Bài tập Phương trình. Hệ phương trình Toán Lớp 10 - Phần 3: Hệ phương trình - Đề 3

Nội dung text: Bài tập Phương trình. Hệ phương trình Toán Lớp 10 - Phần 3: Hệ phương trình - Đề 3

1. Hpt- luyện-thi- Lượt 1 BÀI TẬP LUYỆN THI. LƯỢT I 2 2 2 2 2 2 x y y 2 2y x y 3x x xy y 19 x y Bài 1) Giải các hpt sau: a) b) c) 3 3 2 2 2 2 x y 19 x x y 10y x xy y 7 x y 3 2x y x2 d) 3 2y x 2 y 2 x y y 2 G: a. NNI 2000 x ty .Điều kiện : t khác 1 3 3 x y 19 2 t 1 y3 2 3 t 1 3t 1 t 19 2 3 2 2 t t 1 3t 19t(t 1) y3 t 1 3t 1 t 19 t 1 2 t 1 17t 2 15t 2 0 2 . Thay lần lượt các giá trị của t vào pt (1): t 17 2 x y 2 17 x y 17 +) t=1: Loại +) t=-2/7 thì x=-2/7y suy ra : 3 2 2 y 2 2.17 2 y 3 1 192 17 2 2 2y x y 3x b. MDC 98 x ty 2 2 x x y 10y 2y3 t 2 1 3ty 5 2 t 1 t 1 3t 2 4 2 4 2 t 20t 20 3t 3t 3t 17t 20 0 3 ty3 t 2 1 10y t t 2 1 10 t 4 Giống như phần a, thay lần lượt các giá trị t vào một trong hai phương trình của hệ . 2 2 2 x xy y 19 x y c. HH 2001 2 2 x xy y 7 x y x y 0 2 2 2 2 2 2 x xy y 19 x y x y 3xy 19 x y xy 6 x y xy 0 * 2 2 2 2 x xy y 7 x y x y xy 7 x y x y (x y) x y 1 xy 6 Giải (*) cho ta nghiệm x,y . 3 2x y x2 d. TL 2001 . Đây là hệ đối xứng kiểu 2 đã biết cách giải . 3 2y x 2 y 5 x2 y x3 y xy2 xy 4 xy x 1 7y Bài 2) Giải các hpt sau: a) A 2008 b. KB 08 5 x2 y2 xy 1 13y2 x4 y2 xy 1 2x 4 Bài-giảng Pt- Hpt trang.281 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
2. Hpt- luyện-thi- Lượt 1 2 2 5 5 x y xy x y xy u v uv 4 4 2 G: a) Hệ viết lại : u x y;v xy 2 5 5 x2 y xy u2 v 4 4 u 0 x2 y 0 5 5 v xy 4 4 3 25 3 Học sinh giải tiếp ta được : x; y 3 ; 3 , 1; 1 2 1 u x y 4 16 2 2 2 3 3 v xy 2 2 xy x 1 7y b. KB 08 2 2 2 x y xy 1 13y x 1 1 x x 7 x 7 xy x 1 7y y y y y 1 1 x2 7 x 13 * Đặt : 2 2 2 2 x y xy 1 13y 2 x 1 2 1 x y y x 13 x 13 2 2 y y y y 3 89 t x ty 1 2 2 x ty t x * :t 3t 20 0 1 1 2 y 3 89 t ty ty ty 1 0 t y 2 Giải (1) tìm được x,y. 4 3 2 2 x x y x y 1 1 x4 2x3 y x2 y2 2x 9 Bài 3) Giải các hpt sau: a) b) 3 2 2 x y x xy 1 2 x 2xy 6x 6 1 x2 2 3 y x2 y y2 x 2 x xy 2 1 c) d) 2 . x y x 1 2 2 x y 2 2 2 x y 2x 2x y 4x 1 0 2 4 3 2 2 x x y x y 1 1 G: a) Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta được phương trình : 3 2 x y x xy 1 2 2 2 x xy 1 x4 2x3 y x2 y2 x2 xy 2 0 x2 xy x2 xy 2 0 2 x xy 2 2 2 2 x xy 1 x xy 1 x xy 1 3 2 2 2 x y 0 x xy 0 x x 1 0 Thay lần lượt vào (2) : .Học sinh giải tiếp 2 2 2 x xy 2 x xy 2 x xy 2 3 2 x y 3 x xy 3 x2 x2 2 3 x4 2x3 y x2 y2 2x 9 b) CD KB 08 2 x 2xy 6x 6 2 2 4 3 2 2 x xy 2x 9 3 x 2x y x y 2x 9 2 . Thay (4) vào (3) sau đó rút gọn ta có : 2 6x x 6 x 2xy 6x 6 xy 4 2 Bài-giảng Pt- Hpt trang.282 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
3. Hpt- luyện-thi- Lượt 1 x 0 x 0 x 0 x4 12x3 48x2 64x 0 3 2 3 x 12x 48x 64 0 x 4 0 x 4 17 X=0 loại . Vậy hệ có nghiệm duy nhấy : x; y 4; 4 x y 0 x y 2 2 2x x 1 2x x 1 x y y x x y x y 1 0 2 2 0 2 2 c) 2x y 2x 1 x y x y x 1 x y 1 x y 1 2 2 x y x 1 x 1 2 2 2x 1 3 2x 2 +) Khi x=y , thì x=-1. Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1) +) Khi x+y=1 , (2) có nghiệm duy nhất : x=1 , do đó hệ có nghiệm : (x;y)=(1;0) 1 x2 2 3 y 2 x xy 2 1 d) 2 . 2 2 2 x y 2x 2x y 4x 1 0 2 1 2x y 2 2 2 2 2 2 x Từ (2) : x y 2x 2 x y 2x 1 0 x y 2x 1 0 * 1 2x xy x 1 x2 1 2x 2 2 1 1 Thay vào pt (1): 2 x 2 x . Pt này đã biết cách giải ở phần phương pháp giải pt mũ . 2 x 1 x y 1 5 1 x3 y3 19x3 x3 2xy2 12y 0 xy Bài 4) Giải các hpt sau: a) b) c) y xy2 6x2 8y2 x2 12 1 x2 y2 1 49 2 2 x y 1 3 1 3 y 19 y 19 3 3 1 x3 y3 19x3 x3 x3 u v 19 1 G: a) . Với : u ;v y 2 y xy2 6x2 y y y 1 u.v u v 6 x 6 y 6 x2 x x x Học sinh tự giải tiếp . 2 y y 3 2 1 2 12 3 0 2 x 2xy 12y 0 x x 1 2u 12uv 0 y 1 b) . Với : u ;v 2 2 2 2 2 8y x 12 y 12 8u 1 12v x x 8 1 2 x x Giải tiếp tìm được u,v , sau đó tìm x,y . 1 1 1 x y 1 5 x y 5 xy x y u v 5 c) . 2 2 2 2 1 2 1 2 1 u v 53 x y 1 49 x y 49 2 2 2 2 x y x y 1 1 Với : u x ;v y . Học sinh giải tiếp . x y 2x2 5xy 2y2 x y 1 0 d) . Lấy (1) trừ cho (2) vế với vế ta có : 2 2 x y 4xy 12x 12y 10 0 x2 y2 xy 11x 11y 9 0 x y 2 xy 11 x y 9 xy x y 2 11 x y 9 * Bài-giảng Pt- Hpt trang.283 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
4. Hpt- luyện-thi- Lượt 1 Phương trình (2) : x y 2 2xy 12 x y 10 0 . 2 2 x y Thay (*) vào ta được: 3 x y 10 x y 8 0 3 x y 4 2 2 x y x y 3 3 2 2 2 659 Vậy hệ đã cho : xy 11 9 xy . Giải tiếp ta tìm được x,y 3 3 9 x y 4 x y 4 xy 37 xy 16 11.4 9 3 2 3 2 2 x 3x y 3y 2 1 x 12xy 20y 0 Bài 5) Giải các hpt sau: a) b) x 2 y 1 2 ln 1 x ln 1 y x y log y log x x 3 2 y 1 x 2 x 2x2 y y3 2x4 x6 2 6y x 2y y c) 2 d) x 2 y 1 x 1 x x 2y x 3y 2 2 2 x 12xy 20y 0 x 2y x 10y 0 G: a) ln 1 x ln 1 y x y ln 1 x ln 1 y x y 1 Từ (2) : ln 1 x x ln(1 y) y f (t) ln t t 1; f '(t) 1 0  t 0. Chứng tỏ hàm số f(t) đồng t biến . Cho nên để có (2) thì chỉ xảy ra khi x=y. x=2y x 10y +) Nếu : x; y 0;0 , +) Nếu : x; y 0;0 x=y x y x3 3x2 y3 3y 2 1 3 2 3 b) x 2 y 1 2 1 x 3x 3x 1 y 3y 3x 3 log y log x x 3 2 y 1 x 2 x 1 3 y3 3y 3 x 1 x 1 3 3 x 1 y3 3y * x 2 Để (*) xảy ra khi và chỉ khi : x-1=y, hay : x=y+1, x-2=y-1 . 1 y 1 2 2 Thay vào (2) ta có : log y 1 log x 1 x 3 x 3 0 x 3.Vậy : y=x-1=3-1=2 Do đó nghiệm của hệ phương trình là : (x;y)=(3;2). 2 3 4 6 2 2 3 2 3 2 2 2 2 4 2x y y 2x x 2x y x y x 0 y x 2x y yx x 0 c) x 2 y 1 x 1 2 2 2 x 2 y 1 x 1 x 2 y 1 x 1 -Trường hợp 1: y= x2 , thay vào (2) : x 2 x2 1 x2 1 2x t 2 x 2 t 2x 0 t 2;t x x2 1 2 x2 3  x 3 . 2 x 1 x x  -Trường hợp : 2x2 y2 yx2 x4 0 y2 yx2 2x2 x4 0 4 2 4 4 2 y x 4 2x x 3x 8x 0  x R y 0 f (, y) 2x2 y2 yx2 x4 0  x, y . Phương trình vô nghiệm . Bài-giảng Pt- Hpt trang.284 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
5. Hpt- luyện-thi- Lượt 1 Do đó hệ có hai nghiệm : (x;y)= 3;3 , 3;3 x 2 6y x 2y 2 x 2y y x 2y 6y 0 x 2y 2y x 2y 3y 0 d. y x x 2y x 3y 2 x x 2y x 3y 2 x x 2y x 3y 2 y 0 - Trường hợp 1: x 2y 2y . 2 x 2y 4y Thay vào (2) x 2y 4y2 5y 2 2y 4y2 5y 2 4y2 7y 2 0 y 0 y 0 - Trường hợp : x 2y 3y * . 2 2 x 2y 9y x 9y 2y Thay vào (2) : 9y2 2y 3y 9y2 2y 3y 2 9y2 5y 9y2 5y 2 0 y 1 2 t 2 t 9y 5y 0 2 9y 5y 4 0  4 t 2 t 2 0 9y2 5y 2 y 9 Thay lần lượt các giá trị của y vào (*) ta tìm được x . 2 2 2xy 2 2 x y 1 1 y x y 48 2xy 3x 4y 6 Bài 6) Giải các hpt sau: a) x y . b) c) 2 2 2 2 2 x y x y 24 x 4y 4x 12y 3 x y x y 2 2y x y 2 d) x 2 2xy 2y x 0 2 2 2xy x y 1 1 2 2 2 G: a) x y . Từ (2) viết lại : x y x y x x x y x y x x 2 x y x y 2 Ta xét hàm số f(t)=t 2 t t 0 f ' t 2t 1 0  t 0 . Chứng tỏ f(t) là một hàm số đồng biến , cho nên ta có : x y x y x2 x . (*) 2x x2 x 2 2 2xy 2 2 2 2 2 2 Thay vào (1) : x y 2 1 x x x 2 1 x 1 x x 1 2 x 1 0 x x x 1 0 x 1 x 1 x2 x 1 2 0 3 2 x x x 3 0 Giải ( ) ta tìm được x , thay vào (*) tìm được y , từ đó suy ra nghiệm của hệ 2 2 2 2 2 2 y x y 48 2y x y 96 2y x y 96 3 b) . 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y 24 y x y 24 x x 2y x y 24 x 4 576 96 480 Thay (3) vào (4) ta có : x2 96 x2 48x 576 x 10 48 48 y2 36 Thay vào (1) : y 100 y2 48 y2 100 y2 482 y4 100y2 2034 0 2 y 64 Vậy : (x;y)=(10;-6),(10;6),(10;-8),(10;8) 2xy 3x 4y 6 2y x 2 3 x 2 0 x 2 2y 3 0 c) x2 4y2 4x 12y 3 2 2 2 x 2 4y 12y 7 0 x 2 2y 7 2y 1 0 Bài-giảng Pt- Hpt trang.285 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
6. Hpt- luyện-thi- Lượt 1 7 y 2 7 1 -Trường hợp : x+2=0 , thay vào (2) : x; y 2; , 2; 1 2 2 y 2 -Trường hợp : 2y+3=0 hay : 2y=-3 , thay vào (2) : 2 2 2 x 2 3 3 x 2 3 7 3 1 0 x 2 4 x; y 2; , 6; x 6 2 2 u 1 2 2y 2y 2y x y 2 x y 2 x y 2 x u v 2 v 1 2 d) x x . 2 2y u.v 1 u 1 2 2xy 2y x 0 2y x y x x y 1 x v 1 2 2y Với u = x-y và v = . Học sinh giải tiếp . x 2 2 2 2 4 2 2x 2y 1 2x y 1 x y y 1 3y 1 Bài 7) Giải các hpt sau : a) . b) . 2 2 2y 2x y 1 6xy 2 xy x 2y 2 x2 y y 2 1 y 3 x y x 3 1 c) d) x 2 1 2 2 x x y 3 2 x2 x y x x 3 2 2 2 2x 2y 1 2x y 1 x 2y G: a) . Lấy (1) cộng với (2) vế với vế : x2 3xy 2y2 0 2 2y 2x y 1 6xy 2 x 4y +) Với : x=2y thay vào (2): 5 3 5 y 2 20 5 3 5 5 3 5 5 3 5 5 3 5 10y 5y 1 0 x; y ; . ; 5 3 5 10 20 10 20 y 20 1 y 2 11 4 1 1 +) Với x=4y, thay vào (2) : 22y 9y 1 0 x, y ; , 2; 1 11 11 2 y 2 2 2 4 2 x y y 1 3y 1 b) . Học sinh giải theo cách : Đặt x=ty . 2 xy x 2y 2 Cách khác: Lấy (1) trừ cho hai sau khi nhân hai vế với x ( Khử x2 y2 ở hai phương trình của hệ ) : 2 y4 1 x2 3y2 2xy y4 2y2 1 x2 2xy y2 y2 1 x y 2 y2 1 x y  x y2 y 1 . Thay vào (2) 2 2 y 1 y x  x y y 1 2 2 4 3 3 y 1; x 1 +) Nếu : y 1 y y 1 2y y y y 1 0 y 1 y 1 0 y 1; x 1 +) Với : x= y y2 1, thay vào (2) ta được : y 1 y3 1 0  y 1 Vậy nghiệm của hệ là : (x;y)=(-1;-1),(1;1). x2 y y 2 1 c. 2 1 2 2 x x y 3 2 x2 Bài-giảng Pt- Hpt trang.286 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
7. Hpt- luyện-thi- Lượt 1 Cách 1: Lấy pt (2) trừ cho pt (1) sau khi nhân hai vế của nó với x2 y , ta được phương trình : x2 1 2 2 xy x a x 1 2 x xy x x x2 1 x xy b x 2 2 x 1 x 3 -Thay a) vào (1) : y 2 x 1 x 1 0 x 1 x 1 x -Tương tự thay b) vào (1) . Học sinh tự làm Cách 2: Do x=0 không là nghiệm cho chia hai vế phương trình (1) cho xy 0 . x2 1 2 1 2 x 1 2 x xy x 3 x xy x xy 2 2 1 2 2 2 2 x2 y2 5 x2 y2 5x2 y2 4 0 4 x x y 5 x xy xy 1 xy 1 y 1 1 2 x 2 2 x xy x 2x 1 0 x 1 2 2 2 2 Từ (4) suy ra: x y 1 x y 4 ( loại ). Cho nên : xy 4 xy 4 xy 1 2 1 2 1 2x x 2 0 x  x x xy 2 xy 1 1 2 xy 1 y 1 x 2 2 x xy x 2x 1 0 x 1 . Vậy hệ có nghiệm : (x,y)=(-1;-1),(-1;1) xy 4 xy 4 xy 4 2 1 2 1 2x x 2 0 x  x x xy 2 y 3 x y x 3 1 d. x . Điều kiện : x 0; x y 0 x y x x 3 2 y 3 y 3 y 3 0 Phương trình (1) : x y x 3 x x y x 3 x • Với y=3 , thay vào (1) : 2 x 3 0 x 3 0 ( loại ) x y x 3 x • Với y 3  x x 3 3 x 1; y 8 x y x x 3 3 4xy 4 x2 y2 7 1 2 2 2 x y x y 1 x y 1 x y Bài 8) Giải các hpt sau : a) . b) . 1 x y 1 2 2x 3 2 x y 2xy 2 x2 y 2y x 4xy x x y 1 3 x2 2x 9 c) 1 1 x d) . 3 2xy 2 x2 xy y y y x 2 3 2 y 2y 9 Bài-giảng Pt- Hpt trang.287 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
8. Hpt- luyện-thi- Lượt 1 2 2 x y x y 1 x y 1 G: a) . Điều kiện : x 0, y 0, x y x y 1 2 Phương trình (1) x y x y 1 x y x y 0 x y 1 1 x y 0 x y 1 x y 1 x y 1 x 0; y 1 +) Với : x 1; y 0 x y 1 x y 1 2 xy 0 x y 1 x y 1 x y 1 +) Với : . Học sinh giải tiếp . x y 1 x y 2 xy 1 2x 2 xy 2 3 4xy 4 x2 y2 7 1 2 x y b) . Điều kiện : x y 0 1 2x 3 2 x y 2 2 2 2 3 2 3 2 Phương trình (1) : 3 x y 6xy x y 2xy 2 7 3 x y 2 x y 7 x y x y 1 Phương trình (2) : x y x y 3 x y 1 2 1 Vậy : Đặt x y u;v x y u2 2 x y x y x y 2 2 2 1 7 3 u 2 v 7 2 2 2 u ,v Hệ trở thành : 3u 3 u 13 0 4u 6u 4 0  2 2 u v 3 u 2;v 1 1 1 x y 1 x y 2 x y 2 x y 1 . Hệ vô nghiệm . x y 2  x 1; y 0 7 2y 0 x y x y 1 2 1 1 1 2 2 1 x y 2y x 4xy x 4 x 4 x y x x y c) 1 1 x 2 3 1 x 1 x 1 1 1 x xy y 4 x 4 2 x x xy y x x y 1 x 2 x2 2x 1 0 x • Trường hợp : 1 x; y 1;1 1 y x 2 2 x y 2xy 2 x x y 1 3 x2 2x 9 d) . 2xy y y2 x 2 3 2 y 2y 9 2xy 2xy Lấy (1) cộng với (2) vế với vế , ta được : x2 y2 3 3 x 1 2 8 3 y 1 2 8 Bài-giảng Pt- Hpt trang.288 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
9. Hpt- luyện-thi- Lượt 1 2xy 2 xy 3 x 1 8 3 8 2 3 2 x 2x 9 2 2 Do : VT 2xy ;VP x y 2xy 2 2xy 3 y 1 8 3 8 2 xy 3 2 y 2y 9 Cho nên để xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi : VT=VP=2xy và : x=y=1. Do đó hệ có nghiệm duy nhất : (x,y)=(1;1). 4 4 2 2 x y xy 2x y 5xy x y 6x y 41 Bài 9) Giải các hpt sau : a) b) 2 2 x y xy 3x y 4xy xy x y 10 2 2 3 3 x y xy 1 4y x 4y y 16x 1 c) d) 2 2 2 2 y x y 2 x 1 7y 1 y 5 x 1 2 1 1 2x y 5 1 x y xy 2x y 5xy y x G: a) 5 2x y 4 y 3x x 2y 1 x y xy 3x y 4xy 1 1 3x y 4 2 y x Thay vào (2) : 2y 1 y y 2y 1 5y 3 4 2y 1 10y3 19y2 10y 1 0 y 1 2 y 1 10y 9y 1 0 9 41 9 41 y  y 20 20 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 x y 6x y 41 x y 6x y 41 x y 6x y 41 b) 2 2 2 2 4 . xy x y 10 4xy x y 40 x y 81 2 x y 4 4xy x2 y2 41 4xy x y 2xy 81 41 40 2x2 y2 9xy 10 0 2 x y 3 x y 3 x y 9 xy 2 x 1, y 2  x 2, y 1 • TH1: x y 3 x 1, y 2  x 2, y 1 x; y 1; 2 , 2; 1 1;2 2;1 5 xy 2 5 5 • TH2. 2 t 3t 0 9 4 1 0 .Hệ vô nghiệm 2 2 x y 3 2 x 1 2 2 2 2 y x 4 x 1 2 x y 8 3 x y xy 1 4y y y y c) 2 2 y x y 2 x 1 7y 2 2 2 2 2 2 x y x 1 7 x 1 x y 7 4 y y 2 x y 5 x y 2 x y 15 0 . Thay lần lượt vào (3) ta có hai hệ : x y 3 x y 5 y 5 x 2 2 1 13 x 1 9y x 9x 46 0 x 1 13 7 13 1 13 7 13 2 x; y ; , ; x y 3 y 3 x 2 2 2 2 y 3 x 2 2 x 1 y x x 3 0 Bài-giảng Pt- Hpt trang.289 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
10. Hpt- luyện-thi- Lượt 1 3 3 x 1 x 1 4. 1 16 . x 1 x 3 3 2 2 4 2 1 4 1 3 x 4y y 16x 1 y y y y y y y d) 2 2 2 2 1 y 5 x 1 2 1 x 1 x 1 2 1 5 2 5 4 1 4 y y y 2 y y x Đặt : t (*) Từ (3) và (4) : t3 1 5t 2 1 4t 1 21t3 5t 2 4t 0 y 1 t t 0 3 . Thay t vào (*) để tính x theo y , sau đó thay vào (1) ta sẽ tìm đượcnghiệm 21t 2 5t 4 0 4 t 7 của hệ .(x,y)=(1;-3),(-1;3) 2 2 2 2 2 2 x y x y 1 2xy 1 x 2y 2x 8y 6 0 1 Bài 10) Giải các hpt sau : a) b) 2 2 2 x x y xy y xy 1 2 x xy y 4x 1 0 2 2 2 x2 xy y2 3 x y 2x 3 1 c) d) 3 3 3 3 2 2 2 x 2y y 2x 2 x y 6x 5 3 x y 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y 1 2xy 1 x y x2 y2 1 u v 1 3 G: a) . 2 2 x x y xy y xy 1 2 x y xy(x y) xy 1 u v uv 1 4 Với : u=x-y,v=xy . Từ (3) và (4) , tính uv theo u+v thay vào (3) ta có : u 0;v 1 2 u v 1 uv 0 u v 2 u v 3 0 u 1;v 0 u v 3 uv 4 u,v  x y 0 x y 1 xy 1 x y 1 x; y 1; 1 , 1;1 , 0; 1 , 1;0 x y 1 x 0; y 1 xy 0 x 1; y 0 2 2 2 2 2 x 4x 1 x 2y 2x 8y 6 0 1 x 2x 2 2 y 4y 4 0 y 3 b) x 1 x2 xy y 4x 1 0 2 2 y x 1 x 4x 1 2 2 x 2x 2 2 y 2 4 x2 2x 1 Từ (3) : y 2 , thay vào (4) ta được : x 1 2 2 2 x 2x 1 2 2 2 x 2x 2 2 0 x 2x 2 x 2x 1 2 x 2x 1 0 x 1 2 2 t 0 t x 2x x 2x 0 x 0; x 2 2 3t 5t 0 5 2 2 5 2 t 2 t 1 2 t 1 0 t x 2x 3x 6x 5 0 3 3 x 0; x 2 x 0; y 1 3 2 6 3 6 x 2; y 1 x ; x 3 3 x2 4x 1 x x ; y 1 1 . 1 x1 1 Bài-giảng Pt- Hpt trang.290 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
11. Hpt- luyện-thi- Lượt 1 2 x x 3 x 1 u 2 2 2 2 x xy y 3 y y y u u 1 3v 3 y c) Với : x3 2y3 y 2x 3 u3 2 v 2uv 4 1 x 1 x 1 v 2 2 2 2 2 y y y y y lấy (3)trừ cho (4) : u2 u3 u 1 2v 2uv u2 1 u 1 u 2v 1 u 1 u u2 1 2v 0 x 1 y x y - Với u=1 thay vào (3) : 3v=3 suy ra v=1 x, y 1; 1 , 1;1 2 1 y 1 2 1 y 2 2 u 1 2 u 1 2 u 1 6 - Với : v , thay vào (3) : u u 1 3 u 2u 5 0 2 2 u 1 6 1 2 * Khi : u 1 6 v 1 6 1 3 6 2 x x 1 6 y 1 6 x 1 6y y 1 2 1 3 6 3 6 y y 2 3 6 y 3 6 3 3 Do đó ta có hệ : x 1 6 x 1 6y x 1 6 y y 1 2 1 1 3 6 y y 2 3 6 3 6 y Cách khác : Lấy phương trình (2) trừ cho phương trình (1) sau khi đã nhân hai vế của (1)với y , ta được phương trình : x3 y3 x2 y xy2 2y 2x x y x2 y2 2xy 2(x y) x y x y 2 2 x y 0 x y x2 y2 2 0 * Với : x-y=0 thay vào (1) ta có x2 1 x; y ( 1; 1), 1;1 2 2 x y 2 3 * Với : . Lấy (3) nhân với 2 trừ cho (2) nhân với 3 ( Khử số hàng tự do ) ta : 2 2 x y xy 3 4 x y y 6 x2 5y2 2xy 0 . Trở về như trên . x y y 6 2 2 2 x y 2x 3 1 x y 2xy 3 2x d) 2 x3 y3 6x2 5 3 x2 y2 2 2 x y 3 6xy x y 6x2 5 3 x y 2 2xy Đặt : a=x+y,b=xy . Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta được : 3 3 x3 y3 1 x y 7 2x 3 9y3 (x y)(2xy 3) Bài 11) Giải hệ: a) 5 5 2 2 (I) b) c) 2 2 (I) x y x y xy(x y) 2 x xy y 3 y 1 x 3y 4 3x (1 ) 2 x x y d) e) x 1 y 3x 4 7y(1 ) 4 2 y x y Bài-giảng Pt- Hpt trang.291 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
12. Hpt- luyện-thi- Lượt 1 x 3 y3 1 3 3 3 3 x3 y3 1 x y 1 (1) x y 1 x 0 G: a) 5 5 2 2 (I) (I) x y x y 5 5 2 2 3 3 2 2 x y x y x y x y x y 0 y 0 x y 0 +) Với x = 0 thay vào (1) ta có y = 1 +) Với y = 0 thay vào (1) ta có x = 1 +) Với x + y = 0 x = – y thay vào (1) ta có –y3 + y3 = 1 0 = 1 (vô lí) Vậy hệ có các cặp nghiệm (x; y) là (0; 1); (1; 0). x 3 y3 7 x 3 y3 7 (1) b) Hệ bài cho tương đương với 3 3 xy(x y) 2 2 x y 7xy(x y) 0 (2) x y 0 (2) (x – y)(2x2 + 2y2 – 5xy) = 0 2 2 2x 2y 5xy 0 7 - Nếu x – y = 0 x = y thay vào (1) ta được x y 3 2 - Nếu 2x2 + 2y2 - 5xy = 0 (3) +) Với y = 0 ta được x = 0 thay vào (1) thấy vô lý x 2 2 x x y 2 +) Với y 0 chia hai vế của (3) cho y ta được: 2 5 2 0 y y x 1 y 2 Khi x = 2y thì (1) 8y3 – y3 = 7 7y3 = 7 y = 1 nên x = 2 Khi y = 2x tương tự ta được x = –1; y = –2 7 7 Vậy hệ có các cặp nghiệm (x; y) là (3 ; 3 ); (2;1);( 1, 2) . 2 2 2x 3 9y3 (x y)(2xy 3) 2x 3 9y3 (x y)(2xy x 2 xy y 2 ) c) 2 2 (I) (I)  2 2 x xy y 3 x xy y 3 2 2 3 3 (x 2y)(x 2xy 4y ) 0 2 2  x 8y 0  x 2y 0 ( Do x 2xy 4y 0 x R ) 2 2 2 2 2 2 x xy y 3 x xy y 3 x xy y 3 x 2 y 1  Vậy phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1); (–2; –1). x 2 y 1 y x 3y 4 x 2 2 2 d) [QG] (I) Điều kiện: x, y ≠ 0. Với đk đó: (I)  x 3xy 4y  x y 4(y x) x y 2 3xy 4x x 2 3xy 4y y 3x 4 y x y 0 2 x y 2 (x y)(x y 4) 0 x 3xy 4y  2   x y 0 (Loại do x, y ≠ 0) x 3xy 4y x y 4 0 2 x y 2 x 3xy 4y Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = –2. 1 3x (1 ) 2 x y (I) (VMO-96) Dễ thấy nếu (x; y) là nghiệm của hệ (I) thì x; y > 0 e) 1 7y(1 ) 4 2 x y Bài-giảng Pt- Hpt trang.292 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
13. Hpt- luyện-thi- Lượt 1 1 2 1 2 2 1 1 (1) x y 3x 3x 7y Do đó (I)  1 4 2 1 1 2 2 1 (2) x y 7y x y 3x 7y Nhân từng vế của (1) và (2) ta được: 1 1 8  21xy = (x + y)(7y – 24x)  7y2 – 38xy – 24x2 = 0 x y 3x 7y  (y – 6x)(7y + 4x) = 0  y = 6x (Do x; y > 0) 1 2 2 57 12 21 114 24 21 Thay y = 6x vào (1) ta được 1 x y (thử lại thấy 3 x 42x 189 63 thoả mãn) 57 12 21 114 24 21 Vậy hệ có nghiệm (x; y) = ( ; ) 189 63 x4 y4 1 x2 y2 5 x y y x 30 Bài tập) Giải các hpt sau: 1) 2) 3) 4) 6 6 4 2 2 4 x y 1 x x y y 13 x x y y 35 1 x y 1 5 x y 4 x2 x y2 y 18 xy 5) 6) 2 2 x y 2xy 8 2 xy(x 1)(y 1) 72 2 2 1 x y 1 49 2 2 x y 1 1 x y 4 x y 7 x y 1 x y 4 7) 8) y x x y 9) 10) x2 y2 x3 y3 280 2 2 1 1 x y 2 2 4 x xy y xy 78 x y x6 y6 2 3 3 x 3x y 3y 5 x y 4xy 4 x y xy m 2 11)Tìm giá trị của m: a) có nghiệm. b) có nghiệm duy nhất. 2 2 x y xy 1 m x y xy m 1 2 x y 4 c) có đúng hai nghiệm. 2 2 x y 2 m 1 x xy y m 12)Cho hpt: 2 2 (I) a) Giải hpt khi m = 5. b) Tìm các giá trị của m để hpt đã cho có nghiệm. x y m x xy y m 13)Cho hpt: 2 2 (I) a) Giải hpt khi m = 7/2. b) Tìm các giá trị của m để hpt đã cho có x y xy 3m 8 nghiệm. x xy y m 1 14)Cho hpt: 2 2 (I) a) Giải hpt khi m=2. x y xy m b) Tìm các giá trị của m để hpt đã cho có nghiệm (x;y) với x >0, y >0. 15)Giải phương trình bằng cách đưa về hệ phương trình: 4 x 1 4 18 x 3 . 15)Tìm m để mỗi pt sau có nghiệm: a) 1 x 1 x m b) m x m x m c) 3 1 x 3 1 x m Bài-giảng Pt- Hpt trang.293 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng
14. Hpt- luyện-thi- Lượt 1 Bài-giảng Pt- Hpt trang.294 ©copy&paste: Trần Xuân Dũng