Bài tập trắc nghiệm Giải tích Lớp 12 - Chương 1 - Chủ đề 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập trắc nghiệm Giải tích Lớp 12 - Chương 1 - Chủ đề 7: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (Có đáp án)

1. CHỦ ĐỀ 7. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A.KỸ NĂNG CƠ BẢN Bài tốn 1: Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp. Cho hàm số y f x , gọi đồ thị của hàm số là C . Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C : y f x tại M xo ; yo . ❖ Phương pháp o Bước 1. Tính y f x suy ra hệ số gĩc của phương trình tiếp tuyến là k y x0 . o Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm M x0 ; y0 cĩ dạng / y y0 f x0 x x0 .  Chú ý: o Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cĩ hồnh độ x0 thì khi đĩ ta tìm y0 bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức y0 f x0 . Nếu đề cho y0 ta thay vào hàm số để giải ra x0 . o Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị C : y f x và đường thẳng d : y ax b. Khi đĩ các hồnh độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hồnh độ giao điểm giữa d và C .  Sử dụng máy tính: Phương trình tiếp tuyến cần tìm cĩ dạng d : y ax b. d o Bước 1: Tìm hệ số gĩc tiếp tuyến k y x0 . Nhập f x bằng cách nhấn dx x x0 W SHIFT W sau đĩ nhấn ta được a. W o Bước 2: Sau đĩ nhân với X tiếp tục nhấn phím f x CALC X xo nhấn phím ta được b. ❖ Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho hàm số C : y x3 3x2 . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C tại điểm M 1;4 là A. y 9x 5. B. y 9x 5. C. y 9x 5. D. y 9x 5. Hướng dẫn giải Ta cĩ y ' 3x2 6x k y 1 9 . Phương trình tiếp tuyến tại M 1;4 là d : y y x0 x x0 y0 9 x 1 4 9x 5 . Chọn đáp án D.  Sử dụng máy tính: d o Nhập X 3 3X 2 nhấn dấu ta được 9. dx x 1 o Sau đĩ nhân với X nhấn dấu X 3 3X 2 CALC X 1 ta được 5 . Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là y 9x 5 . Ví dụ 2. Cho hàm số y 2x3 6x2 5 . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M thuộc C và cĩ hồnh độ bằng 3. A. y 18x 49. B. y 18x 49. C. y 18x 49. D. y 18x 49. Hướng dẫn giải 2 Ta cĩ y 6x 12x . Với x0 3 y0 5 M 3; 5 và hệ số gĩc k y 3 18 . Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là y 18 x 3 5 18x 49 . Chọn đáp án A. Trang 1/25
2.  Sử dụng máy tính: d o Nhập 2X 3 6X 2 5 nhấn dấu ta được 18 . dx x 3 o Sau đĩ nhân với X nhấn dấu 2X 3 6X 2 5 CALC X 3 nhấn dấu ta được 49 . Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là y 18x 49. 1 Ví dụ 3. Cho hàm số C : y x4 2x2 . Phương trình tiếp tuyến của C tại điểm M cĩ hồnh 4 độ x 0, biết y x 1 là 0 0 5 1 A. y 3x 2. B. y 3x 1. C. y 3x . D. y 3x . 4 4 Hướng dẫn giải Ta cĩ y x3 4x , y 3x2 4 . Mà 2 2 y x0 1 3x0 4 1 x0 1 x0 1 (vì x0 0 ). 7 Vậy y , suy ra k y 1 3. Vậy phương trình tiếp tuyến tại M là 0 4 7 5 d : y 3 x 1 y 3x  Chọn đáp án C. 4 4  Sử dụng máy tính: d 1 4 2 o Nhập X 2X nhấn dấu ta được 3 . dx 4 x 1 1 5 o Sau đĩ nhân với X nhấn dấu X 4 2X 2 CALC X 1 ta được . 4 4 5 Vậy phương trình tiếp tuyến là d : y 3x  4 Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C : y f x cĩ hệ số gĩc k cho trước. ❖ Phương pháp o Bước 1. Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm và tính y f x . o Bước 2. Hệ số gĩc tiếp tuyến là k f ' x0 . Giải phương trình này tìm được x0 , thay vào hàm số được y0. o Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng d : y y0 f x0 x x0  Chú ý: Đề bài thường cho hệ số gĩc tiếp tuyến dưới các dạng sau: • Tiếp tuyến d // : y ax b hệ số gĩc của tiếp tuyến là k a. 1 • Tiếp tuyến d  : y ax b, a 0 hệ số gĩc của tiếp tuyến là k  a • Tiếp tuyến tạo với trục hồnh một gĩc thì hệ số gĩc của tiếp tuyến d là k tan .  Sử dụng máy tính: Nhập k X f x CALC X x0 nhấn dấu ta được b . Phương trình tiếp tuyến là d : y kx b. Trang 2/25
3. ❖ Ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho hàm số C : y x3 3x 2 . Phương trình tiếp tuyến của C biết hệ số gĩc của tiếp tuyến đĩ bằng 9 là: y 9x 14 y 9x 15 y 9x 1 y 9x 8 A. . B. . C. . D. . y 9x 18 y 9x 11 y 9x 4 y 9x 5 Hướng dẫn giải 2 2 2 Ta cĩ y 3x 3 . Vậy k y x0 9 3x0 3 9 x0 4 x0 2  x0 2 + Với x0 2 y0 4 ta cĩ tiếp điểm M 2;4 . Phương trình tiếp tuyến tại M là y 9 x 2 4 y 9x 14 . + Với x0 2 y0 0 ta cĩ tiếp điểm N 2;0 . Phương trình tiếp tuyến tại N là y 9 x 2 0 y 9x 18. Vậy cĩ hai tiếp tuyến cần tìm là y 9x 14 và y 9x 18 . Chọn đáp án A.  Sử dụng máy tính: 3 2 + Với x0 2 ta nhập 9 X X 3X 2 CALC X 2 nhấn dấu ta được 14 y 9x 14. 3 2 + Với x0 2 ta nhập 9 X X 3X 2 CALC X 2 nhấn dấu ta được 18 y 9x 18. 2x 1 Ví dụ 2. Cho hàm số C : y  Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến song x 2 song với đường thẳng cĩ phương trình :3x y 2 0 . A. y 3x 2. B. y 3x 14 C. y 3x 5. D. y 3x 8. Hướng dẫn giải 3 Ta cĩ y ' , :3x y 2 0 y 3x 2 . Do tiếp tuyến song song với đường thẳng x 2 2 3 2 x 2 1 x 1 nên k 3 x 2 1 0 0 . 2 0 x 2 1 x 3 x0 2 0 0 2X 1 + Với x 1 nhập 3 X CALC X 1 nhấn dấu ta được 2, suy ra 0 X 2 d : y 3x 2 (loại do trùng với ). + Với x0 3 CALC X 3 nhấn dấu ta được 14 d : y 3x 14 . Vậy phương trình tiếp tuyến là d : y 3x 14 . Chọn đáp án B. Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C : y f x biết tiếp tuyến đi qua điểm A xA; yA . ❖ Phương pháp ➢ Cách 1. o Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A xA; yA hệ số gĩc k cĩ dạng d : y k x xA yA ( ) Bước 2: d là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi hệ sau cĩ nghiệm: o f x k x xA yA . f x k o Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình ( ) , ta được tiếp tuyến cần tìm. Trang 3/25
4. ➢ Cách 2. o Bước 1. Gọi M x ; f x là tiếp điểm và tính hệ số gĩc tiếp tuyến k y x f x 0 0 0 0 theo x0. o Bước 2. Phương trình tiếp tuyến cĩ dạng: d : y y x . x x y ( ) . Do điểm 0 0 0 A x ; y d nên y y x . x x y giải phương trình này ta tìm được x . A A A 0 A 0 0 0 o Bước 3. Thế x0 vào ( ) ta được tiếp tuyến cần tìm.  Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm việc tính tốn tương đối mất thời gian. Ta cĩ thể sử dụng máy tính thay các đáp án: Cho f x bằng kết quả các đáp án. Vào MODE 5 4 nhập hệ số phương trình. Thơng thường máy tính cho số nghiệm thực nhỏ hơn số bậc của phương trình là 1 thì ta chọn đáp án đĩ. ❖ Ví dụ minh họa Ví dụ. Cho hàm số C : y 4x3 3x 1. Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến đi qua điểm A 1;2 . y 9x 7 y 4x 2 y x 7 y x 5 A. . B. . C. . D. . y 2 y x 1 y 3x 5 y 2x 2 Hướng dẫn giải Ta cĩ y ' 12x2 3 . Tiếp tuyến của C đi qua A 1;2 với hệ số gĩc k cĩ phương trình là d : y k x 1 2 . + d là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi hệ sau cĩ nghiệm: + 3 4x 3x 1 k x 1 2 1 2 12x 3 k 2 Thay k từ 2 vào 1 ta được 4x3 3x 1 12x2 3 x 1 2 x 1 3 2 1 2 8x 12x 4 0 x x 1 0 1 . 2 x 2 + Với x 1 k 9 . Phương trình tiếp tuyến là y 9x 7. 1 + Với x k 0 . Phương trình tiếp tuyến là y 2. Chọn đáp án A. 2 Dạng 4. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số C1 : y f x và C2 : y g x . ❖ Phương pháp o Bước 1. Gọi d tiếp tuyến chung của C1 , C2 và x0 là hồnh độ tiếp điểm của d và C1 thì phương trình d cĩ dạng y f x0 . x x0 f x0 o Bước 2. Dùng điều kiện tiếp xúc của d và C2 , tìm được x0 . o Bước 3. Thế x0 vào ta được tiếp tuyến cần tìm. ❖ Ví dụ minh họa Ví dụ. Cho hai hàm số: 1 C : y f x 2 x , x 0 và C : y g x 8 x2 , 2 2 x 2 2 . 1 2 2 Phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số là: Trang 4/25
5. 1 1 1 1 A. y x 5. B. y x 1. C. y x 2 D. y x 3. 2 2 2 2 Hướng dẫn giải + Gọi d là phương trình tiếp tuyến chung của C , C và x a ( a 0 và 2 2 a 2 2 ) 1 2 0 là hồnh độ tiếp điểm của d với C1 thì phương trình d là 1 y f x x a y x a 2 a . 0 a 1 2 x 8 x a 1 2 a + d tiếp xúc với C2 khi và chỉ khi hệ sau cĩ nghiệm: x 1 2 2 8 x2 a Thay 2 vào 1 ta được phương trình hồnh độ tiếp điểm của d và C2 . 2 2 x 2 2 2 2 1 2 x 2 8 x 8 x x 0 2 2 x 2 8 x 2 3 2 x 8 x x 4 8 x 2 2 x 2 2 x 0 x 2. 2 x 2x 8 0 1 1 Thay x 2 vào 2 ta được a 4 x 4. Vậy phương trình tiếp tuyến chung a 2 0 1 cần tìm là y x 2 . Chọn đáp án C. 2 Trang 5/25
6. Bài tốn 2: Một số cơng thức nhanh và tính chất cần biết. ax b d Bài tốn 2.1: Cho hàm số y c 0, x cĩ đồ thị C . Phương trình tiếp cx d c tuyến tại M thuộc C và I là giao điểm 2 đường tiệm cận. Ta luơn cĩ: • Nếu  IM thì chỉ tồn tại 2 điểm M thuộc 2 nhánh của đồ thị C đối xứng qua ad bc d I và xM . Cách nhớ: cxM d ad bc . c   mẫu số của hàm số tử số của đạo hàm (I). M luơn là trung điểm của AB (với A, B là giao điểm của với 2 tiệm cận). bc ad (II). Diện tích tam giác IAB khơng đổi với mọi điểm M và S 2 . IAB c2 (III). Nếu E, F thuộc 2 nhánh của đồ thị C và E, F đối xứng qua I thì tiếp tuyến tại E, F song song với nhau. (suy ra một đường thẳng d đi qua E, F thì đi qua tâm I ). Chứng minh: ad bc d a • Ta cĩ y 2 ; I ; là giao điểm của 2 tiệm cận. cx d c c a xM b d • Gọi M xM ; (C) ; xM . Phương trình tiếp tuyến tại M cĩ dạng cxM d c ad bc axM b : y 2 (x xM ) . (cxM d) cxM d Chứng minh (I).  d bc ad ad bc • IM x ; ; u 1; M c c cx d 2 M cxM d  d bc ad ad bc •  IM IM.u 0 x . 0 M c c cx d 2 M cxM d 4 2 cxM d ad bc ad bc d 0 xM . c cx d 3 c M Chứng minh (II). d a • Giao điểm của với tiệm cận ngang là A 2xM ; . c c d ac x 2bc ad • Giao điểm của với tiệm cận đứng là M . B ; c c c xM d d d xA xB 2xM 2xM c c • Xét . a ac xM 2bc ad axM b yA yB 2. 2yM c c c xM d cxM d Vậy M luơn là trung điểm của AB . Chứng minh (III).  2 cx d  2 bc ad • IA M ; c và . IB 0; c c c xM d • IAB vuơng tại I Trang 6/25
7.   1 1 2 cxM d 2 bc ad 2 bc ad S IAB IA. IB . . 2 hằng số. 2 2 c c c xM d c Vậy diện tích IAB khơng đổi với mọi điểm M . Chứng minh (IV): a xE b d 2d 2a axE b • Gọi E xE ; (C) xE F xE ; cxE d c c c cxE d ( E, F đối xứng qua I ). ad bc • Phương trình tiếp tuyến tại E cĩ hệ số gĩc kE 2 (1) . cxE d • Phương trình tiếp tuyến tại F cĩ hệ số gĩc ad bc ad bc ad bc ad bc kF 2 2 2 2 (2) . 2d 2d cxE d d cxE cxE d c xE d c • Từ (1) và (2) suy ra kE kF . ax b Bài tốn 2.2: Cho hàm số y cĩ đồ thị là C , c 0, ad bc 0 . Gọi điểm M x ; y cx d 0 0 trên C , biết tiếp tuyến của C tại điểm M cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho OA n.OB . Khi đĩ x0 thoả cx0 d n. ad bc . Hướng dẫn giải ax b ad bc • Xét hàm số y , c 0, ad bc 0 . Ta cĩ y ' . cx d cx d 2 ax0 b • Gọi M x0 ; C là điểm cần tìm. Gọi tiếp tuyến với C tại M ta cĩ phương trình cx d 0 ax b ad bc ax b : y f ' x x x 0 y x x 0 . 0 0 cx d 2 0 cx d 0 cx0 d 0 2 acx0 2bcx0 bd • Gọi A  Ox A ;0 . ad bc acx2 2bcx bd B  Oy B 0; 0 0 . 2 cx0 d 2 2 acx 2bcx bd acx0 2bcx0 bd • Ta cĩ OA 0 0 ad bc ad bc 2 2 acx 2bcx bd acx0 2bcx0 bd OB 0 0 cx d 2 cx d 2 0 0 2 (vì A, B khơng trùng O nên acx0 2bcx0 bd 0 ). acx2 2bcx bd acx2 2bcx bd • Ta cĩ OA n.OB 0 0 n. 0 0 ad bc 2 cx0 d 1 1 2 n. cx d n. ad bc cx d n. ad bc . ad bc 2 0 0 cx0 d Trang 7/25
8. B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 3x2 1 tại điểm A 3;1 là A. y 9x 26 . B. y 9x 26 .C. y 9x 3.D. y 9x 2 . Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 4x2 1 tại điểm B 1; 2 là A. y 4x 6 .B. y 4x 2 .C. y 4x 6 .D. y 4x 2 . x 1 Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm C 2;3 là x 1 A. y 2x 1. B. y 2x 7 .C. y 2x 7 .D. y 2x 1. Câu 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 3x 2 tại điểm D cĩ hồnh độ bằng 2 cĩ phương trình là A. y 9x 14 .B. y 9x 14 .C. y 9x 22 .D. y 9x 22 . Câu 5. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 8x2 tại điểm E cĩ hồnh độ bằng –3 cĩ phương trình là A. y 60x 171. B. y 60x 171. C. y 60x 189. D. y 60x 189 . 2x 1 Câu 6. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm F cĩ hồnh độ bằng 2 cĩ phương trình là x 1 A. y x 5. B. y x 5.C. y x 1.D. y x 1. Câu 7. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2x3 3x2 tại điểm G cĩ tung độ bằng 5 cĩ phương trình là A. y 12x 7 .B. y 12x 7 .C. y 12x 17 .D. y 12x 17 . Câu 8. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 2x2 3 tại điểm H cĩ tung độ bằng 21 cĩ phương trình là y 40x 101 y 40x 59 A. .B. . y 40x 59 y 40x 101 y 40x 59 y 40x 59 C. .D. . y 40x 101 y 40x 101 x 2 Câu 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm I cĩ tung độ bằng 1 cĩ phương trình là 2x 1 1 8 1 2 1 8 1 2 A. y x . B. y x .C. y x .D. y x . 5 5 5 5 5 5 5 5 Câu 10. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 3x2 2 cĩ hệ số gĩc k 3 cĩ phương trình là A. y 3x 7 .B. y 3x 7 .C. y 3x 1.D. y 3x 1. 1 Câu 11. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 2x2 cĩ hệ số gĩc bằng k 48 cĩ phương trình là 4 A. y 48x 192 .B. y 48x 160.C. y 48x 160 .D. y 48x 192 . x 3 Câu 12. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y biết tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc bằng 4. 1 x y 4x 3 y 4x 3 y 4x 3 y 4x 3 A. . B. .C. .D. . y 4x 13 y 4x 13 y 4x 13 y 4x 13 Câu 13. Cĩ bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x3 2x2 song song với đường thẳng y x ? A. 2.B. 1. C. 3.D. 4. Câu 14. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y 36x 5 của đồ thị hàm số y x4 x2 2 cĩ phương trình là A. y 36x 54 .B. y 36x 54.C. y 36x 90.D. y 36x 90 . Trang 8/25
9. x 5 Câu 15. Cho hàm y cĩ đồ thị là (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến x 2 1 5 đĩ song song với đường thẳng d : y x . 7 7 1 5 1 5 y x y x 7 7 7 7 1 23 1 23 A. .B. .C. y x .D. y x . 1 23 1 23 7 7 7 7 y x y x 7 7 7 7 Câu 16. Cho hàm y 2x3 3x 1 cĩ đồ thị là (C) . Tiếp tuyến của đồ thị (C) vuơng gĩc với đường thẳng x 21y 2 0 cĩ phương trình là: 1 1 y x 33 y x 33 21 y 21x 33 y 21x 33 21 A. . B. .C. .D. . 1 y 21x 31 y 21x 31 1 y x 31 y x 31 21 21 Câu 17. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 2x2 3 vuơng gĩc với đường thẳng x 8y 2017 0 cĩ phương trình là 1 1 A. y x 8 .B. y 8x 8 .C. y 8x 8 .D. y x 8 . 8 8 2x 2 Câu 18. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y biết tiếp tuyến vuơng gĩc với đường x 2 thẳng y 6x 1 là 1 1 1 1 y x y x 1 1 1 6 3 6 3 A. y x . B. y x 1.C. .D. . 6 3 6 1 1 13 y x 1 y x 6 6 3 Câu 19. Cĩ bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x4 4x2 tại giao điểm của đồ thị với trục Ox ? A. 4.B. 2. C. 1.D. 3. Câu 20. Cho hàm số y x3 3x 2 cĩ đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hồnh cĩ phương trình là y 0 y 0 A. y 9x 18.B. .C. y 9x 18 .D. . y 9x 18 y 9x 18 x 5 Câu 21. Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y tại giao điểm A của (C) và trục hồnh. x 1 Khi đĩ, phương trình của đường thẳng d là 1 5 1 5 1 5 1 5 A. y x .B. y x .C. y x .D. y x . 4 4 4 4 4 4 4 4 Câu 22. Tại giao điểm của đồ thị hàm số (C): y 2x3 6x 1 và trục Oy ta lập được tiếp tuyến cĩ phương trình là A. y 6x 1.B. y 6x 1.C. y 6x 1.D. y 6x 1. 1 Câu 23. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y x4 3x2 2 tại giao điểm M của (C) 4 với trục tung là y 2 y 2 A. .B. y 2 .C. y 2 .D. . y 2 y 0 Trang 9/25
10. 2x 1 Câu 24. Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y tại giao điểm A của (C) và trục tung. x 3 Khi đĩ, phương trình của đường thẳng d là 7 1 7 1 7 1 7 1 A. y x . B. y x .C. y x .D. y x . 9 3 9 3 9 3 9 3 x3 Câu 25.Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : y 2x2 3x 1 song song với đường thẳng 3 y 3x 2016 cĩ phương trình là 2 2 y 3x 8 2 y 3x y 3x y 3x A. 3 . B. 3 .C. 2 .D. 3 . y 3x y 3x 8 y 3x 8 3 y 3x 8 x3 Câu 26. Tiếp tuyến tại điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y 2x2 3x 5 sẽ 3 A. song song với đường thẳng x 1.B. song song với trục hồnh. C. cĩ hệ số gĩc dương. D. cĩ hệ số gĩc bằng 1 . 2x Câu 27. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y tại điểm cĩ tung độ bằng 3 là x 1 A. x 2y 7 0 .B. x y 8 0 . C. 2x y 9 0 . D. x 2y 9 0. Câu 28. Cho đường cong (C) : y x3 3x2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm thuộc (C) và cĩ hồnh độ x0 1. A. y 9x 5 . B. y 9x 5 . C. y 9x 5 . D. y 9x 5 . Câu 29. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 3x3 x2 7x 1 tại điểm A 0;1 là A. y x 1.B. y 7x 1.C. y 1.D. y 0. Câu 30. Cho hàm số y x3 3x2 1 cĩ đồ thị (C) . Khi đĩ phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cĩ hồnh độ bằng 5 là A. y 45x 276. B. y 45x 174 . C. y 45x 276 .D. y 45x 174 . Câu 31. Cho hàm số y x3 3x2 6x 1 cĩ đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất cĩ phương trình là A. y 3x 2 .B. y 3x 2 .C. y 3x 8 .D. y 3x 8 . Câu 32. Cho hàm số y x3 6x2 3x 1 cĩ đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc lớn nhất cĩ phương trình là A. y 15x 55 .B. y 15x 5 .C. y 15x 5 .D. y 15x 55 . Câu 33. Cho hàm số y x3 x 1 cĩ đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số luơn đồng biến trên ¡ . B. Trên (C) tồn tại hai điểm A(x1; y1), B(x2 ; y2 ) sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại A và B vuơng gĩc. C. Tiếp tuyến của (C) tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1 cĩ phương trình là y 4x 1. D. Đồ thị (C) chỉ cắt trục hồnh tại một điểm duy nhất. Câu 34. Đường thẳng y ax b tiếp xúc với đồ thị hàm số y x3 2x2 x 2 tại điểm M 1;0 . Khi đĩ ta cĩ A. ab 36 . B. ab 6 .C. ab 36 .D. ab 5 . Câu 35. Cho hàm số y x3 x2 2x 5 cĩ đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến cĩ hệ số gĩc nhỏ nhất, thì hệ số gĩc của tiếp tuyến đĩ là Trang 10/25
11. 1 2 4 5 A. . B. .C. . D. . 3 3 3 3 3x Câu 36. Cho hàm số y cĩ đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tạo với trục hồnh gĩc 600 cĩ phương x 1 trình là y 3x 4 3 y 3x 4 3 A. .B. . y 3x y 3x y 3x 4 3 y 3x 4 3 C. . D. . y 3x y 3x 3 2 Câu 37. Cho hàm số y x 3mx 3(m 1)x 1 (1) , m là tham số. Kí hiệu (Cm ) là đồ thị hàm số (1) và K là điểm thuộc (Cm ) , cĩ hồnh độ bằng 1. Tập tất cả các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của (Cm ) tại điểm K song song với đường thẳng d :3x y 0 là 1 1 A. 1 .B.  .C. ; 1 .D. . 3  3 1 Câu 38. Cho hàm số y x4 mx2 m 1 cĩ đồ thị (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại điểm cĩ hồnh độ 2 bằng –1 vuơng gĩc với đường thẳng cĩ phương trình x 3y 1 0 . Khi đĩ giá trị của m là 13 11 A. m 1. B. m 0 .C. m .D. m . 3 3 Câu 39. Cho hàm số y 2x 1 cĩ đồ thị (C). Biết tiếp tuyến d của đồ thị (C) vuơng gĩc với đường thẳng y 3x 2017 . Hỏi hồnh độ tiếp điểm của d và (C) bằng bao nhiêu? 4 A. .B. 1. C. 4.D. – 4. 9 Câu 40. Cho hàm số y 3x 4x3 cĩ đồ thị (C). Từ điểm M 1;3 cĩ thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) ? A. 0.B. 3. C. 2.D. 1. Câu 41. Cho hàm số y x3 x 2 cĩ đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm N 1;4 của (C) cắt đồ thị (C) tại điểm thứ hai là M. Khi đĩ tọa độ điểm M là A. M 1;0 . B. M 2; 8 .C. M 0;2 .D. M 2;12 . Câu 42. Cho hàm số y x3 x2 x 1 cĩ đồ thị (C). Tiếp tuyến tại điểm N của (C) cắt đồ thị (C) tại điểm thứ hai là M 1; 2 . Khi đĩ tọa độ điểm N là A. 1; 4 .B. 2;5 .C. 1;2 .D. 0;1 . Câu 43. Cho hàm số y x3 3mx2 m 1 x 1 cĩ đồ thị (C). Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cĩ hồnh độ bằng –1 đi qua A 1;3 ? 7 1 1 7 A. m .B. m .C. m .D. m . 9 2 2 9 x m Câu 44. Cho hàm số y cĩ đồ thị (C ) . Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của (C) tại điểm cĩ x 1 m hồnh độ bằng 0 song song với đường thẳng y 3x 1 ? A. m 3 . B. m 1 .C. m 2 .D. m 2. Trang 11/25
12. x Câu 45. Cho hàm số y cĩ đồ thị (C) và gốc tọa độ O. Gọi là tiếp tuyến của (C), biết cắt x 1 trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân. Phương trình là A. y x 1. B. y x 4. C. y x 4 .D. y x . Câu 46. Cho hàm số y x4 x2 6 cĩ đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B sao cho OB = 36OA cĩ phương trình là: x 36y 4 0 y 36x 86 A. . B. . x 36y 4 0 y 36x 86 y 36x 58 x 36y 14 0 C. .D. . y 36x 58 x 36y 14 0 x 1 Câu 47. Cho hàm số y cĩ đồ thị là C . Gọi điểm M x ; y với x 1 là điểm thuộc 2 x 1 0 0 0 C , biết tiếp tuyến của C tại điểm M cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cĩ trọng tâm G nằm trên đường thẳng d : 4x y 0. Hỏi giá trị của x0 2y0 bằng bao nhiêu? 7 7 5 5 A. .B. .C. .D. . 2 2 2 2 4 2 Câu 48. Cho hàm số y x 2mx m (1) , m là tham số thực. Kí hiệu Cm là đồ thị hàm số (1); d 3 là tiếp tuyến của Cm tại điểm cĩ hồnh độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách từ điểm B ; 1 4 đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất? A. m 1. B. m 1 .C. m 2.D. m 2 . 2x 3 Câu 49. Cho hàm số y cĩ đồ thị là C . Cĩ bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị C tại những x 1 điểm thuộc đồ thị cĩ khoảng cách đến đường thẳng d1 : 3x 4y 2 0 bằng 2. A. 2. B. 3. C. 4.D. 0. 2x 1 Câu 50. Cho hàm số y cĩ đồ thị là C . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của C . Tìm điểm x 1 M thuộc C cĩ hồnh độ lớn hơn 1 sao cho tiếp tuyến của C tại M vuơng gĩc với đường thẳng MI ? 7 5 A. M 4; .B. M 3; .C. M 2;3 .D. M 5;3 . 3 2 x 1 Câu 51. Cho hàm số y cĩ đồ thị là C , đường thẳng d : y x m . Với mọi m ta luơn cĩ d 2x 1 cắt C tại 2 điểm phân biệt A, B . Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số gĩc của các tiếp tuyến với C tại A, B . Tìm m để tổng k1 k2 đạt giá trị lớn nhất. A. m 1. B. m 2 .C. m 3 .D. m 5 . x 2 Câu 52. Cho hàm số y 1 .Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 , biết tiếp tuyến 2x 3 đĩ cắt trục hồnh, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O . A. y x 2 . B. y x. C. y x 2. D. y x 1. Trang 12/25
13. 2x 1 Câu 53. Cho hàm số y cĩ đồ thị C . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị C sao cho tiếp x 1 tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn OA 4OB . 1 5 1 5 y x y x 4 4 4 4 A. .B. . 1 13 1 13 y x y x 4 4 4 2 1 5 1 5 y x y x 4 2 4 2 C. .D. . 1 13 1 13 y x y x 4 2 4 4 x Câu 54. Cho hàm số y cĩ đồ thị C . Gọi là tiếp tuyến tại điểm M x ; y (với x 0 ) x 1 0 0 0 thuộc đồ thị C . Để khoảng cách từ tâm đối xứng I của đồ thị C đến tiếp tuyến là lớn nhất thì tung độ của điểm M gần giá trị nào nhất? 7 3 5 A. .B. .C. .D. . 2 2 2 2 2x 1 Câu 55. Cho hàm số y cĩ đồ thị C . Biết khoảng cách từ I 1; 2 đến tiếp tuyến của C tại x 1 M là lớn nhất thì tung độ của điểm M nằm ở gĩc phần tư thứ hai, gần giá trị nào nhất? A. 3e .B. 2e .C. e .D. 4e . 2x 3 Câu 56. Cho hàm số y cĩ đồ thị C . Biết tiếp tuyến tại M của C cắt hai tiệm cận của C x 2  tại A , B sao cho AB ngắn nhất. Khi đĩ, độ dài lớn nhất của vectơ OM gần giá trị nào nhất ? A. 7.B. 5. C. 6.D. 4. x 2 Câu 57. Cho hàm số y cĩ đồ thị C . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C tạo với x 1 hai đường tiệm cận một tam giác cĩ bán kính đường trịn nội tiếp lớn nhất. Khi đĩ, khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị C đến bằng? A. 3 .B. 2 6 .C. 2 3 .D. 6 . 2x 1 Câu 58. Cho hàm số y cĩ đồ thị C . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến của x 1 C cắt 2 tiệm cận tại A và B sao cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến tiếp tuyến gần giá trị nào nhất? A. 6.B. 4. C. 3.D. 5. 2x 1 Câu 59. Cho hàm số y cĩ đồ thị C . Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Tiếp tuyến x 2 của C tại M cắt các đường tiệm cận tại A và B sao cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB cĩ diện tích nhỏ nhất. Khi đĩ tiếp tuyến của C tạo với hai trục tọa độ một tam giác cĩ diện tích lớn nhất thuộc khoảng nào? A. 27; 28 .B. 28; 29 .C. 26; 27 .D. 29; 30 . C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B D C A A A A B C D B D B A C C C D D B Trang 13/25
14. 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D D C C A B D B B D B A B A D C B A C C 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 B C B D B C A B C C A A A D C D D D A II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. Chọn B. Tính y ' 3x2 6x y ' 3 9 phương trình tiếp tuyến là y 9x 26 . Câu 2. Chọn D. Tính y ' 4x3 8x y ' 1 4 phương trình tiếp tuyến là y 4x 2 . Câu 3. Chọn C. 2 Tính y ' y ' 2 2 phương trình tiếp tuyến là y 2x 7 . x 1 2 Câu 4. Chọn A. 2 Tính y0 y(2) 4 và y ' 3x 3 y ' 2 9 . Vậy phương trình tiếp tuyến là y 9x 14 . Câu 5. Chọn A. 3 Tính y0 y( 3) 9 và y ' 4x 16x y ' 3 60 . Vậy phương trình tiếp tuyến là y 60x 171. Câu 6. Chọn A. 1 Tính y0 y(2) 3 và y ' y ' 2 1. Vậy phương trình tiếp tuyến là y x 5 . x 1 2 Câu 7. Chọn A. 3 2 2 Giải phương trình 2x0 3x0 5 x0 1, và y ' 6x 6x y ' 1 12 . Vậy phương trình tiếp tuyến là y 12x 7 . Câu 8. Chọn B. 4 2 x0 2 3 Giải phương trình x0 2x0 3 21 . Đồng thời y ' 4x 4x , suy ra x0 2 y ' 2 40 . Vậy cĩ hai tiếp tuyến cần tìm là y 40x 59 và y 40x 101. y ' 2 40 Câu 9. Chọn C. x0 2 5 1 Giải phương trình 1 x0 3 và y ' 2 y ' 3 . Phương trình tiếp 2x0 1 2x 1 5 1 8 tuyến là y x . 5 5 Câu 10. Chọn D. 2 Giải phương trình y ' x0 3 3x0 6x0 3 0 x0 1. Đồng thời y 1 4 nên phương trình tiếp tuyến là y 3x 1. Câu 11. Chọn B. 3 Giải phương trình y ' x0 48 x0 4x0 48 0 x0 4 . Đồng thời y 4 32 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 48x 160 . Câu 12. Chọn D. Giải phương trình Trang 14/25
15. 4 x0 0 y 0 3 pttt : y 4x 3 y ' x 4 4 . 0 2 x 2 y 2 5 pttt : y 4x 13 1 x0 0 Câu 13. Chọn B. Giải phương trình x0 1 y 1 1 pttt : y x (trùng) 2 y ' x 1 3x 4x 1 0 . 0 0 0 1 1 5 4 x0 y pttt : y x 3 3 27 27 Câu 14. Chọn A. 3 Giải phương trình y ' x0 36 4x0 2x0 36 0 x0 2 . Đồng thời y 2 18 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 36x 54 . Câu 15. Chọn C. Giải phương trình 1 5 x 5 y 5 0 pttt : y x ( trùng ) 1 7 1 0 7 7 y ' x0 . 7 x 2 2 7 1 23 0 x 9 y 9 2 pttt : y x 0 7 7 Câu 16. Chọn C. Giải phương trình x0 2 y 2 9 pttt : y 21x 33 y ' x0 21 . x0 2 y 2 11 pttt : y 21x 31 Câu 17. Chọn C. Giải phương trình y ' x0 8 x0 1. Đồng thời y 1 0 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 8x 8. Câu 18. Chọn D. 1 1 x 4 y 4 1 pttt : y x 1 0 6 3 Giải phương trình y ' x . 0 6 1 13 x 8 y 8 3 pttt : y x 0 6 3 Câu 19. Chọn D. x 0 y '(0) 0 pttt : y 0 4 2 Giải phương trình x 4x 0 x 2 y '(2) 16 pttt : y 16x 32 . x 2 y '( 2) 16 pttt : y 16x 32 Câu 20. Chọn B. Ta giải phương trình 3 x 1 y '(1) 0 pttt : y 0 x 3x 2 0 . x 2 y '( 2) 9 pttt : y 9x 18 Câu 21. Chọn D. x 5 1 Ta giải phương trình 0 x 5 . Đồng thời y '(5) nên phương trình tiếp tuyến x 1 4 1 5 cần tìm là y x . 4 4 Câu 22. Chọn D. Giao điểm của (C) và Oy là A 0;1 y '(0) 6 nên phương trình tiếp tuyến là y 6x 1 . Câu 23. Chọn C. Giao điểm của (C) và Oy là M 0; 2 y '(0) 0 nên phương trình tiếp tuyến là y 2 . Trang 15/25
16. Câu 24. Chọn C. 1 7 Giao điểm của (C) và Oy là A 0; y '(0) nên phương trình tiếp tuyến là 3 9 7 1 y x . 9 3 Câu 25. Chọn A. 7 2 x 1 y 1 pttt : y 3x Ta giải phương trình y ' x 3 0 3 3 . 0 x0 3 y 3 1 pttt : y 3x 8 Câu 26. Chọn B. 11 x 1 y 1 Ta cĩ y ' 0 0 3 . Vậy tiếp tuyến song song trục hồnh. x0 3 y 3 5, y ' 3 0 Câu 27. Chọn D. 1 Theo giả thiết ta cĩ y 3 x 3 và y '(3) . Vậy phương trình tiếp tuyến là 0 0 2 x 2y 9 0 . Câu 28. Chọn B. Theo giả thiết ta cĩ x0 1 y0 4 và y '( 1) 9 . Vậy phương trình tiếp tuyến là y 9x 5 . Câu 29. Chọn B. Theo giả thiết ta cĩ x0 0 y0 1 và y '(0) 7 . Vậy phương trình tiếp tuyến là y 7x 1. Câu 30. Chọn D. Theo giả thiết ta cĩ x0 5 y0 51 và y '(5) 45. Vậy phương trình tiếp tuyến là y 45x 174 . Câu 31. Chọn B. 2 2 Ta cĩ y ' 3x 6x 6 3(x 1) 3 3 min y ' 3 khi x x0 1 y0 y(1) 5. Khi đĩ phương trình tiếp tuyến y 3(x 1) 5 3x 2 . Câu 32. Chọn A. 2 2 Ta cĩ y ' 3x 12x 3 3(x 2) 15 15 max y ' 15 khi x x0 2 . Lúc đĩ y0 y( 2) 25 . Khi đĩ phương trình tiếp tuyến y 15(x 2) 25 15x 55 . Câu 33. Chọn B. [Phương pháp tự luận] 2 y '(x1) 3x1 1 0 Ta cĩ y ' 3x2 1 0 y. (x ).y, (x ) 0 2 1 2 y '(x2 ) 3x2 1 0 hay y '(x1).y '(x2 ) 1. Suy ra 2 tiếp tuyến A và B khơng vuơng gĩc. [Phương pháp trắc nghiệm] Ta cĩ y ' 3x2 1 0,x ¡ . Suy ra hàm số đồng biến trên ¡ và cắt trục hồnh tại một điểm duy nhất A, D đúng. Với x0 1 y '(1) 4, y0 3 . Vậy phương trình tiếp tuyến y 4(x 1) 3 4x 1 C đúng. Câu 34. Chọn A. Trang 16/25
17. Ta cĩ y ' 3x2 4x 1 y '(1) 6 . Khi đĩ phương trình tiếp tuyến tại M (1;0) là a 6 y 6(x 1) 6x 6 , nên ab 36 . b 6 Câu 35. Chọn D. 2 2 2 2 1 5 1 5 5 5 1 Ta cĩ y ' 3x 2x 2 3 x x 3 x min y ' khi x x0 . 3 9 3 3 3 3 3 3 Câu 36. Chọn C. 3 Ta cĩ y ' 0,x 1. Tiếp tuyến tại điểm M (x ; y ) (C) tạo với Ox gĩc 600 (x 1)2 0 0 0 y' 0 3 2 y '(x0 ) tan 60 3  y '(x0 ) 3 2 3 (x0 1) 1 (x0 1) x 2 y 2 3 y 3x 4 3 0 0 . Các tiếp tuyến tương ứng cĩ phương trình là . x0 0 y0 0 y 3x Câu 37. Chọn B. 2 Ta cĩ y ' 3x 6mx 3(m 1) . Do K (Cm ) và cĩ hồnh độ bằng 1, suy ra K 1; 6m 3 . Khi đĩ tiếp tuyến tại K cĩ phương trình : y y '( 1)(x 1) 6m 3 (9m 6)x 3m 3 . Đường thẳng song song với đường thẳng d 9m 6 3 m 1 3x y 0 y 3x . 3m 3 0 m 1 Vậy khơng tồn tại m , ta chọn  . Câu 38. Chọn A. 1 1 Ta cĩ y ' 4x3 mx và đường thẳng x 3y 1 0 viết thành y x . 3 3 Theo yêu cầu bài tốn, phải cĩ y ' 1 3 4 m 3 m 1. Câu 39. Chọn C. 1 Ta cĩ y ' . Gọi x là hồnh độ tiếp điểm của d và (C). 2x 1 0 1 1 1 Theo yêu cầu bài tốn, ta cĩ y ' x0 2x0 1 9 x0 4 . 3 2x0 1 3 Câu 40. Chọn C. Đường thẳng đi qua M 1;3 cĩ hệ số gĩc k cĩ dạng d : y k x 1 3. 3 3x 4x k x 1 3 1 d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau cĩ nghiệm: . Thay 2 3 12x k 2 (2) vào (1) ta được x 0 k 3 3 2 3 2 3x 4x 3 12x x 1 3 8x 12x 0 3 . x k 24 2 Vậy cĩ 2 tiếp tuyến. Câu 41. Chọn B. Phương pháp tự luận Ta cĩ y ' 3x2 1 y ' 1 4 , suy ra tiếp tuyến tại N 1;4 là : y 4x . Phương trình hồnh độ giao điểm của và (C) là Trang 17/25
18. 3 3 x 1 x x 2 4x x 3x 2 0 . x 2 y 8 Phương pháp trắc nghiệm b 2x x (Với y ax3 bx2 cx d là hàm số ban đầu) N M a 2 xM 0 xM 2 M 2; 8 . Câu 42. Chọn C. Phương pháp tự luận Đường thẳng đi qua điểm M 1; 2 cĩ hệ số gĩc k cĩ dạng : y k x 1 2. là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau cĩ nghiệm: 3 2 x x x 1 k x 1 2 1 . 2 3x 2x 1 k 2 Thay (2) vào (1) ta được 3 2 2 2 x 1 x x x 1 3x 2x 1 x 1 2 x 1 x 1 0 N 1;2 .Phư x 1 y 2 ơng pháp trắc nghiệm b 2x x (Với y ax3 bx2 cx d là hàm số ban đầu) N M a 2xN ( 1) 1 xN 1 N 1;2 . Câu 43. Chọn B. 2 Ta cĩ y ' 3x 6mx m 1. Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm của tiếp tuyến cần lập. y ' 1 4 5m Khi đĩ x0 1 , suy ra phương trình tiếp tuyến là y0 2m 1 : y 4 5m x 1 2m 1. 1 Do A 1;3 3 4 5m 1 1 2m 1 m . 2 Câu 44. Chọn D. 1 m Ta cĩ y ' khi đĩ y ' 0 3 1 m 3 m 2 . x 1 2 Câu 45. Chọn B. 1 Ta cĩ y ' 0,x 1. Gọi M x0 ; y0 là tiếp điểm của (C) với tiếp tuyến cần lập. x 1 2 Tam giác OAB cân tại O nên OA = OB, suy ra 1 x 0 y ' x 1 y ' 0 y ' x 1 1 0 . 0 0 2 x 2 x0 1 0 • Với x0 0 y0 0 (loại, do M 0;0  O ). • Với x0 2 y0 2 , suy ra phương trình tiếp tuyến : y x 4 . Câu 46. Chọn C. OB Do 36 y '(x ) 36 . OA 0 3 3 • Với y '(x0 ) 36 4x 2x0 36 4x0 2x0 36 0 x0 2 . Vậy y0 y(2) 14 . Suy ra phương trình tiếp tuyến y 36x 58 . 3 3 • Với y '(x0 ) 36 4x 2x0 36 4x0 2x0 36 0 x0 2 . Trang 18/25
19. Vậy y0 y( 2) 14. Suy ra phương trình tiếp tuyến y 36x 58 . Câu 47. Chọn A. x 1 • Gọi M x ; 0 C với x 1 là điểm cần tìm. 0 0 2 x0 1 • Gọi tiếp tuyến của C tại M ta cĩ phương trình. x 1 1 x 1 : y f '(x )(x x ) 0 (x x ) 0 . 0 0 2(x 1) 2 0 2(x 1) 0 x0 1 0 2 2 x0 2x0 1 x0 2x0 1 • Gọi A  Ox A ;0 và B  Oy B 0; 2 . 2 2(x0 1) • Khi đĩ tạo với hai trục tọa độ OAB cĩ trọng tâm là 2 2 x0 2x0 1 x0 2x0 1 G ; 2 . 6 6(x0 1) 2 2 x0 2x0 1 x0 2x0 1 • Do G thuộc đường thẳng 4x y 0 4. 2 0 6 6(x0 1) 1 2 4 2 (vì A, B khơng trùng O nên x0 2x0 1 0 ) x0 1 1 1 x 1 x 0 2 0 2 . 1 3 x 1 x 0 2 0 2 1 1 3 7 • Vì x 1 nên chỉ chọn x M ; x 2y . 0 0 2 2 2 0 0 2 Câu 48. Chọn B. 3 • A Cm nên A 1;1 m . Ngồi ra y ' 4x 4mx y ' 1 4 4m . • Phương trình tiếp tuyến của Cm tại A là y 1 m y 1 . x 1 , hay 4 4m x y 3 1 m 0 . 1 • Khi đĩ d B; 1, Dấu ‘=’ xảy ra khi m 1 . 16 1 m 2 1 • Do đĩ d B; lớn nhất bằng 1 khi và chỉ khi m 1 . Câu 49. Chọn C. 2x0 3 • Giả sử M x0 ; y0 C y0 . x0 1 3x 4y 2 3x 4y 12 0 • Ta cĩ d M ,d 2 0 0 2 0 0 . 1 2 2 3 4 3x0 4y0 8 0 x0 0 M1 0;3 2x0 3 • Với 3x0 4y0 12 0 3x0 4 12 0 1 1 11 x 1 0 x0 M 2 ; 3 3 4 Trang 19/25
20. 7 x0 5 M 3 5; 2x0 3 4 • Với 3x0 4y0 8 0 3x0 4 8 0 . x0 1 4 4 x0 M 4 ; 1 3 3 Suy ra cĩ 4 tiếp tuyến. Câu 50. Chọn C. Phương pháp tự luận. 2a 1 • Giao điểm của hai tiệm cận là I 1;2 . Gọi M a;b C b a 1 . a 1 1 2a 1 •Phương trình tiếp tuyến của C tại M là y x a . (a 1)2 a 1 1 •Phương trình đường thẳng MI là y (x 1) 2 . (a 1)2 • Tiếp tuyến tại M vuơng gĩc với MI nên ta cĩ 1 1 a 0 b 1 2 . 2 1 . a 1 a 1 a 2 b 3 Vì yêu cầu hồnh độ lớn hơn 1 nên điểm cần tìm là M 2;3 . Phương pháp trắc nghiệm Gọi M x0 ; y0 C , điểm M thoả yêu cầu bài tốn cĩ hồnh độ được tính như sau: x0 2 y0 3 x0 1 2. 1 1. 1 x0 1 1 . x0 0 (L) Vậy M 2;3 . Câu 51. Chọn A. • Phương trình hồnh độ giao điểm của d và C là 1 x 1 x x m 2 . 2x 1 2 g x 2x 2mx m 1 0 (*) m 1 • Theo định lí Viet ta cĩ x x m; x x . Giả sử A x ; y , B x ; y . 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 • Ta cĩ y , nên tiếp tuyến của C tại A và B cĩ hệ số gĩc lần lượt là 2x 1 2 1 1 k1 2 và k2 2 . Vậy 2x1 1 2x2 1 1 1 4(x2 x2 ) 4(x x ) 2 k k 1 2 1 2 1 2 (2x 1)2 (2x 1)2 2 1 2 4x1x2 2(x1 x2 ) 1 4m2 8m 6 4 m 1 2 2 2 • Dấu "=" xảy ra m 1. Vậy k1 k2 đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi m 1. Câu 52. Chọn A. Phương pháp tự luận 1 • Gọi M x0 ; y0 là toạ độ của tiếp điểm y '(x0 ) 2 0 . 2x0 3 Trang 20/25
21. • OAB cân tại O nên tiếp tuyến song song với đường thẳng y x (vì tiếp tuyến cĩ hệ x 1 y 1 1 0 0 số gĩc âm). Nghĩa là y x0 1 . 2x 3 2 0 x0 2 y0 0 • Với x0 1; y0 1 : y 1 x 1 y x (loại). • Với x0 2; y0 0 : y 0 x 2 y x 2 (nhận). Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y x 2 . Phương pháp trắc nghiệm • Tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O nên ta cĩ OA OB n 1 . 2 2 acx0 2bcx0 bd 0 2x0 8x0 6 0 x0 1; x0 3 x0 1 L cx0 d n. ad bc 2x0 3 1. 1 . x0 2 N • Với x0 2; y0 0 : y 0 x 2 y x 2 (nhận). Câu 53. Chọn A. • Giả sử tiếp tuyến d của C tại M (x0 ; y0 ) (C) cắt Ox tại A , Oy tại B sao cho OA 4OB . OB 1 1 1 • Do OAB vuơng tại A nên tan A Hệ số gĩc của d bằng hoặc . OA 4 4 4 1 1 • Vì y ' x 0 nên hệ số gĩc của d bằng , suy ra 0 2 4 x0 1 3 x 1 y 1 1 0 0 2 . x 1 2 4 5 0 x 3 y 0 0 2 1 3 1 5 y x 1 y x 4 2 4 4 • Khi đĩ cĩ 2 tiếp tuyến thoả mãn là: . 1 5 1 13 y x 3 y x 4 2 4 4 Câu 54. Chọn D. Phương pháp tự luận 1 • Ta cĩ y ; I 1;1 . x 1 2 x0 • Gọi M x0 ; C , x0 1 . Phương trình tiếp tuyến tại M cĩ dạng x0 1 1 x0 2 2 : y 2 (x x0 ) x (x0 1) y x0 0 . (x0 1) x0 1 2 x 1 2 2 • d I, 0 2 . 4 1 2 2 1 x0 1 2 x0 1 x0 1 • Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 1 2 x0 2 y0 2 N x 1 x 1 1 . 2 0 0 x 0 L x0 1 0 Trang 21/25
22. Tung độ này gần với giá trị nhất trong các đáp án. 2 Phương pháp trắc nghiệm x0 2 y0 2 N Ta cĩ IM  cx0 d ad bc x0 1 1 0 . x0 0 L Câu 55. Chọn C. Phương pháp tự luận 3 • Ta cĩ y . x 1 2 2x0 1 • Gọi M x0 ; C , x0 1 . Phương trình tiếp tuyến tại M là x0 1 3 2x0 1 2 2 y 2 (x x0 ) 3x (x0 1) y 2x0 2x0 1 0 . (x0 1) x0 1 6 x 1 6 6 • d I, 0 6 . 4 9 9 (x0 1) 2 2 9 2 (x0 1) (x0 1) • Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi x 1 3 y 2 3 L 9 2 2 0 0 (x0 1) x0 1 3 . (x 1)2 0 x0 1 3 y0 2 3 N Tung độ này gần với giá trị e nhất trong các đáp án. Phương pháp trắc nghiệm Ta cĩ IM  cx0 d ad bc x0 1 2 1 x 1 3 y 2 3 L 0 . x0 1 3 y 2 3 N Câu 56. Chọn D. Phương pháp tự luận 2x0 3 • Gọi M x0 ; C , x0 2 . Phương trình tiếp tuyến tại M cĩ dạng x0 2 1 1 : y 2 (x x0 ) 2 . (x0 2) x0 2 2 • Giao điểm của với tiệm cận đứng là A 2;2 . x0 2 • Giao điểm của với tiệm cận ngang là B 2x0 2;2 . 2 2 1 2 1 • Ta cĩ AB 4 x0 2 2 8. Dấu " " xảy ra khi x0 2 2 x0 2 x0 2   x0 3 y0 3 OM 3;3 OM 3 2 N   . x 1 y 1 OM 1;1 OM 2 L 0 0 Phương pháp trắc nghiệm Trang 22/25
23. • AB ngắn nhất suy ra khoảng cách từ I đến tiếp tuyến tại M ngắn nhất xM 3 yM 3 IM  cxM d ad bc xM 2 4 3 xM 1 yM 1  OM 3 2 . Câu 57. Chọn D. Phương pháp tự luận x0 2 • Gọi M x0 ; C , x0 1 , I 1;1 . Phương trình tiếp tuyến tại M cĩ dạng x0 1 3 x 2 : y (x x ) 0 . 2 0 x 1 x0 1 0 x 5 • Giao điểm của với tiệm cận đứng là A 1; 0 . x0 1 • Giao điểm của với tiệm cận ngang là B 2x0 1;1 . 6 • Ta cĩ IA , IB 2 x0 1 IA.IB 12 . Bán kính đường trịn ngoại tiếp IAB là x0 1 SIAB pr , suy ra S IA.IB IA.IB IA.IB r IAB 2 3 6 . p IA IB AB IA IB IA2 IB2 2 IA.IB 2.IA.IB 2 xM 1 3 y0 1 3 • Suy ra rmax 2 3 6 IA IB x0 1 3 . xM 1 3 y0 1 3   • IM 3; 3 IM 6 . Phương pháp trắc nghiệm • IA IB IAB vuơng cân tại I IM  . xM 1 3 yM 1 3 • cxM d ad bc xM 1 1 2 xM 1 3 yM 1 3  IM 6 . Câu 58. Chọn D. Phương pháp tự luận 3 • Gọi M x0 ;2 C , x0 1 . Phương trình tiếp tuyến tại M cĩ dạng x0 1 3 3 : y (x x ) 2 . 2 0 x 1 x0 1 0 6 • Giao điểm của với tiệm cận đứng là A 1; 2 . x0 1 • Giao điểm của với tiệm cận ngang là B 2x0 1; 2 . 1 1 6 • Ta cĩ S IAB IA.IB  2 x0 1 2.3 6 . 2 2 x0 1 • IAB vuơng tại I cĩ diện tích khơng đổi chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi Trang 23/25
24. 6 x 1 3 IA IB 2 x 1 0 . x 1 0 0 x0 1 3 • Với x0 1 3 thì phương trình tiếp tuyến là : y x 3 2 3 . Suy ra 3 2 3 d O, . 2 • Với x0 1 3 thì phương trình tiếp tuyến là : y x 3 2 3 . Suy ra 3 2 3 d O, . 2 3 2 3 Vậy khoảng cách lớn nhất là gần với giá trị 5 nhất trong các đáp án. 2 Phương pháp trắc nghiệm xM 1 3 y 2 3 • IA IB cxM d ad bc xM 1 2 1 xM 1 3 y 2 3 3 2 3 d O, N . 2 Câu 59. Chọn A. Phương pháp tự luận 2x0 1 • Gọi M x0 ; C , x0 2 . Phương trình tiếp tuyến tại M cĩ dạng x0 2 3 2x0 1 : y 2 (x x0 ) . (x0 2) x0 2 2x 2 • Giao điểm của với tiệm cận đứng là A 2; 0 . x0 2 • Giao điểm của với tiệm cận ngang là B 2x0 2; 2 . xA xB 2 2x0 2 2x0 • Xét 2x 2 2x 1 M là trung điểm của AB . y y 0 2 2. 0 2y A B 0 x0 2 x0 2 • IAB vuơng tại I nên M là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB . 2 2 2 2 2x0 1 2 9 S R IM (x0 2) 2 (x0 2) 2 6 x 2 (x 2) 0 0 9 x 3 2 y 3 2 • Dấu " " xảy ra khi (x 2)2 0 0 . 0 (x 2)2 0 x0 3 2 y0 3 2 • Với x0 3 2 : y x 2 3 4 cắt 2 trục tọa độ tại E 0; 2 3 4 và 1 F 2 3 4; 0 , suy ra S OE.OF 14 8 3 27,8564 OEF 2 • Với x0 3 2 : y x 2 3 4 cắt 2 trục tọa độ tại E 0; 2 3 4 và 1 F 2 3 4; 0 , suy ra S OE.OF 14 8 3 0,1435 OEF 2 Phương pháp trắc nghiệm • IM lớn nhất IM  cx0 d ad bc x0 2 4 1 . Trang 24/25
25. x 3 2 y 3 2 0 0 . Giải tương tự như trên. x0 3 2 y0 3 2 Trang 25/25