›
›
›

Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng (Phần 1)

doc 44 trang nhungbui22 12/08/2022 2630
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng (Phần 1)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_hinh_hoc_lop_11_chuong_1_phep_doi_hinh_va_phep_dong.doc

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 11 - Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng (Phần 1)

  1. CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG (PHẦN 1) BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
  2. PHÉP BIẾN HÌNH A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa. Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M ' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. Ta kí hiệu phép biến hình là F và viết F M M ' hay M ' F M , khi đó M ' được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình F . Nếu H là một hình nào đó thì hình H ' M '|M ' F M , M H được gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình F , ta viết H ' F H . Vậy H ' F H M H M ' F M H ' Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt thành chính nó được gọi là phép đồng nhất. PHÉP TỊNH TIẾN A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa. Trong mặt phẳng cho vectơ v . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M ' sao  cho MM ' v được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v . Phép tịnh tiến theo vectơ v được kí hiệu là T . v v  Vậy thì T M M ' MM ' v v M M’ 1
  3. Nhận xét: T M M 0 2. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M x; y và v a;b .  x' x a x' x a Gọi M ' x'; y' T M MM ' v * v y' y b y' y b Hệ * được gọi là biểu thức tọa độ của T . v 3. Tính chất của phép tịnh tiến. • Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì • Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đã cho. • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó. • Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. • Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN. Phương pháp: Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC , dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vec  tơ BC . Lời giải: Ta có T B C . A D BC Để tìm ảnh của điểm A ta dựng hình bình hành   ABCD . Do AD BC nên T A D , gọi E là điểm B E BC C   đối xứng với B qua C , khi đó CE BC 2
  4. Suy ra T C E . Vậy ảnh của tam giác ABC là tam giác DCE . BC Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v 2; 3 . Hãy tìm ảnh của các điểm A 1; 1 ,B 4; 3 qua phép tịnh tiến theo vectơ v . A. A' 1; 2 ,B 2;6 B. A' 1; 2 ,B 2;6 C. A' 1; 2 ,B 2; 6 D. A' 1;1 ,B 2;6 Lời giải: x' x a Áp dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến . y' y b x' 1 ( 2) x' 1 Gọi A' x'; y' T A A' 1; 2 v y' 1 3 y' 2 Tương tự ta có ảnh của B là điểm B' 2;6 . Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho v 1; 3 và đường thẳng d có phương trình 2x 3y 5 0 . Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến T . v A. d' : 2x y 6 0 B. d' : x y 6 0 C. d' : 2x y 6 0 D. d' : 2x 3y 6 0 Lời giải: Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến. Lấy điểm M x; y tùy ý thuộc d , ta có 2x 3y 5 0 * 3
  5. x' x 1 x x' 1 Gọi M ' x'; y' T M v y' y 3 y y' 3 Thay vào (*) ta được phương trình 2 x' 1 3 y' 3 5 0 2x' 3y' 6 0 . Vậy ảnh của d là đường thẳng d' : 2x 3y 6 0 . Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến Do d' T d nên d' song song hoặc trùng với d , vì vậy phương trình đường thẳng d' v có dạng 2x 3y c 0 .( ) Lấy điểm M 1;1 d . Khi đó M ' T M 1 1;1 3 0; 2 . v Do M ' d' 2.0 3. 2 c 0 c 6 Vậy ảnh của d là đường thẳng d' : 2x 3y 6 0 . Cách 3. Để viết phương trình d' ta lấy hai điểm phân biệt M,N thuộc d , tìm tọa độ các ảnh M ',N ' tương ứng của chúng qua T . Khi đó d' đi qua hai điểm M ' và N '. v Cụ thể: Lấy M 1;1 ,N 2; 3 thuộc d , khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là M ' 0; 2 ,N ' 3;0 . Do d' đi qua hai điểm M ',N ' nên có phương trình x 0 y 2 2x 3y 6 0 . 3 2 Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn C có phương trình x2 y2 2x 4y 4 0 . Tìm ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ v 2; 3 . A. C' : x2 y2 x 2y 7 0 B. C' : x2 y2 x y 7 0 C. C' : x2 y2 2x 2y 7 0 D. C' : x2 y2 x y 8 0 Lời giải: 4
  6. Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ. Lấy điểm M x; y tùy ý thuộc đường tròn C , ta có x2 y2 2x 4y 4 0 * x' x 2 x x' 2 Gọi M ' x'; y' T M v y' y 3 y y' 3 2 2 x' 2 y' 3 2 x' 2 4 y' 3 4 0 Thay vào phương trình (*) ta được . x'2 y'2 2x' 2y' 7 0 Vậy ảnh của C là đường tròn C' : x2 y2 2x 2y 7 0 . Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến Dễ thấy C có tâm I 1; 2 và bán kính r 3 . Gọi C' T C và I ' x'; y' ;r' là tâm v và bán kính của (C') . x' 1 2 1 Ta có I ' 1; 1 và r' r 3 nên phương trình của đường tròn C' là y' 2 3 1 2 2 x 1 y 1 9 Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH. Phương pháp: Xác định phép tịnh tiến tức là tìm tọa độ của v . Để tìm tọa độ của v ta có thể giả sử v a;b , sử dụng các dữ kiện trong giả thiết của bài toán để thiết lập hệ phương trình hai ẩn a,b và giải hệ tìm a,b . Các ví dụ Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho đường thẳng d : 3x y 9 0 . Tìm phép tịnh tiến theo vec tơ v có giá song song với Oy biến d thành d' đi qua điểm A 1;1 . A. v 0; 5 B. v 1; 5 C. v 2; 3 D. v 0; 5 5
  7. Lời giải: v có giá song song với Oy nên v 0; k k 0 x' x Lấy M x; y d 3x y 9 0 * . Gọi M ' x'; y' T M thay vào v y' y k * 3x' y' k 9 0 Hay T d d' : 3x y k 9 0 , mà d đi qua A 1;1 k 5 . v Vậy v 0; 5 . Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường hai thẳng d : 2x 3y 3 0 và d' : 2x 3y 5 0 . Tìm tọa độ v có phương vuông góc với d để T d d'. v 6 4 1 2 16 24 16 24 A. v ; B. v ; C. v ; D. v ; 13 13 13 13 13 13 13 13 Lời giải: Đặt v a;b , lấy điểm M x; y tùy ý thuộc d , ta có d : 2x 3y 3 0 * x' x a x x' a Gọi sử M ' x'; y' T M .Ta có , thay vào (*) ta được phương v y' y b y y' b trình 2x' 3y' 2a 3b 3 0 . Từ giả thiết suy ra 2a 3b 3 5 2a 3b 8 . Vec tơ pháp tuyến của đường thẳng d là n 2; 3 suy ra VTCP u 3; 2 . Do v  u v.u 3a 2b 0 . 6
  8. 16 a 2a 3b 8 13 16 24 Ta có hệ phương trình .Vậy v ; . 3a 2b 0 24 13 13 b 13 Bài toán 03: DÙNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH. Phương pháp: Để dựng một điểm M ta tìm cách xem nó là ảnh của một điểm đã biết qua một phép tịnh tiến, hoặc xem M là giao điểm của hai đường trong đó một đường cố định còn một đường là ảnh của một đường đã biết qua phép tịnh tiến. Lưu ý: Ta thường dùng kết quả: Nếu T N M và N H thì M H ' trong đó v H ' T H và kết hợp với M thuộc hình K v (trong giả thiết) suy ra M H '  K . Các ví dụ Ví dụ 1. Cho đường tròn tâm O , bán kính R và hai điểm phân biệt C,D nằm ngoài O . Hãy dựng dây cung AB của đường tròn O sao cho ABCD là hình bình hành. Lời giải: Phân tích: Giả sử đã dựng được dây cung AB thỏa mãn yêu cầu bài toán D C   Do ABCD là hình bình hành nên AB DC T A B. CD A B O 0' Nhưng A O B O' T O . Vậy B vừa thuộc O và DC O' nên B chính là giao điểm của O và O' . Cách dựng: - Dựng đường tròn O' là ảnh của đường tròn O qua T DC - Dựng giao điểm B của O và O' 7
  9. - Dựng đường thẳng qua B và song song với CD cắt O tại A . Dây cung AB là dây cung thỏa yêu cầu bài toán.   Chứng minh: Từ cách dựng ta có T A B AB DC ABCD là hình bình hành. DC Biện luận: - Nếu CD 2R thì bài toán vô nghiệm . - Nếu CD 2R thì có một nghiệm . - Nếu CD 2R thì có hai nghiệm. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC . Dựng đường thẳng d song song với BC , cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M,N sao cho AM CN . Lời giải: Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng d thỏa mãn bài toán. Từ M dựng đường thẳng song song với AC cắt BC tại P , khi đó MNCP là hình bình hành A nên CN PM . Lại có AM CN suy ra MP MA , từ M đó ta có AP là phân giác trong của góc A . N Cách dựng: B P C - Dựng phân giác trong AP của góc A - Dựng đường thẳng đi qua P song song với AC cắt AB tại M - Dựng ảnh N T C . PM Đường thẳng MN chính là đường thẳng thỏa yêu cầu bài toán. Chứng minh: Từ cách dựng ta có MNCP là hình bình hành suy ra MN PBC và CN PM , ta có M· AP= C· AP A· PM MAP cân tại M AM MP . Vậy AM CN 8
  10. Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình Ví dụ 3. Cho hai đường tròn O1 và O2 cắt nhau tại A,B . Dựng đường thẳng d đi qua A cắt các đường tròn tại các điểm thứ hai M,N sao cho MN 2l cho trước. Lời giải: Giả sử đã dựng được đường thẳng d đi qua A và cắt các đường tròn O1 , O2 tương ứng tại các điểm A M,N sao cho MN 2l . M H I N I' O1 Kẻ O1H  MN và O2 I  MN . O2 B 1 Xét T I I ' O I ' HI MN l . HO 1 1 2 Do tam giác I 'O1O2 vuông tại I ' nên 2 2 O2 I ' O1O2 l . Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP TỊNH TIẾN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM. Phương pháp: Nếu T M M ' và đểm M di động trên hình H thì điểm M ' thuộc hình H ' , v trong đó H ' là ảnh của hình H qua T . v Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hai điểm phân biệt B,C cố định trên đường tròn O tâm O . Điểm A di động trên O . Chứng minh khi A di động trên O thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn. Lời giải: 9
  11. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và M là trung điểm của BC . Tia BO cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D . Vì B· CD 900 , nên DC P AH . Tương tự AD PCH ,    do đó ADCH là hình bình hành.Suy ra AH DC 2OM không đổi T  A H , vì vậy khi A di động trên dường tròn O thì H di động trên đường 2OM tròn O' T  O . 2OM  Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định, B· AC không đổi và BC v không đổi. Tìm tập hợp các điểm B,C . Lời giải: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , khi đó theo định lí sin ta có BC 2R không đổi sin  ( do BC v không đổi). BC BC Vậy OA R , nên O di động trên đường tròn tâm A bán kính AO . Ta 2sin 2sin 1800 2 có OB OC R không đổi và B· OC 2 không đổi suy ra O· BC O· CB 2    không đổi. Mặt khác BC có phương không đổi nên OB,OC cũng có phương không đổi.       Đặt OB v1 ,OC v2 không đổi , thì T O B,T O C . v1 v2 BC BC Vậy tập hợp điểm B là đường tròn A ; ảnh của A, qua T , và tập 1 v 2sin 2sin 1 BC BC hợp điểm C là đường tròn A ; ảnh của A, qua T . 2 v 2sin 2sin 2 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A. CHUẨN KIẾN THỨC 10
  12. A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa: Cho đường thẳng d . Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M ' sao cho d là đường trung trực của đoạn MM ' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d , hay còn gọi là phép đối xứng trục d . M Phép đối xứng trục có trục là đường thẳng d được   kí hiệu là Ðd . Như vậy Ðd M M ' IM IM ' với I là hình chiếu vuông góc của M trên d . d I Nếu Ðd H H thì d được gọi là trục đối xứng của hình H . M' 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục: Trong mặt phẳng Oxy , với mỗi điểm M x; y , gọi M ' x'; y' Ðd M . x' x Nếu chọn d là trục Ox , thì y' y x' x Nếu chọn d là trục Oy , thì . y' y 3. Tính chất phép đối xứng trục: • Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. • Biến một đường thẳng thành đường thẳng. • Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho. • Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. 11
  13. B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA ĐỐI XỨNG TRỤC. Phương pháp: Để xác định ảnh H ' của hình H qua phép đối xứng trục ta có thể dùng một trong các cách sau: • Dùng định nghĩa phép đối xứng trục • Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục mà trục đối xứng là các trục tọa độ. • Dùng biểu thức vec tơ của phép đối xứng trục. Các ví dụ Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm M 1; 5 , đường thẳng d : x 2y 4 0 và đường tròn C : x2 y2 2x 4y 4 0 . a) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng trục Ox . A. M ' 1; 5 B. M ' 1; 5 C. M ' 1; 5 D. M ' 0; 5 b) Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox . A. d' : 2x 2y 4 0 B. d' : x 2y 2 0 C. d' : 3x 2y 4 0 D. d' : x 2y 4 0 c) Tìm ảnh của C qua phép đối xứng trục Ox . 2 2 2 2 A. C' : x 2 y 2 9 B. C' : x 1 y 1 9 2 2 2 2 C. C' : x 3 y 2 9 D. C' : x 1 y 2 9 d) Tìm ảnh của M qua phép đối xứng qua đường thẳng d . A. M ' 5; 7 B. M ' 5;7 C. M ' 5;7 D. M ' 5; 7 Lời giải: 12
  14. a) Gọi M ',d', C' theo thứ tự là ảnh của M,d, C qua Ðox , khi đó M ' 1; 5 . b) Tìm ảnh của d . Lấy M x; y d x 2y 4 0 (1) Gọi N x'; y' là ảnh của M qua phép đối xứng Ðox . x' x x x' Ta có . Thay vào 1 ta được y' y y y' x' 2y' 4 0 . Vậy d' : x 2y 4 0 . c) Tìm ảnh của C . Cách 1: Ta thấy C có tâm I 1; 2 và bán kính R 3 . Gọi I ',R' là tâm và bán kính của C' thì I ' 1; 2 và R' R 3 , do đó 2 2 C' : x 1 y 2 9 . Cách 2: Lấy P x; y C x2 y2 2x 4y 4 0 2 . Gọi Q x'; y' là ảnh của P qua phép đối xứng Ðox . Ta có x' x x x' thay vào 2 ta được x'2 y'2 2x' 4y' 4 0 , hay y' y y y' C' : x2 y2 2x 4y 4 0 . d) Đường thẳng d1 đi qua M vuông góc với d có phương trình 2x y 3 0 . x 2y 4 0 x 2 Gọi I d  d1 thì tọa độ điểm I là nghiệm của hệ I 2; 1 . 2x y 3 0 y 1 Gọi M ' đối xứng với M qua d thì I là trung điểm của MM ' . 13
  15. x x M M' xI 2 xM' 2xI xM 5 Ta có M ' 5; 7 . y y y 2y y 7 y M M' M' I M I 2 Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng d : x y 2 0 , d1 : x 2y 3 0 và đường tròn 2 2 C : x 1 y 1 4 . a) Tìm ảnh của d1 qua phép đối xứng trục d . A. d1 ' : x y 3 0 B. d1 ' : 2x 2y 3 0 C. d1 ' : 2x 2y 1 0 D. d1 ' : 2x y 3 0 b) Tìm ảnh của C qua phép đối xứng trục d . 2 2 2 2 A. C' : x 2 y 1 4 B. C' : x 3 y 3 4 2 2 2 2 C. C' : x 3 y 2 4 D. C' : x 3 y 1 4 Lời giải: a) Tìm ảnh của d1 . Ta có d1  d I 1;1 nên Ðd I I . Lấy M 3;0 d1 . Đường thẳng d2 đi qua M vuông góc với d có phương trình x y 3 0 . Gọi M0 d  d2 , thì tọa độ của M0 là nghiệm của hệ 5 x x y 2 0 2 5 1 M0 ; . x y 3 0 1 2 2 y 2 Gọi M ' là ảnh của M qua Ðd thì M0 là trung điểm của MM ' nên 14
  16. M ' 2; 1 . Gọi d1 ' Ðd d1 thì d1 ' đi qua I và M ' nên có phương trình x 1 y 1 2x y 3 0 . Vậy d ' : 2x y 3 0 . 1 2 1 b) Tìm ảnh của C . Đường tròn C có tâm J 1; 1 và bán kính R 2 . Đường thẳng d3 đi qua J và vuông góc với d có phương trình x y 2 0 . Gọi J0 d3  d thì tọa độ của điểm J0 là nghiệm của hệ x y 2 0 x 2 J0 2;0 . x y 2 0 y 0 Gọi J ' Ðd J thì J0 là trung điểm của JJ ' nên J ' 3;1 Gọi C' Ðd C thì J ' là tâm của C' và bán kính của C' là R' R 2 . Vậy 2 2 C' : x 3 y 1 4 . Bài toán 02: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH. Phương pháp: Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nó như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép đối xứng trục, hoặc xem M như là giao điểm của một đường cố định và một với ảnh của một đường đã biết qua phép đối xứng trục. Các ví dụ Ví dụ 1. Dựng hình vuông ABCD biết hai đỉnh A và C nằm trên đường thẳng d1 và hai đỉnh B,D lần lượt thuộc hai đường thẳng d2 ,d3 . Lời giải: Phân tích: Giả sử đã dựng được hình d2 vuông ABCD , thỏa các điều kiện của bài B d3 C A O 15 d1 d2' D h1
  17. toán. Do A,C d2 và AC là trục đối xứng của hình vuông ABCD . Mặt khác B d2 nên D d2 ' D d2 ' d3 . Hai điểm B,D đối xứng qua đường thẳng d1 . Nên Ð B D' , lại có d1 D d3 D d3  d2 '. Cách dựng: - Dựng d ' Ð d , gọi D d  d ' 2 d1 2 2 2 - Dựng đường thẳng qua D vuông góc với d1 tại O và cắt d2 tại B - Dựng đường tròn tâm O đường kính BD cắt d1 tại A,C . (Kí hiệu các điểm A,C theo thứ tự để tạo thành tứ giác ABCD ) Chứng minh: Từ cách dựng suy ra ABCD là hình vuông. Biện luận: Trường hợp 1. d2 cắt d3 khi đó. Nếu d2 ' d3 thì ví dụ đã cho có một nghiệm hình. Nếu d2 ' Pd3 thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình. Trường hợp 2. d2 Pd3 , khi đó Nếu d1 song song và cách đều d2 và d3 thì có vô số nghiệm hình ( h2 ) Nếu d1 hợp với d2 ,d3 một góc 45 thì có một nghiệm hình ( h3 ) 16
  18. Nếu d1 song song và không cách đều d2 ,d3 hoặc d1 không hợp d2 ,d3 một góc 45 thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình. B d2 D C A d1 O C d3 D A B h2 h3 Ví dụ 2. Cho hai đường tròn C , C' có bán kính khác nhau và đường thẳng d . Hãy dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A,C lần lượt nằm trên C , C' và hai đỉnh còn lại nằm trên d . Lời giải: Phân tích: d Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD thỏa (C1) mãn đề bài. Ta thấy hai đỉnh B,D d nên hình vuông hoàn toàn xác định khi biết C . Ta có D A,C đối xứng qua d nên C thuộc đường tròn C C , ảnh của đường tròn C qua Ð . Mặt 1 d I (C') khác C C' C C  C' . A B Từ đó suy ra cách dựng (C) Cách dựng: - Dựng đường tròn C1 là ảnh của C qua Ðd . 17
  19. - Từ điểm C thuộc C1  C' dựng điểm A đối xứng với C qua d . Gọi I AC  d - Lấy trên d hai điểm BD sao cho IB ID IA . Khi đó ABCD là hình vuông cần dựng. Chứng minh: Dễ thấy ABCD là hình vuông có B,D d , C C' . Mặt khác A,C đối xứng qua d mà C C' A Ðd C' C hay A thuộc C . Biện luận: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của C1 và C' . Bài toán 03: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP HỢP ĐIỂM. Phương pháp: Sử dụng tính chất : Nếu N Ðd M với M di động trên hình H thì N di động trên hình H ' - ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d . Các ví dụ Ví dụ 1. Trên đường tròn O,R cho hai điểm cố định A,B . Đường tròn O'; R' tiếp xúc ngoài với O tại A . Một điểm M di động trên O . MA cắt O' tại điểm thứ hai A'. Qua A' kẻ đường thẳng song song với AB cắt MB tại B' . Tìm quỹ tích điểm B' 18
  20. Lời giải: B' Gọi C A' B' O' . Vẽ tiếp tuyến chung C A' O'' của O và O' tại điểm A . Ta có O' x' · · A'CA xAM A B x A· BM B·B' A' do đó ABB'C là hình O thang cân. Gọi d là trục đối xứng của hình thang này thì Ðd C B' mà C di động trên M d đường tròn O' nên B' di động trên đường tròn O'' ảnh của O' qua Ðd . Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp I , P là một điểm nằm trong tam giác. Gọi A',B',C' là các điểm đối xứng với P lần lượt đối xứng qua IA,IB,IC . Chứng minh các đường thẳng AA',BB',CC' đồng quy. Lời giải: Giả sử điểm P nằm trong tam giác IAB . Gọi P1 ,P2 ,P3 A P2 lần lượt đối xứng với P qua các cạnh BC,CA, AB . Ta sẽ chứng minh AA',BB',CC' đồng quy tại tâm đường P3 P tròn ngoại tiếp tam giác P P P . 1 2 3 A' I Hiển nhiên ta có AP2 AP3 vậy để chứng minh AA' là C · · trung trực của P2 P3 ta cần chứng minh P2 AA' P3 AA' . B · · · Ta có P3 AA' P3 AP PAA' 2 2 P1 19
  21. · · · · · Tương tự P2 AA' P2 AC CAA' CAP CAA' · · 2 2 . Vậy P2 AA' P3 AA' nên AA' là trung trực của P2 P3 . Tương tự BB',CC' lần lượt là trung trực của P1P3 và P1P2 nên chúng đồng quy tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác P1P2 P3 . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : x 2y 5 0 . Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục có trục là a) Ox A. 2x 2y 5 0 B. x y 5 0 C. x 2y 5 0 D. x 2y 5 0 b) Oy A. x 2y 5 0 B. 2x 2y 5 0 C. x 2y 5 0 D. x 2y 5 0 Lời giải: 9. a) x 2y 5 0 b) x 2y 5 0 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : 2x y 3 0 và đường tròn 2 2 C : x 2 y 3 4 . a) Tìm ảnh của d qua phép đối xúng trục Ox . A. x y 3 0 B. 2x 3y 3 0 C. 2x y 4 0 D. 2x y 3 0 b) Tìm ảnh của C qua phép đối xúng trục Ox . 20
  22. 2 2 A. x 3 y 3 4 B. 2 2 x 2 y 2 4 2 2 C. x 2 y 1 4 D. 2 2 x 2 y 3 4 c) Viết phương trình đường tròn C' , ảnh của C qua phép đối xứng qua đường thẳng d . 2 2 2 2 8 1 1 1 A. C' : x y 4 B. C' : x y 4 5 5 5 5 2 2 2 2 18 11 18 11 C. C' : x y 4 D. C' : x y 4 5 5 5 5 Lời giải: 10. a) 2x y 3 0 2 2 b) x 2 y 3 4 b) C có tâm I 2; 3 , đường thẳng qua I vuông góc với d là d1 : x 2y 8 0 . Giao 14 13 điểm của d & d1 là M ; .Gọi I ' là ảnh của I qua phép đối xứng trục d thì M là 5 3 2 2 18 11 18 11 trung điểm của II ' I ' ; . Phương trình C' : x y 4 . 5 5 5 5 11. a) Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm về một phía của d . Xác định điểm M trên d sao cho MA MB nhỏ nhất. 21
  23. b) Cho x 2y 2 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 T x 3 y 5 x 5 y 7 . A.6 B.5C.4D.3 Lời giải: 11. a) Gọi A' đối xứng với A qua d , ta có MA MA' MA MB MA' MB A' B. Đẳng B thức xảy ra khi M thuộc đoạn A' B mà A M d M A' B  d . Vậy min MA MB A' B khi M A' B  d . d b) Xét M x; y M d : x 2y 2 0 M và A 3; 5 ,B 5;7 , ta có T MA MB . A' Do 3 2.5 2 5 2.7 2 0 nên A,B nằm cùng phía đối với d . Gọi A' đối xứng với A qua d thì A' 5;1 . Phương trình A' B : x 5 0 . Ta có MA MB MA' MB A' B 6 . 7 Đẳng thức xảy ra khi M A' B  d M 5; . 2 12. Cho A 2;1 . Tìm điểm B trên trục hoành và điểm C trên đường phân giác góc phần tư thứ nhất để chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. 22
  24. 5 5 5 A. B' 1;0 và C' ; B. B' ;0 và 4 4 3 5 5 C' ; 4 4 5 C. B' ;0 và C' 1;1 D. B' 1;0 và 3 C' 1;1 Lời giải: y . C' y=x 2 12. Gọi B',C' lần lượt là ảnh của A qua các phép đối xứng trục có trục là Ox,Oy , khi đó ta có 1 A C B' 2; 1 , C' 1; 2 . Ta có AB BB', AC AC' nên chu vi tam giác O 1 B 2 x ABC là 2p AB BC CA B' AB' BC CC' B'C' 10 Đẳng thức xảy ra khi B và C là các giao điểm của B'C' với Ox và đường phân giác góc phần tư thứ nhất, từ đó không khó khăn gì ta tìm được 5 5 5 B' ;0 và C' ; . 3 4 4 PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa. 23
  25. Cho điểm I . Phép biến hình biến điểm I thành chính nó và biến mỗi điểm M khác I thành điểm M ' sao cho I là trung điểm của MM ' được gọi là phép đối xứng tâm I . Phép đối xứng tâm I được kí hiệu là ÐI .   Vậy ÐI M M ' IM IM ' 0 Nếu ÐI H H thì I được gọi là tâm đối xứng của hình H . 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm. Trong mặt phẳng Oxy cho I a;b , M x; y , gọi M ' x'; y' là ảnh của M qua phép đối x' 2a x xứng tâm I thì y' 2b y 3. Tính chất phép đối xứng tâm. • Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. • Biến một đường thẳng thành đường thẳng. • Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho. • Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho. • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM. Phương pháp: Sử dụng biểu thức tọa độ và các tính chất của phép đối xứng tâm. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho điểm I 1;1 và đường thẳng d : x 2y 3 0 . Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I . A. d' : x y 3 0 B. d' : x 2y 7 0 C. d' : 2x 2y 3 0 D. d' : x 2y 3 0 24
  26. Lời giải: Cách 1. Lấy điểm M x; y d x 2y 3 0 * x' 2 x x 2 x' Gọi M ' x'; y' ÐI M thì . y' 2 y y 2 y' Thay vào * ta được 2 x' 2 2 y' 3 0 x' 2y' 9 0 Vậy ảnh của d là đường thẳng d' : x 2y 3 0 . Cách 2. Gọi d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I , thì d' song song hoặc trùng với d nên phương trình d' có dạng x 2y c 0 . Lấy N 3;0 d , gọi N ' ÐI N thì N ' 5; 2 . Lại có N ' d' 5 2.2 c 0 c 9 . Vậy d' : x 2y 3 0 . Bài toán 02: XÁC ĐỊNH TÂM ĐỐI XỨNG KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho đường thẳng d : x 2y 6 0 và d' : x 2y 10 0 . Tìm phép đối xứng tâm I biến d thành d' và biến trục Ox thành chính nó. A. I 3;0 B. I 2;1 C. I 1;0 D. I 2;0 Lời giải: Tọa độ giao điểm của d,d' với Ox lần lượt là A 6;0 và B 10;0 . Do phép đối xứng tâm biến d thành d' và biến trục Ox thành chính nó nên biến giao điểm A của d với Ox thành giao điểm A' của d' với Ox do đó tâm đối xứng là trung điểm của AA' . Vậy tâm đỗi xứng là I 2;0 . Bài toán 03: TÌM TÂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH. Các ví dụ 25
  27. Ví dụ 1. Tìm tâm đối xứng của đường cong C có phương trình y x3 3x2 3 . A. I 2;1 B. I 2; 2 C. I 1;1 D. I 1; 2 Lời giải: Lấy điểm M x; y C y x3 3x2 2 * Gọi I a;b là tâm đối xứng của C và M ' x'; y' là ảnh của M qua phép đối xứng tâm x' 2a x x 2a x' I . Ta có y' 2b y y 2b y' 3 2 Thay vào * ta được 2b y' 2a x' 3 2a x' 3 y' x'3 3x'2 3 (6 6a)x'2 12a2 12a x' 8a3 12a2 2b 6 * Mặt khác M ' C nên y' x'3 3x'2 3 do đó * (6 6a)x'2 12a2 12a x' 8a3 12a2 2b 6 0,x' 6 6a 0 a 1 12a2 12a 0 . 3 2 b 1 8a 12a 2b 6 0 Vậy I 1;1 là tâm đối xứng của C . Ví dụ 1. Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì nó phải là hình bình hành. Lời giải: Giả sử tứ giác ABCD có tâm đối xứng là I . Vì qua phép biến hình đỉnh của một đa giác cũng A B I D C 26
  28. được biến thành đỉnh của đa giác nên đỉnh A có thể được biến thành A,B,C hay D .   - Nếu đỉnh A được biến thành chính nó thì IA IA 0 I  A vô lí - Nếu A biến thành B (hoặc D ) thì I là trung điểm của AB ( hoăc I là trung điểm của AD ) cũng vô lí. Vậy A được biến thành C , lí luận tương tự thì B chỉ được biến thành D , vì vậy I là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên tứ giác ABCD phải là hình bình hành. Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH. Phương pháp: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay ÐI nào đó. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hai đường thẳng d1 ,d2 và hai điểm A,G không thuộc d1 ,d2 . Hãy dựng tam giác ABC có trọng tâm G và hai đỉnh B,C lần lượt thuộc d1 và d2 . Lời giải: Phân tích: A d'2 Giả sử đã dượng được tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu d1 d2 bài toán G Gọi I là trung điểm của BC thì Ð C B mà C d nên I 2 C B d2 ' với d2 ' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I . Lại B I có B d1 B d1  d2 ' . Cách dựng:  3  - Dựng điểm I sao cho AI AG 2 - Dựng đường thẳng d2 ' ảnh của d2 qua ÐI - Gọi B d1  d2 ' 27
  29. - Dựng điểm C ÐI B Tam giác ABC là tam giác phải dựng. Chứng minh:  3  Dựa vào cách dựng ta có I là trung điểm của BC và AI AG nên G là trọng tâm của 2 tam giác ABC . Biện luận: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của d1 và d2 ' . Ví dụ 2. Cho hai đường tròn O và O' cắt nhau tại hai điểm A,B vá số a 0 . Dựng đường thẳng d đi qua A cắt hai đường tròn thành hai dây cung mà hiệu độ dài bằng a . Lời giải: Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng d cắt O và O' tại M, M ' sao cho AM AM ' a ( giả sử AM AM '). Xét phép đối xứng ÐA Gọi N ÐA M , O1 ÐA O , H,K lần lượt là trung điểm của AN và AM , khi đó HO1  AM và OK  AM . Gọi I là hình chiếu của O trên O1H , ta có OI P KH , mặt khác KH KA HA AM AN AM AM ' a a nên OI . Vậy điểm I thuộc đường tròn tâm O bán 2 2 2 2 a kính r . 2 Mặt khác I thuộc đường tròn đường kính OO1 O nên I là giao điểm của đường tròn đường kính 1 A M' K N H M O' I O 28 B
  30. a OO1 với đường tròn O; do đó I xác định và d là đường thẳng đi qua A và song 2 song với OI . Cách dựng: - Dựng O1 ảnh của O qua ÐA . - Dựng đường tròn đường kính OO1 . a - Dựng đường tròn O; , và dựng giao điểm I của đường tròn đường kính OO1 2 a với đường tròn O; . 2 - Từ A dựng đường thẳng d POI cắt O tại M và cắt O' tại M ' thì d là đường thẳng cần dựng. Chứng minh: a Gọi H,K lần lượt là trung điểm của AN, AM ta có KH OI 2 AM AN AM AM ' Mà KH AK AH AM AM ' a . 2 2 2 a Biện luân : Số nghiệm hình bằng số giao điểm của đường tròn O; và đường tròn 2 đường kính OO1 . Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC và đường tròn O . Trên AB lấy điểm E sao cho BE 2AE, F là trung điểm của AC và I là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEIF . Với 29
  31.     mỗi điểm P trên đường tròn O , ta dựng điểm Q sao cho PA 2PB 3PC 6IQ . Tìm tập hợp điểm Q khi P thay đổi trên O Lời giải:    Gọi K là điểm xác định bởi KA 2KB 3KC 0 . Khi đó A    P KA 2 KA AB E   F 3 KA AC 0 O I  1  1  B AK AB AC C 3 2 O' Mặt khác AEIF là hình bình hành nên Q    1  1  AI AE AF AB AC nên K  I . 3 2          Từ giả thiết suy ra 6PK KA 2KB 3KC 6IQ PK IQ , hay PI IQ . Vậy ÐI P Q mà P di động trên đường tròn O nên Q di động trên đường tròn O' , ảnh của đường tròn O qua phép đối xứng tâm I . Ví dụ 2. Cho đường tròn O và dây cung AB cố định, M là một điểm di động trên O , M không trùng với A,B . Hai đường tròn O1 , O2 cùng đi qua M và tiếp xúc với AB tại A và B . Gọi N là giao điểm thứ hai của O1 và O2 . Tìm tập hợp điểm N khi M di động. Lời giải: Gọi I MN  AB , ta có IA2 IM.IN 1 M Tương tự IB2 IM.IN 2 . O2 O1 O N A I B P 30 O'
  32. Từ 1 và 2 suy ra IA IB nên I là trung điểm của AB . Gọi P là giao điểm thứ hai của MN với đường tròn O . 2 Dễ thấy PI / O IM.IP IA.IB IA Do đó IM.IN IM.IP IN IP vậy I là trung điểm của NP do đó ÐI P N , mà P di động trên đường tròn O nên N di động trên đường tròn O' ảnh của đường tròn O qua phép đối xứng tâm I . Vậy tập hợp điểm N là đường tròn O' ảnh của đường tròn O qua phép đối xứng tâm I . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 21. Tìm ảnh của đường thẳng d : 3x 4y 5 0 qua phép đối xứng tâm I 1; 2 . A. d' : 3x 4y 7 0 B. d' : x 4y 7 0 C. d' : 3x y 7 0 D. d' : 3x 4y 17 0 Lời giải: 21. d' : 3x 4y 17 0 . 22. Cho hai đường thẳng d1 : 3x y 3 0 và d2 : x y 0 . Phép đối xứng tâm I biến d1 thành d1 ' : 3x y 1 0 và biến d2 thành d2 ' : x y 6 0 . 1 11 21 11 3 11 1 11 A. I ; B. I ; C. I ; D. I ; 4 2 4 4 4 4 4 4 Lời giải: 1 11 22. I ; . 4 4 31
  33. 1 23. Cho đường cong C : y và điểm A 2; 3 . Viết phương trình đường thẳng d đi x qua gốc tọa độ cắt đường cong C tại hai điểm M,N sao cho AM 2 AN 2 nhỏ nhất. 1 A. d : y x B. d : y x C. d : y x 1 D. d : y x 2 PHÉP QUAY A. CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA. 1. Định nghĩa: M' Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình biến O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M ' sao cho OM ' OM và góc lượng giác OM;OM ' được gọi là phép O α quay tâm O , được gọi là góc quay. Phép quay tâm O góc quay được kí hiệu là Q . O; M Nhận xét • ¢ Khi 2k 1 ,k thì Q O; là phép đối xứng tâm O . n! • Khi 2k ,k ¢ thì Q là phép đồng nhất. r! n r ! O; 2. Biểu thức tọa độ của phép quay: Trong mặt phẳng Oxy , giả sử M x; y và M ' x'; y' Q O, M thì x' xcos y sin y' xsin y cos 32
  34. Trong mặt phẳng Oxy , giả sử M x; y , I a;b và M ' x'; y' Q I , M thì x' a x a cos y b sin y' b x a sin y b cos 3. Tính chất của phép quay: • Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì • Biến một đường thẳng thành đường thẳng • Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho • Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho • Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính Lưu ý: Giả sử phép quay tâm I góc quay biến đường thẳng d d O thành đường thẳng d' , khi đó α Nếu 0 thì góc giữa hai đường thẳng d và d' bằng 2 d' I α Nếu thì góc giữa hai đường thẳng d và d' bằng 2 . B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP. Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP QUAY. Phương pháp: Sử dụng định nghĩa , biểu thức tọa độ và các tính chất của phép quay Các ví dụ 33
  35. Ví dụ 1. Cho M 3; 4 . Tìm ảnh của điểm M qua phép quay tâm O góc quay 300 . 3 3 3 A. M ' ; 2 3 B. M ' 2; 2 3 2 2 3 3 3 3 3 C. M ' ; 2 3 D. M ' 2; 2 3 2 2 2 Lời giải: x' xcos y sin Gọi M ' x'; y' Q 0 .Áp dụng biểu thức tọa độ ta có O;30 y' xsin y cos 3 3 0 0 x' 3cos 30 4sin 30 2 3 3 3 2 M ' 2; 2 3 . 3 2 2 y' 3sin 300 4cos 300 2 3 2 Ví dụ 2. Cho I 2;1 và đường thẳng d : 2x 3y 4 0 . Tìm ảnh của d qua Q 0 . I ;45 A. d' : x 5y 3 2 0 B. d' : x 5y 3 0 C. d' : x 5y 10 2 0 D. d' : x 5y 3 10 2 0 Lời giải: Lấy hai điểm M 2;0 ; N 1; 2 thuộc d . Gọi M ' x ; y ,N ' x ; y là ảnh của M,N qua Q 0 1 1 2 2 I ;45 34
  36. 3 2 0 0 x1 2 x1 2 2 2 cos 45 0 1 sin 45 Ta có 2 0 0 y1 1 2 2 sin 45 0 1 cos 45 5 2 y 1 1 2 3 2 5 2 M ' 2 ;1 . 2 2 Tương tự 0 0 x2 2 1 2 cos 45 2 1 sin 45 x 2 2 2 y 1 1 2 sin 450 2 1 cos 450 2 y2 1 2 2 N ' 2 2;1 2 2 .  5 2 2 2 Ta có M ' N ' ; 5;1 . 2 2 2  Gọi d' Q 0 d thì d' có VTCP u M ' N ' 5;1 VTPT n 1; 5 I ;45 Phương trình: d' : x 2 2 5 y 1 2 2 0 x 5y 3 10 2 0 . Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD tâm O , M là trung điểm của AB , N là trung điểm của OA . Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O góc quay 900 . Lời giải: A M D Phép quay Q biến A thành D , biến M thành O;900 N M 'là trung điểm của AD , biến N thành N ' là trung M' O N' 35 B C
  37. điểm của OD . Do đó nó biến tam giác AMN thành tam giác DM ' N ' . Bài toán 02: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH. Phương pháp: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay Q I ; nào đó. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho điểm A và hai đường thẳng d1 ,d2 . Dựng tam giác ABC vuông cân tại A sao cho B d1 ,C d2 . Lời giải: Phân tích: Giả sử đã dựng được tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ta có thể giả sử AB, AC 900 , khi đó A d1 d2 Q 0 C B, mà C d nên B d ' với A; 90 2 2 d ' Q 0 d . B 2 A; 90 2 C Lại có B d1 nên B d1  d2 ' . d'2 Cách dựng: - Dựng đường thẳng d ' ảnh của d qua Q . 2 2 A; 900 - Dựng giao điểm B d1  d2 ' . 36
  38. - Dựng đường thẳng qua A vuông góc với AB cắt d2 tại C . Tam giác ABC là tam giác cần dựng. Chứng minh: · 0 Từ cách dựng suy ra Q 0 B C nên AB AC và BAC 90 do đó tam giác ABC A;90 vuông cân tại A . Biện luân: - Nếu d1 ,d2 không vuông góc thì có một nghiệm hình. - Nếu d1  d2 và A nằm trên đường phân giác của một trong các góc tạo bởi d1 ,d2 thì có vô số nghiệm hình. - Nếu d1  d2 và A không nằm trên đường phân giác của một trong các góc tạo bởi d1 ,d2 thì bài toán vô nghiệm hình. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có AB, AC 00 900 và một điểm M nằm trên cạnh AB . Dựng trên các đường thẳng CB,CA các điểm N,P sao cho MN MP và đường tròn AMP tiếp xúc với MN . Lời giải: Phân tích: Giả sử đã dựng được các điểm N,P sao cho N BC,P AC A sao cho MN MP và đường tròn AMP tiếp xúc với MN . O Khi đó do MN tiếp xúc với đường tròn AMP nên M I P· MN Aµ . Từ đó ta có MP; MN lại có MP MN P nên Q M , P N . C B N  Giả sử O Q M , A và I ON AC . 37
  39. · Theo tính chất phép quay ta có N· IC ON, AP N· IC B· AC IN P AB . Cách dựng : - Dựng điểm O Q M , - Dưng đường thẳng qua O song song với AB cắt BC tại N - Dựng tia MP cắt AC tại P sao cho N· MP Như vây các điểm N,P là các điểm cần dựng. Chứng minh: Vì ON P AB nên A· MO M· ON P· MN M· AP suy ra đường tròn AMN tiếp xức với MN . Ta có Q M; : MP MN nên MP MN . Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình duy nhất. Bài toán 03: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM. Phương pháp: Xem điểm cần dựng là giao của một đường có sẵn và ảnh của một đường khác qua phép quay Q I ; nào đó. Để tìm tập hợp điểm M ' ta đi tìm tập hợp điểm M mà Q I ; nào đó biến điểm M thành điểm M ', khi đó nếu M H thì M ' H ' Q I ; H . Các ví dụ Ví dụ 1. Cho đường thẳng d và một điểm G không nằm trên d . Với mỗi điểm A nằm trên d ta dựng tam giác đều ABC có tâm G . Tìm quỹ tích các điểm B,C khi A di động trên d . Lời giải: d A G d' 38 d'' B C
  40. Do tam giác ABC đều và có tâm G nên phép quay tâm G góc quay 1200 biến A thành B hoặc C và phép quay tâm G góc quay 2400 biến A thành B hoặc C .Mà A d nên B,C thuộc các đường thẳng là ảnh của d trong hai phép quay nói trên. Vậy quỹ tích các điểm B,C là các đường thẳng ảnh của d trong hai phép quay tâm G góc quay 1200 và 2400 . Ví dụ 2. Cho tam giác đều ABC . Tìm tập hợp điểm M mằn trong tam giác ABC sao cho MA2 MB2 MC 2 . Lời giải: Xét phép quay Q thì A biến thành C , giả sử điểm M biến thành M ', khi đó B; 600 MA M 'C, MB MM ' nên MA2 MB2 MC 2 M 'C 2 MM '2 MC 2 do đó tam giác C M ' MC vuông tại M 'suy ra B·M 'C 1500 . M' Lại có AM CM ' , BM BM ' và AB BC AMB CM ' B c c c M · · 0 AMB CM ' B 150 . Vậy M thuộc cung chứa góc A B 1500 với dây cung AB nằm trong tam giác ABC . » 0 Đảo lại lấy điểm M thuộc cung AB 150 trong tam giác ABC , gọi M ' Q 0 M . B; 60 Do Q : A¼MB C¼M ' B nên C¼M ' B 1500 . Mặt khác tam giác BMM ' đều nên B; 600 B·M ' M 600 C·M ' M 1500 600 900 vì vậy M ' MC vuông tại M ' M ' B2 M 'C 2 MC 2 , mà MA M 'C, MB MM ' MA2 MB2 MC 2 . 39
  41. Vậy tập hợp điểm M thỏa yêu cầu bài toán là cung A»B 1500 trong tam giác ABC nhận AB làm dây cung. Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP QUAY ĐỂ GIẢI TOÁN. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC . Vẽ các tam giác đều ABB' và ACC' nằm phía ngoài tam giác ABC . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CB' và BC' . Chứng minh các điểm A,I, J hoặc trùng nhau hoặc tạo thành một tam giác đều. Lời giải: Giả sử góc lượng giác AB, AC 0 ( hình vẽ). C' Khi đó , xét phép quay Q .Ta có A A;600 B' Q : B' B,C C' Q : B'C BC' mà I, J A;600 A;600 J lần lượt là trung điểm của B'C và BC' nên I Q 0 I J . C A;60 B Vậy nếu I, J không trùng A thì AIJ đều. Khi B· AC 1200 thì I  J  A . Ví dụ 2. Cho hai đường trong bằng nhau O; R và O'; R cắt nhau tại hai điểm A,B sao cho O· AO' 1200 . Đường thẳng d đi qua B cắt hai đường tròn O và O' theo thứ tự tại M, M ' sao cho M nằm ngoài O' còn M ' nằm ngoài O . Gọi S là giao điểm của các tiếp tuyến với hai đường tròn tại M và M '. Xác định vị trí của M, M ' sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SMM ' lớn nhất. Lời giải: Giả sử góc lượng giác AO', AO 1200 ( như hình vẽ) 40
  42. Xét phép quay Q 0 . Gọi B' Q 0 B thì A; 120 A; 120 S B· AB' 1200 . Dễ thấy O· AB 600 suy ra O· AB B· AB' 1800 nên O, A,B' thẳng hàng. Ta có · · 0 · · 0 M H MBA ABM ' 180 , ABM ' AB' M ' 180 B K M· BA A· B' M ' . O' M' O Mà O; R và O'; R' bằng nhau nên AM AM ' 1 ; A B' từ đó ta có OAM O' AM ' O· AM O· ' AM ' O· ' AM O· ' AM O· AM O· ' AM 1200 · 0 hay MAM ' 120 2 . Từ 1 ; 2 suy ra Q 0 M M '. Do đó trong phép quay này A; 120 tiếp tuyến MS biến thành tiếp tuyến M 'S nên góc tù giữa hai đường thẳng MS và M 'S bằng 1200 do đó M· SM ' 600 . Áp dụng định lí sin cho tam giác SMM ' ta có MM ' MM ' R R lớn nhất khi MM ' lớn nhất.Gọi H,K lần lượt là hình chiếu 2sin 600 3 của O,O' trên MM ' thì ta có MM ' 2HK 2OO' . Đẳng thức xảy ra khi MM ' POO' . Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SMM ' lớn nhất khi M, M ' là các giao điểm thứ hai của đường thẳng d đi qua B và song song với OO' với hai đường tròn. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 28. Tìm ảnh của đường thẳng d : 5x 3y 15 0 qua phép quay Q . O;900 A. d' : x y 15 0 B. d' : 3x 5y 5 0 C. d' : 3x y 5 0 D. d' : 3x 5y 15 0 Lời giải: 41
  43. 28. d'  d nên phương trình có dạng 3x 5y c 0 Lấy M 3;0 d , ta có Q 0 M M ' 0; 3 , M ' d' C 15 , hay d' : 3x 5y 15 0 . 0;90 2 2 29. Tìm ảnh của đường tròn C : x 1 y 2 9 qua phép quay Q 0 với I 3; 4 . I ;90 2 2 2 2 A. C' : x 2 y 2 9 B. C' : x 3 y 2 9 2 2 2 2 C. C' : x 5 y 7 9 D. C' : x 3 y 2 9 Lời giải: 29. C có tâm J 1; 2 ,R 3, gọi J ' x'; y' Q 0 I ta có I ;90 x' 3 1 3 cos 4 2 sin 3 2 2 y' 4 1 3 sin 4 2 cos 2 2 2 2 2 J ' 3; 2 mà R' R 3 nên phương trình C' : x 3 y 2 9 . 30. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A 1; 2 ,B 3; 4 và 2 3 cos A ,cos B . 5 10 A. AC : x y 1 0,BC : x y 5 0 B. AC : 3x y 2 0,BC : x 2y 3 0 C. AC : 3x y 1 0,BC : x 2y 5 0 D. AC : 3x y 4 0,BC : x 2y 2 0 Lời giải: 30. Sử dụng tính chất: Phép quay tâm I a;b d : Ax By C 0 góc quay biến d thành d' có phương trình A Btan x a A tan B y b 0 . Ta được AC : 3x y 1 0,BC : x 2y 5 0 42