B a b 2 a 0; b 1 45 45 2 2 2 b 0; a 1 2 a b C A Với b 0; a 1 suy đường thẳng AC : x 4 0 A AC  d A 4; 9 ( loại vì xA 0 ) Với a 0; b 1 suy đường thẳng AC : y 1 0 A AC  d A 4; 1 . x y 5 0 nên tọa độ điểm A x; y thỏa mãn với x 0, suy ra điểm A 4;1 . 2 2 x y 5 32 Gọi điểm B x; y .   Ta có ABC vuông tại A nên AB.AC 0 x 4 B 4; y . 1 2S 2 Lại có S AB.AC 24 AB ABC 6 y 1 36. ABC 2 AC B 4;7 hoặc B 4; 5 . Do d là phân giác trong góc A , nên hai điểm A và B nằm khác phía đối với đường thẳng d , suy ra B 4;7 . Do đó, đường thẳng BC có phương trình : 3x 4y 16 0. 16