Bài tập Hình học Lớp 11 - Bài 5: Phép quay

Nội dung text: Bài tập Hình học Lớp 11 - Bài 5: Phép quay

1.  BÀI 05 PHÉP QUAY 1. Định nghĩa Cho điểm O và góc lượng giác a . Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M ' sao cho OM ' = OM và góc lượng giác (OM ;OM ') bằng a được gọi là phép quay tâm O góc a . · Điểm O được gọi là tâm quay, a được gọi là góc quay của M’ phép quay đó. · Phép quay tâm O góc a thường được kí hiệu là Q(O,a). Nhận xét O M · Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ. M' M O O M M' · Với k là số nguyên ta luôn có: Å Phép quay Q(O,2kp) là phép đồng nhất. Å Phép quay là phép đối xứng tâm . Q(O,(2k+ 1)p) O 2. Tính chất Tính chất 1 Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Tính chất 2 Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính. C' B' R I' A' C O A O B R I CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc a với a ¹ k2p ( k là một số nguyên)? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
2. Câu 2. Cho tam giác đều tâm O. Với giá trị nào dưới đây của j thì phép quay Q(O,j ) biến tam giác đều thành chính nó? p 2p 3p p A. j = . B. j = . C. j = . D. j = . 3 3 2 2 Câu 3. Cho tam giác đều ABC. Hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành C . A. j = 30°. B. j = 90°. C. j = - 120°. D. j = 60° hoặc j = - 60°. Câu 4. Cho tam giác đều tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc a với 0 £ a < 2p , biến tam giác trên thành chính nó? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 5. Cho hình vuông tâm O. Xét phép quay Q có tâm quay O và góc quay j . Với giá trị nào sau đây của j , phép quay Q biến hình vuông thành chính nó? p p p p A. j = .B. j = . C. j = .D. j = . 6 4 3 2 Câu 6. Cho hình vuông tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc a với 0 £ a < 2p , biến hình vuông trên thành chính nó? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 7. Cho hình chữ nhật tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc a với 0 £ a < 2p , biến hình chữ nhật trên thành chính nó? A. 0. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 8. Cho hình thoi ABCD có góc A·BC = 600 (các đỉnh của hình thoi ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của cạnh CD qua phép quay Q là: (A,600 ) A. AB. B. BC. C. CD. D. DA. Câu 9. Cho tam giác đều ABC có tâm O và các đường cao AA', BB ', CC ' (các đỉnh của tam giác ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của đường cao AA' qua phép quay tâm O góc quay 2400 là: A. AA'. B. BB '. C. CC '. D. BC. Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại B và góc tại A bằng 600 (các đỉnh của tam giác ghi theo ngược chiều kim đồng hồ). Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác đều ACD. Ảnh của cạnh BC qua phép quay tâm A góc quay 600 là: A. AD. B. AI với I là trung điểm của CD. C. CJ với J là trung điểm của AD. D. DK với K là trung điểm của AC. Câu 11. Cho hai đường thẳng bất kỳ d và d ' . Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d ' ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 12. Cho phép quay Q(O,j ) biến điểm A thành điểm A' và biến điểm M thành điểm M '. Mệnh đề nào sau đây là sai? uuuur uuuuur A. AM = A' M '. B. (·OA,OA')= (·OM ,OM ')= j . ·uuuur uuuuur C. (AM , A' M ')= j với 0 £ j £ p. D. AM = A' M '. Câu 13. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Phép quay Q(O;j ) biến O thành chính nó. B. Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O góc quay - 180° . Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
3. ¢ ¢ C. Nếu Q(O,90°) (M )= M (M ¹ O) thì OM > OM. D. Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O góc quay 180° . Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;0). Tìm tọa độ điểm A¢ là ảnh của điểm p A qua phép quay tâm O(0;0) góc quay . 2 A. A¢(0;- 3). B. A¢(0;3). C. A¢(- 3;0). D. A¢(2 3;2 3). Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;0). Tìm tọa độ điểm A¢ là ảnh của điểm p A qua phép quay tâm O(0;0) góc quay - . 2 A. A¢(- 3;0). B. A¢(3;0). C. A¢(0;- 3). D. A¢(- 2 3;2 3). Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm A(1;0) thành điểm A'(0;1). Khi đó nó biến điểm M (1;- 1) thành điểm: A. M '(- 1;- 1). B. M '(1;1). C. M '(- 1;1). D. M '(1;0). Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M (2;0) và N (0;2). Phép quay tâm O biến điểm M thành điểm N , khi đó góc quay của nó là: A. j = 30°. B. j = 30° hoặc j = 45°. Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (1;1). Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O góc quay j = 450 ? / / / / A. M1 (- 1;1). B. M 2 (1;0). C. M 3 ( 2;0). D. M 4 (0; 2). Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 2x + y + 5 = 0 và x - 2y - 3 = 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay j (0 £ j £ 1800 ) là: A. 450. B. 600. C. 900. D. 1200. Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 4x + 3y + 5 = 0 và x + 7y - 4 = 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay j (0 £ j £ 1800 ) là: A. 450. B. 600. C. 900. D. 1200. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Có bao nhiêu điểm biến thành chính nó qua phép quay tâm O góc a với a ¹ k2p ( k là một số nguyên)? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Chọn B. Điểm đó chính là tâm quay O . Câu 2. Cho tam giác đều tâm O. Với giá trị nào dưới đây của j thì phép quay Q(O,j ) biến tam giác đều thành chính nó? p 2p 3p p A. j = . B. j = . C. j = . D. j = . 3 3 2 2 2p 4p Lời giải. Các góc quay để biến tam giác đều thành chính nó là 0; ; ; 2p. 3 3 Chọn B. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
4. Câu 3. Cho tam giác đều ABC. Hãy xác định góc quay của phép quay tâm A biến B thành C . A. j = 30°. B. j = 90°. C. j = - 120°. D. j = 60° hoặc j = - 60°. Lời giải. Tam giác ABC đều B·AC = 60°. Khi đó Q(A,j ) (B)= C Þ j = ± 60°. Chọn D. Câu 4. Cho tam giác đều tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc a với 0 £ a < 2p , biến tam giác trên thành chính nó? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2p 4p Lời giải. Chọn C. Do 0 £ a < 2p nên ta có các góc quay 0; ; . 3 3 Câu 5. Cho hình vuông tâm O. Xét phép quay Q có tâm quay O và góc quay j . Với giá trị nào sau đây của j , phép quay Q biến hình vuông thành chính nó? p p p p A. j = .B. j = . C. j = .D. j = . 6 4 3 2 p 3p Lời giải. Các góc quay để biến hình vuông thành chính nó là 0; ; p; ; 2p. 2 2 Chọn D. Câu 6. Cho hình vuông tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc a với 0 £ a < 2p , biến hình vuông trên thành chính nó? A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. p 3p Lời giải. Chọn D. Do 0 £ a < 2p nên ta có các góc quay 0; ; p; . 2 2 Câu 7. Cho hình chữ nhật tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O góc a với 0 £ a < 2p , biến hình chữ nhật trên thành chính nó? A. 0. B. 2. C. 3. D. 4. Lời giải. Chọn B. Do 0 £ a < 2p nên ta có các góc quay 0; p. Câu 8. Cho hình thoi ABCD có góc A·BC = 600 (các đỉnh của hình thoi ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của cạnh CD qua phép quay Q là: (A,600 ) A. AB. B. BC. C. CD. D. DA. 0 Lời giải. Xét phép quay tâm A góc quay 60 : A · Biến C thành B; · Biến D thành C. D B Vậy ảnh của CD là BC. Chọn B. C Câu 9. Cho tam giác đều ABC có tâm O và các đường cao AA', BB ', CC ' (các đỉnh của tam giác ghi theo chiều kim đồng hồ). Ảnh của đường cao AA' qua phép quay tâm O góc quay 2400 là: A. AA'. B. BB '. C. CC '. D. BC. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
5. Lời giải. Do tam giác ABC đều nên A A·'OB ' = B·'OC ' = C·'OA' = 1200 . 0 Khi đó xét phép quay tâm O góc quay 240 : B' C' · Biến A thành B; O · Biến A' thành B '. Vậy ảnh của AA' là BB '. Chọn B. C B A' Câu 10. Cho tam giác ABC vuông tại B và góc tại A bằng 600 (các đỉnh của tam giác ghi theo ngược chiều kim đồng hồ). Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác đều ACD. Ảnh của cạnh BC qua phép quay tâm A góc quay 600 là: A. AD. B. AI với I là trung điểm của CD. C. CJ với J là trung điểm của AD. D. DK với K là trung điểm của AC. Lời giải. Từ giả thiết suy ra ABC là nữa tam giác D đều, do đó AC = 2AB. Xép phép quay tâm A góc quay 600 , ta có: · Biến B thành K; A · Biến C thành D. K Vậy ảnh của BC là KD. Chọn D. B C Câu 11. Cho hai đường thẳng bất kỳ d và d ' . Có bao nhiêu phép quay biến đường thẳng d thành đường thẳng d ' ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Lời giải. Chọn D. Tâm quay là điểm cách đều hai đường thẳng. Câu 12. Cho phép quay Q(O,j ) biến điểm A thành điểm A' và biến điểm M thành điểm M '. Mệnh đề nào sau đây là sai? uuuur uuuuur A. AM = A' M '. B. (·OA,OA')= (·OM ,OM ')= j . ·uuuur uuuuur C. (AM , A' M ')= j với 0 £ j £ p. D. AM = A' M '. uuuur uuuuur Lời giải. Chọn A. Vì với góc quay khác kp (k Î ¢ ) thì hai vectơ AM và A' M ' không cùng uuuur uuuuur phương ¾ ¾® AM ¹ A' M '. Câu 13. Mệnh đề nào sau đây là sai? A. Phép quay Q(O;j ) biến O thành chính nó. B. Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O góc quay - 180° . ¢ ¢ C. Nếu Q(O,90°) (M )= M (M ¹ O) thì OM > OM. D. Phép đối xứng tâm O là phép quay tâm O góc quay 180° . Lời giải. Chọn C. Vì phép quay bảo toàn khoảng cách nên OM ¢= OM. Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;0). Tìm tọa độ điểm A¢ là ảnh của điểm p A qua phép quay tâm O(0;0) góc quay . 2 A. A¢(0;- 3). B. A¢(0;3). C. A¢(- 3;0). D. A¢(2 3;2 3). ïì OA = OA¢ ï Lời giải. Gọi A¢(x; y). Ta có Q (A)= A¢Û íï uur uuur . çæ p÷ö p çO, ÷ ï ¢ èç 2ø÷ ï OA,OA = îï ( ) 2 Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
6. uuur uuuur p (OA,OA¢)= Vì A(3;0)Î Ox ¾ ¾ ¾ ¾2 ® A¢Î Oy Þ A¢(0; y). Mà OA = OA¢Þ y = 3. p Do góc quay j = Þ y > 0 . Vậy A¢(0;3). Chọn B. 2 Câu 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;0). Tìm tọa độ điểm A¢ là ảnh của điểm p A qua phép quay tâm O(0;0) góc quay - . 2 A. A¢(- 3;0). B. A¢(3;0). C. A¢(0;- 3). D. A¢(- 2 3;2 3). Lời giải. Chọn C. Tương tự như câu trên, để ý y < 0. Câu 16. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho phép quay tâm O biến điểm A(1;0) thành điểm A'(0;1). Khi đó nó biến điểm M (1;- 1) thành điểm: A. M '(- 1;- 1). B. M '(1;1). C. M '(- 1;1). D. M '(1;0). Lời giải. Từ giả thiết, kết hợp với hình vẽ ta y p M' thấy góc quay là . A' 2 1 p Khi đó phép quay tâm O góc quay biến x 2 O A 1 điểm M (1;- 1) thành điểm M '(1;1). Chọn B. -1 M Câu 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm M (2;0) và N (0;2). Phép quay tâm O biến điểm M thành điểm N , khi đó góc quay của nó là: A. j = 30°. B. j = 30° hoặc j = 45°. C. j = 90°. D. j = 90° hoặc j = 270°. Lời giải. Ta có M thuộc tia Ox , N thuộc tia Oy Þ j = 90°. Chọn C. Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M (1;1). Hỏi các điểm sau điểm nào là ảnh của M qua phép quay tâm O góc quay j = 450 ? / / / / A. M1 (- 1;1). B. M 2 (1;0). C. M 3 ( 2;0). D. M 4 (0; 2). Lời giải. Gọi M '(x '; y ') là ảnh của M qua phép quay tâm O, góc quay 450 ïì x ' = x cosa - y sin a ïì x ' = 1.cos 450 - 1.sin 450 ïì x ' = 0 Þ íï Û íï Û íï Þ M ' 0; 2 . Chọn D. ï ï 0 0 ï ( ) îï y ' = x sin a + y cosa îï y ' = 1.sin 45 + 1.cos 45 ïî y ' = 2 Cách 2. Dùng hình vẽ. y Tính được OM = 2 và O·M ,Oy = 450. M' M ïì M ' Î Oy 1 Suy ra íï Þ M ' 0; 2 . ï ( ) îï OM ' = 2 x O 1 Câu 19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 2x + y + 5 = 0 và x - 2y - 3 = 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay j (0 £ j £ 1800 ) là: A. 450. B. 600. C. 900. D. 1200. Lời giải. Ta thấy hai đường thẳng a và b có phương trình 2x + y + 5 = 0 và x - 2y - 3 = 0 là vuông góc với nhau. Suy ra j = 900. Chọn C. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất
7. Câu 20. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng a và b có phương trình lần lượt là 4x + 3y + 5 = 0 và x + 7y - 4 = 0. Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số đo của góc quay j (0 £ j £ 1800 ) là: A. 450. B. 600. C. 900. D. 1200. uur Lời giải. Đường thẳng a : 4x + 3y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến na = (4;3). uur Đường thẳng b : x + 7y - 4 = 0 có vectơ pháp tuyến nb = (1;7). Góc a là góc tạo bởi a và b ta có uur uur 4.1+ 3.7 2 0 cosa = cos(na ,nb ) = = Þ a = 45 . 42 + 32 12 + 72 2 Vậy j = 450. Chọn A. Dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất