›
›
›

Bài tập Phương trình. Hệ phương trình Toán Lớp 10 - Phần 3: Hệ phương trình - Đề 4

doc 34 trang nhungbui22 11/08/2022 2460
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Phương trình. Hệ phương trình Toán Lớp 10 - Phần 3: Hệ phương trình - Đề 4", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_phuong_trinh_he_phuong_trinh_toan_lop_10_phan_3_he_p.doc

Nội dung text: Bài tập Phương trình. Hệ phương trình Toán Lớp 10 - Phần 3: Hệ phương trình - Đề 4

  1. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 BÀI TẬP LUYỆN THI & MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC §lượt 2_đề thi đại học các năm trước§ Bài 1) [2002] 3 x y x y 2 2 B02: Giải hệ phương trình: D02: Giải bpt: (x 3x) 2x 3x 2 0 x y x y 2 D02-DB: Giải phương trình: x 4 x 4 2x 12 2 x2 16 Bài 2) [2003] y2 2 1 1 3y 2 x y x A03: Giải hệ phương trình: x y B03: Giải hệ phương trình: x2 2 3 3x 2y x 1 2 y 2(x2 16) 7 x Bài 3) [2004] A04: Giải bất phương trình: x 3 x 3 x 3 B04: Tìm m để pt sau có nghiệm: m 1 x2 1 x2 2 2 1 x4 1 x2 1 x2 x y 1 D04: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: x x y y 1 3m Bài 4) [2005] A05: Giải bất phương trình: 5x 1 x 1 2x 4 2x y 1 x y 1 D05: Giải pt: 2 x 2 2 x 1 x 1 4 A05-DB2: Giải hpt: 3x 2y 4 B05-DB1: Giải pt: 3x 3 5 x 2x 4 B05-DB2: Giải bpt: 8x2 6x 1 4x 1 0 D05-DB1: Giải bpt: 2x 7 5 x 3x 2 x y xy 3 Bài 5) [2006] A06: Giải hệ phương trình: x 1 y 1 4 B06: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 mx 2 2x 1 D06: Giải phương trình: 2x 1 x2 3x 1 0 B06-DB1: Giải phương trình: 3x 2 x 1 4x 9 2 3x2 5x 2 D06-DB2: Giải phương trình: x 2 7 x 2 x 1 x2 8x 7 1 Bài 6) [2007] A07: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 x 1 m x 1 2 4 x2 1 B07: CMR với mọi giá trị dương của tham số m thì pt: x2 2x 8 m(x 2) luôn có hai nghiệm thực phân biệt. 1 1 x y 5 x y D07: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực: 3 1 3 1 x 3 y 3 15m 10 x y 2 A07-DB1: Tìm m để pt: m x 2x 2 1 x(2 x) 0 có nghiệm x 0;1 3 B07-DB2: i) Tìm m để pt sau có đúng một nghiệm: 4 x4 13x m x 1 0 Bài-giảng Pt- Hpt trang.295 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  2. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 2xy 2 x x y 3 x2 2x 9 ii) Giải hpt: 2xy y y2 x 3 2 y 2y 9 D07-DB1: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm: x 3 2 x 4 x 6 x 4 5 m 2x y m 0 D07-DB2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: x xy 1 Bài 7) [2008] A08: 1, Tìm m để pt sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt: 4 2x 2x 2 4 6 x 2 6 x m 5 x2 y x3 y xy2 xy 4 2, Giải hệ phương trình: 5 x4 y2 xy(1 2x) 4 2 2 x4 2x3 y x2 y2 2x 9 xy x y x 2y B08: Giải hpt: D08: Giải hpt: 2 x 2xy 6x 6 x 2y y x 1 2x 2y xy x 1 7y [2009] A09: Giải pt: 2 3 3x 2 3 6 5x 8 0 B09: Giải hpt: Bài 8) 2 2 2 x y xy 1 13y x(x y 1) 3 0 D09: Giải hệ phương trình: 5 (x y)2 1 0 x2 2 x x (4x 1)x (y 3) 5 2y 0 Bài 9) [2010] A10: 1, Giải bất pt: 1 2, Giải hệ pt: 2 2 2 1 2(x x 1) 4x y 2 3 4x 7 B10: Giải phương trình: 3x 1 6 x 3x2 14x 8 0 5x2 y 4xy2 3y3 2(x y) 0 Bài 10) [2011] A11: Giải hpt: 2 2 2 xy(x y ) 2 (x y) B11: Giải phương trình: 3 2 x 6 2 x 4 4 x2 10 3x 2x3 (y 2)x2 xy m D11: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2 x x y 1 2m Bài 11) [2012] Bài 12) Bài 13) Bài-giảng Pt- Hpt trang.296 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  3. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 §lượt 3§ 1 3 2x 1 1 y x x y x(3x 2y)(x 1) 12 Bài 1) Giải các hệ phương trình sau: 1, 2, y x 3, 1 3 2 3 x 2y 4x 8 0 2y 2y x 1 x y x2 y2 x y 4 x2 y2 5 3x2 2xy 16 4, 5, 6, 4 2 2 4 2 2 x(x y 1) y(y 1) 2 x x y y 13 x 3xy 2y 8 2 x x y 1 3 0 x 1 y y x 4y xy x 1 7y 7, 8, 9, 2 5 2 x2 y2 xy 1 13y2 x 1 y x 2 y x y 2 1 0 x 3 3 2xy 3x 4y 6 x2 xy y2 3(x y), x 8x y 2y 10, 11, 12, 2 2 2 2 2 2 2 x 4y 4x 12y 3 x xy y 7(x y) x 3 3 y 1 1 3 2x y x G: 1, - đây là hệ đối xứng loại II 1 3 2y x y - Điều kiện: x 0; y 0 1 1 x y - Trừ vế theo vế ta được: 2 x y 4 x y xy 2 2 Với x y , hệ tương đương với 2x x 1 x 2 x 3 3x 3 x 2 y 2 Với xy 2 y , thế vào pt đầu được: 2x x 2 x 2 x x 2 y 2 - Vậy hệ có nghiệm: x; y 1;1 , 1; 1 , 2; 2 , 2, 2  1 1 1 x y x y 1 0 1 5 1 5  2) y x xy ĐS: x; y 1;1 ; ;  2 2 3 3  2y x 1 2y x 1 2 x(3x 2y)(x 1) 12 3x 2y x x 12 3) x2 2y 4x 8 0 2 3x 2y x x 8 2 uv 12 u 6 u 2 Đặt u 3x 2y;v x x suy ra:  u v 8 v 2 v 6 3 11  Giải từng trường hợp ta dẫn tới đáp số: x; y 2;6 , 1; , 2; 2 , 3,  2 2  2 x2 y2 x y 4 x y x y 2xy 4 x y 0  x y 1 4) x(x y 1) y(y 1) 2 xy 2 xy 2 ĐS: x; y 2; 2 , 2, 2 , 2,1 , 1, 2  x2 y2 5 5) - Đây là hệ đối xứng loại I đối với x2 và y2 4 2 2 4 x x y y 13 - Đáp số: x; y 2; 1 , 2; 1 , 1; 2 , 1, 2  Bài-giảng Pt- Hpt trang.297 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  4. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 3x2 2xy 16 6) - Đây là hệ đẳng cấp bậc 2 2 2 x 3xy 2y 8 - Nhận xét x = 0 không thỏa mãn hệ, ta xét x 0 , đặt y tx 2 x 3 2t 16 Hệ trở thành: 2 2 x 1 3t 2t 8 - Giải hệ này tìm t, x. - Đáp số: x; y 2; 1 , 2,1  2 x 1 2 2 y x 4 x 1 x 1 y y x 4y y 1 7) y ĐS: x; y 1;2 ; 2;5 2  x2 1 y x 2 y x 1 y x 2 1 y x 3 y 1 x 1 x x 7 x 7 xy x 1 7y y y y y 8) x2 y2 xy 1 13y2 1 x 2 x2 13 1 x y2 y x 13 y y 3 1 x x y 1 3 0 x y 1 x y 2 x y x 2 9) 2 5 1  2 5 1 1 1 x y 2 1 0 x x y 2 1 x x x 2 3  ĐS: x; y 1;1 ; 2;  2  2xy 3x 4y 6 x 2 2y 3 0 10) 2 2 2 2 x 4y 4x 12y 3 x 4y 4x 12y 3 1 3 3 3  ĐS: x; y 2; ; 2; ; 2; ; 6;  2 2 2 2  2 2 2 2 x xy y 3(x y) x2 xy y2 3(x y) x xy y 3(x y) 11) 2 2 2 2 2 y x xy y 7(x y) 2x 5xy 2y 0 x 2y  x 2 ĐS: x; y 0;0 ; 1;2 ; 1; 2  3 3 x 8x y 2y x3 y3 8x 2y(1) 12) 2 2 2 2 x 3 3 y 1 x 3y 6(2) 2 x3 8x 0 x x 8 0 x 0 *) Xét y 0 (Vô lý) 2 2 2 x 3 3 x 6 x 6 *) Chia 2 vê' (1) cho y3 và 2 vê' (2) cho y2 ta có : 3 x x y 8t 2 1 8 2 t3 1 3 3 2 2 y y y x y 3 t 3 .Coi :t t 1 (8t 2). 2 y 6 6 x 6 t 2 3 3 2 2 y y y t 0 3 2 3 2 2 3t 3 (4t 1)(t 3) t t 12t 0 t(t t 12) 0 t 4 t 3 Bài-giảng Pt- Hpt trang.298 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  5. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 )t 0 x 0 y2 2 0(loai) )t 3 x 3y 9y2 3y2 6 y 1 (3;1),( 3; 1) 6 6 6 6 6 )t 4 x 4y 16y2 3y2 6 y ( 4 ; );(4 ; ) 13 13 13 13 13 6 6  Vây S 3; 1 , 4 ;   13 13  4 3 1 1 x 2y x 3 3 x4 2y3 x 3 3 4 4 Bài 2)Giải hệ phương trình: a) b) 4 3 1 1 y 2x y 3 3 y4 2x3 y 3 3 4 4 1 1 G: a) Cộng hai phương trình của hệ ta được: (x4 2x3 x) (y4 2y3 y) (*) 4 4 1 1 1 Ta có : (t 4 2t3 t) (t 2 t) (t 2 t) 1 (2t 2 2t 1)2. 4 4 4 1 Do đó (*) (2x2 2x 1)2 (2y2 2y 1)2 0 2x2 2x 1 2y2 2y 1 0 4 1 3 1 3 Giải phương trình trên ta được x , y thỏa mãn HPT. 2 2 1 3 1 3 Vậy nghiệm của hệ: x , y 2 2 4 3 1 x 2y x 3 3 4 4 3 4 3 1 1 b) Cộng hai pt của hệ ta được: (x 2x x) (y 2y y) (*) 1 4 4 y4 2x3 y 3 3 4 1 1 1 Ta có : (t 4 2t3 t) (t 2 t) (t 2 t) 1 (2t 2 2t 1)2. 4 4 4 1 Do đó (*) (2x2 2x 1)2 (2y2 2y 1)2 0 2x2 2x 1 2y2 2y 1 0 4 1 3 1 3 Giải phương trình trên ta được x , y thỏa mãn HPT. 2 2 1 3 1 3 Vậy nghiệm của hệ: x , y 2 2 2 2 2 x y 2x y 0 x3 y 16 x4 x3 y x2 y2 1 y xy2 6x2 Bài 3) Giải hpt: a) b) c) d) 2 3 3 2 2 2 2 2x 4x 3 y 0 3x y 8 x y x xy 1 1 x y 5x 1 x3 y3 19x3 y2 (x 8)(x2 2)(1) (1 42x y ).51 2x y 1 22x y 1(1) e) f) g) 2 2 2 2 3 2 y xy 6x y (8 4x)y 16 16x 5x 0(2) y 4x 1 ln(y 2x) 0(2) x2 y2 2x y2 0 y2 2x / (x2 1) 1 x 1 G: a) 2 3 2 3 2x 4x 3 y 0 2(x 1) 1 y 0 y 1 3 x y 16 3 b) x, y 0 8 3x y 4 4 x y 8 x y 2 3x y 8 x4 x3 y x2 y2 1 x4 x3 y x2 y2 1 x2 (x2 1) 0 c) x y 1 3 2 2 x y x xy 1 (xy 1)(x 1) 0 xy 1 Bài-giảng Pt- Hpt trang.299 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  6. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 y xy2 6x2 1/ x y 6x / y yz(z y) 6 SP 6 S 3 y 1;2 (1/ 2;1) d) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x y 5x 1/ x y 5 z y 5 S 2P 5 P 2 z 2;1 (1;2) 1 x3 y3 19x3 1/ x3 y3 19 z3 y3 19 xy x / y 16 / 3 e) ; 2 2 y xy 6x 1/ x y 6x / y zy(z y) 6 xy y / x 9 / 2 y2 (x 8)(x2 2)(1) f) (2) y 5x 4;4 x ( 2; 6);(19;99);(0;4);(2;2);(5; 1) 2 2 y (8 4x)y 16 16x 5x 0(2) 2x y 1 2x y 2x y 1 2x y 2x y (1 4 ).5 1 2 (1) 1 4 g) (1) 5. 5. 1 2.22x y 2x y 1. Thay vào (2) ta 3 2 y 4x 1 ln(y 2x) 0(2) 5 5 được: f (y) y3 2y 3 ln(y2 y 1) 0 f '(y) 3y2 2 (2y 1) / (y2 y 1) 3y2 (2y2 4y 3) / (y2 y 1) 0y Nên pt có nghiệm duy nhất y = - 1. Vậy hpt có nghiệm duy nhất (0; - 1) 2 2 2 2 x y xy 3 x2 1 y(x y) 4y x 91 y 2 y (1) Bài 4) Giải hpt: a) b) c) 2 2 (x2 1)(x y 2) y 2 2 x 1 y 1 4 y 91 x 2 x (2) x3 6x2y 9xy2 4y3 0 x2 5x y 9 x 2y xy 0 d) e) f) 3 2 2 x y x y 2 3x x y 2xy 6x 18 x 1 4y 1 2 2 2 x y xy 3(a) G: a) 2 2 x 1 y 1 4(b) (b) x2 y2 2 (x2 1).(y2 1) 14 xy 2 (xy)2 xy 4 11 (c) p 3 p 11 Đặt xy = p. (c) 2 p2 p 4 11 p 2 35 3p 26 p 105 0 p 3 2 35 (a) x y 3xy 3 • p = xy = (loại)• p = xy = 3 x y 2 3 3 xy 3 xy 3 1/ Với x y 3 2/ Với x y 3 x y 2 3 x y 2 3 Vậy hệ có hai nghiệm là: 3; 3 , 3; 3 x2 1 2 x y 2 2 x 1 y(x y) 4y y b) 1) y = 0 không phải là nghiệm. Hệ PT (x2 1)(x y 2) y x2 1 (x y 2) 1 y x2 1 x2 1 u v 2 1 Đặt u ,v x y 2 . Ta có hệ u v 1 y y uv 1 x y 2 1 Nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (–2; 5). 2 2 x 91 y 2 y (1) c) 2 2 y 91 x 2 x (2) Điều kiện: x ≥ 2 và y ≥ 2 : Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: x2 y2 y x (y x)(y x) 2 2 2 2 2 2 x 91 y 91 y 2 x 2 y x x 91 y 91 y 2 x 2 Bài-giảng Pt- Hpt trang.300 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  7. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 x y 1 (x y) x y 0 2 2 x 2 y 2 x 91 y 91 x = y (trong ngoặc luôn dương và x và y đều lớn hơn 2) Vậy từ hệ trên ta có: x2 91 x 2 x2 x2 91 10 x 2 1 x2 9 x2 9 x 3 1 1 (x 3)(x 3) (x 3) (x 3) 1 0 2 x2 91 10 x 2 1 x 91 10 x 2 1 x = 3 Vậy nghiệm của hệ x = y = 3 x y x3 6x2y 9xy2 4y3 0 2 x 4y d) Ta có:(1) (x y) (x 4y) 0 x y x y 2 • Với x = y: (2) x = y = 2 • Với x = 4y:(2) x 32 8 15; y 8 2 15 x2 5x y 9 e) 3 2 2 3x x y 2xy 6x 18 y 9 x 2 5 x 2 y 9 x 5x x 1 x4 4x3 5x2 18x+18 0 x 3 Hệ PT x 1 7 x 1; y 3 x 3; y 15 x 1 7; y 6 3 7 x 1 7; y 6 3 7 x 2y xy 0 f) x 1 4y 1 2 x 2 x y x 2 y 0 x y 2 0 x 4y 1 y Hệ PT x 1 4y 1 2 x 1 4y 1 2 4y 1 1 2 x2 xy y2 1(1) Bài 5)Tìm m để hpt sau có nghiệm: 2 2 x 3xy 2y m(2) Giải: Đặt x ty (1) : y2 (t 2 t 1) 1(3). Vì t 2 t 1 0 với mọi t nên (3) luôn có nghiệm. Từ hpt ta suy ra: (t 2 3t 2) / (t 2 t 1) m (m 1)t 2 (3 m)t m 2 0 (4). +) m = 1: t = 1/2 hpt có nghiệm. +) m 1: (4) có 3(m 4)(m 6) . Từ đó ta suy ra hpt có nghiệm khi 4 m 6 . y2 x3 4x2 ax Bài 6)Xác định a để hpt sau có nghiệm duy nhất: 2 3 2 x y 4x ay Giải: a/ đk cần: gs hpt có nghiệm: (x0 ; y0 ) thì nó cũng có nghiệm (y0 ; x0 ) do đó để hpt có nghiệm duy 3 2 nhất thì x0 y0 x0 5x0 ax0 0 . Vậy nếu hpt có nghiệm dn thì 25 4a 0 a 25 / 4 . x2 y3 4y2 ay 2 2 b) đk đủ: hpt tđ với . Do pt x xy y 3(x y) a 0 2 2 (x y) x xy y 3(x y) a 0 2 2 2 2 2 x (y 3)x y 3y a 0 có x (y 3) 4(y 3y a) 3y 6y 9 4a 0y vì ' y 12(3 a) 0 do a > 25/4 . Với x = y thì hpt trở thành x(x2 5x a) 0 . Do a 25 / 4 25 4a 0 nên pt chỉ có nghiệm x = 0 do đó hpt có nghiệm duy nhất x = y = 0 . Vậy với m < 25/4 thì hpt đã cho có nghiệm duy nhất. Bài-giảng Pt- Hpt trang.301 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  8. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 3 3 3 2 2 2xy 2 2 8x y 27 7y (1) x y 1 2y x 1 Bài 7) Giải hệ phương trình:a) b) x y c) 3 3 4x2y 6x y2 (2) 2 2x y 2y x x y x y 3 y 2 1 3 3 2 2 2 2 3 x y 4xy x y 1 x 3 x y 2 xy x y xy 1 4y d) e) f) g) 2 2 x 2 y(x y)2 2x2 7y 2 x y 9 x2 y2 4 22 2x y 8 y 8x3y3 27 7y3 (1) G: a) 2 2 4x y 6x y (2) t xy 8x3y3 27 7y3 t xy Từ (1) y 0. Khi đó Hệ PT 3 2 3 1 9 4x2y2 6xy y3 8t 27 4t 6t t ; t ; t 2 2 2 3 1 1 3 • Với t : Từ (1) y = 0 (loại).• Với t : Từ (1) x ; y 4 2 2 23 4 9 3 3 • Với t : Từ (1) x ; y 3 4 2 23 4 2 2 2xy x y 1 (1) b) x y . Điều kiện: x y 0 . 2 x y x y (2) 2 1 2 2 (1) (x y) 1 2xy 1 0 (x y 1)(x y x y) 0 x y 1 0 (vì x y 0 nên x y x2 y2 x y 0 ) 2 2 x 1 (y 0) Thay x 1 y vào (2) ta được: 1 x (1 x) x x 2 0 x 2 (y 3) Vậy hệ có 2 nghiệm: (1; 0), (–2; 3). 2 2 2y x 1 c) Ta có: 2x3 y3 2y2 x2 2y x x3 2x2 y 2xy2 5y3 0 3 3 2x y 2y x Khi y 0 thì hệ VN. 3 2 3 x x x Khi y 0 , chia 2 vế cho y 0 ta được: 2 2 5 0 y y y x y x Đặt t , ta có : t3 2t2 2t 5 0 t 1 x y 1, x y 1 2 y y 1 3 3 x y xy 2 2 d) 3 4 Ta có : x y 9 xy 3 . 2 2 x y 9 • Khi: xy 3 , ta có: x3 y3 4 và x3. y3 27 Suy ra: x3; y3 là các nghiệm của phương trình: X 2 4X 27 0 X 2 31 Vậy nghiệm của Hệ PT là: x 3 2 31, y 3 2 31 hoặc x 3 2 31, y 3 2 31 . • Khi: xy 3 , ta có: x3 y3 4 và x3. y3 27 Suy ra: x3; y3 là nghiệm của phương trình: X 2 4X 27 0 (PTVN) Bài-giảng Pt- Hpt trang.302 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  9. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 3 y 2 1 2 2 x y 1 x 2 2 e) Điều kiện: x 0, y 0, x y 1 0 x x2 y2 4 22 y 3 2 3 2 2 2 x 1 1 (1) Đặt u x y 1;v . Hệ PT trở thành: y u v u v u 1 4v 22 u 21 4v (2) v 3 2 3 Thay (2) vào (1) ta được: 1 2v2 13v 21 0 7 21 4v v v 2 x2 y2 1 9 x2 y2 10 x 3 x 3 • Nếu v = 3 thì u = 9, ta có Hệ PT: x  3 x 3y y 1 y 1 y 2 2 x2 y2 1 7 x2 y2 8 y 4 y 4 7 53 53 • Nếu v thì u = 7, ta có hpt: x 7 7  2 x y 2 2 y 2 2 x 14 x 14 53 53 3 x y 2 xy f) Đk: x.y 0 ; x y 2 2x y 8 y Ta có: (1) 3(x y)2 4xy (3x y)(x 3y) 0 x 3y hay x 3 2 x 6 x 12 • Với x 3y , thế vào (2) ta được : y 6y 8 0 y 2 ; y 4 Hệ có nghiệm ; y 2 y 4 y • Với x , thế vào (2) ta được : 3y2 2y 24 0 Vô nghiệm. 3 x 6 x 12 Kết luận: hpt có 2 nghiệm là: ; y 2 y 4 x2 y2 xy 1 4y g) 2 2 y(x y) 2x 7y 2 x2 1 x y 4 x2 y2 xy 1 4y y Từ hệ PT y 0 . Khi đó ta có: . y(x y)2 2x2 7y 2 x2 1 (x y)2 2 7 y x2 1 u v 4 u 4 v v 3, u 1 Đặt u , v x y ta có hệ: 2 2 y v 2u 7 v 2v 15 0 v 5, u 9 x2 1 y x2 1 y x2 x 2 0 x 1, y 2 • Với v 3, u 1ta có hệ: . x y 3 y 3 x y 3 x x 2, y 5 x2 1 9y x2 1 9y x2 9x 46 0 • Với v 5, u 9 ta có hệ: , hệ này vô nghiệm. x y 5 y 5 x y 5 x Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm: (1; 2), ( 2; 5) . x3 4y y3 16x Giải hệ phương trình: . Bài 8) 2 2 1 y 5(1 x ) Từ (2) suy ra y2 –5x2 4 (3). Thế vào (1) được: x3 y2 –5x2 .y y3 16x x3 –5x2y –16 x 0 Bài-giảng Pt- Hpt trang.303 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  10. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 x 0 hoặc x2 –5xy –16 0 • Với x 0 y2 4 y 2 . 2 x2 16 x2 16 • Với x2 –5xy –16 0 y (4). Thế vào (3) được: 5x2 4 5x 5x 4 2 4 2 4 2 2 x 1 (y 3) x –32x 256 –125x 100x 124 x 132x –256 0 x 1 . x 1 (y 3) Vậy hệ có 4 nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3) 2 2 2xy 2 1 x y 1 2 2x x 2 x 1 y(x y) 4y y x y x 2y xy 0 (x 2 1)(x y 2) y y y2 x 2y2 2 x y x2 y Bài 9) Giải hpt: a) b) c) d) x 1 4y 1 2 Ξ x 1 x 2y xy 0 x x 1 a) Đk: 1 Từ (1) 2 0 x = 4y. Nghiệm của hệ (2; ) x 1 4y 1 2 y y y 2 4 x 2 1 y(x y) 4y (x 2 1)(x y 2) y b) x2 1 (x y 2) 2 y x 2 1 HÖ ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi §Æt u , v x y 2 x2 1 y (x y 2) 1 y x2 1 u v 2 1 Ta cã hÖ u v 1. Suy ra y . uv 1 x y 2 1 Gi¶i hÖ trªn ta ®­îc nghiÖm cña hpt ®· cho lµ (1; 2), (-2; 5) 2 1 2x x 2 y y y2 x 2y2 2 c) ĐK : y 0 1 2x2 x 2 0 2 y 2u u v 2 0 u v hệ đưa hệ về dạng u v 1 2 u 1 v 2 1 2v v u 2 0 u v 1 x 2 0 2 2 2 v v u 2 0 y y 3 7 3 7 u u 2 2 hoặc , 1 7 1 7 v v 2 2 3 7 2 3 7 2 Từ đó ta có nghiệm của hệ(-1 ;-1),(1 ;1), ( ; ), ( ; ) 2 7 1 2 7 1 2 2 2xy x y 1 1 d) x y dk x y 0 x y x2 y 2 2 2xy 3 1 x y 2xy 1 0 x y 2xy x y 2xy x y 0 x y Bài-giảng Pt- Hpt trang.304 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  11. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 2 x y x y 1 2xy x y 1 0 x y 1 x y x y 1 2xy 0 x y 1 3 Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x+y>0 2 2 x y x y 0 4 x y 1 x 1; y 0 Thế (3) vào (2) ta được x2 y 1 Giải hệ 2 x y 1 x 2; y 3 x y xy 1 Bài 10) Tìm m để hệ pt có nghiệm duy nhất 2 2 x y 1 m( x y 1) 1 G: * Nếu hệ có nghiệm (x,y) thì (y,x) cũng là nghiệm của hệ pt nên hệ có nghiệm duy nhất thì x=y, thay vào hệ pt giải ra ta có x=y=1và m=0 x y 0 (VN) x y xy 1 x y xy 1 x y xy 1 xy 1 * Với m=0 hệ pt : 2 2 2 2 2 x y 1 1 x y 2 (x y) 2xy 2 x y 2 x 1 xy 1 y 1 Vậy : m=0 Chú ý : Để tìm điêu kiện cho hệ có nghiệm duy nhất có thể biến đổi hệ về dạng đơn giản hơn rồi tìm điều kiện bắt buộc để hệ có nghiệm duy nhất Hoặc lợi dụng tính đối xứng của hệ để tìm điều kiện cần của tham số để hệ có nghiệm duy nhất x 1 y 2 m Bài 11) Tìm m để hệ có nghiệm y 1 x 2 m G: ĐK :x,y 2 3 3 x 1 x 2 y 1 y 2 (1) Hệ x 1 x 2 y 1 y 2 x 1 y 2 m x 1 y 2 m 3 Hs f(t)= nghịch biến trong khoảng (2,+ ) Nên pt(1) x=y thay vào pt kia ta có pt: t 1 t 2 x 1 x 2 m Hệ có nghiệm khi pt này có nghiệm m Min ( x 1 x 2) 3 Vậy: x 2 m 3 x 3 y 2 7x 2 mx Bài 12)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : 3 2 2 y x 7y my (x y)(x 2 y 2 xy 6(x y) m) 0 G: Trừ haivế của hai pt ta có: x=y=0 V 3 2 2 x y 7x mx x y x 2 y 2 xy 6(x y) m 0(2) (I) V (II) 2 3 2 2 y 8y m 0(1) y x 7y my ĐK Cần : Hệ (I)không có nghiệm duy nhất x=y=0,nên hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất thì hệ (I)vô nghiệm pt(1) vô nghiệm , 16 ĐK Đủ :Với m>16 khi đó pt (2) y 2 (x 6)y x 2 6x m 0 Là pt bậc hai ẩn y có 3(x 2) 2 4(m 12) 0 với mọi m>16 nên pt(2) vô nghiệm hệ (II) vô nghiệm và hệ (I) vô nghiệm. Vậy :m>16 x 2 (m 1)xy (m 2)y 2 m 1(1) Bài 13)Tìm m để hệ : có 4 nghiệm phân biệt 2 2 x (m 1)xy (2m 5)y m 1(2) Bài-giảng Pt- Hpt trang.305 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  12. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 (m 3)y 2 2 G: Lấy pt (1) trừ pt (2) rồi rút x theo y ta có x= thay vào pt(1) ta có:(3m 2 18m 23)y 4 - 2y 12(m+1)y 2 +4=0. Đặt t=y 2 (Đ K:t 0 )Ta có:(3m 2 18m 23)t 2 -12(m+1)t+4=0 (3) Hệ có 4 nghiệm pb pt (3) có 2nghiệm dương phân biệt 36(m 1) 2 4(3m 2 18m 23) 0 2 7 3m 18m 23 0 m 3 m 1 0 3m 2 18m 23 Bài 14) Bài-giảng Pt- Hpt trang.306 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  13. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 [lượt 4] Bài 1. Giải các hệ phương trình sau 2 2 2 x y y 2 2y x y 3x a. NNI 2000 x ty b. MDC 98 x ty 3 3 2 2 x y 19 x x y 10y 3 2 2 2 2x y x xy y 19 x y x2 c. HH 2001 d. TL 2001 2 2 x xy y 7 x y 3 2y x 2 y 5 x2 y x3 y xy2 xy 4 xy x 1 7y Bài 2. Giải các hpt sau : a. KA 2008 b. KB 08 5 x2 y2 xy 1 13y2 x4 y2 xy 1 2x 4 x4 x3 y x2 y2 1 x4 2x3 y x2 y2 2x 9 Bài 3. Giải các hpt: a. b. CD KB 08 3 2 2 x y x xy 1 x 2xy 6x 6 1 x2 2 3 y x2 y y2 x 2 x xy 2 c. d. 2 x y x 1 2 2 x y 2 2 2 x y 2x 2x y 4x 1 0 1 x3 y3 19x3 x3 2xy2 12y 0 Bài 4. Giải các hệ phương trình sau : a. b. 2 2 2 2 y xy 6x 8y x 12 1 x y 1 5 xy 2x2 5xy 2y2 x y 1 0 c. d. 2 2 2 2 1 x y 4xy 12x 12y 10 0 x y 1 2 2 49 x y 3 2 3 2 2 x 3x y 3y 2 x 12xy 20y 0 Bài 5. Giải các hpt sau : a. b. x 2 y 1 2 ln 1 x ln 1 y x y log y log x x 3 y 1 x 2 x 2x2 y y3 2x4 x6 2 6y x 2y y c. 2 d. x 2 y 1 x 1 x x 2y x 3y 2 Bài 6. Giải các hệ phương trình sau 2 2 2xy 2 2 2y x y 1 y x y 48 2xy 3x 4y 6 x y 2 a. x y b. c. d. x 2 2 2 2 2 x y x y 24 x 4y 4x 12y 3 2 x y x y 2xy 2y x 0 Bài 7. Giải các hệ phương trình sau 2 2 2 2 2 4 2 x y y 2 y 3 2x 2y 1 2x y x y y 1 3y x y x 3 a. b. c. d. x 2 2 2 1 2 2 2y 2x y 1 6xy xy x 2y x 2 x y 3 x x y x x 3 3 4xy 4 x2 y2 7 2 2 2 x y y 1 x y x y Bài 8. Giải các hệ phương trình sau : a. b. 1 x y 1 2x 3 x y Bài-giảng Pt- Hpt trang.307 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  14. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 2xy 2 x2 y 2y x 4xy x x y 3 x2 2x 9 c. 1 1 x d. 3 2xy 2 x2 xy y y y x 3 2 y 2y 9 Bài 9. Giải các hệ phương trình sau : 4 4 2 2 2 2 3 3 x y xy 2x y 5xy x y 6x y 41 x y xy 1 4y x 4y y 16x a. b. c. 2 d. xy x2 y2 10 2 1 y2 5 x2 1 x y xy 3x y 4xy y x y 2 x 1 7y x2 y2 x2 y2 1 2xy x2 2y2 2x 8y 6 0 Bài 10. Giải các hệ phương trình sau : a. b. 2 2 2 x x y xy y xy 1 x xy y 4x 1 0 2 2 x2 xy y2 3 x y 2x 3 c. d. 3 3 3 3 2 2 2 x 2y y 2x 2 x y 6x 5 3 x y 2 1 2 2 2 8 y x y xy 3 2x 1 4 2 3 2 y x Bài 11. Giải các hệ phương trình sau : a. x5 y5 31 b. x y 2 3 7 x3 y3 7 2 x y 2 2 2 2 2 3 4 6 x y xy 1 4y x y y x x c. d. 2 2 2 y x y 2 x 1 7y x 2 y 1 x 1 x y sinx e Bài 12. Giải các hệ phương trình sau : a. siny x 0; 4 2 2 3 8x 3 1 6 2y 2y 1 8y 1 3x 1 2 2 x2 y2 5 x y 4x 1 x y 3 5 2y 0 b. c. d. x4 y4 6x2 y2 20xy 81 1 2 2 7y 1 4 2 4x y 2 3 4x 7 x y 3 x x 2 3y 2 2y 3 2x 1 x 2y 7 Bài 13 . Giải các hệ phương trình sau a. b. y 3 2y 2 2 3y 2 x 3 2x 1 2 x 2xy 6y 0 2 2 x y x 2y 2 7 2x 1 4 y 1 51 c. d. 2x 1 3y 1 7 xy x 1 y 2 20 3 2 x 3y 2 3 y x 2 x 2 2y 1 x 20y 28 Bài 14 . Giải các hệ phương trình sau :a. b. 2 2 2 x 2y y x2 x x y 10 3 2 2 2 x 2y x y 2xy x3 7y x y x2 y 7x 4 c. d. 2 3 3 2 2 2 x 2y 1 y 14 x 2 3x y 8y 4 8x x3 y3 35 4x2 y4 4xy3 0 Bài 15 . Giải các hệ phương trình sau: a. b. 2 2 2 2 2x 3y 4x 9y 4x 2y 4xy 1 2 2 2 x3 7y x y x2 y 7x 4 x 2y 3x 2xy 0 c. d. 2 2 2 3x y 8y 4 8x xy x y x 1 3y(1 y) Bài-giảng Pt- Hpt trang.308 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  15. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 2 2 1 2 2 x y x 2y xy 2y 5 Bài 16 . Giải các hệ phương trình sau: a. b. 3 2 2 2 2x 3xy 2y 3x y 2 57 4x 3x y 3x 1 25 x3 3xy2 49 6x2 y 2y3 35 0 c. d. 2 2 2 2 x 8xy y 8y 17x 5x 5y 2xy 5x 13y 0 2 2 x 1 6(x 1)y 4y 20 x2 xy y2 3 Bài 17 . Giải các hệ phương trình sau: a. b. 2 2 2 x 2y 1 2 x 2xy 7x 5y 9 0 x2 2y2 2x 8y 6 0 x2 y2 xy x y c. d. 2 2 2 x xy y 4x 1 0 x y 3 x3 2y2 4y 3 0 x3 y3 91 Bài 18 . Giải các hệ phương trình sau a. b. 2 2 2 2 2 x x y 2y 0 4x 3y 16x 9y 3 3 2 2 x 8x y 2y x y xy 1 4y c. d. 2 2 2 2 x 3 3 y 1 y x y 2x 7y 2 2 x y 1 x2 y2 x4 2x3 y x2 y2 2x 9 Bài 19 . Giải các hệ phương trình sau a. b. 2 x xy y 1 y xy 1 1 x 2xy 6x 6 4 2 2 2 2 x 4x y 6y 9 0 2y x y 3x c. d. x2 y x2 2y 22 0 2 2 x x y 10y 2 2 x x y y 8 x 2 y x y x y 13 Bài 20 . Giải các hệ phương trình sau a. b. x 3y 6 2 2 x y x y 25 1 y x 2 2 2 2 xy x y x 2y x y c. d. x x 2y y x 1 2x 2y 2 2 y x 1 1 3 x 1 2x y 1 2y y 1 3 x 2 6y x 2y Bài 21 . Giải các hệ phương trình sau a. 4 y b. y x2 y x 2 2 x y x x 2y x 3y 2 3 2 2 2xy xy 1 2y3 9 5xy x y 1 c. d. x y xy 5y 1 1 3y 2 x y x y x y 1 6 Bài 22 . Giải các hệ phương trình sau : a. b. 2 x 2x y 2x y 1 2 y 1 29 12y 2 2 2 3 x 2 4y x x 4x xy 2y 4 4x 2 x y 1 2x 2y x c. d. 2 2 2 x x 2 y 2x 1 2x y 2 y 1 y 3 y x x 3 2 2 x y 1 x y 1 3x 4x 1 x y 1 x 2y 1 12 Bài 23 . Giải các hệ phương trình sau a. b. 2 2 xy x 1 x x 2y x 1 3y 1 11 Bài-giảng Pt- Hpt trang.309 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  16. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 x y x y 2 2x 2y 4 c. d. 2 2 2 2 x y x y 4 2x 5 2y 2 6 x y x y 2 2 2x 3y 5 x y 7 Bài 24 . Giải các hệ phương trình sau a. b. 3 5 x y 2x y 3 1 y x y x 1 2 2 x 2 y 3 x y 5 2y3 3xy3 8 c. d. 2 2 x3 y 2y 6 x 2 y 3 x y 2 2 2 x 1 y xy 4y 2 x 6y y 3 Bài 25 . Giải các hệ phương trình sau a. y b. x y 2 2 x y x y 4 x 1 1 1 2 8y x x 2 3 3 c. d. x y 1 x y 1 3y x x y 2 2 2 x 2x y 2 4 2 x y xy 2xy 7 Bài 26 . Giải các hệ phương trình sau a. 2 3 2 b. x y 4xy xy 11 x y 28 2 3 2 5 x2 y2 1 x y x y xy xy 3 3 4 2 2 x y 7 x y c. y 1 x 1 2 d. 2 2 4 2 5 x y x y 2 x y xy 1 2x 3xy x y 1 4 2 2 2 4 4 6 4 x y 8x y 0 x x y y 1 y Bài 27 . Giải các hệ phương trình sau a. (đánh giá )b. 2x2 4x 10 y3 0 2 x 5 y 3 4 2 2 x y x y 2 11x y y x 1 c. d. 2 2 y x y 12 7 y x 6y 26x 3 x3 y3 2y2 x x y y 8 x 2 y Bài 28 . Giải các hệ phương trình sau a. b. 3 x y 2y x 3y 6 x2 2xy x y 0 x2 x 2 x y y c. d. 4 2 2 2 x 4x y 3x y 0 x y x y 1 2 2 2 2 x 91 y 2 y x 2 x y 3 y 5 Bài 29 . Giải các hệ phương trình sau a. b. 2 2 2 2 y 91 x 2 x x 2 x y 3 y 2 2 1 4 4 y x 1 x x y 240 x c. 3 3 2 2 d. x 2y 3 x 4y 4 x 8y 2 1 y x y x x2 2 x 3y 2 3 y x 2 Bài 30. Giải các hệ phương trình sau a. b. 3 2 3 y y 3y 5 3x 3 x 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2x 1 2x 1 y 3 y 2 2 x 2x y 1 x y 1 2 2x y y 2x 3 c. d. 3 2 3 3 4x 2 2y 4 6 y 4x 1 ln y 2x 0 x 2y y 2x Bài-giảng Pt- Hpt trang.310 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  17. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 2 2 x y x 3 x y 3 8x 3 2x 1 y 4y3 0 Bài 31. Giải các hệ phương trình sau a. b. 2 3 2 2 4x 8x 2y y 2y 3 0 x y x x 3 2 2 2 x y 2y x 4xy 2x x y 1 y 3y c. d. 1 1 x 2 2 3 x xy 3y x 2y 2 x xy y 2x2 y2 x2 2x 2 2x 3y x2 3xy y2 Bài 32. Giải các hệ phương trình sau a. b. 2 2 2 2 2 2x y x y 2xy 1 x 2y x 2y 1 x2 2 3 2x y 1 2x y 2x y 1 x y 2 2 xy 1 4 5 1 2 c. 2 d. 3 2 2 y 4x 1 ln y 2x 0 2 2 x y 2x 2x y 1 4x 0 x3 3x2 y3 3y 2 e. x 2 y 1 2 log y log x x 3 y 1 x 2 giải bài tập lượt 4: Bài 1. Giải các hệ phương trình sau 2 x y y 2 a. NNI 2000 x ty .Điều kiện : t khác 1 3 3 x y 19 2 t 1 y3 2 3 t 1 3t 1 t 19 2 3 2 2 t t 1 3t 19t(t 1) y3 t 1 3t 1 t 19 t 1 2 t 1 17t 2 15t 2 0 2 . Thay lần lượt các giá trị của t vào phương trình (1) : t 17 • t=1: Loại 2 x y 2 17 x y 17 • t=-2/7 thì x=-2/7y suy ra : 3 2 2 y 2 2.17 2 y 3 1 192 17 2 2 2y x y 3x b. MDC 98 x ty 2 2 x x y 10y 2y3 t 2 1 3ty 5 2 t 1 t 1 3t 2 4 2 4 2 t 20t 20 3t 3t 3t 17t 20 0 3 ty3 t 2 1 10y t t 2 1 10 t 4 Giống như phần a, thay lần lượt các giá trị t vào một trong hai phương trình của hệ . 2 2 2 x xy y 19 x y c. HH 2001 2 2 x xy y 7 x y x y 0 2 2 2 2 2 2 x xy y 19 x y x y 3xy 19 x y xy 6 x y xy 0 * 2 2 2 2 x xy y 7 x y x y xy 7 x y x y (x y) x y 1 xy 6 Bài-giảng Pt- Hpt trang.311 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  18. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 Giải (*) cho ta nghiệm x,y . 3 2x y x2 d. TL 2001 . Đây là hệ đối xứng kiểu 2 đã biết cách giải . 3 2y x 2 y 5 x2 y x3 y xy2 xy 4 Bài 2. Giải các hệ phương trình sau : a. KA 2008 5 x4 y2 xy 1 2x 4 2 2 5 5 x y xy x y xy u v uv 4 4 2 Hệ viết lại : u x y;v xy 2 5 5 x2 y xy u2 v 4 4 u 0 x2 y 0 5 5 v xy 4 4 3 25 3 Học sinh giải tiếp ta được : x; y 3 ; 3 , 1; 1 2 1 u x y 4 16 2 2 2 3 3 v xy 2 2 xy x 1 7y b. KB 08 2 2 2 x y xy 1 13y x 1 1 x x 7 x 7 xy x 1 7y y y y y 1 1 x2 7 x 13 * 2 2 2 2 x y xy 1 13y 2 x 1 2 1 x y y x 13 x 13 2 2 y y y y 3 89 t x ty 1 2 2 x ty Đặt :t x * :t 3t 20 0 1 1 2 y 3 89 t ty ty ty 1 0 t y 2 Giải (1) tìm được x,y. Bài 3. Giải các hệ phương trình sau : 4 3 2 2 x x y x y 1 1 a. Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta được phương trình : 3 2 x y x xy 1 2 2 2 x xy 1 x4 2x3 y x2 y2 x2 xy 2 0 x2 xy x2 xy 2 0 2 x xy 2 2 2 2 x xy 1 x xy 1 x xy 1 3 2 2 2 x y 0 x xy 0 x x 1 0 Thay lần lượt vào (2) : 2 2 2 x xy 2 x xy 2 x xy 2 3 2 x y 3 x xy 3 x2 x2 2 3 Học sinh giải tiếp x4 2x3 y x2 y2 2x 9 b. CD KB 08 2 x 2xy 6x 6 Bài-giảng Pt- Hpt trang.312 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  19. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 2 2 4 3 2 2 x xy 2x 9 3 x 2x y x y 2x 9 2 . Thay (4) vào (3) sau đó rút gọn ta có : 2 6x x 6 x 2xy 6x 6 xy 4 2 x 0 x 0 x 0 x4 12x3 48x2 64x 0 3 2 3 x 12x 48x 64 0 x 4 0 x 4 17 X=0 loại . Vậy hệ có nghiệm duy nhấy : x; y 4; 4 x y 0 x y 2 2 2x x 1 2x x 1 x y y x x y x y 1 0 2 2 0 2 2 c. 2x y 2x 1 x y x y x 1 x y 1 x y 1 2 2 x y x 1 x 1 2 2 2x 1 3 2x 2 • Khi x=y , thì x=-1. Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1) • Khi x+y=1 , (2) có nghiệm duy nhất : x=1 , do đó hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0) 1 x2 2 3 y 2 x xy 2 1 d. 2 . 2 2 2 x y 2x 2x y 4x 1 0 2 1 2x y 2 2 2 2 2 2 x Từ (2) : x y 2x 2 x y 2x 1 0 x y 2x 1 0 * 1 2x xy x 1 x2 1 2x 2 2 1 1 Thay vào phương trình (1): 2 x 2 x . Phương trình này đã biết cách giải ở phần phương 2 x pháp giải phương trình mũ . Bài 4. Giải các phương trình sau : 1 3 1 3 y 19 y 19 3 3 1 x3 y3 19x3 x3 x3 u v 19 1 a. . Với : u ;v y 2 y xy2 6x2 y y y 1 u.v u v 6 x 6 y 6 x2 x x x Học sinh tự giải tiếp . 2 y y 3 2 1 2 12 3 0 2 x 2xy 12y 0 x x 1 2u 12uv 0 y 1 b. . Với : u ;v 2 2 2 2 2 8y x 12 y 12 8u 1 12v x x 8 1 2 x x Giải tiếp tìm được u,v , sau đó tìm x,y . 1 1 1 x y 1 5 x y 5 xy x y u v 5 c. . 2 2 2 2 1 2 1 2 1 u v 53 x y 1 49 x y 49 2 2 2 2 x y x y 1 1 Với : u x ;v y . Học sinh giải tiếp . x y 2x2 5xy 2y2 x y 1 0 d. . Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta có : 2 2 x y 4xy 12x 12y 10 0 Bài-giảng Pt- Hpt trang.313 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  20. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 x2 y2 xy 11x 11y 9 0 x y 2 xy 11 x y 9 xy x y 2 11 x y 9 * Phương trình (2) : x y 2 2xy 12 x y 10 0 . 2 2 x y Thay (*) vào ta được : 3 x y 10 x y 8 0 3 x y 4 2 2 x y x y 3 3 2 2 2 659 Vậy hệ đã cho : xy 11 9 xy . Giải tiếp ta tìm được x,y 3 3 9 x y 4 x y 4 xy 37 xy 16 11.4 9 Bài 5. Giải các hẹ phương trình sau : 2 2 x 12xy 20y 0 x 2y x 10y 0 a. ln 1 x ln 1 y x y ln 1 x ln 1 y x y 1 Từ (2) : ln 1 x x ln(1 y) y f (t) ln t t 1; f '(t) 1 0  t 0. Chứng tỏ hàm số f(t) đồng t biến . Cho nên để có (2) thì chỉ xảy ra khi x=y. x=2y x 10y • Nếu : x; y 0;0 , Nếu : x; y 0;0 x=y x y x3 3x2 y3 3y 2 1 3 2 3 b. x 2 y 1 2 1 x 3x 3x 1 y 3y 3x 3 log y log x x 3 2 y 1 x 2 x 1 3 y3 3y 3 x 1 x 1 3 3 x 1 y3 3y * x 2 Để (*) xảy ra khi và chỉ khi : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 . 1 y 1 2 2 Thay vào (2) ta có : log y 1 log x 1 x 3 x 3 0 x 3.Vậy : y=x-1=3-1=2 Do đó nghiệm của hệ phương trình là : (x;y)=(3;2). 2 3 4 6 2 2 3 2 3 2 2 2 2 4 2x y y 2x x 2x y x y x 0 y x 2x y yx x 0 c. x 2 y 1 x 1 2 2 2 x 2 y 1 x 1 x 2 y 1 x 1 -Trường hợp 1: y= x2 , thay vào (2) : x 2 x2 1 x2 1 2x t 2 x 2 t 2x 0 t 2;t x x2 1 2 x2 3  x 3 . 2 x 1 x x  -Trường hợp : 2x2 y2 yx2 x4 0 y2 yx2 2x2 x4 0 4 2 4 4 2 y x 4 2x x 3x 8x 0  x R y 0 f (, y) 2x2 y2 yx2 x4 0  x, y . Phương trình vô nghiệm . Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)= 3;3 , 3;3 x 2 6y x 2y 2 x 2y y x 2y 6y 0 x 2y 2y x 2y 3y 0 d. y x x 2y x 3y 2 x x 2y x 3y 2 x x 2y x 3y 2 Bài-giảng Pt- Hpt trang.314 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  21. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 y 0 - Trường hợp 1: x 2y 2y . 2 x 2y 4y Thay vào (2) x 2y 4y2 5y 2 2y 4y2 5y 2 4y2 7y 2 0 y 0 y 0 - Trường hợp : x 2y 3y * . 2 2 x 2y 9y x 9y 2y Thay vào (2) : 9y2 2y 3y 9y2 2y 3y 2 9y2 5y 9y2 5y 2 0 y 1 2 t 2 t 9y 5y 0 2 9y 5y 4 0  4 t 2 t 2 0 9y2 5y 2 y 9 Thay lần lượt các giá trị của y vào (*) ta tìm được x . Bài 6. Giải các hệ phương trình sau : 2 2 2xy x y 1 1 2 2 2 a. x y . Từ (2) viết lại : x y x y x x x y x y x x 2 x y x y 2 Ta xét hàm số f(t)=t 2 t t 0 f ' t 2t 1 0  t 0 . Chứng tỏ f(t) là một hàm số đồng biến , cho nên ta có : x y x y x2 x . (*) 2x x2 x 2 2 2xy 2 2 2 2 2 2 Thay vào (1) : x y 2 1 x x x 2 1 x 1 x x 1 2 x 1 0 x x x 1 0 x 1 x 1 x2 x 1 2 0 3 2 x x x 3 0 Giải ( ) ta tìm được x , thay vào (*) tìm được y , từ đó suy ra nghiệm của hệ 2 2 2 2 2 2 y x y 48 2y x y 96 2y x y 96 3 b. . 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y 24 y x y 24 x x 2y x y 24 x 4 576 96 480 Thay (3) vào (4) ta có : x2 96 x2 48x 576 x 10 48 48 y2 36 Thay vào (1) : y 100 y2 48 y2 100 y2 482 y4 100y2 2034 0 2 y 64 Vậy : (x;y)=(10;-6),(10;6),(10;-8),(10;8) 2xy 3x 4y 6 2y x 2 3 x 2 0 x 2 2y 3 0 c. x2 4y2 4x 12y 3 2 2 2 x 2 4y 12y 7 0 x 2 2y 7 2y 1 0 7 y 2 7 1 -Trường hợp : x+2=0 , thay vào (2) : x; y 2; , 2; 1 2 2 y 2 -Trường hợp : 2y+3=0 hay : 2y=-3 , thay vào (2) : 2 2 2 x 2 3 3 x 2 3 7 3 1 0 x 2 4 x; y 2; , 6; x 6 2 2 u 1 2 2y 2y 2y x y 2 x y 2 x y 2 x u v 2 v 1 2 d. x x . 2 2y u.v 1 u 1 2 2xy 2y x 0 2y x y x x y 1 x v 1 2 Bài-giảng Pt- Hpt trang.315 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  22. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 2y Với u=x-y và v= . Học sinh giải tiếp . x Bài 7. Giải các hệ phương trình sau : 2 2 2x 2y 1 2x y 1 x 2y a. . Lấy (1) cộng với (2) vế với vế : x2 3xy 2y2 0 2 2y 2x y 1 6xy 2 x 4y • Với : x=2y thay vào (2) : 5 3 5 y 2 20 5 3 5 5 3 5 5 3 5 5 3 5 10y 5y 1 0 x; y ; . ; 5 3 5 10 20 10 20 y 20 1 y 2 11 4 1 1 • Với x=4y, thay vào (2) : 22y 9y 1 0 x, y ; , 2; 1 11 11 2 y 2 2 2 4 2 x y y 1 3y 1 b. . Học sinh giải theo cách : Đặt x=ty . 2 xy x 2y 2 Cách khác : Lấy (1) trừ cho hai sau khi nhân hai vế với x ( Khử x2 y2 ở hai phương trình của hệ ) : 2 y4 1 x2 3y2 2xy y4 2y2 1 x2 2xy y2 y2 1 x y 2 y2 1 x y  x y2 y 1 . Thay vào (2) 2 2 y 1 y x  x y y 1 • Nếu : y2 1 y2 y 1 2y y4 y3 y 1 0 y 1 y3 1 0 y 1; x 1 y 1; x 1 • Với : x= y y2 1, thay vào (2) ta được : y 1 y3 1 0  y 1 Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1),(1;1). x2 y y 2 1 c. 2 1 2 2 x x y 3 2 x2 Cách 1: Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi nhân hai vế của nó với x2 y , ta được x2 1 2 2 xy x a x 1 2 x phương trình : xy x x x2 1 x xy b x 2 2 x 1 x 3 -Thay a) vào (1) : y 2 x 1 x 1 0 x 1 x 1 x -Tương tự thay b) vào (1) . Học sinh tự làm Cách 2: Do x=0 không là nghiệm cho chia hai vế phương trình (1) cho xy 0 . x2 1 2 1 2 x 1 2 x xy x 3 x xy x xy 2 2 1 2 2 2 2 x2 y2 5 x2 y2 5x2 y2 4 0 4 x x y 5 x xy Từ (4) suy ra : x2 y2 1 x2 y2 4 ( loại ). Cho nên : Bài-giảng Pt- Hpt trang.316 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  23. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 xy 1 1 2 xy 1 y 1 x 2 2 x xy x 2x 1 0 x 1 xy 4 xy 4 xy 1 2 1 2 1 2x x 2 0 x  x x xy 2 xy 1 1 2 xy 1 y 1 x 2 2 x xy x 2x 1 0 x 1 xy 4 xy 4 xy 4 2 1 2 1 2x x 2 0 x  x x xy 2 Vậy hệ có nghiệm : (x,y)=(-1;-1),(-1;1) y 3 x y x 3 1 d. x . Điều kiện : x 0; x y 0 x y x x 3 2 y 3 y 3 y 3 0 Phương trình (1) : x y x 3 x x y x 3 x • Với y=3 , thay vào (1) : 2 x 3 0 x 3 0 ( loại ) x y x 3 x • Với y 3  x x 3 3 x 1; y 8 x y x x 3 Bài 8. Giải các hệ phương trình sau : 2 2 x y x y 1 x y 1 a. . Điều kiện : x 0, y 0, x y x y 1 2 Phương trình (1) x y x y 1 x y x y 0 x y 1 1 x y 0 x y 1 x y 1 x y 1 x 0; y 1 • Với : x 1; y 0 x y 1 x y 1 2 xy 0 x y 1 x y 1 x y 1 • Với : . Học sinh giải tiếp . x y 1 x y 2 xy 1 2x 2 xy 2 3 4xy 4 x2 y2 7 1 2 x y b. . Điều kiện : x y 0 1 2x 3 2 x y 2 2 2 2 3 Phương trình (1) : 3 x y 6xy x y 2xy 2 7 x y 2 3 2 3 x y x y 7 x y 2 1 Phương trình (2) : x y x y 3 x y Bài-giảng Pt- Hpt trang.317 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  24. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 1 2 1 Vậy : Đặt x y u;v x y u2 2 x y x y x y 2 2 2 1 7 3 u 2 v 7 2 2 2 u ,v Hệ trở thành : 3u 3 u 13 0 4u 6u 4 0  2 2 u v 3 u 2;v 1 1 1 x y 1 x y 2 x y 2 x y 1 . Hệ vô nghiệm . x y 2  x 1; y 0 7 2y 0 x y x y 1 2 1 1 1 2 2 1 x y 2y x 4xy x 4 x 4 x y x x y c. 1 1 x 2 3 1 x 1 x 1 1 1 x xy y 4 x 4 2 x x xy y x x y 1 x 2 x2 2x 1 0 x • Trường hợp : 1 x; y 1;1 1 y x 2 2 x y 2xy 2 x x y 1 3 x2 2x 9 d. . 2xy y y2 x 2 3 2 y 2y 9 2xy 2xy Lấy (1) cộng với (2) vế với vế , ta được : x2 y2 3 3 x 1 2 8 3 y 1 2 8 2xy 2 xy 3 x 1 8 3 8 2 3 2 x 2x 9 2 2 Do : VT 2xy ;VP x y 2xy 2 2xy 3 y 1 8 3 8 2 xy 3 2 y 2y 9 Cho nên để xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi : VT=VP=2xy và : x=y=1. Do đó hệ có nghiệm duy nhất : (x,y)=(1;1). Bài 9. Giải các hệ phương trình sau : 1 1 2x y 5 1 x y xy 2x y 5xy y x a. 5 2x y 4 y 3x x 2y 1 x y xy 3x y 4xy 1 1 3x y 4 2 y x Thay vào (2) : 2y 1 y y 2y 1 5y 3 4 2y 1 10y3 19y2 10y 1 0 y 1 2 y 1 10y 9y 1 0 9 41 9 41 y  y 20 20 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 x y 6x y 41 x y 6x y 41 x y 6x y 41 b. 2 2 2 2 4 . xy x y 10 4xy x y 40 x y 81 2 x y 4 4xy x2 y2 41 4xy x y 2xy 81 41 40 2x2 y2 9xy 10 0 2 x y 3 x y 3 x y 9 Bài-giảng Pt- Hpt trang.318 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  25. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 xy 2 x 1, y 2  x 2, y 1 • TH1: x y 3 x 1, y 2  x 2, y 1 x; y 1; 2 , 2; 1 1;2 2;1 5 xy 2 5 5 • TH2. 2 t 3t 0 9 4 1 0 .Hệ vô nghiệm 2 2 x y 3 2 x 1 2 2 2 2 y x 4 x 1 2 x y 8 3 x y xy 1 4y y y y c. 2 2 y x y 2 x 1 7y 2 2 2 2 2 2 x y x 1 7 x 1 x y 7 4 y y 2 x y 5 x y 2 x y 15 0 . Thay lần lượt vào (3) ta có hai hệ : x y 3 x y 5 y 5 x 2 2 1 13 x 1 9y x 9x 46 0 x 1 13 7 13 1 13 7 13 2 x; y ; , ; x y 3 y 3 x 2 2 2 2 y 3 x 2 2 x 1 y x x 3 0 3 3 x 1 x 1 4. 1 16 . x 1 x 3 3 2 2 4 2 1 4 1 3 x 4y y 16x 1 y y y y y y y d. 2 2 2 2 1 y 5 x 1 2 1 x 1 x 1 2 1 5 2 5 4 1 4 y y y 2 y y x Đặt : t (*) Từ (3) và (4) : t3 1 5t 2 1 4t 1 21t3 5t 2 4t 0 y 1 t t 0 3 . Thay t vào (*) để tính x theo y , sau đó thay vào (1) ta sẽ tìm đượcnghiệm 21t 2 5t 4 0 4 t 7 của hệ .(x,y)=(1;-3),(-1;3) Bài 10. Giải các hệ phương trình sau : 2 2 2 2 2 2 2 x y x y 1 2xy 1 x y x2 y2 1 u v 1 3 a. . 2 2 x x y xy y xy 1 2 x y xy(x y) xy 1 u v uv 1 4 Với : u=x-y,v=xy . Từ (3) và (4) , tính uv theo u+v thay vào (3) ta có : u 0;v 1 2 u v 1 uv 0 u v 2 u v 3 0 u 1;v 0 u v 3 uv 4 u,v  x y 0 x y 1 xy 1 x y 1 x; y 1; 1 , 1;1 , 0; 1 , 1;0 x y 1 x 0; y 1 xy 0 x 1; y 0 2 2 2 2 2 x 4x 1 x 2y 2x 8y 6 0 1 x 2x 2 2 y 4y 4 0 y 3 b. x 1 x2 xy y 4x 1 0 2 2 y x 1 x 4x 1 2 2 x 2x 2 2 y 2 4 Bài-giảng Pt- Hpt trang.319 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  26. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 x2 2x 1 Từ (3) : y 2 , thay vào (4) ta được : x 1 2 2 2 x 2x 1 2 2 2 x 2x 2 2 0 x 2x 2 x 2x 1 2 x 2x 1 0 x 1 2 2 t 0 t x 2x x 2x 0 x 0; x 2 2 3t 5t 0 5 2 2 5 2 t 2 t 1 2 t 1 0 t x 2x 3x 6x 5 0 3 3 x 0; x 2 x 0; y 1 3 2 6 3 6 x 2; y 1 x ; x 3 3 x2 4x 1 x x ; y 1 1 . 1 x1 1 2 x x 3 x 1 u 2 2 2 2 x xy y 3 y y y u u 1 3v 3 y c. Với : x3 2y3 y 2x 3 u3 2 v 2uv 4 1 x 1 x 1 v 2 2 2 2 2 y y y y y lấy (3)trừ cho (4) : u2 u3 u 1 2v 2uv u2 1 u 1 u 2v 1 u 1 u u2 1 2v 0 x 1 y x y - Với u=1 thay vào (3) : 3v=3 suy ra v=1 x, y 1; 1 , 1;1 2 1 y 1 2 1 y 2 2 u 1 2 u 1 2 u 1 6 - Với : v , thay vào (3) : u u 1 3 u 2u 5 0 2 2 u 1 6 1 2 * Khi : u 1 6 v 1 6 1 3 6 2 x x 1 6 y 1 6 x 1 6y y 1 2 1 3 6 3 6 y y 2 3 6 y 3 6 3 3 Do đó ta có hệ : x 1 6 x 1 6y x 1 6 y y 1 2 1 1 3 6 y y 2 3 6 3 6 y Cách khác : Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi đã nhân hai vế của (1)với y , ta được phương trình : x3 y3 x2 y xy2 2y 2x x y x2 y2 2xy 2(x y) x y x y 2 2 x y 0 x y x2 y2 2 0 * Với : x-y=0 thay vào (1) ta có x2 1 x; y ( 1; 1), 1;1 Bài-giảng Pt- Hpt trang.320 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  27. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 2 2 x y 2 3 * Với : . Lấy (3) nhân với 2 trừ cho (2) nhân với 3 ( Khử số hàng tự do ) ta : 2 2 x y xy 3 4 x y y 6 x2 5y2 2xy 0 . Trở về như trên . x y y 6 2 2 2 x y 2x 3 1 x y 2xy 3 2x d. 2 x3 y3 6x2 5 3 x2 y2 2 2 x y 3 6xy x y 6x2 5 3 x y 2 2xy Đặt : a=x+y,b=xy . Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta được : Trong bài viết này có sử dụng một số tư liệu của các thày : Nguyễn Trung Kiên , thày: Phạm văn Hùng . Tôi xin chân thành cảm ơn các thày . § đề BÀI TẬP TỰ LUYỆN § [nguyễn.minh.nhiên]Hy vọng một số ví dụ trên sẽ giúp bạn phần nào kĩ năng giải hệ .Để kết thúc bài viết mời các bạn cùng giải các hệ phương trình sau 3 xy 3x 2y 16 x 2 3y 8 1) 2) x2 y2 2x 4y 33 3 x y 2 6 2 3 2 x 3y 9 2 x 2x y 1 x y 1 3) 4) y4 4 2x 3 y2 48y 48x 155 0 3 2 y 4x 1 ln y 2x 0 x x 2 x 4 y 1 y 3 y 5 x3 y2 2 5) 6) 2 2 2 2 x y x y 44 x xy y y 0 y ex 2007 2 2 2 y2 1 x y 2x y 0 7) 8) 3 2 y x 2x 3x 6y 12x 13 0 e 2007 x2 1 Bài 7) Giải các hệ phương trình sau: x y x y 2 x y 2 x y 8 xy xy 6 0 xy 2 xy 3 a) ;b) ;c) ;d) e) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 1 x y 10 x y xy 4 x y xy 73 x y xy 5 x y 2 xy 1 ;f) x y xy 3 x y 5 Bài 8) Giải các hệ phương trình sau (Đề thi đại học) x y 3 x 4 y 1 1 x 2 y 2 a) ( ĐHĐN-98); b) ( ĐHQG-96); c) ( ĐHQGA-96) 4 2y xy 0 y x 1 1 y 2 x 2 x y y x 30 x y 1 1 d) (Đ45) ;e) (KTQD-97) x x y y 35 x y 2 2y 2 I.Hệ phương trình đối xứng loại 1: 5(x y) 2xy 19 x2 xy y2 7 x2 / y y2 / x 18 x3 y3 7 1/ ;2/ ;3/ ;4/ x y 3xy 35 x y 5 x y 12 xy(x y) 2 x y xy 5 x4 y4 17 x y 4 (x2 y2 )xy 78 5/ ;6/ ;7 / ;8/ 2 2 2 2 2 2 3 3 4 4 x y xy 7 x y xy 13 (x y )(x y ) 280 x y 97 Bài-giảng Pt- Hpt trang.321 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  28. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 II.Hệ phương trình đối xứng loại 2: 2 2 2 2 xyz x y z xy z 2 x y z 1 x 2yz x 2 x 13x 4y 2 2 2 2 yzt y z t 1/ ;2/ yz x 2;3/ y z x 1;4/ y 2zx y;5/ y2 13y 4x ztx z t x zx y2 2 z2 x2 y 1 z2 2xy z txy t x y III.Hệ phương trình đẳng cấp: x2 2xy 3y2 9 3x2 2xy y2 11 x3 y3 1 2x3 9y3 (x y)(2xy 3) x3 y3 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 5 5 2 2 x 4xy 5y 5 x 2xy 3y 17 x y 2xy y 2 x xy y 3 x y x y x y y x 30 x y x y 4 x2 y2 8 x IV.Hệ phương trình vô tỉ: ; 2 2 2 2 x x y y 35 x y 128 x y 128 x2 y2 2xy 8 2 S 2 2P 2P 8 2 x y 4 S 2 P 16 2(x y) 3( 3 x2 y 3 xy2 ) x 2 y 2 x 5 y 2 7 x y x y 2(1) ; ; ; 3 2 2 2 2 x 3 y 6 y 2 x 2 y 5 x 2 7 x y x y 4 x y x y 20 ; 2 2 x y 136 x y 2x y 2 7 x y 3x 2y 1 20y / x x y x y ; ; ( ) 3x 2y 23 x y x y 0 16x / 5y x y x y V. Giải HPT bằng pp đánh giá: x y 2 yz x y 1 x 1/ y 1 2x2 /(1 x2 ) y 2x2 /(1 x2 ) y 2 2 3 4 2 z y 2 xz y z 1; y 1/ z 1; 2y /(1 y ) z; 3y /(y y 1) z ; 2 2 4 6 4 2 x z 2 yx z x 1 z 1/ x 1 2z /(1 z ) x 4z /(z z z 1) x 2 2 2 x y z 12 2 2 2 x2 y2 1 x2 y4 z6 1 z 1 2 xy 1 4xy 1 (z 1) ; ; 3 4 4 5 7 2 2 x y 1 x y z 1 x 1 2yz 1 4xy x 1 2yz 1 4xy VI. Một số HPT khác: x y x y 6 5 2y(x2 y2 ) 3x (x y)x2 y2 ) 3 x3 7x y3 7y x 1/ x y 1/ y x y x y ; ; ; ; 2 2 2 2 2 2 3 x(x y ) 10y (x y)(x y ) 15 x y x y 2 2y x 1 xy 2 x2 y2 x y 18 x(3x 2y)(x 1) 12 x(x 2)(2x y) 9 (x y)(1 1/ xy) 5 ; 2 ; 2 ; 2 2 2 2 xy(x 1)(y 1) 72 x 4x 2y 8 x 4x y 6 (x y )(1 1/ x y ) 49 x y z 6 x 2y 3z 9 x u v 9 (x y)(x y z) 45 2 2 2 2 2 2 xy yz zx 7 ; x 4y 9z 189 x u v 189; (y z)(x y z) 63 2 2 2 2 2 x y z 14 3xz 4y xv u (z x)(x y z) 54 Bài-giảng Pt- Hpt trang.322 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  29. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 5xy 6(x y) 5xyz 24(x y) xy a 0 x y xy 1 x(x y z) 2 yz 7yz 12(y z); 7xyz 24(y z); yz b 0; y z yz 5; y(x y z) 3 xz 3xz 4(z x) xyz 4(z x) zx c 0 z x zx 2 z(x y z) 6 xy x2 4xy y2 k 1/ Chứng minh hpt sau luôn có nghiệm: 2 y 3xy 4 x 4 y 1 4 2/ Tìm các GT của m để hpt sau có nghiệm: (13/ 3 m 7) x y 3m x3 y2 7x2 mx 3/ Tìm m để hpt sau có nghiệm duy nhất: có nghiệm duy nhất ( m > 16 ) 3 2 2 y x 7y my 4/Cminh với mọi m, hpt sau luôn có nghiệm, tìm m để hpt có nghiệm duy nhất: x y xy 2m 1 2 (m 1) xy(x y) m m 3x2 2xy y2 11 59 3897 59 3897 5/ Tìm m để hpt sau có nghiệm: m 2 2 x 2xy 3y 17 m 4 4 x2 y2 9 6/ Cho hpt: . Tìm m để hpt có 2 nghiệm (x1; y1) & (x2 ; y2 ) sao cho BT sau (2m 1)x my m 1 0 đạt 2 2 GTLN: A (x1 x2 ) (y1 y2 ) ( A là bình phương độ dài dây cung do ĐT và đ tròn tạo thành ) Hpt đối.xứng loại.I có chứa tham số x y m 1 1-cho hệ pt : 2 2 2 x y xy 2m m 3 a-Giải hệ pt khi m=3 b-CMR :Hệ pt có nghiệm với mọi m x xy y m 1 2- Cho hệ pt : a-Giải hệ pt khi m=2 b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho x>0,y>0 2 2 x y xy m x 2 y 2 xy m 6 3- Cho hệ pt : a- Giải hệ khi m=-3 b- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 2x xy 2y m x y 2m 1 4- Tìm m để hệ : có ngiệm(x,y)saocho:p= xy đạt giá trị nhỏ nhất 2 2 2 x y m 2m 3 x 2 y 2 2 2m 5- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt : 2 (x y) 4 x y m 6- Cho hệ pt : a- Giải hệ khi m=2 2 2 2 x y 6 m b- Tìm m để hệ có nghiệm (x,y) sao cho F=xy+2x+2y đạt giá trị nhỏ nhất xy(x 2)(y 2) 5m 6 7- Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt : 2 2 x y 2x 2y 2m x y xy m 8- Tìm m để hệ : có 4 nghiệm phân biệt 2 2 x y 3 2m x y xy m x y xy m 9- Giải biện luận hệ pt: 10-Tìm m để hệ có nghiệm : 2 2 x y 3 2m x y m Hpt đối.xứng loại II có chứa tham số Bài-giảng Pt- Hpt trang.323 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  30. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 (x 1) 2 y m 1- Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất : 2 (y 1) x m 2- Tìm m để các hệ pt sau có nghiệm duy n hất 2 3 2 2 2 x y 4y my x 1 y m 1 x 2 y m x x y 2m a- b, c, d, y 2 x 3 4x mx 2 y 2 y x 2m y 1 x m 1 y 2 x m 2x y 1 m 3-Tìm m để hệ có nghiệm : 2y x 1 m Hpt đẳng.cấp x 2 my y 2 m 3x 2 2xy y 2 m 1-Tìm m để hệ có nghiệm : 2-Tìm m để hệ có nghiệm : 2 2 2 2 x (m 1)xy my m x xy y 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN.hpt đối.xứng loại II x2 2y2 2x y (1) Bài 7 : Giải hệ 2 2 (x = y = 0 hoặc x = y = -3) y 2x 2y x (2) x2 2x 5 4y x 1 x 5 hay Bài 8 Giải hệ phương trình sau: 2 ĐS: x 2y 5 4x y 1 y 5 2x y 1 3 5 5 Bài 9: Giải hệ phương trình: ĐS: ; 2y x 1 3 4 4 y2 x3 3x2 2x (1) Bài 10: Giải hệ phương trình: 2 3 2 x y 3y 2y (2) Hệ có ba nghiệm 0;0 ; (2+ 2;2 2) ; (2 2;2 2) Baøi 11: Giaûi caùc heä phöông trình: x2 2y x x2 2y x2 13x 4y 2x y2 4y 5 x3 2x y x2 3x 2y 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ 6/ 2 2 2 2 3 2 y 2x y y 2x y 13y 4x 2y x 4x 5 y 2y x y 3y 2x x2 2y2 2x y x2 2y2 7x x2 y 2xy x2 y 20 x3 y2 2y 7/ 8/ 9/ 10/ 11/ 2 2 2 2 2 2 3 2 y 2x 2y x y 2x 7y y x 2xy y x 20 y x 2x 3 1 2x y 2x2 y x2 y x3 3x 8y m x2 y 2 y2 12/ 13/ 14/ vôùi m = 0 vaø m = 10 14/ 3 3 2 2 2 1 y 3y 8x m xy 2 x 2y x 2 2y x y x y x 3y 4 x2 y2 2x2 y x2 1 3y x 2x2 3x y2 2 x3 x 3y 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 2 2 2 x 2 2 3 xy 2x 1 y 1 3x y 3x 4 2y 3y x 2 y y 3x y y 8 x2 2 7 7x y 0 x x3 3x 2y x3 4x y x2 2x3 x2 y 24 20/ 21/ 22/ 23/ 24/ 3 3 2 2 2 x y 3y 2x y 4y x 8 xy 2y 24 y 2 7 x 7y 2 0 y y 56 6x y 0 x2 x3 4x2 y 3 y2 x3 4x2 7x x2 y2 7x2 20x 25/ 26/ 27/ 28/ 3 2 2 3 2 2 2 2 56 y 4y x 3 x y 4y 7y y x 7y 20y x 6y 2 0 y Bài-giảng Pt- Hpt trang.324 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  31. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 x3 y2 7x2 mx Baøi 12: Tìm m ñeå heä phöông trình sau coù nghieäm duy nhaát: 3 2 2 y x 7y my a 7x y 0 x2 Baøi 13: Cho pt sau: 3 Chöùng minh raèng heä coù nghieäm duy nhaát vôùi moïi a. a 7y x 2 0 y x2 2xy y mx Baøi14 : Giaûi vaø bieän luaän theo m cuûa heä phöông trình: 2 y 2xy x my y2 x3 4x2 ax Baøi 15: Trong heä sau ñaây haõy xaùc ñònh a ñeå heä coù nghieäm duy nhaát: 2 3 2 x y 4y ay BÀI TẬP TỰ LUYỆN .HPT ĐẲNG CẤP Bài 1/ Giải các hệ phương trình sau: x2 3xy y2 1 2x2 4xy y2 1 y2 3xy 4 a) b) c) 2 2 ; 2 2 ; 2 2 3x xy 3y 13 3x 2xy 2y 7 x 4xy y 1 ĐS: a) (1;2) ; 2;1 ; 1; 2 ; 2; 1 9 17 9 17 b) 1;1 ; 1; 1 ; ; ; ; 161 161 161 161 c) 1;4 ; 1; 4 Bài 2/ Giải các hệ phương trình: 3x2 5xy 4y2 38 x2 2xy 3y2 9 2x2 xy 3y2 13 a) b) 2 2 ;; 2 2 c) 2 2 5x 9xy 3y 15 x 4xy 5y 5 x 4xy 2y 6 5 2 2 5 2 2 ĐS: a) 3;1 ; 3; 1 b) 3;2 ; 3; 2 ; ; ; ; 2 2 2 2 4 25 4 25 c). 2;1 ; 2; 1 ; ; ; ; 139 139 139 139 Bài 3. Giải các hệ phương trình sau: 1 3 2x y x 1, - đây là hệ đối xứng loại II 1 3 2y x y - Điều kiện: x 0; y 0 1 1 x y - Trừ vế theo vế ta được: 2 x y 4 x y xy 2 2 Với x y , hệ tương đương với 2x x 1 x 2 Với xy 2 y , thế vào pt đầu được: x x 3 3x 3 x 2 y 2 2x 2 x 2 x x 2 y 2 - Vậy hệ có nghiệm: x; y 1;1 , 1; 1 , 2; 2 , 2, 2  2 x(3x 2y)(x 1) 12 3x 2y x x 12 2, x2 2y 4x 8 0 2 3x 2y x x 8 Bài-giảng Pt- Hpt trang.325 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  32. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 2 uv 12 u 6 u 2 Đặt u 3x 2y;v x x suy ra:  u v 8 v 2 v 6 3 11  Giải từng trường hợp ta dẫn tới đáp số: x; y 2;6 , 1; , 2; 2 , 3,  2 2  x2 y2 5 3, 4 2 2 4 x x y y 13 - Đây là hệ đối xứng loại I đối với x2 và y2 - Đáp số: x; y 2; 1 , 2; 1 , 1; 2 , 1, 2  3x2 2xy 16 4, - Đây là hệ đẳng cấp bậc 2 2 2 x 3xy 2y 8 - Nhận xét x = 0 không thỏa mãn hệ, ta xét x 0 , đặt y tx 2 x 3 2t 16 Hệ trở thành: 2 2 x 1 3t 2t 8 - Giải hệ này tìm t, x - Đáp số: x; y 2; 1 , 2,1  x 5 y 2 7 5, x 5 y 2 y 5 x 2 x y y 5 x 2 7 ĐS: x; y 11;11 3 1 x x y 1 3 0 x y 1 x y 2 x y x 2 6, 2 5 1  2 5 1 1 1 x y 2 1 0 x x y 2 1 x x x 2 3  ĐS: x; y 1;1 ; 2;  2  2xy 3x 4y 6 x 2 2y 3 0 7, 2 2 2 2 x 4y 4x 12y 3 x 4y 4x 12y 3 1 3 3 3  ĐS: x; y 2; ; 2; ; 2; ; 6;  2 2 2 2  2 2 2 2 x xy y 3(x y) x2 xy y2 3(x y) x xy y 3(x y) 8, 2 2 2 2 2 y x xy y 7(x y) 2x 5xy 2y 0 x 2y  x 2 ĐS: x; y 0;0 ; 1;2 ; 1; 2  1 1 1 x y x y 1 0 9, y x xy 3 3 2y x 1 2y x 1 1 5 1 5  ĐS: x; y 1;1 ; ;  2 2  2 x2 y2 x y 4 x y x y 2xy 4 x y 0  x y 1 10, x(x y 1) y(y 1) 2 xy 2 xy 2 ĐS: x; y 2; 2 , 2, 2 , 2,1 , 1, 2  Bài-giảng Pt- Hpt trang.326 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  33. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 2x y 1 x y 1 11, 3x 2y 4 u 2x y 1 0 u v 1 u 2 u 1 - Đặt  2 2 v 1 v 2 v x y 0 u v 5 - Đáp số: x; y 2; 1 2 x 1 2 2 y x 4 x 1 x 1 y y x 4y y 1 12, y 2 x2 1 y x 2 y x 1 y x 2 1 y x 3 y ĐS: x; y 1;2 ; 2;5  1 x 1 x x 7 x 7 xy x 1 7y y y y y 13, x2 y2 xy 1 13y2 1 x 2 x2 13 1 x y2 y x 13 y y ĐS: x; y 1;2 ; 2;5  2xy 2 x x y 3 x2 2x 9 14, 2xy y y2 x 3 2 y 2y 9 ĐS: x; y 0;0 ; 1;1  2 2 y 36x 25 60x y f x 2 2 2 60t 15, z 36y 25 60y z f y với f t 2 36t 25 2 2 x f z x 36z 25 60z x, y, z 0 nên xét hàm f t trên miền 0; , hàm này đồng biến x y z 5 5 5  ĐS: x; y; z 0;0;0 ; ; ;  6 6 6  3 x2 8 3 3 2 2 x 8x y 2y x x 8 y y 2 y 16, x x2 3 3 y2 1 2 2 x 3 y 2 2 2 x 3 y 2 4 78 78 4 78 78  ĐS: x; y 3; 1 ; ; ; ;  13 13 13 13  Bài-giảng Pt- Hpt trang.327 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
  34. Hpt- luyện-thi- Lượt 2,3,4 Bài-giảng Pt- Hpt trang.328 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng