›
›
›

Bài tập trắc nghiệm Giải tích Lớp 12 - Chương 7 - Chủ đề 1: Khối đa diện và thể tích khối đa diện (Có đáp án)

doc 35 trang nhungbui22 12/08/2022 3180
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập trắc nghiệm Giải tích Lớp 12 - Chương 7 - Chủ đề 1: Khối đa diện và thể tích khối đa diện (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_trac_nghiem_giai_tich_lop_12_chuong_7_chu_de_1_khoi.doc

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Giải tích Lớp 12 - Chương 7 - Chủ đề 1: Khối đa diện và thể tích khối đa diện (Có đáp án)

  1. CHỦ ĐỀ 1. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN a. HÌNH HỌC PHẲNG 1. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao, AM là đường trung tuyến. Ta có: A B 2 2 2 ❖ BC = AB + AC ❖ AH.BC = AB.AC ❖ AB 2 = BH.BC, AC 2 = CH.CB 1 1 1 ❖ = + , AH 2 = HB.HC AH 2 AB 2 AC 2 B C H M ❖ 2AM = BC 2. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông: ChọnChọn gócgóc nhọnnhọn là ccaaïnïnhh ññooáiái ññii ❖❖ ssiinn ;; Cạnh huyền ccaaïnïnhh hhuuyyeeànàn hhooïcïc ccaaïnïnhh kkeeàà kkhhooânângg Cạnh ❖❖ ccooss ;; caïnh huyeàn hö đối caïnh huyeàn hö ccaaïnïnhh ññooáiái ññooaaønøn ❖❖ ttaann ;; ccaaïnïnhh kkeeàà kkeeátát Cạnh kề ccaaïnïnhh kkeeàà kkeeátát ❖❖ ccoott ;; ccaaïnïnhh ññooáiái ññooaaønøn 3. Các hệ thức lượng trong tam giác thường: a. Định lý cosin: A b2 + c2 - a2 * a2 = b2 + c2 - 2bc cosA Þ cosA = 2bc 2 2 2 b 2 2 2 a + c - b c * b = a + c - 2ac cosB Þ cosB = 2ac a2 + b2 - c2 a * c2 = a2 + b2 - 2abcosC Þ cosC = B C 2ab b. Định lý sin:
  2. A a b c = = = 2R c b sin A sin B sinC R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC) B a C c. Công thức tính diện tích tam giác: A 1 1 1 ❖ S = a.h = b.h = c.h DABC 2 a 2 b 2 c 1 1 1 c b ❖ S = absinC = bc sin A = ac sin B DABC 2 2 2 abc ❖ S = , S = p.r DABC 4R DABC B a C ❖ p p p a p b p c p - nửa chu vi r - bán kính đường tròn nội tiếp d. Công thức tính độ dài đường trung tuyến: A AB 2 + AC 2 BC 2 * AM 2 = - 2 4 K N BA2 + BC 2 AC 2 * BN 2 = - 2 4 B C M CA2 + CB 2 AB 2 * CK 2 = - 2 4 4. Định lý Thales: A AM AN MN * MN / / BC Þ = = = k AB AC BC M N 2 S æAM ö * DAMN = ç ÷ = k2 ç ÷ SDABC èAB ø B C (Tỉ diện tích bằng tỉ bình phương đồng dạng)
  3. 5. Diện tích đa giác: B a. Diện tích tam giác vuông: 1 Þ S = AB.AC DABC 2 ❖ Diện tích tam giác vuông bằng ½ tích 2 cạnh C góc vuông. A b. Diện tích tam giác đều: B ïì 2 2 ï a 3 (cạnh) . 3 ï SDABC = ❖ Diện tích tam giác đều: SD = ï 4 đều 4 a Þ í h ï a 3 (cạnh) . 3 ï h = ❖ Chiều cao tam giác đều: h = A C îï 2 D đều 2 c. Diện tích hình vuông và hình chữ nhật: A B ïì S = a2 ❖ Diện tích hình vuông bằng cạnh bình phương. ï HV a Þ íï O ï AC = BD = a 2 ❖ Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân 2 . îï ❖ Diện tích hình chữ nhật bằng dài nhân rộng. D C A D d. Diện tích hình thang: 1 (AD + BC ).AH ❖S Hình Thang = .(đáy lớn + đáy bé) x chiều cao Þ S = 2 2 B H C e. Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông B góc: 1 A C Þ S = AC.BD ❖ Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc H .Thoi 2 nhau bằng ½ tích hai đường chéo. ❖ Hình thoi có hai đường chéo vuông góc nhau D tại trung điểm của mỗi đường. b. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC 1. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng : ü d Ë (a) ï ï  d Pd¢ ý Þ d P(a) (Định lý 1, trang 61, SKG HH11) ï d¢Ì (a)ï þï ü (b)P(a)ï  ýï Þ d P(a) (Hệ quả 1, trang 66, SKG HH11) d Ì (b) ï þï
  4. ü d ^ d 'ï ï  (a) ^ d 'ý Þ d P(a) (Tính chất 3b, trang 101, SKG HH11) ï d Ë (a) ï þï 2. Chứng minh hai mặt phẳng song song: ü (a) É a,a P(b)ï ï  (a) É b,b P(b) ý Þ (a) P(b) (Định lý 1, trang 64, SKG HH11) ï a Çb = O ï þï ü (a) P (Q)ï  ý Þ (a) P(b) (Hệ quả 2, trang 66, SKG HH11) (b) P(Q) ï þï ü (a) ¹ (b)ï ï  (a) ^ d ý Þ (a) P(b) . (Tính chất 2b, trang 101, SKG HH11) ï (b) ^ d ï þï 3. Chứng minh hai đường thẳng song song: Áp dụng một trong các định lí sau  Hai mặt phẳng (a),(b) có điểm chung S và lần lượt chứa 2 đường thẳng song song a,b thì giao tuyến của chúng đi qua điểm S cùng song song với a,B. ü S Î (a) Ç(b) ï ï (a) É a, b É bý Þ (a) Ç b = Sx ( Pa Pb) . (Hệ quả trang 57, SKG HH11) ( ) ï ( ) a Pb ï þï  Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (a) . Nếu mặt phẳng (b) chứa a và cắt (a) theo giao tuyến b thì b song song với a. ü a P(a),a Ì (b)ï ýï Þ b Pa . (Định lý 2, trang 61, SKG HH11) (a) Ç b = b ï ( ) þï  Hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó. ü (a) P(b) ï ý Þ (P) Ç(b) =d¢,d¢Pd . (Định lý 3, trang 67, SKG HH11) (P) Ç(a) = dï þï  Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. ü d ¹ d¢ ï ï d ^ (a) ý Þ d ^ d¢ (Tính chất 1b, trang 101, SKG HH11) ï d¢^ (a)ï þï Sử dụng phương pháp hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Talét đảo, 4. Chứng minh đường thẳngvuông góc với mặt phẳng:  Định lý (Trang 99 SGK HH11). Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. ü d ^ a Ì (a)ï ï d ^ b Ì (a) ý Þ d ^ a . ï ( ) a Çb = {O}ï þï  Tính chất 1a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông
  5. góc với đường thẳng này thì vuông góc với đường thẳng kia. ü d Pd¢ ï ý Þ d ^ a . d¢^ (a)ï ( ) þï  Tính chất 2a (Trang 101 SGK HH11). Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. ü (a)P(b)ï ýï Þ d ^ (a) . d ^ b ï ( ) þï  Định lý 2 (Trang 109 SGK HH11). Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó. ü (a) ^ (P) ï ï b ^ P ýï Þ d ^ P . ( ) ( ) ï ( ) a Ç b = dï ( ) ( ) þï  Định lý 1 (Trang 108 SGK HH11). Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì bất cứ đường thẳng nào nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến đều vuông góc với mặt phẳng kiA. ü (a) ^ (P) ï ï a = a Ç P ýï Þ d ^ P ( ) ( ) ï ( ) d Ì a ,d ^ aï ( ) þï 5. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: ¶ 0  Cách 1: Dùng định nghĩa: a ^ b Û (a,b) = 90 . r r r r r r r r Hay a ^ b Û a ^ b Û a.b = 0 Û a . b .cos(a,b) = 0  Cách 2: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì phải vuông góc với đường kia. ü b//c ï ý Þ a ^ b. a ^ cï þï  Cách 3: Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. ü a ^ (a)ï ýï Þ a ^ b. b Ì a ï ( )þï  Cách 4: (Sử dụng Định lý Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) và a là đường thẳng không thuộc (P) đồng thời không vuông góc với (P). Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên (P). Khi đó b vuông góc với a khi và chỉ khi b vuông góc với a’. a ' = hch (P)ïü a ï ýï Þ b ^ a Û b ^ a '. b Ì P ï ( ) þï  Cách khác: Sử dụng hình học phẳng (nếu được). 6. Chứng minh mp(a) ^ mp(b): ·  Cách 1: Theo định nghĩa: (a) ^ (b) Û ((a),(b)) = 900. Chứng tỏ góc giữa hai mặt phẳng bằng 90° .  Cách 2: Theo định lý 1 (Trang 108 SGK HH11): c. HÌNH CHÓP ĐỀU
  6. 1. Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy. Nhận xét: S  Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.  Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau. 2. Hai hình chóp đều thường gặp: A C a. Hình chóp tam giác đều: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC . Khi đó: O Đáy ABC là tam giác đều. B  Các mặt bên là các tam giác cân tại S .  Chiều cao: SO . · · ·  Góc giữa cạnh bên và mặt đáy: SAO = SBO = SCO . ·  Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO . 2 1 AB 3  Tính chất: AO = AH, OH = AH, AH = . 3 3 2 S Lưu ý: Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều. ✓Tứ diện đều có các mặt là các tam giác đều. ✓Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy. I b. Hình chóp tứ giác đều: Cho hình chóp tam giác đềuS.ABCD . A D Đáy ABCD là hình vuông. O  Các mặt bên là các tam giác cân tại S . B C  Chiều cao: SO . · · · ·  Góc giữa cạnh bên và mặt đáy:SAO = SBO = SCO = SDO . ·  Góc giữa mặt bên và mặt đáy: SHO . d. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN S 1 1. Thể tích khối chóp: V = B.h 3 D B : Diện tích mặt đáy. h : Chiều cao của khối chóp. A O B C
  7. A C A C 2. Thể tích khối lăng trụ: V = B.h B B B : Diện tích mặt đáy. h : Chiều cao của khối chóp. A’ C’ A’ C’ Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là B’ B’ cạnh bên. c a 3. Thể tích hình hộp chữ nhật: V = a.b.c a a Þ Thể tích khối lập phương: V = a3 b a V SA¢ SB¢ SC ¢ S 4. Tỉ số thể tích: S.A¢B ¢C ¢ = . . VS.ABC SA SB SC A’ B’ 5. Hình chóp cụt ABC.A B C C’ h V = B + B¢+ BB¢ A B 3( ) Với B,B¢,h là diện tích hai đáy và chiều cao. C
  8. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích S.ABC tăng lên bao nhiêu lần? 1 A. 4 .B. 2 . C. 3 .D. . 2 Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều? A. 4 .B. 5 .C. 3 .D. 2 . Câu 3. Cho khối đa diện đều p;q , chỉ số p là A. Số các cạnh của mỗi mặt. B. Số mặt của đa diện. C. Số cạnh của đa diện.D. Số đỉnh của đa diện. Câu 4. Cho khối đa diện đều p;q , chỉ số q là A. Số đỉnh của đa diện.B. Số mặt của đa diện. C. Số cạnh của đa diện.D. Số các mặt ở mỗi đỉnh. Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a . a3 2 a3 2 a3 A.  B.  C. a3 .D.  12 4 6 Câu 6. Cho S.ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết AB a , SA a . a3 2 a3 2 a3 A. a3 B. C. . D. 2 6 3 Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết AB a , SA a . a3 3 a3 3 a3 A. .B. . C. a3 .D. 12 4 3 Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính thể tích S.ABCD biết AB a , AD 2a , SA 3a . a3 A. a3 .B. 6a3 .B. 2a3 .D.  3 Câu 9. Thể tích khối tam diện vuông O.ABC vuông tại O có OA a, OB OC 2a là 2a3 a3 a3 A.  B.  C.  D. 2a3 . 3 2 6 Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giác ABC vuông tại A, SA 2cm , AB 4cm, AC 3cm . Tính thể tích khối chóp. 12 24 24 A. cm3 .B. cm3 . C. cm3 .D. 24cm3 . 3 5 3 Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật, SA vuông góc đáy, AB a, AD 2a . Góc giữa SB và đáy bằng 450 . Thể tích khối chóp là a3 2 2a3 a3 a3 2 A.  B.  C.  D.  3 3 3 6 Câu 12. Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA a 3, AC a 2 . Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là a3 2 a3 2 a3 3 a3 3 A.  B.  C.  D.  2 3 2 3
  9. Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết SAB là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC . Tính thể tích khối chóp S.ABC biết AB a , AC a 3 . a3 6 a3 6 a3 2 a3 A.  B.  C.  D.  12 4 6 4 Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết BD a , AC a 3 . a3 3 a3 3 a3 A. a3 .B.  C.  D.  4 12 3 Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC . Tính thể tích khối chóp S.ABC biết AB a , AC a 3 , SB a 2 . a3 6 a3 3 a3 3 a3 6 A.  B.  C.  D.  6 2 6 2 Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng 3a ABCD là trung điểm H của AD . Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết SB . 2 a3 a3 3a3 A.  B. a3 .C.  D.  3 2 2 a 13 Câu 17. Hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SD . Hình chiếu của S lên ABCD là 2 trung điểm H của AB . Thể tích khối chóp là a3 2 a3 2 a3 A.  B.  C. a3 12 . D.  3 3 3 Câu 18. Hình chóp S.ABCD đáy hình thoi, AB 2a , góc B·AD bằng 1200 . Hình chiếu vuông góc của a S lên ABCD là I giao điểm của 2 đường chéo, biết SI . Khi đó thể tích khối chóp 2 S.ABCD là a3 2 a3 3 a3 2 a3 3 A.  B.  C.  D.  9 9 3 3 V Câu 19. Cho hình chóp S.ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB . Tính tỉ số S.ABC . VS.MNC 1 1 A. 4 .B.  C. 2 .D.  2 4 Câu 20. Cho khối chop O.ABC . Trên ba cạnh OA,OB,OC lần lượt lấy ba điểm A’, B ,C sao cho V 2OA OA, 4OB OB, 3OC OC . Tính tỉ số O.A'B'C ' VO.ABC 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 12 24 16 32
  10. Câu 21. Cho hình chóp S.ABC. Gọi là mặt phẳng qua A và song song với BC . cắt SB , SC SM lần lượt tại M , N . Tính tỉ số biết chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. SB 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 2 2 4 2 2 Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là: a3 3 a3 3 a3 2 a3 2 A.  B.  C.  D.  4 3 3 2 Câu 23. Cho lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D ' có ABCD là hình chữ nhật, A' A A' B A' D . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D ' biết AB a , AD a 3 , AA' 2a . A. 3a3 .B. a3 .C. a3 3 . D. 3a3 3 . Câu 24. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của A' lên ABC là trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' biết AB a , AC a 3 , AA' 2a . a3 3a3 A.  B.  C. a3 3 . D. 3a3 3 . 2 2 Câu 25. Cho lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D ' có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của A' lên ABCD là trọng tâm của tam giác ABD . Tính thể tích khối lăng trụ ABCA' B 'C ' biết AB a , A·BC 1200 , AA' a . a3 2 a3 2 a3 2 A. a3 2 .B.  C.  D.  6 3 2 V Câu 26. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C '. Tính tỉ số ABB'C ' . VABCA'B'C ' 1 1 1 2 A.  B.  C.  D. . 2 6 3 3 Câu 27. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a . Thể tích khối tứ diện A’BB’C’ là a3 3 a3 3 a3 3 a3 A.  B.  C.  D.  12 4 6 12 Câu 28. Lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 300. Hình chiếu A lên ABC là trung điểm I của BC . Thể tích khối lăng trụ là a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A.  B.  C.  D.  6 2 12 8 Câu 29. Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC 2a, AB a . Mặt bên BB’C’C là hình vuông. Khi đó thể tích lăng trụ là a3 3 A. .B. a3 2 .C. 2a3 3 . D. a3 3 . 3 Câu 30. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C '. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CC ' và BB '. Tính tỉ số V ABCMN . VABC.A'B'C ' 1 1 1 2 A. .B. .C. .D. . 3 6 2 3
  11. Câu 31. Cho khối lăng trụ ABC.A B C . Tỉ số thể tích giữa khối chóp A .ABC và khối lăng trụ đó là 1 1 1 1 A. .B. .C. . D. . 4 2 3 6 Câu 32. Cho khối lập phương ABCD.A B C D . Tỉ số thể tích giữa khối A .ABD và khối lập phương là: 1 1 1 1 A. .B. .C. . D. . 4 8 6 3 Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng h , góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo h và . 3h3 4h3 8h3 3h3 A. .B. .C. .D. . 4 tan2 3tan2 3tan2 8tan2 Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh SB vuông góc với đáy và mặt phẳng SAD tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 3a3 3 3a3 3 8a3 3 4a3 3 A. V .B. V .C. V .D. V . 4 8 3 3 Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC a , mặt 2 phẳng A' BC tạo với đáy một góc 30 và tam giác A' BC có diện tích bằng a 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. a3 3 3a3 3 3a3 3 3a3 3 A. .B. . C. .D. . 8 4 8 2 Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A' trên ABC là trung điểm của AB . Mặt phẳng AA'C 'C tạo với đáy một góc bằng 45. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. 3a3 3a3 3a3 3a3 A. V .B. V .C. V .D. V . 16 8 4 2 Câu 37. Cho hình chóp đều S.ABC , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy ABC bằng 600 , khoảng 3a cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng . Thể tích của khối chóp S.ABC theo a bằng 2 7 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. .B. . C. .D. . 12 18 16 24 Câu 38. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AC 2 3a , BD 2a , hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết khoảng cách từ a 3 điểm O đến mặt phẳng SAB bằng . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a . 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. .B. . C. .D. . 16 18 3 12 Câu 39. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , O là giao điểm của AC và BD . Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khoảng từ O đến mặt bên là a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . A. 2a3 3 .B. 4a3 3 .C. 6a3 3 . D. 8a3 3 . Câu 40. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA  ABCD . ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB 2a . AD 3BC 3a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a biết góc giữa SCD và ABCD bằng 600 .
  12. A. 2 6a3 .B. 6 6a3 . C. 2 3a3 .D. 6 3a3 . Câu 41. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA  ABCD , ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB 2a . AD 3BC 3a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a , biết khoảng cách từ 3 6 A đến mặt phẳng (SCD) bằng a . 4 A. 6 6a3 .B. 2 6a3 . C. 2 3a3 .D. 6 3a3 . Câu 42. Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' có BB ' a , góc giữa đường thẳng BB ' và ABC bằng · 60 , tam giác ABC vuông tại C và góc BAC 60 . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên ABC trùng với trọng tâm của ABC . Thể tích của khối tứ diện A'.ABC theo a bằng 13a3 7a3 15a3 9a3 A. .B. .C. .D. . 108 106 108 208 Câu 43. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ', biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ a tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng A' BC bằng .Tính thể tích khối lăng trụ 6 ABC.A' B 'C ' . 3a3 2 3a3 2 3a3 2 3a3 2 A. .B. . C. .D. . 8 28 4 16 Câu 44. Cho hình chóp tam giác S.ABC có M là trung điểm của SB , N là điểm trên cạnh SC sao cho NS 2NC . Kí hiệu V1,V2 lần lượt là thể tích của các khối chóp A.BMNC và S.AMN . Tính tỉ V số 1 . V2 V 2 V 1 V V A. 1 B. 1 C. 1 2. D. 1 3 V 3 V 2 V V 2 2 2 2 Câu 45. ho NS 2NC , P là điểm trên cạnh SA sao cho PA 2PS . Kí hiệu V1,V2 lần lượt là thể tích V của các khối tứ diện BMNP và SABC . Tính tỉ số 1 . V2 V 1 V 3 V 2 V 1 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . V2 9 V2 4 V2 3 V2 3 Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45, M , N và P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB và AB . Tính thể tích V của khối tứ diện DMNP . a3 a3 a3 a3 A. V B. V C. V D. V 6 4 12 2 Câu 47. Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC 2a ; cạnh bên AA 2a . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AC . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A B C . 1 a3 2a3 A. V a3 . B. V . C. V a3 . D. V . 2 3 3 Câu 48. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi G1,G2 ,G3 và G4 lần lượt là trọng tâm các mặt ABC, ABD, ACD và BCD . Biết AB 6a, AC 9a , AD 12a . Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 . A. 4a3 B. a3 C. 108a3 D. 36a3
  13. Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB CD 11m , BC AD 20m , BD AC 21m . Tính thể tích khối tứ diện ABCD . A. 360m3 B. 720m3 C. 770m3 D. 340m3 Câu 50. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là vuông; mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng 3 7a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 7 1 2 3a3 A. V a3 . B. V a3 . C. V a3 . D. V . 3 3 2 Câu 51. Cho tứ diện S.ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA 2SM , SN 2NB , ( ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu (H1) và (H2 ) là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S.ABC bởi mặt phẳng ( ) , trong đó, (H1) chứa V1 điểm S , (H2 ) chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tích của (H1) và (H2 ) . Tính tỉ số . V2 4 5 3 4 A. B. C. D. 5 4 4 3 Câu 52. Cho hình chóp S.ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC ; các mặt phẳng (SAB) , (SAC) và (SBC) cùng tạo với mặt phẳng (ABC) các góc bằng nhau. Biết AB 25, BC 17 , AC 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . A.V 408 .B. V 680 .C. V 578. D.V 600 . B. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 7.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B A D A C A C A A B D A C C A A D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 B D D C A A C A A D A B II –HƯỚNG DẪN GIẢI NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích S.ABC tăng lên bao nhiêu lần? 1 A. 4 .B. 2 . C. 3 .D. . 2 Hướng dẫn giải: Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần. Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần. Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều? A. 4 .B. 5 .C. 3 .D. 2 . Hướng dẫn giải:
  14. Có 5 khối đa diện đều là: tứ diện đều, hình lập phương, khối 8 mặt đều, khối 12 mặt đều, khối 20 mặt đều. Câu 3. Cho khối đa diện đều p;q , chỉ số p là A. Số các cạnh của mỗi mặt. B. Số mặt của đa diện. C. Số cạnh của đa diện.D. Số đỉnh của đa diện. Câu 4. Cho khối đa diện đều p;q , chỉ số q là A. Số đỉnh của đa diện.B. Số mặt của đa diện. C. Số cạnh của đa diện.D. Số các mặt ở mỗi đỉnh. Câu 5. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a . a3 2 a3 2 a3 A.  B.  C. a3 .D.  12 4 6 Hướng dẫn giải: Gọi tứ diện ABCD đều cạnh a . S Gọi H là hình chiếu của A lên BCD . a 3 Ta có: BH 3 a 6 AH AB2 BH 2 A C 3 a2 3 a3 2 O S V . BCD 4 ABCD 12 B Câu 6. Cho S.ABCD là hình chóp đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết AB a , SA a . a3 2 a3 2 a3 A. a3 B. C. . D. 2 6 3 Hướng dẫn giải: Gọi H là hình chiếu của S lên ABCD S a 2 Ta có: AH 2 a 2 SH SA2 AH 2 A D 2 a3 2 H S a2 V ABCD S.ABCD 6 B C Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC , đáy ABC là tam giác đều. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết AB a , SA a . a3 3 a3 3 a3 A. .B. . C. a3 .D. 12 4 3 Hướng dẫn giải:
  15. a2 3 S S ABC 4 a3 3 V . S.ABC 12 A C B Câu 8. Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính thể tích S.ABCD biết AB a , AD 2a , SA 3a . a3 A. a3 .B. 6a3 .B. 2a3 .D.  3 Hướng dẫn giải: S 2 3 S ABCD 2a.a 2a VS.ABC 2a D A B C Câu 9. Thể tích khối tam diện vuông O.ABC vuông tại O có OA a, OB OC 2a là 2a3 a3 a3 A.  B.  C.  D. 2a3 . 3 2 6 Hướng dẫn giải: A 1 S OB.OC 2a2 OBC 2 h OA a 3 C 1 2a O V OA S O.ABC 3 OBC 3 B Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt đáy, tam giác ABC vuông tại A, SA 2cm , AB 4cm, AC 3cm . Tính thể tích khối chóp. 12 24 24 A. cm3 .B. cm3 . C. cm3 .D. 24cm3 . 3 5 3 Hướng dẫn giải: S 1 S AB.AC 6cm2 ABC 2 h SA 2cm A C 1 12 V SA S cm3 S.ABC 3 ABC 3 B
  16. Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật, SA vuông góc đáy, AB a, AD 2a . Góc giữa SB và đáy bằng 450 . Thể tích khối chóp là a3 2 2a3 a3 a3 2 A.  B.  C.  D.  3 3 3 6 Hướng dẫn giải: S 0 SA AB.tan 45 a 2 SABCD a.2a 2a 1 2a3 D VS.ABCD SA.SABCD A 3 3 450 B C Câu 12. Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông, SA vuông góc với đáy, SA a 3, AC a 2 . Khi đó thể tích khối chóp S.ABCD là a3 2 a3 2 a3 3 a3 3 A.  B.  C.  D.  2 3 2 3 Hướng dẫn giải: S SA a 3 AB AC.cos 450 a S a2 ABCD 1 a3 3 D V SA.S A S.ABCD 3 ABCD 3 B C Câu 13. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B . Biết SAB là tam giác đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC . Tính thể tích khối chóp S.ABC biết AB a , AC a 3 . a3 6 a3 6 a3 2 a3 A.  B.  C.  D.  12 4 6 4 Hướng dẫn giải: ABC vuông tại B BC AC 2 AB2 a 2 . S 1 a2 2 S BA.BC ABC 2 2 a 3 Gọi H là trung điểm AB SH 2 A C Ta có: SAB đều SH  AB SH  ABC (vì SAB  ABC ). H B 1 a3 6 V SH.S S.ABC 3 ABC 12 Câu 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết BD a , AC a 3 .
  17. a3 3 a3 3 a3 A. a3 .B.  C.  D.  4 12 3 Hướng dẫn giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD . S ABCD là hình thoi AC  BD , O là trung điểm của AC , BD . ABO vuông tại O A AB AO2 OB2 a . D 1 a2 3 H SABCD AC.BD . 2 2 B C a Gọi H là trung điểm AB . SAB vuông cân tại S cạnh AB a SH . 2 Ta có: SAB cân SH  AB SH  ABCD (vì SAB  ABC ). 1 a3 3 V SH.S . S.ABCD 3 ABCD 12 Câu 15. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H của BC . Tính thể tích khối chóp S.ABC biết AB a , AC a 3 , SB a 2 . a3 6 a3 3 a3 3 a3 6 A.  B.  C.  D.  6 2 6 2 Hướng dẫn giải: ABC vuông tại A S BC AC 2 AB2 2a . 1 a2 3 S AB.AC . ABC 2 2 B A SH SB2 BH 2 a . H 1 a3 3 V SH.S . C S.ABC 3 ABC 6 Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a . Hình chiếu của S lên mặt phẳng 3a ABCD là trung điểm H của AD . Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết SB . 2 a3 a3 3a3 A.  B. a3 .C.  D.  3 2 2 Hướng dẫn giải: ABH vuông tại A S a 5 BH AH 2 AB2 . 2 2 2 SH SB BH a . A B S a2 . ABCD H D C
  18. 1 a3 V SH.S . S.ABCD 3 ABCD 3 a 13 Câu 17. Hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SD . Hình chiếu của S lên ABCD là 2 trung điểm H của AB . Thể tích khối chóp là a3 2 a3 2 a3 A.  B.  C. a3 12 . D.  3 3 3 Hướng dẫn giải: 2 SABCD a S 5a2 HD2 AH 2 AD2 4 13a2 5a2 SH SD2 HD2 a 2 A 4 4 D 1 a3 2 H VS.ABCD SH.SABCD . 3 3 B C Câu 18. Hình chóp S.ABCD đáy hình thoi, AB 2a , góc B·AD bằng 1200 . Hình chiếu vuông góc của a S lên ABCD là I giao điểm của 2 đường chéo, biết SI . Khi đó thể tích khối chóp 2 S.ABCD là a3 2 a3 3 a3 2 a3 3 A.  B.  C.  D.  9 9 3 3 Hướng dẫn giải: S a SI 2 · 2 SABCD AB.AD.sin BAD 2 3a A D 1 a3 3 VS.ABCD SI.SABCD 3 3 I B C V Câu 19. Cho hình chóp S.ABC , gọi M , N lần lượt là trung điểm của SA, SB . Tính tỉ số S.ABC . VS.MNC 1 1 A. 4 .B.  C. 2 .D.  2 4 Hướng dẫn giải:
  19. S M VS.ABC SA SB . 4 N VS.MNC SM SN A C B Câu 20. Cho khối chop O.ABC . Trên ba cạnh OA,OB,OC lần lượt lấy ba điểm A’, B ,C sao cho V 2OA OA, 4OB OB, 3OC OC . Tính tỉ số O.A'B'C ' VO.ABC 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 12 24 16 32 Hướng dẫn giải: O Ta có: B C OA 1 OB 1 OC 1 A ; ; OA 2 OB 4 OC 3 V OA OB OC 1 1 1 1 O.A B’C’     A C VO.ABC OA OB OC 2 4 3 24 B Câu 21. Cho hình chóp S.ABC. Gọi là mặt phẳng qua A và song song với BC . cắt SB , SC SM lần lượt tại M , N . Tính tỉ số biết chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. SB 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 2 2 4 2 2 Hướng dẫn giải: S SM SN Ta có: MN //BC SB SC M 2 VS.AMN SM SN SM Ta có: . N VS.ABC SB SC SB A C V 1 SM 1 Ta có: S.AMN VS.ABC 2 SB 2 B Câu 22. Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a là: a3 3 a3 3 a3 2 a3 2 A.  B.  C.  D.  4 3 3 2 Hướng dẫn giải:
  20. A ' C' B' h a a3 3 a2 3 V h.S S 4 4 A C B Câu 23. Cho lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D ' có ABCD là hình chữ nhật, A' A A' B A' D . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D ' biết AB a , AD a 3 , AA' 2a . A. 3a3 .B. a3 .C. a3 3 . D. 3a3 3 . Hướng dẫn giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD . A' B ' ABCD là hình chữ nhật OA OB OD Mà A A A B A D nên A'O  ABD (vì A'O là trực tâm giác ABD ) D ' C ' ABD vuông tại A 2 2 A BD AB AD 2a B OA OB OD a O AA'O vuông tại O 2 2 A'O AA' AO a 3 D C 2 SABCD AB.AD a 3 3 VABCDA'B'C 'D' A'O.SABCD 3a . Câu 24. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C ' có ABC là tam giác vuông tại A . Hình chiếu của A' lên ABC là trung điểm của BC . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C ' biết AB a , AC a 3 , AA' 2a . a3 3a3 A.  B.  C. a3 3 . D. 3a3 3 . 2 2 Hướng dẫn giải: Gọi H là trung điểm của BC A' B ' A' H  ABC . ABC là tam giác vuông tại A C ' BC AB2 AC 2 2a 1 AH BC a 2 A B A' AH vuông tại H H A' H AA'2 AH 2 a 3 C 1 a2 3 S AB.AC ABC 2 2 3a3 V A' H.S . ABCA'B'C ' ABC 2
  21. Câu 25. Cho lăng trụ ABCD.A' B 'C ' D ' có ABCD là hình thoi. Hình chiếu của A' lên ABCD là trọng tâm của tam giác ABD . Tính thể tích khối lăng trụ ABCA' B 'C ' biết AB a , A·BC 1200 , AA' a . a3 2 a3 2 a3 2 A. a3 2 .B.  C.  D.  6 3 2 Hướng dẫn giải: A' Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD B' A' H  ABCD . D' C' Ta có: B·AD 1800 A·BC 600 . Tam giác ABD cân có B·AD 600 nên tam giác ABD đều. A B a 3 ABD là tam giác đều cạnh a AH H 3 D C a 6 A' AH vuông tại H A' H AA'2 AH 2 3 a2 3 a2 3 a3 2 S 2S 2. ; V A' H.S ABCD ABD 4 2 ABCDA'B'C 'D' ABC 2 V Câu 26. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C '. Tính tỉ số ABB'C ' . VABCA'B'C ' 1 1 1 2 A.  B.  C.  D. . 2 6 3 3 Hướng dẫn giải: Ta có: BB 'C 'C là hình bình hành A' C' 1 1 B' S S V V BB'C ' 2 BB'C 'C A.BB'C ' 2 A.BB'C 'C 1 Ta có: V V A.A'B'C ' 3 ABCA'B'C ' A C 2 V V V V B A.BB'C 'C ABCA'B'C ' A.A'B'C ' 3 ABCA'B'C ' 1 VABB'C ' 1 VABB'C ' VABCA'B'C ' 3 VABCA'B'C ' 3 Câu 27. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a . Thể tích khối tứ diện A’BB’C’ là a3 3 a3 3 a3 3 a3 A.  B.  C.  D.  12 4 6 12 Hướng dẫn giải:
  22. A' C' h BB a B' a2 3 SA B C 4 1 a3 3 A C V BB .S A BB C 3 A B C 12 B Câu 28. Lăng trụ tam giác ABC.A B C có đáy tam giác đều cạnh a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 300. Hình chiếu A lên ABC là trung điểm I của BC . Thể tích khối lăng trụ là a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A.  B.  C.  D.  6 2 12 8 Hướng dẫn giải: A' B ' 0 a 3 3 a A I AI.tan 30  2 3 2 C ' a2 3 S ABC 4 a3 3 A B V A I.S ABC.A’B’C’ ABC 8 I C Câu 29. Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC 2a, AB a . Mặt bên BB’C’C là hình vuông. Khi đó thể tích lăng trụ là a3 3 A. .B. a3 2 .C. 2a3 3 . D. a3 3 . 3 Hướng dẫn giải: A' C' h BB 2a B' 2 2 AC BC AB a 3 1 a2 3 SABC AB.AC 2 2 A C 3 VABC.A’B’C’ BB .SABC a 3 B Câu 30. Cho lăng trụ ABC.A' B 'C '. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của CC ' và BB '. Tính tỉ số V ABCMN . VABC.A'B'C ' 1 1 1 2 A. .B. .C. .D. . 3 6 2 3 Hướng dẫn giải:
  23. A' Ta có: BB 'C 'C là hình bình hành B ' 1 S S BCMN 2 BB'C 'C 1 V V A.BCMN 2 A.BB'C 'C M C ' 1 Ta có: V V A.A'B'C ' 3 ABCA'B'C ' 2 N V V V V A A.BB'C 'C ABCA'B'C ' A.A'B'C ' 3 ABCA'B'C ' B 1 V 1 V V A.BCMN . A.BCMN 3 ABCA'B'C ' V 3 ABCA'B'C ' C Câu 31. Cho khối lăng trụ ABC.A B C . Tỉ số thể tích giữa khối chóp A .ABC và khối lăng trụ đó là 1 1 1 1 A. .B. .C. . D. . 4 2 3 6 Hướng dẫn giải: A' C' 1 1 B' V AA .S V A ABC 3 ABC 3 ABC.A B C V 1 A ABC VABC.A B C 3 A C B Câu 32. Cho khối lập phương ABCD.A B C D . Tỉ số thể tích giữa khối A .ABD và khối lập phương là: 1 1 1 1 A. .B. .C. . D. . 4 8 6 3 Hướng dẫn giải: A ' 1 D' VA’.ABD AA .SABD 3 B' C' 1 1 1 AA . AB.AD AA .S 3 2 6 ABCD 1 A D VABCD.A’B’C’D’ 6 B C V 1 A’.ABD . VABCD.A’B’C’D’ 6 VẬN DỤNG THẤP Câu 33. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng h , góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo h và . 3h3 4h3 8h3 3h3 A. .B. .C. .D. . 4 tan2 3tan2 3tan2 8tan2 Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm của mặt đáy thì S SO  mp ABCD . Từ đó, SO là đường cao của hình chóp.Gọi M là trung điểm đoạn CD. Ta có:
  24. CD  SM  (SCD) CD  OM  (ABCD) S·MO . CD (SCD)  (ABCD) h A D O M B C 1 2 V = .SABCD.SO; B = SABCD = AB ; Tìm AB: AB = 2OM 3 SO h h Tam giác SOM vuông tại tại O, ta có: tan = = OM = . OM OM tan 2h 4h2 AB = . Suy ra: B = SABCD = . SO = h. tan tan2 1 4h2 4h3 Vậy VS.ABCD = . .h = . 3 tan2 3tan2 Câu 34. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh SB vuông góc với đáy và mặt phẳng SAD tạo với đáy một góc 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . 3a3 3 3a3 3 8a3 3 4a3 3 A. V .B. V .C. V .D. V . 4 8 3 3 Hướng dẫn giải: AD  AB S Ta có: AD  (SAB) AD AD  SB  SA. S· AB 600 . A D 2 SABCD = 4a . Xét tam giác SAB tại vuông tại B, ta có: SB AB tan 600 2a 3 . 2a B C 1 8a3 3 Vậy V = .4a2. 2a 3 = . 3 3 Câu 35. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BC a , mặt 2 phẳng A' BC tạo với đáy một góc 30 và tam giác A' BC có diện tích bằng a 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. a3 3 3a3 3 3a3 3 3a3 3 A. .B. . C. .D. . 8 4 8 2 Hướng dẫn giải:
  25. V= Bh = SABC.A’B’C’.AA’. A’ C’ BC  AB Do BC  A B . BC  AA B’ BC  AB  (ABC) Và BC  A' B  (A BC) BC (ABC)  (A' BC) (·ABC),(A' BC) ·AB, A' B ·ABA' A C Ta có: 30o a 1 S A B.BC A BC 2 . B 2.S 2.a2 3 A B A BC 2a 3 BC a AB A B.cos ·ABA 2a 3.cos300 3a; AA A B.sin ·ABA 2a 3.sin 300 a 3 1 1 3a3 3 V B.h S .AA .AB.BC.AA .3a.a.a 3 . ABC.A'B'C ' ABC 2 2 2 Câu 36. Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Hình chiếu vuông góc của A' trên ABC là trung điểm của AB . Mặt phẳng AA'C 'C tạo với đáy một góc bằng 45. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. 3a3 3a3 3a3 3a3 A. V .B. V .C. V .D. V . 16 8 4 2 Hướng dẫn giải: Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm A’ B’ của các đoạn thẳng AB, AC, AM. VABC.A'B'C ' S ABC .A' H . C’ a2 3 S . ABC 4 Ta có IH là đường trung bình của tam giác H AMB , MB là trung tuyến của tam giác đều A B ABC. I IH // MB M a Do đó: IH  AC MB  AC C AC  A' H AC  A' HI AC  A' I AC  IH AC  IH  (ABC) Mà: AC  A' I  (ACC ' A') ·A' IH là góc gữa hai mặt phẳng AA'C 'C và (ABC)  (ACC ' A') AC ABCD ·A' IH 45 A' H Trong tam giác A' HI vuông tại H, ta có: tan 45 A' H IH.tan 45o . HI 1 a 3 a2 3 a 3 3a3 IH MB . Vậy V . 2 4 4 4 16
  26. Câu 37. Cho hình chóp đều S.ABC , góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy ABC bằng 600 , khoảng 3a cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng . Thể tích của khối chóp S.ABC theo a bằng 2 7 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. .B. . C. .D. . 12 18 16 24 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của BC . Trong mp(SAM), Kẻ MH  SA,(H SA) . BC  AM Ta có: BC  SAM BC  MH . BC  SO Do đó MH là đường vuông góc chung của SA và BC . 3a Suy ra MH . Ta có: SM  BC · SBC , ABC S· MA 600 . 2 7 Đặt OM x AM 3x,OA 2x . SO OM.tan 600 x 3 và S 2 SA x 3 2x 2 x 7 . Trong VSAM ta có: SA.MH SO.AM H 3a a . x 7. x 3.3x x C 2 7 2 3 A Khi đó: O N a a 3 AM 3x 3. AB a . 2 3 2 B 1 1 a2 3 a a2 3 V .S .SO . . S.ABC 3 ABC 3 4 2 24 Câu 38. Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AC 2 3a , BD 2a , hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Biết khoảng cách từ a 3 điểm O đến mặt phẳng SAB bằng . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a . 4 a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. .B. . C. .D. . 16 18 3 12 Hướng dẫn giải Ta có tam giác ABO vuông tại O và S AO a 3 , BO a . Do đó AO 3 tan 600 ·ABO 600 . I BO Suy ra ABD đều. D A Ta có: 2a 3 SAC  ABCD O C B SBD  ABCD SO  ABCD SAC  SBD SO
  27. . Trong tam giác đều ABD , gọi H là trung điểm AB, K là trung điểm BH, 1 a 3 suy ra DH  AB và DH a 3 ; OK / /DH và OK DH . 2 2 Suy ra OK  AB AB  SOK . Gọi I là hình chiếu của O lên SK, ta có:OI  SK; AB  OI OI  SAB . OI d O; SAB . 1 1 1 a Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao: SO . OI 2 OK 2 SO2 2 1 1 1 1 a3 3 V .S .SO .4.S .SO .4. .OA.OB.SO S.ABCD 3 ABCD 3 ABO 3 2 3 Câu 39. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , O là giao điểm của AC và BD . Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khoảng từ O đến mặt bên là a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a . A. 2a3 3 .B. 4a3 3 .C. 6a3 3 . D. 8a3 3 . Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của CD , S trong SOM kẻ đường cao OH . OH  SCD OH a . Đặt CM x . Khi đó OM x , A SM x 3 , H SO SM 2 x2 x 2 . a Ta có: SM.OH SO.OM A D a 6 x 3.a x 2.x x M 2 O x CD a 6, SO a 3 B C 1 1 1 V .S .SO .CD2.SO .6a2.a 3 2a3 3 . S.ABCD 3 ABCD 3 3 Câu 40. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA  ABCD . ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB 2a . AD 3BC 3a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a biết góc giữa SCD và ABCD bằng 600 . A. 2 6a3 .B. 6 6a3 . C. 2 3a3 .D. 6 3a3 . Hướng dẫn giải:
  28. Dựng AM  CD tại M . S Ta có: S·MA 600 . AD BC S .AB 4a2 ABCD 2 2 2 CD AD BC AB 2a 2 A D 1 S AB.BC a2 ABC 2 M 2 SACD SABCD SABC 3a B C 1 2S 3 2 S AM.CD AM ACD a ACD 2 CD 2 3 6 1 Ta có: SA AM.tan S·MA a . V SA.S 2 6a3 . 2 S.ABCD 3 ABCD Câu 41. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA  ABCD , ABCD là hình thang vuông tại A và B biết AB 2a . AD 3BC 3a . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a , biết khoảng cách từ 3 6 A đến mặt phẳng (SCD) bằng a . 4 A. 6 6a3 .B. 2 6a3 . C. 2 3a3 .D. 6 3a3 . Hướng dẫn giải: Dựng AM  CD tại M . S Dựng AH  SM tại H . 3 6 Ta có: AH a . 4 AD BC 2 SABCD .AB 4a H 2 A D CD AD BC 2 AB2 2a 2 1 M S AB.BC a2 ABC 2 2 B C SACD SABCD SABC 3a 1 2S 3 2 S AM.CD AM ACD a ACD 2 CD 2 1 1 1 AH.AM 3 6 Ta có: 2 2 2 AS a AH AM AS AM 2 AH 2 2 1 V SA.S 2 6a3 S.ABCD 3 ABCD Câu 42. Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C ' có BB ' a , góc giữa đường thẳng BB ' và ABC bằng · 60 , tam giác ABC vuông tại C và góc BAC 60 . Hình chiếu vuông góc của điểm B ' lên ABC trùng với trọng tâm của ABC . Thể tích của khối tứ diện A'.ABC theo a bằng 13a3 7a3 15a3 9a3 A. .B. .C. .D. . 108 106 108 208 Hướng dẫn giải:
  29. Gọi M , N là trung điểm của AB, AC B' C' và G là trọng tâm của ABC . A' B 'G  ABC B·B ', ABC B· ' BG 600 . 1 1 V .S .B 'G .AC.BC.B 'G A'.ABC 3 ABC 6 60 0 B Xét B ' BG vuông tại G , có B· ' BG 60 C a 3 M G N B 'G . (nửa tam giác đều) 60 2 A Đặt AB 2x . Trong ABC vuông tại C có B· AC 600 AB tam giác ABC là nữa tam giác đều AC x, BC x 3 2 3 3a Do G là trọng tâm ABC BN BG . 2 4 Trong BNC vuông tại C : BN 2 NC 2 BC 2 3a AC 2 2 2 9a x 2 2 9a 3a 2 13 3x x x 16 4 52 2 13 3a 3 BC 2 13 1 3a 3a 3 a 3 9a3 Vậy, V . . . . A' ABC 6 2 13 2 13 2 208 Câu 43. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B 'C ', biết đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Khoảng cách từ a tâm O của tam giác ABC đến mặt phẳng A' BC bằng .Tính thể tích khối lăng trụ 6 ABC.A' B 'C ' . 3a3 2 3a3 2 3a3 2 3a3 2 A. .B. . C. .D. . 8 28 4 16 Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của BC , A' C' ta có A' AM  A' BC theo giao tuyến A'M . Trong A' AM kẻ OH  A'M (H A'M ) . B' OH  A' BC a Suy ra: d O, A' BC OH . 6 A a2 3 H C S ABC . 4 O Xét hai tam giác vuông A' AM và OHM có M ¶ góc M chung nên chúng đồng dạng. B
  30. a 1 a 3 . OH OM 1 3 Suy ra: 6 3 2 . A' A A'M A' A 2 2 A' A 2 A' A AM a 3 A' A2 2 a 6 a 6 a2 3 3a3 2 A' A . Thể tích: V S .A' A . . 4 ABC.A'B'C ' ABC 4 4 16 VẬN DỤNG CAO Câu 44. Cho hình chóp tam giác S.ABC có M là trung điểm của SB , N là điểm trên cạnh SC sao cho NS 2NC . Kí hiệu V1,V2 lần lượt là thể tích của các khối chóp A.BMNC và S.AMN . Tính tỉ V số 1 . V2 V 2 V 1 V V A. 1 B. 1 C. 1 2. D. 1 3 V 3 V 2 V V 2 2 2 2 Hướng dẫn giải S V SM SN 1 2 1 S.AMN   ; VS.ABC SB SC 2 3 3 M N VS.AMN VA.BMNC VS.ABC . V Suy ra, A.BMNC 2 . C VS.AMN A B Câu 45. Cho hình chóp tam giác S.ABC có M là trung điểm của SB , N là điểm trên cạnh SC sao cho NS 2NC , P là điểm trên cạnh SA sao cho PA 2PS . Kí hiệu V1,V2 lần lượt là thể tích của V các khối tứ diện BMNP và SABC . Tính tỉ số 1 . V2 V 1 V 3 V 2 V 1 A. 1 . B. 1 . C. 1 . D. 1 . V2 9 V2 4 V2 3 V2 3 Hướng dẫn giải
  31. 1 S d(N,(SAB)) SBMP VN.BMP 3 ; V 1 C.SAB d(C,(SAB)) S 3 SAB P d(N,(SAB)) NS 2 , d(C,(SAB)) CS 3 M N 1 1 1 SBPM SBPS  SSAB 2 2 3 C A VN.BMP 2 1 1 Suy ra,  . VC.SAB 3 6 9 B Câu 46. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) bằng 45, M , N và P lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB và AB . Tính thể tích V của khối tứ diện DMNP . a3 a3 a3 a3 A. V B. V C. V D. V 6 4 12 2 Hướng dẫn giải S SM SN 1 Ta có: SMN  . SSAB SA SB 4 S S 1 S 1 Tương tự, BNP , AMP . SSAB 4 SSAB 4 S 1 M Suy ra MNP (có thể khẳng định S 4 SAB N S 1 MNP A nhờ hai tam giác MNP và BAS D SSAB 4 1 P 45° là hai tam giác đồng dạng với tỉ số k ). O 2 V 1 B C Do đó D.MNP (1) VD.SAB 4 1 V V V . (2) D.SAB S.DAB 2 S.ABCD 1 1 4a3 1 1 4a3 a3 V SO.S OP.tan 45.S (3). Từ (1), (2) và (3): V . . . S.ABCD 3 ABCD 3 ABCD 3 DMNP 4 2 3 6 Câu 47. Cho lăng trụ ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AC 2a ; cạnh bên AA 2a . Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh AC . Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A B C . 1 a3 2a3 A. V a3 . B. V . C. V a3 . D. V . 2 3 3 Hướng dẫn giải
  32. A' B' Vì ABC là tam giác vuông cân tại B nên trung tuyến BH cũng là đường cao của nó, và C' 1 a 2 HB HA HC AC a . 2 A H A A2 AH 2 2a2 a2 a . A B 1 a V A H  S A H  BH  AC a3 a ABC.A B C ABC H 2 a C Câu 48. Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau. Gọi G1,G2 ,G3 và G4 lần lượt là trọng tâm các mặt ABC, ABD, ACD và BCD . Biết AB 6a, AC 9a , AD 12a . Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 . A. 4a3 B. a3 C. 108a3 D. 36a3 Hướng dẫn giải Trong trường hợp tổng quát, ta chứng D 1 minh được VG G G G VABCD . 1 2 3 4 27 Thật vậy, G3 ta có (G2G3G4 ) P(CBA) và VG G G ) : VCBA (tỉ số đồng dạng G2 2 3 4 G4 A C 1 S 1 k ) . Từ đó: G2G3G4 k 2 và G1 3 SCBA 9 M d(G1,(G2G3G4 )) d(G4 ,(ABC)) 1 1 d(D,(ABC)) (do G M DM ) B 3 4 3 V d(G ,(G G G )) S 1 1 1 Suy ra G1G2G3G4 1 2 3 4  G2G3G4  VABCD d(D,(ABC)) SCBA 3 9 27 1 1 1 V V  .AB.AC.AD 4a3 G1G2G3G4 27 ABCD 27 6 Câu 49. Cho tứ diện ABCD có AB CD 11m , BC AD 20m , BD AC 21m . Tính thể tích khối tứ diện ABCD . A. 360m3 B. 720m3 C. 770m3 D. 340m3 Hướng dẫn giải
  33. Dựng tam giác MNP sao cho C, B, D lần lượt là trung điểm các A cạnh MN, MP, NP. Do BD là đường trung bình tam 1 giác MNP nên BD MN hay z x 2 11 1 20 21 AC MN . 2 y Tam giác AMN vuông tại A (do B có trung tuyến bằng một nửa M P 21 20 cạnh tương ứng), hay 11 AM  AN . Tương tự, C D AP  AN và N AM  AP . 1 1 1 1 Ta có S S , S S , S S .Suy ra S S . MBC 4 MNP NCD 4 MNP BPD 4 MNP BCD 4 MNP x2 y2 4.202 1 AM AN AP 2 2 2 Từ đó, VABCD VAMNP . Đặt x , y , z . Ta có y z 4.21 , 4 m m m 2 2 2 x z 4.11 x2 160 2 1 1 3 suy ra y 1440 xyz 1440 VABCD VAMNP 360m 6 4 2 z 324 1 (AM, AN, AP đôi một vuông góc nên V AM.AN.AP ) AMNP 6 2 V (a2 b2 c2 )(a2 b2 c2 )( a2 b2 c2 ) 12 Câu 50. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là vuông; mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) bằng 3 7a . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 7 1 2 3a3 A. V a3 . B. V a3 . C. V a3 . D. V . 3 3 2 Hướng dẫn giải Gọi H là trung điểm AB, suy ra SH là chiều cao khối chóp đã cho. Kí hiệu x là độ dài cạnh đáy. 3 3 Ta có SH x và V x3 . 2 S.ABCD 6 Kẻ HK  CD (K CD) ; Kẻ HL  SK (L SK) . Suy ra HL  (SCD) và
  34. d(A,(SCD)) d(H,(SCD)) S HS  HK 21 HL x HS 2 HK 2 7 L A D H K X B C 21 3 7a 3 3 3 Theo gt, x x a 3 . Suy ra V x3 (a 3)3 a3 7 7 S.ABCD 6 6 2 Câu 51. Cho tứ diện S.ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB sao cho MA 2SM , SN 2NB , ( ) là mặt phẳng qua MN và song song với SC . Kí hiệu (H1) và (H2 ) là các khối đa diện có được khi chia khối tứ diện S.ABC bởi mặt phẳng ( ) , trong đó, (H1) chứa V1 điểm S , (H2 ) chứa điểm A ; V1 và V2 lần lượt là thể tích của (H1) và (H2 ) . Tính tỉ số . V2 4 5 3 4 A. B. C. D. 5 4 4 3 Hướng dẫn giải Kí hiệu V là thể tích khối tứ diện SABC . Gọi P , Q lần lượt là giao điểm của ( ) với các đường thẳng BC , AC . Ta có NP//MQ//SC . Khi chia khối (H1) bởi mặt phẳng (QNC) , ta được hai khối chóp N.SMQC và N.QPC . VN.SMQC d(N,(SAC)) SSMQC Ta có:  ; S VB.ASC d(B,(SAC)) SSAC d(N,(SAC)) NS 2 ; d(B,(SAC)) BS 3 M 2 SAMQ AM 4 SSMQC 5 . SASC AS 9 SASC 9 V 2 5 10 N Suy ra N.SMQC  VB.ASC 3 9 27 C A Q VN.QPC d(N,(QPC)) SQPC  P B VS.ABC d(S,(A BC)) SABC NB CQ CP 1 1 2 2     SB CA CB 3 3 3 27 V V1 N.SMQC VN.QPC 10 2 4 V1 4 V1 4 5V1 4V2 V VB.ASC VS.ABC 27 27 9 V1 V2 9 V2 5 Câu 52. Cho hình chóp S.ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC ; các mặt phẳng (SAB) , (SAC) và (SBC) cùng tạo với mặt phẳng (ABC) các góc bằng nhau. Biết AB 25, BC 17 , AC 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC .
  35. A.V 408 .B. V 680 .C. V 578. D.V 600 . Hướng dẫn giải Gọi J là chân đường cao của hình chóp S S.ABC; H, K và L lần lượt là hình chiếu của J trên các cạnh AB, BC và CA . Suy ra, S· HJ , S· LJ và S· KJ lần lượt là góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (S AB) , (SBC) và (SAC) . Theo giả thiết, ta có S· HJ S· LJ S· KJ , suy ra các tam giác z=17 K y=9 vuông SJH, SJL và SJK bằng nhau. Từ đó, A C z=17 J JH JL JK . Mà J nằm trong tam giác y=9 H ABC nên J là tâm đường tròn nội tiếp tam L x=8 giác ABC. x=8 Áp dụng công thức Hê-rông, ta tính được B diện tích S của tam giác ABC là S 204 . Kí hiệu p là nửa chu vi tam giác ABC, r là z K y C bán kính đường tròn nội tiếp của ABC. Ta có A S 204 r 6 . Đặt x BH BL , y p 34 z J y CL CK , z AH AK . L x y 17 H x Ta có hệ phương trình x z 25 . x y z 26 B Giải ra được (x; y; z) (8;9;17) JB JH 2 BH 2 62 82 10 . Ta có S· BJ (S·B,(ABC)) 45 , suy ra SJB là tam giác vuông cân tại J. SJ JB 10 . 1 Thể tích V của khối chóp S.ABC là V SJ.S 680 3 ABC