Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 4: Giới hạn - Phần 2: Hàm số liên tục

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 11 - Chương 4: Giới hạn - Phần 2: Hàm số liên tục

1. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 Mục lục HÀM SỐ LIÊN TỤC 2 Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm 2 Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập 8 Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm 14 1
2. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 HÀM SỐ LIÊN TỤC 1. Định nghĩa Cho hàm số y f (x) xác định trên khoảng K và x0 K 1) Hàm số y f (x) liên tục tại x0 lim f (x) f (x0 ) x x0 2) Hàm số y f (x) không liên tục tại x0 ta nói hàm số gián đoạn tại x0 y f (x) liên tục trên một khoảng nếu nó kiên tục tại mọi điểm của khoảng đó. y f (x) liên tục trên đoạn a;b nếu nó liên tục trên a;b và lim f (x) f (a) , lim f (x) f (b) . x a x b 2. Các định lý cơ bản. Định lý 1 : a) Hàm số đa thức liên tục trên tập R b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng Định lý 2. Các hàm số y f (x), y g(x) liên tục tại x0 . Khi đó tổng, hiệu, tích liên tục f (x) tai x0, thương y liên tục nếu g(x ) 0 . g(x) 0 Định lý 3. Cho hàm số f liên tục trên đoạn a;b . Nếu f (a) f (b) và M là một số nằm giữa f (a) , f (b) thì tồn tại ít nhất một số c a;b sao cho f (c) M Hệ quả : Cho hàm số f liên tục trên đoạn a;b . Nếu f (a) f (b) 0 thì tồn tại ít nhất một số c a;b sao cho f (c) 0 . Chú ý : Ta có thể phát biểu hệ quả trên theo cách khác như sau : Cho hàm số f liên tục trên đoạn a;b . Nếu f (a) f (b) 0 thì phương trình f (x) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b) . Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm Phương pháp: Tìm giới hạn của hàm số y f (x) khi x x0 và tính f (x0 ) Nếu tồn tại lim f (x) thì ta so sánh lim f (x) với f (x0 ). x x0 x x0 Chú ý: HÀM SỐ LIÊN TỤC 2
3. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 1. Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó 2. lim f (x) l lim f (x) lim f (x) l . x x 0 x x0 x x0 f (x) khi x x 3. Hàm số y 0 liên tục tại x x lim f (x) k . 0 x x k khi x x0 0 f1(x) khi x x0 4. Hàm số f (x) liên tục tại điểm x x0 khi và chỉ khi f2 (x) khi x x0 lim f1(x) lim f2 (x) f1(x0 ) . x x0 x x0 Chú ý: f (x) khi x x0 Hàm số y liên tục tại x x0 khi và chỉ khi k khi x x0 lim f (x) k . x x0 f (x) khi x x0 Hàm số y liên tục tại x x0 khi và chỉ khi g(x) khi x x0 lim f (x) lim g(x) . x x0 x x0 Các ví dụ Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x 3 3 x 27 x 3 khi x 3 khi x 3 2 1. f x x x 6 2. f x 2x 3 3 10 2 khi x 3 x 1 khi x 3 3 Lời giải: 1. Hàm số xác định trên ¡ 10 x3 27 (x 3)(x2 3x 9) Ta có f (3) và lim f (x) lim lim 3 x 3 x 3 x2 x 6 x 3 (x 3)(x 2) x2 3x 9 27 lim f (3) . x 3 x 2 5 Vậy hàm số không liên tục tại x 3 . HÀM SỐ LIÊN TỤC 3
4. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 2. Ta có f (3) 4 và lim f (x) lim(x 1)2 4 ; x 3 x 3 x 3 2x 3 3 lim f (x) lim lim 3 lim f (x) x 3 x 3 2x 3 3 x 3 2 x 3 Vậy hàm số gián đoạn tại x 3 . Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra x2 x 2 x2 1 khi x 1 khi x 1 1. f (x) tại điểm x0 1 2. f (x) x 1 2 khi x 1 1 khi x 1 Lời giải: 1. Ta có f (1) 2 và lim f (x) lim(x2 1) 2 f (1) x 1 x 1 Vậy hàm số liên tục tại điểm x 1. 2. Ta có f ( 1) 1 (x 1)(x 2) lim f (x) lim lim (2 x) 3 x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)(x 2) lim f (x) lim lim (x 2) 3 lim f (x) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Suy ra không tồn tại giới hạn của hàm số y f (x) khi x 1. Vậy hàm số gián đoạn tại x 1. Ví dụ 3 Tìm a để hàm số sau liên tục tại x 2 3 4x 2 x4 5x2 4 khi x 2 khi x 2 1. f x x 2 2. f x x3 8 2 a khi x 2 ax x 1 khi x 2 Lời giải: 3 4x 2 4 1 1. Ta có f (2) a và lim f (x) lim lim x 2 x 2 x 2 x 2 3 (4x)2 2 3 4x 4 3 1 Hàm số liên tục tại điểm x 2 lim f (x) f (2) a . x 2 3 x4 5x2 4 (x2 1)(x 2) 2. Ta có : lim f (x) lim lim 1 3 2 x 2 x 2 x 8 x 2 x 2x 4 lim f (x) lim ax2 x 1 4a 3 f (2) x 2 x 2 Hàm số liên tục tại x 2 lim f (x) lim f (x) f (2) x 2 x 2 HÀM SỐ LIÊN TỤC 4
5. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 1 4a 3 1 a . 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP x 2 khi x 4 Bài 1 Cho hàm số f (x) x 4 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 1 khi x 4 4 A. Hàm số liên tục tại x 4 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm trên tập xác định nhưng gián đoạn tại x 4 C. Hàm số không liên tục tại x 4 D. Tất cả đều sai Lời giải: x 2 1 1 Ta có : lim f (x) lim lim f (4) x 4 x 4 x 4 x 4 x 2 4 Hàm số liên tục tại điểm x 4 . x2 3x 2 2 khi x 1 Bài 2 Cho hàm số f (x) x 1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2 3x x 1 khi x 1 A. Hàm số liên tục tại x 1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại x 1 D. Tất cả đều sai Lời giải: (x 1)(x 2) lim f (x) lim 2 2 x 1 x 1 x 1 lim f (x) lim 3x2 x 1 3 lim f (x) x 1 x 1 x 1 Hàm số không liên tục tại x 1. x cos khi x 1 Bài 3 Cho hàm số 3. f x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất x 1 khi x 1 A. Hàm số liên tục tại tại x 1và x 1. B. Hàm số liên tục tại x 1, không liên tục tại điểm x 1. HÀM SỐ LIÊN TỤC 5
6. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 C. Hàm số không liên tục tại tại x 1và x 1. D. Tất cả đều sai Lời giải: Hàm số liên tục tại x 1, không liên tục tại điểm x 1. 2x 1 1 Bài 4. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f (x) liên tục tại điểm x 0 . x(x 1) A.1 B.2C.3 D.4 Lời giải: 2x 1 1 2x Ta có : lim f (x) lim lim 1 x 0 x 0 x(x 1) x 0 x(x 1) 2x 1 1 Vậy ta chọn f (0) 1 3 2x 8 2 Bài 5. Chọn giá trị f (0) để các hàm số f (x) liên tục tại điểm x 0 . 3x 4 2 2 1 A.1 B.2C. D. 9 9 Lời giải: 2 3x 4 2 2 Ta có : lim f (x) lim x 0 x 0 3 3 (2x 8)2 2.3 2x 8 4 9 2 Vậy ta chọn f (0) . 9 x x 2 khi x 1 Bài 6 Cho hàm số f (x) x 1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2x 3 khi x 1 A. Hàm số liên tục tại tại tại x0 1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại tại x0 1 D. Tất cả đều sai Lời giải: Ta có: f ( 1) 1 và lim f (x) lim 2x 3 1 x 1 x 1 HÀM SỐ LIÊN TỤC 6
7. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 x x 2 x2 x 2 lim f (x) lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)(x x 2) x 2 3 lim x 1 x x 2 2 Suy ra lim f (x) lim f (x) x 1 x 1 Vậy hàm số không liên tục tại x0 1. x 1 3 x 1 khi x 0 Bài 7 Cho hàm số 3. f (x) x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 2 khi x 0 A. Hàm số liên tục tại x0 0 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm như gián đoạn tại x0 0 C. Hàm số không liên tục tại x0 0 D. Tất cả đều sai Lời giải: Ta có: f (0) 2 x 1 3 x 1 1 3 x 1 lim f (x) lim lim 1 x 0 x 0 x 0 x x 1 lim 1 2 f (0) x 0 1 3 x 1 x 1 Vậy hàm số liên tục tại x 0 . 3 x 1 khi x 1 Bài 8 Cho hàm số f (x) x 1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất 1 khi x 1 3 A. Hàm số liên tục tại x 1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục tại tại x 1 D. Tất cả đều sai Lời giải: 3 x 1 1 1 Ta có : lim f (x) lim lim f (1) x 1 x 4 x 1 x 4 3 x2 3 x 1 3 Hàm số liên tục tại điểm x 1. HÀM SỐ LIÊN TỤC 7
8. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 x2 x 2 2x khi x 2 Bài 9 Cho hàm số f (x) x 2 2 x x 3 khi x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất A. Hàm số liên tục tại x0 2 B. Hàm số liên tục tại mọi điẻm C. Hàm số không liên tục tại x0 2 D. Tất cả đều sai Lời giải: (x 1)(x 2) Ta có : lim f (x) lim 2x 4 x 2 x 2 x 2 lim f (x) lim x2 x 3 5 lim f (x) x 2 x 2 x 2 Hàm số không liên tục tại x0 2 . x 2a khi x 0 Bài 10. Tìm a để các hàm số f x 2 liên tục tại x 0 x x 1 khi x 0 1 1 A. B. C.0D.1 2 4 Lời giải: Ta có : lim f (x) lim(x2 x 1) 1 x 0 x 0 lim f (x) lim(x 2a) 2a x 0 x 0 1 Suy ra hàm số liên tục tại x 0 a . 2 4x 1 1 khi x 0 Bài 11. Tìm a để các hàm số f (x) ax2 (2a 1)x liên tục tại x 0 3 khi x 0 1 1 1 A. B. C. D.1 2 4 6 Lời giải: 4x 1 1 Ta có : lim f (x) lim x 0 x 0 x ax 2a 1 HÀM SỐ LIÊN TỤC 8
9. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 4 2 lim x 0 ax 2a 1 4x 1 1 2a 1 2 1 Hàm số liên tục tại x 0 3 a . 2a 1 6 3x 1 2 khi x 1 2 Bài 12. Tìm a để các hàm số f (x) x 1 liên tục tại x 1 a(x2 2) khi x 1 x 3 1 1 3 A. B. C. D.1 2 4 4 Lời giải: 3x 1 2 3 Ta có : lim f (x) lim 2 x 1 x 1 x 1 8 a(x2 2) a lim f (x) lim x 1 x 1 x 3 2 a 3 3 Suy ra hàm số liên tục tại x 1 a . 2 8 4 Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập Phương pháp:Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó. Các ví dụ Ví dụ 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số: x 1 2 1. f (x) tan 2x cos x 2. f (x) x2 3x 2 Lời giải:  1. TXĐ: D ¡ \ k ,k ¢  4 2  Vậy hàm số liên tục trên D x 1 0 x 1 2. Điều kiện xác định: 2 x 3x 2 0 x 2 HÀM SỐ LIÊN TỤC 9
10. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 Vậy hàm số liên tục trên 1; 2  2; . a2 x 2 khi x 2 Ví dụ 2 Xác định a để hàm số f x x 2 2 liên tục trên ¡ . 1 a x khi x 2 Lời giải: Hàm số xác định trên ¡ Với x 2 hàm số liên tục Với x 2 hàm số liên tục Với x 2 ta có lim f (x) lim(1 a)x 2(1 a) f (2) x 2 x 2 a2 (x 2) lim f (x) lim lim a2 ( x 2 2) 4a2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 Hàm số liên tục trên ¡ hàm số liên tục tại x 2 1 lim f (x) lim f (x) 4a2 2(1 a) a 1,a . x 2 x 2 2 1 Vậy a 1,a là những giá trị cần tìm. 2 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP x 2 Bài 1. Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. x2 x 6 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. TXĐ : D ¡ \ 3; 2 .Ta có hàm số liên tục tại mọi x D và hàm số gián đoạn tại x 2,x 3 C. Hàm số liên tục tại x 2,x 3 D. Tất cả đều sai Lời giải: TXĐ : D ¡ \ 3; 2 .Ta có hàm số liên tục tại mọi x D và hàm số gián đoạn tại x 2,x 3 Bài 2. Cho hàm số f (x) 3x2 1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. A. Hàm số liên tục trên ¡ 1 1 B. Hàm số liên tục tại mọi điểm x ;  ; 3 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 10
11. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 1 1 C. TXĐ : D ;  ; 2 2 1 1 D. Hàm số liên tục tại mọi điểm x ; . 3 3 Lời giải: 1 1 TXĐ : D ;  ; 3 3 1 1 Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm x ;  ; 3 3 1 1 lim f (x) 0 f hàm số liên tục trái tại x 1 x 3 3 3 1 1 lim f (x) 0 f hàm số liên tục phải tại x 1 x 3 3 3 1 1 Hàm số gián đoạn tại mọi điểm x ; . 3 3 Bài 3. Cho hàm số f (x) 2sin x 3tan 2x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số liên tục tại mọi điểm  C. TXĐ : D ¡ \ k ,k ¢  2 2  D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x k ,k ¢ . 4 2 Lời giải:  TXĐ : D ¡ \ k ,k ¢  4 2  Ta có hàm số liên tục tại mọi điểm thuộc D và gián đoạn tại các điểm x k ,k ¢ . 4 2 x2 5x 6 khi x 2 Bài 4. Cho hàm số f x 2x3 16 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 2 x khi x 2 HÀM SỐ LIÊN TỤC 11
12. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số liên tục tại mọi điểm C. Hàm số không liên tục trên 2 : D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 2 . Lời giải: TXĐ : D ¡ \ 2 x2 5x 6 Với x 2 f (x) hàm số liên tục 2x3 16 Với x 2 f (x) 2 x hàm số liên tục Tại x 2 ta có : f (2) 0 lim f (x) lim 2 x 0 ; x 2 x 2 (x 2)(x 3) 1 lim f (x) lim lim f (x) 2 x 2 x 2 2(x 2)(x 2x 4) 24 x 2 Hàm số không liên tục tại x 2 . 3 x 1 khi x 1 Bài 5. Cho hàm số f (x) x 1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 3 1 x 2 khi x 1 x 2 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 1: D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 1 . Lời giải: Hàm số xác định với mọi x thuộc ¡ 1 x 2 Với x 1 f (x) hàm số liên tục x 2 3 x 1 Với x 1 f (x) hàm số liên tục x 1 2 Tại x 1 ta có : f (1) 3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 12
13. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 3 x 1 (x 1)( x 1) 2 lim f (x) lim lim ; x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)( 3 x2 3 x 1) 3 1 x 2 2 lim f (x) lim lim f (x) f (1) x 2 x 1 x 2 3 x 1 Hàm số liên tục tại x 1. Vậy hàm số liên tục trên ¡ . x2 3x 2 khi x 1 Bài 6. Cho hàm số f x x 1 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. a khi x 1 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 1: D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 1 . Lời giải: Hàm số liên tục tại mọi điểm x 1 và gián đoạn tại x 1 2x 1 1 khi x 0 Bài 7. Cho hàm số f x x . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 0 khi x 0 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 0; D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 0 . Lời giải: Hàm số liên tục tại mọi điểm x 0 và gián đoạn tại x 0 2x 1 khi x 0 Bài 8. Cho hàm số f (x) (x 1)3 khi 0 x 2 . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. x 1 khi x 2 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 2; D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 2 . HÀM SỐ LIÊN TỤC 13
14. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 Lời giải: Hàm số liên tục tại mọi điểm x 2 và gián đoạn tại x 2 2 2x x 1 khi x 1 Bài 9. Cho hàm số f (x) . Khẳng định nào sau đây đúng nhất. 3x 1 khi x 1 A. Hàm số liên tục trên ¡ B. Hàm số không liên tục trên ¡ C. Hàm số không liên tục trên 2; D. Hàm số gián đoạn tại các điểm x 1 . Lời giải: Hàm số liên tục tại mọi điểm x 1và gián đoạn tại x 1. sin x khi x 2 Bài 10. Xác định a,b để các hàm số f x liên tục trên ¡ ax b khi x 2 2 2 1 2 a a a a A. B. C. D. b 1 b 2 b 0 b 0 Lời giải: a b 1 2 2 a Hàm số liên tục trên ¡ a b 1 b 0 2 x3 3x2 2x khi x(x 2) 0 x(x 2) Bài 11. Xác định a,b để các hàm số f (x) a khi x 2 liên tục trên ¡ b khi x 0 a 10 a 11 a 1 a 12 A. B. C. D. b 1 b 1 b 1 b 1 Lời giải: HÀM SỐ LIÊN TỤC 14
15. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 a 1 Hàm số liên tục trên ¡ . b 1 3 x 2 2x 1 khi x 1 Bài 12. Tìm m để các hàm số f (x) x 1 liên tục trên ¡ 3m 2 khi x 1 4 A. m 1 B. m C. m 2 D. m 0 3 Lời giải: 3 x 2 2x 1 Với x 1 ta có f (x) nên hàm số liên tục trên khoảng ¡ \ 1 x 1 Do đó hàm số liên tục trên ¡ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x 1 Ta có: f (1) 3m 2 3 x 2 2x 1 lim f (x) lim x 1 x 1 x 1 x3 x 2 lim 1 x 1 (x 1) x2 x 3 x 2 3 (x 2)2 x2 x 2 lim 1 2 x 1 2 3 2 x x x 2 3 (x 2) 4 Nên hàm số liên tục tại x 1 3m 2 2 m 3 4 Vậy m là những giá trị cần tìm. 3 x 1 1 khi x 0 Bài 13. Tìm m để các hàm số f (x) x liên tục trên ¡ 2 2x 3m 1 khi x 0 1 A. m 1 B. m C. m 2 D. m 0 6 Lời giải: x 1 1 Với x 0 ta có f (x) nên hàm số liên tục trên 0; x Với x 0 ta có f (x) 2x2 3m 1 nên hàm số liên tục trên ( ;0) . Do đó hàm số liên tục trên ¡ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x 0 HÀM SỐ LIÊN TỤC 15
16. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 Ta có: f (0) 3m 1 x 1 1 1 1 lim f (x) lim lim x 0 x 0 x x 0 x 1 1 2 lim f (x) lim 2x2 3m 1 3m 1 x 0 x 0 1 1 Do đó hàm số liên tục tại x 0 3m 1 m 2 6 1 Vậy m thì hàm số liên tục trên ¡ . 6 2x 4 3 khi x 2 Bài 14. Tìm m để các hàm số f (x) x 1 liên tục trên ¡ khi x 2 x2 2mx 3m 2 1 A. m 1 B. m C. m 5 D. m 0 6 Lời giải: Với x 2 ta có hàm số liên tụC. Để hàm số liên tục trên ¡ thì hàm số phải liên tục trên khoảng ; 2 và liên tục tại x 2 . Hàm số liên tục trên ; 2 khi và chỉ khi tam thức g(x) x2 2mx 3m 2 0, x 2 ' m2 3m 2 0 3 17 3 17 TH 1: m g(2) m 6 0 2 2 2 2 m 3m 2 0 ' m 3m 2 0 TH 2: m 2 x1 m ' 2 2 ' (m 2) 3 17 m 3 17 2 m 6 2 m 6 3 17 Nên m 6 (*) thì g(x) 0, x 2 2 lim f (x) lim 2x 4 3 3 x 2 x 2 x 1 3 lim f (x) lim 2 x 2 x 2 x 2mx 3m 2 6 m HÀM SỐ LIÊN TỤC 16
17. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 3 Hàm số liên tục tại x 2 3 m 5 (thỏa (*)) 6 m Vậy m 5 là những giá trị cần tìm. Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm Phương pháp : Để chứng minh phương trình f (x) 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y f (x) liên tục trên D và có hai số a,b D sao cho f (a). f (b) 0 . Để chứng minh phương trình f (x) 0 có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y f (x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai ; ai 1 ) (i=1,2, ,k) nằm trong D sao cho f (ai ). f (ai 1 ) 0 . Các ví dụ Ví dụ 1 Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng một nghiệm. 1. x5 3x 1 0 2. x3 2x 4 3 3 2x Lời giải: 1. Xét hàm số f (x) x5 3x 1 là hàm liên tục trên ¡ Mặt khác: f ( 1) 1, f (0) 1 f ( 1). f (0) 1 0 Nên phương trình f (x) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc 1;0 . Giả sử phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 . 5 5 Khi đó: f (x1 ) f (x2 ) 0 x1 x2 3 x1 x2 0 4 3 2 2 3 4 x1 x 2 x1 x1 x2 x1 x2 x1x2 x2 3 0 (1)  A 2 2 2 1 1 2 1 2 2 Do A x1 x1x2 x1x2 x2 x1 x2 3 0 2 4 2 Nên (1) x1 x2 Vậy phương trình luôn có đúng một nghiệm. 3 2. Điều kiện: x 2 Phương trình x3 2x 3 3 2x 4 0 3 3 Xét hàm số f (x) x 2x 3 3 2x 4 liên tục trên ; 2 HÀM SỐ LIÊN TỤC 17
18. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 3 19 3 f (0) 4 3 3 0, f 0 f (0). f 0 2 8 2 Nên phương trình f (x) 0 có ít nhất một nghiệm Giả sử phương trình f (x) 0 có hai nghiệm x1 ,x2 Khi đó: f (x1 ) f (x2 ) 0 3 3 x1 x2 2 x1 x2 3 3 2x1 3 2x2 0 2 2 6 x1 x2 x1 x1x2 x2 2 0 3 2x 3 2x 1 2 B x1 x2 2 x 3x2 6 (Vì B x 2 2 2 0 ) 1 2 4 3 2x1 3 2x2 Vậy phương trình luôn có nghiệm duy nhất. Ví dụ 2 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm : 1. x7 3x5 1 0 2. x2 sin x xcos x 1 0 Lời giải: 1. Ta có hàm số f (x) x7 3x5 1 liên tục trên R và f (0). f (1) 3 0 Suy ra phương trinh f (x) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1) . 2. Ta có hàm số f (x) x2 sin x xcos x 1 liên tục trên R và f (0). f ( ) 0 . Suy ra phương trinh f (x) 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; ) . Ví dụ 3. x5 2x3 15x2 14x 2 3x2 x 1 có đúng 5 nghiệm phân biệt Lời giải: Phương trình đã cho tương đương với 2 x5 2x3 15x2 14x 2 3x2 x 1 x5 9x4 4x3 18x2 12x 1 0 (1) Hàm số f (x) x5 9x4 4x3 18x2 12x 1 liên tục trên ¡ 1 19 Ta có: f ( 2) 95 0, f ( 1) 1 0, f 0 2 32 f (0) 1 0, f (2) 47 0, f (10) 7921 0 HÀM SỐ LIÊN TỤC 18
19. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 Do đó phương trình f (x) 0 có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng 1 1 2; 1 , 1; , ;0 , 0; 2 , 2;10 2 2 Mặt khác f (x) là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm. Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm. CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt 1. x3 3x 1 0 2. 2x 6 3 1 x 3 Bài 2 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của m, n 3 1 1 1. m x 1 x 2 2x 3 0 2. m cos x sin x 3. m x a x c n x b x d 0 ( a b c d ). Bài 3 Cho m 0 và a,b,c là ba số thực bất kỳ thoả mãn a b c 0 . Chứng minh rằng phương trình ax2 bx c 0 luôn có nghiệm. m 2 m 1 m Bài 4. Chứng minh rằng phương trình : 1. x4 x3 3x2 x 1 0 có nghiệm thuộc khoảng 1;1 2. x5 5x3 4x 1 0 có năm nghiệm thuộc khoảng 2; 3 3. a x b x c b x c x a c x a x b 0 ; a,b,c 0 có hai nghiệm phân biệt. 4. (1 m2 )x5 3x 1 0 luôn có nghiệm với mọi m 5. m2 .(x 2) m(x 1)3 .(x 2)4 3x 4 0 có nghiệm với mọi m . a b c Bài 5 . Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: n m; mp n2 và 0 . Chứng m n p minh rằng phương trình : f (x) ax2 bx c 0 luôn có nghiệm. Bài 6. 1. Cho hàm số f : 0;1 0;1 liên tụC.Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực c 0;1 sao cho f c c . f (x) 2. Cho hàm số f :[0;+ ) [0;+ ) liên tục và lim L 1 Chứng minh rằng tồn tại ít x x nhất một số c 0 sao cho f (c) c . 3. Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ liên tục tại x 0 thỏa: f (3x) f (x) . HÀM SỐ LIÊN TỤC 19
20. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 4. Cho hàm số f : 0;1 0;1 liên tục trên 0;1 và thỏa f (0) f (1) . 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phương trình f (x) f (x ) 0 luôn có ít n nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;1 . Bài 7. 1. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a ;b] và n điểm x1 ; x2 ; ; xn a;b . Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm c a;b sao cho nf (c) f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) . 2. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất các số 0  1 sao cho cos 2 và tan 1. Lời giải: Bài 1 1. Xét hàm số f (x) x3 3x 1 , ta có hàm số liên tục trên R và f ( 2) 1 ; f (0) 1 ; f (1) 1 ; f (2) 3 f ( 2). f (0) 1 0 , f (0). f (1) 1 0, f (1). f (2) 3 0 Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng ( 2;0),(0;1),(1; 2) . Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm. 2. Phương trình 2x 3 6 3 x 1 (2x 3)3 216(x 1) 0 Xét hàm số f (x) (2x 3)3 216(x 1), ta có hàm số liên tục trên R và f ( 4) 251, f (0) 189, f (1) 1, f (7) 35 Suy ra f ( 4). f (0) 0 , f (0). f (1) 0, f (1). f (7) 0 Suy ra phương trình có ba nghiệm phân biệt thuộc các khoảng ( 4;0),(0;1),(1;7) . Mà f(x) là đa thức bậc ba nên f(x) chỉ có tối đa 3 nghiệm Vậy phương trình đã cho có đúng ba nghiệm. Bài 2 3 1. Ta có hàm số f (x) m x 1 x 2 2x 3 liên tục trên R và f (1). f ( 2) 5 0 phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc ( 2;1) 2. Điều kiện : x k ,k ¢ 2 HÀM SỐ LIÊN TỤC 20
21. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 Xét hàm số f (x) sin x cos x msin xcos x ,liên tục trên 0; và 2 f (0). f ( ) 1 0 do đó phương trình f (x) 0 có ít nhất một nghiệm 2 x0 0; x0 k 2 2 Do đó phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm. 3. Hàm số f (x) m x a x c n x b x d liên tục trên R và f (a). f (c) n2 a b a d c b c d 0 phuowngt rình đã cho có ít nhất một nghiệm. Bài 3 Đặt f (x) ax2 bx c c 0 f (x) 0 có nghiệm x 0 m 1 c c 0 ta có f (0) c; f m 2 m m 2 m 1 c2 f (0). f 0 , suy ra phương trình f (x) 0 có ít nhất một nghiệm. m 2 m m 2 Bài 4. Gọi f (x) là vế trái của các phương trình 1. Ta có hàm số y f (x) liên tục trên ¡ và f (1). f ( 1) 3 0 Nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc ( 1;1) . 3 2. Ta có hàm số y f (x) liên tục trên ¡ và f ( 2) f ( ) 0; 2 3 1 1 f ( ) f ( 1) 0; f ( 1). f ( ) 0; f ( ) f (1) 0; f (1) f (3) 0 2 2 2 Nên ta có điều phải chứng minh. 3. Ta có hàm số y f (x) liên tục trên ¡ và 2 f (a) f (b) f (c) abc (a b)(b c)(c a) 0 Nên ta có điều phải chứng minh. 4. Ta có hàm số y f (x) liên tục trên ¡ và lim f (x). lim f (x) 0 x x Nên ta có điều phải chứng minh. 5. Ta có hàm số y f (x) liên tục trên ¡ và f (1). f (2) 0 Nên ta có điều phải chứng minh. n n2 n Bài 5 Ta xét f ( ) a b c . m m2 m HÀM SỐ LIÊN TỤC 21
22. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 a b c m n2 n 1 m Mặt khác từ : 0 2 a. 2 b c c( 2 ) 0 m n p n m m p n m n n2 pm n pm n2 pm n2 f ( ) c. 0 f ( ) c f (0) n2 m pn2 m pm pm * Xét c 0 Nếu a 0 b 0 f (x) là đa thức không, do đó f(x) sẽ có nghiệm trong (0;1) b n Nếu a 0 , từ giả thiết 1 và f (x) x(ax b) 0 a m b x (0;1) a 2 n pm n 2 n * Xét c 0 , ta có: f . f (0) f (0) 0 f (x) có nghiệm x (0; )  (0;1) . m pm m Bài 6. 1. Xét hàm số g x f x x ,ta có y g(x) liên tục trên 0;1 và g(0)g(1) 0 nên tồn tại c 0;1 : g(c) 0 f (c) c . 2. Nếu f (0) 0 thì ta chọn c 0 . Nếu f (0) 0 . Xét hàm số g(x) f (x) x , ta có hàm g liên tục trên [0; ) và g(0) 0 f (x) f (a) Vì lim L 1 nên tồn tại số a 0 sao cho 1 g(a) 0 x x a g(0).g(a) 0 nên tồn tại số thực c 0; a sao cho g(c) 0 Hay là f (c) c . x x x 3. Ta có: f (x) f f f 3 32 3n x Cho n 0, x 3n Suy ra: f (x) f (0) a, x ¡ Vậy f là hàm hằng. 1 n 1 4. Xét hàm số g(x) f x f (x), ta có g là hàm liên tục trên 0; n n n 1 k n 1 k 1 k Và  g  f f f (1) f (0) 0 k 0 n k 0 n n HÀM SỐ LIÊN TỤC 22
23. CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN – TẬP 2 i j Suy ra tồn tại hai chỉ số i, j 0,1, ,n 1 sao cho : g .g 0 n n 1 Hay phương trình : g(x) 0 f (x) f (x ) 0 có nghiệm trên 0;1 . n Bài 7. 1. Xét hàm số : g(x) nf (x) f (x1 ) f (x2 ) f (xn ) liên tục trên [a ;b]. Vì f liên tục trên đoạn [a ;b] nên tồn tại giá trị lớn nhất M, nhỏ nhất m do đó tồn tại , a,b sao cho f ( ) m, f () M g( ).g() 0 . 2. Hàm số : f (x) cos x x2 liên tục trên ¡ và f (0). f (1) 1(cos1 1) 0 Suy ra  0;1 : f ( ) 0 hay cos 2 Mặt khác hàm số y cos x là hàm nghịch biến trên (0;1) , hàm y x2 là hàm đồng biến trên 0;1 nên là số duy nhất. Hàm số g(x) x tan x 1 liên tục trên 0;1 và f (0). f (1) 1(tan1 1) 0 , đồng thời hàm số g(x) đồng biến trên (0;1) nên tồn tại duy nhất số thực  (0;1) sao cho tan 1 0 . sin Vì sin x x x 0 nên g( ) 1 0 f ()  . HÀM SỐ LIÊN TỤC 23