Chuyên đề Biến đổi biểu thức chứa căn

Nội dung text: Chuyên đề Biến đổi biểu thức chứa căn

1. 1 CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CHỨA CĂN I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Hằng đẳng thức đáng nhớ 2 1) A B A2 2AB B2 2 2) A B A2 2AB B2 3) A2 B2 A B A B 3 4) A B A3 3A2B 3AB2 B3 3 5) A B A3 3A2B 3AB2 B3 6) A3 B3 A B A2 AB B2 7) A3 B3 A B A2 AB B2 2. Khái niệmcăn bậc hai – Căn bậc hai số học: Căn bậc hai của số A 0 là hai số đối nhau: A ; A Căn bậc hai số học của số A 0 là A Căn bậc hai, căn bậc hai số học của số 0 là: 0 0 A cĩ nghĩa A 0 3. Các phép biến đổi biểu thức chứa căn A A 0 1) A2 A A A 0 2) AB A. B với A 0;B 0 A A 3) với A 0;B 0 B B 4) A2B A B với B 0 5) A B A2B với A 0;B 0 A B A2B với A 0;B 0
2. 2 A 1 6) AB với A 0;B 0 B B A A B 7) với B 0 B B C C A  B 8) với A 0; A B2 A B A B2 C C. A  B 9) với A 0;B 0; A B A B A B 4. Căn bậc ba: 1) 3 A cĩ nghĩa với mọi A 3 2) 3 A 3 A3 A 3) A B 3 A 3 B 4) 3 AB 3 A.3 B A 3 A 5) 3 với B 0 B 3 B II.Các dạng bài tập 1. Dạng 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức chứa căn a. Phương pháp giải thường dùng:Tìm điều kiện để căn cĩ nghĩa và mẫu thức khác 0 A xác định A 0 1 xác định A 0 A 3 A xác định với mọi A b. Các ví dụ:Tìm điều kiện xác định của mỗi biểu thức sau:
3. 3 1 1) x 2 2) x 2 1 3) x 2 4 x 4) 3 x 1 Hướng dẫn giải: 1) x 2 cớ nghĩa x 2 0 x 2 1 x 0 x 0 2) cĩ nghĩa x 2 x 2 0 x 4 x 2 0 x 2 3) x 2 4 x cĩ nghĩa 2 x 4 4 x 0 x 4 1 4) cĩ nghĩa 3 x 1 0 3 x 1 x 1 3 x 1 c. Bài tập vận dụng: Bài 1:Chọn đáp án đúng: Câu 1: Điều kiện xác định của biểu thức 1 x là: A. x 1. B. x 1.C. x 1. D. x 1. 1 Câu 2: Biểu thức cĩ điều kiện xác định là: x 1 A. x 0; x 1. B. x 1. C. x 0 . D. x 0. Câu 3: Điều kiện xác định của biểu thức x 1 2 x là: A.1 x 2 . B. 1 x 2 . C. x 2 . D. x 1. 3 x 1 Câu 4: Biểu thức cĩ điều kiện xác đinh là: x A. x 0. B. x 1.C. x 0 . D. x 1. Bài 2: Tìm điều kiện xác định của mỗi biểu thức sau:
4. 4 1 1 a) 3x 4 b) c) x 2 2 4x x d) x 1 1 x e) 3 x 1 Lời giải: 4 a) 3x 4 cĩ nghĩa 3x 4 0 x 3 1 b) cĩ nghĩa x 2 0 x 2 x 2 1 1 c) cĩ nghĩa 2 4x 0 (vì 1 > 0) x 2 4x 2 x 1 0 x 1 d) x 1 1 x cĩ nghĩa 1 x 1 1 x 0 x 1 x e) cĩ nghĩa 3 x 1 0 3 x 1 x 1 3 x 1 2. Dạng 2: So sánh a. Phương pháp giải thường dùng:+ Sử dụng định lý về so sánh các căn bậc hai số học, căn bậc ba + Sử dụng các phép biến đổi biểu thức chứa căn (trục căn thức, bình phương, ) b. Các ví dụ:So sánh 1)5 và 24 2)2 3 và 3 2 3)a 2012 2011 và b 2010 2009 4) x 2012 2010 và y 2 2011 Lời giải: 1)Vì 25 24 nên 25 24 hay 5 24
5. 5 2) Cĩ: 2 3 22.3 12 3 2 32.2 18 Vì 18 12 nên 3 2 2 3 2012 2011 2012 2011 2012 2011 1 3) Ta cĩ: a 2012 2011 2012 2011 2012 2011 1 Tương tự: b 2010 2009 Mà 2012 2011 2010 2009 . Do đĩ: a b. 4) Ta cĩ: x 0, y 0 và x 2 2012 2010 2 2012.2010 4022 2 20112 1 y2 4.2011 2.2011 2 20112 4022 2 20112 Vì vậy x2 y2 . Mà x 0, y 0 , do đĩ x y . c. Bài tập vận dụng: Bài 1: Chọn câu trả lời đúng: Câu 1: Cho a 4 và b 17 . So sánh a và b cĩ kết quả là: A. a b . B. a b .C. a b . D. a b 1. Câu 2: Cho a 3 5 và b 5 3 . So sánh a và b cĩ kết quả là: A. a b . B. a b . C. a b . D. a b 1. 1 Câu 3: Cho a và b 2 1. So sánh a và b cĩ kết quả là: 2 1 A. a b .B. a b . C. a b . D. a b 1. Câu 4: Cho a 2021 2019 và b 2020 2018 . So sánh a và b cĩ kết quả là: A. a b . B. a b .C. a b . D. a b . x 4 Câu 5: Cho M với x 0; x 4 . So sánh M và 2 cĩ kết quả là: x 2
6. 6 A. M 2 . B. M 2 . C. M 2 . D. M 2 . Bài 2: So sánh: a)2 và 3 b)2 và 2 1 c)2 31 và 10 d) 2005 2004 và 2004 2003 Lời giải: a)2 4 cĩ 4 3 nên 2 3 b)2 1 1 1 1 Cĩ 1 1 2 1 nên 2 2 1 c)10 2.5 2 25 Cĩ 2 31 2 25 nên 2 31 10 1 d) 2005 2004 2005 2004 1 2004 2003 2004 2003 1 1 Cĩ nên 2005 2004 2004 2003 2005 2004 2004 2003 3. Dạng 3: Tìm x trong căn bậc hai a. Phương pháp giải thường dùng:Sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học b. Các ví dụ: Ví dụ 1: Tìm x khơng âm thỏa mãn: a) x 15 b) 2x 4 Lời giải: a) x 15 x 225 (thỏa mãn) b) 2x 4 2x 16 x 8 x 64 . Kết hợp ĐKXĐ ta cĩ: 0 x 64
7. 7 x 2 Ví dụ 2: Cho A với x 0; x 9. Tìm x để A 2 x 3 x 2 A 2 2 x 3 x 2 2 x 6 x 4 x 16 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x 16 2 x 1 3 Ví dụ 3: Cho biểu thức M với x 0; x 1. Tìm x để M x 1 2 3 3 2 x 1 3 x 1 M M 0 0 0 2 2 x 1 2 2( x 1) x 1 0 vì 2( x 1) 0 với mọi x 0 x 1 x 1 3 Kết hợp ĐKXĐ ta cĩ: 0 x 1 thì M 2 Ví dụ 4: Giải phương trình: x2 4x 7 x 4 x2 7 Giải: x2 4x 7 x 4 x2 7 x2 7 4 x2 7 x 0 x2 7 16 x2 7 4 x2 7 x2 2 x 7 x x 0 Giải pt: x2 7 16 được x = 3 hoặc x = -3 Giải pt: x2 7 x2 (vơ nghiệm) Ví dụ 5: Giải phương trình: x2 x 12 x 1 36 ĐKXĐ: x 1
8. 8 x2 x 12 x 1 36 x2 2x 1 x 1 12 x 1 36 0 2 2 x 1 x 1 6 (*) Đặt t x 1 t 0 2 2 t t 6 (a) (*) cĩ dạng t4 t 6 2 t t 6 (b) (a) t2 t 6 0 vơ nghiệm 2 (b) t t 6 0 giải ra ta được t1 3 (loại) ; t2 2 (thỏa mãn) x 1 4 x 3 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x = 3 c. Bài tập vận dụng: Bài 1: Chọn đáp án đúng: Câu 1: Giá trị của x để 2x 1 3 là: A. 5. B. 4 5. C.1. D. 4 . Câu 2: 4x 8 9x 18 15 khi x bằng: A.1. B. 5. C. 7 . D.11. Câu 3: Nếu x thỏa mãn điều kiện 3 x 3 thì x nhận giá trị là: A. 0 . B. 6 . C. 9 . D.36 . Câu 4: Tổng các nghiệm của phương trình 3 x 2 2 x là: A.3. B. 6 .C. 5. D. 2 . 3 x 1 Câu 5: Cho biểu thức P với x 0 Ta cĩ P < 0 khi: x 1 1 1 1 1 A. x . B. 0 x .C. 0 x . D. x . 3 9 3 9 Bài 2:
9. 9 a) Tìm x để 2 x 1 3 x 1 x b) Cho biểu thức M với x 0; x 1. Tìm x để M x 1 6 2 c) Cho biểu thức M với x 0; x 1. Tìm x đề M 0 x 1 Kết hợp với ĐKXĐ ta được: 0 < x < 1 4. Dạng 4: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai a. Phương pháp giải thường dùng:Sử dụng một cách hợp lý, chính xác các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn để rút gọn các biểu thức chứa căn. b. Lưu ý: Với x khơng âm, biết cách phân tích các đa thức thành nhân tử
10. 10 1) x 16 ( x 4)( x 4) 2)x 2 ( x 2)( x 2) 3)x 2 x x( x 2) 4)x x 1 ( x 1)(x x 1) 5)x x 8 ( x 2)(x 2 x 4) 6)x 3 x 2 ( x 1)( x 2) b. Các ví dụ: * Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) 20 45 3 18 72 1 1 3 4 1 b) 2 200 : 2 2 2 5 8 1 1 c) A 5 3 5 3 4 2 3 d)B 6 2 Hướng dẫn giải: a) 20 45 3 18 72 22.5 32.5 3 32.2 62.2 2 5 3 5 9 2 6 2 15 2 5 1 1 3 4 1 1 2 3 4 1 b) 2 200 : . 2 102.2 : 2 2 2 5 8 2 2 2 5 8 2 3 2 4 1 .10 2 : 4 2 5 8 27 2 1 : 54 2 4 8
11. 11 1 1 5 3 5 3 c) A 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 2 3 3 5 3 2 2 3 1 4 2 3 3 1 3 1 2 d)B 6 2 2. 3 1 2. 3 1 2. 3 1 2 * Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau: A 3 2 2 6 4 2 B 3 (1 x)3 (x 1)2 C x2 2x 1 x 1 Lời giải: A 3 2 2 6 4 2 ( 2 1)2 (2 2)2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 B 3 (1 x)3 (x 1)2 1 x x 1 B 1 x x 1hoặc B 1 x x 1 B 0 hoặc B 2 2x C x2 2x 1 x 1 (x 1)2 x 1 x 1 x 1 C x 1 x 1hoặc C x 1 x 1 C 2x 2 hoặcC 0 * Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau: x 2 1 1 P với x 0 (trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2017) x 2 x x x 2 1 1 x 1 A . với x 0; x 1. (trích đề Bắc Ninh vào 10 năm x 1 x 1 2 2016)
12. 12 Lời giải: x 2 x 2 x x 4 ( x 2)( x 2) x 2 P x( x 2) x( x 2) x( x 2) x x 2 Vậy P với x > 0 x x 1 x 1 x 1 2 x x 1 x A . . ( x 1)( x 1) 2 ( x 1)( x 1) 2 x 1 x Vậy A với x 0; x 1. x 1 * Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức sau: a a a 5 a A 3 3 với a 0;a 25 (trích đề Bắc Ninh vào 10 năm a 1 a 5 2015) x x 1 x x 1 x 1 B với x > 0 x x x x x Lời giải: a a a 5 a a( a 1) a( a 5) A 3 3 3 3 a 1 a 1 a 1 a 5 3 a 3 a 9 a Vậy A 9 a với a 0;a 25 ( x 1)(x x 1) ( x 1)(x x 1) x 1 B x( x 1) x( x 1) x x x 1 x x 1 x 1 x 2 x 1 x x x x x 2 x 1 Vậy B với x > 0 x c. Bài tập vận dụng: Bài 1: Chọn đáp án đúng:
13. 13 Câu 1: Giá trị của 5 1. 5 1 bằng: A. 4 . B. 2 .C. 2 6 . D. 2. Câu 2: Biểu thức ( 7 5)2 (2 7)2 cĩ giá trị bằng: A. 7 . B. 2 7 3 . C. 2 7 3 . D.3. a3 Câu 3: Cho a 0 , rút gọn biểu thức ta được kết quả: a A. a2 . B. a .C. a . D. a . Câu 4: Biểu thức M x2 4x 4 x2 4x 4 với 2 x 2 cĩ kết quả rút gọn là: A. 2x . B. 4 .C. 2x . D. 4. Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: 1 A 3 27 2 507 3 5 3 5 3 B 5 3 5 3 2 1 x 1 C : với x 0; x 9 x 3 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 D . với x 0; x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 1 3 E 1 với a 0;a 9 (trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2008) a 3 a 3 a x x 1 x 1 F x x với x 0; x 1 (trích đề Bắc Ninh vào 10 chuyên x 1 x 1 năm 2008) Bài 3 (Trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2020): 2 2 x 5 P với x 0; x 1. Tìm x để P = 1. x 1 x 1 x 1
14. 14 5. Dạng 5: Tìm x để biểu thức cĩ giá trị nguyên a. Phương pháp giải thường dùng: + Cách 1: Đưa biểu thức về dạng chứa phân thức mà tử nguyên, tìm giá trị của ẩn để mẫu là ước của tử + Cách 2: Đánh giá khoảng giá trị của biểu thức, từ khoảng giá trị đĩ ta cĩ các giá trị nguyên mà biểu thức cĩ thể đạt được b. Các ví dụ: 3 Ví dụ 1: Cho biểu thức A với x 0 . Tìm x nguyên để biểu thức A cĩ x 2 giá trị là số nguyên. x 1 Ví dụ 2: Tìm x Z để M với x 0 cĩ giá trị là số nguyên. x 2 2 Ví dụ 3: Cho biểu thức M với x 0 . Tìm x R để M là số nguyên. x x 1 Lời giải: 3 Ví dụ 1: Để A nguyên nguyên x 2 U (3) x 2 {1; 1;3; 3} x 2 do x 0 x 2 2 x 2 3 x 1 x 1 (thỏa mãn ĐKXĐ) 3 Ví dụ 2: Cĩ M 1 x 2 3 Để M nguyên mà 1 nguyên nguyên x 2 x 2 U (3) x 2 {1; 1;3; 3} do x 0 x 2 2 x 2 3 x 1 x 1 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy x = 1 thì M cĩ giá trị là số nguyên Ví dụ 3: Vì x 0 nên x x 1 1 M 2 . Mặt khác M > 0 do đĩ 0 M 2 Để M là số nguyên thì M 1;2 M 2 x x 1 1 x x 0 x( x 1) 0 x 0 vì x 1 0 x 0 (thỏa mãn ĐKXĐ)
15. 15 2 M 1 x x 1 2 x x 1 4x 4 x 1 5 2 x 1 5 3 5 Mà 2 x 1 0 nên 2 x 1 5 2 x 5 1 x (thỏa mãn ĐKXĐ) 2 3 5  Vậy x 0;  2  c. Bài tập vận dụng: Bài 1:Chọn đáp án đúng: x Câu 1: Cho M . Giá trị x Z để M nhận giá trị nguyên là: x 1 A. 0 .B.1. C. 2 . D.3. 3 x 1 Câu 2: Số giá trị nguyên của x để biểu thức P đạt giá trị nguyên là: x 1 A.1. B. 2 .C.3. D. 4 . Bài 2: x 1 a) Cho biểu thức A với x > 0. Tìm x nguyên để A cĩ giá trị nguyên x x 1 b) Tìm các số tự nhiên x để M với x 0; x 1 cĩ giá trị là số tự nhiên x 1 3 x c) Cho biểu thức với x 0; x 9. Tìm x N để M cĩ giá trị là số tự nhiên x 3 6. Dạng 6: Một số dạng tìm GTNN, GTLN của biểu thức chứa căn a. Phương pháp giải thường dùng: + Cách 1: Dựa vào điều kiện của ẩn + Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Cơ-si b. Các ví dụ: 3 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A với x 0; x 9 x 3
16. 16 x 1 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B với x 0; x 4 x 2 x x 1 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q với x > 0 x Lời giải: 3 3 Ví dụ 1: Với x 0 x 0 x 3 3 A 1 x 3 3 Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A là 1 tại x = 0 x 2 1 1 Ví dụ 2: B 1 x 2 x 2 1 1 1 1 Vì x 0 x 2 2 1 x 2 2 x 2 2 Dấu “=” xảy ra x 0 (thỏa mãn ĐKXĐ) 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là khi x = 0 2 1 Ví dụ 3: Q x 1 . Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dương x và x 1 1 ta cĩ: x 2 Q 3. x x 1 Dấu “=” xảy ra x x 1 (thỏa mãn ĐKXĐ) x Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 3 tại x = 1 c. Bài tập vận dụng: Bài 1: Chọn đáp án đúng 3 x 1 Câu 1: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P bằng: x 1 A.1. B. 1.C.3. D. 2. Câu 2: Giá trị lớn nhất của biểu thức M x2 2x 3 là:
17. 17 A. 2 .B. 2 . C. 4 . D. 3 . Câu 3: Với x 0 , biểu thức x 2 x 3 cĩ giá trị lớn nhất là: A.3. B. 2 . C. 4 .D.1. Bài 2: 1 a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A với x 0; x 1 x 1 x 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B với x 0; x 1 x 1 x x 4 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q với x > 0 x x 1 3 x 5 Bài 3: Cho biểu thức A và B với x 0; x 1 x 2 x 1 x 1 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4 2 b) Chứng minh B x 1 c) Tìm tất cả các giá trị của x để P 2AB x đạt giá trị nhỏ nhất 4( x 1) 15 x 2 x 1 Bài 4: Cho hai biểu thức A và B : với 25 x x 25 x 5 x 5 x 0; x 25 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B đạt giá trị nguyên lớn nhất x 4 3 x 1 2 Bài 5: Cho hai biểu thức: A và B với x 0; x 1 x 1 x 2 x 3 x 3 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9 1 b) Chứng minh B x 1
18. 18 A x c) Tìm tất cả các giá trị của x để 5 B 4 III. NHỮNG LỖI HỌC SINH THƯỜNG GẶP: Trong quá trình ơn tập và giải bài thi về phần kiến thức này, học sinh hay mắc các sai lầm dẫn đến sai lệch kết quả. Sau đây là một số ví dụ minh họa và cách khắc phục các sai lầm đĩ. Ví dụ 1: Tính a 7 4 3 7 4 3 . Một học sinh giải như sau: 2 2 a 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 Sai lầm này mắc phải do quên hằng đẳng thức: A2 A . Cách giải đúng phải là: a 3 2 3 2 mà 3 2 do đĩ a 3 2 2 3 4 . Ví dụ 2: Tìm x sao cho 3x 2 4 x (1) Một học sinh giải như sau: 2 ĐKXĐ: 3x 2 0 x 3 Bình phương 2 vế của (1) ta được: 3x 2 16 8x x2 x2 11x 18 0 x2 2x 9x 18 0 x 2 x 9 0 Phương trình này cĩ hai nghiệm x = 2 và x = 9 thỏa mãn ĐKXĐ Sai lầm trong cách giải này ở chỗ: để việc bình phương 2 vế dẫn đến phương trình tương đương cần thêm điều kiện 4 x 0 x 4 để loại đi nghiệm x = 9 Cĩ hai cách khắc phục: + Cách 1: Giữ nguyên cách giải nhưng khơng dùng dấu tương đương, chi dùng dấu “ ”, sau đĩ thử lại kết quả trước khi kết luận b 0 + Cách 2: Sử dụng định nghĩa căn bậc hai số học: a b 2 a b
19. 19 4 x 0 x 4 Khi đĩ phương trình: 3x 2 4 x 2 2 3x 2 4 x x 11x 18 0 (*) Giải pt (*) ta được: x1 = 2 (thỏa mãn ĐKXĐ); x2 = 9 (loại) Phương trình cĩ nghiệm duy nhất x = 2. x 1 Ví dụ 3: Biểu thức M cĩ kết quả rút gọn M với điều kiện x 0; x 1 x 1 1 Tìm x để M 2 Một học sinh giải như sau: 1 x 1 1 M 2 x 2 x 1 x 3 2 x 1 2 Mà x 0 với x 0 nên khơng cĩ giá trị nào của x thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Sai lầm mắc phải do học sinh khơng nhớ tính chất của bất đẳng thức: a > b và c b và c > 0 thì ac > bc. Để khắc phục, khơng nên tích chéo mà nên chuyển vế, rút gọn và xét dấu. Cụ thể cách giải bài tập trên như sau: 1 x 1 1 2 x 2 x 1 x 3 M 0 0 0 (1) 2 x 1 2 2 x 1 2 x 1 Do x 0 với x 0 nên x 3 0 , nên (1) 2 x 1 0 x 1 0 x 1 x 1 Học sinh thường quên kết hợp với điều kiện của đề bài vì thế kết luận x < 1 là 1 chưa chính xác. Vậy kết luận đúng là M 0 x 1 2 2 1 x 2 Ví dụ 4: Cho biểu thức Q : x x 1 x 1 Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức Q Một học sinh giải như sau:
20. 20 x 0 x 0 x 0 ĐKXĐ của Q là: x 0 x 0 x 1 x 1 x 1 0 2 x 2 x x 1 x 2 x 1 1 Q . . x( x 1) x 2 x( x 1) x 2 x Sai lầm ở đây là học sinh thường quên điều kiện để biểu thức chia khác 0. Vì vậy điều kiện xác định đúng là: x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 1 x 1 0 x 1 x 4 x 4 x 2 0 IV. BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Chọn đáp án đúng: 2 Câu 1 (NB): Căn bậc hai số học của 3 là: A. 3. B.3. C. 81. D.81. Câu 2 (NB): Căn bậc hai của 9 là: A. 3. B.3. C. 3. D.81. Câu 3 (NB): Căn bậc ba của 27 là: A. 9 . B.3. C. 3. D.81. Câu 4 (NB): Số 9 là căn bậc hai số học của: A. 3. B.3. C. 3. D.81. Câu 5 (NB): Điều kiện xác định của biểu thức 1 x là: A. x 1. B. x 1. C. x 1. D. x 1. Câu 6 (NB): Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?: 1 A. x cĩ nghĩa khi x 0. B. 1 2x cĩ nghĩa khi x . 2 1 2 C. cĩ nghĩa khi x 1. D. x 2 cĩ nghĩa khi x R . x 1
21. 21 1 Câu 7 (NB): Biểu thức P xác định khi: x 1 A. x 1. B. x 0 . C. x 0 và x 1. D. x 1. Câu 8 (NB): Điều kiện xác định của biểu thức x 3 x là: A. x 0 . B. 0 x 3 . C. 0 x 3 . D. 0 x 9 . Câu 9 (NB): Điều kiện xác định của biểu thức x 2 3 4 x là: A. 2 x 4 . B. x 2 . C. x 4 . D. x 2 . 1 Câu 10 (NB): Điều kiện xác định của biểu thức là: x 2 x A. 0 x 2 .B. 0 x 2 . C. 0 x 2; x 1. D. 0 x 2; x 1. 1 Câu 11 (NB): Điều kiện xác định của biểu thức 1 x là: x A. x 0. B. 0 x 1. C. 0 x 1.D. x 1. x 1 Câu 12 (NB): Điều kiện xác định của biểu thức là: x 2 A. x 0. B. x 0; x 2. C. x 0; x 4 . D. x 0; x 4 . Câu 13 (NB): Khẳng định nào sau đây đúng? A. 17 4 . B. 17 4 . C. 17 4 . D. 17 4 . 3 Câu 14 (NB): Khi x 7 , biểu thức cĩ giá trị bằng: x 2 1 A. 1. B. 3 . C. . D.1. 3 Câu 15(trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2006) (NB): Biểu thức (1 3)2 cĩ giá trị là: A.1 3 . B. 3 1. C.1 3 . D. 2. 6 Câu 16(trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2007) (TH): Rút gọn ta được: 2
22. 22 A. 3. B. 2 3 . C. 3 . D. 3 2 . Câu 17(trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2007) (TH): Kết quả rút gọn biểu thức 5 5 là: 1 5 A. 5. B. 5 . C.1 5 . D. 5 . 45 20 Câu 18 (TH): Cho biểu thức A . Giá trị của 3A là: 180 80 15 5 5 5 A. . B. . C. . D. . 2 2 3 12 1 Câu 19 (trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2009) (TH): Khi x 0 thì x bằng: x2 1 A. . B. x . C.1. D. 1. x Câu 20 (TH): x 3 khi: A. x 3 . B. 0 x 9 . C. 0 x 3 . D. x 9 . 3 x3 3x2 3x 1 Câu 21 (TH): Kết quả rút gọn biểu thức M với x 1 là: 1 x A.1. B. 1. C. 1. D. x 1. x2 4x 4 Câu 22 (TH): Kết quả rút gọn biểu thức P là: x 2 A.1. B. x 2 . C. 1. D. 2 x . Câu 23 (TH): Khi x 3 thì biểu thức M 3 x2 1 cĩ giá trị là: A.8. B. 2 . C. 2. D. 8 . Câu 24 (TH): Khi x 2 2 thì biểu thức x2 2 2x 2 cĩ giá trị là: A. 2 . B. 2 . C. 2 1. D. 2 1. (x 1)4 Câu 25 (TH): Kết quả rút gọn M với x 1là: x 1 A. x 1. B.1 x . C. x 1 và1 x . D.1.
23. 23 Câu 26 (VD): Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 4x 3 A. bằng 0 . B. khơng tồn tại. C. bằng 1. D. bằng 1. Câu 27 (VD): Biểu thức M x 2 x 3 1 với x 3 cĩ giá trị nhỏ nhất là: A.1. B. 2 . C.3. D. 4 . x 4 Câu 28 (VD): Cho M . Số giá trị nguyên của x để biểu thức M cĩ giá trị x 1 nguyên là: A.1. B. 2 . C.3. D. 4 . x x 4 Câu 29 (VD): Với x > 0, biểu thức cĩ giá trị nhỏ nhất là: x A.1. B. 2 . C.3. D. 4 . 1 1 1 1 Câu 30 (VD): Rút gọn biểu thức P 1 2 2 3 3 4 24 25 được kết quả là: A. 6 . B. 4 . C. 26 . D. 24 . Câu 31 (VDC): Cĩ bao nhiêu cặp số nguyên a,b để biểu thức 93 62 3 viết 2 được dưới dạng a b 3 với a,b Z A.1. B. 2 . C. 0 . D. 4 . Câu 32 (VDC): So sánh a 2 2 2 và 2 . Kết quả là: A. a 2 . B. a 2 . C. a 2 . D. a 2 . Câu 33 (VDC): Số giá trị nguyên của x để biểu thức M 4x2 3 cĩ giá trị nguyên là: A.1. B. 2 . C. 0 . D. vơ số. Bài 2: Tìm giá trị của x để các biểu thức cĩ nghĩa: 4 a) 3x 2 b) (trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2012) 2x 1
24. 24 1 c) 3 x 1 Bài 3: So sánh hai số: a) 3 5 và 4 3 (trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2011) b) 2 5 và 3 2 Bài 4: Rút gọn các biểu thức: 2 3 2 3 A (trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2012) 2 3 3 5 3 5 B (trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2012) 3 5 3 5 C 4 20 45 3 125 2 405 D 9 4 2 9 4 2 x 1 x 1 3 x 1 Bài 5: Cho biểu thức A với x 0; x 1 x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A khi x = 25 1 c) Tìm x để A 2 d) Tìm x để A x 1 2 2 x 5 Bài 6: Rút gọn biểu thức P với x 0; x 1. x 1 x 1 x 1 Tìm x để P 1. x 2 x 3x 9 Bài 7: Cho biểu thức A với x 0; x 9 x 3 x 3 x 9 a) Rút gọn biểu thức A 1 b) Tìm giá trị của x để A 3
25. 25 c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A 1 1 x 1 x 2 Bài 8: Cho biểu thức P : với x 0; x 1; x 4 x 1 x x 2 x 1 a) Rút gọn biểu thức P 1 b) Tìm x để P 4 1 c) Tìm x để P 6 Bài 9 (Trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2019): 2 2 x 1 x 1 3 x 1 Cho biểu thức A với x 0; x 1. x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn biểu thức A . b) Tìm x là số chính phương để 2019A là số nguyên Bài 10 (trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2014): 1 1 1 Cho biểu thức M 1 với a 0;a 1 1 a 1 a a a) Rút gọn M b) Tính giá trị của M khi a 3 2 2 c) Tìm số tự nhiên a để 18M là số chính phương Bài 11 (trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2010): 1 a a Cho biểu thức P : a a 1 a a a) Rút gọn biểu thức P . 13 b) Tìm a để P . 3 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài 12 (trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2007):
26. 26 x 1 x 1 2x 2 x 2 x 2 Cho biểu thức M : với x 0; x 1; x 4 x 2 2 x x 4 3 x 6 a) Rút gọn biểu thức M b) Tính M khi x 4 2 3 1 c) Tìm x để M 2 Bài 13 (trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2007): x 1 x 2 5 Cho biểu thức M . 1 với x 0; x 4 x 2 x 3 2 x 1 a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm x nguyên để M nguyên 1 c) Tìm x để M x 4 Bài 14 (trích đề Bắc Ninh vào 10 năm 2006): 3 a a 4(a 2) 2 a 5 Cho biểu thức P : 1 với a 0;a 16 a 4 a 4 16 a a 4 a) Rút gọn P b) Tìm a để P = -3 c) Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyêntố Bài 15 (trích đề Bắc Ninh vào 10 chuyên năm 2006) 3a 3 a 3 a 2 1 Xét biểu thức P 1 a a 2 a 1 a 2 a) Rút gọn P b) Tìm a để |P| = 1 c) Tìm các giá trị của a N để P N 2x 3 x 1 1 x x 1 Bài 16: Cho biểu thức M . x x 1 x x 1 x 1 x a) Rút gọn biểu thức M
27. 27 b) So sánh M và 1 c) Tìm để M cĩ giá trị là số nguyên x 3 x 2 1 1 Bài 17: Cho biểu thức M với x 1 x 1 3 x2 3 x 1 3 x 1 a) Rút gọn biểu thức M 1 b) Tìm x để M 3 1 1 2x x 1 2x x x x Bài 18: Cho biểu thức A : với 1 x x 1 x 1 x x 1 x 0; x ; x 1. 4 a) Rút gọn biểu thức A. b) So sánh A với A . 1 3 2 Bài 19: Cho biểu thức P x 1 x x 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh P 0 . x 5 x 25 x x 3 x 5 Bài 20: Cho biểu thức A 1 : x 25 x 2 x 15 x 5 x 3 a) Rút gọn A A(x 16) b) Với x 0; x 25; x 9 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 5 x 2 x 1 Bài 21: Cho biểu thức A x 1 x x 1 a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A b) Với giá trị nào của x thì |A| > A x 2 x 1 7 x 9 Bài 22: Cho biểu thức A và B với x 0; x 9 x x 3 x 9 a) Rút gọn B A b) Cho biểu thức P , tìm giá trị của m để x thỏa mãn P m 2 B
28. 28 3 2 1 Bài 23: Cho E 3 2 1 3 . Chứng minh E là số nguyên. 3 Bài 24: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 1 x 1 x 2 x Bài 25: Với các số thực x, y thỏa mãn x x 6 y 6 y , tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P = x + y Bài 26: Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q 2a bc 2b ac 2c ab