Bài tập Đại số Lớp 11 - Biến cố. Xác suất của biến cố - Mức độ 4 phần 2 (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 11 - Biến cố. Xác suất của biến cố - Mức độ 4 phần 2 (Có đáp án)

1. Câu 1: (Toán Học Tuổi Trẻ - Tháng 12 - 2017) Mỗi lượt, ta gieo một con súc sắc (loại 6 mặt, cân đối) và một đồng xu (cân đối). Tính xác suất để trong 3 lượt gieo như vậy, có ít nhất một lượt gieo được kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp. 397 1385 1331 1603 A. .B. .C. .D. . 1728 1728 1728 1728 Lời giải Chọn A Gọi  xi ; yi : xi 1, ,6, yi S; N,i 1,2,3 là biến cố xuất hiện trong 3 lần gieo, với xi ; yi lượt gieo thứ i con súc sắc xuất hiện mặt xi chấm, đồng xu suất hiện mặt yi với xi 1;2;3;4;5;6 và yi S; N . Khi gieo 3 lần, con súc sắc và đồng xu xuất hiện mặt bất kì ta có: gieo lần 1 (lần 2 hoặc lần 3 ) có 6.2 số phần tử của không gian mẫu là n  6.2 3 1728 . Gọi A là biến cố trong 3 lượt gieo ít nhất một lượt gieo được kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp. Khi đó biến cố A xảy ra các khả năng như sau: TH1: Gọi biến cố A1 chỉ có một lần gieo kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu 2 xuất hiện mặt sấp thì A1 có số phần tử là n A1 11 .3 363 (do biến cố 1;S xuất hiện ở một trong 3 1 lần gieo có C3 3 khả năng xảy ra, hai lần gieo còn lại không xuất hiện biến cố đó mỗi lần còn 11 khả năng xảy ra). TH2: Gọi biến cố A2 có 2 lần gieo kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp thì A2 có số phần tử là n A2 3.11 33 (do 2 trong 3 lần gieo xuất hiện biến cố 1;S có 2 C3 3 khả năng, lần gieo còn lại không xuất hiện biến cố đó có 11 khả năng xảy ra). TH3: Gọi biến cố A3 cả 3 lần gieo kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp thì A3 có số phần tử là n A3 1. Do đó n A n A1 n A2 n A3 363 33 1 397 . n A 397 Vậy xác suất cần tìm là P A . n  1728 Câu 2: (THPT TRẦN PHÚ ĐÀ NẴNG – 2018)Gọi S là tập hợp các sô tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S . Tính xác suất để số được chọn có đúng bốn chữ số lẻ sao cho số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ. 5 5 5 20 A. .B. . C. .D. . 54 648 42 189 Lời giải Chọn A Gọi số cần lập là abcdefghi . Không gian mẫu : Tập hợp số có 9 chữ số đôi một khác nhau. Vì a 0 có 9 cách chọn a . bcdefghi không có chữ số ở a có 9! cách chọn. Vậy n  9 9!. Biến cố A : Số được chọn có đúng 4 chữ số lẻ sao cho số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ. Số 0 luôn đứng giữa hai chữ số lẻ nên số 0 không thể đứng ở a hoặc i . Suy ra có 7 cách sắp xếp chữ số 0 . 2 Chọn hai số lẻ đặt bên cạnh số 0 (có sắp xếp) có A5 cách chọn. 2 2 Tiếp tục chọn hai số lẻ khác và sắp xếp vào 2 trong 6 vị trí còn lại có C3 A6 90 cách chọn.
2. Còn lại 4 vị trí, chọn từ 4 số chẵn 2;4;6;8 có 4! 24 cách chọn. 2 Vậy n A 7 A5 90 24 302400 cách chọn. n A 302400 5 Xác suất để xảy ra biến cố A là p A . n  9 9! 54 Câu 3: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số từ S . Xác suất chọn được số lớn hơn 2500 là 13 55 68 13 A. P .B. P .C. P .D. P . 68 68 81 81 Lời giải Chọn C Số có 4 chữ số có dạng: abcd . Số phần tử của không gian mẫu: n S 9.9.8.7 4536 . Gọi A : “ tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt và lớn hơn 2500 .” TH1. a 2 Chọn a : có 7 cách chọn. Chọn b : có 9 cách chọn. Chọn c : có 8 cách chọn. Chọn d : có 7 cách chọn. Vậy trường hợp này có: 7.9.8.7 3528 (số). TH2. a 2 , b 5 Chọn a : có 1 cách chọn. Chọn b : có 4 cách chọn. Chọn c : có 8 cách chọn. Chọn d : có 7 cách chọn. Vậy trường hợp này có: 1.4.8.7 224 (số). TH3. a 2 , b 5 , c 0 Chọn a : có 1 cách chọn. Chọn b : có 1 cách chọn. Chọn c : có 7 cách chọn. Chọn d : có 7 cách chọn. Vậy trường hợp này có: 1.1.7.7 49 (số). TH4. a 2 , b 5 , c 0 , d 0 Chọn a : có 1 cách chọn. Chọn b : có 1 cách chọn. Chọn c : có 1 cách chọn. Chọn d : có 7 cách chọn. Vậy trường hợp này có: 1.1.1.7 7 (số). Như vậy: n A 3528 224 49 7 3808 . n A 3508 68 Suy ra: P A . n S 4536 81 Câu 4: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt được lấy từ các số 1, 2 ,3, 4 ,5,6 ,7 ,8, 9. Chọn ngẫu nhiên một số từ S . Xác suất chọn được số chỉ chứa 3 số lẻ là 16 16 10 23 A. P .B. P .C. P .D. P . 42 21 21 42 Lời giải Chọn C 6 Số phần tử không gian mẫu: n  A9 60480 .
3. (mỗi số tự nhiên abcdef thuộc S là một chỉnh hợp chập 6 của 9- số phần tử của S là số chỉnh hợp chập 6 của 9). 3 3 3 Gọi A : “số được chọn chỉ chứa 3 số lẻ”. Ta có: n A C5 .A6 .A4 28800 . (bốc ra 3 số lẻ từ 5 số lẻ đã cho- chọn ra 3 vị trí từ 6 vị trí của số abcdef xếp thứ tự 3 số vừa chọn – bốc ra 3 số chẵn từ 4 số chẵn đã cho xếp thứ tự vào 3 vị trí còn lại của số abcdef ) n A 28800 10 Khi đó: P A . n  60480 21 Câu 5: [Chuyên Nguyễn Quang Diệu - Đồng Tháp - 2018 - BTN] Kết quả b,c của việc gieo một con súc sắc cân đối hai lần liên tiếp, trong đó b là số chấm xuất hiện lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai được thay vào phương trình bậc hai x2 bx c 0 . Tính xác suất để phương trình bậc hai đó vô nghiệm: 5 7 23 17 A. B. C. D. 36 12 36 36 Lời giải Chọn D Gieo một con súc sắc cân đối hai lần liên tiếp, số phần tử không gian mẫu là 36 . Ta có: b là số chấm xuất hiện lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai nên b 1;6 và c 1;6 với b , c ¢ . Phương trình x2 bx c 0 vô nghiệm khi 0 b2 4c 0 b2 4c . Với b 1 có 6 trường hợp xảy ra. Với b 2 có 5 trường hợp xảy ra (trừ trường hợp c 1). Với b 3 có 4 trường hợp xảy ra (trừ trường hợp c 2 ). Với b 4 có 2 trường hợp xảy ra (trừ trường hợp c 4 ) Do đó có tổng cộng 17 khả năng có thể xảy ra để phương trình vô nghiệm. 17 Vậy xác suất để phương trình vô nghiệm là: P . 36 Câu 6: (THPT Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2018 - BTN) Trong một lớp có n học sinh gồm ba bạn Chuyên, Hà, Tĩnh cùng n 3 học sinh khác. Khi xếp tùy ý các học sinh này vào dãy ghế được đánh số từ 1 đến n mỗi học sinh ngồi một ghế thì xác suất để số ghế của Hà bằng trung bình cộng số ghế của 13 Chuyên và số ghế của Tĩnh là . Khi đó n thỏa mãn 675 A. n 35;39 B. n 40;45 C. n 30;34 D. n 25;29 Lời giải Chọn D Số cách xếp n học sinh vào n ghế là n!, do đó n  n! Gọi A là biến cố xếp các bạn học sinh sao cho số ghế của Hà bằng trung bình cộng số ghế của Chuyên và số ghế của Tĩnh. * Nếu n là số lẻ: n 1 2 Chọn ba số trong n số để ba số đó lập thành cấp số cộng: có n 2 n 4 1 . 4 Xếp ba bạn Chuyên, Hà, Tĩnh vào ba ghế có ba số đã chọn thỏa bài toán: có 2 cách. Xếp n 3 bạn còn lại vào ghế: có n 3 ! cách. 2 2. n 1 . n 3 ! n 1 Do đó số phần tử của A là n A . 4n! 2n n 2
4. n 1 13 n ¥ Theo đề ta có n 27 2n n 2 675 * Nếu n là số chẵn: n n 2 Chọn ba số trong n số để ba số đó lập thành cấp số cộng: có n 2 n 4 2 . 4 Xếp ba bạn Chuyên, Hà, Tĩnh vào ba ghế có ba số đã chọn thỏa bài toán: có 2 cách. Xếp n 3 bạn còn lại vào ghế: có n 3 ! cách. 2.n n 2 . n 3 ! 1 Do đó số phần tử của A là n A . 4n! 2 n 1 1 13 Theo đề ta có (vô nghiệm trên ¥ ). 2 n 1 675 Vậy lớp có 27 học sinh. Câu 7: (THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Cho số phức z thõa mãn z 1 i 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z 2 i 2 z 2 3i 2 . A. 18 B. 38 8 10 C. 18 2 10 B. 16 2 10 Lời giải Chọn B Giả sử z x yi ( x, y ¡ ). M x; y là điểm biểu diễn của z . Suy ra M C1 có tâm I1 1; 1 và bán kính r1 2 . z 1 i 2 x 1 2 y 1 2 4 (1). P z 2 i 2 z 2 3i 2 x 2 2 y 1 2 x 2 2 y 3 2 . Suy ra P x 1 2 y 1 2 x2 y2 2x 10y 16 x 1 2 y 5 2 6 . Ta có x 1 2 y 5 2 P 6 C2 là đường tròn có tâm I2 1;5 , bán kính P 6 ; I1I2 2 10 . 2 P 6 I I r P 6 2 10 2 P 38 8 10 . 1 2 1 Vậy MaxP=38+8 10 . Câu 8: (THPT Năng Khiếu - TP HCM - Lần 1 - 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số và chia hết cho 9 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S , tính xác suất để các chữ số của số đó đôi một khác nhau. 396 512 369 198 A. B. C. D. 625 3125 6250 3125 Lời giải Chọn C Số chia hết cho 9 có dạng: 9m , với m ¢ . Ta có 1000000 9m 10000000 111111 m 1111111. Do đó có 1000000 số có 7 chữ số và chia hết cho 9 . Từ các chữ số 0;1;2; ;9 ta có các bộ gồm 7 số có tổng chia hết cho 9 là: 0;2;3;4;5;6;7 ; 0;1;3;4;5;6;8 ; 0;1;2;4;5;7;8 ; 0;1;2;3;6;7;8 ; 0;3;4;5;7;8;9 ; 0;2;4;6;7;8;9 ; 0;1;5;6;7;8;9 ; 0;1;2;3;4;8;9 ; 0;1;2;3;5;7;9 ; 2;3;4;5;6;7;9 ;
5. 1;3;4;5;6;8;9 ; 1;2;4;5;7;8;9 ; 1;2;3;6;7;8;9 . Có 9 bộ số gồm 7 số có tổng chia hết cho 9 trong đó có số 0 nên từ các bộ số này lập được: 9 6 6! 38880 số có 7 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 . Có 4 bộ số gồm 7 số có tổng chia hết cho 9 tương tự như bộ số 2;3;4;5;6;7;9 , nên từ các bộ số này lập được 4 7! 20160 số có 7 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 . Vậy, xác suất chọn một số từ tập S để được một số có các chữ số của số đó đôi một khác nhau là: 38880 20160 369 P . 1000000 6250 Câu 9: (THPT Chuyên Trần Phú - Hải Phòng - Năm 2018) Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 4 chữ số. Tính xác suất để số được chọn có dạng abcd , trong đó 1 a b c d 9 . A. 0,014 .B. 0,0495.C. 0,079 .D. 0,055. Lời giải Chọn D Số tự nhiên có bốn chữ số có dạng abcd a 1;2;3;4;5;6;7;8;9 suy ra có 9 cách chọn bcd có 103 cách chọn Suy ra số phần tử của không gian mẫu là n  9.103 9000 . Gọi A là biến cố ‘‘số được Chọn Có dạng abcd , trong đó 1 a b c d 9 ’’ Số dạng aaaa có 9 số. 4 Số dạng abcd ( a b c d ) có C9 số. 2 Số dạng aaab có C9 số. 2 Số dạng aabb có C9 số. 3 Số dạng abbc có C9 số. 3 Số dạng abbc có C9 số. 3 Số dạng abcc có C9 số. 4 2 3 n A 9 C9 3.C9 3.C9 495 . n A 495 Vậy P A 0.55 . n  9000 Câu 10: (Sở GD và ĐT Đà Nẵng-2017-2018 - BTN) Từ 12 học sinh gồm 5 học sinh giỏi, 4 học sinh khá, 3 học sinh trung bình, giáo viên muốn thành lập 4 nhóm làm 4 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh. Tính xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá. 36 18 72 144 A. .B. .C. .D. . 385 385 385 385 Lời giải Chọn A 3 3 3 3 Ta có số phần tử không gian mẫu là n() C12.C9 .C6 .C3 . Đánh số 4 nhóm là A, B, C, D Bước 1: xếp vào mỗi nhóm một học sinh khá có 4! cách. Bước 2: xếp 5 học sinh giỏi vào 4 nhóm thì có 1 nhóm có 2 học sinh giỏi. Chọn nhóm có 2 học 2 sinh giỏi có 4 cách, chọn 2 học sinh giỏi có C5 cách, xếp 3 học sinh giỏi còn lại có 3! cách. Bước 3: Xếp 3 học sinh trung bình có 3!cách.
6. 4!.4.C 2.3!.3! 36 Đáp số: 5 . C3 C3C3C3 385 12 9 6 3 Câu 11: (THPT Kinh Môn - Hải Dương - Lần 2 - 2018 - BTN) Cho tập X 6,7,8,9, gọi E là tập các số tự nhiên khác nhau có 2018 chữ số lập từ các số của tập X . Chọn ngẫu nhiên một số trong tập E , tính xác suất để chọn được số chia hết cho 3 . 1 1 1 1 1 1 A. 1 4035 B. 1 2017 C. 1 4036 D. 3 2 3 2 3 2 1 1 1 2018 3 2 Lời giải Chọn A Gọi An , Bn lần lượt là tập các số chia hết, không chia hết cho 3 . Với mỗi số thuộc An có hai cách thêm vào cuối một chữ số 6 hoặc một chữ số 9 để được An 1 và hai cách thêm một chữ số 7 hoặc một chữ số 8 để được Bn 1 . Với mỗi số thuộc Bn có một cách thêm vào cuối một chữ số 7 hoặc một chữ số 8 để được An 1 và có ba cách thêm một chữ số để được Bn 1 . An 1 2 An Bn Như vậy Bn 1 3 An 1 4 Bn An 1 5 An 4 An 1 . Bn 1 2 An 3 Bn Hay An 5 An 1 4 An 2 . Xét dãy số an An , ta có a1 2, a2 6, an 5an 1 4an 2 ; n 3 . 2 1 Nên a .4n 4n . n 3 3 42018 2 Suy ra có số chia hết cho 3. 3 Mà E 42018. 42018 2 1 1 Vậy P 2018  1 4035 . 3.4 3 2 Câu 12: (Chuyên Thái Bình-Thái Bình-L4-2018-BTN) Cho một đa giác H có 60 đỉnh nội tiếp một đường tròn O . Người ta lập một tứ giác tùy ý có bốn đỉnh là các đỉnh của H . Xác suất để lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của H gần với số nào nhất trong các số sau? A. 85,40% .B. 13,45% .C. 40,35% .D. 80,70% . Lời giải Chọn D 4 Số phần tử của không gian mẫu là: n  C60 . Gọi E là biến cố “lập được một tứ giác có bốn cạnh đều là đường chéo của H ”. Để chọn ra một tứ giác thỏa mãn đề bài ta làm như sau: Bước 1: Chọn đỉnh đầu tiên của tứ giác, có 60 cách. Bước 2: Chọn 3 đỉnh còn lại sao cho hai đỉnh bất kỳ của tứ giác cách nhau ít nhất 1 đỉnh. Điều này tương đương với việc ta phải chia m 60 chiếc kẹo cho n 4 đứa trẻ sao cho mỗi đứa trẻ có ít nhất k 2 cái, n 1 3 có Cm n(k 1) 1 C55 cách, nhưng làm như thế mỗi tứ giác lặp lại 4 lần. 60.C3 Số phần tử của biến cố E là: n E 55 . 4
7. 3 n E 60.C55 Xác suất của biến cố E là: P E 4 80,7% . n  4.C60 Câu 13: (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018 - BTN) Cho tập hợp A 1;2;3;4 ;100 . Gọi S là tập hợp gồm tất cả các tập con của A , mỗi tập con này gồm 3 phần tử của A và có tổng bằng 91. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S . Xác suất chọn được phần tử có 3 số lập thành cấp số nhân bằng? 4 2 3 1 A. .B. . C. . D. . 645 645 645 645 Lời giải Chọn C Giả sử tập con bất kì a,b,c S 1 a,b,c 100 ; a,b,c phân biệt. a b c 91. 3 1 Đây là bài toán chia kẹo Euler nên số bộ a,b,c là: C91 1 Tuy nhiên trong các bộ trên vẫn chứa các bộ có 2 chữ số giống nhau, số bộ có 2 chữ số giống nhau là 2 3.45 135 ( bộ). Vậy n  C90 3.45 :3! 645 . Gọi A là biến cố: ” a,b,c lập thành cấp số nhân” Gọi q là công bội của cấp số nhân theo bài ra ta có q 0 a aq aq2 91 a 1 q q2 1.91 13.7 a 1 a 1 Trường hợp 1: 2 1 q q 91 q 9 a 91 a 91 Trường hợp 2: (loại) 2 1 q q 1 q 0 a 13 a 13 Trường hợp 3: (thỏa mãn) 2 1 q q 7 q 2 a 7 a 7 Trường hợp 3: (thỏa mãn). 2 1 q q 13 q 3 Vậy n A 3 . 3 P A . 645