Bài tập Hình học Lớp 11 - Khái niệm phép dời hình và hai hình bằng nhau

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 11 - Khái niệm phép dời hình và hai hình bằng nhau

1. KHÁI NIỆM PHẫP DỜI HèNH VÀ HAI HèNH BẰNG NHAU A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TểM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa. • Phộp biến hỡnh là phộp dời hỡnh bảo toàn khoảng cỏch giữa hai điểm bất kỡ • Vậy nếu f là phộp dời khi và chỉ khi f M f N MN . • Nhận xột: • Cỏc phộp biến hỡnh : Tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tõm và phộp quay là cỏc phộp dời hỡnh. • Thực hiện liờn tiếp cỏc phộp dời hỡnh thỡ cũng được một phộp dời hỡnh. 2. Tớnh chất của phộp dời hỡnh. • Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và khụng làm thay đổi thứ tự giữa ba điểm đú. • Biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nú. • Biến tam giỏc thành tam giỏc bằng nú , biến một gúc thành gúc bằng gúc đó cho. • Biến đường trũn thành đường trũn cú cựng bỏn kớnh. 3. Định nghĩa hai hỡnh bằng nhau. Hai hỡnh được gọi là bằng nhau nếu cú một phộp dời hỡnh f biến hỡnh này thành hỡnh kia. B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toỏn 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HèNH QUA PHẫP DỜI HèNH. Phương phỏp: Dựng định nghĩa, biểu thức tọa độ và cỏc tớnh chất của cỏc phộp dời hỡnh cụ thể (tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tõm và phộp quay ) cú trong bài toỏn. Cỏc vớ dụ
2. Vớ dụ 1. Cho đường thẳng d : 3x y 3 0 . Viết phương trỡnh của đường thẳng d' là ảnh của d qua phộp dời hỡnh cú được bằng cỏch thược hiện liờn tiếp phộp đối xứng tõm I 1; 2 và phộp tịnh tiến theo vec tơ v 2;1 . A. d' : 3x 2y 8 0 B. d' : x y 8 0 C. d' : 2x y 8 0 D. d' : 3x y 8 0 Lời giải. Gọi F T é là phộp dời hỡnh bằng cỏch thực hiện liờn tiếp phộp đối xứng tõm I và v I phộp tịnh tiến T . v Gọi d é d ,d' T d d' F d . 1 I v 1 Do d' song song hoặc trựng với d do đú phương trỡnh của d' cú dạng 3x y c 0 . Lấy M 0; 3 d ta cú éI M M ' 2;7 . Lại cú T M ' M '' 2 2 ;7 1 M '' 0;8 nờn F M M '' 0;8 . v Mà M '' d' 8 c 0 c 8 . Vậy d' : 3x y 8 0 . Vớ dụ 2. Cho hỡnh vuụng ABCD cú tõm I . Trờn tia BC lấy điểm E sao cho BE AI . a) Xỏc định một phộp dời hỡnh biến A thành B và biến I thành E . b) Dựng ảnh của hỡnh vuụng ABCD qua phộp dời hỡnh này. Lời giải. a) Gọi f là phộp đối xứng qua đường d trung trực d của AB , g là phộp đối xứng D' qua đường trung trực d' của của IE . Khi J đú f biến AI thành BI và g biến BI D C thành BE . Từ đú phộp dời hỡnh  g f C' E biến AI thành BE . A' I d' do đú  A B, I E . A B
3. Mặt khỏc phộp dời hỡnh cú được bằng cỏch thực hiện liờn tiếp hai phộp đối xứng trục cắt nhau tại J là phộp quay tõm J gúc quay 2 d;d' 2 JI; JB JI; JE 450 ( do JE PIB ). Vậy phộp dời hỡnh này chớnh là Q . J;450 b) f biến cỏc điểm A,B,C,D thành cỏc điểm B, A,D,C , g biến cỏc điểm B, A,D,C thành cỏc điểm B, A',D',C' . Do đú  biến cỏc điểm A,B,C,D thành cỏc điểm B, A',D',C' . Vậy ảnh của hỡnh vuụng ABCD là hỡnh vuụng BA' D'C' đối xứng với hỡnh vuụng BADC qua d' . Bài toỏn 02: CHỨNG MINH HAI HèNH BẰNG NHAU. Phương phỏp: Để chứng minh hai hỡnh bằng nhau ta cần chỉ ra một phộp dời hỡnh biến hỡnh này thành hỡnh kia. Cỏc vớ dụ Vớ dụ 1. Cho hai tam giỏc ABC và A' B'C' cú cỏc đương cao AH và A' H ' sao cho AH A' H ', AB A' B', AC A'C' cỏc gúc A, A' đều là gúc tự. Chứng minh hai tam giỏc ABC và A' B'C' bằng nhau. Lời giải. à ả A' Vỡ cỏc gúc A và A' là cỏc gúc tự nờn cỏc gúc Bà ,Cà ,Bà',Cà' là cỏc gúc A nhọn. B' Suy ra H ở giữa B và C , H ' ở H' C' C giữa B' và C' . Vỡ hai tam giỏc vuụng B H
4. ABH và A' B' H ' bằng nhau nờn cú phộp dời hỡnh F biến A,B,H lần lượt thành cỏc điểm A',B',H ' . Khi đú C biến thành C' . Vậy phộp dời hỡnh F biến tam giỏc ABC thành tam giỏc A' B'C' nờn hai tam giỏc này bằngnhau. Vớ dụ 2. Chứng minh rằng hai tam giỏc bằng nhau nếu cú cỏc đường trũn nội tiếp bằng nhau, đồng thời khoảng cỏch giữa tõm đường trũn nội tiếp và bàng tiếp của hai tam giỏc đú cũng bằng nhau. Lời giải. C A' R B' r' I O O' r A B I' R C' Giả sử O;r , I; R lần lượt là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC và tõm đường trũn bàng tiếp gúc A ; tam giỏc A' B'C' cú đường trũn nội tiếp O';r và đường trũn bàng tiếp gúc A' là I '; R' và OI O' I ' .
5. Vỡ OI O' I ' nờn tồn tại phộp dời hỡnh F : O O',I I ' khi đú F : O;r O';r , I; R I '; R . Mặt khỏc F biến cặp tiếp tuyến chung ngoài AB và AC của O và I thành cặp tiếp tuyến chung ngoài A' B' và A'C' của O' và I ' ( hoặc A'C' và A' B' ) cũn tiếp tuyến BC phải biến thành tiếp tuyến B'C' suy ra F : ABC A' B'C' hoặc F : ABC A'C' B' , hay hai tam giỏc ABC và A' B'C' bằng nhau.