›
›
›

Bài tập Hình học Lớp 11 - Phương trình lượng giác

doc 104 trang nhungbui22 12/08/2022 2620
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Hình học Lớp 11 - Phương trình lượng giác", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_hinh_hoc_lop_11_phuong_trinh_luong_giac.doc

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 11 - Phương trình lượng giác

  1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÍ THUYẾt Dạng toán 1: Phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình: sin x m (1) * Nếu: m 1 Phương trình vô nghiệm * Nếu: m 1  ; sin m 2 2 x k2 (1) sin x sin ( k ¢ ). x k2 Chú ý : * Nếu thỏa mãn 2 2 thì ta viết arcsin m . sin m *Các trường hợp đặc biệt: 1. sin x 1 x k2 2 2 sin x 1 x k2 2 3. sin x 0 x k 2. Phương trình: cos x m (2) * Nếu: m 1 phương trình vô nghiệm * Nếu: m 1  [0; ] : cos m x k2 (2) cos x cos ( k Z ). x k2 0 Chú ý : * Nếu thỏa mãn thì ta viết arccos m . cos m * Các trường hợp đặc biệt: 1. cos x 1 x k2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  2. 2. cos x 1 x k2 3. cos x 0 x k 2 3. Phương trình : tan x m (3) Với m  ; : tan m 2 2 (3) tan x tan x k . Chú ý : * Nếu thỏa mãn 2 2 thì ta viết arctan m . tan m * Các trường hợp đặc biệt: 1. tan x 1 x k 4 2. tan x 1 x k 4 3. tan x 0 x k 4. Phương trình: cot x m (4) Với m  ( ; ) : cot m 2 2 (4) cot x cot x k . Chú ý : * Nếu thỏa mãn 2 2 thì ta viết arc co t m . cot m * Các trường hợp đặc biệt: 1. cot x 1 x k 4 2. co t x 1 x k 4 3. cot x 0 x k 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  3. Ghi chú: u v k2 * sinu sin v (k ¢ ) * cosu cos v u v k2 (k ¢ ) u v k2 u v k * tanu tan v (k,n ¢ ) u,v n 2 u v k * cotu cot v (k,n ¢ ) u,v n Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Là phương trình có dạng: asin x bcos x c (1) ; với a,b,c ¡ và a2 b2 0 . Cách giải: Chia hai vế cho a2 b2 và đặt a b cos ;sin . a2 b2 a2 b2 c c (1) sin x.cos cos x.sin sin(x ) (2). a2 b2 a2 b2 Chú ý: (1) có nghiệm (2)có nghiệm a2 b2 c2 . 1 3 sin x 3 cos x 2 sin x cos x 2sin(x ) 2 2 3 3 1 3 sin x cos x 2 sin x cos x 2sin(x ) 2 2 6 1 1 sin x cos x 2 sin x cos x 2 sin(x ) . 2 2 4 Dạng 3. Phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác 2 sinu(x) sinu(x) cosu(x) cosu(x) Là phương trình có dạng : a b c 0 tanu(x) tanu(x) cotu(x) cotu(x) – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  4. sinu(x) cosu(x) Cách giải: Đặt t ta có phương trình : at2 bt c 0 tanu(x) cotu(x) Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x sinu(x) Khi đặt t , ta co điều kiện: t 1;1 cosu(x) Dạng 4. Phương trình đẳng cấp Là phương trình có dạng f (sin x,cos x) 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x 0 (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tan x . Dạng 5. Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx Là phương trình có dạng: a(sin x cos x) bsin xcos x c 0 (3) Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ t2 1 sin xcos x t sin x cos x 2 sin x 2 4 t 2; 2 Thay và (5) ta được phương trình bậc hai theo t. Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sin x cos x) bsin xcos x c 0 (3’) t 2; 2 Để giải phương trình này ta cũng đặt t sin x cos x 2 sin x 1 t2 4 sin xcos x 2 Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. Vấn đề 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản Các ví dụ – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  5. Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 1. sin x cos 2x 0 2. cos2 x sin 2x 0 3. 2sin(2x 350 ) 3 4. sin(2x 1) cos(3x 1) 0 Lời giải: 1. Phương trình cos 2x sin x cos( x) 2 2 2x x k2 x k 2 6 3 , k ¢ . 2x x k2 x k2 2 2 2. Phương trình cos2 x 2sin xcos x 0 cos x 0 cos x 0 cos x(cos x 2sin x) 0 1 2sin x cos x tan x 2 x k 2 ,k ¢ . 1 x arctan k 2 3 3. Phương trình sin(2x 350 ) sin 600 2 0 95 0 0 0 0 2x 35 60 k360 x k.180 2 . 2x 350 1800 600 k3600 1550 x k.1800 2 4. Phương trình cos(3x 1) sin( 2x 1) cos 2x 1 2 3x 1 2x 1 k2 x 2 k2 2 2 . 2 3x 1 2x 1 k2 x k 2 10 5 Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  6. 5 1. cos x 2sin 2x 0 2. sin3 xsin 3x cos3 xcos 3x 2 3. sin2 2x cos2 2x cos 3x 4. sin 2x.cos 3x sin 5x.cos6x 5. sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos 3x 6. sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x 7. cos2 3xcos 2x cos2 x 0 Lời giải: 1. Phương trình cos x 4sin xcos x 0 cos x(1 4sin x) 0 cos x 0 x k 2 1 sin x 1 1 4 x arcsin k2 ,x arcsin k2 4 4 3sin x sin 3x cos 3x 3cos x 2. Ta có sin3 x ;cos3 x 4 4 Nên phương trình đã cho tương đương với 5 sin 3x 3sin x sin 3x cos 3x cos 3x 3cos x 2 5 3 sin 3xsin x cos 3xcos x 1 2 3 1 3cos 4x cos 4x x k , k ¢ . 2 2 12 2 3. Phương trình sin2 2x cos2 2x cos 3x cos 4x cos 3x cos 3x 2 4x 3x k2 x k 7 7 4x 3x k2 x k2 1 1 4. Phương trình sin 5x sin x sin11x sin x 2 2 sin 5x sin11x x k hoặc x k 6 16 8 5. Phương trình (sin x sin 3x) sin 2x (cos x cos 3x) cos 2x 2sin 2xcos x sin 2x 2cos 2xcos x cos 2x – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  7. 2 1 x k2 cos x 3 (2cos x 1)(sin 2x cos 2x) 0 2 . sin 2x cos 2x x k 8 2 6. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có: 1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x Phương trình 2 2 2 2 cos6x cos8x cos10x cos12x x k cos x 0 2 2cos7xcos x 2cos11xcos x . cos11x cos7x x k ; x k 2 9 7. Phương trình (1 cos6x)cos 2x 1 cos 2x 0 cos6x.cos 2x 1 0 cos8x cos 4x 2 0 2cos2 4x cos 4x 3 0 cos 4x 1 x k . 2 Nhận xét: * Ở cos6x.cos 2x 1 0 ta có thể sử dụng công thức nhân ba, thay cos6x 4cos3 2x 3cos 2x và chuyển về phương trình trùng phương đối với hàm số lượng giác cos 2x . * Ta cũng có thể sử dụng các công thức nhân ngay từ đầu, chuyển phương trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt t cos2 x Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng . Ví dụ 3 Giải các phương trình sau: 1. 3 sin x 4 cos x 0 2. sin 2x 3 cos 2x 1 3. 2 sin 3x 5 cos 3x 5 4. 3 cos x 3 sin x 1 5. sin 7x cos 2x 3(sin 2x cos 7x) 6. sin 3x 3 cos 3x 2 sin 2x 7. sin x cos xsin 2x 3 cos 3x 2(cos 4x sin3 x) – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  8. Lời giải: 4 4 1. Phương trình 3sin x 4cos x tan x x arctan k . 3 3 1 2. Phương trình 2sin(2x ) 1 sin(2x ) sin 3 3 2 6 2x k2 x k 3 6 12 , k ¢ . 5 2x k2 x k 3 6 4 2 3. Ta có 22 5 9 52 phương trình vô nghiệm. 1 1 4. Phương trình 3 cos x sin x cos(x ) 3 6 2 3 1 x arccos k2 , k ¢ . 6 2 3 5. Phương trình sin7x 3 cos7x 3 sin 2x cos 2x 7x x k2 x k cos(7x ) cos(x ) 6 3 36 3 , k ¢ . 6 3 7x x k2 x k 6 3 16 4 3x 2x k2 6. Phương trình sin(3x ) sin 2x 3 3 3x 2x k2 3 x k2 3 , k ¢ . 4 2 x k 15 5 3 1 3 1 7. Phương trình sin x sin 3x 3 cos 3x 2cos 4x sin x sin 3x 2 2 2 2 x k2 sin 3x 3 cos 3x 2cos 4x cos(3x ) cos 4x 6 . 3 2 x k 42 7 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  9. Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: 1. cos( sin x) cos(3 sin x) 2. tan sin x 1 1 4 Lời giải: sin x k 3 sin x sin x k2 1. Phương trình n 3 sin x sin x n2 sin x 2 Xét phương trình sin x k . Do k ¢ và 1 sin x 1 nên ta có các giá trị của k : 1,0,1 Từ đó ta có các nghiệm: x m ,x m , m ¢ 2 n Xét phương trình sin x . Ta có các giá trị của n là: n 2,n 1,n 0 2 Từ đó ta tìm được các nghiệm là: x l ,x l ,x l , l ¢ 2 6 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x m ,x m ,x m m ¢ . 2 6 2. Phương trình sin x 1 k 4 4 sin x 1 1 4k sin x 4k sin x 0 x m , m ¢ . Ví dụ 5. Giải các phương trình sau: 1. 3 1 sin x 3 1 cos x 2 2 sin 2x 2. 3sin2 x 5cos2 x 2cos 2x 4sin 2x 2 2 x 2 2 x 3. 5sin x 2 3 1 sin x tan x 4. sin tan x cos 0 2 4 2 Lời giải: 1. Phương trình 3 sin x cos x 3 cos x sin x 2 2 sin 2x 7 sin(x ) cos(x ) 2 sin 2x sin(x ) sin 2x 6 6 12 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  10. 7 7 2x x k2 x k2 12 12 . 7 5 2 2x x k2 x k 12 36 3 2. Phương trình đã cho tương đương với 3sin2 x 5cos2 x 2(cos2 x sin2 x) 8sin xcos x 5sin2 x 8sin xcos x 3cos2 x 0 3 5tan2 x 8 tan x 3 0 tan x 1 hoặc tan x 5 3 x k hoặc x arctan k 4 5 3. Điều kiện : cos x 0 x k 2 sin2 x Phương trình 5sin x 2 3(1 sin x) cos2 x sin2 x 5sin x 2 3(1 sin x) 1 sin2 x sin2 x 5sin x 2 3 (5sin x 2)(1 sin x) 3sin2 x 1 sin x x k2 1 2sin2 x 3sin x 2 0 sin x sin 6 . 2 6 5 x k2 6 4. Điều kiện : cos x 0 x k . 2 sin2 x Phương trình 1 cos(x ) 2 (1 cos x) 0 2 cos x sin2 x (1 sin x) (1 cos x) 0 1 sin2 x sin2 x (1 cos x) 0 1 sin x (1 cos2 x) (1 cos x)(1 sin x) 0 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  11. x k2 cos x 1 (1 cos x)(cos x sin x) 0 . tan x 1 x k 4 Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: 1. sin3 x cos3 x sin x cos x 2. 2cos3 x sin 3x 3. sin2 x 3tan x cos x 4sin x cos x Lời giải: 1. Phương trình sin3 x cos3 x (sin x cos x)(sin2 x cos2 x) 2cos3 x sin xcos2 x cos x.sin2 x 0 cos x sin2 x sin xcos x 2cos2 x 0 cos x 0 x k (Do sin2 x sin xcos x 2cos2 x 0 x ¡ ) 2 2. Phương trình 2cos3 x 3sin x 4sin3 x 4sin3 x 2cos3 x 3sin x(sin2 x cos2 x) 0 sin3 x 3sin xcos2 x 2cos3 x 0 tan3 x 3tan x 2 0 (do cos x 0 không là nghiệm của hệ) (tan x 1)(tan2 x tan x 2) 0 tan x 1 x k 4 tan x 2 x arctan( 2) k 3. Điều kiện: cos x 0 Phương trình tan2 x 3tan x(1 tan2 x) 4 tan x 1 3tan3 x tan2 x tan x 1 0 (tan x 1)(3tan2 x 2 tan x 1) 0 tan x 1 x k . 4 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  12. Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: 1. sin2 x 5sin xcos x 6cos2 x 0 2. sin2 x 3sin x.cos x 1 3. 3sin2 x 5cos2 x 2cos 2x 4sin 2x 4. sin3 x cos3 x sin x cos x Lời giải: 1. Nhận thấy cos x 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho cos2 x ta được: t tan x 2 tan x 1 x k tan x 5tan x 6 0 4 . tan x 6 x arctan 6 k 2. Phương trình sin2 x 3sin x.cos x (sin2 x cos2 x) 2sin2 x 3cos xsin x cos2 x 0 Do cos x 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được: t tan x tan x 1 x k 2 4 2 tan x 3tan x 1 0 1 . tan x 1 2 x arctan k 2 3. Phương trình đã cho tương đương với 3sin2 x 5cos2 x 2(cos2 x sin2 x) 8sin xcos x 5sin2 x 8sin xcos x 3cos2 x 0 t tan x tan x 1 x k 2 4 5tan x 8 tan x 3 0 3 . tan x 3 5 x arctan k 5 4. Phương trình sin3 x cos3 x (sin x cos x)(sin2 x cos2 x) 2cos3 x sin xcos2 x cos x.sin2 x 0 cos x sin2 x sin xcos x 2cos2 x 0 cos x 0 x k 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  13. 2 2 2 1 7 2 (Do sin x sin xcos x 2cos x sin x cos x cos x 0 ). 2 4 Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: 1. cos 3x cos 2x cos x 1 0 2. 3cos 4x 8cos6 x 2cos2 x 3 0 1 1 7 3. 4sin( x) 4. 2sin x(1 cos 2x) sin 2x 1 2cos x sin x 3 4 sin(x ) 2 Lời giải: 1. Ta thấy trong phương trình chứa ba cung x,2x,3x nên ta tìm cách đưa về cùng một cung x . Phương trình 4cos3 x 3cos x (2cos2 x 1) cos x 1 0 2cos3 x cos2 x 2cos x 1 0 . Đặt t cos x, t 1. 1 Ta có: 2t3 t2 2t 1 0 (t2 1)(2t 1) 0 t 1,t . 2 * t 1 cos x 1 sin x 0 x k 1 1 2 2 * t cos x cos x k2 . 2 2 3 3 Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau phương trình cos 3x cos x (1 cos 2x) 0 2sin 2xsin x 2sin2 x 0 sin2 x(2cos x 1) 0 sin x 0 x k 1 2 . cos x x k2 2 3 2. Vì trong phương trình chứa các cung x,4x hơn nữa còn chứa hàm số côsin lũy thừa chẵn nên ta nghĩ tới cách chuyển về cung 2x . Phương trình 3(2cos2 2x 1) (1 cos 2x)3 1 cos 2x 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  14. 2 cos 2x 0 x k cos 2x(cos 2x 3cos 2x 2) 0 4 2 . cos 2x 1 x k 3 7 3. Trong phương trình có ba cung x; x ; x nên ta tìm cách chuyển ba cung này về 2 4 cùng một cung x 3 Ta có: sin(x ) sin (x ) 2 sin(x ) cos x 2 2 2 7 1 sin( x) sin 2 (x ) sin(x ) sin x cos x 4 4 4 2 1 1 Phương trình 2 2(sin x cos x) sin x cos x (sin x cos x)( 2 sin 2x 1) 0 . sin x cos x 0 x k 4 1 . sin 2x 5 2 x k ; x k 8 8 4. Ta chuyển cung 2x về cung x. Phương trình 4sin xcos2 x 2sin xcos x 1 2cos x 2sin xcos x(2cos x 1) 2cos x 1 x k (2cos x 1)(sin 2x 1) 0 4 . 2 x k2 3 Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: 1. 4 cos 3xcos3 x sin 3xsin3 x 3 sin 6x 1 3 cos4 x sin4 x 2. 4 sin4 x cos4 x sin 4x 3 1 tan 2x tan x 3 Lời giải: 1. Ta có: 4 cos 3xcos3 x sin 3xsin3 x 3 cos 2x cos6x và cos4 x sin4 x cos 2x nên Phương trình 3cos 2x cos6x 3 sin 6x 1 3cos 2x – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  15. 3 sin 6x 1 cos6x 2 3 sin 3xcos 3x 2sin2 3x 2sin 3x 3 cos 3x sin 3x 0 . Suy ra nghiệm cần tìm là x k ; x k . 3 9 3 x k cos 2x 0 4 2 2. Điều kiện . cos x 0 x k 2 Ta có : 4 sin4 x cos4 x 4 2 sin2 2x 3 cos 4x sin 2x sin x cos 2xcos x sin 2xsin x 1 tan 2x tan x 1 . cos 2x cos x cos 2xcos x cos 2x x 1 . cos 2xcos x cos 2x sin 4x Phương trình đã cho 3 cos 4x 3 sin 4x 3 cos 2x cos 4x 3 sin 4x 2sin 2x sin(4x ) sin 2x . 6 Từ đó ta tìm được nghiệm thỏa mãn phương trình là: 5 k x k ; x . 12 36 3 Ví dụ 10. Chứng minh rằng hàm số sau chỉ nhận giá trị dương : y sin2 x 14sin x.cos x 5cos2 x 3.3 33 Lời giải: Nếu cos x 0 y 1 3.3 33 0 (1 3 3 33)tan2 x 14 tan x 3 3 33 5 Với cos x 0 ta có: y cos2 x Vì 72 (1 3.3 33)(3.3 33 5) 0 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  16. Suy ra (1 3 3 33)tan2 x 14 tan x 3 3 33 5 0 x ¡ . Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 11. 1. Cho tan ,tan là hai nghiệm của phương trình x2 6x 2 0 . Tính giá trị của biểu thức sau P sin2 ( ) 5sin(2 2) 2.cos2 ( ) 2. Cho tan ,tan là hai nghiệm của phương trình x2 bx c 0 ( c 1). Tính giá trị của biểu thức P a.sin2 ( ) bsin(2 2) c.cos2 ( ) theo a,b,c Lời giải: 1. Theo định lí Viét ta có: tan tan 6, tan .tan 2 tan tan Suy ra tan( ) 2 . 1 tan .tan P Ta có: P(1 tan2 ( )) tan2 ( ) 10 tan( ) 2 cos2 ( ) tan2 ( ) 10 tan( ) 2 4 20 2 18 P 1 tan2 ( ) 1 4 5 2. Theo định lí Viét ta có: tan tan b,tan .tan c tan tan b Suy ra tan( ) . 1 tan .tan 1 c P Ta có: P(1 tan2 ( )) cos2 ( ) a tan2 ( ) 2b tan( ) c b2 2b2 a. c a tan2 ( ) 2b tan( ) c (1 c)2 1 c P 1 tan2 ( ) b2 1 (1 c)2 ab2 2b2 (1 c) c(1 c)2 . (1 c)2 b2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  17. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP (có đáp án chi tiết) 1 Bài 1. Giải phương trình sin 2x 3 2 x k x k x k A. 4 , k ¢ B. 4 , k ¢ C. 4 , k ¢ 5 5 x k x k x k 12 12 12 x k D. 4 2 , k ¢ x k 12 2 Lời giải: Phương trình sin 2x sin 3 6 2x k2 x k 3 6 4 , k ¢ 5 2x k2 x k 3 6 12 3 Bài 2. Giải phương trình cos 3x 150 2 x 250 k.1200 x 50 k.1200 A. , k ¢ B. , k ¢ 0 0 0 0 x 15 k.120 x 15 k.120 x 250 k.1200 x 50 k.1200 C. . k ¢ D. , k ¢ 0 0 0 0 x 15 k.120 x 15 k.120 Lời giải: Phương trình cos(3x 150 ) cos 300 3x 150 300 k.3600 x 50 k.1200 , k ¢ 0 0 0 0 0 3x 15 30 k.360 x 15 k.120 1 1 Bài 3. Giải phương trình sin(4x ) 2 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  18. 1 x k A. 8 2 , k ¢ B. x k 4 2 1 1 1 x arcsin k 8 4 3 2 , k ¢ 1 1 1 x arcsin k 4 8 4 3 2 1 1 1 1 1 1 x arcsin k x arcsin k C. 8 4 3 2 , k ¢ D. 8 4 3 2 , k ¢ 1 1 1 1 1 x arcsin k x arcsin k 4 8 4 3 2 4 4 3 2 Lời giải: 1 1 4x arcsin k2 Phương trình 2 3 1 1 4x arcsin k2 2 3 1 1 1 x arcsin k 8 4 3 2 , k ¢ 1 1 1 x arcsin k 4 8 4 3 2 Bài 4. Giải phương trình sin(2x 1) cos(2 x) x 2 k2 x 3 k2 A. 2 , k ¢ B. 2 , k ¢ 1 k2 1 k2 x x 6 3 3 6 3 3 x 3 k2 x k2 C. 2 , k ¢ D. 2 , k ¢ 1 k2 1 k2 x x 6 3 3 6 3 3 Lời giải: Phương trình sin(2x 1) sin( 2 x) 2 2x 1 2 x k2 x 3 k2 2 2 , k ¢ . 1 k2 2x 1 2 x k2 x 2 6 3 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  19. Bài 5. Giải phương trình 2 cos x 2 0 A. x k2 , (k ¢ ) B. x k2 , (k ¢ ) 6 5 C. x k2 , (k ¢ ) D. x k2 , (k ¢ ) 3 4 Lời giải: 2 Phương trình cos x cos x k2 , (k ¢ ) 2 4 4 2x Bài 6. Giải phương trình 2 cot 3 3 5 3 3 3 5 3 A. x arc cot k (k ¢ ) B. x arc cot k (k ¢ ) 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 C. x arc cot k (k ¢ ) D. x arc cot k (k ¢ ) 2 7 2 2 2 2 Lời giải: 2x 3 2x 3 Phương trình cot arc cot k 3 2 3 2 3 3 3 x arc cot k (k ¢ ) . 2 2 2 1 Bài 7. Giải phương trình sin(4x ) 3 2 A. x k ,k ¢ B. x k ,k ¢ 2 3 C. x k ,k ¢ D. x k ,k ¢ 5 Lời giải: Phương trình tan 3x tan 3 3 3x k x k ,k ¢ 3 3 1 Bài 8. Giải phương trình cot(4x 200 ) 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  20. A. x 300 k.450 , k ¢ B. x 200 k.900 , k ¢ C. x 350 k.900 , k ¢ D. x 200 k.450 , k ¢ Lời giải: Phương trình cot(4x 200 ) cot 600 4x 200 600 k.1800 x 200 k.450 , k ¢ Bài 9. Giải phương trình sin 2x 2cos 2x 0 1 k 1 k A. x arctan 2 , k ¢ B. x arctan 2 , k ¢ 3 2 3 3 1 k 1 k C. x arctan 2 , k ¢ D. x arctan 2 , k ¢ 2 3 2 2 Lời giải: Phương trình sin 2x 2cos 2x tan 2x 2 1 k 2x arctan 2 k x arctan 2 , k ¢ 2 2 Bài 10. Giải phương trình tan 2x tan x 1 A. x k , k ¢ B. x k , k ¢ C. x k , k ¢ D. x k , k ¢ 2 2 3 Lời giải: 2x x k x k Phương trình x k x k x k , k ¢ . 2 2 x k x k 4 2 4 2 Bài 11. Giải phương trình 3 tan 2x 3 0 A. x 2k (k ¢ ) B. x 2k (k ¢ ) 6 3 C. x k (k ¢ ) D. x k (k ¢ ) 6 2 Lời giải: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  21. Phương trình tan 2x 3 tan 2x k2 x k (k ¢ ) . 3 3 6 Bài 12. Giải phương trình cos2 x sin 2x 0 x k x k A. 2 k ¢ B. 2 k ¢ 1 1 x arctan k x arctan k 3 4 x k x k C. 2 k ¢ D. 2 k ¢ 1 1 x arctan k x arctan k 5 2 Lời giải: Phương trình cos2 x 2sin xcos x 0 cos x 0 x k cos x 0 2 cos x(cos x 2sin x) 0 1 . 2sin x cos x tan x 1 2 x arctan k 2 Bài 13. Giải phương trình sin(2x 1) cos(3x 1) 0 x 2 k2 x 2 k2 A. 2 k ¢ B. 2 k ¢ 2 2 x k x k 10 5 10 5 x 3 k2 x 6 k2 C. 2 k ¢ D. 2 k ¢ 2 2 x k x k 10 5 10 5 Lời giải: Phương trình cos(3x 1) sin( 2x 1) cos 2x 1 2 3x 1 2x 1 k2 x 2 k2 2 2 2 3x 1 2x 1 k2 x k 2 10 5 Bài 14. Giải phương trình sin(4x ) sin(2x ) 0 4 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  22. 7 k x A. 72 3 k ¢ B. x k 24 7 k x 72 3 k ¢ 11 x 2k 24 7 k 7 k x x C. 72 3 k ¢ D. 72 3 k ¢ 11 11 x k x k 4 24 Lời giải: Phương trình sin 4x sin 2x 4 3 7 k 4x 2x k2 x 4 3 72 3 2 11 4x 2x k2 x k 4 3 24 Bài 15. Giải phương trình cos7x sin(2x ) 0 5 k2 3 k2 x x A. 50 5 k ¢ B. 50 5 k ¢ k k x x 20 5 20 5 k2 3 k2 x x C. 50 5 k ¢ D. 50 5 k ¢ k k x x 20 5 20 5 Lời giải: 3 Phương trình cos7x sin 2x cos 2x 5 10 3 3 k2 7x 2x k2 x 10 50 5 3 k 7x 2x k2 x 10 20 5 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  23. Bài 16. Giải phương trình sin2 2x cos2 (x ) 4 x k x 2k A. 4 k ¢ B. 4 k ¢ C. k k x x 2 3 12 3 x k x k 4 k ¢ D. 4 k ¢ k k x x 12 3 12 3 Lời giải: 1 cos 2x 1 cos 4x 2 Phương trình cos 4x sin( 2x) 2 2 x k 4 cos 4x cos 2x 2 k x 12 3 Bài 17. Giải phương trình sin2 x cos2 4x 1 k k k k x x x x A. 13 k ¢ B. 23 k ¢ C. 3 k ¢ D. 33 k ¢ k k k k x x x x 15 25 5 35 Lời giải: k x Phương trình cos8x cos 2x 3 k x 5 Bài 18. Giải phương trình sin 2x 3sin 4x 0 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  24. k k x x 2 2 A. k ¢ B. k ¢ 1 1 5 1 x arccos k x arccos k 3 6 2 6 k k x x 2 2 C. k ¢ D. k ¢ 7 1 1 1 x arccos k x arccos k 2 6 2 6 Lời giải: k x 2 Phương trình sin 2x 1 6cos 2x 0 1 1 x arccos k 2 6 Bài 19. Giải phương trình 6sin 4x 5sin 8x 0 k k x x 4 4 A. k ¢ B. k ¢ 1 3 k 1 3 k x arccos x arccos 4 5 2 3 5 2 k k x 1 x 4 4 C. k ¢ D. k ¢ 1 3 k 1 3 k x arccos x arccos 4 5 2 4 5 2 Lời giải: k x 4 Phương trình sin 4x 3 5cos 4x 0 . 1 3 k x arccos 4 5 2 cos 2x Bài 20. Giải phương trình 0 1 sin 2x 3 A. x k , k ¢ B. x k , k ¢ C. 4 14 3 3 x 2k , k ¢ D. x k , k ¢ 4 4 Lời giải: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  25. Điều kiện: sin 2x 1 x k 4 Phương trình cos 2x 0 x k 4 2 3 Kết hợp điều kiện ta có: x k là nghiệm của phương trình 4 Bài 21. Giải phương trình cot 2x.sin 3x 0 x k x k x k A. 4 2 k ¢ B. 3 2 k ¢ C. 4 k ¢ 2k 2k k x x x 3 3 3 x k D. 4 2 k ¢ k x 3 Lời giải: k Điều kiện: sin 2x 0 x 2 x k cot 2x 0 4 2 Phương trình sin 3x 0 k x 3 m Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x k ,x với m 3n 4 2 3 Bài 22. Giải phương trình tan 3x tan 4x A. x m m ¢ B. x 2 m m ¢ C. x 2m m ¢ D. 2 x m m ¢ Lời giải: x k cos 3x 0 6 3 Điều kiện: cos 4x 0 x k 8 4 Phương trình 4x 3x m x m – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  26. Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình x m . Bài 23. Giải phương trình cot 5x.cot 8x 1 m m A. x , m 13n 5, m,n ¢ B. x , m 13n 6, m,n ¢ 26 13 26 15 m m C. x , m 13n 7, m,n ¢ D. x , m 13n 6, m,n ¢ 26 13 26 13 Lời giải: k x sin 5x 0 5 Điều kiện: sin 8x 0 k x 8 Phương trình cot 8x tan 5x cot 5x x m 2 26 13 m Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình x , m 13n 6 . 26 13 Bài 24. Số nghiệm của phương trình 4 x2 sin 2x 0 A. 4 B. 3 C. 2 D. 5 Lời giải: Điều kiện: 2 x 2 x 2 x 2 Phương trình k sin 2x 0 x 2 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình: x 2,x ,x 0 . 2 Bài 25. Cho phương trình 1 x 1 x cos x 0 kết luận nào sau đây về phương trình là đúng? A. Có 1 nghiệm B. Có 2 nghiệm C. Có vô số nghiệm D. Vô nghiệm Lời giải: Điều kiện: 1 x 1 Phương trình cos x 0 x k 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  27. Kết hợp điều kiện ta thấy phương trình vô nghiệm. Bài 26. Giải phương trình tan2 x cot2 x 1 cos2 (3x ) 4 A. x 2k B. x k C. x k D. x k 4 4 2 4 3 4 Lời giải: k Điều kiện: sin 2x 0 x 2 2 2 2 Ta có: tan x cot x 2 1 cos 3x 4 2 2 tan x cot x x k 4 Nên phương trình sin 3x 0 4 x m 12 3 x k là nghiệm của phương trình đã cho. 4 2 2 Bài 27. Giải phương trình cos( sin x ) 1 3 3 2 A. x k , k ¢ B. x k , k ¢ C. 2 2 3 x k2 , k ¢ D. x k2 , k ¢ 2 3 Lời giải: 2 2 Phương trình sin x k2 sin x 1 3k 3 3 Do 1 sin x 1 k 0 x k2 2 Bài 28. Giải phương trình cot cos x 1 1 4 A. x 2k , k ¢ B. x k , k ¢ C. x k , k ¢ 2 2 2 2 3 D. x k , k ¢ 2 Lời giải: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  28. Phương trình cos x 1 k 4 4 cos x 4k k 0 cos x 0 x k . 2 Bài 29. Giải phương trình 3 sin 2x cos 2x 1 0 x k x k A. k ¢ B. 2 k ¢ C. x k x 2k 3 3 x 2k x k 2 k ¢ D. 2 k ¢ x 2k x k 3 3 Lời giải: x k 1 Phương trình sin 2x 2 6 2 x k 3 Bài 30. Giải phương trình sin 3x 3 cos 3x 2cos 5x 5 k 5 k x x A. 48 5 k ¢ B. 48 4 k ¢ 5 5 x k x 2k 12 12 5 k 5 k x x C. 48 4 k ¢ D. 48 4 k ¢ 5 5 x k x k 12 2 12 Lời giải: Phương trình sin 3x sin 5x 3 2 5 k 3x 5x k2 x 3 2 48 4 5 3x 5x k2 x k 3 2 12 Bài 31. Cho phương trình sin x(sin x 2cos x) 2 khẳng định nào sao đây là đúng? A. Có 1 nghiệm B. Vô nghiệm C. Có 4 nghiệm D. Có 2 họ nghiệm – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  29. Lời giải: 1 cos 2x Phương trình sin 2x 2 2sin 2x cos 2x 3 2 Phương trình vô nghiệm. Bài 32. Giải phương trình 3(sin 2x cos7x) sin7x cos 2x 2 3 x k x k A. 10 5 k ¢ B. 10 5 k ¢ 7 2 7 x k x k 54 9 54 3 x k C. 10 5 k ¢ D. 7 x k 54 9 2 x k 10 5 k ¢ 7 2 x k 54 9 Lời giải: Phương trình 3 sin 2x cos 2x sin7x 3 cos7x 2 x k 10 5 sin 2x sin 7x 6 3 7 2 x k 54 9 Bài 33. Giải phương trình 4 sin4 x cos4 x 3 sin 4x 2 k k x x A. 4 7 k ¢ B. 4 5 k ¢ k k x x 12 7 12 5 k k x x C. 4 3 k ¢ D. 4 2 k ¢ k k x x 12 3 12 2 Lời giải: Phương trình 4 2sin2 2x 3 sin 4x 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  30. k x 1 4 2 cos 4x 3 sin 4x 1 cos 4x . 3 2 k x 12 2 1 cos x cos 2x cos 3x 2 Bài 34. Giải phương trình (3 3 sin x) 2cos2 x cos x 1 3 A. x k ,x k , k ¢ B. x k2 ,x k2 , k ¢ 2 6 2 6 C. x k3 ,x k3 , k ¢ D. x k2 ,x k2 , k ¢ 2 6 2 6 Lời giải: Điều kiện: 2cos2 x cos x 1 0 4cos3 x 2cos2 x 2cos x 2 Phương trình 3 3 sin x 2cos2 x cos x 1 3 x k2 3 2 3cos x 3 3 sin x cos x 6 2 x k2 6 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x k2 ,x k2 . 2 6 cos x 2sin x.cos x Bài 35. Giải phương trình 3 2cos2 x sin x 1 5 k 5 k2 A. x ,k ¢ B. x ,k ¢ 18 3 18 3 5 k4 5 k5 C. x ,k ¢ D. x ,k ¢ 18 3 18 3 Lời giải: Điều kiện: 2cos2 x sin x 1 0 Phương trình cos x sin 2x 3 cos 2x 3 sin x x k2 2 sin 2x sin(x ) 3 6 5 k2 x 18 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  31. 5 k2 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình. x ,k ¢ 18 3 Bài 36. Khẳng định nào đúng về phương trình 2 2 sin x cos x cos x 3 cos 2x A. Có 1 họ nghiệm B. Có 2 họ nghiệm C. Vô nghiệm D. Có 1 nghiệm duy nhất Lời giải: Phương trình 2 sin 2x 2(1 cos 2x) 3 cos 2x 2 sin 2x 2 1 cos 2x 3 2 phương trình vô nghiệm. Bài 37. Giải phương trình 3cos 4x sin2 2x cos 2x 2 0 6 A. x k2 (k ¢ ) hoặc x arccos k2 k ¢ . 2 7 6 B. x k (k ¢ ) hoặc x arccos k2 k ¢ . 2 2 7 6 C. x k (k ¢ ) hoặc x arccos k k ¢ . 2 7 6 D. x k (k ¢ ) hoặc x arccos k2 k ¢ . 2 7 Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với 3(2cos2 2x 1) (1 cos2 2x) cos 2x 1 0 6 7 cos2 2x cos 2x 6 0 cos 2x 1 hoặc cos 2x 7 6 x k hoặc x arccos k2 . 2 7 1 Bài 38. Giải phương trình 3cot x 1 0 sin2 x A. x k k ¢ hoặc x arc cot( 2) k k ¢ 4 2 2 B. x k k ¢ hoặc x arc cot( 2) k k ¢ 4 3 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  32. C. x k k ¢ hoặc x arc cot( 2) k k ¢ 4 D. x k k ¢ hoặc x arc cot(2) k k ¢ 4 Lời giải: Phương trình 1 cot2 x 3cot x 1 0 cot2 x 3cot x 2 0 cot x 1 hoặc cot x 2 x k hoặc x arc cot( 2) k 4 Bài 39. Giải phương trình 3 tan x cot x 3 1 0 x k x k2 x k3 A. 4 k ¢ B. 4 k ¢ C. 4 k ¢ x k x k2 x k3 6 2 6 6 x k D. 4 k ¢ x k 6 Lời giải: Phương trình 3 tan2 x ( 3 1)tan x 1 0 tan x 1 x k 4 1 tan x 3 x k 6 x Bài 40. Giải phương trình cos 2x 3cos x 4cos2 2 2 A. x k k ¢ B. 3 2 2 x k k ¢ 3 3 2 2 C. x k4 k ¢ D. x k2 k ¢ 3 3 Lời giải: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  33. Phương trình 2cos2 x 1 3cos x 2(1 cos x) 1 2 2cos2 x 5cos x 3 0 cos x x k2 2 3 Bài 41. Giải phương trình 1 sin x 1 cos x 2 x k2 x k A. , k ¢ B. , k ¢ 2 4 x k x k x k2 x k2 C. , k ¢ D. , k ¢ 2 3 x k2 x k2 Lời giải: Phương trình sin x cos x sin xcos x 1 0 t2 1 Đặt t sin x cos x 2 cos(x ), t 2; 2 sin xcos x . 4 2 t2 1 Thay vào phương trình ta có: t 1 0 t2 2t 3 0 t 1 2 x k2 4 4 x k2 2 cos x 1 2 , k ¢ . 4 x k2 x k2 4 4 Bài 42. Giải phương trình sin 2x 4 sin x cos x 4 2 x k x k 2 3 A. 2 k ¢ B. k ¢ C. 2 x k x k 3 1 x k 2 2 x k2 k ¢ D. 2 k ¢ 1 x k x k2 2 Lời giải: 2 Đặt t sin x cos x 2 sin x ,t 2; 2 2sin xcos x 1 t . 4 Thay vào phương trình ta được: 1 t2 4t 4 t2 4t 3 0 t 1 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  34. 1 x k2 sin x 2 4 2 x k2 Bài 43. Giải phương trình 2 sin x cos x tan x cot x 1 A. x k , k ¢ B. x k , k ¢ C. 4 4 2 2 x k , k ¢ D. x k2 , k ¢ 4 3 4 Lời giải: k Điều kiện: sin 2x 0 x 2 2 Phương trình 2 sin x cos x sin 2x sin x cos x 2 sin 2x 2 Đặt t sin x cos x,t 2; 2 sin 2x t 1 Thay vào phương trình ta có được: (t2 1)t 2 t3 t 2 0 (t 2)(t2 2t 1) 0 t 2 sin x 1 x k2 . 4 4 Bài 44. Giải phương trình cos3 x sin3 x 1. x k x k3 A. k ¢ B. k ¢ 2 2 x k x k3 x k7 x k2 C. k ¢ D. k ¢ 2 2 x k7 x k2 Lời giải: Phương trình (cos x sin x)(1 sin xcos x) 1 0 2 1 t Đặt t cos x sin x 2 cos x ,t 2; 2 sin xcos x . 4 2 1 t2 Thay vào phương trình ta được: t 1 1 0 t3 3t 2 0 t 1 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  35. 1 x k2 cos x 2 . 4 2 x k2 Bài 45. Giải phương trình 2sin2 x 5sin x 3 0 1 A. x k k ¢ B. x k k ¢ 2 2 2 C. x k3 k ¢ D. x k2 k ¢ 2 2 Lời giải: Phương trình sin x 1 x k2 2 Bài 46. Giải phương trình 2cos2 2x 2 3 1 cos 2x 3 0 1 3 1 1 3 1 A. x arccos k k ¢ B. x arccos 3k k ¢ 2 2 2 2 2 1 3 1 1 3 1 C. x arccos k k ¢ D. x arccos 2k k ¢ 2 2 2 2 Lời giải: 3 1 1 3 1 Phương trình cos 2x x arccos k 2 2 2 2 tan x Bài 47. Giải phương trình 5 . 1 tan2 x 1 26 1 26 1 A. x arctan 2k , k ¢ B. x arctan k , k ¢ 5 5 2 1 26 1 26 C. x arctan 3k , k ¢ D. x arctan k , k ¢ 5 5 Lời giải: Phương trình 5tan2 x 2 tan x 5 0 1 26 1 26 tan x x arctan k 5 5 Bài 48. Giải phương trình cos 2x 5sin x 3 0 . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  36. 7 7 A. x k ,x k k ¢ B. x k3 ,x k3 k ¢ 6 6 6 6 7 7 C. x k4 ,x k4 k ¢ D. x k2 ,x k2 k ¢ 6 6 6 6 Lời giải: 1 7 Phương trình 2sin2 x 5sin x 2 0 sin x x k2 ,x k2 . 2 6 6 Bài 49. Giải phương trình 5 1 cos x 2 sin4 x cos4 x . 2 2 1 A. x k , k ¢ B. x k , k ¢ 3 3 2 2 C. x k2 , k ¢ D. x k2 , k ¢ 3 3 Lời giải: Phương trình 5 5cos x 2 sin2 x cos2 x 1 2 2cos2 x 5cos x 2 0 cos x x k2 2 3 5 7 Bài 50. Giải phương trình sin 2x 3cos x 1 2sin x . 2 2 5 5 A. x k ,x k ,x k B. x k2 ,x k2 ,x k2 6 6 6 6 5 5 C. x k2 ,x k ,x k D. x k ,x k2 ,x k2 6 6 6 6 Lời giải: Phương trình cos 2x 3sin x 1 2sin x 5 2sin2 x sin x 0 x k ,x k2 ,x k2 6 6 Bài 51. Giải phương trình 7 cos x 4cos3 x 4sin 2x x k2 x k2 A. 2 B. 2 5 5 x k2 ,x k2 x k ,x k 6 6 6 6 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  37. x k x k C. 2 D. 2 5 5 x k ,x k x k2 ,x k2 6 6 6 6 Lời giải: Phương trình cos x 4cos2 x 8sin x 7 0 x k cos x 0 2 4sin2 8sin x 3 0 5 x k2 ,x k2 6 6 Bài 52. Giải phương trình cos 4x cos2 3x x k2 x k x k2 x k A. k3 B. k3 C. k D. k x x x x 12 2 12 2 12 2 12 2 Lời giải: Phương trình 2cos 4x 1 cos6x 4cos3 2x 4cos2 2x 3cos x 3 0 cos 2x 1 x k x k 3 1 k cos2 2x cos 4x x 4 2 12 2 Bài 53. Giải phương trình 2cos2 x 6sin xcos x 6sin2 x 1 x k2 x k2 4 4 A. B. 1 1 x arctan k2 x arctan k 6 6 x k x k 4 4 C. D. 1 1 1 x arctan k x arctan k 6 2 6 Lời giải: Phương trình cos2 x 5sin xcos x 5sin2 x 0 tan x 1 x k 4 5tan2 x 6 tan x 1 0 1 1 tan x 6 x arctan k 6 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  38. Bài 54. Giải phương trình cos2 x 3 sin 2x 1 sin2 x x k x k x k2 3 x k2 A. 3 B. 3 C. D. 3 1 x k x k2 x k x k 2 Lời giải: 1 Phương trình cos 2x 3 sin 2x 1 cos 2x 3 2 2x k2 3 3 x k2 3 2x k2 x k 3 3 Bài 55. Giải phương trình cos2 x sin xcos x 2sin2 x 1 0 là: 1 1 1 1 A. x k2 , x arctan k2 B. x k , x arctan k 3 3 3 3 1 1 1 1 C. x k , x arctan k D. x k , x arctan k 2 3 2 3 Lời giải: 1 Phương trình sin x(3sin x cos x) 0 sin x 0 hoặc tan x 3 1 x k , x arctan k 3 Bài 57. Giải phương trình cos2 x 3 sin xcos x 1 0 là: A. x k2 ,x k2 B. 3 1 1 x k ,x k 2 3 2 1 1 C. x k ,x k D. x k ,x k 3 3 3 3 Lời giải: Phương trình sin x 3 cos x sin x 0 sin x 0 hoặc tan x 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  39. x k ,x k . 3 Bài 58. Cho phương trình 2 2 sin x cos x cos x 3 2cos2 x , Khẳng định nào sau đây đúng? A. Có 1 nghiệm B. Có 2 họ nghiệm C. Vô nghiệm D. Vô số nghiệm Lời giải: Phương trình 2 2 tan x 1 3 1 tan2 x 2 3tan2 x 2 2 tan x 5 2 2 0 vô nghiệm Bài 59. Giải phương trình tan x cot x 2 sin 2x cos 2x là: 3 x k x k2 x k x k A. 4 B. 4 C. 4 2 D. 4 2 3 x k x k2 x k x k 8 8 8 2 8 2 Lời giải: 1 Phương trình sin 2x cos 2x 1 cot2 2x 1 cot 2x sin 2x x k cot 2x 0 4 2 cot 2x 1 x k 8 2 Bài 60. Giải phương trình 2cos3 x sin 3x 1 x arctan( 2) k2 x arctan( 2) k 2 A. B. x k2 1 4 x k 4 2 1 x arctan( 2) k x arctan( 2) k 3 C. D. 1 x k x k 4 4 3 Lời giải: Phương trình 2cos3 x 3sin x 4sin3 x 3sin xcos2 x sin3 x – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  40. x arctan( 2) k 3 tan x 2 2 3tan x tan x tan x 1 x k 4 Bài 61. Giải phương trình 4sin3 x 3cos3 x 3sin x sin2 xcos x 0 1 1 x k2 x k x k x k A. 3 B. 3 2 C. 3 3 D. 3 1 1 x k2 x k x k x k 4 4 2 4 3 4 Lời giải: Phương trình 4 tan3 x 3 3tan x(1 tan2 x) tan2 x 0 2 x k 3 2 tan x 3 3 tan x tan x 3tan x 3 0 tan x 1 x k 4 Bài 62 . Giải phương trình 3 sin 2x cos 2x 2 là: 7 7 7 1 7 x k x k2 x k x k A. 24 B. 24 C. 24 2 D. 24 1 x k x k2 x k x k 24 24 24 2 24 Lời giải: 7 2x k2 x k 2 3 4 24 Phương trình cos 2x 3 2 2x k2 x k 3 4 24 6 Bài 63. Giải phương trình 4sin x 3cos x 6 là: 4sin x 3cos x 1 3 2 x arcsin k x arcsin k2 5 5 A. hoặc 3 2 x arcsin k x arcsin k2 5 5 3 2 x arcsin k2 x arcsin k 5 5 B. hoặc 3 2 x arcsin k2 x arcsin k 5 5 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  41. 3 1 2 1 x arcsin k x arcsin k 5 2 5 3 C. hoặc 3 1 2 1 x arcsin k x arcsin k 5 2 5 3 3 2 x arcsin k2 x arcsin k2 5 5 D. hoặc 3 2 x arcsin k2 x arcsin k2 5 5 Lời giải: Phương trình (4sin x 3cos x)2 5(4sin x 3cos x) 6 0 3 sin(x ) 4sin x 3cos x 3 5 3 với 0; : sin 4sin x 3cos x 2 2 2 5 sin(x ) 5 3 2 x arcsin k2 x arcsin k2 5 5 hoặc 3 2 x arcsin k2 x arcsin k2 5 5 cos x 2sin x.cos x Bài 64. Giải phương trình 3 2cos2 x sin x 1 4 5 2 A. x k B. x k C. x k D. x k 18 3 18 3 18 3 18 3 Lời giải: Điều kiện: 2cos2 x sin x 1 0 cos 2x sin x 0 Phương trình cos x sin 2x 3 cos 2x 3 sin x x k2 2 cos 2x cos x 6 3 k2 x 18 3 2 Kết hợp điều kiện ta có x k . 18 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  42. Bài 65. Giải phương trình 4 sin4 x cos4 x 3 sin 4x 2 k3 k5 k7 k x x x x A. 4 2 B. 4 2 C. 4 2 D. 4 2 k3 k5 k7 k x x x x 12 2 12 2 12 2 12 2 Lời giải: 1 2 Phương trình 4 1 sin 2x 3 sin 4x 2 2 1 2sin2 2x 3 sin 4x 1 cos 4x 3 sin 4x 1 k x 1 4 2 cos 4x 3 2 k x 12 2 Bài 66. Giải phương trình 2sin 2x sin x cos x 1 0 1 A. x k ,x k hoặc x arccos k 2 4 2 2 1 1 1 1 B. x k ,x k hoặc x arccos k 3 2 3 4 2 2 3 2 2 1 2 C. x k ,x k hoặc x arccos k 3 2 3 4 2 2 3 1 D. x k2 ,x k2 hoặc x arccos k2 2 4 2 2 Lời giải: t 2 Đặt t sin x cos x 2 cos x 2 4 sin 2x t 1 1 Ta có : 2(t2 1) t 1 0 2t2 t 1 0 t 1,t 2 1 t 1 cos x x k2 ,x k2 4 2 2 1 1 1 t cos x x arccos k2 2 4 2 2 4 2 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  43. Bài 67. Giải phương trình sin 2x 12 sin x cos x 12 0 2 A. x k ,x k2 B. x k2 ,x k 2 2 3 1 2 C. x k ,x k D. x k2 ,x k2 2 3 3 2 Lời giải: t 2 Đặt t cos x sin x 2 cos x 2 4 sin 2x 1 t 2 1 Ta có: 1 t 12t 12 0 t 1 cos x 4 2 x k2 ,x k2 . 2 Bài 68. Giải phương trình sin 2x 2 sin x 1 4 1 1 1 A. x k ,x k ,x k2 B. x k ,x k ,x k 4 2 4 2 2 2 2 2 2 C. x k ,x k ,x k2 D. x k ,x k2 ,x k2 4 3 2 3 4 2 Lời giải: t 2 Đặt t 2 sin x sin x cos x 2 4 sin 2x 1 t Ta có: 1 t2 t 1 t 0,t 1 Từ đó ta tìm được: x k ,x k2 ,x k2 4 2 Bài 69. Giải phương trình 1 tan x 2 2 sin x 11 5 2 11 2 5 2 A. x k ,x k ,x k B. x k ,x k ,x k 4 12 12 4 3 12 3 12 3 11 1 5 C. x k2 ,x k ,x k2 D. 4 12 4 12 11 5 x k2 ,x k2 x ,x k2 4 12 12 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  44. Lời giải: Điều kiên: cos x 0 Phương trình sin x cos x 2 sin 2x t 2 Đặt t sin x cos x 2 cos x 2 4 sin 2x t 1 1 Ta có: t 2 t2 1 2t2 t 2 0 t 2,t 2 11 5 Từ đó tìm được: x k2 ,x k2 x ,x k2 4 12 12 Bài 70. Giải phương trình cos x sin x 2sin 2x 1 k3 k5 k7 k A. x B. x C. x D. x 2 2 2 2 Lời giải: sin 2x 1 t2 Đặt t sin x cos x 2 cos x 4 0 t 2 k Ta có: t 2(1 t2 ) 1 2t2 t 1 0 t 1 sin 2x 0 x 2 Bài 71. Giải phương trình cos3 x sin3 x cos 2x 2 A. x k2 ,x k ,x k B. x k ,x k ,x k 4 2 4 3 2 1 2 C. x k ,x k ,x k2 D. x k ,x k2 ,x k2 4 3 2 3 4 2 Lời giải: Phương trình (sin x cos x)(1 sin xcos x) (sin x cos x)(cos x sin x) sin x cos x 1 sin xcos x cos x sin x 0 Từ đó ta tìm được: x k ,x k2 ,x k2 4 2 Bài 72. Giải phương trình cos3 x sin3 x 2sin 2x sin x cos x k3 k5 k A. x B. x C. x k D. x 2 2 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  45. Lời giải: Phương trình cos x sin x 1 sin xcos x 2sin 2x sin x cos x t 2 Đặt t sin x cos x 2 cos x 2 4 sin 2x t 1 t2 1 k Ta có: t 1 2(t2 1) t t2 1 sin 2x 0 x 2 2 Lời giải: 1 1 10 Giải phương trình cosx sinx cos x sin x 3 2 19 2 19 A. x arccos k2 B. x arccos k2 4 3 2 4 2 2 19 2 19 C. x arccos k D. x arccos k2 4 2 4 3 2 sin x cos x 10 Bài 73. Phương trình sin x cos x sin xcos x 3 t 2 Đặt t sin x cos x 2 cos x 2 4 sin 2x t 1 2t 10 Ta có: t 3t(t2 1) 6t 10(t2 1) (t 1) t2 1 3 2 19 3t3 10t2 3t 10 0 (t 2)(3t2 4t 5) 0 t 3 2 19 2 19 cos x x arccos k2 4 3 2 4 3 2 Bài 74. Giải phương trình 2cos2 x 6sin xcos x 6sin2 x 1 1 2 1 2 A. x k2 ; x arctan k2 B. x k ; x arctan k 4 5 4 3 5 3 1 1 1 1 C. x k ; x arctan k D. x k ; x arctan k 4 4 5 4 4 5 Lời giải: Phương trình 5sin2 x 6sin xcos x cos2 x 0 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  46. 1 Giải ra ta được x k ; x arctan k . 4 5 Bài 75. Giải phương trình cos2 x 3 sin 2x 1 sin2 x 1 2 x k2 x k x k x k 2 3 A. B. C. D. x k2 1 2 x k 3 x k x k 3 3 2 3 3 Lời giải: sin x 0 x k Phương trình 2sin2 x 2 3 sin xcos x 0 . tan x 3 x k 3 Bài 77. Giải phương trình tan x cot x 2 sin 2x cos 2x A. x k ,x k B. x k ,x k 4 8 4 4 8 4 C. x k ,x k D. x k ,x k 4 3 8 3 4 2 8 2 Lời giải: Điều kiện: sin 2x 0 2 1 Phương trình 2(sin 2x cos 2x) 1 cot 2x sin 2x sin2 2x cot2 2x cot 2x x k ,x k . 4 2 8 2 Bài 78. Giải phương trình 2cos3 x sin 3x 1 x arctan( 2) k2 x arctan( 2) k 2 A. B. x k2 1 4 x k 4 2 2 x arctan( 2) k x arctan( 2) k 3 C. D. 2 x k x k 4 4 3 Lời giải: Phương trình 2cos3 x 3sin x 4sin3 x – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  47. 2 3tan x 1 tan2 x 4 tan3 x tan3 x 3tan x 2 0 x arctan( 2) k tan x 2 tan x 1 x k 4 Bài 79. Giải phương trình 4sin3 x 3cos3 x 3sin x sin2 xcos x 0 1 1 A. x k2 , x k2 B. x k , x k 4 3 4 2 3 2 1 1 C. x k , x k D. x k , x k 4 3 3 3 4 3 Lời giải: Ta thấy cos x 0 không là nghiệm của phương trình Nên phương trình 4 tan3 x 3 3tan x(1 tan2 x) tan2 x 0 tan x 1 tan3 x tan2 x 3tan x 3 0 x k , x k . tan x 3 4 3 Bài 80. Giải phương trình sin2 x tan x 1 3sin x cos x sin x 3 1 2 x k2 x k x k x k A. 4 B. 4 2 C. 4 3 D. 4 1 2 x k2 x k x k x k 3 3 2 3 3 3 Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với tan2 x(tan x 1) 3tan x(1 tan x) 3(1 tan2 x) x k tan3 x tan2 x 3tan x 3 0 4 x k 3 Bài 81. Giải phương trình cos3 x sin3 x 2 cos5 x sin5 x 1 1 A. x k2 B. x k C. x k D. x k 4 4 2 4 3 4 Lời giải: vì cos x 0 không là nghiệm của phương trình nên ta có – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  48. 1 tan2 x tan3 x(1 tan2 x) 2 1 tan5 x tan5 x tan3 x tan2 x 1 0 (tan2 x 1)(tan3 x 1) 0 tan x 1 x k . 4 cos3 x sin3 x 2 cos5 x sin5 x 2cos5 x cos3 x 2sin5 x sin3 x Cách khác: cos3 x 2cos2 x 1 sin3 x 2sin2 x 1 cos 2x cos3 x sin3 x x k x k 4 2 4 2 ; k ¢ tan x 1 x k 4 Bài 82. Giải phương trình sin2 x 3tan x cos x 4sin x cos x 1 1 A. x k2 ,x arctan 1 2 k2 B. x k ,x arctan 1 2 k 4 4 2 2 2 2 C. x k ,x arctan 1 2 k D. x k ,x arctan 1 2 k 4 3 3 4 Lời giải: Phương trình tan2 x tan x(1 tan2 x) 4 tan x 1 tan3 x tan2 x 3tan x 1 0 (tan x 1)(tan2 x 2 tan x 1) 0 x k ,x arctan 1 2 k . 4 Bài 83. Giải phương trình 2 2 cos3 (x ) 3cos x sin x 0 4 1 2 x k2 x k x k x k A. 2 B. 2 2 C. 2 3 D. 2 1 2 x k2 x k x k x k 4 4 2 4 3 4 Lời giải: 3 Phương trình sin x cos x 3cos x sin x 0 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  49. (sin x cos x)3 (3cos x sin x)(sin2 x cos2 x) 0 x k 2 3 cos x 0 2 sin xcos x cos x 0 . tan x 1 x k 4 Bài 84. Giải phương trình 2sin2 x 3sin x 1 0 2 x k x k A. x k ; 6 B. x k2 ; 6 3 2 5 2 5 2 x k x k 6 6 3 1 x k x k2 5 C. x k ; 6 2 D. x k2 ; 6 2 2 5 1 2 5 x k x k2 6 2 6 Lời giải: 1 Đặt t sin x, t [ 1;1] , ta có phương trình : 2t2 3t 1 0 t 1;t . 2 * t 1 sin x 1 x k2 . 2 x k2 1 1 * t sin x sin 6 . 2 2 6 5 x k2 6 Bài 85. Giải phương trình 2cos 2x 3sin x 1 0 1 x k x k 2 2 2 1 1 1 A. x arcsin( ) k B. x arcsin( ) k 4 4 2 1 1 1 x arcsin( ) k x arcsin( ) k 4 4 2 2 x k x k2 2 3 2 1 2 1 C. x arcsin( ) k D. x arcsin( ) k2 4 3 4 1 2 1 x arcsin( ) k x arcsin( ) k2 4 3 4 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  50. Lời giải: Phương trình 4sin2 x 3sin x 1 0 x k2 2 sin x 1 1 1 x arcsin( ) k2 . sin x 4 4 1 x arcsin( ) k2 4 Bài 86. Giải phương trình 3cos 4x sin2 2x cos 2x 2 0 x k x k2 A. 2 B. 2 C. 6 6 x arccos k x arccos k2 7 7 x k x k 3 D. 2 6 6 x arccos k2 x arccos k2 7 7 Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với 3(2cos2 2x 1) (1 cos2 2x) cos 2x 1 0 cos 2x 1 x k 2 2 7 cos 2x cos 2x 6 0 6 cos 2x 6 7 x arccos k2 7 Bài 87. Giải phương trình 4cos x.cos 2x 1 0 x k2 x k2 3 3 A. B. 1 3 1 5 x arccos k2 x arccos k2 8 8 x k2 x k2 3 3 C. D. 1 7 1 6 x arccos k2 x arccos k2 8 8 Lời giải: Phương trình 4cos x(2cos2 x 1) 1 0 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  51. 8cos3 x 4cos x 1 0 (2cos x 1)(4cos2 x 2cos x 1) 0 1 1 cos x x k2 cos x 2 3 . 2 2 1 5 1 5 4cos x 2cos x 1 0 cos x x arccos k2 8 8 Bài 88. Giải phương trình 16(sin8 x cos8 x) 17 cos2 2x 5 7 9 A. x k B. x k C. x k D. x k 8 4 8 4 8 4 8 4 Lời giải: Ta có sin8 x cos8 x (sin4 x cos4 x)2 2sin4 xcos4 x 2 1 2 1 4 1 sin 2x sin 2x . 2 8 Nên đặt t sin2 2x, 0 t 1 ta được phương trình: 2 1 2 2 1 16 1 t 2t 17(1 t) 2t t 1 0 t 2 2 1 sin2 2x 1 2sin2 2x 0 cos 4x 0 x k . 2 8 4 Bài 89. Giải phương trình cos4 x cos 2x 2sin6 x 0 1 2 A. x k2 B. x k C. x k D. x k 2 3 Lời giải: 1 1 Đặt t cos 2x 1 t 1 cos4 x (1 t)2 ;sin6 x (1 t)3 4 8 Nên phương trình đã cho trở thành: 1 1 (1 t)2 t (1 t)3 0 t3 4t2 5t 2 0 t 1;t 2 4 4 t 1 cos 2x 1 x k . Bài 90. Giải phương trình cos2x cos x 1 0 2 2 A. x k2 ,x k B. x k ,x k2 2 3 2 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  52. 2 7 2 C. x k3 ,x k D. x k ,x k2 2 3 2 2 3 Lời giải: 2 Phương trình 2cos2 x cos x 0 x k ,x k2 2 3 x Bài 91. Giải phương trình cos 2x 3cos x 4cos2 2 2 2 2 2 A. x k B. x k C. x k2 D. x k2 3 3 3 3 3 Lời giải: . Phương trình 2cos2 x 1 3cos x 2(1 cos x) 1 2 2cos2 x 5cos x 3 0 cos x x k2 2 3 Bài 92. Giải phương trình 6sin2x 2sin2 2x 5 2 A. x k B. x k C. x k D. x k 4 3 4 3 4 4 4 2 Lời giải: Phương trình 3(1 cos 2x) 2(1 cos2 2x) 5 2cos2 2x 3cos 2x 0 x k 4 2 Bài 93. Giải phương trình 2sin4 x 2cos4 x 2sin 2x 1 2 1 A. x k2 B. x k C. x k D. x k 4 4 3 4 2 4 Lời giải: 1 1 Phương trình 1 sin2 2x sin 2x 2 2 sin2 2x 2sin 2x 3 0 sin 2x 1 x k 4 Bài 94. Giải phương trình 2cos2 2x 2 3 1 cos2x 3 0 1 3 1 1 3 1 A. x arccos k B. x arccos k2 2 2 2 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  53. 1 3 2 1 3 1 C. x arccos k D. x arccos k 2 2 2 2 Lời giải: 3 1 1 3 1 Phương trình cos 2x x arccos k 2 2 2 3 Bài 95. Giải phương trình 2 tan2 x 3 cos x 2 1 A. x k2 B. x k C. x k D. x k 3 3 Lời giải: 1 3 Phương trình 2 1 3 cos2 x cos x 1 1 2 3 1 0 cos x 1 x k2 cos2 x cos x 4 Bài 96. Giải phương trình 9 13cos x 0 1 tan2 x 1 2 A. x k2 B. x k C. x k D. x k 2 3 Lời giải: cos x 0 Phương trình 2 cos x 1 x k2 4cos x 13cos x 9 0 Bài 97. Giải phương trình 5 1 cos x 2 sin4 x cos4 x 2 3 A. x k B. x k C. x k D. x k2 3 3 3 3 4 3 Lời giải: Phương trình 3 5cos x (sin2 x cos2 x)(sin2 x cos2 x) 1 2cos2 x 5cos x 2 0 cos x x k2 2 3 5 7 Bài 98. Giải phương trình sin 2x 3cos x 1 2sinx 2 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  54. 1 x k x k2 2 A. x k2 ; k ¢ B. x k ; k ¢ 6 6 5 5 x k x k2 6 6 x k x k2 C. x k2 ; k ¢ D. x k2 ; k ¢ 6 6 5 5 x k2 x k2 6 6 Lời giải: Phương trình cos 2x 3sin x 1 2sin x 1 2sin2 x 3sin x 1 2sin x 0 x k sin x 0 2 2sin x sin x 0 1 x k2 ; k ¢ sin x 6 2 5 x k2 6 Bài 99. Giải phương trình 7 cos x 4cos3 x 4sin 2x 1 x k2 x k A. 2 B. 2 4 5 5 x k ,x k x k2 ,x k2 6 6 6 6 1 x k x k C. 2 2 D. 2 5 5 x k ,x k2 x k2 ,x k2 6 6 6 6 Lời giải: Phương trình cos x 4cos2 x 8sin x 7 0 x k cos x 4sin2 x 8sin x 3 0 2 5 x k2 ,x k2 6 6 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  55. Bài 100. Giải phương trình cos4x cos2 3x x k2 x k A. 5 B. 1 5 1 x k ,x k x k ,x k 12 12 12 2 12 2 x k x k C. 5 D. 5 x k3 ,x k3 x k ,x k 12 12 12 12 Lời giải: Phương trình 2cos 4x 1 cos6x 2 2cos2 2x 1 1 4cos3 2x 3cos 2x cos 2x 1 x k 3 2 4cos 2x 4cos 2x 3cos 2x 3 0 3 5 cos 2x x k ,x k 2 12 12 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( ĐÁP ÁN KHÔNG CHI TIẾT) 1 Câu 1. Phương trình sin x chỉ có các nghiệm là 2 5 5 A. x k2 và x k2 ( k ¢ ). B. x k2 và x k2 ( k ¢ ). 4 4 4 4 3 5 C. x k2 và x k2 ( k ¢ ). D. x k2 và x k2 ( k ¢ ). 4 4 4 4 6 Câu 2.Phương trình cos x chỉ có các nghiệm là 2 2 2 5 A. x k2 và x k2 ( k ¢ ). B. x k2 và x k2 ( k ¢ ). 3 3 6 6 5 5 C. x k2 và x k2 ( k ¢ ). D. x k2 và x k2 ( k ¢ ). 6 6 3 3 6 Câu 3. Phương trình tan x chỉ có các nghiệm là 3 2 A. x k ( k ¢ ). B. x k ( k ¢ ). 6 6 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  56. C. x k ( k ¢ ). D. x k ( k ¢ ). 3 3 12 Câu 4. Phương trình cot x chỉ có các nghiệm là 2 A. x k ( k ¢ ). B. x k ( k ¢ ). 6 6 C. x k ( k ¢ ). D. x k ( k ¢ ). 3 3 Câu 5. Phương trình sin x cos x chỉ có các nghiệm là A. x k ( k ¢ ). B. x k2 ( k ¢ ). 4 4 C. x k và x k ( k ¢ ). D. x k2 và x k2 ( k ¢ ). 4 4 4 4 Câu 6. Phương trình tan x cot x chỉ có các nghiệm là A. x k2 ( k ¢ ). B. x k ( k ¢ ). 4 4 C. x k ( k ¢ ). D. x k ( k ¢ ). 4 2 4 4 Câu 7. Phương trình 4sin2 x 3 chỉ có các nghiệm là A. x k2 và x k2 ( k ¢ ). B. x k và x k ( k ¢ ). 3 3 3 3 C. x k và x k ( k ¢ ). D. x k2 và x k2 ( k ¢ ). 6 6 6 6 Câu 8. Phương trình tan2 x 3 chỉ có các nghiệm là A. x k2 và x k2 ( k ¢ ). B. x k và x k ( k ¢ ). 3 3 3 3 C. x k và x k ( k ¢ ). D. x k2 và x k2 ( k ¢ ). 6 6 6 6 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  57. Câu 9. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sin x 0 ? A. cos x 1 . B. cos x 1 . C. tan x 0 . D. cot x 1 . Câu 10. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 2cos2 x 1? 2 A. 2sin x 2 0 . B. sin x . C. tan x 1 . D. tan2 x 1. 2 Câu 11 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan2 x 3 ? 1 1 1 A. cos x . B. 4cos2 x 1. C. cot x . D. cot x . 2 3 3 Câu 12. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình 3sin2 x cos2 x ? 1 3 3 A. sin x . B. cos x . C. sin2 x . D. cot2 x 3 . 2 2 4 Câu 13. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tan x 1 ? 2 2 A. sin x . B. cos x . C. cot x 1 . D. cot2 x 1. 2 2 Câu 14 Phương trình sin x cos 5x chỉ có các nghiệm là A. x k2 và x k2 ( k ¢ ). B. x k và x k ( k ¢ ). 4 4 4 4 C. x k và x k ( k ¢ ). D. . x k và x k ( k ¢ ). 12 3 8 2 12 3 8 2 Câu 15. Trên khoảng 0; , phương trình tan x.tan 3x 1 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  58. 5 3 A. chỉ có các nghiệm là ; ; . B. chỉ có các nghiệm là ; ; . 6 2 6 6 4 4 C. chỉ có các nghiệm là x k ( k ¢ ). D. có các nghiệm khác 6 3 với các nghiệm ở trên. Câu 16. Phương trình 2sin2 x 7 sin x 3 0 A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm là x k2 ( k ¢ ). 6 5 C. chỉ có các nghiệm là x k2 ( k ¢ ). 6 5 D. chỉ có các nghiệm là x k2 và x k2 ( k ¢ ). 6 6 Câu 17. Phương trình 2cos2 x 4 3 cos x 3 0 A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm là x k2 ( k ¢ ). 3 C. chỉ có các nghiệm là x k2 ( k ¢ ). 6 D. chỉ có các nghiệm là x k2 và x k2 ( k ¢ ). 6 6 Câu 18. Phương trình 2sin2 x 7 cos x 5 0 A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm là x k2 ( k ¢ ). 3 5 C. chỉ có các nghiệm là x k2 ( k ¢ ). 3 D. chỉ có các nghiệm là x k2 và x k2 ( k ¢ ). 3 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  59. Câu 19. Phương trình sin2 x 4sin xcos x 3cos2 x 0 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? tan x 1 A. cos x 0 . B. cot x 1 . C. tan x 3 . D. 1 . cot x 3 Câu 20. Phương trình sin2 x 4sin xcos x 4cos2 x 5 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? 1 1 tan x A. cos x 0 . B. tan x . C. cot x 2 . D. 2 . 2 cos x 0 Câu 21. Phương trình tan x 5cot x 6 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? tan x 1 tan x 2 A. cot x 1 . B. tan x 5 . C. . D. . tan x 5 tan x 3 Câu 22. Phương trình cos 2x 3cos x 4 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? cos x 1 cos x 1 5 A. cos x 1 . B. cos x . C. 5 . D. 5 . 2 cos x cos x 2 2 Câu 23. Phương trình cos 2x 5sin x 6 0 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? sin x 1 sin x 1 5 A. sin x . B. sin x 1. C. 7 . D. 7 . 2 sin x sin x 2 2 Câu 24. Phương trình sin x cos x 1chỉ có các nghiệm là – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  60. x k2 x k A. 4 (k ¢ ) . B. 4 (k ¢ ) . C. x k2 x k 4 4 x k2 x k2 (k ¢ ) . D. (k ¢ ) . x k2 x k2 2 4 Câu 25. Phương trình sin x cos x 1chỉ có các nghiệm là x k2 x k A. 4 (k ¢ ) . B. 4 (k ¢ ) . C. x k2 x k 4 4 x k2 x 2k 1 (k ¢ ) . D. (k ¢ ) . x k2 x k2 4 2 Câu 26. Phương trình sin x 3 cos x 1chỉ có các nghiệm là x k2 x k2 A. 2 (k ¢ ) . B. 2 (k ¢ ) .C. 7 7 x k2 x k2 6 6 x k2 x k2 2 (k ¢ ) . D. 2 (k ¢ ) . 7 7 x k2 x k2 6 6 Câu 27. Phương trình 3sin x (m 1)cos x m 2 (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi A. m 1. B. m 1 . C. m 1 . D. m 1 . Câu 28. Phương trình tan x mcot x 8 (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi A. m 16 . B. m 16 . C. m 16 . D. m 16 . Câu 29. Phương trình 16cos x.cos 2x.cos 4x.cos8x 1 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin x 0 . B. sin x sin 8x . C. sin x sin16x . D. sin x sin 32x . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  61. Câu 30. Phương trình 2n 1 cos x.cos 2x.cos 4x.cos8x cos 2n x 1có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin x 0 . B. sin x sin 2n x . C. sin x sin 2n 1 x . D. sin x sin 2n 2 x . Câu 31. Phương trình sin 3x sin 2x sin x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? sin x 0 1 A. sin x 0 . B. cos x 1 . C. cos x . D. 1 . 2 cos x 2 Câu 32. Phương trình cos 5x.cos 3x cos 4x.cos 2x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin x cos x . B. cos x 0 . C. cos8x cos6x . D. sin 8x cos6x . Câu 33. Phương trình sin4 x cos4 x 1có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? sin x 0 A. sin x 1. B. sin x 1. C. cos x 1 . D. . cos x 0 Câu 34. Phương trình sin2m x cos2m x 1( m 1,m ¢ ) có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? sin x 0 A. sin x 1. B. sin x 1. C. cos x 1 . D. . cos x 0 Câu 35. Phương trình sin x sin 2x sin 3x cos x cos 2x cos 3x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? 1 3 1 cos x A. sin x . B. cos 2x sin 2x . C. cos x . D. 2 . 2 2 cos 2x sin 2x Câu 36. Phương trình sin 3x cos4 x sin4 x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. cos 2x sin 3x . B. cos 2x sin 3x . C. cos 2x sin 2x . D. cos 2x sin 2x . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  62. Câu 37. Phương trình sin2 x sin2 2x sin2 3x sin2 4x 2 có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. sin 5x 1. B. cos 3x cos x . C. cos 3x cos x . D. cos 3x cos x . Câu 38. Phương trình tan x tan 2x sin 3x.cos x có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây? sin 3x 0 A. sin 3x 0 . B. cos 2x 0 . C. cos 2x 2 . D. . cos 2x 0 Câu 39. Phương trình 2sin2 x 5cos x 5 có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn phụ được đặt như sau A. t sin x . B. t cos x . C. t tan x . D. t cot x . Câu 40. Phương trình 3cos2 x 4sin x 10 có thể chuyển về phương trình bậc hai với ẩn phụ được đặt như sau A. t sin x . B. t cos x . C. t tan x . D. t cot x . Câu 41 Phương trình 2 cos4 x sin4 x 1 x A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm 6 . x 6 x k2 x k C. chỉ có các nghiệm 6 (k ¢ ) D. . chỉ có các nghiệm 6 (k ¢ ) x k2 x k 6 6 2 Câu 42. Phương trình cos x sin x 3sin 2x x A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm 12 . 5 x 12 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  63. x k x k2 C. chỉ có các nghiệm 12 (k ¢ ) . D. . chỉ có các nghiệm 12 (k ¢ ) . 5 5 x k x k2 12 12 2 Câu 43. Phương trình cos x sin x 1 cos 3x x A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm 10 . x 2 2 x k x k C. chỉ có các nghiệm 10 (k ¢ ) . D. . chỉ có các nghiệm 10 5 (k ¢ ) . x k x k2 2 2 3 Câu 44. Phương trình sin4 x cos4 x 4 A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm x k ,k ¢ . 8 4 x k2 x k C. chỉ có các nghiệm 8 (k ¢ ) .D. chỉ có các nghiệm 8 (k ¢ ) . x k2 x k 8 8 7 Câu 45. Phương trình sin6 x cos6 x 16 A. chỉ có các nghiệm x k ,k ¢ B. chỉ có các nghiệm x k ,k ¢ . 6 2 6 2 x k C. chỉ có các nghiệm 6 2 (k ¢ ) . D. vô nghiệm. x k 6 2 tan2 3x tan2 x Câu 46. Phương trình 1 1 tan2 3x.tan2 x – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  64. x k 12 6 A. chỉ có các nghiệm x k ,k ¢ . B. chỉ có các nghiệm x k2 ,k ¢ . 2 3 x k 6 3 C. chỉ có các nghiệm x k ,k ¢ . D. vô nghiệm. 6 3 3 cos x Câu 47. Phương trình sin4 x cos4 x 4 2 A. vô nghiệm. B. chỉ có các nghiệm x k ,k ¢ . 3 2 2 C. chỉ có các nghiệm x k ,k ¢ . D. chỉ có các nghiệm x k và 5 5 2 x k (k ¢ ) . 5 Câu 48. Tổng các nghiệm thuộc khoảng của phương trình 4sin2 2x 1 0 bằng: 2 A. 0 B. (1 m)tan2 x 1 3m 0 B. D. cos x 3 2 2 Câu 49. Số nghiệm thuộc t1 ,t2 1 của phương trình sin x cos 3x 0 là: A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 Câu 50. Hiệu giữa nghiệm lớn nhất và nghiệm nhỏ nhất trên 0; 2 của phương trình 3 m 3 1 0 m 1 là: 4 4 2 4 A. 0 B. C. D. 2 3 9 Câu 51. Tất cả các nghiệm của phương trình cos 2x sin x 0 là: 4 3 13 13 2 13 2 13 2 x k2 x k x k x k A. 36 B. 36 3 C. 36 3 D. 36 3 7 7 7 7 x k2 x k2 x k2 x k2 12 12 12 12 3 Câu 52. Tích các nghiệm thuộc 0; của phương trình sin 2x cos x 0 bằng: 4 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  65. 2 2 3 2 2 A. B. C. D. 48 16 16 64 Câu 53. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sinx 3 cos x 2 là: 17 13 11 19 A. B. C. D. 12 12 12 12 Câu 54. Hiệu giữa nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình 3 cos 2x sin 2x 2 bằng 3 A. 0 B. C. D. 2 2 Câu 55. Tổng của nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 4 3 sin2 x tanx cos2 xcot x 2sinxcosx bằng: 3 A. B. C. D. 2 6 3 Câu 56. Số nghiệm của phương trình sinx cos 2 x thuộc 0; 2 là: A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 Câu 57. Tổng các nghiệm của phương trình cos 2x sin 2x 2 thuộc 0; là: 6 3 5 A. B. C. D. 2 12 24 4 sin2 x Câu 58. Số nghiệm của phương trình 1 thuộc ;0 là: 1 cos x 2 A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 Câu 59. Tổng các nghiệm thuộc 0; 2 của phương trình sinxcos 3x sinx 2cos 3x 2 0 là: 2 A. B. 2 C. 4 D. 0 3 Câu 60. Số nghiệm thuộc 0; của phương trình sin 2x 0 là: 4 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 61. Phương trình msinx 3cosx 2 m có nghiệm khi và chỉ khi: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  66. A. m 3 B. m 3 C. m 3 D. m 3 Câu 62. Số nghiệm của phương trình 5sin 2x sinx cosx 6 0 trong khoảng 0; là: A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 Câu 63. Cho phương trình cos x sin 2x 0 . Có hai bạn giải được hai đáp án 3 2 sau: 2 x l2 x l I. 9 II. 9 3 x k2 x k2 3 3 A. I, II cùng sai B. Chỉ I đúng C. Chỉ II đúng D. I, II cùng đúng Câu 64. Cho phương trình 2cos2 2x cos 4x 0 . Trong các số sau, số nào là họ nghiệm của phương trình trên: I. x k II. x k III. x k IV. x k 6 4 6 2 6 2 6 4 Chọn câu trả lời đúng nhất. A. Chỉ I, IV đúng B. Chỉ I đúng C. Chỉ IV đúng D. I, II, III, IV cùng đúng Câu 65. Cho phương trình sin6 x cos6 x 1. Có ba bạn giải được 3 kết quả sau: x k x k2 x k2 I.x k II. III. hay 2 x k x k2 x k2 2 2 A. Chỉ I đúng B. Chỉ II đúng C. Chỉ III đúng D. Cả ba đều đúng 1 Câu 66. Phương trình cos x có mấy nghiệm thuộc khoảng ; 4 ? 2 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Câu 67. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình tan x 1 là: 3 7 5 11 A. B. C. D. Một đáp án khác 12 12 12 2 2 Câu 68. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin x là: 3 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  67. 7 A. B. C. D. Đáp án khac 15 12 12 1 Câu 69. Tổng các nghiệm của phương trình cos x trong khoảng ; là: 4 2 3 A. B. C. D. Đáp án khác 2 2 2 1 Câu 70. Tổng các nghiệm của phương trình sinxcos sin cos x trên ; là: 8 8 2 3 3 A. B. C. D. 2 2 2 4 3 Câu 71. Phương trình sin x m có đúng 1 nghiệm x 0; khi và chỉ khi: 2 A. 1 m 1 B. 1 m 1 C. 1 m 0 D. Đáp số khác 3 Câu 72. Phương trình 1 cos x m có đúng 2 nghiệm x ; khi và chỉ khi: 2 2 A. 0 m 1 B. 0 m 1 C. 1 m 1 D. 1 m 0 1 Câu 73. Số nghiệm của phương trình sin xcos xcos 2xcos 4xcos8x sin12x trên 16 ; là: 2 2 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 ĐÁP ÁN Câu 1 Câu 2 Câu 3 C C B Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu Câu Câu Câu 10 11 12 13 B A C B B C D B D C – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  68. Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 C D D D D D B C A B Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 C D A D D C D D C D Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 D D A D A B A D C D Câu 44 Câu Câu Câu 45 46 47 B C A D BÀI TẬP TỰ LUYỆN KHÔNG CÓ ĐÁP ÁN Câu 1. Nghiệm của phương trình sinx = 1 là: A. x k2 B. x k C. x k D. x k2 2 2 2 Câu 2. Nghiệm của phương trình sinx = –1 là: 3 A. x k B. x k2 C. x k D. x k 2 2 2 1 Câu 3. Nghiệm của phương trình sinx = là: 2 A. x k2 B. x k C. x k D. x k2 3 6 6 Câu 4. Nghiệm của phương trình cosx = 1 là: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  69. A. x k B. x k2 C. x k2 D. x k 2 2 Câu 5. Nghiệm của phương trình cosx = –1 là: 3 A. x k B. x k2 C. x k2 D. x k 2 2 1 Câu 6. Nghiệm của phương trình cosx = là: 2 A. x k2 B. x k2 3 6 C. x k D. x k2 4 2 1 Câu 7. Nghiệm của phương trình cosx = – là: 2 2 A. x k2 B. x k2 C. x k2 D. x k 3 6 3 6 1 Câu 8. Nghiệm của phương trình cos2x = là: 2 A. x k2 B. x k 2 4 2 C. x k2 D. x k2 3 4 Câu 9. Nghiệm của phương trình 3 + 3tanx = 0 là: A. x k B. x k2 C. x k D. x k 3 2 6 2 Câu 10. Nghiệm của phương trình sin3x = sinx là: A. x k B. x k ; x k 2 4 2 C. x k 2 D. x k ;x k2 2 Câu 11. Nghiệm của phương trình sinx.cosx = 0 là: A. x k2 B. x k C. x k2 D. x k2 2 2 6 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  70. Câu 12. Nghiệm của phương trình cos3x = cosx là: A. x k2 B. x k2 ; x k2 2 C. x k 2 D. x k ; x k2 2 Câu 13. Nghiệm của phương trình sin3x = cosx là: A. x k ; x k B. x k2 ; x k2 8 2 4 2 C. `xD. k ; x k x k ; x k 4 2 Câu 14. Nghiệm của phương trình sin2x – sinx = 0 thỏa điều kiện: 0 < x < A. x B. x C. x = 0 D. x 2 2 Câu 15. Nghiệm của phương trình sin2x + sinx = 0 thỏa điều kiện: < x < 2 2 A. x 0 B. x C. x = D. x 3 2 Câu 16. Nghiệm của phương trình cos2x – cosx = 0 thỏa điều kiện: 0 < x < A. x B. x C. x = D. x 2 4 6 2 3 Câu 17. Nghiệm của phương trình cos2x + cosx = 0 thỏa điều kiện: < x < 2 2 3 3 A. x B. x C. x = D. x 3 2 2 Câu 18. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = 0 là: A. x k B. x k C. x k D. x k 4 6 4 Câu 19. Nghiệm của phương trình 2sin(4x – ) – 1 = 0 là: 3 7 A. x k ; x k B. x k2 ; x k2 8 2 24 2 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  71. C. x k ; x k2 D. x k2 ; x k 2 Câu 20. Nghiệm của phương trình 2sin2x – 3sinx + 1 = 0 thỏa điều kiện: 0 x < 2 A. x B. x C. x = D. x 6 4 2 2 Câu 21. Nghiệm của phương trình 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 là: 7 5 A. x k2 ; x k2 B. x k2 ; x k2 6 6 3 6 5 C. x k ; x k2 D. x k2 ; x k2 2 4 4 Câu 22. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = 1 là: A. x k2 ; x k2 B. x k ; x k2 2 2 C. x k ; x k2 D. x k ; x k 6 4 Câu 23. Nghiệm của phương trình cosx + sinx = –1 là: A. x k2 ; x k2 B. x k2 ; x k2 2 2 C. x k2 ; x k2 D. x k ; x k 3 6 Câu 24. Nghiệm của phương trình sinx + 3 cosx = 2 là: 5 3 A. x k2 ; x k2 B. x k2 ; x k2 12 12 4 4 2 5 C. x k2 ; x k2 D. x k2 ; x k2 3 3 4 4 Câu 25. Nghiêm của pt sinx.cosx.cos2x = 0 là: A. x k B. x k. C. x k. D. x k. 2 8 4 Câu 26. Nghiêm của pt 3.cos2x = – 8.cosx – 5 là: A. x k B. x k2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  72. C. x k2 D. x k2 2 Câu 27. Nghiêm của pt cotgx + 3 = 0 là: A. x k2 B. x k C. x k D. x k 3 6 6 3 Câu 28. Nghiêm của pt sinx + 3 .cosx = 0 la: A. x k2 B. x C.k x k D. x k 3 3 3 6 Câu 29. Nghiêm của pt 2.sinx.cosx = 1 là: A. x k2 B. x k C. xD. k. x k 2 4 Câu 30. Nghiêm của pt sin2x = 1 là A. x k2 B. x k2 C. x k D. x k 2 2 Câu 31. Nghiệm của pt 2.cos2x = –2 là: A. x k2 B. x k2C. x k D. x k2 2 2 3 Câu 32. Nghiệm của pt sinx + 0 là: 2 A. x k2 B. x k2 6 3 5 2 C. x k D. x k2 6 3 Câu 33. Nghiệm của pt cos2x – cosx = 0 là : A. x k2 B. x k4 C. x k D. x k. 2 Câu 34. Nghiêm của pt sin2x = – sinx + 2 là: A. x k2 B. x k C. x D. k 2 x k 2 2 2 Câu 35. Nghiêm của pt sin4x – cos4x = 0 là: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  73. 3 A. x k2 B. x k2 C. x k D. x k. 4 4 4 4 2 Câu 36. Xét các phương trình lượng giác: (I ) sinx + cosx = 3 , (II ) 2.sinx + 3.cosx = 12 , (III ) cos2x + cos22x = 2 Trong các phương trình trên , phương trình nào vô nghiệm? A. Chỉ (III ) B. Chỉ (I ) C. (I ) và (III ) D. Chỉ (II ) 1 Câu 37. Nghiệm của pt sinx = – là: 2 A. x k2 B. x k2 C. x k D. 3 6 6 5 x k2 6 Câu 38. Nghiêm của pt tg2x – 1 = 0 là: 3 A. x k B. xC. k2 D.x k x k 4 4 8 2 4 Câu 39. Nghiêm của pt cos2x = 0 là: A. x k B. x k2 2 2 C. x k. D. x k2 4 2 2 Câu 40. Cho pt : cosx.cos7x = cos3x.cos5x (1) . Pt nào sau đây tương đương với pt (1) A. sin4x = 0 B. cos3x = 0 C. cos4x = 0 D. sin5x = 0 Câu 41. Nghiệm của pt cosx – sinx = 0 là: A. x k B. x k 4 4 C. x k2 D. x k2 4 4 Câu 42. Nghiệm của pt 2cos2x + 2cosx – 2 = 0 A. x k2 B. x k C. x k2 D. x k 4 4 3 3 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  74. Câu 43. Nghiệm của pt sinx – 3 cosx = 0 là: A. x k B. x k C. x k2 D. x k2 6 3 3 6 Câu 44. Nghiệm của pt 3 sinx + cosx = 0 là: A. x k B. x k C. x k D. x k 6 3 3 6 Câu 45. Điều kiện có nghiệm của pt A. sin5x + B. cos5x = c là: A. a2 + b2 c2 B. a2 + b2 c2 C. a2 + b2 > c2 D. a2 + b2 < c2 Câu 46. Nghiệm của pt tanx + cotx = –2 là: A. x k B. x k C. x k2 D. 4 4 4 x k2 4 Câu 47. Nghiệm của pt tanx + cotx = 2 là: 5 A. x k B. x k C. x k2 D. 4 4 4 3 x k2 4 Câu 48. Nghiệm của pt cos2x + sinx + 1 = 0 là: A. x k2 B. x k2 C. x k2 D. x k 2 2 2 2 m Câu 49. Tìm m để pt sin2x + cos2x = có nghiệm là: 2 A. 1 5 m 1 5 B. 1 3 m 1 3 C. 1 2 m 1 2 D. 0 m 2 Câu 50. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là: 5 A. x B. x C. x D. 6 6 12 Câu 51. Nghiệm của pt cos2x – sinx cosx = 0 là: A. x k ; x k B. x k 4 2 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  75. 5 7 C. x k D. x k ; x k 2 6 6 Câu 52. Tìm m để pt 2sin2x + m.sin2x = 2m vô nghiệm: 4 4 4 A. 0 < m < B. 0 m C. m 0; m D. m < 0 ; 3 3 3 4 m 3 Câu 53. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 2sinx + 2 sin2x = 0 là: 3 A. x B. x C. x D. x 4 4 3 Câu 54. Nghiệm âm nhỏ nhất của pt tan5x.tanx = 1 là: A. x B. x C. x D. x 12 3 6 4 Câu 55. Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của pt sin4x + cos5x = 0 theo thứ tự là: 2 A. x ; x B. x ; x 18 6 18 9 C. x ; x D. x ; x 18 2 18 3 Câu 56. Nghiệm của pt 2.cos2x – 3.cosx + 1 = 0 5 A. x k2 ; x k2 B. x k2 ; x k2 6 6 6 2 C. x k2 ; x k2 D. x k2 ; x k2 2 6 3 Câu 57. Nghiệm của pt cos2x + sinx + 1 = 0 là: A. x k2 B. x k2 2 2 C. x k D. x k2 2 2 Câu 58. Nghiệm dương nhỏ nhất của pt 4.sin2x + 3. 3 sin2x – 2.cos2x = 4 là: A. x B. x 6 4 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  76. C. x D. x 3 2 Câu 59. Nghiệm của pt cos4x – sin4x = 0 là: A. x k B. x k 4 2 2 C. x k2 D. x k Câu 60. Nghiệm của pt sinx + cosx = 2 là: A. x k2 B. x k2 4 4 C. x k2 D. x k2 6 6 Câu 61. Nghiệm của pt sin2x + 3 sinx.cosx = 1 là: A. x k ; x k B. x k2 ; x k2 2 6 2 6 5 5 C. x k2 ; x k2 D. x k2 ; x k2 6 6 6 6 Câu 62. Nghiệm của pt sinx – 3 cosx = 1 là 5 13 A. x k2 ; x k2 B. x k2 ; x k2 12 12 2 6 5 5 C. x k2 ; x k2 D. x k2 ; x k2 6 6 4 4 Câu 63. Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm: (I) cosx = 5 3 (II) sinx = 1– 2 (III) sinx + cosx = 2 A. (I) B. (II) C. (III) D. (I) và (II) Một số vấn đề nâng cao. Vấn đề 2. Tìm nghiệm phương trình lượng giác cơ bản Các ví dụ – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  77. Ví dụ 1. Tìm tổng các nghiệm trong khoảng ( ; ) của phương trình: 1. sin(3x ) cos(2x ) 2. sin2 2x cos2 (3x ) 3 4 8 Lời giải. 3 1. Phương trình sin 3x sin 2x 3 4 3 k2 3x 2x k2 x 3 4 12 5 3x 2x k2 x k2 3 4 12 43 19 29 53 Do x ; nên ta có: x ,x ,x ,x ,x ,x 60 60 12 60 60 12 Vậy tổng các nghiệm trong ; bằng . 3 2. Phương trình cos 6x cos 4x cos 4x 4 5 6x 4x k2 x k 4 8 3 k 6x 4x k2 x 4 40 5 Các nghiệm nằm trong ( ; ) của phương trình là: 5 7 27 19 11 3 x ,x ,x ,x ,x ,x ,x , 8 8 40 40 40 40 8 13 21 29 37 x ,x ,x ,x 40 40 40 40 7 Vậy tổng các nghiệm thuộc ( ; ) là: . 8 Ví dụ 2. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của các phương trình sau: 1. sin2 2x cos2 5x 1 2. (sin x cos x)2 2cos2 3x Lời giải: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  78. 1 cos 4x 1 cos10x 1. Phương trình 1 2 2 k x 10x 4x k2 3 cos10x cos 4x 10x 4x k2 k x 7 Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình là: x ,x . 7 7 2. Phương trình 1 sin 2x 1 cos6x k 6x 2x k2 x 2 16 4 cos6x sin 2x cos 2x 2 k 6x 2x k2 x 2 8 2 Vậy nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là: x ,x . 16 8 Ví dụ 3 Tìm số dương nhỏ nhất của phương trình : 2 2 1 2 2 1. cos x 2x sin x 2. sin x sin x 1 2 Lời giải: 2 2 1. Phương trình sin (x 2x) sin x (x2 2x) x2 k2 x k ¢ 2 2 2 (x 2x) x k2 2x 2x 2k 1 0 (1) 1 3 Từ đó ta tìm được x . 2 2 2 2k 1 x (x 1) k2 x 2. Phương trình 2 2 2 x (x 1) k2 2 x x k 0 2k 1 1 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình x ,k ¢ là x 2 2 1 5 1 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình x2 x k 0 là: x 2 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  79. 1 Vậy x là nghiệm cần tìm. 2 Ví dụ 4 2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : cos 3x 9x 160x 800 1 8 Lời giải: 16k 16k x x 2 3 3 Phương trình 3x 9x 160x 800 16k 8k2 25 25 x 9x 24k 40 3k 5 3k 5 25 Theo bài toán suy ra: ¢ k 0, 2, 10 3k 5 Thử lại ta có các nghiệm nguyên của phương trình : x 7( k 2), x 31 (k 10). Ví dụ 5 Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng (0; 2 ) của phương trình sau: 3 1 sin x 3 1 cos x 2 2 sin 2x Lời giải: 7 6 2 7 6 2 Ta có sin ; cos 12 4 12 4 3 1 3 1 Nên phương trình đã cho tương đương với: sin x cos x sin 2x 2 2 2 2 7 7 sin x.cos cos x.sin sin 2x 12 12 7 7 2x x k2 x k2 7 sin(x ) sin 2x 12 12 . 12 7 5 2 2x x k2 x k 12 36 3 Do x 0; 2 nên phương trình có các nghiệm là: 7 5 29 53 ; ; ; . 12 36 36 36 Vậy tổng các nghiệm cần tính là: 3 . – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  80. Chú ý: Ta có thể giải theo cách khác như sau Phương trình 3 sin x cos x 3 cos x sin x 2 2 sin 2x 7 sin(x ) cos(x ) 2 sin 2x sin(x ) sin 2x 6 6 12 Tiếp tục giải ta được kết quả như trên. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1. Tìm tổng các nghiệm của phương trình: 2cos(x ) 1 trên ( ; ) 3 2 4 7 A. B. C. D. 3 3 3 3 Lời giải: x k2 1 Phương trình cos(x ) cos 2 3 2 3 x k2 3 Vì x ; nên: * Với x k2 ta chỉ chọn được k 0 x 0 . 2 2 * Với x k2 ta chỉ chọn được k 0 x . 3 3 2 Vậy tổng các nghiệm bằng . 3 Bài 2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình sin(5x ) cos(2x ) trên [0; ] 3 3 7 4 47 47 A. B. C. D. 18 18 8 18 Lời giải: 5 Phương trình sin(5x ) sin( 2x) 3 6 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  81. 5 2 5x 2x k2 x k 3 6 14 7 . 2 5x 2x k2 x k 3 6 18 3 2 2 Với x k 0 k 14 7 14 7 2 13 1 13 k k . Do k ¢ k 0,1,2,3 14 7 14 4 4 5 9 13 Suy ra các nghiệm: x ,x ,x ,x 14 14 14 14 2 2 Với x k 0 k 18 3 18 3 2 19 1 19 k k . Do k ¢ k 1 18 3 18 12 12 11 Suy ra các nghiêm: x . 18 47 Vậy tổng các nghiệm là: . 18 Bài 3.Tìm sô nghiệm nguyên dương của phương trình sau 2 sin 3x 9x 16x 80 0 . 4 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải: Điều kiện: 9x2 16x 80 0 x 4 . Phương trình 3x 9x2 16x 80 k , k ¢ 4 3x 9x2 16x 80 4k 9x2 16x 80 3x 4k 4k 4k x x 3 3 2 . 2 2 2k 10 9x 16x 80 (3x 4k) x 3k 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  82. 2k2 10 4k 3k 2 3 2k2 10 Yêu cầu bài toán x 4 . 3k 2 2k2 10 ¢ 3k 2 2k2 10 4k 6k2 8k 30 0 3k 2 3 3k 2 2 Ta có: k 3 2k2 10 2k2 12k 18 3 x 4 0 3k 2 3k 2 Vì k ¢ k 1,2,3 . 2k2 10 * k 1 12 ¢ 3k 2 2k2 10 9 * k 2 ¢ 3k 2 2 2k2 10 * k 3 4 ¢ 3k 2 Kết hợp điều kiện, ta có x 4,x 12 là những giá trị cần tìm. Bài 4. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình: cos (3 3 2x x2 ) 1. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải: Phương trình 3 3 2x x2 k2 , k ¢ 2 2k 3 2x x2 Ta có: 0 4 (1 x)2 2 và 2 2k là số chẵn nên ta có các nghiệm là: x 1,x 3,x 1. Bài 5. Tìm số nghiệm x 0;14 nghiệm đúng phương trình : cos 3x 4cos 2x 3cos x 4 0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải: Phương trình 4cos3 x 3cos x 4(2cos2 x 1) 3cos x 4 0 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  83. 4cos3 x 8cos2 x 0 cos x 0 x k 2 3 5 7 Vì x 0;14 x ,x ,x ,x . 2 2 2 2 Bài 6. Tìm số nghiệm trên khoảng ( ; ) của phương trình : 2(sinx 1)(sin2 2x 3sinx 1) sin4x.cosx A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải: Ta có phương trình đã cho tương đương với 1 cos 4x 2 sin x 1 3sin x 1 sin 4x.cos x 2 sin x 1 3 6sin x cos 4x sin 4x.cos x sinx 1 3 6sinx sinx.cos4x cos4x sin4x.cosx 3(1 2sin2 x) 3sinx sin5x cos4x 3cos 2x 3cos x cos 5x cos 4x 2 2 3x x 9x x 3.2.cos( ).cos( ) 2.cos( ).cos( ) 2 4 2 4 2 4 2 4 x 3x 9x 3 cos 3cos( ) cos( ) 0 2 4 2 4 2 4 x 3 cos( ) 0 x k2 x 3x cos( ).cos3 ( ) 0 2 4 2 . 2 4 2 4 3x cos( ) 0 x k2 2 4 6 3 Vì x ( ; ) nên suy ra x ,x ,x . 2 6 2 sin 3x sin x Bài 7 Tìm số nghiệm x 0; 2 của phương trình : sin 2x cos 2x 1 cos 2x A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  84. Điều kiện: cos 2x 1 2x k2 x k 2cos 2xsin x Phương trình 2 cos 2x 2 sin x 4 Ta thấy x không là nghiệm của phương trình . 2cos 2xsin x Nếu x 0; thì phương trình 2 cos 2x 2 sin x 4 cos 2x cos 2x x k ,k ¢ 4 16 2 1 15 Do x 0; 0 k ,k Z k ,k Z 16 2 8 8 x k 0 16 . k 1 9 x 16 2cos 2xsin x Nếu x ; 2 thì phương trình 2 cos 2x 2 sin x 4 5 cos 2x cos 2x x k ,k ¢ 4 16 2 5 11 27 Do x ; 2 k 2 ,k Z k ,k Z 16 2 8 8 21 x k 2 16 . k 3 29 x 16 Nghiệm phương trình thỏa mãn bài toán là : 9 21 29 x ; x ; x ; x . 16 16 16 16 Vấn đề 3 . Phương pháp loại nghiệm khi giải phương trình lượng giác có điều kiện Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng giáC. Ta loại đi những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện. – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  85. Với cách này chúng ta cần ghi nhớ Điểm biểu diễn cung và k2 , k ¢ trùng nhau 2k Để biểu diễn cung lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị (thường n chọn k 0,1,2, ,n 1) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn. Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên k l Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm và  , trong đó m,n ¢ đã biết, còn n m k,l ¢ là các chỉ số chạy. k l Ta xét phương trình :  ak bl c (*) n m Với a,b,c là các số nguyên. Trong trường hợp này ta quy về giải phương trình nghiệm nguyên ax by c (1). Để giải phương trình (1) ta cần chú ý kết quả sau: Phương trình (1) có nghiệm d (a,b) là ước của c Nếu phương trình (1) có nghiệm (x0 ; y0 ) thì (1) có vô số nghiệm b x x0 t d ,t ¢ . a y y 0 t Phương pháp 3: Thử trực tiếp Phương pháp này là ta đi giải phương trình tìm nghiệm rồi thay nghiệm vào điều kiện để kiểm trA. Phương pháp 4: Biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua một hàm số lượng giác: Giả sử ta có điều kiện là u(x) 0 (u(x) 0,u(x) 0 ), ta biến đổi phương trình đã cho về phương trình chứa u(x) và giải phương trình để tìm u(x). Các ví dụ – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  86. Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: 1. cot 3x cot x 2. cot 4x.cot7x 1 Lời giải: 1. Điều kiện: x k 3 n Phương trình 3x x n x ,n ¢ 2 Loại nghiệm: Để loại nghiệm của phương trình ta có các cách sau Cách 1: Biểu diễn các điểm cuối của cung k ta có các điểm A , A , A , A , A , A . 3 1 2 3 4 5 6 n Biểu diễn các điểm cuối của cung ta có các điểm B ,B , B , B . 2 1 2 3 4 y A2 B2 A3 B3 A1 x A4 O B1 A5 A6 B4 Ta thấy A1  B1 , A4  B3 . Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x m ,m ¢ . 2 n k 2k k 3t Cách 2: Ta có n 2 3 3 n 2t Do đó ta cần loại những giá trị n chẵn. Vậy nghiệm của phương trình là: x m ,m ¢ . 2 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  87. k x 4 2. Điều kiện: . n x 7 Phương trình cot7x tan 4x cot( 4x) 2 7x 4x m x m . 2 22 11 k k 2 Ta có: m 2 4m 11k m 3k 22 11 4 4 k 2 Vì m,k ¢ t k 4t 2 m 11t 6 4 m n Ta có: 7 14m 22n 22n 14m 7 22 11 7 Vì 22n 14m là số chẵn còn 7 là số lẻ nên phương trình này vô nghiệm. Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: m x với m 11t 6 , t ¢ . 22 11 sin xcot 5x Ví dụ 2. Giải phương trình sau: 1 cos9x Lời giải: m x sin 5x 0 5 Điều kiện: cos9x 0 m x 18 9 Phương trình sin xcos 5x cos9xsin 5x sin 6x sin 4x sin14x sin 4x sin14x sin 6x k x 14x 6x k2 4 14x 6x k2 k x 20 10 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  88. k Nghiệm x bị loại khi và chỉ khi một trong hai phương trình sau có nghiệm nguyên 4 m,k m 5t k m 4 5 5k 4m k 4t k (chẵn) k m 9k 4m 2 k 2 4t 4 18 9 m 4 9t k Nghiệm x bị loại khi và chỉ khi một trong hai phương trình sau có nghiệm 20 10 nguyên m,k k m 20 10 5 4m 2k 1 ta thấy cả hai phương trình này vô nghiệm. k m 18k 10m 1 20 10 18 9 k k Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x , x . 20 10 4 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Giải phương trình : sin x cos 2x 1 1 A. x k2 B. x k C. x k D. x k 6 6 2 6 3 6 Lời giải: Cách 1: Với sin x 0 (*) thì phương trình đã cho tương đương với 2x x k2 2 cos 2x sin x cos x 2 2x x k2 2 2k x (1) 6 3 x k2 (2) 2 Dễ thấy nghiệm (2) không thỏa (*) – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  89. Biểu diễn nghiệm (1) lên đường tròn lượng giác ta được các điểm A1 , A2 , A3 . Trong đó chỉ có hai điểm A1 , A2 nằm phía trên Ox y A2 A1 O 1 x A3 5 Hai điểm này ứng với các cung x k2 và x k2 . 6 6 Với sin x 0 ( ) thì phương trình đã cho tương đương với 2x x k2 2 cos 2x sin x cos x 2 2x x k2 2 x k2 (3) 2 k2 x (4) 6 3 Dễ thấy (3) không thỏa ( ) Biểu diễn (4) trên đường tròn lượng giác ta được các điểm B1 , B2 ,B3 Trong đó chỉ có hai điểm B2 ,B3 nằm dưới Ox ( sin x 0 ) – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  90. y B1 O 1 x B2 B3 5 Hai điểm đó ứng với cung: x k2 và x k2 6 6 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x k . 6 Bài 2: Giải phương trình : cos 3x tan 4x sin 5x k3 1 k3 A. x k2 , x B. x k , x 16 8 2 16 8 2 k k C. x k , x D. x k , x 3 16 8 16 8 Lời giải: Điều kiện: cos 4x 0 Phương trình sin 4xcos 3x sin 5xcos 4x sin7x sin x sin 9x sin x sin 9x sin7x k x k ,x 16 8 Với x k thì cos 4x cos 4k 1 0 k k Với x thì cos 4x cos 0 đúng với mọi k 16 8 4 2 k Vậy nghiệm của phương trình là: x k , x , k ¢ . 16 8 Bài 3: Giải phương trình 2 sin 3x cos 3x 1 2sin 6x 2sin 2x – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  91. 17 17 A. x n và x 2n B. x 2n và x n 12 12 12 12 2 17 17 C. x n và x 2n D. x 2n và x 2n 12 3 12 12 12 Lời giải: sin 3x cos 3x 0 Phương trình 2 2 sin 3x cos 3x 1 2sin 6x 2sin 2x sin 3x cos 3x 0 sin 3x cos 3x 0 (*) 1 5 sin 2x x k (1),x k (2) 2 12 12 Với nghiệm x k thì 12 sin 3x cos 3x sin 3k cos 3k 0 k 2n 4 4 5 Với nghiệm x k thì 12 5 5 sin 3x cos 3x sin 3k cos 3k 0 k 2n 1 . 4 4 17 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x 2n và x 2n 12 12 Bài 4: Giải phương trình : tan 2x tan 3x tan7x tan 2x tan 3x tan7x . k 2(2t 1) k 2(2t 1) k k A. x với k 3(2t 1) ,t ¢ B. x với k 5(2t 1) ,t ¢ 2 12 k 6(2t 1) k 6(2t 1) k 2(2t 1) k 2(2t 1) k k C. x với k 5(2t 1) ,t ¢ D. x với k 3(2t 1) ,t ¢ 3 12 k 6(2t 1) k 6(2t 1) Lời giải: – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
  92. x k cos 2x 0 4 2 Điều kiện: cos 3x 0 x k . 6 3 cos7x 0 k x 14 7 Phương trình tan 2x(1 tan 3x tan7x) tan 3x tan7x Nếu tan 3x tan7x 1 tan 3x tan7x 0 vô lí tan 3x tan7x Nên ta có phương trình : tan 2x tan10x 1 tan 3x tan7x m 10x 2x m x . 12 Loại nghiệm: Với bài toán này nếu chúng ta sử dụng phương pháp loại nghiệm bằng cách biểu diễn lên đường tròn lượng giác hay phương pháp thử trực tiếp sẽ phải xét nghiều trường hợp. Do đó ta lựa chọn phương pháp đại số. m k 3 6k m 4 2 12 m k 2 4k m 6 3 12 m m 12t 6 k 6 12k 7m ,t ¢ 14 7 12 k 7t 3 k 2(2t 1) k KL: Nghiệm của phương trình là: x với k 3(2t 1) ,t ¢ 12 k 6(2t 1) Vấn đề 4 . Phương trình lượng giác chứa tham số. Đây là chuyên đề giới thiệu, nên giáo viên có thể minh họa bằng toán tự luận cho học sinh, chứ nếu chuyển về bài toán trắc nghiệm thật sự không tốt. Các ví dụ Ví dụ 1. Tìm giá trị m để phương trình: 2sin(x ) 2m 1vô nghiệm. 10 – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất