Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 2 - Chuyên đề 3: Hệ thức lượng trong tam giác - Bài 3: Hệ thức lượng trong tam giác - Đặng Việt Đông

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 10 - Chương 2 - Chuyên đề 3: Hệ thức lượng trong tam giác - Bài 3: Hệ thức lượng trong tam giác - Đặng Việt Đông

1. Chương 2 CHUYÊN ĐỀ 3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC §3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c . Ta có : a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA A b2 = c2 + a2 - 2ca.cosB c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC b Hệ quả: c b2 + c2 - a2 cosA = 2bc C c2 + a2 - b2 B a cosB = 2ca Hình 2.6 a2 + b2 - c2 cosC = 2ab 2. Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có : a b c = = = 2R sin A sin B sinC 3. Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với ma, mb, mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta có : 2(b2 + c2) - a2 m2 = a 4 2(a2 + c2) - b2 m2 = b 4 2(a2 + b2) - c2 m2 = c 4 4. Diện tích tam giác Với tam giác ABC ta kí hiệu ha, hb, hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB; R, r a + b + c lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p = là nửa chu vi tam giác; S là 2 diện tích tam giác. Khi đó ta có: 1 1 1 S = ah = bh = ch 2 a 2 b 2 c 1 1 1 = bc sin A = ca sin B = absinC 2 2 2 abc = 4R = pr = p(p - a)(p - b)(p - c) (công thức Hê–rông) 1
2. Câu 1. Cho ABC có b 6,c 8, µA 600 . Độ dài cạnh a là: A. 2 13. B. 3 12. C. 2 37. D. 20. Lời giải Chọn A. Ta có: a2 b2 c2 2bccos A 36 64 2.6.8.cos600 52 a 2 13 . Câu 2. Cho ABC có S 84,a 13,b 14,c 15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác trên là: A. 8,125. B. 130. C. 8. D. 8,5. Lời giải Chọn A. a.b.c a.b.c 13.14.15 65 Ta có: S R . ABC 4R 4S 4.84 8 Câu 3. Cho ABC có a 6,b 8,c 10. Diện tích S của tam giác trên là: A. 48. B. 24. C. 12. D. 30. Lời giải Chọn B. a b c Ta có: Nửa chu vi ABC : p . 2 Áp dụng công thức Hê-rông: S p( p a)( p b)( p c) 12(12 6)(12 8)(12 10) 24 . Câu 4. Cho ABC thỏa mãn : 2cos B 2 . Khi đó: A. B 300. B. B 600. C. B 450. D. B 750. Lời giải Chọn C. 2 Ta có: 2cos B 2 cos B Bµ 450. 2 Câu 5. Cho ABC vuông tại B và có Cµ 250 . Số đo của góc A là: A. A 650. B. A 600. C. A 1550. D. A 750. Lời giải Chọn A. Ta có: Trong ABC µA Bµ Cµ 1800 µA 1800 Bµ Cµ 1800 900 250 650 . Câu 6. Cho ABC có B 600 ,a 8,c 5. Độ dài cạnh b bằng: A. 7. B. 129. C. 49. D. 129 . Lời giải Chọn A. Ta có: b2 a2 c2 2accos B 82 52 2.8.5.cos600 49 b 7 . Câu 7. Cho ABC có Cµ 450 , Bµ 750 . Số đo của góc A là: A. A 650. B. A 700 C. A 600. D. A 750. Lời giải Chọn C. Ta có: µA Bµ Cµ 1800 µA 1800 Bµ Cµ 1800 750 450 600. Câu 8. Cho ABC có S 10 3 , nửa chu vi p 10 . Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là: A. 3. B. 2. C. 2. D. 3. Lời giải Chọn D. S 10 3 Ta có: S pr r 3. p 10 2
3. Câu 9. Cho ABC có a 4,c 5, B 1500.Diện tích của tam giác là: A.5 3. B. 5. C. 10. D. 10 3. Lời giải Chọn B. 1 1 Ta có: S a.c.sin B .4.5.sin1500 5. ABC 2 2 Câu 10. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2cos A 1. Khi đó: A. A 300. B. A 450. C. A 1200. D. A 600. Lời giải Chọn D. 1 Ta có: 2cos A 1 cos A µA 600. 2 3 Câu 11. Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, cos A . Đường cao h của tam giác ABC là 5 a 7 2 A. . B. 8. C.8 3. D.80 3. 2 Lời giải Chọn A. 3 Ta có: a2 b2 c2 2bccos A 72 52 2.7.5. 32 a 4 2. 5 9 16 4 Mặt khác: sin2 A cos2 A 1 sin2 A 1 cos2 A 1 sin A (Vì sin A 0 ). 25 25 5 4 7.5. 1 1 bcsin A 5 7 2 Mà: S ABC b.c.sin A a.ha ha . 2 2 a 4 2 2 Câu 12. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau: b2 c2 a2 a2 c2 b2 A. m2 . B. m2 . a 2 4 a 2 4 a2 b2 c2 2c2 2b2 a2 C. m2 . D. m2 . a 2 4 a 4 Lời giải Chọn D. b2 c2 a2 2b2 2c2 a2 Ta có: m2 . a 2 4 4 Câu 13. Cho tam giác ABC . Tìm công thức sai: a a csin A A. 2R. B. sin A . C. bsin B 2R. D. sin C . sin A 2R a Lời giải Chọn C. a b c Ta có: 2R. sin A sin B sinC Câu 14. Chọn công thức đúng trong các đáp án sau: 1 1 1 1 A. S bcsin A. B. S acsin A. C. S bcsin B. D. S bcsin B. 2 2 2 2 Lời giải Chọn A. 1 1 1 Ta có: S bcsin A acsin B absin C . 2 2 2 Câu 15. Cho tam giác ABC có a 8,b 10 , góc C bằng 600 . Độ dài cạnh c là ? 3
4. A. c 3 21 . B. c 7 2 .C. c 2 11 .D. c 2 21. Lời giải Chọn D. Ta có: c2 a2 b2 2a.b.cosC 82 102 2.8.10.cos600 84 c 2 21 . Câu 16. Cho tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là đúng ? 1 a A. S a.b.c . B. R . ABC 2 sin A b2 c2 a2 2b2 2a2 c2 C. cos B . D. m2 . 2bc c 4 Lời giải Chọn D. Câu 17. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng ? A. AB2 AC 2 BC 2 2AC.AB cosC . B. AB2 AC 2 BC 2 2AC.BC cosC . C. AB2 AC 2 BC 2 2AC.BC cosC . D. AB2 AC 2 BC 2 2AC.BC cosC . Lời giải Chọn C. Câu 18. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b c 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? A. cos B cosC 2cos A. B. sin B sinC 2sin A. 1 C. sin B sin C sin A . D. sin B cosC 2sin A. 2 Lời giải Chọn B. Ta có: b c a b c b c b c b c 2R 2 sin B sinC 2sin A. sin A sin B sinC sin A sin B sinC 2sin A sin B sinC Câu 19. Cho tam giác ABC. Đẳng thức nào sai ? B C A A. sin(A B 2C) sin3C. B. cos sin . 2 2 A B 2C C C. sin(A B) sinC. D. cos sin . 2 2 Lời giải Chọn D. Ta có: 0 A B 2C 0 C B C 0 C B C C A B C 180 90 cos cos 90 cos sin . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 20. Gọi S ma mb mc là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ? 3 A. S (a2 b2 c2 ) . B. S a2 b2 c2 . 4 3 C. S (a2 b2 c2 ) . D. S 3(a2 b2 c2 ) . 2 Lời giải Chọn A. b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 3 Ta có: S m2 m2 m2 (a2 b2 c2 ). a b c 2 4 2 4 2 4 4 Câu 21. Độ dài trung tuyến mc ứng với cạnh c của ABC bằng biểu thức nào sau đây b2 a2 c2 b2 a2 c2 A. . B. . 2 4 2 4 4
5. 1 b2 a2 c2 C. 2b2 2a2 c2 . D. . 2 4 Lời giải Chọn C. b2 a2 c2 b2 a2 c2 1 Ta có: m2 m (2b2 2a2 ) c2 . c 2 4 c 2 4 2 Câu 22. Tam giác ABC có cos B bằng biểu thức nào sau đây? b2 c2 a2 a2 c2 b2 A. . B. 1 sin2 B . C. cos(A C). D. . 2bc 2ac Lời giải Chọn D. a2 c2 b2 Ta có: b2 a2 c2 2accos B cos B . 2ac Câu 23. Cho tam giác ABC có a2 b2 c2 0 . Khi đó : A. Góc C 900 B. Góc C 900 C. Góc C 900 D. Không thể kết luận được gì về góc C. Lời giải Chọn B. a2 b2 c2 Ta có: cosC . 2ab Mà: a2 b2 c2 0 suy ra: cosC 0 C 900 . Câu 24. Chọn đáp án sai : Một tam giác giải được nếu biết : A. Độ dài 3 cạnhB. Độ dài 2 cạnh và 1 góc bất kỳ C. Số đo 3 góc D. Độ dài 1 cạnh và 2 góc bất kỳ Lời giải Chọn C. Ta có: Một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2 ). Câu 25. Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu ? A. 84. B. 84 . C. 42. D. 168. Lời giải Chọn A. a b c 13 14 15 Ta có: p 21 . 2 2 Suy ra: S p( p a)( p b)( p c) 21(21 13)(21 14)(21 15) 84 . Câu 26. Một tam giác có ba cạnh là 26,28,30. Bán kính đường tròn nội tiếp là: A. 16. B. 8. C. 4. D. 4 2. Lời giải Chọn B. a b c 26 28 30 Ta có: p 42. 2 2 S p( p a)( p b)( p c) 42(42 26)(42 28)(42 30) S pr r 8. p p 42 Câu 27. Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60. Bán kính đường tròn ngoại tiếp là: 65 65 A. . B. 40. C. 32,5. D. . 8 4 Lời giải Chọn C. 5
6. a b c 52 56 60 Ta có: p 84. 2 2 Suy ra: S p( p a)( p b)( p c) 84(84 52)(84 56)(84 60) 1344 . abc abc 52.56.60 65 Mà S R . 4R 4S 4.1344 2 Câu 28. Tam giác với ba cạnh là 3,4,5. Có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ? A. 1. B. 2. C. 3. D. 2. Lời giải Chọn A. a b c 3 4 5 Ta có: p 6. 2 2 S p( p a)( p b)( p c) 6(6 3)(6 4)(6 5) Suy ra: S pr r 1. p p 6 Câu 29. Tam giác ABC có a 6,b 4 2,c 2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM 3 . Độ dài đoạn AM bằng bao nhiêu ? 1 A. 9 . B. 9. C. 3. D. 108. 2 Lời giải Chọn C. Ta có: Trong tam giác ABC có a 6 BC 6 mà BM 3 suy ra M là trung điểm BC. b2 c2 a2 Suy ra: AM 2 m2 9 AM 3 . a 2 4   Câu 30. Cho ABC , biết a AB (a1;a2 ) và b AC (b1;b2 ) . Để tính diện tích S của ABC . Một học sinh làm như sau: a.b (I) Tính cos A a . b 2 a.b (II) Tính sin A 1 cos2 A 1 2 2 a . b 1 1 2 2 2 (III) S AB.AC.sinA a b a.b 2 2 1 2 (IV ) S a2 a2 b2 b2 a b a b 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 S a b a b 2 1 2 2 1 1 S (a b a b ) 2 1 2 2 1 Học sinh đó đã làm sai bắt đàu từ bước nào? A. (I) B. (II) C. (III) D. (IV ) Lời giải Chọn A. a.b Ta có: cos A . a . b Câu 31. Câu nào sau đây là phương tích của điểm M (1;2) đối với đường tròn (C) . tâm I( 2;1) , bán kính R 2 : A. 6. B. 8. C. 0. D. 5. Lời giải Chọn A. 6
7.  Ta có: MI ( 3;1) MI 10 . Phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) tâm I là: 2 MI 2 R2 ( 2 1)2 (1 2)2 4 6. Câu 32. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78o24' . Biết CA 250m,CB 120m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ? A. 266m. B. 255m. C. 166m. D. 298m. Lời giải Chọn B. Ta có: AB2 CA2 CB2 2CB.CA.cosC 2502 1202 2.250.120.cos78o24' ; 64835 AB ; 255. Câu 33. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km / h . Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km ? A. 13. B. 15 13. C. 10 13. D. 15. Lời giải Chọn Không có đáp án. Ta có: Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là: S1 30.2 60km. Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là: S2 40.2 80km. 2 2 0 Vậy: sau 2h hai tàu cách nhau là: S S1 S2 2S1.S2.cos60 20 13. Câu 34. Từ một đỉnh tháp chiều cao CD 80m , người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 72012' và 34026' . Ba điểm A, B, D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB ? A. 71m. B. 91m. C. 79m. D. 40m. Lời giải Chọn B. CD CD 80 Ta có: Trong tam giác vuông CDA : tan 72012' AD ; 25,7. AD tan 72012' tan 72012' CD CD 80 Trong tam giác vuông CDB : tan34026' BD ; 116,7. BD tan34026' tan34026' Suy ra: khoảng cách AB 116,7 25,7 91m. Câu 35. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 56016' . Biết CA 200m , CB 180m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ? A. 163m. B. 224m. C. 112m. D. 168m. Lời giải Chọn Không có đáp án Ta có: AB2 CA2 CB2 2CB.CA.cosC 2002 1802 2.200.180.cos56016' ; 32416 AB ; 180. Câu 36. Cho đường tròn (C) đường kính AB với A( 1; 2) ; B(2;1) . Kết quả nào sau đây là phương tích của điểm M (1;2) đối với đường tròn (C) . A. 3. B. 4. C. 5. D. 2. Lời giải Chọn D.  Ta có: AB (3;3) AB 3 2 . 7
8. 1 1 Đường tròn (C) đường kính AB có tâm I ; là trung điểm AB và bán kính 2 2 AB 3 2 R . 2 2 Suy ra: phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) là: MI 2 R2 2. Câu 37. Cho các điểm A(1; 2), B( 2;3),C(0;4). Diện tích ABC bằng bao nhiêu ? 13 13 A. . B. 13. C. 26. D. . 2 4 Lời giải Chọn A.    Ta có: AB ( 3;5) AB 34 , AC ( 1;6) AC 37 , BC (2;1) BC 5 . AB AC BC 37 34 5 Mặt khác p . 2 2 13 Suy ra: S p( p AB)( p AC)( p BC) . 2 Câu 38. Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(3; 3),C(6;0). Diện tích ABC là A. 12. B. 6. C. 6 2. D. 9. Lời giải Chọn B.    Ta có: AB (2; 2) AB 2 2 , AC (5;1) AC 26 , BC (3;3) BC 3 2 .   Mặt khác AB.BC 0 AB  BC . 1 Suy ra: S ABC AB.BC 6. 2 Câu 39. Cho a (2; 3) và b (5;m). Giá trị của m để a và b cùng phương là: 13 15 A. 6. B. . C. 12. D. . 2 2 Lời giải Chọn D. 5 m 15 Ta có: a,b cùng phương suy ra m . 2 3 2 Câu 40. Cho các điểm A(1;1), B(2;4),C(10; 2). Góc B· AC bằng bao nhiêu? A. 900 . B. 600. C. 450. D. 300. Lời giải Chọn A.   Ta có: AB (1;3) , AC (9; 3) .   AB.AC Suy ra: cos B· AC   0 B· AC 900. AB . AC Câu 41. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là ? 13 11 A. 6. B. 8. C. . D. . 2 2 Lời giải Chọn C. 13 1 Ta có: 52 122 132 R . (Tam giác vuông bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng cạnh 2 2 huyền ). Câu 42. Cho tam giác ABC có a 4,b 6,c 8 . Khi đó diện tích của tam giác là: 2 A. 9 15. B. 3 15. C. 105. D. 15. 3 8
9. Lời giải Chọn B. a b c 4 6 8 Ta có: p 9. 2 2 Suy ra: S p( p a)( p b)( p c) 3 15. Câu 43. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ? A. 2. B. 2 2. C. 2 3. D. 3. Lời giải Chọn A. 5 12 13 1 Ta có: p 15 . Mà 52 122 132 S .5.12 30. 2 2 S Mặt khác S p.r r 2. p Câu 44. Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu ? A. 5. B. 4 2. C. 5 2. D. 6 . Lời giải Chọn A. 10 1 Ta có: 62 82 102 R 5. (Tam giác vuông bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 2 cạnh huyền ). Câu 45. Cho tam giác ABC thoả mãn : b2 c2 a2 3bc . Khi đó : A. A 300. B. A 450. C. A 600. D. A 750 . Lời giải Chọn A. b2 c2 a2 3bc 3 Ta có: cos A A 300. 2bc 2bc 2 Câu 46. Tam giác ABC có a 16,8 ; Bµ 56013'; Cµ 710 . Cạnh c bằng bao nhiêu? A. 29,9. B. 14,1. C. 17,5. D. 19,9. Lời giải Chọn D. Ta có: Trong tam giác ABC : µA Bµ Cµ 1800 µA 1800 710 56013' 52047' . a b c a c a.sinC 16,8.sin 710 Mặt khác c ; 19,9. sin A sin B sinC sin A sinC sin A sin52047' Câu 47. Cho tam giác ABC , biết a 24,b 13,c 15. Tính góc A ? A. 33034'. B. 117049'. C. 28037'. D. 58024'. Lời giải Chọn B. b2 c2 a2 132 152 242 7 Ta có: cos A A ; 117049'. 2bc 2.13.15 15 Câu 48. Tam giác ABC có µA 68012' , Bµ 34044' , AB 117. Tính AC ? A. 68. B. 168. C. 118. D. 200. Lời giải Chọn A. Ta có: Trong tam giác ABC : µA Bµ Cµ 1800 Cµ 1800 68012' 34044' 7704' . a b c AC AB AB.sin B 117.sin34044' Mặt khác AC ; 68. sin A sin B sinC sin B sinC sinC sin 7704' Câu 49. Tam giác ABC có a 8,c 3, Bµ 600. Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu ? A. 49. B. 97 C. 7. D. 61. 9
10. Lời giải Chọn C. Ta có: b2 a2 c2 2accos B 82 32 2.8.3.cos600 49 b 7 . Câu 50. Cho tam giác ABC , biết a 13,b 14,c 15. Tính góc B ? A. 59049'. B. 5307'. C. 59029'. D. 62022'. Lời giải Chọn C. a2 c2 b2 132 152 142 33 Ta có: cos B B ; 59029'. 2ac 2.13.15 65 10