Bài tập Đại số Lớp 11 - Biến cố. Xác suất của biến cố - Mức độ 3 phần 6 (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 11 - Biến cố. Xác suất của biến cố - Mức độ 3 phần 6 (Có đáp án)

1. Câu 1: (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần 6 – 2018) Kết quả b; c của việc gieo một con súc sắc cân đối hai lần liên tiếp, trong đó b là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai được thay vào phương trình bậc hai x2 bx c 0 . Tính xác suất để phương trình bậc hai đó vô nghiệm? 7 23 17 5 A. .B. .C. . D. . 12 36 36 36 Lời giải Chọn C Để phương trình x2 bx c 0 vô nghiệm thì: b2 4c 0 . Gọi  là không gian mẫu của phép thử gieo hai lần liên tiếp một con súc sắc cân đối.  6.6 36 Gọi A là biến cố của phép thử để kết quả b;c trong đó b là số chấm xuất hiện của lần gieo thứ nhất, c là số chấm xuất hiện lần gieo thứ hai thỏa mãn b2 4c 0 Trường hợp 1: b 1 c 1;2;3;4;5;6 Trường hợp 2: b 2 c 2;3;4;5;6 Trường hợp 3: b 3 c 3;4;5;6 Trường hợp 4: b 4 c 5;6  A 17  17 Vậy xác suất để phương trình bậc hai vô nghiệm là P A . A  36 Câu 2: (THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần I - 2017 - 2018) Một hộp đựng 7 quả cầu màu trắng và 3 quả cầu màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 quả cầu. Tính xác suất để trong 4 quả cầu lấy được có đúng 2 quả cầu đỏ. 21 20 62 21 A. .B. .C. .D. . 71 71 211 70 Lời giải Chọn D 4 Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4 quả cầu nên số phần tử của không gian mẫu là: n  C10 210 . Gọi A là biến cố “ 4 quả cầu lấy được có đúng 2 quả cầu đỏ”. n A 63 21 Số kết quả thuận lợi của A là: n A C 2.C 2 63 nên: P A . 3 7 n  210 70 Câu 3: (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - Lần I - 2017 - 2018) Một hộp chứa 20 viên bi xanh và 15 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 4 bi. Tính xác suất để 4 bi lấy được có đủ hai màu. 4610 4615 4651 4615 A. .B. . C. .D. . 5236 5236 5236 5236 Lời giải Chọn D
2. 4 Số phần tử không gian mẫu là  C35 5236 . 4 Số phần phần tử của biến cố lấy được 4 bi màu xanh là C20 . 4 Số phần phần tử của biến cố lấy được 4 bi màu đỏ là C15 . C 4 C 4 4615 Suy ra xác suất của biến cố 4 bi lấy được có đủ hai màu là p 1 20 15 . 5236 5236 Câu 4: (THPT Hải An - Hải Phòng - Lần 1 - 2017 - 2018) Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án ở mỗi câu. Tính xác suất để thí sinh đó được 6 điểm. 20 30 30 20 20 30 30 20 20 A. 1 0,25 .0,75 .B. 0,25 .0,75 .C. 0,25 .0,75 .D. 0,25 .0,75 C50 . Lời giải Chọn D Vì mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm nên để đạt được 6 điểm cần trả lời đúng 30 câu. Do mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng nên xác suất trả lời đúng 1 3 một câu hỏi là và xác suất trả lời sai một câu hỏi là . 4 4 30 20 20 Vậy xác suất thí sinh đạt được 6 điểm là 0,25 .0,75 C50 . Câu 5: (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho đa giác đều 20 đỉnh. Lấy ngẫu nhiên 3 đỉnh. Tính xác suất để 3 đỉnh đó là 3 đỉnh của 1 tam giác vuông không cân. 2 17 8 3 A. .B. .C. .D. . 35 114 57 19 Lời giải Chọn C 3 Số cách chọn 3 đỉnh n  C20 Gọi O là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều 20 cạnh, đường tròn này có 10 đường kính tạo thành từ 20 đỉnh của đa giác đó. Chọn một đường kính bất kì, đường kính này chia đường tròn này thành 2 phần, mỗi phần có 9 đỉnh của đa giác Khi đó mỗi phần có 8 tam giác vuông không cân (trừ đỉnh chính giữa) Vậy số tam giác vuông không cân được tạo thành từ 20 đỉnh của đa giác là n A 8.2.10 160 8 Vậy xác suất cần tìm là p A 57 Câu 6: (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Có hai chiếc hộp A và B . Hộp A chứa 6 viên bi trắng, 4 viên bi đen. Hộp B chứa 7 viên bi trắng, 3 viên bi đen. Người ta lấy
3. ngẫu nhiên một viên bi từ hộp A bỏ vào hộp B rồi sau đó từ hộp B lấy ngẫu nhiên ra hai viên bi. Tính xác suất để hai viên bi lấy được từ hộp B là hai viên bi trắng. 126 21 123 37 A. .B. .C. .D. . 275 55 257 83 Lời giải Chọn A Gọi  là không gian mẫu. Có 10 cách lấy ra 1 viên bi từ hộp A . Khi bỏ viên bi lấy từ hộp A vào hộp B thì số bi trong hộp 2 2 B là 11. Khi đó có C11 cách lấy 2 viên bi từ hộp B . Do đó ta có n  10C11 . Có 4 cách lấy ra một viên bi đen từ hộp A . Khi bỏ viên bi đen lấy từ hộp A vào hộp B thì số bi 2 trắng trong hộp B vẫn là 7 . Khi đó có C7 cách lấy 2 viên bi trắng từ hộp B . Có 6 cách lấy ra một viên bi trắng từ hộp A . Khi bỏ viên bi trắng lấy từ hộp A vào hộp B thì số 2 bi trắng trong hộp B là 8 . Khi đó có C8 cách lấy 2 viên bi trắng từ hộp B . 2 2 Vậy có tổng cộng 4C7 6C8 cách lấy theo yêu cầu bài ra. Do đó xác suất cần tính là 2 2 4C7 6C8 126 P 2 . 10C11 275 Câu 7: (SGD - Quảng Nam - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Hai bạn Bình và Lan cùng dự thi trong Kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2018 và ở hai phòng thi khác nhau. Mỗi phòng thi có 24 thí sinh, mỗi môn thi có 24 mã đề khác nhau. Đề thi được sắp xếp và phát cho thi sinh một cách ngẫu nhiên. Xác suất để trong hai môn thi Toán và Tiếng Anh, Bình và Lan có chung đúng một mã đề thi. 32 46 23 23 A. .B. .C. .D. . 235 2209 288 576 Lời giải Chọn C Mỗi môn thi, Bình và Lan đều có 24 cách chọn một mã đề. Do đó, số phần tử của không gian mẫu là n  244 . Gọi A là biến cố: “Trong hai môn thi Toán và Tiếng Anh, Bình và Lan có chung đúng một mã đề thi”. Ta xét hai trường hợp sau: TH1: Bình và Lan có chung đúng một mã đề thi môn Toán, có 24.1.24.23 (cách). TH2: Bình và Lan có chung đúng một mã đề thi môn Tiếng Anh, có 24.23.24.1 (cách). Suy ra, số trường hợp thuận lợi cho biến cố A là n A 2. 24.1.24.23 . n A 2. 24.1.24.23 23 Xác suất cần tìm là P A . n  244 288 Câu 8: (THPT Quỳnh Lưu 1 - Nghệ An - Lần 2 - 2017 - 2018 - BTN) Một hộp đựng 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Phải rút ra ít nhất k thẻ để xác suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 lớn hơn 13 . Giá trị của k bằng: 15 A. 9 .B. 8 .C. 7 . D. 6 . Lời giải
4. Chọn C Gọi biến cố A : Lấy k tấm thẻ có ít nhất một tấm thẻ chia hết cho 4 . Với 1 k 10 . Suy ra A : Lấy k tấm thẻ không có tấm thẻ nào chia hết cho 4 . k k C8 C8 10 k 9 k Ta có: P A k P A 1 k 1 . C10 C10 90 10 k 9 k 13 Theo đề: 1 k 2 19k 78 0 6 k 13. 90 15 Vậy k 7 là giá trị cần tìm. Câu 9: (Tổng Hợp Đề SGD Nam Định - 2017 - 2018 - BTN) Giải bóng chuyền VTV Cúp gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia thành 3 bảng A , B ,C mỗi bảng 4 đội. Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau 16 133 32 39 A. .B. .C. .D. . 55 165 165 65 Hướng dẫn giải Chọn A 4 4 4 Số phần tử của không gian mẫu là n  C12.C8 .C4 . 1 3 1 3 1 3 Gọi A: '' 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau" n A C3.C9 C2.C6 C1 .C3 . Vậy xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau là 1 3 1 3 1 3 C3.C9 C2.C6 C1 .C3 16 P A 4 4 4 . C12.C8 .C4 55 Câu 10: Cho đa giác đều 12 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 12 đỉnh của đa giác. Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều là 1 1 1 1 A. P . B. P .C. P . D. P . 55 220 4 14 Lời giải Chọn A 3 Số phần tử không gian mẫu: n  C12 220 . (chọn 3 đỉnh bất kì từ 12 đỉnh của đa giác ta được một tam giác) Gọi A : “3 đỉnh được chọn tạo thành tam giác đều ”. (Chia 12 đỉnh thành 3 phần. Mỗi phần gồm 4 đỉnh liên tiếp nhau. Mỗi đỉnh của tam giác đều ứng với một phần ở trên .Chỉ cần chọn 1 đỉnh thì 2 đỉnh còn lại xác định là duy nhất). 1 Ta có: n A C4 4 . n A 4 1 Khi đó: P A . n  220 55 Câu 11: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số phân biệt được lấy từ các số 1, 2 ,3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Chọn ngẫu nhiên một số từ S . Xác suất chọn được số chỉ chứa 3 số lẻ là
5. 16 16 10 23 A. P .B. P .C. P .D. P . 42 21 21 42 Lời giải Chọn C 6 Số phần tử không gian mẫu: n  A9 60480 . (mỗi số tự nhiên abcdef thuộc S là một chỉnh hợp chập 6 của 9 - số phần tử của S là số chỉnh hợp chập 6 của 9 ). 3 3 3 Gọi A : “số được chọn chỉ chứa 3 số lẻ”. Ta có: n A C5 .A6 .A4 28800 . (bốc ra 3 số lẻ từ 5 số lẻ đã cho- chọn ra 3 vị trí từ 6 vị trí của số abcdef xếp thứ tự 3 số vừa chọn – bốc ra 3 số chẵn từ 4 số chẵn đã cho xếp thứ tự vào 3 vị trí còn lại của số abcdef ) n A 28800 10 Khi đó: P A . n  60480 21 Câu 12: Trên giá sách có 4 quyến sách toán, 3 quyến sách lý, 2 quyến sách hóa. Lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách. Tính xác suất để 3 quyển lấy ra có ít nhất 1 quyển là môn toán. 2 1 37 5 A. .B. .C. .D. . 7 21 42 42 Lời giải Chọn C 3 n() C9 84 . Gọi A :”3 quyển lấy ra có ít nhất 1 quyển là môn toán” Khi đó A : “3 quyển lấy ra không có quyển nào môn toán” hay A : “3 quyển lấy ra là môn lý hoặc hóa”. 10 37 Ta có 3 2 5 quyển sách lý hoặc hóa. n(A) C3 10 . Vậy P(A) 1 P(A) 1 . 5 84 42 Câu 13: Một hộp đựng 11 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 11. Chọn ngẫu nhiên 6 tấm thẻ. Gọi P là xác suất để tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ. Khi đó P bằng: 100 115 1 118 A. .B. .C. .D. . 231 231 2 231 Lời giải Chọn D 6 n() C11 462 . Gọi A :”tổng số ghi trên 6 tấm thẻ ấy là một số lẻ”. Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn.Để có tổng là một số lẻ ta có 3 trường hợp. 5 Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 5 thẻ mang số chẵn có: 6.C5 6 cách. 3 3 Trường hợp 2 : Chọn được 3 thẻ mang số lẻ và 3 thẻ mang số chẵn có: C6 .C5 200 cách. 5 Trường hợp 3 : Chọn được 5 thẻ mang số lẻ và 1 thẻ mang số chẵn có: C6 .5 30 cách. 236 118 Do đó n(A) 6 200 30 236 . Vậy P(A) . 462 231 Câu 14: Chọn ngẫu nhiên 6 số nguyên dương trong tập {1;2; ;10} và sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần. Gọi P là xác suất để số 3 được chọn và xếp ở vị trí thứ 2 . Khi đó P bằng: 1 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 60 6 3 2 Lời giải
6. Chọn C 6 n() C10 210 . Gọi A :”số 3 được chọn và xếp ở vị trí thứ 2 ”. Trong tập đã cho có 2 số nhỏ hơn số 3 , có 7 số lớn hơn số 3 . + Chọn 1 số nhỏ hơn số 3 ở vị trí đầu có: 2 cách. + Chọn số 3 ở vị trí thứ hai có: 1 cách. 4 + Chọn 4 số lớn hơn 3 và sắp xếp theo thứ tự tăng dần có: C7 35 cách. 70 1 Do đó n(A) 2.1.35 70 . Vậy P(A) . 210 3 Câu 15: Có ba chiếc hộp A, B,C mỗi chiếc hộp chứa ba chiếc thẻ được đánh số 1,2,3 . Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ. Gọi P là xác suất để tổng số ghi trên ba tấm thẻ là 6 . Khi đó P bằng: 1 8 7 6 A. .B. .C. .D. . 27 27 27 27 Lời giải Chọn C n() 3.3.3 27 . Gọi A :”tổng số ghi trên ba tấm thẻ là 6 ”. Để tổng số ghi trên ba tấm thẻ là 6 thì có các tổng sau: 1 2 3 6 , khi đó hoán vị 3 phần tử 1,2,3 ta được 3! 6 cách. 2 2 2 6 , khi đó ta có 1 cách. 7 Do đó n(A) 6 1 7 . Vậy P(A) . 27 Câu 16: Một con xúc sắc cân đối và đồng chất được gieo ba lần. Gọi P là xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo đầu bằng số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ ba. Khi đó P bằng: 10 15 16 12 A. .B. .C. .D. . 216 216 216 216 Lời giải Chọn B n() 6.6.6 216 . Gọi A :”tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo đầu bằng số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ ba”. Ta chỉ cần chọn 1 bộ 2 số chấm ứng với hai lần gieo đầu sao cho tổng của chúng thuộc tập {1;2;3;4;5;6} và số chấm lần gieo thứ ba sẽ là tổng hai lần gieo đầu. Liệt kê ra ta có: {(1;1);(1;2);(1;3);(1;4);(1;5);(2;1);(2;2);(2;3);(2;4);(3;1);(3;2);(3;3);(4;1);(4;2);(5;1)} 15 Do đó n(A) 15 . Vậy P(A) . 216 Câu 17: Gieo hai con súc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để hiệu số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc xắc bằng 2 là: 1 1 2 5 A. .B. .C. .D. . 12 9 9 36 Lời giải Chọn C n() 6.6 36 . Gọi A :”hiệu số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc xắc bằng 2 ”. Các hiệu có thể bằng 2 là: 3 1 2 , 4 2 2 , 5 3 2 , 6 4 2 . 2.4 2 Do đó n(A) 2.4. Vậy P(A) . 36 9
7. Câu 18: Hai xạ thủ độc lập với nhau cùng bắn vào một tấm bia. Mỗi người bắn một viên. Xác suất bắn trúng của xạ thủ thứ nhất là 0,7 ; của xạ thủ thứ hai là 0,8 . Gọi X là số viên đạn bắn trúng bia. Tính kì vọng của X : A.1,75.B. 1,5 .C. 1,54 .D. 1,6. Lời giải Chọn B Xác suất để 2 người không bắn trúng bia là: P 0,3.0,2 0,06 . Xác suất để 2 người cùng bắn trúng bia là: P 0,7.0,8 0,56. Xác suất để đúng 1 người cùng bắn trúng bia là: P 1 0,06 0,56 0,38. Ta có bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X . X 0 1 2 P 0,06 0,38 0,56 Vậy kỳ vọng xủa X là: E(X ) 0.0,06 1.0,38 2.0,56 1,5. Câu 19: Gieo ngẫu nhiên đồng thời bốn đồng xu. Tính xác xuất để ít nhất hai đồng xu lật ngửa, ta có kết quả 10 11 11 11 A. .B. .C. . D. . 9 12 16 15 Lời giải Chọn C Do mỗi đồng xu có một mặt sấp và một mặt ngửa nên n  2.2.2.2 16. Gọi A là biến cố: “Có nhiều nhất một đồng xu lật ngửa”. Khi đó, ta có hai trường hợp Trường hợp 1. Không có đồng xu nào lật ngửa có một kết quả. Trường hợp 2. Có một đồng xu lật ngửa có bốn kết quả. Vậy xác suất để ít nhất hai đồng xu lật ngửa là 1 4 11 P 1 P A 1 . 16 16 Câu 20: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ (các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc). Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi nữa. Khi tính xác suất của biến cố “Lấy lần thứ hai được một viên bi xanh”, ta được kết quả 5 5 5 4 A. .B. .C. .D. . 8 9 7 7 Lời giải Chọn A Gọi A là biến cố “Lấy lần thứ hai được một viên bi xanh”. Có hai trường hợp xảy ra Trường hợp 1. Lấy lần thứ nhất được bi xanh, lấy lần thứ hai cũng được một bi xanh. Xác suất 5 4 5 trong trường hợp này là P . . 1 8 7 14 Trường hợp 2 . Lấy lần thứ nhất được bi đỏ, lấy lần thứ hai được bi xanh. Xác suất trong trường 3 5 15 hợp này là P . . 2 8 7 56 5 15 35 5 Vậy P A P P . 1 2 14 56 56 8 Câu 21: Một con súc sắc đồng chất được đổ 6 lần. Xác suất để được một số lớn hơn hay bằng 5 xuất hiện ít nhất 5 lần là 31 41 51 21 A. .B. .C. .D. . 23328 23328 23328 23328
8. Lời giải Chọn B Ta có n  6.6.6.6.6.6 66 . Có các trường hợp sau: 1. Số bằng 5 xuất hiện đúng 5 lần có 30 kết quả thuận lợi. 2 . Số bằng 5 xuất hiện đúng 6 lần có 1 kết quả thuận lợi. 3 . Số bằng 6 xuất hiện đúng 5 lần có 30 kết quả thuận lợi. 4 . Số bằng 6 xuất hiện đúng 6 lần có 1 kết quả thuận lợi. Vậy xác suất để được một số lớn hơn hay bằng 5 xuất hiện ít nhất 5 lần là 30 1 30 1 31 P . 66 23328