Bài tập Đại số Lớp 10 - Vấn đề 4, Phần 3: Phương trình chứa tham số

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 10 - Vấn đề 4, Phần 3: Phương trình chứa tham số

1. Câu 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình : 4 x2 mx 2 m 0 có hai nghiệm phân biệt A. 2 B. 1 C. 0 D.3 Lời giải Đk : 2 x 2 , Đặt 4 x2 y 0 , (1) y mx 2 m (d) + Điều kiện bài toán tương đương nửa đường tròn tâm O(0;0),r 2 (phần trên trục hoành) cắt (d) tại hai điểm phân biệt + (d): đi qua điểm cố định A(1;2),m + Qua A có hai tiếp tuyến với đường tròn là đường thẳng y 2 và AD + Gọi k1,k2 ,k3 ,k4 lần lượt là hệ số góc của các đường thẳng AC, AD, AB, AE · · 4 · · 2 + Ta có k1 tanACO 2 , k2 tanEAD (vì tanEAO 2 k3 tanABO , k4 0 3 3 2 4 Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 0 m hoặc 2 m 3 3 Với m Z m 2 , vậy có 1 giá trị nguyên thỏa mãn.
2. Họ và tên tác giả : Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát Email: nguyenvantoannbk@gmail.com Bài ở mức độ VDC, nhờ thầy cô góp ý! Câu 2. Gọi S là tập hợp các giá trị của a để phương trình x2 a x a có hai nghiệm phân biệt. Khi đó S là tập con của tập hợp nào sau đây? A. ; 1  2; B. 8;0  1; . C. 9;2019 . D. 1; . Lời giải Chọn D Cách 1: 2 2 x2 x a x2 x 1 a 0 2 x a a x Ta có: x a x a 2 2 x a 0 x a 0 Nghiệm của phương trình là giao diểm của đường thẳng y a với hợp của hai parabol y x2 x & y x2 x 1đồng thời nằm dưới parabol y x2 . Vẽ và dựa vào hình ta được : 1 1 1 4a +) a 0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x . 4 2
3. 1 1 4a 1 4a 3 +) a 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x ; x 2 2 1 S ;0 1; . Vậy chọn D. 4 Cách 2 : Ta có : x2 a x a x2 a x x a x x a x x a x 1 0 x 0 y 2 a x x x x a f x = x2 + x a x x 1 x 1 x2 x 1 a g x = x2 x + 1 Dựa vào hình vẽ ta thấy: 1 1 1 a 0 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2 O 1 a 1 1 x 4 1 S ;0 1; . Vậy chọn D. 4 Họ và tên tác giả: Nguyễn Thị Phương Thu FB: Nguyễn Phương Thu Email: phuongthu081980@gmAil.Com Email: huyenvanqt050185@gmail.com Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x2 x 1 - x2 - x 1 m có nghiệm? A. 1.B. 3.C. 4.D.5. Lời giải. Họ và tên tác giả: Võ Khánh Huyền Vân Tên Fb: Vân Võ.
4. Cách 1: Chọn A 2 2 2 2 2 2 1 3 1 3 x x 1 x x 1 m x x m 2 2 2 2 1 1 3 Trong mặt phẳng tọa độ, chọn A ;0 , B ;0 , M x; . 2 2 2 Khi đó phương trình được viết lại MA MB m . Mặt khác, MA MB AB 1 (Vì A, B Ox, M Ox ) nên m 1. Do m nguyên nên m 0 . Thử lại, m 0 thỏa mãn đề bài. Vậy m 0 . Cách 2: Xét hàm số f (x) x2 x 1 x2 x 1 . TXĐ: ¡ . 1 1 x x 2x 1 2x 1 f '(x) 2 2 2 2 2 2 2 x x 1 2 x x 1 1 3 1 3 x x 2 4 2 4 t Xét hàm số g(t) . TXĐ: ¡ . 3 t 2 4 3 Ta có g '(t) 0,t ¡ nên g(t) là hàm số đồng biến trên ¡ . 2 3 4 t 4 1 1 Suy ra f ' x g x g x 0,x ¡ . Do đó f (x) là hàm số đồng biến trên ¡ . 2 2 BBT của f (x) :
5. Vậy phương trình f (x) m có nghiệm khi và chỉ khi 1 m 1. Do m nguyên nên m 0. Câu 4. Biết rằng tập hợp tất cả giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm 2 S a;b x 9 x x 9x m có nghiệm là   . Tính a b ? 31 49 5 a b a b a b A. 4 B. 4 C. a b 10 D. 2 Lời giải Họ và tên tác giả : Trần Quốc Đại Tên FB: www.facebook.com/tqd1671987 Chọn A Điều kiện: 0 x 9 x 9 x 2 x(9 x) x2 9x m PT (1) 2 2 9 2 x 9x x 9x m (2) 2 9 Đặtt x 9x do 0 x 9 suy ra 0 t 2 Phương trình (2) trở thành 9 2t t 2 m t 2 2t 9 m (3) 9 Xét hàm số f (t) t 2 2t 9 , 0 t 2 Bảng biến thiên : 9 Phương trình (1) có nghiệm x 0;9 phương trình (3) có nghiệm t 0; 2 9 9 31 m 10 . Vậy S ;10 a b 4 4 4 Email:Quocthong1182@gmail.com Câu 5. Có bao nhiêu giá trị của a nguyên để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1- x2 + 2.3 1- x2 = a (*) A. 1B.0 C.3 D.Vô số Họ và tên : Phan Quôc Thông (Sưu tầm) Fabook: Quocthongphan
6. Chọn đáp án A Lời giải ● Nhận thấy nếu x o là nghiệm thì - x o cũng là nghiệm của phương trình. Do đó, phương trình có nghiệm duy nhất Û x o = - x o Û x o = 0. 3 ● Thế x o = 0 vào (*) ta được: a = 1- 0 + 2. 1- 0 Û a = 3. ● Thử lại: Với a = 3 thì (*) Û 1- x2 + 2.3 1- x2 = 3 (* *) ì 2 3 2 ï t = 1- x Đặt : t = 6 1- x2 , (0 £ t £ 1) Þ íï . ï t 3 = 1- x2 îï (* *) Þ t 3 + 2t 2 - 3 = 0 Û t = 1 Nên 6 1- x2 = 1 Û 1- x2 = 1 Û x = 0(nghiệm duy nhất). ● Vậy với a = 3 thì phương trình có nghiệm duy nhất. Chọn đáp án A 2 3 2 é ù ● Cách 2. Khảo sát hàm số f (x) = 1- x + 2. 1- x trên khoảng ëê0;1ûú. ïì 2 ïì 2 2 ïì 2 3 ï u = 1- x > 0 ï u = 1- x ï u - v = 0 ● Cách 3. Đặt hai ẩn phụ í Û í 3 2 Û í . ï v = 3 1- x2 ï v = 1- x ï u + 2v = a îï îï îï Fb: Hoàng Trà Email: tra.hoangthi@gmail.com Câu 6. Cho phương trình x4 x2 m 2 2x x2 1 (1) Biết tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; 3] là nửa khoảng [a;b). Khi đó hệ thức liên hệ giữa a và b là A. a+b = 2 3 B. a+b= 4 3 8 C. a.b=12D. a-b=-1 Lời giải Chọn D Đặt t x x2 1 t 2 x4 x2 và do x [0; 3] suy ra t 0 Với x2 u,u 0 , x [0; 3] suy ra u [0;3] khi đó t 2 u2 u , Xét hàm số t 2 u2 u , u [0;3] u 0 3
7. 12 t2 0 Từ BBT ta có t 2 [0;12] t [0;2 3] . Như vậy ứng với mỗi giá trị t [0;2 3] cho ta một giá trị u [0;3] , ứng với mỗi giá trị u [0;3] cho ta một giá trị x [0; 3] tương ứng. (1) trở thành t 2 m 2 2t t 2 2t 2 m ( 2). Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn [0; 3] khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt t thuộc đoạn [0;2 3] Đặt f (t) t 2 2t 2 có đồ thị (P) . Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đồ thị (P) cắt đường thẳng y m tại hai điểm phân biệt có hoành độ thuộc đoạn [0;2 3] BBT t 0 1 2 3 3 f(t) 2 10 4 3 Dựa vào BBT ta có 2 m 3 . Vậy a = 2 ; b = 3, khi đó a-b=-1 nên chọn D Email: trandotoanbk35@gmail.com Câu 7. Cho phương trình 4 6 x x2 3x m x 2 2 3 x Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm thực? A. 6. B. 7. C. 8. D. 9. Lời giải Họ và tên tác giả: Trần Thế Độ Tên FB: Trần Độ Chọn B Cách 1: Dùng KT lớp 10. + Điều kiện: 2 x 3. + Đặt t x 2 2 3 x với x  2;3 2 Ta có t2 x 2 2 3 x 12 22 x 2 3 x 25 t 5
8. Đẳng thức xảy ra 2 x 2 3 x 4 x 2 3 x x 1. Mặt khác: t x 2 2 3 x x 2 3 x 2 t2 x 2 3 x 5 2 x 2 3 x 5 t 5. 3 x 0 Đẳng thức xẩy ra khi x 3. x 2 3 x 0 Vậy t 5;5 + Do t x 2 2 3 x 4 6 x x2 3x t 2 14 nên phương trình trở thành: t 2 14 t 2 14 mt m t t 2 14 + Xét hàm số f t với t 5;5 t Với 5 t1 t2 5 ta có 14 14 1 1 14 f t1 f t2 t1 t2 t1 t2 14 t1 t2 1 0 f t1 f t2 t1 t2 t2 t1 t1t2 f t đồng biến trên 5;5 9 5 11 + Phương trình có nghiệm thực f 5 m f 5 m 5 5 9 5 11 Vậy phương trình có nghiệm thực khi m . Do m nguyên nên có 7 giá trị m thỏa mãn 5 5 4; 3; 2; 1;0;1;2 . Nhận xét: Với Cách làm của lớp 10, ta thấy lời giải trên chưa chặt chẽ, bởi việc chỉ ra 5 t 5 chứ chưa phải là chỉ ra miền giá trị của t x 2 2 3 x . Nên để chặt chẽ thì phải thử lại các giá trị nguyên m tìm được. Cách 2: Dùng KT lớp 12. + Điều kiện: 2 x 3. + Đặt t x 2 2 3 x với x  2,3
9. 1 1 3 x 2 x 2 Ta có: t ' ; t ' 0 3 x 2 x 2 x 1 2 x 2 3 x 2 x 2 3 x Bảng biến thiên: Từ BBT suy ra: t 5,5 + Do t x 2 2 3 x 4 6 x x2 3x t 2 14 nên phương trình trở thành: t 2 14 t 2 14 mt m t t 2 14 + Xét hàm số f t với t 5,5 , ta có: t t 2 14 f ' t 0,t 5,5 f t đồng biến trên 5,5 t 2 9 5 11 + Phương trình có nghiệm thực f 5 m f 5 m 5 5 9 5 11 Vậy phương trình có nghiệm thực khi m . 5 5 Email: tranducphuong.rb@gmail.com 2 Câu 8. Số giá trị m nguyên để phương trình - x + 9x + m - x - 9- x = 0 có 2 nghiệm phân biệt là A. 9. B. 10. C. 12. D. 13. Lời giải Phương trình trở thành - x2 + 9x + m = x + 9- x ĐK x Î [0;9] Khi đó - x2 + 9x + m = x + 2 x(9- x)+ 9- x Û m = - (9x - x2 )+ 2 9x - x2 + 9 2 9 2 9 Đặt t = 9x- x với t 0; . Phương trình trên trở thành m = - t + 2t + 9 với t 0; . 2 2 2 9 Xét hàm số g(t)= - t + 2t + 9 ( ) với t 0; . 2
10. t 9 0 1 2 g(t) 10 9 9 4 ì 2 ï t ³ 0 9 Từ t = 9x- x Û ï ta thấy ứng với mỗi t 0; PT (*) có hai nghiệm phân í 2 2 îï x - 9x+t = 0 (*) 2 9 biệt và t PT (*) có nghiệm duy nhất. Do đó PT đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 2 9 ( ) có nghiệm duy nhất t 0; . 2 9 Từ bảng biến thiên trên ta tìm được m ;9  10. 4 Vì m Î ¢ ta được m Î {- 2;- 1;0;1; ;7;8;10} Họ và tên tác giả: Trần Đức Phương Tên FB: Trần Đức Phương Email: quangtqp@gmail.com Câu 9. Biết rằng với m a; b thì phương trình 3 x - 3 + m x + 3 = 2 4 x2 - 9 có đúng 2 nghiệm phân biệt. Tính a 3b . A. 0 B. 1 C. - 2 D. 2 Lời giải Họ và tên tác giả: Phí Văn Quang Tên FB: QuangPhi Chọn B Xét phương trình 3 x - 3 + m x + 3 = 2 4 x2 - 9 (1) ĐKXĐ: x ³ 3 . Chia cả hai vế cho x + 3 > 0 ta có x - 3 4 x2 - 9 x - 3 x - 3 (1)Û 3 + m = 2 Û - 3 + 2 4 = m (2) x + 3 x + 3 x + 3 x + 3 x - 3 6 Đặt t = 4 = 4 1- Þ 0 £ t < 1 x + 3 x + 3
11. Phương trình (2) trở thành - 3t2 + 2t = m (3) b 1 æ1ö 1 Xét hàm số y = - 3t2 + 2t trên [0;1) , ta có - = , yç ÷= 2a 3 èç3÷ø 3 Bảng biến thiên x - 3 4 4 4 Ta có t = 4 Þ t (x + 3)= x - 3 Û (1- t )x = 3t + 3 (*) x + 3 3t 4 3 Với mỗi giá trị t 0;1 thì phương trình (*) có một nghiệm x . 1 t 4 Do đó phương trình (2) có đúng 2 nghiệm phân biệt Û phương trình (3) có đúng 2 nghiệm phân biệt t Î [0;1) Û đồ thị hàm số y = - 3t2 + 2t và đường thẳng y = m có đúng 2 điểm chung trên 1 [0;1) Û 0 £ m < 3 1 1 Do vậy phương trình (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 £ m < hay m 0; . 3 3 Vậy a 3b 1 Email: huanpv@dtdecopark.edu.vn Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x2 5 4x x2 4x m 103 có bốn nghiệm phân biệt? A. 1B. 2C. 3D. 4 Họ và tên tác giả : Phạm Văn Huấn Tên FB: Pham Van Huan Lời giải Chọn A ĐKXĐ x  1;5. Đặt t 5 4x - x2 9 - x - 2 2 nên 0 t 3 hay t 0;3 Ta được PT t 2 t 108 m (*). Xét hàm g x x2 4x 5 trên  1;5
12. x -1 2 5 g(x) 9 0 0 Từ bảng biến thiên ta thấy với mỗi t 0;3 thì PT đã cho có hai nghiệm phân biệt. Xét y f t t 2 t 108 với t 0;3 t 1 0 3 2 f(t) 433 4 108 102 Từ bảng biến thiên trên, ta thấy PT (*) có hai nghiệm phân biệt t 0;3 khi và chỉ khi 433 108 m . Do đó có 1 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán. 4 Email: tranght145@gmail.com Câu 11. Có bao nhiêu giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt? m x3 3 12 x3 10 8 A. 15. B. 6.C. 8.D.9. Lời giải Họ và tên tác giả : Nguyễn Thị Trang Tên FB: Trang Nguyen Chọn C m Cách 1: x3 3 12 x3 10 (1) 8 PTTS X 1 3t Hướng nhìn bài toán : X 3Y 10  Y 3 t (quy về bậc nhất để xuất hiện phương trình đường thẳng) m Điều kiện : 3 x 3 12 8 m 1 Đặt: x3 1 3t , ta có 1 3t 0 t 8 3
13. 12 x3 3 t , ta có 3 t 0 t 3 3 m 2 x 1 3t m Ta có: 8 10t 2 2 (2) 3 2 8 12 x 3 t 1 Xét hàm f(t)= 10t 2 2 t ;3 3 Ta có bảng biến thiên sau: t 1 0 3 3 88 f (t) 8 9 2 1 m 3 NX Với mỗi giá trị t ;3 thì sẽ cho ta 1 giá trị x 3 ; 12 3 8 m 8 Nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt 2 8 9 64 16 m 9 Do m nguyên âm nên m 15, 14, 13, , 8 có 8 giá trị thõa mãn. m Cách 2: pt: x3 3 12 x3 10 (1) 8 m Điều kiện : 3 x 3 12 8 3 m a x (a 0) Đặt 8 3 b 12 x (b 0) 10 a 3b 10 a 10 3b (a 0 b ) 3 Ta có hệ 2 2 m a b 12 m 2 8 10b 60b 88 * 8 10 Xét hàm f(b)= 10b2 60b 88 b 0; 3
14. t 0 3 1 0 3 88 8 f (b) 9 2 m 8 Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt (*) có 2 nghiệm phân biệt 2 8 9 64 16 m 9 Do m nguyên âm nên m 15, 14, 13, , 8 có 8 giá trị thõa mãn. m Cách 3PT x3 3 12 x3 10 (1) 8 3 t 0 Đặt t= 12 x Ta có: 3 2 x 12 t m 12 t 2 10 3t 8 m PTTT: 12 t 2 100 60t 9t 2 8 m 10t 2 60t 88 8 Ta có bảng t 0 3 1 0 3 88 8 10t 2 60t 88 9 2 1 NX : Với mỗi giá trị t ;3 , cho 1 nghiệm của phương trình 3 m 8 64 Phương trình có 2 nghiệm 2 16 m 8 9 9 Do m nguyên âm nên m 15, 14, 13, , 8 có 8 giá trị thõa mãn.
15. a Câu 12. Biết rằng phương trình x2 mx 2 2x 1 0 có 2 nghiệm phân biệt khi m với a,b nguyên b dương và a,b 1. Tính a b . A. a b 21.B. a b 5 .C. a b 11.D. a b 9 . Họ và tên: Hoàng Nhàn, fb: Hoàng Nhàn Lời giải Chọn C 2 x mx 2 0 2x 1 0 x2 mx 2 2x 1 0 2 2 2 x mx 2 2x 1 1 x mx 2 2x 1 1 x 2 . 2 3x 4 m x 1 0 2 Cách 1: Dùng định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai Đặt f x 3x2 4 m x 1 Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt 4 m 2 12 0 m 1 1 4 m 1 9 lớn hơn hoặc bằng 9 m . 2 6 2 m 2 2 1 3 4 m f 1 0 2 4 2 a 9,b 2 a b 11. Cách 2: Dùng Vi - ét Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt 4 m 2 12 0 1 1 1 1 1 x1x2 x1 x2 0 x1, x2 lớn hơn hoặc bằng x1 x2 0 2 2 2 2 2 x1 x2 1 0 1 1 x1 x2 0 2 2 1 1 m 4 1 . 0 9 3 2 3 4 m 9 2 m . m 4 2 1 0 m 1 3 a 9,b 2 a b 11. Cách 3: Dùng hàm số 1 2 m 3x 4 3 (Vì x 0 không là nghiệm của phương trình) x 1 1 Xét hàm số f x 3x 4 f x 3 . x x2 Bảng biến thiên
16. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 3 có hai nghiệm phân biệt 1 9 lớn hơn hoặc bằng BBT m . 2 2 a 9,b 2 a b 11. 2 Câu 13. Cho phương trình: x 2 + 2m2 x + m4 + 81 + x 4 + 2x 2 + 2 = (x 2 + x + m2 + 1) + 100 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m nguyên thuộc đoạn [-10;50] để phương trình trên có hai nghiệm trái dấu. Tính tổng các phần tử của S ta được: A. 1210B. 1220C. 1269D. 0 Tác giả: Trần Phương FB: Phuong tran LG: Chọn B 2 2 2 PT Û (x + m2 ) + 92 + (x 2 + 1) + 1 = (x 2 + x + m2 + 1) + 102 r ïì 2 ï u = (x + m ;9) r r r r 2 Đặt: íï r Þ u + v = (x 2 + x + m2 + 1;10)Þ u + v = (x 2 + x + m2 + 1) + 102 = VP ï v = x 2 + 1;1 îï ( ) r r r r Ta có: VT = u + v ³ u + v = VP . r r x + m2 9 Dấu “=” xảy ra khi và Û u,v cùng hướng Û = > 0 Û 9x 2 - x + 9- m2 = 0 (*) x 2 + 1 1 ém 3  10;50 Þ m Î {- 10;- 9; ;- 4;4;5; ;50}. (11+ 50)40 Vậy tổng các giá trị của m là: S = 11+ 12 + + 50 = = 1220 2 Chọn B Email: pvbinh161187@gmail.com
17. Câu 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sau có nghiệm thực? m 25- x2 - - 4 = 0 (1) 25- x2 A. 11.B. 10. C. 9. D. 15 . Lời giải Họ và tên tác giả : Phan Văn Bình Tên FB: bình phan văn Chọn B Điều kiện: - 5 < x < 5 Đặt t = 25- x2 , suy ra t Î (0;5]. m Ta có: (1)Û t - - 4 = 0 Û t 2 - 4t = m t Xét f (t) = t 2 - 4t trên (0;5] t 0 2 5 f(t) -4 0 5 Từ bảng biến thiên ta được: - 4 £ m £ 5 . Vậy có 10 giá trị nguyên của m thỏa mãn. Mail: Duyleag@gmail.com Câu 15. Cho hàm bậc hai y f x ax2 bx c có đồ thị như hình vẽ sau: Tìm m để phương trình 2 f 2 x m2 4m 23 f x 4m2 16m 76 8 f x có 4 nghiệm phân biệt. A. m  2;0  4;6 \ 2 5 .B. m  1;0  4;5 \ 2 5.
18. C. m  1;5. D. m ;0  4; . Họ và tên: Lê Duy Tên Facebook: Duy Lê Lời giải Chọn B 2 f 2 x m2 4m 23 f x 4m2 16m 76 8 f x 1 f x 8 2 2 2 2 2 f x m 4m 23 f x 4m 16m 76 8 f x f x 8 2 2 2 f x m 4m 7 f x 4m 16m 12 0 f x 8 2 2 2 f x m 4m 7 f x 4 m 4m 3 0 f x 8 f x 4 2 2 f x m 4m 3 m 2 1 Dựa vào đồ thị phương trình f x 4 có hai nghiệm phân biệt. Suy ra 1 có 4 nghiệm phân biệt khi f x m 2 2 1 có 2 nghiệm phân biệt khác nghiệm phương trình f x 4 . m 4 2 m 2 2 m 0 3 m 2 1 8 m 2 3 1 m 5 m 1;0  4;5 \ 2 5 2    m 2 1 4 m 2 5 m 2 5 Mail: Duyleag@gmail.com Câu 16. Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm: mx 1 16x 28 2 2x4 6x3 12x2 40x 48 3 m2 x2 2 3 m x 10 Số phần tử của S là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Họ và tên: Lê Duy Tên Facebook: Duy Lê Lời giải Chọn B
19. 7 16x 28 0 x 4 7 Điều kiện 4 3 2 x 2x 6x 12x 40x 48 0 2 2 4 x 2 2x 2x 12 0 Ta có mx 1 16x 28 2 2x4 6x3 12x2 40x 48 3 m2 x2 2 3 m x 10 2 mx 1 4x 7 2 x 2 2x2 2x 12 3 m2 x2 2 3 m x 10 a 4x 7 2 2 2 2 Đặt a b m x 4 2m x 6 b mx 1 2 c 2x 2x 12 2 2 2 và c d 3x 2x 16 d x 2 a2 b2 c2 d 2 3 m2 x2 3 2 m x 10 2 2 a b Phương trình trở thành a b c d 0 c d 4x 7 mx 1 1 Trả biến ta được 2 2x 2x 12 x 2 2 x 2 x 2 2 2 (thỏa mãn) x 6x 8 0 x 4 + Với x 2 : 1 1 2m 1 m 1 + Với x 4 : 1 3 4m 1 m 1. Email: nguyentuyetle77@gmail.com Câu 17. Phương trình m( x 1 x2 1) 2 x2 x4 x 1 x2 2 (x ¡ ) có nghiệm với tất cả các giá a trị của m ;c 2 d với a,b nguyên dương và (a,b) 1 . Khi đó tổng S a b c d là: b A. 6B. 7C. 8D. 9 Họ và tên: Nguyễn Thị Tuyết Lê. Tên facebook: Nguyen Tuyet Le Bài giải: Điều kiện: x 1 . Đặt t x 1 x2 0 t 2 x2 1 x2 2 x 1 x2 1 2 x 1 x2 1 t. Mặt khác: 2 x 1 x2 x2 1 x2 1(BĐT Cô si) t 2 . Do đó:1 t 2
20. t 2 1 Khi đó t 2 x2 1 x2 2 x 1 x2 0 x 1 x2 x2 x4 . 2 Thay vào phương trình ta được: t 2 t 1 m(t 1) t2 t 1 m.với 1 t 2 . t 1 t 2 t 1 2t 1 Đặt f (t) ,t 1; 2 . Lúc đó: f ' (t) 0,t 1; 2 t 1 (t 1)2 Hàm số f (t) đồng biến trên đoạn 1; 2 , do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 3 f (1) m f ( 2) m 2 2 1. Do đó a 3,b 2,c 2,d 1 . Vì vậy: 2 S a b c d 8 Gmail: Binh.thpthAuloC2@gmAil.Com Họ tên: Phạm Văn Bình FB: Phạm Văn Bình 2 Câu 18. Cho phương trình: x 2x 4 3 x x 1 m 3 (1) trong đó x là ẩn, m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m  2018;2018 để phương trình (1) không có nghiệm thực. A. 4014. B. 4024. C. 4034. D. 4036. Lời giải Đáp án B Cách 1: Đặt t 3 x x 1 thì 0 t 2. Khi đó phương trình (1) trở thành: t 2 4t m 0 f t t 2 4t m (2) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm t 0;2 . Xét f t t 2 4t trên 0;2 t 0 2 f(t) 12 0 Từ bảng biến thiên ta thấy PT có nghiệm khi và chỉ khi 0 m 12. m 12 Do đó thì (*) phương trình không có nghiệm thực. m 0 Mà m ¢ & m  2018;2018
21. Nên có 4024 giá trị m thỏa mãn YCBT. Cách 2 Đặt t 3 x x 1 , điều kiện 0 t 2. Khi đó phương trình (1) trở thành: f t t 2 4t m 0 2 Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (2) vô nghiệm t 0;2 TH1: (2) vô nghiệm trên ¡ ' 4 m 0 m 4 TH2: (2) có nghiệm kép t 0;2 m 4 TH3: Do a = 1 > 0 nên (2) có hai nghiệm phân biệt t 0;2 ' 4 m 0 m 12 f 0 . f 2 0 4 m 0 m 12 m 0 0 m 12 m 12 Tổng hợp lại ta có thì (*) phương trình không có nghiệm thực. m 0 Mà m ¢ & m  2018;2018 Nên có 4024 giá trị m thỏa mãn YCBT. Họ tên: Phạm Văn Bình FB: Phạm Văn Bình Email: trAnquoCAn1980@gmAil.Com Câu 19. Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình m 9 x2 x 2m 0 (1) có nghiệm . A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Họ và tên tác giả : Trần Quốc An Tên FB: Tran Quoc An Lời giải Chọn B
22. 2 2 2 x y 9 Điều kiện : 3 x 3 . Đặt 9 x y, y 0 (C) . y 0 Khi đó phương trình đã cho trở thành : my x 2m 0 (d) Phương trình (1) có nghiệm khi nửa đường tròn (C) và đường thẳng (d) có điểm chung. Mà đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định M (0; 2) và cắt Ox tại điểm có hoành độ 2m. Nửa đường tròn (C) cắt Ox tại hai điểm A( 3;0), B(3;0) nên phương trình đã cho có nghiệm khi 3 3 3 2m 3 m . 2 2 Vậy số giá trị nguyên của m là 3. x Cách 2: Cô lập m xét hàm số f (x) trên đoạn [ 3;3] 9 x2 2 Email: alm.maths@gmail.com Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình x2 2ax 2x2 a2 x a có đúng một nghiệm không âm. A. a ¡ . B. a 0 . C. a 0 . D. a 0 . Lê Minh An FB: Lê Minh An Lời giải Chọn C Phương trình tương đương với 2x2 a2 2x2 a2 x a 2 x a 2x2 a2 x a 2x2 a2 x a 1 0 2x2 a2 x a 2 x 0 x 2ax 0 . x 2a 2a 0 Phương trình có đúng một nghiệm x không âm khi và chỉ khi a 0 . 2a 0; Câu 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phương trình x 1 2 2x x a 1 a2 1 x a
23. có đúng một nghiệm thuộc  2;2. A. 3. B. 4 . C. 5. D. 6 . Lời giải Lê Minh An FB: Lê Minh An Chọn B Phương trình tương đương với 2x2 2ax 2x 2x2 2ax 2x x a 2 x a 2x2 2ax 2x x a 2x2 2ax 2x x a 1 0 2x2 2ax 2x x a x2 2x a2 (1) Xét hàm số f x x2 2x trên  2;2 có bảng biến thiên x 2 1 2 8 f x 0 1 Để thỏa mãn đề bài thì (1) có đúng 1 nghiệm thuộc  2;2. a 0 2 Dựa vào bảng biến thiên ta có 0 a 8 8 a 8. Mà a ¢ nên a 1; 2 . Câu 22. Cho phương trình x3 x2 (m 1)x 8 (x 3) x3 x2 mx 6 . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của m thỏa mãn m 10 để phương trình có nghiệm. Tính tổng T các phần tử của S? A. T 52 .B. T 10 .C. T 19 . D. T 9 . Lời giải Họ và tên : Đào Hữu Nguyên Tên FB: Đào Hữu Nguyên Chọn C Điều kiện : pt x3 x2 mx 6 (x 3) x3 x2 mx 6 (x 2) 0 Đặt t x3 x2 mx 6 ,t 0
24. 2 t 1 Ta được phương trình:t (x 3)t (x 2) 0 t x 2 x 2 x 2 x3 x2 mx 6 x 2 Nên chỉ có t x 2 có 3 2 2 x 2 (m 4)x x m 4 x 2 2 2 8 8 14 2 8 8 14 Lớp 10: Với x 2 ta có x x 33 x . . 5 x x x x x x 2 Dấu bằng xảy ra khi x 2 Suy ra để phương trình có nghiệm m 4 5 m 9 m ¢ Từ cùng với yêu cầu của đề bài ta có nên m 9;10.Thử lại m = 9 và m = 10 PT đều có m [9;10] nghiệm. Vậy T 19 . 2 Lớp 12: Lập bảng biến thiên của hàm số f (x) x2 , x 2; x Email: doantv.toan@gmail.com Câu 23. Cho phương trình x 1 2 x x 1 2 x m . Gọi S là tổng tất cả các giá trị m để phương trình có ít nhất hai nghiệm mà trong các nghiệm đó có hai nghiệm thỏa mãn tích của chúng bằng 2m . Giá trị của S gần với số nào sau đây nhất. 1 2 3 5 A. .B. . C. . D. . 2 3 2 3 Lời giải Họ và tên tác giả : Trần Văn Đoàn Tên FB: Trần Văn Đoàn Chọn C x 1 a a b ab m I : Cách 1 Đặt ta có hệ 2 2 . 2 x b a b 1 a b S S 0 S P m P m S II : Đặt thì hệ trở thành 2 2 ab P P 0 S 2P 1 S 2S 2m 1 0 1 Thấy rằng (1) không thể có hai nghiệm không âm phân biệt (vì nếu có hai nghiệm thì tổng chúng là âm); nên pt (1) chỉ có tối đa một nghiệm S thỏa mãn S 0; tức hệ (II) có tối đa một nghiệm S;P thỏa mãn điều kiện; suy ra hệ (I) có tối đa hai nghiệm (a;b). Từ đó có thể kết luận rằng phương trình đã cho có tối đa hai nghiệm phân biệt. Vậy yêu cầu đề bài trở thành phương trình đã cho có đúng hai nghiệm và tích hai nghiệm đó bằng 2m.
25. Tiếp tục thấy rằng nếu x là một nghiệm của phương trình thì 3 x cũng là một nghiệm của phương trình nên theo đề bài thì ta có x 3 x 2m hay P2 2 2m . S P m 2 4 2 Vậy ta có S 2P 1 Rút ra S 6S 8S 13 0 S 1, suy ra P 0;m 1 2 P 2 2m Thử lại với m 1 thấy thỏa mãn suy ra bài toán có giá trị m duy nhất là 1. Cách 2 Cách làm của thầy Nguyễn Văn Quý: Giải trực tiếp hệ (II) thu được S 2 m 1 1 và suy ra a;b là các nghiệm của phương trình t 2 St P 0 nên có tối đa P m 1 2m 2 hai giá trị a nhận được hay phương trình có tối đa hai nghiệm. Giả sử hai giá trị a thu được (là hai 2 2 nghiệm phương trình trên) là a1;a2 , suy ra hai nghiệm của phương trình đã cho là a1 1;a2 1. 2 2 a1 1 a2 1 2m S P 2 2SP 2P 1 2m Vậy theo đề bài ta có m2 m 2 2m 1 2m 2 m2 5m 4 2m 1 2m 2 2 2 2m 1 m 1 m 4 0 m 1 2m 2 2 (Do từ giả thiết đánh giá được 0 a;b 1 S 2 m 4 ) Email: canh08@gmail.com a a * Câu 24. Gọi S ; (với là phân số tối giản và a ¢ ,b ¥ ) là tập hợp tất cả các giá trị của tham b b số m sao cho phương trình 2x2 mx 1 2x2 mx 1 2x2 mx 1 x3 9x2 28x 30 có hai nghiệm phân biệt. Tính B a2 b3 . A. B 334. B. B 440 . C. B 1018. D. B 8 . Lời giải Họ và tên tác giả : Bùi Văn Cảnh Tên FB: Xoài Tây Chọn A Ta có 2x2 mx 1 2x2 mx 1 2x2 mx 1 x3 9x2 28x 30 3 2x2 mx 1 2x2 mx 1 x 3 3 x 3 f 2x2 mx 1 f x 3 với f t t3 t, t ¡ .
26. f t 3t 2 1 0 t ¡ . Do đó hàm số f t đồng biến trên ¡ nên x 3 f 2x2 mx 1 f x 3 2x2 mx 1 x 3 1 . 2 x m 6 x 8 0 2 Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 đều lớn hơn hoặc bằng 3 . Do đó ta có: m 6 2 32 0 x1x2 3 x1 x2 9 0 x1 3 x2 3 0 x1 x2 6 0 x 3 x 3 0 1 2 19 8 3 6 m 9 0 m 19 19 3 m hay m ; . 6 m 6 0 3 3 m 12 Suy ra a 19,b 3. Vậy B a2 b3 334 . Email: mihawkdaculamihawkdacula@gmail.com Câu 25. Tập tất cả các giá trị của m để phương trình 2 x 1 x2 2 m 1 m2 2x 1 x2 0 có nghiệm là đoạn a;b . Hỏi đoạn a;b giao với khoảng nào sau đây thì khác rỗng? 7 3 9 8 9 1 A. ;2 .B. ; . C. ; . D. ;0 . 5 2 5 5 5 2 Lời giải Họ và tên tác giả : Trần Tín Nhiệm Tên FB: Trần Tín Nhiệm Chọn A 2 x 1 x2 2 m 1 m2 2x 1 x2 0 (*) 2 1 x 0 2 ĐKXĐ: x 1. 2 x 1 x 0 2 Đặt t x 1 x2 , t 0. Suy ra 2x 1 x2 t 2 1. PT (*) trở thành : 2 t t 2 2 m m2 f t f m .
27. 1 Với f u 2 u u2 , u 0. f ' u 2u 0, u 0. u Do đó f đồng biến trên 0; . Suy ra f t f m t m . Theo bđt Bunhiacopski, ta có: t 1 1 x2 1 x2 2 0 t 2. 2 2 (t 0 khi x ; t 2 khi x ) 2 2 7 Vậy 0 m 2 thì thỏa ycbt, lúc này a;b 0; 2  ;2  . Chọn phương án A. 5 Email: lehongphivts@gmail.com Câu 26. Cho phương trình x3 3mx 1 m 3x m 1 x3 1 . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn  2018;2018 để phương trình có ít nhất 2 nghiệm phân biệt? A. 2018 . B. 2019 . C. 4036 .D. 4037 . Lời giải Họ và tên tác giả : Lê Hồng Phi Tên FB:Lê Hồng Phi Chọn D Điều kiện x3 1 0 x 1. Khi đó ta có x3 3mx 1 m 3x m 1 x3 1 2 x3 1 3x m 1 x3 1 3mx m 0 x3 1 m 1 3 x 1 3x 1. 2 1 x 1 3 x 9 57 Ta có 2 3 x 0 x (thỏa mãn điều kiện x 1). 3 2 2 x 1 9x 6x 1 9 57 x 2 Như thế, phương trình đã cho luôn có ít nhất hai nghiệm phân biệt mà không phụ thuộc vào m . Vậy có tất cả 4037 giá trị nguyên của m thuộc đoạn  2018;2018 để phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm phân biệt.