›
›
›

Bài tập trắc nghiệm Giải tích Lớp 12 - Chương 6 - Chủ đề 2: Quan hệ vuông góc. Véctơ trong không gian (Có đáp án)

doc 29 trang nhungbui22 12/08/2022 2770
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập trắc nghiệm Giải tích Lớp 12 - Chương 6 - Chủ đề 2: Quan hệ vuông góc. Véctơ trong không gian (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_trac_nghiem_giai_tich_lop_12_chuong_6_chu_de_2_quan.doc

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Giải tích Lớp 12 - Chương 6 - Chủ đề 2: Quan hệ vuông góc. Véctơ trong không gian (Có đáp án)

  1. CHỦ ĐỀ 2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC. VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN Bài 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa và các phép toán: ✓ Định nghĩa, tính chất và các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. ✓ Phép cộng, trừ vectơ:    • Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kì, ta có: AB BC AC .    • Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC .     • Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' , ta có: AB AD AA' AC '. ✓ Lưu ý: • Điều kiện để hai vectơ cùng phương: Hai vectơ a và b (b 0 ) !k ¡ : a k.b . • Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( k 1), điểm O tùy ý.      OA kOB Ta có: MA k.MB OM 1 k • Trung điểm của đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, điểm O tùy ý.      Ta có: IA IB 0 OA OB 2OI • Trọng tâm của tam giác: Cho G là trọng tâm ABC, điểm O tùy ý.        Ta có: GA GB GC 0 OA OB OC 3OG 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ: ✓ Định nghĩa: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. ✓ Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b, c , trong đó a và b không cùng phương. Khi đó: a, b, c đồng phẳng !m, n ¡ : c m.a n.b ✓ Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng, x tùy ý. Khi đó: !m, n, p ¡ : x m.a n.b p.c 3. Tích vô hướng của hai vectơ:   ✓ Góc giữa hai vectơ trong không gian: Ta có: AB u, AC v . Khi đó: u, v B· AC (00 B· AC 1800 ) ✓ Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: Cho u, v 0 . Khi đó: u.v u . v .cos u,v • Với u 0 hoặc v 0 , quy ước: u.v 0 • Với u, v 0 , ta có: u  v u.v 0 II.KỸ NĂNG CƠ BẢN Dạng 1: Chứng minh đẳng thức. Phân tích vectơ. Áp dụng công thức tính tích vô hướng. • Áp dụng các phép toán đối với vectơ (phép cộng hai vectơ, phép hiệu hai vectơ, phép nhân một vectơ với một số). • Áp dụng các tính chất đặc biệt của hai vectơ cùng phương, trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác.   Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC.A B C , M là trung điểm của BB . Đặt CA a ,CB b ,  AA' c . Khẳng định nào sau đây đúng?
  2.  1  1  1  1 A. AM b a c . B. AM a c b . C. AM a c b . D. AM b c a . 2 2 2 2 Hướng dẫn :  1  1  Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì AM AB AB . Khi đó : 2 2  1  1  1  1  1   1    1  1 AM AB AB AB AB BB AB AA AC CB AA a b c . 2 2 2 2 2 2 2 2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, đường thẳng song song với mặt phẳng, các tập hợp điểm đồng phẳng • Ứng dụng điều kiện của hai vectơ cùng phương, ba vectơ đồng phẳng Ví dụ : Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:         A. OA OC OB OD . B. OA OB OC OD 0 .  1   1   1   1  C. OA OB OC OD . D. OA OC OB OD . 2 2 2 2 Hướng dẫn:     Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành thì AB CD hoặc AC BD . Khi đó             A. OA OC OB OD OA OB OD OC BA CD AB DC .     B. OA OB OC OD 0 : Với O là trọng tâm của tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD .  1   1    1  1   1  C. OA OB OC OD OA OC OD OB CA BD . 2 2 2 2 2  1   1    1  1   1  D. OA OC OB OD OA OB OD OC BA CD . 2 2 2 2 2 Vậy chọn A. Bài 2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG III. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ a 0 được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của a song song hoặc trùng với đường thẳng d. 2. Góc giữa hai đường thẳng: ✓ Cho a//a ' , b//b' và a ' , b' cùng đi qua một điểm. Khi đó: a¶,b a· ',b' ✓ Giả sử u, v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b và u,v . 0 0 0 90 Khi đó: a¶,b 0 0 0 180 90 180 ✓ Nếu a//b hoặc a  b thì a¶,b 00 . 3. Hai đường thẳng vuông góc: ✓ a  b a¶,b 900 . ✓ Giả sử u, v lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng a, b. Khi đó: a  b u.v 0 ✓ Cho a//b . Nếu a  c thì b  c . Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. IV.KỸ NĂNG CƠ BẢN : Xác định góc giữa hai đường thẳng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc
  3. Ví dụ :Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. A C  BD . B. BB  BD . C. A B  DC . D. BC  A D . Hướng dẫn Theo tính chất hình hộp, các cạnh bên vuông góc các cạnh đáy nên BB  BD Bài 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG V. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: d  ( ) d  a, a  ( ) d  a d  b 2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: d  ( ) a,b  ( ) a b I 3. Tính chất: ✓ Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng: là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đoạn thẳng đó. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp tất cả các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. a b ✓  b  a a b ✓ a  a//b b  //  ✓ a   a   ✓  a //    a a// ✓ b  a b  a  ✓ a  b a//  b 4. Định lý ba đường vuông góc: Cho a  và b  , b' là hình chiếu của b lên . Khi đó: a  b a  b' 5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: ✓ Nếu d vuông góc với thì góc giữa d và là 900 . ✓ Nếu d không vuông góc với thì góc giữa d và là thì góc giữa d và d ' với d ' là hình chiếu của d trên . ✓ Chú ý: góc giữa d và là thì 00 900 . VI.KỸ NĂNG CƠ BẢN Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Ví dụ : Khẳng định nào sau đây sai ?
  4. A. Nếu đường thẳng d  thì d vuông góc với hai đường thẳng trong . B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ( ) thì d  . C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong . D. Nếu d  và đường thẳng a || thì d  a . Hướng dẫn : A. Đúng vì d  ( ) d  a, a  ( ) . B. Sai vì Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong thì d  . d  a d  b C. Đúng vì d  d  c, c  . a,b  a b I a// D. Đúng vì d  a d  Bài 4. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG VII.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Góc giữa hai mặt phẳng: a  ✓ Nếu thì góc giữa hai mặt phẳng và  là góc giữa hai đường thẳng a và b. b   a  d,a  ( ) ✓ Giả sử ( )  ( ) d . Từ điểm I d , dựng thì góc giữa hai mặt phẳng b  d,b  ( ) và  là góc giữa hai đường thẳng a và b . 0 0 ✓ Chú ý: Gọi góc giữa hai mặt phẳng và  là thì 0 ;90 . 2. Diện tích hình chiếu của một đa giác: Gọi S là diện tích của đa giác ℋ nằm trong và S’ là diện tích của đa giác ℋ’ là hình chiếu vuông góc của đa giác ℋ lên  . Khi đó S ' S.cos với là góc giữa hai mặt phẳng và  . 3. Hai mặt phẳng vuông góc: Nếu hai mặt phẳng vuông góc mặt phẳng  thì góc giữa hai mặt phẳng và  bằng 0 90 . a  ( ) Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: ( )  ( ) a  ( ) 4. Tính chất:     d ✓ a   a  a  d
  5.   A ✓ a  A a a     ✓    d     d VIII.KỸ NĂNG CƠ BẢN Dạng 1 : Góc giữa hai mặt phẳng Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có SA  ABC và đáy là tam giác vuông ở A. Khẳng định nào sau đây sai? S A. SAB  ABC . B. SAB  SAC . C. Vẽ AH  BC , H BC thì góc ASH là góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC D. Góc giữa hai mặt phẳng SBC và SAC là góc B SCB. A Hướng dẫn : H SA  SAB A. Đúng vì SAB  ABC . SA  ABC C AB  AC AB  SAB B. Đúng vì AB  SAC , SAB  SAC AB  SA AC  SAC AH  BC C. Đúng vì BC  SAH BC  SH  SAH . AH  SA BC  AH · · SBC ; ABC SH; AH S· HA nên góc giữa hai mặt phẳng SBC và BC  SH ABC là góc giữa hai đường thẳng SH và AH , là góc S· HA . D. Sai do cách xác định như câu C.
  6. BÀI TẬP NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 1. Trong không gian cho tứ diện đều ABCD . Khẳng định nào sau đây là sai:          A. AD  DC .B. AC  BD . C. AD  BC . D. AB BC AC . Câu 2. Trong không gian cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' . Khi đó 4 vectơ nào sau đây đồng phẳng?         A. AC, AB, AD, AC '. B. A' D, AA', A' D ', DD '.         C. AC, AB, AD, AA' . D. AB ', AB, AD, AA' . Câu 3. Cho tứ diện ABCD . M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chọn mệnh đề đúng:  1      A. MN (AD BC) . B. MN 2(AB CD) . 2  1      C. MN (AC CD) . D. . MN 2(AC BD) . 2 Câu 4. Trong không gian cho hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là u,v . Gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b . Khẳng định nào sau đây là đúng: A. (u,v) . B. cos cos(u,v) . C. Nếu a và b vuông góc với nhau thì u.v sin . D. Nếu a và b vuông góc với nhau thì u.v 0 . Câu 5. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?     A. Nếu AB BC CD DA 0 thì bốn điểm A, B,C, D đồng phẳng    B. Tam giác ABC có I là trung điểm cạnh BC thì ta có đẳng thức: 2AI AB AC   C. Vì BA BC 0 nên suy ra B là trung điểm của AC    D. Vì AB 2AC 3AD nên 4 điểm A, B,C, D đồng phẳng. Câu 6. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Chọn mệnh đề đúng:  1     1    A. AG ( AB AC CD) . B. AG (BA BC BD) . 4 3  1     1    C. AG ( AB AC AD) . D. AG (BA BC BD) . 4 4 Câu 7. Cho tứ diện đều ABCD . Mệnh đề nào sau đây là sai?       A. AD.CD AC.DC 0. B. AC.BD 0 .     C. AD.BC 0 . D. AB.CD 0 .  Câu 8. Trong không gian cho 3 vectơ u, v, w không đồng phẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng?  A. Các vectơ u v, v, w đồng phẳng.  B. Các vectơ u v, u, 2w đồng phẳng.  C. Các vectơ u v, v, 2w không đồng phẳng. D. Các vectơ 2 u v  u, v không đồng phẳng.      Câu 9. Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C '. Đặt AA' u , AB v , AC w . Biểu diễn vectơ BC ' qua  các vectơ u, v, w . Chọn đáp án đúng:     A. BC ' u v w . B. BC ' u v w .     C. BC ' u v w . D. BC ' u v w . Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
  7.    A. Nếu AB 3AC 4AD thì 4 điểm A, B,C, D đồng phẳng.    1  B. AB 3AC BC CA 3  1  C. Nếu AB BC thì B là trung điểm của AC . 2 D. Cho d  ( ) và d '  ( ) . Nếu mặt phẳng ( ) và ( ) vuông góc với nhau thì hai đường thẳng d và d ' cũng vuông góc với nhau.    Câu 11. Cho hình lăng trụ ABC.A B C , M là trung điểm của BB . Đặt CA a ,CB b , AA' c . Khẳng định nào sau đây đúng?  1  1 A. AM a c b . B. AM b a c . 2 2  1  1 C. AM a c b . D. AM b c a . 2 2 Câu 12. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:  1   1      A. OA OC OB OD . B. OA OB OC OD 0 . 2 2  1   1      C. OA OB OC OD . D. OA OC OB OD . 2 2     Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA = a ; SB = b ; SC = c ; SD =  d . Khẳng định nào sau đây đúng?   A. a c d b . B. a b c d .   C. a d b c . D. a c d b 0 .   Câu 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB b , AC c ,   AD d .Khẳng định nào sau đây đúng?  1   1  A. MP c b d . B. MP d b c . 2 2  1   1  C. MP c d b . D. MP c d b . 2 2  Câu 15. Cho hình hộp ABCD.A B C D có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt AC ' u ,     CA ' v , BD ' x , DB ' y . Chọn khẳng định đúng?  1   1  A. 2OI u v x y .B. 2OI u v x y . 4 2  1   1  C. 2OI u v x y . D. 2OI u v x y . 4 2 Câu 16. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  ABCD , SA a 6 . Tính góc giữa đường SC và mặt phẳng SAD ? A. 20042'. B. 20070' . C. 69017' . D. 69030' . Câu 17. Cho S.ABC có SAC và SAB cùng vuông góc với đáy, ABC đều cạnh a , SA 2a Tính góc giữa SB và (SAC) ? A. 22047'. B. 22079' . C. 37045' . D. 67012 .
  8. Câu 18. Cho SAB đều và hình vuông ABCD nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc nhau. Tính góc giữa SC và ABCD ? A. 18035'. B. 15 0 62 ' . C. 37045' . D. 63072' . Câu 19. Cho S.ABCD có đáy hình thang vuông tại A và B, AD 2a, AB BC a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60 0. Tính góc giữa SD và mặt phẳng SAC ? A. 2405' . B. 34015'. C. 73012'. D. 6208'. Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC 2a , đáy là tam giác vuông tại A, ·ABC 600 , , AB a . Tính góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABC ? A. 76024' B. 44012' C. 63015' D. 73053' Câu 21. Cho S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SC tạo đáy góc 450, SA vuông góc với đáy. Tính góc giữa (SA B ) và (SCD) ? A. 35015'. B. 75009' . C. 67019' . D. 38055'. Câu 22. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SCD tạo với mặt phẳng đáy góc 450. Tính góc giữa SBC và SCD . A. 74012' . B. 42034' . C. 300 . D. 600 . Câu 23. Cho S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Biết rằng SA SB a, SC a 2. Hỏi góc giữa SBC và ABC ? A. 50046' . B. 63012'. C. 34073'. D. 42012' . Câu 24. Cho S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a, SA vuông góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt phẳng đáy góc 450 và hợp với SAB góc 300. Tính góc giữa SBC và mặt phẳng đáy? A. 83081' . B. 79001' . C. 62033'. D. 54044' . Câu 25. Cho chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB 4a, AD 3a. Các cạnh bên đều có độ dài 5a. Tính góc giữa SBC và ABCD ? A. 75046' B. 71021' C. 68031' D. 65012' Câu 26. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong ( ) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong . B. Nếu đường thẳng d  thì d vuông góc với hai đường thẳng trong . C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ( ) thì d  . D. Nếu d  và đường thẳng a// thì a  d . Câu 27. Trong không gian cho đường thẳng và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với ? A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 1. Câu 28. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước? A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 1. Câu 29. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ? A. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song.
  9. C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song. Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là: A. 5 2 . B. 50. C. 2 5 . D. 12. Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABC và VABC vuông ở B . AH là đường cao của VSAB . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. SA  BC . B. AH  BC . C. AH  AC . D. AH  SC . Câu 32. Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng P . Gọi H là hình chiếu của A lên P . M, N là các điểm thay đổi trong P . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. Nếu AM AN thì HM HN . B. Nếu AM AN thì HM HN . C. Nếu AM AN thì HM HN . D. Nếu HM HN thì AM AN . Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góC. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây: A. Ba mặt phẳng ABC ; ABD ; ACD đôi một vuông góC. B. Tam giác BCD vuông. C. Hình chiếu của A lên mặt phẳng BCD là trực tâm tam giác BCD. D. Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc. Câu 34. Cho đoạn thẳng AB là (P) là mặt phẳng trung trực của nó. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. MA MB M P . B. MN  P MN  AB . C. MN  AB MN  P . D. M P MA MB . VẬN DỤNG THẤP     Câu 35. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C 'D' . Phân tích vectơ AC ' theo các vectơ AB, AD, AA'. Chọn đáp án đúng:  1        A. AC ' AA' AB AD .B. AC ' AA' 2 AB AD . 2   1       C. AC ' 2 AA ' AB AD .D. AC ' AA' AB AD . 2  Câu 36. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C 'D' có cạnh bằng a. Tích vô hướng của hai vectơ AB và  A'C ' có giá trị bằng: 2a2 A. a 2 .B. a 2 .C. a2 2 .D. . 2     Câu 37. Cho hình hộp ABCD.A'B'C 'D' có: AB B 'C ' DD ' k AC '. Giá trị của k là: A. 3.B. 0.C. 2. D. 1. Câu 38. Cho tứ diện ABCD , gọi M , N là trung điểm của các cạnh AC và BD , G là trọng tâm của tứ diện ABCD và O là một điểm bất kỳ trong không gian. Giá trị k thỏa mãn đẳng thức      OG k OA OB OC OD là: 1 1 A. 4.B. . C. . D. 2 2 4    Câu 39. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt AA ' a , AB b , AC c , Gọi I là điểm thuộc CC'  1   sao cho C ' I C 'C , G là trọng tâm của tứ diện BA'B'C' . Biểu diễn vectơ IG qua các 3 vectơ a,b,c . Chọn đáp án đúng :
  10.  1 1  1 A. IG a b 2c .B. IG a b 2c . 4 3 3  1 1  1 C. IG b c 2a .D. IG a c 2b 4 3 4 Câu 40. Cho chóp S.ABC có SAB đều cạnh a, ABC vuông cân tại B và (SAB)  (ABC). Tính góc giữa SC và (ABC) ? A. 39012' .B. 46073' .C. 35045'.D. 52067' Câu 41. Cho chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a, SA a 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC ? A. 69017' .B. 72084'.C. 84062'.D. 27038' . Câu 42. Cho lăng trụ đều ABC.A' B 'C ' có AB 1, AA' m m 0 . Hỏi m bằng bao nhiêu để góc giữa AB ' và BC ' bằng 600 ? A. m 2. B. m 1.C. m 3. D. m 5. Câu 43. Cho chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SC và AD ? A. 39022' .B. 730 45 '.C. 35015' .D. 42024'. Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy hình thoi cạnh a, ·ABC 600 , SA vuông góc mặt phẳng đáy là SA a 3. Tính góc giữa SBC và ABCD ? A. 33011' B. 14055' C. 62017' D. 26033' Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật, SA  ABCD , gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD . Chọn mệnh đề đúng : A. SC  AEF . B. SC  ADE . C. SC  ABF . D. SC  AEC . Câu 46. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên ABC . Khi đó khẳng định nào đúng? A. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . B. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . C. H là trọng tâm tam giác ABC . D. H là trực tâm tam giác ABC . Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật, tam giác SBD đều, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc đường thẳng SB cắt các đường SB , SC lần lượt tại M , N . 1 1. MN BC . 2 2. SA  MN 3. A, D, M , N không đồng phẳng. 4.  SBC . 5. Thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng là hình bình hành. Có bao nhiêu nhận định sai? A. 0B. 3C. 2 D. 4 Câu 48. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa hai mặt bên không liền kề nhau.
  11. 1 1 5 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 Câu 49. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính cosin của góc giữa hai mặt bên liền kề nhau. 1 1 5 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 Câu 50. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh SC . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng SBD và EBD . 1 1 5 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 Câu 51. Cho tam giác cân ABC có đường cao AH a 3 , mặt phẳng đáy BC 3a , BC  P , A P 0. Gọi A là hình chiếu vuông góc của A lên P . Tam giác A BC vuông tại A . Gọi là góc giữa P và ABC . Chọn khẳng định đúng. 2 A. 300 .B. 600 . C. 450 . D. cos . 3 Câu 52. Cho tam giác đều ABC cạnh a . dB , dC lần lượt là đường thẳng đi qua B , C và vuông góc o ABC . P là mặt phẳng đi qua A và hợp với ABC một góc bằng 60 . P cắt dB , dC tại a 6 D và E . AD , AE a 3 . Đặt  D· AE . Khẳng định nào sau đây là khẳng định 2 đúng? 2 6 A.  30o . B. sin  . C. sin  . D.  60o . 6 2 Câu 53. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ABC và ABD cùng vuông góc với mặt phẳng BCD . Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD , DK là đường cao của tam giác ACD , bảy điểm A , B , C , D , E , F , K không trùng nhau. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. ABE  DFK .B. ADC  DFK . C. ABC  DFK .D. ABE  ADC . Câu 54. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của hình vuông ABCD , AB a , SO 2a . Gọi P là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng SCD . Thiết diện của P và hình chóp S.ABCD là hình gì? A. Hình thang vuông.B. Tam giác cân. C. Hình thang cân.D. Hình bình hành. Câu 55. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh có độ dài bằng a, M là trung điểm đoạn CD . Gọi là góc giữa AC và BM . Chọn khẳng định đúng? 3 1 3 A. 30o .B. cos . C. cos . D. cos . 4 3 6
  12. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 7.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B A D A C A C A A B D A C C A A D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 B D D C A A C A A D A B A C D II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Trong không gian cho tứ diện đều ABCD . Khẳng định nào sau đây là sai:          A. AD  DC .B. AC  BD . C. AD  BC . D. AB BC AC . Hướng dẫn giải   Tứ diện ABCD là đều nên AD không thể vuông góc với D C . Câu 2. Trong không gian cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D ' . Khi đó 4 vectơ nào sau đây đồng phẳng?         A. AC, AB, AD, AC '. B. A' D, AA', A' D ', DD '.         C. AC, AB, AD, AA' . D. AB ', AB, AD, AA' . Hướng dẫn giải     Từ hình vẽ ta thấy các vectơ A' D, AA', A' D ', DD ' cùng thuộc mặt phẳng AA' D ' D . A B D C B A D C Câu 3. Cho tứ diện ABCD . M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chọn mệnh đề đúng:  1      A. MN (AD BC) . B. MN 2(AB CD) . 2 A  1      C. MN (AC CD) . D. . MN 2(AC BD) . 2 M Hướng dẫn giải     MN MA AD DN Ta có:     MN MB BC CN D B Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên ta có:        N 2MN (MB MA) (BD AC) (DN CN)     1   C 2MN (BD AC) MN (AC BD) 2 Câu 4. Trong không gian cho hai đường thẳng a và b lần lượt có vectơ chỉ phương là u,v . Gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b . Khẳng định nào sau đây là đúng:
  13. A. (u,v) . B. cos cos(u,v) . C. Nếu a và b vuông góc với nhau thì u.v sin . D. Nếu a và b vuông góc với nhau thì u.v 0 . Hướng dẫn giải        Ta có: 4IG IC ' 2IC ' IC CB C ' B ' C ' A' . (Theo tính chất tích vô hướng của hai vectơ) Câu 5. Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào sai?     A. Nếu AB BC CD DA 0 thì bốn điểm A, B,C, D đồng phẳng    B. Tam giác ABC có I là trung điểm cạnh BC thì ta có đẳng thức: 2AI AB AC   C. Vì BA BC 0 nên suy ra B là trung điểm của AC    D. Vì AB 2AC 3AD nên 4 điểm A, B,C, D đồng phẳng. Hướng dẫn giải     Bằng quy tắc 3 điểm ta nhận thấy rằng AB BC CD DA 0 đúng với mọi điểm A, B,C, D nằm trong không gian chứ không phải chỉ riêng 4 điểm đồng phẳng. Câu 6. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G . Chọn mệnh đề đúng:  1     1    A. AG ( AB AC CD) . B. AG (BA BC BD) . 4 3  1     1    C. AG ( AB AC AD) . D. AG (BA BC BD) . 4 4 Hướng dẫn giải Vì G là trọng tâm của tứ diện ABCD nên suy ra:     GA GB GC GD 0     AG GB GC GD        AG GA AB GA AC GA AD     4AG AB AC AD  1    AG AB AC AD 4 Câu 7. Cho tứ diện đều ABCD . Mệnh đề nào sau đây là sai?       A. AD.CD AC.DC 0. B. AC.BD 0 .     C. AD.BC 0 . D. AB.CD 0 . Hướng dẫn giải Vì tứ diện ABCD là tứ diện đều nên có các cặp cạnh đối vuông góc.       Vậy AC.BD AD.BC AB.CD 0 .  Câu 8. Trong không gian cho 3 vectơ u, v, w không đồng phẳng. Mệnh đề nào sau đây là đúng?  A. Các vectơ u v, v, w đồng phẳng.  B. Các vectơ u v, u, 2w đồng phẳng.  C. Các vectơ u v, v, 2w không đồng phẳng. D. Các vectơ 2 u v  u, v không đồng phẳng. Hướng dẫn giải  Vì u, v, w không đồng phẳng nên :
  14.  • u v, v, w không đồng phẳng,  • u v, v, 2w không đồng phẳng.  • u v, u, 2w không đồng phẳng. Các vectơ 2 u v  u, v hiển nhiên là đồng phẳng.      Câu 9. Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C '. Đặt AA' u , AB v , AC w . Biểu diễn vectơ BC ' qua  các vectơ u, v, w . Chọn đáp án đúng:     A. BC ' u v w . B. BC ' u v w .     C. BC ' u v w . D. BC ' u v w . Hướng dẫn giải Ta có:         BC ' BC CC ' BA AC CC ' v w u u v w Câu 10. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?    A. Nếu AB 3AC 4AD thì 4 điểm A, B,C, D đồng phẳng.    1  B. AB 3AC BC CA 3  1  C. Nếu AB BC thì B là trung điểm của AC . 2 D. Cho d  ( ) và d '  ( ) . Nếu mặt phẳng ( ) và ( ) vuông góc với nhau thì hai đường thẳng d và d ' cũng vuông góc với nhau. Hướng dẫn giải    AB 3AC 4AD thỏa mãn biểu thức c ma nb (với m,n là duy nhất) của định lý về các vectơ đồng phẳng.    Câu 11. Cho hình lăng trụ ABC.A B C , M là trung điểm của BB . Đặt CA a ,CB b , AA' c . Khẳng định nào sau đây đúng?  1  1 A. AM a c b . B. AM b a c . 2 2  1  1 C. AM a c b . D. AM b c a . 2 2 Hướng dẫn giải  1  1  Cần lưu ý tính chất M là trung điểm của thì AM AB AB . 2 2 Khi đó:  1  1  1  1  1   1    1  1 AM AB AB AB AB BB AB AA AC CB AA a b c . 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 12. Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là:  1   1      A. OA OC OB OD . B. OA OB OC OD 0 . 2 2  1   1      C. OA OB OC OD . D. OA OC OB OD . 2 2 Hướng dẫn giải     Để A, B, C, D tạo thành hình bình hành thì AB CD hoặc AC BD . Khi đó
  15.           • OA OC OB OD OA OB OD OC AB CD     • OA OB OC OD 0 : O là trọng tâm của tứ giác (hoặc tứ diện) ABCD . (Loại)  1   1    1  1   1  • OA OB OC OD OA OC OD OB CA BD (Loại) 2 2 2 2 2  1   1    1  1   1  • OA OC OB OD OA OB OD OC BA CD (Loại) 2 2 2 2 2     Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt SA = a ; SB = b ; SC = c ; SD =  d . Khẳng định nào sau đây đúng?   A. a c d b . B. a b c d .   C. a d b c . D. a c d b 0 . Hướng dẫn giải       Gọi O là tâm hình bình hành ABCD , khi đó SA SC SB SD 2SO . Vậy a c d b .   Câu 14. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD. Đặt AB b , AC c ,   AD d .Khẳng định nào sau đây đúng?  1   1  A. MP c b d . B. MP d b c . 2 2  1   1  C. MP c d b . D. MP c d b . 2 2 Hướng dẫn giải  1  1   1  1  1  1  1  1  MP MC MD MA AC AD AB AC AD c d b . 2 2 2 2 2 2 2 2  Câu 15. Cho hình hộp ABCD.A B C D có tâm O . Gọi I là tâm hình bình hành ABCD . Đặt AC ' u ,     CA ' v , BD ' x , DB ' y . Chọn khẳng định đúng?  1   1  A. 2OI u v x y .B. 2OI u v x y . 4 2  1   1  C. 2OI u v x y . D. 2OI u v x y . 4 2 Hướng dẫn giải Do I là tâm hình bình hành ABCD nên      4OI OA OB OC OD  1     4OI C A D B A C B D 2  1     4OI AC BD CA DB 2  1  2OI u v x y 4 Câu 16. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA  ABCD , SA a 6 . Tính góc giữa đường SC và mặt phẳng SAD ? A. 20042'. B. 20070' . C. 69017' . D. 69030' .
  16. Hướng dẫn giải S CD  AD Ta có CD  SAD . Tức D là CD  SA hình chiếu vuông góc của C lên SAD Góc giữa SC và SAD là C· SD . SD SA2 AD2 a 7 ; CD 1 tan C· SD C· SD 20042' A D SD 7 Câu 17. Cho S.ABC có SAC và SAB cùng vuông góc với đáy, ABC đều cạnh a , SA 2a Tính góc giữa SB và (SAC) ? B C A. 22047'. B. 22079' . C. 37045' . D. 67012 . Hướng dẫn giải S Lấy H là trung điểm AC. Dễ chứng minh BH  SAC suy ra H là hình chiếu vuông góc của B lên SAC . Góc giữa SB và SAC là góc B· SH. a 17 a 3 SH SA2 AH 2 ; BH 2 2 3 A H tan B· SH 22047' C 17 Câu 18. Cho SAB đều và hình vuông ABCD nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc nhau. Tính góc giữa SC và ABCD ? B A. 18035'. B. 15 0 62 ' . C. 37045' . D. 63072' . Hướng dẫn giải Lấy H là trung điểm AB khi đó S SH  ABCD . Góc giữa SC và ABCD là S· CH. a 3 a 5 SH ,CH HB2 BC 2 2 2 3 tan S· CH 37045' 5 A D H B C
  17. Câu 19. Cho S.ABCD có đáy hình thang vuông tại A và B, AD 2a, AB BC a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SC tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng 60 0. Tính góc giữa SD và mặt phẳng SAC ? A. 2405' . B. 34015'. C. 73012'. D. 6208'. Hướng dẫn giải Dễ chứng minh DC  AC và DC  SA nên S DC  SAC , vậy góc giữa SD và SAC là D· SC . Dễ thấy góc giữa SC tạo mặt phẳng đáy là góc S· CA nên S· C A 6 0 0. SA a 6,SD a 10,CD a 2 CD 1 D tan D· SC 2405' SD 5 A Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC 2a , đáy là tam giác vuông tại A, ·ABC 600 , , AB a . Tính góc giữa B C hai mặt phẳng SAC và ABC ? A. 76024' B. 44012' C. 63015' D. 73053' Hướng dẫn giải Từ giải thiết có . SA SB SC 2a , nếu ta hạ S SH  ABC thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC H là trung điểm BC. SAC  ABC AC Ta có: Góc giữa AC  SHM B H C SAC và ABC là S·MH . a M HM , SH a 3 2 SH A tan S·MH 2 3 S·MH 73053' MH Câu 21. Cho S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SC tạo đáy góc 450, SA vuông góc với đáy. Tính góc giữa (SA B ) và (SCD) ? A. 35015'. B. 75009' . C. 67019' . D. 38055'. Hướng dẫn giải Ta thấy giao tuyến của SAB và SCD là đường d qua S và song song với AB. S Dễ chứng minh d  SAD nên góc giữa d SAB và (SCD) là D· SA . A D B C
  18. Ta dễ thấy góc giữa SC và mặt phẳng đáy là góc S· CA 450 .Từ đó dễ dàng tính được SA AC a 2, AD a . 1 tan D· SA 35015'. 2 Câu 22. Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SCD tạo với mặt phẳng đáy góc 450. Tính góc giữa SBC và SCD . A. 74012' . B. 42034' . C. 300 . D. 600 . Hướng dẫn giải S Dễ chứng minh được góc giữa SCD và đáy là S· DA 450 nên SA a Lấy M , N là trung điểm SB, SD. Dễ chứng minh N AN  SCD , AM  SBC suy ra góc giữa M SBC và SCD là góc giữa AN, AM . DB a 2 AM AN MN M· AN 600 . D 2 2 A Câu 23. Cho S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc. Biết rằng SA SB a, SC a 2. Hỏi góc giữa B C SBC và ABC ? A. 50046' . B. 63012'. C. 34073'. D. 42012' . Hướng dẫn giải Hạ SH  BC BC  (SAH ) Góc giữa (SBC) và (ABC) là S· HA. SB.SC a 6 6 SH tan S· HA 50046' . BC 3 2 Câu 24. Cho S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB a, SA vuông góc mặt phẳng đáy, SC hợp với mặt phẳng đáy góc 450 và hợp với SAB góc 300. Tính góc giữa SBC và mặt phẳng đáy? A. 83081' . B. 79001' . C. 62033'. D. 54044' . Hướng dẫn giải Dễ thấy rằng S· CA 450 , B· SC 300. S SA x2 a2 SBA SB SA2 AB2 x2 2a2 SBC SB.tan 300 BC x2 2a2 3.x x a BC x AC x2 a2 A D SA a 2. 0 C Xét SAB có tan S· BA 2 nên 54 44' . B
  19. Câu 25. Cho chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh AB 4a, AD 3a. Các cạnh bên đều có độ dài 5a. Tính góc giữa SBC và ABCD ? A. 75046' B. 71021' C. 68031' D. 65012' Hướng dẫn giải Hạ SH  (ABCD). Do các cạnh bên bằng nhau S nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy, tức H là tâm đáy. Lấy I là trung điểm BC nên góc giữa SBC và ABCD là S· IH. 5a 3 IH 2a, SH SC2 HC2 . 2 5 3 tan S· IH 65012' . A D 4 Câu 26. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? I A. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai H đường thẳng cắt nhau nằm trong ( ) thì dB C vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong . B. Nếu đường thẳng d  thì d vuông góc với hai đường thẳng trong . C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong ( ) thì d  . D. Nếu d  và đường thẳng a// thì a  d . Hướng dẫn giải: • Đường thẳng d có thể vuông góc với hai đường thẳng song song nằm trên mặt phẳng nên đáp án này sai. • Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng thì lúc đó nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng nên nó vuông góc với hai đường thẳng thì hiển nhiên đúng. • đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng ( ) thì nó sẽ vuông góc với mặt phẳng và do đó d vuông với mọi đường thẳng nằm trong ( ) là hiển nhiên đúng. • Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng thì d song song hoặc trùng với giá của véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) do đó nếu đường thẳng a// thì a  d là đúng. Câu 27. Trong không gian cho đường thẳng và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với ? A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải Qua điểm O có vô số đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước chúng nằm trong mặt phẳng qua O và vuông góc với đường thẳng . Câu 28. Qua điểm O cho trước, có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước? A. Vô số. B. 2. C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải: Qua điểm O cho trước có duy nhất một mặt phẳng đi qua O và vuông góc với một đường thẳng cho trước Câu 29. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai ?
  20. A. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau. B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song. C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song. D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song. Hướng dẫn giải: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song nếu hai đường thẳng này đồng phẳng. Trong trường hợp không đồng phẳng chúng có thể chéo nhau trong không gian. Các đáp án khác đều đúng hiển nhiên Câu 30. Hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 3, 4, 5 thì độ dài đường chéo của nó là: A. 5 2 . B. 50. C. 2 5 . D. 12. Hướng dẫn giải: Độ dài đường chéo của hình hộp là 32 42 52 50 5 2 Vậy đáp án đúng là 5 2 . Câu 31. Cho hình chóp S.ABCD có SA  ABC và VABC vuông ở B . AH là đường cao của VSAB . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ? A. SA  BC . B. AH  BC . C. AH  AC . D. AH  SC . Hướng dẫn giải: Ta có SA  ABC nên SA  BC . Mà VABC vuông tại B: AB  BC . SA  BC AH  BC BC  AH  SAB ; AH  SC  SBC . AB  BC AH  SB AH  AC Nếu AC  AB  SAB thì VABC vuông tại A (Vô lý). SA  AC Vậy AH  AC là sai. Câu 32. Cho điểm A nằm ngoài mặt phẳng P . Gọi H là hình chiếu của A lên P . M, N là các điểm thay đổi trong P . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. Nếu AM AN thì HM HN . B. Nếu AM AN thì HM HN . C. Nếu AM AN thì HM HN . D. Nếu HM HN thì AM AN . Hướng dẫn giải Theo tính chất mối liên hệ giữa đường xiên AM , AN và hình chiếu HM , HN . Đường xiên dài hơn có hình chiếu dài hơn và ngược lại. Mệnh đề sai là “Nếu AM AN thì HM HN ”. Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góC. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau đây: A. Ba mặt phẳng ABC ; ABD ; ACD đôi một vuông góC. B. Tam giác BCD vuông. C. Hình chiếu của A lên mặt phẳng BCD là trực tâm tam giác BCD. D. Hai cạnh đối của tứ diện vuông góc.
  21. Hướng dẫn giải: • Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc nên AB  ACD ; AC  ABD ; AD  ABC do đó ba mặt phẳng ABC ; ABD ; ACD đôi một vuông góc. • Gọi H là hình chiếu của A trên BCD . AH  BCD AH  BCD AH  CD CD  ABH CD  BH Tương tự AH  BCD AH  BC CD  ADH BC  DH Do đó H là trực tâm của tam giác BCD . • Theo giả thiết ba đoạn thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc nên AB  ACD AB  CD AC  ABC AC  BD AD  ABC AD  BC Vậy hai cạnh đối của tứ diện vuông góc. • Vậy tam giác BCD vuông là sai. Câu 34. Cho đoạn thẳng AB là (P) là mặt phẳng trung trực của nó. Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề sai? A. MA MB M P . B. MN  P MN  AB . C. MN  AB MN  P . D. M P MA MB . Hướng dẫn giải: Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm trong không gian cách đều 2 điểm A và B Nếu M P MA MB Mặt phẳng P là mặt phẳng trung trực của AB AB  P do đó Nếu MN  P MN  AB . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là tập hợp các điểm trong không gian cách đều 2 điểm A và B Nếu MA MB M P . Nếu MN  AB MN  (P) là sai vì MN có thể là đoạn thẳng đi qua A và vuông góc với AB lúc đó MN // P . VẬN DỤNG THẤP     Câu 35. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C 'D' . Phân tích vectơ AC ' theo các vectơ AB, AD, AA'. Chọn đáp án đúng:  1        A. AC ' AA' AB AD .B. AC ' AA' 2 AB AD . 2   1       C. AC ' 2 AA ' AB AD .D. AC ' AA' AB AD . 2 Hướng dẫn giải    Lưu ý phép cộng vectơ đối với hình vuông ABCD : AB AD AC .       Ta có: AC ' AC AA' AA' AB AD  Câu 36. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C 'D' có cạnh bằng a. Tích vô hướng của hai vectơ AB và  A'C ' có giá trị bằng: 2a2 A. a 2 .B. a 2 .C. a2 2 .D. . 2 Hướng dẫn giải
  22.     Ta có: A'C ', AB AC, AB B· AC 45       A'C '.AB A'C ' . AB .cos A'C ', AB a.a.1 a2     Câu 37. Cho hình hộp ABCD.A'B'C 'D' có: AB B 'C ' DD ' k AC '. Giá trị của k là: A. 3.B. 0.C. 2. D. 1. Hướng dẫn giải        Ta có AC ' AB BC CC ' AB B 'C ' DD ' . Vậy k 1. Câu 38. Cho tứ diện ABCD , gọi M , N là trung điểm của các cạnh AC và BD , G là trọng tâm của tứ diện ABCD và O là một điểm bất kỳ trong không gian. Giá trị k thỏa mãn đẳng thức      OG k OA OB OC OD là: 1 1 A. 4.B. . C. . D. 2 2 4 Hướng dẫn giải Vì G là trọng tâm tứ diện nên:     GA GB GC GD 0         GO OA GO OB GO OC GO OD 0           4GO OA OB OC OD 0 4OG OA OB OC OD  1     OG OA OB OC OD . 4 1 Vậy k . 4    Câu 39. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt AA ' a , AB b , AC c , Gọi I là điểm thuộc CC'  1   sao cho C ' I C 'C , G là trọng tâm của tứ diện BA'B'C' . Biểu diễn vectơ IG qua các 3 vectơ a,b,c . Chọn đáp án đúng :  1 1  1 A. IG a b 2c .B. IG a b 2c . 4 3 3  1 1  1 C. IG b c 2a .D. IG a c 2b 4 3 4 Hướng dẫn giải Ta có: G là trọng tâm của tứ diện BA'B'C' nên :      4IG IB IA' IB ' IC '         4IG IC CB IC ' C ' A' IC ' C ' B ' IC '        4IG IC ' 2IC ' IC CB C ' B ' C ' A'  1    1    4IG CC ' 0 2CB AC AA' 2CB AC 3 3  1 4IG a 2 b c c 3  1 1 IG a 2b 3c 4 3 Câu 40. Cho chóp S.ABC có SAB đều cạnh a, ABC vuông cân tại B và (SAB)  (ABC). Tính góc giữa SC và (ABC) ?
  23. A. 39012' .B. 46073' .C. 35045'.D. 52067' Hướng dẫn giải Lấy H là trung điểm AB. Dễ thấy SH  ABC nên CH là hình chiếu vuông góc của SC lên ABC . Góc giữa SC và ABC là S· CH. a 3 a 5 3 SH , HC tan S· CH 35045' . 2 2 5 Câu 41. Cho chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông cạnh a, SA a 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính góc giữa SB và AC ? A. 69017' .B. 72084'.C. 84062'.D. 27038' . Hướng dẫn giải Lấy M là trung điểm SD. Khi đó góc cần tìm là S góc giữa OM và OC. Ta có MC là trung tuyến SC 2 DC 2 SD2 SCD MC 2 2a2 2 4 M MC a 2 Xét MOC có : MO2 OC 2 MC 2 1 A cosM· OC D 2.MO.OC 2 2 69017' O Câu 42. Cho lăng trụ đều ABC.A' B 'C ' có AB 1, C AA' m m 0 . Hỏi m bằng bao nhiêu để góc B giữa AB ' và BC ' bằng 600 ? A. m 2. B. m 1.C. m 3. D. m 5. Hướng dẫn giải Lấy M , N, P là trung điểm BB ', B 'C ', AB khi đó A C MP//AB ', MN //BC '. P Suy ra góc cần tìm là góc giữa MP, MN. m2 1 MP MN . Lấy Q là trung điểm A' B '. 2 B 1 PN PQ2 QN 2 m2 . 4 PM 2 MN 2 PN 2 1 Suy ra cosP· MN , từ đó M 2.PM.MN 2 A' C ' tính được m 2. Câu 43. Cho chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình vuông Q N cạnh a , SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính B ' góc giữa SC và AD ? A. 39022' .B. 730 45 '.C. 35015' .D. 42024'. Hướng dẫn giải
  24. Ta có BC//AD nên góc giữa SC và AD là góc giữa SC và BC , vậy góc cần tìm là S· CB. Dễ 1 chứng minh SBC vuông tại B nên tan S· CB 35015'. 2 Câu 44. Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy hình thoi cạnh a, ·ABC 600 , SA vuông góc mặt phẳng đáy là SA a 3. Tính góc giữa SBC và ABCD ? A. 33011' B. 14055' C. 62017' D. 26033' Hướng dẫn giải Lấy H là trung điểm BC. Do ·ABC 600 nên S ABC đều. Dễ chứng minh BC  (SAH ) Góc cần tìm là S· HA . a 3 AH , SA a 3 . 2 A D 1 tan S· HA S· HA 26033'. 2 H Câu 45. Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình B C chữ nhật, SA  ABCD , gọi E , F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD . Chọn mệnh đề đúng : A. SC  AEF . B. SC  ADE . C. SC  ABF . D. SC  AEC . Hướng dẫn giải SA  ABCD BC  SA; BC  ABCD BC  SA BC  AE ; BC  AB AE  BC AE  SC AE  SB Tương tự ta cũng có AF  SC . Vậy SC  AEF . Câu 46. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC . Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên ABC . Khi đó khẳng định nào đúng? A. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . B. H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC . C. H là trọng tâm tam giác ABC . D. H là trực tâm tam giác ABC . Hướng dẫn giải Do SA SB SC nên hình chiếu vuông góc của SA, SB, SC lên mặt phẳng ABC lần lượt là HA, HB, HC thỏa HA HB HC . Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
  25. Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có mặt phẳng đáy là hình chữ nhật, tam giác SBD đều, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc đường thẳng SB cắt các đường SB , SC lần lượt tại M , N . 1 1. MN BC . 2 2. SA  MN 3. A, D, M , N không đồng phẳng. 4.  SBC . 5. Thiết diện cắt hình chóp S.ABCD bởi mặt phẳng là hình bình hành. Có bao nhiêu nhận định sai? A. 0B. 3C. 2 D. 4 Hướng dẫn giải Do tam giác SBD đều nên SB SD BD SA2 AB2 SA2 AD2 AB2 AD2 SA AB AD SAB vuông cân tại A .  SB M là trung điểm SB .  SB M SBC vuông tại B có MN   SB MN  SB . Vậy MN là đường trung bình tam giác SBC 1 MN || BC, MN BC . 2 MN //BC MN  SA SA  ABCD  BC MN //BC//AD bốn điểm A, D, M , N đồng phẳng. Thiết diện được tạo thành là hình thang vuông ADNM .  AMN  SBC MN có  AM  MN nên  SBC Vậy có 2 nhận định sai. Câu 48. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính cosin của góc giữa hai mặt bên không liền kề nhau. 1 1 5 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 Hướng dẫn giải Gọi M , N là trung điểm các cạnh AD và BC , S SM  AD và SN  BC . Giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC là đường thẳng d qua S và song song AD , BC . Vì SM  AD và SN  BC nên SM  d và SN  d . Vậy góc giữa hai mặt phẳng SAD và SBC là góc M· SN . B A O M N D C
  26. a 3 Mặt bên là các tam giác đều cạnh a nên SM SN , MN AB a . 2 SM 2 SN 2 MN 2 1 Khi đó : cos M· SN . 2SM.SN 3 Câu 49. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính cosin của góc giữa hai mặt bên liền kề nhau. 1 1 5 1 A. . B. . C. . D. . 3 2 3 2 Hướng dẫn giải Gọi E là trung điểm các cạnh SC , AC  DE S và SC  BE . Giao tuyến của hai mặt phẳng SCD và SBC là đường thẳng SC . Vì AC  DE và SC  BE nên góc giữa hai mặt phẳng SCD và SBC là góc B· ED . E A B Mặt bên là các tam giác đều cạnh a nên a 3 DE BE , BD 2AB2 a 2 . 2 D C BE 2 DE 2 BD2 1 Khi đó : cos M· SN . 2BE.DE 3 Câu 50. Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi E là trung điểm cạnh SC . Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng SBD và EBD . 1 1 5 1 A. . B. . C. .D. . 3 2 3 2 Hướng dẫn giải Gọi O là trung điểm cạnh BD . Theo tính chất hình chóp đều SO  BD . S Mặt bên là các tam giác đều cạnh a nên a 3 DE BE , BD 2AB2 a 2 . 2 Nên tam giác EBD cân tại E , EO  BD . Vậy góc giữa hai mặt phẳng SBD và EBD là E góc S· OE a 2 SO SB2 OB2 , A B 2 a OE BE 2 BO2 . 2 O SO2 OE 2 SE 2 2 1 cos S· OE D C 2SO.OE 2 2 Câu 51. Cho tam giác cân ABC có đường cao AH a 3 , mặt phẳng đáy BC 3a , BC  P , A P 0. Gọi A là hình chiếu vuông góc của A lên P . Tam giác A BC vuông tại A . Gọi là góc giữa P và ABC . Chọn khẳng định đúng.
  27. 2 A. 300 .B. 600 . C. 450 . D. cos . 3 Hướng dẫn giải Tam giác ABC có hình chiếu vuông góc lên P là tam giác A BC . 1 3a2 3 S AH.BC . AB AC và lần lượt có hình chiếu vuông góc lên P là A B và ABC 2 2 1 9a2 A C nên A B A C . Vậy tam giác A BC vuông cân tại A . S BC 2 A BC 4 4 S 3 cos A BC 30o SABC 2 Câu 52. Cho tam giác đều ABC cạnh a . dB , dC lần lượt là đường thẳng đi qua B , C và vuông góc o ABC . P là mặt phẳng đi qua A và hợp với ABC một góc bằng 60 . P cắt dB , dC tại a 6 D và E . AD , AE a 3 . Đặt  D· AE . Khẳng định nào sau đây là khẳng định 2 đúng? 2 6 A.  30o . B. sin  . C. sin  . D.  60o . 6 2 Hướng dẫn giải Tam giác ADE có hình chiếu vuông góc lên ABC là tam giác ABC nên : 2 2 o SABC AB 3 a 3 cos60 , SABC . SADE 4 4 1 1 Mặt khác S AD.AE sin D· AE AD.AE sin  . ADE 2 2 S 2 ABC 2S 0 2 Vậy : sin  ADE cos60 . AD.AE AD.AE 6 Câu 53. Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt phẳng ABC và ABD cùng vuông góc với mặt phẳng BCD . Gọi BE và DF là hai đường cao của tam giác BCD , DK là đường cao của tam giác ACD , bảy điểm A , B , C , D , E , F , K không trùng nhau. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. ABE  DFK .B. ADC  DFK . C. ABC  DFK .D. ABE  ADC . Hướng dẫn giải CD  BE CD  ABE ABE  ACD CD  AB DF  BC • DF  ABC ABC  DFK • DDFF AABBC DF  AC ; DF  AC AC  DFK ACD  DFK DK  AC ABE  DFK • AB  DFK AB  DK ABC  DFK
  28. DK  AB DK  ABC DK  AC DK  ABC DF //DK hoặc DF  DK (vô lý) DF  ABC Vậy ABE  DFK là khẳng định sai. Câu 54. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của hình vuông ABCD , AB a , SO 2a . Gọi P là mặt phẳng qua AB và vuông góc với mặt phẳng SCD . Thiết diện của P và hình chóp S.ABCD là hình gì? A. Hình thang vuông.B. Tam giác cân. C. Hình thang cân.D. Hình bình hành. Hướng dẫn giải Gọi I , J là trung điểm AB , CD . Hiển nhiên SIJ  SCD IO IO 17 Khi đó cos S¶IJ 0 SI IO2 SO2 17 nên góc SIJ là góc nhọn. Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên SCD thì K nằm trên đoạn SJ . Do cách xác định K , IK  SCD , nên AB; IK  P hay P chính là ABK . Gọi P  SCD MN khi đó M , N nằm trên đoạn SC , SD . Khi đó : AB  P , CD  SCD , AB//CD MN //AB//CD nên thiết diện của P và hình chóp S.ABCD là hình là hình thang ABMN . Mặt khác IK vuông góc AB , MN tại các trung điểm I , K của hai đoạn AB , MN nên ABMN là hình thang cân. Câu 55. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh có độ dài bằng a, M là trung điểm đoạn CD . Gọi là góc giữa AC và BM . Chọn khẳng định đúng? 3 1 3 A. 30o .B. cos . C. cos . D. cos . 4 3 6 Hướng dẫn giải Gọi N là trung điểm AD , khi đó MN //AC nên góc giữa AC và BM bằng góc giữa MN và BM, là góc B· MN , vậy B· MN .
  29. a 3 a BM 2 MN 2 BN 2 3 BM BN ; MN . cos cos B· MN . 2 2 2BM.MN 6