›
›
›

Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm - Vấn đề 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi tiếp tuyến đi qua điểm cho trước

doc 38 trang nhungbui22 12/08/2022 2710
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm - Vấn đề 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi tiếp tuyến đi qua điểm cho trước", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docbai_tap_dai_so_lop_11_chuong_5_dao_ham_van_de_3_viet_phuong.doc

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 5: Đạo hàm - Vấn đề 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi tiếp tuyến đi qua điểm cho trước

  1. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN MỤC LỤC Vấn đề 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi tiếp tuyến đi qua điểm cho trước 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 8 1
  2. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Vấn đề 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi tiếp tuyến đi qua điểm cho trước. Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị C : y f x đi qua điểm M x1 ; y1 Cách 1 : • Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng : y k x x1 y1 . f x0 k x0 x1 y1 • d tiếp xúc với đồ thị C tại N x ; y khi hệ: có nghiệm x . 0 0 0 f ' x0 k Cách 2 : • Gọi N x0 ; y0 là tọa độ tiếp điểm của đồ thị C và tiếp tuyến d qua điểm M , nên d cũng có dạng y y'0 x x0 y0 . • d đi qua điểm M nên có phương trình : y1 y'0 x1 x0 y0 * • Từ phương trình * ta tìm được tọa độ điểm N x0 ; y0 , từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng d . Các ví dụ Ví dụ 1 : x3 3x2 1. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C : y x , biết d song song đường 3 4 thẳng x y 8 0 . 2. Cho hàm số y 2x3 3x2 5 có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm 19 A ; 4 và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số. 12 Lời giải: 1. Hàm số đã cho xác định D ¡ Cách 1: Tiếp tuyến d song song với đường thẳng x y 8 0 nên d có dạng y x b . d tiếp xúc với C tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi hệ phương trình x3 3x2 0 0 x x b 1 0 0 3 4 có nghiệm x . 3x 0 x2 0 1 1 2 0 2 3 Phương trình 2 2x2 3x 0 x 0 hoặc x . 0 0 0 0 2 2
  3. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Với x0 0 thay vào phương trình 1 , ta được b 0 khi đó d : y x . 3 9 9 Với x thay vào phương trình 1 , ta được b khi đó d : y x . 0 2 16 16 Cách 2: Gọi x0 ; y x0 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d và C , với x3 3x2 3x y x 0 0 x , tiếp tuyến d có hệ số góc y' x x2 0 1 0 3 4 0 0 0 2 3x 3 d || x y 8 0 y' x 1 tức x2 0 1 1 hay nghiệm x 0 hoặc x . Phần còn 0 0 2 0 0 2 lại giành cho bạn đọc. 2. Hàm số đã cho xác định D ¡ Ta có: y' 6x2 6x 3 2 2 Gọi M(x0 ; y0 ) (C) y0 2x0 3x0 5 và y'(x0 ) 6x0 6x0 Phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại M có dạng: y y0 y'(x0 )(x x0 ) 3 2 2 2 3 2 y (2x0 3x0 5) (6x0 6x0 )(x x0 ) y (6x0 6x0 )x 4x0 3x0 5 19 A 4 (6x2 6x ). 4x3 3x2 5 8x3 25x2 19x 2 0 x 1 hoặc x 2 hoặc 0 0 12 0 0 0 0 0 0 0 1 x 0 8 Với x0 1 : y 4 Với x0 2 : y 12x 15 1 21 645 Với x : y x 0 8 32 128 Ví dụ 2 : 1 3 1. Cho hàm số y x4 3x2 có đồ thị là C . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C 2 2 3 biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M 0; . 2 x 2 2. Cho hàm số: y có đồ thị là C và điểm A 0; m . Xác định m để từ A kẻ được 2 tiếp x 1 tuyến đến C sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox . Lời giải: 3 1. Đường thẳng x 0 đi qua điểm M 0; không phải là tiếp tuyến của đồ thị C . 2 3 3 d là đường thẳng đi qua điểm M 0; có hệ số góc k có phương trình y kx 2 2 3
  4. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị C tai điểm có hoành độ là x0 thì x0 là nghiệm của hệ 1 3 3 x4 3x2 kx 1 phương trình : 2 0 0 2 0 2 3 2x0 6x0 k 2 2 2 Thay 2 vào 1 rồi rút gọn ta được x0 x0 2 0 x0 0 hoặc x0 2 3 Khi x 0 thì k 0 lúc đó phương trình tiếp tuyến là y 0 2 3 Khi x 2 thì k 2 2 lúc đó phương trình tiếp tuyến là y 2 2x 0 2 3 Khi x 2 thì k 2 2 lúc đó phương trình tiếp tuyến là y 2 2x 0 2 3 3 3 Vậy, có ba tiếp tuyến là y , y 2 2x , y 2 2x 2 2 2 1 2. Cách 1: Gọi điểm m 1. Tiếp tuyến tại M của C có phương trình : 2 2 2 m x0 1 3x0 x0 2 x0 1 0 (với x0 1) m 1 x0 2 m 2 x0 m 2 0 . Yêu cầu bài toán có hai nghiệm a,b khác 1 sao cho m 1 a 2 b 2 ab 2 a b 4 0 hay là: 2 . a 1 b 1 ab a b 1 m 3 2 Vậy m 1 là những giá trị cần tìm. 3 Cách 2: Đường thẳng d đi qua A , hệ số góc k có phương trình: y kx m . x0 2 kx0 m x0 1 d tiếp xúc với C tại điểm có hoành độ x hệ có nghiệm x . 0 3 0 2 k x0 1 Thế k vào phương trình thứ nhất, ta đươc: x 2 3x 0 m m 1 x2 2 m 2 x m 2 0 x 1 2 0 0 0 x0 1 Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến thì có hai nghiệm phân biệt khác 1 ' 3 m 2 0 m 2 m 1 i m 1 m 1 2 m 2 m 2 0 4
  5. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Khi đó tọa độ hai tiếp điểm là: M1 x1 ; y1 , M2 x2 ; y2 với x1,x2 là nghiệm của và x1 2 x2 2 y1 ; y2 x1 1 x2 1 x1x2 2 x1 x2 4 Để M1, M2 nằm về hai phía Ox thì y1.y2 0 0 1 x1x2 x1 x2 1 2 m 2 m 2 Áp dụng định lí Viet: x x ; x x . 1 2 m 1 1 2 m 1 9m 6 2 1 0 m . 3 3 2 Kết hợp với i ta được m 1 là những giá trị cần tìm. 3 Ví dụ 3 : 5x 61 1. Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng d : y để từ đó kẻ đến đồ thị 4 24 x3 x2 7 y 2x có 3 tiếp tuyến tương ứng với 3 tiếp điểm có hoành độ x ,x ,x thỏa 3 2 3 1 2 3 mãn: x1 x2 0 x3 2. Tìm tất cả các giá trị của k để tồn tại 2 tiếp tuyến với C : y x3 6x2 9x 3 phân biệt và có cùng hệ số góc k , đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của 2 tiếp tuyến đó với C cắt các trục Ox,Oy tương ứng tại A,B sao cho OB 2012.OA . Lời giải: 5m 61 1. M m; d , tiếp tuyến t tại điểm N x0 ; y0 đi qua M : 4 24 1 x 0 0 2 3 1 2 3m 5 2 x0 m x0 mx0 0 3 2 4 24 2 2 5 5 3m x m x 0 0 0 3 6 12 2 Theo bài toán, phương trình có hai nghiệm phân biệt âm, tức là : 2 7m 5 5 1 m 0 m ; m 3 12 2 6 5 5 m 0 m 18 18 3 5 5 m 0 m 2 4 6 5 1 5 Vậy, những điểm M thỏa bài toán là: x hoặc x M 2 6 M 18 5
  6. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 2. Hoành độ tiếp điểm x0 của tiếp tuyến dạng y kx m với C là nghiệm của phương trình 2 f ' x0 k 3x0 12x0 9 k 0 1 Để tồn tại 2 tiếp tuyến với C phân biệt nhau thì phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt, khi đó ' 9 3k 0 hay k 3 2 . Khi đó tọa độ tiếp điểm x0 ; y0 của 2 tiếp tuyến với C là nghiệm hệ phương trình: 1 y x3 6x2 9x 3 y x 2 3x2 12x 9 2x 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 3x0 12x0 9 k 2 3x0 12x0 9 k 1 k 6 2k 9 y x 2 k 2x 3 x 0 3 0 0 3 0 3 2 3x0 12x0 9 k k 6 2k 9 Vậy phương trình đường thẳng đi qua các tiếp điểm là d : y x . 3 3 Do d cắt trục Ox,Oy tương ứng tại A và B sao cho OB 2012.OA nên có thể xảy ra: 9 • Nếu A  O thì B  O , trường hợp này chỉ thỏa nếu d cũng qua O . Khi đó k . 2 • Nếu A O , khi đó trong tam giác AOB vuông tại O sao cho OB k 6 tanO· AB 2012 2012 k 6042 hoặc k 6030 ( không thỏa 2 ). OA 3 9 Vậy k , k 6042 thỏa bài toán. 2 Ví dụ 4 : Cho hàm số y x3 3x 2, có đồ thị là C . Tìm tọa độ các điểm trên đường thẳng y 4 mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị C đúng hai tiếp tuyến. Lời giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡ . Gọi A là điểm nằm trên đường thẳng y 4 nên A a; 4 . Đường thẳng qua A với hệ số góc k có phương trình y k x a 4 Đường thẳng tiếp xúc với đồ thị C khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 3 2 x3 3x 2 k x a 4 x 3x 2 3 x 1 x a 2 2 3x 3 k 3x 3 k 2 x 1 2x 3a 2 x 3a 2 0 1 2 3x 3 k 2 6
  7. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN x 1 Phương trình 1 tương đương với: 2 g x 2x 3a 2 x 3a 2 0 Qua A kẻ được hai tiếp tuyến đến C khi và chỉ khi 2 có 2 giá trị k khác nhau , khi đó 2 2 1 có đúng 2 nghiệm phân biệt x1 ,x2 , đồng thời thỏa k1 3x1 3, k2 3x2 3 có 2 giá trị k khác nhau Trường hợp 1: g x phải thỏa mãn có một nghiệm bằng 1 và nghiệm khác 1 hay g 1 0 6a 6 0 3a 2 a 1 kiểm tra 2 thấy thỏa. 1 a 0 2 Trường hợp 2: g x phải thỏa mãn có một nghiệm kép khác 1 hay 2 3a 2 8 3a 2 0 3 3a 2 a 2 0 3a 2 1 3a 2 2 2 2 a hoặc a 2, kiểm tra 2 thấy thỏa. 3 2 Vậy, các điểm cần tìm là A 1; 4 , A 2; 4 hoặc A ; 4 . 3 Ví dụ 5 Cho hàm số y 3x x3 có đồ thị là C . Tìm trên đường thẳng (d): y x các điểm M mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). Lời giải: Gọi M(m; m) d . Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k có dạng: y k(x m) m . là tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x0 khi hệ sau có nghiệm x0 : 3x x3 k(x m) m (1) 0 0 0 ( ) 2 3 3x0 k (2) 2x3 3 2 0 Thay (2) vào (1) ta được: 2x0 3mx0 4m 0 m 2 ( ) 3x0 4 Từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C) ( ) có nghiệm x0 đồng thời (2) tồn tại đúng 2 giá trị k khác nhau 7
  8. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Khi đó ( ) có nghiệm x0 phân biệt thỏa mãn (2) có 2 giá trị k khác nhau . 2x3 0 Xét hàm số f (x0 ) 2 . 3x0 4 2 3  Tập xác định D ¡ \ 1;  3  6x4 24x2 0 0 Ta có: f (x0 ) 2 2 và f (x0 ) 0 x0 0 hoặc x0 2 (3x0 4) Dựa vào bảng biến thiên suy ra m 2 . Kiểm tra (2) , ta thấy thỏa mãn. Vậy: M( 2; 2) hoặc M(2; 2) . Ví dụ 6 Lấy điểm M thuộc đồ thị C : y 2x3 3x2 3. Chứng minh rằng có nhiều nhất hai đường thẳng đi qua điểm M và tiếp xúc với C Lời giải: Gọi M a; 2a3 3a2 3 là điểm thuộc đồ thị C của hàm số. Đường thẳng d đi qua M có hệ số góc k , có phương trình: y k x a 2a3 3a2 3 . Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị C tại N x0 ; y0 khi hệ phương trình: 3 2 3 2 2x0 3x0 3 k x0 a 2a 3a 3 1 có nghiệm x . Thay 2 vào 1 , biến đổi và 2 0 6x0 6x0 k 2 rút gọn ta được phương trình : 2 2a 3 x a 4x 2a 3 0 tức x a hoặc x . 0 0 0 0 4 Vậy hệ phương trình 1 , 2 có nhiều nhất 2 nghiệm, tức có nhiều nhất 2 đường thẳng đi qua M và tiếp xúc với đồ thị C . Ví dụ 7: Cho hàm số y 2x3 4x2 1, có đồ thị là C 1. Gọi d là đường thẳng đi qua A 0;1 có hệ số góc là k . Tìm k để d cắt C tại 2 điểm phân biệt B,C khác A sao cho B nằm giữa A và C đồng thời AC 3AB ; 2. Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến C Lời giải: 1. d : y kx 1. Với k 2 thì d cắt C tại 2 điểm phân biệt B và C khác A . Khi đó 2 B xB ; kxB 1 , C xC ; kxC 1 , xB xC với xB ,xC là nghiệm của phương trình 2x 4x k 0 . 8
  9. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN k 3 AC 3AB tức x 3x và x x 2, x .x suy ra k . C B B C B C 2 2 2. Gọi M 0; m và t qua M có hệ số góc là a nên t : y ax m . t tiếp xúc C tại điểm có 2x3 4x2 1 kx m hoành độ x khi hệ 0 0 0 có nghiệm x suy ra 4x3 4x2 1 m 0 có 0 2 0 0 0 6x0 8x0 x0 11 nghiệm x . Theo bài toán thì phương trình có đúng 2 nghiệm, từ đó có được m 0 27 hoặc m 1. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 1 Bài 1: Cho hàm số y x3 2x2 3x có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua 3 4 4 điểm A ; và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số. 9 3 : y x : y 3x : y x : y 3x 4 4 4 4 A. : y x B. : y x 1 C. : y D. : y 3 3 3 3 5 8 5 128 5 1 5 128 : y x : y x : y x : y x 9 81 9 81 9 81 9 81 Lời giải: 4 4 Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A với hệ số góc k có dạng: y k x 9 3 ∆ tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ phương trình 1 3 2 4 4 x 2x 3x k x (1) 3 9 3 có nghiệm x 2 x 4x 3 k (2) 1 3 2 2 4 4 2 Thế (2) vào (1 ), được: x 2x 3x (x 4x 3) x x(3x 11x 8) 0 3 9 3 (2) x 0 k 3 : y 3x (2) 4 x 1 k 0 : y 3 8 (2) 5 5 128 x k : y x 3 9 9 81 9
  10. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 1 4 2 3 3 Bài 2: Cho hàm số y x 3x (C). Tìm phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A 0; và 2 2 2 tiếp xúc với đồ thị (C). 3 3 3 3 : y : y x : y x 1 : y 2 2 2 2 3 3 1 3 A. : y 2 2x B. : y 2x C. : y 2x D. : y 2x 2 2 2 2 3 3 1 3 : y 2 2x : y 2x : y 2x : y 2x 2 2 2 2 Lời giải: 3 Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và có hệ số góc k có đạng: y kx . 2 ∆ tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ phương trình : 1 3 3 x4 3x2 kx (1) 2 2 2 có nghiệm x 3 2x 6x k (2) 1 3 3 Thế (2) vào (1), ta có: x4 3x2 (2x3 6x)x x2 (x2 2) 0 2 2 2 (2) 3 x 0 k 0 : y 2 (2) 3 x 2 k 2 2 : y 2 2x 2 (2) 3 x 2 k 2 2 : y 2 2x 2 Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của C : 3 x 2 1 Câu 1. y x 3x 1 đi qua điểm A 0; 3 3 1 2 1 1 A. y 3x- B. y 3x C. y x D. y 3x 3 3 3 3 Lời giải: TXĐ: D ¡ Ta có: y' x2 2x 3 Phương trình tiếp tuyến d của C có dạng : y y'(x0 )(x x0 ) y(x0 ) ( trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của d với C ) x3 2 y (x2 2x 3)(x x ) 0 x2 3x 1 (x2 2x 3)x x3 x2 1 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 10
  11. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 1 1 2 3 2 3 2 A 0; d x0 x0 1 2x0 3x0 4 0 x0 2. 3 3 3 1 Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 3x . 3 Câu 2. y x4 4x2 3 đi qua điểm cực tiểu của đồ thị. 16 59 16 5 A. y 3; y x B. y 3; y x 3 9 3 3 9 16 5 16 59 C. y 9 ; y x D. y 3; y x 3 9 3 3 9 Lời giải: Điểm cực tiểu của C là A 0; 3 . Phương trình tiếp tuyến d của C có dạng : y y'(x0 )(x x0 ) y(x0 ) ( trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm của d với C ) 3 4 2 3 4 2 y ( 4x0 8x0 )(x x0 ) x0 4x0 3 ( 4x0 8x0 )x 3x0 4x0 3 4 2 4 2 2 A(0; 3) d 3 3x0 4x0 3 3x0 4x0 0 x0 0 hoặc x0 3 Với x0 0 thì phương trình d: y 3 2 16 59 Với x0 thì phương trình d: y x 3 3 3 9 2 16 59 Với x0 thì phương trình d: y x 3 3 3 9 16 59 16 59 Vậy, tiếp tuyến cần tìm là: y 3, y x , y x 3 3 9 3 3 9 3 2 23 Câu 3. y x 3x 2 đi qua điểm A ; 2 . 9 y 2 y 2 y 2 y 2 A. y 9x 25 B. y x 25 C. y 9x 2 D. y x 5 5 61 5 1 5 61 61 y x y x y x y x 3 27 3 27 3 2 27 Lời giải: Gọi M0 x0 ; y0 C . Phương trình tiếp tuyến d của C tại M0 là 11
  12. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 3 2 2 y y0 y' x0 x x0 y x0 3x0 2 3x0 6x0 x x0 23 Do d đi qua điểm A ; 2 nên 9 3 2 2 23 3 2 2 x0 3x0 2 3x0 6x0 x0 6x0 32x0 46x0 12 0 9 x0 2 y 2 2 x0 2 3x0 10x0 3 0 x0 3 y 9x 25 1 5 61 x y x 0 3 3 27 Câu 4. y x3 2x2 x 4 đi qua điểm M 4; 24 . A. y 3x 508; y x 8; y 5x 4. B. y 13x 5; y 8x 8; y 5x 4. C. y 133x 508; y x 8; y x 4. D. y 133x 508; y 8x 8; y 5x 4. Lời giải: Hàm số đã cho xác định và liên tục trên ¡ . Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị C tại điểm có hoành độ x0 khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: 2 3 2 y y' x0 x x0 y x0 3x0 4x0 1 x x0 x0 2x0 x0 4 2 3 2 Vì đi qua điểm M 4; 24 nên: 24 3x0 4x0 1 4 x0 x0 2x0 x0 4 3 2 x0 5x0 8x0 12 0 x0 6 hoặc x0 1 hoặc x0 2. - Với x0 6 thì phương trình tiếp tuyến là y 133x 508 - Với x0 1 thì phương trình tiếp tuyến là y 8x 8 - Với x0 2 thì phương trình tiếp tuyến là y 5x 4 Vậy, có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 133x 508; y 8x 8; y 5x 4. Bài 4: x2 2x 1 Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y , biết tiếp tuyến đi qua x 2 điểm M(6; 4) . 1 1 1 A. y 5 và y x .B. y 4 và y x . 2 4 2 12
  13. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 3 3 1 C. y 5 và y x 6 .D. y 4 và y x . 4 4 2 Lời giải: Đường thẳng đi qua M(6; 4) với hệ số góc k có phương trình : y k(x 6) 4 1 x k(x 6) 4 (1) x 2 tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x có nghiệm x 0 1 0 1 2 k (2) (x 2) 1 1 Thay (2) vào (1) và biến đổi, ta được: x 1 (x 6) 4 x 0,x 3 0 2 0 0 0 x0 2 (x0 2) 3 Tahy vào (2) ta có: k ,k 0 . 4 3 1 Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y 4 và y x . 4 2 x 2 Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C : y , biết d đi qua điểm A 6; 5 . x 2 x 7 x 5 A. y x 1, y .B. y x 1, y . 4 2 4 2 x 7 x 7 C. y x 1, y .D. y x 1, y . 4 2 4 2 Lời giải: Cách 1: Gọi x0 ; y x0 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d và C , với x 2 4 y x 0 , tiếp tuyến d có hệ số góc y' x , x 2 và d có phương trình: 0 x 2 0 2 0 0 x0 2 4 x 2 y x x 0 2 0 x 2 x0 2 0 4 x 2 d đi qua điểm A 6; 5 nên có 5 6 x 0 phương trình này tương đương 2 0 x 2 x0 2 0 2 với x0 6x0 0 x0 0 hoặc x0 6 Với x0 0 , ta có phương trình: y x 1 x 7 Với x 6 , ta có phương trình: y 0 4 2 x 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y x 1, y . 4 2 13
  14. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Cách 2: Phương trình d đi qua A 6; 5 có hệ số góc k , khi đó d có phương trình là : y k x 6 5 d tiếp xúc C tại điểm có hoành độ x0 khi và chỉ khi hệ : x 2 0 2 k x0 6 5 4x0 24x0 0 x0 2 có nghiệm x hay 4 có nghiệm x 4 0 k 0 k 2 2 x 2 0 x0 2 x 0, k 1 d : y x 1 0 1 x 7 x 6, k d : y 0 4 4 2 x 7 Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y x 1, y . 4 2 Câu 3. Cho hàm số y x3 3x2 9x 11 có đồ thị là C . Lập phương trình tiếp tuyến của đồ 29 thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm I ;184 . 3 A. y 8x 36; y 36x 14; y 15x 9 B. y 40x 76; y 36x 14; y 15x 9 C. y 420x 76; y x 164; y x 39 D. y 420x 3876; y 36x 164; y 15x 39 Lời giải: Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị C tại điểm có hoành độ x0 khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: 2 3 2 y y' x0 x x0 y x0 3x0 6x0 9 x x0 x0 3x0 9x0 11 29 2 29 3 2 Vì đi qua điểm I ;184 nên: 184 3x0 6x0 9 x0 x0 3x0 9x0 11 3 3 3 2 2x0 32x0 58x0 260 0 x0 13 hoặc x0 5 hoặc x0 2. - Với x0 13 thì phương trình tiếp tuyến là y 420x 3876 - Với x0 5 thì phương trình tiếp tuyến là y 36x 164 - Với x0 2 thì phương trình tiếp tuyến là y 15x 39 Vậy, có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 420x 3876; y 36x 164; y 15x 39 Bài 5: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x3 3x2 2 Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 9x – 7 . 14
  15. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN A. y = 9x + 25B. y = 7x + 2C. y = 9x + 5D. y = 9x + 2 Lời giải: Tiếp tuyến (d) của (C) song song với đường thẳng y = 9x – 7 ,suy ra phương trình (d) có dạng : y = 9x + m (m - 7) x3 3x2 2 9x m (1) (d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ 0 0 0 có nghiệm x 0 2 0 3x0 6x0 9 (2) (2) x0 = 1  x0 = - 3 . Lần lượt thay x0 = 1 , x0 = - 3 vào (1) ta được m = - 7 , m = 25 và m = - 7 bị loại Vậy phương trình tiếp tuyến (d): y = 9x + 25. Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(- 2;7). A. y = 9x + 25B. y = 9x + 9C. y = 9x + 2D. y = x + 25 Lời giải: Phương trình tiếp tuyến (D) đi qua A(-2;7) có dạng y = k(x+2) +7 . x3 3x2 2 k(x 2) 7 (3) (D) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ 0 0 0 có nghiệm x 0 2 0 3x0 6x0 k (4) 3 2 2 3 2 Thay (4) vào (3) ta được: x0 3x0 2 (3x0 6x0 )(x0 2) 7 2x0 9x0 12x0 9 0 x0 3 Thay x0 = - 3 vào (4) ta được k = 9. Suy ra phương trình (D): y = 9x + 25. Bài 6: Cho hàm số y (2 x)2 x2 , có đồ thị (C). Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Parabol y x2 . A. y 0 ; y 1; y 24x 6 B. y 9 ; y 1; y 24x 6 C. y 0 ; y 5; y 24x 63 D. y 0 ; y 1; y 24x 63 Lời giải: . Ta có: y x4 4x3 4x2 y' 4x3 12x2 8x Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Parabol y x2 x4 4x3 4x2 x2 x2 (x2 4x 3) 0 x 0,x 1,x 3 . • x 0 ta có phương trình tiếp tuyến là: y 0 . • x 1 ta có phương trình tiếp tuyến là: y 1 • x 3 ta có phương trình tiếp tuyến là: y 24x 63 . Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2;0) . 15
  16. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 2 6 32 32 4 32 64 A. y x B. y x 9 C. y x D. y x 27 27 27 27 27 27 27 Lời giải: 4 3 2 3 2 Ta có: y x 4x 4x y' 4x 12x 8x Cách 1: Gọi M(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình : 3 2 y (4x0 12x0 8x0 )(x x0 ) y0 . 3 2 2 2 A 0 (4x0 12x0 8x0 )(2 x0 ) x0 (x0 2) 4 (2 x )(3x3 10x2 8x ) 0 x 0,x 2,x . 0 0 0 0 0 0 0 3 * x0 0 y'(x0 ) 0, y0 0 Phương trình tiếp tuyến y 0 * x0 2 y'(x0 ) 0, y0 0 Phương trình tiếp tuyến y 0 4 32 64 32 64 * x y'(x ) , y Phương trình tiếp tuyến: y x . 3 0 27 0 81 27 27 Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua A, có hệ số góc k d : y k(x 2) 2 2 (2 x0 ) x0 k(x0 2) d tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x0 khi hệ có nghiệm x0 4x0 (x0 2)(x0 1) k Thay k vào phương trình thứ nhất ta được: 4 3 2 3 2 2 x0 4x0 4x0 (x0 2)(4x0 12x0 8x0 ) x0 (3x0 4)(x0 2) 0 4 x 0,x 2,x . 0 0 0 3 * x0 0 k 0 Phương trình tiếp tuyến y 0 * x0 2 k 0 Phương trình tiếp tuyến y 0 4 32 32 64 * x k Phương trình tiếp tuyến y x . 0 3 27 27 27 Bài 7: x3 1 Câu 1. Tìm m để (Cm): y (m 2)x2 2mx 1 tiếp xúc với đường thẳng y = 1 3 2 2  2  2  A. m 0; ; 2 B. m 4; ;6 C. m 0; 4;6 D. m 0; ;6 3  3  3  Lời giải: (Cm) tiếp xúc đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ x0 khi hệ sau 3 x0 1 2 (m 2)x0 2mx0 1 1 (a) 3 2 có nghiệm x0 . 2 x0 (m 2)x0 2m 0 (b) 16
  17. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN (b) x0 2  x0 m. 2 Thay x 2 vào (a) ta được m . 0 3 m3 Thay x m vào (a) ta được m2 0 m 0  m 6. 0 6 2  Vậy (Cm) tiếp xúc đường thẳng y = 1 m 0; ;6 3  x 2 Câu 2. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = . M(0;m) là một điểm thuộc trục Oy .Với giá trị 2x 1 nào của m thì luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) đi qua M và tiếp điểm của tiếp tuyến này với (C) có hoành độ dương. A. m 0B. m 0C. m<0D. m 0 Lời giải: Phương trình của đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc k : y = kx + m. x0 2 kx0 m (1) 2x0 1 (d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x0 khi hệ sau có nghiệm x0 . 3 k (2) 2 (2x0 1) x 2 3x 0 0 2 Thay (2) vào (1) ta được : 2 m (x0 2)(2x0 1) 3x m(2x0 1) (3) (do 2x0 1 (2x0 1) 1 x = không phải là nghiệm của (3)) (4m 2)x2 4(m 2)x m 2 0 (4) 0 2 0 0 Yêu cầu của bài toán Phương trình (4) có ít nhất một nghiệm dương với mọi m 0. Vì m 0 nên 4m – 2 < 0 suy ra (4) có nghiệm ' 4(m 2)2 (4m 2)(m 2) 0 m 2 0 . Bất đẳng thức này đúng với mọi m 0. Khi đó gọi x1 ,x2 là hai nghiệm của phương trình (4). 4(m 2) x1 x2 0 4m 2 Ta có m 0 , ,suy ra x 0,x 0 m 2 1 2 x x 0 1 2 4m 2 Vậy, với mọi m 0 luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) đi qua M và hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) là số dương. Bài 8: Câu 1. Cho hàm số y x3 3x 2 .Tìm trên đường thẳng d : y 4 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C). A. ( 1; 4); 7; 4 ; (2; 4) . B. ( 1; 4); 7; 4 ; (9; 4). 17
  18. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 2 C. ( 2; 4) ; 5; 4 ; (2; 4) .D. ( 1; 4); ; 4 ; (2; 4) . 3 Lời giải: Gọi M(m; 4) d . Phương trình đường thẳng qua M có dạng: y k(x m) 4 là tiếp tuyến của (C) hệ phương trình sau có nghiệm x: x3 3x 2 k(x m) 4 (1) (*) 2 3x 3 k (2) 2 Thay (2) vào (1) ta được: (x 1) 2x (3m 2)x 3m 2 0 (3) x 1 hoặc 2x2 (3m 2)x 3m 2 0 (4) Theo bài toán (*) có nghiệm x, đồng thời (2) có 2 giá trị k khác nhau, tức là phương trình (3) có nghiệm x phân biệt thỏa mãn 2 giá trị k khác nhau. + TH1: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng –1 m 1 2 + TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 m hoặc m 2 3 2 Vậy các điểm cần tìm là: ( 1; 4); ; 4 ; (2; 4) . 3 Câu 2. Cho hàm số y x3 3x2 2 .Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). 1 m 2  m A. M(m; 2) (d) với 3 B. M(m; 2) (d) với m 7 m 2 4 5 m 3  m m 1  m C. M(m; 2) (d) với 3 D. M(m; 2) (d) với 3 m 2 m 2 Lời giải: Gọi M(m; 2) (d) . Phương trình đường thẳng đi qua điểm M có dạng : y k(x m) 2 là tiếp tuyến của (C) hệ phương trình sau có nghiệm x: x3 3x2 2 k(x m) 2 (1) (*). 2 3x 6x k (2) Thay (2) và (1) ta được: 2x3 3(m 1)x2 6mx 4 0 2 2 (x 2) 2x (3m 1)x 2 0 x 2 hoặc f (x) 2x (3m 1)x 2 0 (3) Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) hệ (*) có nghiệm x phân biệt đồng thời (2) có 3 giá trị k khác nhau (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2 và có giá trị x thỏa 18
  19. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 5 0 m 1  m phương trình (2) có 3 giá trị k khác nhau 3 . f (2) 0 m 2 5 m 1  m Vậy ,M(m; 2) (d) với 3 có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C). m 2 2 Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến d tiếp xúc với đồ thị H : y x2 1 của hàm số tại đúng 2 điểm phân biệt. A. y 2x B. y 0 C. y 2x 1 D. y 1 Lời giải: 2 Giả sử d là đường thẳng tiếp xúc với H tại điểm M m; m2 1 . Khi đó đường thẳng d có 2 phương trình: y 2m m2 1 x m m2 1 Đường thẳng d tiếp xúc với H tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi hệ phương trình 2 2 2 2 2 x 1 2m m 1 x m m 1 có đúng một nghiệm khác m tức hệ 2 2 2x x 1 2m m 1 2 2 3 3 x m x x mx m m 2x 0 x m có đúng một nghiệm khác m hay có 2 2 x2 mx m2 1 0 x m x mx m 1 0 nghiệm x 1,m 1 hoặc x 1,m 1. Vậy y 0 thỏa đề bài. Bài 9. Cho hàm số y x4 2x2 3 , có đồ thị là C Câu a. Tìm trên đồ thị C điểm B mà tiếp tuyến với C tại điểm đó song song với tiếp tuyến với C tại điểm A 1; 2 . A. B 1; 2 B. B 0; 3 C. B 1; 3 D. B 2; 3 Lời giải: B 0; 3 , y 3. Câu b. Tìm trên đường thẳng y 2 những điểm mà qua đó ta kẻ được 4 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị C . A. M 0; 2 , M 1; 2 B. M 0; 2 , M 3; 2 C. M 5; 2 , M 1; 2 D. Không tồn tại Bài làm: b. Gọi M m; 2 là điểm thuộc đường thẳng y 2 . Phương trình đường thẳng đi qua M m; 2 có hệ số góc là k và d : y k x m 2 . d tiếp xúc C tại điểm có hoành độ x0 19
  20. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 4 2 x0 2x0 3 k x0 m 2 1 khi hệ có nghiệm x suy ra phương trình: 3 0 4x0 4x0 k 2 2 2 x0 1 3x0 4ax0 1 0 có nghiệm x0 . Qua M kẻ được 4 tiếp tuyến đến C khi phương trình có 4 nghiệm phân biệt và phương trình 2 có 4 giá trị k khác nhau. 2 Dễ thấy x0 1 0 k 1 k 1 , do đó không thể tồn tại 4 giá trị k khác nhau để thỏa bài toán. Tóm lại, không có tọa độ M thỏa bài toán. Bài 10 . Cho hàm số : y x4 2x2 có đồ thị là C . Câu a. Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ. 6 6 A. t : y 0; t : y x; t : y x B. 1 2 9 3 9 4 6 4 6 t : y 0; t : y x; t : y x 1 2 7 3 7 4 4 4 6 4 6 C. t : y 0; t : y x; t : y x D. t : y 0; t : y x; t : y x 1 2 9 3 9 1 2 9 3 9 Lời giải: a. Gọi A x0 ; y0 C .Phương trình tiếp tuyến t của C tại A là: 4 2 3 y x0 2x0 4x0 4x0 x x0 . t đi qua O 0;0 nên 4 2 4 4 2 6 x0 2x0 4x0 4x0 x0 3x0 2x0 0 x0 0,x0 3 Thay các giá trị của x0 vào phương trình của t ta được 3 tiếp tuyến của C kẻ từ O 0;0 là: 4 6 4 6 t : y 0; t : y x; t : y x 1 2 9 3 9 Câu b Tìm những điểm M trên trục Oy để từ M kẻ được 4 tiếp tuyến đến C . 1 A. M 0; m với 0 m 1 B. M 0; m với 1 m 3 2 1 C. M 0; m với 0 m D. M 0; m với 0 m 3 3 Lời giải: b. M Oy M 0; m ; B C B x0 ; y0 4 2 3 Phương trình tiếp tuyến T của C tại B là y x0 2x0 4x0 4x0 x x0 . T đi qua 4 2 4 4 2 M 0; m nên m x0 2x0 4x0 4x0 x0 3x0 2x0 m 0 * 20
  21. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 3 Do hệ số góc của tiếp tuyến là k 4x0 4x0 nên hai giá trị khác nhau của x0 cho hai giá trị khác nhau của k nên cho hai tiếp tuyến khác nhau Vậy từ M 0; m kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị C khi và chỉ khi phương trình * có 4 nghiệm phân biệt. 2 2 Đặt X x0 ta có phương trình 3X 2X m 0 * * Phương trình * có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi * * có 2 nghiệm phân biệt , 1 3m 0 m 1 1 P 0 0 m . Vậy từ những điểm M 0; m với 0 m kẻ được 4 tiếp tuyến 3 3 3 2 S 0 3 đến đồ thị C của hàm số đã cho. Câu c. Tìm những điểm N trên đường thẳng d : y 3 để từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến C . A. N n; 3 , n 3 B. N n; 3 , n 3 C. N n; 3 , n 2 D. N n; 3 , n 13 Lời giải: c. N d : y 3 N n; 3 ; I C I x0 ; y0 4 2 3 Phương trình tiếp tuyến của C tại I là: y x0 2x0 4x0 4x0 x x0 . đi qua 4 2 4 4 2 2 N n; 3 nên 3 x0 2x0 4x0 4x0 n x0 3x0 4nx0 2x0 4nx0 3 0 4 3 2 3 x0 1 4n x0 x0 2x0 0 * .Do x0 0 không phải là nghiệm của * .Phương trình 1 1 * 3 x2 4n x 2 0 * * 0 2 0 x0 x0 1 2 Đặt t x0 x0 tx0 1 0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọit x0 Ta có phương trình * * 3t2 4nt 4 0 * * * 3 Do hệ số góc của tiếp tuyến là k 4x0 4x0 nên hai giá trị khác nhau của x0 cho hai giá trị khác nhau của k nên cho hai tiếp tuyến khác nhau Vậy từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị C khi và chỉ khi phương trình * có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi * * có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình * * * có 2 nghiệm phân biệt ' 4n2 12 0 n2 3 0 n 3 . Vậy từ những điểm N trên đường thẳng y 3với n 3 kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị C của hàm số đã cho. Bài 10: 21
  22. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 1 Câu 1. Cho hàm số y mx3 (m 1)x2 (4 3m)x 1 có đồ thị là C . Tìm các giá trị m sao 3 m cho trên đồ thị Cm . tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d : x 2y 3 0 . 2 1 A. m 12 hoặc m .B. m 0 hoặc m 1 C. m 1 hoặc m 3 3 2 D. m 0 hoặc m 3 Lời giải: 1 . d có hệ số góc tiếp tuyến có hệ số góc k 2 . Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì: 2 y' 2 mx2 2(m 1)x (4 3m) 2 mx2 2(m 1)x 2 3m 0 Theo bài toán, phương trình có đúng một nghiệm âm. Nếu m 0 thì 2x 2 x 1 (không thỏa) 2 3m Nếu m 0 thì dễ thấy phương trình có 2 nghiệm là x 1 hay x m 2 3m 2 Do đó để có một nghiệm âm thì 0 m 0 hoặc m . m 3 1 Câu 2. Cho hàm số y mx3 (m 1)x2 (4 3m)x 1 có đồ thị là C . Tìm các giá trị m sao 3 m cho trên đồ thị Cm . tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d : x 2y 3 0 . 1 1 2 1 1 5 A. m 0;  ; B. m 0;  ; 3 2 3 2 2 3 1 1 8 1 1 2 C. m 0;  ; D. m 0;  ; 2 2 3 2 2 3 Lời giải: 1 3 Ta có: y mx2 2(m 1)x 4 3m ; d : y x . 2 2 Theo yêu cầu bài toán phương trình y 2 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt mx2 2(m 1)x 2 3m 0 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt m 0 1 0 m 0 2 . S 0 1 2 m P 0 2 3 22
  23. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 1 1 2 Vậy, với m 0;  ; thỏa mãn bài toán 2 2 3 x 2 Câu 3. Cho hàm số: y có đồ thị là C . Cho điểm A(0; a) . Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp x 1 tuyến tới đồ thị C sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành. 1 2 2 A. a 1 B. a 2 C. 1 a 1 D. a 1 3 3 3 Lời giải: Phương trình đường thẳng d đi qua A(0; a) và có hệ số góc k : y kx a x 2 kx a x 1 d tiếp xúc C tại điểm có hoành độ x khi hệ: có nghiệm x 3 k 2 (x 1) (1 a)x2 2(a 2)x (a 2) 0 1 có nghiệm x 1. Để qua A có 2 tiếp tuyến thì 1 phải có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 a 1 a 1 2 3a 6 0 a 2 2(a 2) a 2 3 3 Khi đó ta có: x1 x2 , x1x2 và y1 1 , y2 1 a 1 a 1 x1 1 x2 1 Để 2 tiếp điểm nằm về 2 phía đối với trục hoành thì y1.y2 0 3 3 x .x 2(x x ) 4 2 1 . 1 0 1 2 1 2 0 3a 2 0 a x1 1 x2 1 x1.x2 (x1 x2 ) 1 3 2 Đối chiếu với điều kiện 2 ta được: a 1. 3 2x3 Bài 11: Cho hàm số y x2 4x 2 , gọi đồ thị của hàm số là (C). 3 Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) có hệ số góc lớn nhất. 9 25 25 9 25 7 5 A. y x B. y 5x C. y x D. y x 2 12 12 4 12 2 12 Lời giải: Gọi (d) là tiếp tuyến cần tìm phương trình và x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C) thì hệ số 2 2 9 1 9 9 1 góc của (d): k y'(x0 ) 2x0 2x0 4 x0 k x0 . 2 2 2 2 2 9 1 Vậy maxk đạt được khi và chỉ khi x . 2 0 2 23
  24. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 9 1 1 9 25 Suy ra phương trình tiếp tuyến (d) : y x y x . 2 2 2 2 12 Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(2;9). A. y = - x + 2B. y = - 8x + 5C. y = x + 25D. y = - 8x + 25 Lời giải: Phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A(2;9) có hệ số góc k là y k(x 2) 9 3 2x0 2 x0 4x0 2 k(x0 2) 9 (1) (D) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x0 khi hệ 3 có 2 2x0 2x0 4 k (2) nghiệm x0 . 2x3 Thay (2) vào (1) ta được : 0 x2 4x 2 ( 2x2 2x 4)(x 2) 9 3 0 0 0 0 0 3 2 4x0 15x0 12x0 9 0 x0 3 Thay x0 = 3 vào (2) ta được k = - 8 . Vậy phương trình tiếp tuyến (D) là y = - 8x + 25. x2 Bài 12: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y . 2 x 4 Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y x 1. 3 3 7 3 1 3 3 A. d : y x , y x B. d : y x, y x 1 4 2 4 2 4 4 3 9 3 1 3 9 3 1 C. d : y x , y x D. d : y x , y x 4 2 4 2 4 2 4 2 Lời giải: 4 Tiếp tuyến (d) của (C) vuông góc đường thẳng y x 1 suy ra phương trình (d) có dạng : 3 3 y x m . 4 2 x0 3 x0 m 2 x0 4 (d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x0 khi hệ có nghiệm x0 x2 4x 3 0 0 2 (2 x0 ) 4 x2 4x 3 3 9 3 1 0 0 x 6  x 2 d : y x , y x . 2 4 0 0 4 2 4 2 (2 x0 ) Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(2; - 2). 3 1 3 1 A. y x B. y x 4 2 4 2 24
  25. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 3 7 3 5 C. y x D. y x 4 2 4 2 Lời giải: Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) đi qua A(2 ; - 2) có dạng : y = k(x – 2) – 2 . 2 x0 k(x0 2) 2 (1) 2 x0 (d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ có nghiệm 0 x2 4x 0 0 k 2 (2 x0 ) x2 x2 4x 3 1 0 0 0 x0 2 (x0 2) 2 x0 2 y x 2 x0 (2 x0 ) 4 2 Câu 3. Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M. A. y 9 B. y 64 C. y 12 D. y 8 Lời giải: 2 2 xM xM M (C) yM y 2 x M 2 x . d(M,Ox) 2d(M,Oy) M M yM 2 xM yM 2xM 2 4 xM yM 2xM x y 2x M yM 2 M M xM 0 3 (*) 2 x x  M M 2 2xM 3xM 4xM 0 yM 0 8 y 2x 2 x y M M M M 3 4 8 Vì M không trùng với gốc tọa độ O nên chỉ nhận M ; . 3 3 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y = 8x – 8. x2 y 2x y M M M y 2x x 4 (*) M 2 x x2 M M M (do M O). M M 2 2xM xM 4xM 0 yM 8 yM 2xM 2 xM Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y 8 . Bài 13: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = 2x3 3(m 1)x2 mx m 1 và (d) là tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x = - 1. Tìm m để Câu 1. (d) đi qua điểm A(0;8). A. m 0 B. m 1 C. m 2 D. m 3 Lời giải: Ta có y' 6x2 6(m 1)x m , suy ra phương trình tiếp tuyến (d) là y y'( 1)(x 1) y( 1) (12+7m)(x+1) – 3m – 4 y (12+7m)x +4m+8 25
  26. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN A(0;8) (d) 8 = 4m +8 m 0 . 8 Câu 2. (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . 3 5 5 5 5 m 0  m m 0  m m 0  m m 0  m 3 3 3 3 A. . B. . C. . D. . 9 73 19 73 9 3 19 73 m m m m 6 6 6 6 Lời giải: Ta có y' 6x2 6(m 1)x m , suy ra phương trình tiếp tuyến (d) là y y'( 1)(x 1) y( 1) (12+7m)(x+1) – 3m – 4 y (12+7m)x +4m+8 4m 8 Gọi P,Q lần lượt là giao điểm của (d) với trục Ox và Oy thì P ;0 , Q(0; 4m+8). 12 7m 2 1 1 4m 8 8m 32 32m Diện tích: OPQ:S OP.OQ 4m 8 2 2 12 7m 12 7m 8 8 S 8m2 32m 32 12 7m 3 3 2 8 5 8m 32m 32 (12 7m) 2 5 m 0  m m m 0 3 3 3 . 2 8 2 19 73 8m 32m 32 (12 7m) 3m 19m 24 0 m 3 6 x4 Bài 14: Cho hàm số y 2x2 4 , có đồ thị là ( C ). 4 Câu 1. Tìm tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol P : y x2 m . A. m 4; m 20 B. m 124; m 2 C. m 14; m 20 D. m 4; m 2 Lời giải: (C) tiếp xúc (P) tại điểm có hoành độ x0 khi hệ sau có nghiệm x0 x4 0 2x2 4 x2 m x 0 x 6 4 0 0 0  0 3 m 4 m 20 x0 4x0 2x0 Câu 2. Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x = a .Tìm a để (d) cắt lại (C) tại hai điểm E, F khác M và trung điểm I của đoạn E, F nằm trên parabol (P’): y x2 4 . A. a = 0B. a = -1C. a = 2 D. a = 1 Lời giải: Phương trình tiếp tuyến (d): a4 a4 3a4 y y'(a)(x a) 2a2 4 (a3 4a)(x a) 2a2 4 (a3 4a)x 2a2 4 4 4 4 26
  27. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): x4 3a4 2x2 4 (a3 4a)x 2a2 4 x4 8x2 4(a3 4a)x 3a4 8a2 0 4 4 x a 2 2 2 (x a) (x 2ax 3a 8) 0 2 2 x 2ax 3a 8 0 (3) (d) cắt (C) tại hai điểm E,F khác M Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác a 2 a 2 ' a2 3a2 8 0 .(*) 2 2 6a 8 0 a 3 Tọa độ trung điểm I của E,F : x x x E F a x a I I 2 4 4 7a 2 3 3a 2 yI 6a 4 yI (a 4a)( a) 2a 4 (do I (d)) 4 4 4 2 2 7a 2 2 2 a a 0 I (P) : y x 4 6a 4 a 4 7a (1 ) 0 . 4 4 a 2 So với điều kiện (*) nhận a = 0. Bài 15: x2 x 1 Câu 1. Tìm m để đồ thị hàm số y tiếp xúc với Parabol y x2 m . x 1 A. m 2 B. m 0 C. m 1 D. m 3 Lời giải: Hai đường cong đã cho tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 hệ phương trình : x2 x 1 0 0 x2 m (1) x 1 0 0 có nghiệm x . x2 2x 0 0 0 2x (2) 2 0 (x0 1) 2 Ta có: (2) x0 (2x0 5x0 4) 0 x 0 thay vào (1) ta được m 1. Vậy m 1 là giá trị cần tìm. Câu 2. Tìm m để đồ thị hai hàm số sau tiếp xúc với nhau 3 2 3 (C1 ) : y mx (1 2m)x 2mx và (C2 ) : y 3mx 3(1 2m)x 4m 2 . 1 3 6 1 8 6 5 3 6 1 3 6 A. m ,m B. m ,m C. m ,m D. m ,m 2 2 2 12 2 12 2 12 Lời giải: 27
  28. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN (C1 ) và (C2 ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 hệ phương trình sau có nghiệm x0 : 3 2 3 mx0 (1 2m)x0 2mx0 3mx0 3(1 2m)x0 4m 2 2 2 3mx0 2(1 2m)x0 2m 9mx0 3(1 2m) 2mx3 (1 2m)x2 (3 8m)x 4m 2 0 (1) 0 0 0 có nghiệm x 2 0 6mx0 2(1 2m)x0 3 8m 0 (2) 2 Ta có : (1) (x0 1)(2mx0 (1 4m)x0 4m 2) 0 x 1 0 2 2mx0 (1 4m)x0 4m 2 0 1 • Với x 1 thay vào (2), ta có: m . 0 2 2 • Với 2mx0 (1 4m)x0 4m 2 0 (*) ta có : x0 1 2 (2) 4mx0 x0 1 4m 0 1 4m (m 0 vì m 0 hệ vô nghiệm) x 0 4m 1 4m Thay x vào (*) ta được: 0 4m (1 4m)2 (1 4m)2 2 4m 0 8m 4m 3 6 48m2 24m 1 0 m . 12 1 3 6 Vậy m ,m là những giá trị cần tìm. 2 12 Câu 3. Tìm tham số m để đồ thị (Cm) của hàm số y x3 4mx2 7mx 3m tiếp xúc với parabol P : y x2 – x 1 1  3  1  A. m 2; 7;1 B. m 5; ;78 C. m 2; ;1 D. 2; ;1 4  4  4  Lời giải: (Cm) tiếp xúc với (P) tại điểm có hoành độ x0 khi hệ x3 4mx2 7mx 3m x2 x 1 (1) 0 0 0 0 0 (A) có nghiệm x . 2 0 3x0 8mx0 7m 2x0 1 3 2 Giải hệ (A), (1) x0 (4m 1)x0 (7m 1)x0 3m 1 0 x 1 2 0 (x0 1)(x0 4mx0 3m 1) 0 2 x0 4mx0 3m 1 0 28
  29. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN x 1 x2 4mx 3m 1 0 Vậy (A) 0  0 0 2 2 3x0 2(4m 1)x0 7m 1 0 (2) 3x0 2(4m 1)x0 7m 1 0 (2) Thay x0 = 1 vào (2) ta được m = 2. 3x2 2(4m 1)x 7m 1 0 (2) 3x2 2(4m 1)x 7m 1 0 (2) Hệ 0 0 0 0 2 2 x0 4mx0 3m 1 0 (3) 3x0 12mx0 9m 3 0 (4) Trừ hai phương trình (2) và (4) ,vế với vế ta được. 4m x0 – 2 x0 – 2m – 2 = 0 (2m 1)x0 m 1 (5). 1 m 1 Khi m = thì (5) trở thành 0 = 3/2 (sai) do đó (5) x . 2 0 2m 1 m 1 Thay x = vào phương trình (3) ,ta được 0 2m 1 2 m 1 m 1 4m 3m 1 0 2m 1 2m 1 1 4m3 11m2 5m 2 0 m 2  m  m 1. 4 1  Vậy các giá trị m cần tìm là m 2; ;1 . 4  x2 x 1 Bài 16: Cho hàm số y có đồ thị (C) x 1 Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 3x 4y 1 0 . 3 3 3 3 3 5 A. y x ; y x 1 B. y x 3 ; y x 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 5 C. y x 9 ; y x 7 D. y x ; y x 4 4 4 4 4 4 x2 2x Ta có y' . (x 1)2 Gọi M(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với (C) x2 2x x2 x 1 0 0 0 0 d : y 2 (x x0 ) . (x0 1) x0 1 Lời giải: 3 1 Vì d song song với đường thẳng : y x , nên ta có: 4 4 29
  30. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN x2 2x 3 0 0 2 2 x0 2x0 3 0 x0 1,x0 3 . (x0 1) 4 3 3 • x 1phương trình tiếp tuyến: y x . 0 4 4 3 5 • x 3 phương trình tiếp tuyến: y x . 0 4 4 Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) xuất phát từ M( 1; 3) . A. y 3x 1; y 3x B. y 13 ; y 3x C. y 3; y 3x 1 D. y 3; y 3x Lời giải: x2 2x Ta có y' . (x 1)2 Gọi M(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với (C) x2 2x x2 x 1 0 0 0 0 d : y 2 (x x0 ) (x0 1) x0 1 x2 2x x2 x 1 0 0 0 0 Cách 1: M d 3 2 ( 1 x0 ) (x0 1) x0 1 2 2 2 3(x0 1) (x0 2x0 )( x0 1) (x0 1)(x0 x0 1) 1 2x2 5x 2 0 x 2,x . 0 0 0 0 2 • Với x0 2 Phương trình tiếp tuyến y 3. 1 • Với x Phương trình tiếp tuyến y 3x . 0 2 Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua M( 1; 3) , có hệ số góc k, khi đó phương trình d có dạng: y k(x 1) 3 d tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x0 khi hệ phương trình sau có nghiệm x0 : x2 x 1 0 0 k(x 1) 3 (1) x 1 0 0 x2 2x 0 0 k (2) 2 (x0 1) x2 x 1 x2 2x 0 0 0 0 Thế (2) vào (1) ta được: 2 (x0 1) 3 x0 1 (x0 1) 1 2x2 5x 2 0 x 2,x . 0 0 0 0 2 • Với x0 2 k 0 Phương trình tiếp tuyến y 3. 30
  31. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 1 • Với x k 3 Phương trình tiếp tuyến y 3x . 0 2 Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua giao điểm hai đường tiệm cận của (C). A. y 2x 1 B. y 3x 2 C. y 4x 3 D.Không tồn tại Lời giải: x2 2x Ta có y' . (x 1)2 Gọi M(x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với (C) x2 2x x2 x 1 0 0 0 0 d : y 2 (x x0 ) Đồ thị có hai tiệm cận x 1 và y x suy ra giao điểm của hai (x0 1) x0 1 tiệm cận là I(1;1) . x2 2x x2 x 1 0 0 0 0 Cách 1: I d 1 2 (1 x0 ) (x0 1) x0 1 2 2 x0 1 x0 2x0 x0 x0 1 2 0 vô nghiệm. Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I . Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua I, có hệ số góc k d : y k(x 1) 1 x2 x 1 0 0 k(x 1) 1 x 1 0 d là tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ x khi hệ 0 có nghiệm x 0 x2 2x 0 0 0 k 2 (x0 1) x2 x 1 x2 2x Thế k vào phương trình thứ hai ta được: 0 0 0 0 1 x0 1 x0 1 2 2 x0 x0 1 x0 2x0 x0 1phương trình vô nghiệm Vậy qua I không có tiếp tuyến nào kẻ đến (C). Bài 17: x 2 Câu 1. Cho hàm số: y có đồ thị là (C) và điểm A 0; m . Xác định m để từ A kẻ được 2 x 1 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox. m 1 m 1 m 1 m 1 A. 1 B. 2 C. D. 2 m m m 1 m 3 5 3 Lời giải: 31
  32. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Cách 1: Gọi điểm M(x0 ; y0 ) (C) . Tiếp tuyến tại M của (C) có phương trình 3 x 2 0 y 2 (x x0 ) . (x0 1) x0 1 3x x 2 0 0 2 A m 2 m(x0 1) 3x0 (x0 2)(x0 1) 0 (với x0 1) (x0 1) x0 1 2 (m 1)x0 2(m 2)x0 m 2 0 (*). Yêu cầu bài toán (*) có hai nghiệm a,b khác 1 sao cho ' 3(m 2) 0 m 1 (a 2)(b 2) ab 2(a b) 4 0 hay là: m 1 0 2 . (a 1)(b 1) ab (a b) 1 m 3m 2 0 3 m 1 Vậy 2 là những giá trị cần tìm. m 3 Cách 2: Đường thẳng d đi qua A, hệ số góc k có phương trình: y kx m . x0 2 kx0 m x 1 d là tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x khi hệ 0 có nghiệm x . Thế k vào 0 3 0 k 2 (x0 1) phương trình thứ nhất, ta đươc: x 2 3x 0 0 2 2 m (m 1)x0 2(m 2)x0 m 2 0 (*). x0 1 (x0 1) Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 ' 3(m 2) 0 m 2 m 1 (i) m 1 m 1 2(m 2) m 2 0 Khi đó tọa độ hai tiếp điểm là: M1(x1 ; y1 ), M2 (x2 ; y2 ) với x1,x2 là nghiệm của (*) và x1 2 x2 2 y1 ; y2 x1 1 x2 1 x1x2 2(x1 x2 ) 4 Để M1, M2 nằm về hai phía Ox thì y1.y2 0 0 (1) x1x2 (x1 x2 ) 1 2(m 2) m 2 Áp dụng định lí Viet: x x ; x x . 1 2 m 1 1 2 m 1 9m 6 2 (1) 0 m . 3 3 32
  33. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 2 m Kết hợp với (i) ta có 3 là những giá trị cần tìm. m 1 Câu 2. Tìm tham số m để đồ thị (C) : y x3 2(m 1)x2 5mx 2m của hàm số tiếp xúc với trục hoành. 4  4  4  A. m 0;1;  B. m 0;1; 2 C. m 1; 2;  D. m 0;1; 2;  3 3 3 Lời giải: (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ x0 khi hệ x3 2(m 1)x2 5mx 2m 0 0 0 0 (A) có nghiệm x . 2 0 3x0 4(m 1)x0 5m 0 Giải hệ (A). (x 2)(x2 2mx m) 0 x 2 (A) 0 0 0 0 2 2 3x0 4(m 1)x0 5m 0 3x0 4(m 1)x0 5m 0 (1) x2 2mx m 0 4 Hoặc 0 0 Thay x = 2 vào (1) ta được m . 2 0 3 3x0 4(m 1)x0 5m 0 x2 2mx m 0 (2) 3x2 6mx 3m 0 (3) Hệ 0 0 0 0 2 2 3x0 4(m 1)x0 5m 0 3x0 4(m 1)x0 5m 0 (1) Trừ hai phương trình (1) và (3) , vế với vế ta được m (m 2)x m x . 0 0 m 2 m m2 2m2 Thay x vào (1), ta được : m 0 0 m 2 (m 2)2 m 2 4  m3 3m2 2m 0 m 0  m 1 m 2 .Vậy m 0;1; 2;  . 3 4 2 Câu 3. Gọi Cm là đồ thị của hàm số y = x (m 1)x 4m . Tìm tham số m để Cm tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 3 tại hai điểm phân biệt . A. m = 1  m = 3. B. m = 1  m = 16.C. m = 2  m = 13.D. m = 1  m = 13. Lời giải: x4 (m 1)x2 4m 3 (1) C tiếp xúc với (d) tại điểm có hoành độ x khi hệ 0 0 (A) có nghiệm m 0 3 4x0 2(m 1)x0 0 (2) x0 . m 1 Giải hệ (A), (2) x 0 hoặc x2 0 0 2 33
  34. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 3 Thay x = 0 vào (1) ta được m = . 0 4 2 2 2 m 1 m 1 (m 1) Thay x0 vào (1) ta được 4m 3 2 2 2 m2 14m 13 0 m 1  m 13. 3 3 Khi m thì C tiếp xúc với (d) tại chỉ một điểm (0;3) nên m không thỏa mãn yêu cầu 4 m 4 của bài toán. 2 Khi m= 1 thì x0 1 x0 1 ,suy ra Cm tiếp xúc với (d) tại hai điểm ( 1; 3). 2 Khi m = 13 thì x0 7 x0 7 ,suy ra Cm tiếp xúc với (d) tại hai điểm ( 7; 3) . Vậy các giá trị m cần tìm là m = 1  m = 13. Bài 18: Tìm tất cả các điểm trên Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y x 4x2 2x 1 . 1 A. M(0;m) với 2 m 1 B. M(0;m) với m 5 2 1 C. M(0;m) với m 1 D. M(0;m) với 1 m 5 2 Lời giải: Xét M(0; m) Oy . Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình: y kx m . x 4x2 2x 1 kx m 0 0 0 0 d là tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành đồ x0 khi hệ 4x0 1 có nghiệm x0 . 1 k 2 4x0 2x0 1 Thay k vào phương trình thứ nhất ta được: 4x2 x x 4x2 2x 1 x 0 0 m 4x2 2x 1 4x2 x m 4x2 2x 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 4x0 2x0 1 x 1 m 0 f (x ) (*) 2 0 4x0 2x0 1 Để từ M kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (*) có ít nhất một nghiệm. 3x Xét hàm số f( x ), ta có: f '(x ) 0 f '(x ) 0 x 0 0 0 2 3 0 0 ( 4x0 2x0 1) 1 1 Mặt khác: lim f (x ) ; lim f (x ) x 0 2 x 0 2 Bảng biến thiên: 34
  35. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN x0 0 f '(x0 ) 0 1 f (x0 ) 1 2 1 2 1 (*) có nghiệm m 1. 2 1 Vậy M(0;m) với m 1 là những điểm cần tìm. 2 Bài 19: Cho hàm số: y 4x3 3x 2 , có đồ thị là C . Câu 1. Tìm a để phương trình 4x3 3x 2a2 3a 0 có hai nghiệm âm và một nghiệm dương; 1 A. 0 a hoặc 1 a 5 .B. 0 a 2 hoặc 2 a 9 . 2 1 3 C. 0 a hoặc 1 a .D. 0 a 4 hoặc 6 a 89 . 2 2 Lời giải: Phương trình: 4x3 3x 2a2 3a 0 tương đương với phương trình : 4x3 3x 2 2a2 3a 2 . Phương trình đã cho có hai nghiệm âm và một nghiệm dương khi và chỉ khi đường thẳng y 2a2 3a 2 cắt đồ thị y 4x3 3x 2 tại ba điểm trong đó có hai điểm có hoành độ âm và 0 2a2 3a 1 một điểm có hoành độ dương. Từ đồ thị suy ra: 1 2a2 3a 2 2 tức ta có hệ: 2 2a 3a 0 1 3 hay 0 a hoặc 1 a . 2 2 Câu 2. Tìm những điểm trên đường thẳng y 3 để từ đó có thể vẽ được ba đường thẳng tiếp xúc với đồ thị C . 1 1 1 A. m 1 hoặc m 2 B. m 1 hoặc m 3 3 2 1 1 1 C. m 2 hoặc m D. m 3 hoặc 1 m 3 2 2 Lời giải: Giả sử M m; 3 là điểm cần tìm và d là đường thẳng qua M có hệ số góc là k , phương trình có dạng: y k x m 3 . 35
  36. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị C tại điểm N x0 ; y0 khi hệ : 3 4x0 3x0 2 k x0 m 3 có nghiệm x , từ hệ suy ra 4x3 3x 2 ' k x m 3 ' 0 0 0 0 2 2x0 1 4x0 2 3m 1 x0 3m 1 0 1 có nghiệm x0 . Qua M kẻ được 3 đường thẳng tiếp xúc với C khi và chỉ khi phương trình 1 có 3 2 nghiệm x0 , tức phương trình 4x0 2 3m 1 x0 3m 1 0 2 có hai nghiệm phân biệt khác 1 1 1 hay m 1 hoặc m . 2 3 2 Bài 20: x2 x m Câu 1. Tìm tham số m để đồ thị hàm số C : y với m 0 cắt trục hoành tại 2 m x 1 điểm phân biệt A,B sao cho tiếp tuyến tại 2 điểm A,B vuông góc với nhau. 1 1 1 4 A. m B. m C. m D. m 5 3 5 7 Lời giải: 2x 1 Hàm số cắt trục hoành thại hai điểm phân biệt A,B có hệ số góc là k . x 1 x2 2x m 1 2 Ta có: y' 2 , đặt g x x 2x m 1 . x 1 Theo bài toán, g x 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 . 1 Theo đề, tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau tức k .k 1, tìm được m . A B 5 2x2 Câu 2. Cho hàm số y có đồ thị là C . Tìm trên đường thẳng y x những điểm mà từ x 2 đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến đến C , đồng thời 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. A. m 5 3 B. m 5 53 C. m 6 23 D. m 5 23 Lời giải: Đường thẳng d đi qua điểm M m; m có hệ số góc là k , phương trình có dạng: y k x m m. 2x2 0 k x m m 0 x0 2 d tiếp xúc C tại điểm có hoành độ x khi hệ : 2 có nghiệm x , từ đây 0 2x 8x 0 0 0 2 k x0 2 ta tìm được m 5 23 36
  37. CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM- TẬP 2C. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 37