Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 4 phần 2 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Hình học Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Quan hệ vuông góc - Mức độ 4 phần 2 (Có đáp án)

1. Câu 1: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , AC a . Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC , biết góc giữa đường thẳng SD và mặt đáy bằng 60 . a 609 a 609 a 600 a 906 A. .B. .C. .D. . 19 29 29 29 Lời giải Chọn B Gọi I là trung điểm AB . Khi đó, ta có: SI  ABCD . Do AD//BC nên d AD, SC d AD, SBC d A, SBC 2d I, SBC DA2 DB2 AB2 a 7 Xét ABD có DI là trung tuyến nên DI . 2 4 2 a 21 Suy ra SI DI.tan 60 . 2 Từ I kẻ IE vuông góc với BC . Từ I kẻ IH vuông góc với SE . Khi đó, ta chứng minh được IH d I, SBC . 1 a 3 Do I là trung điểm AB trong ABC đều nên IE . . 2 2 1 1 1 116 609 Vậy hay IH . IH 2 IS 2 IE 2 21a2 58 609 Kết luận: d AD, SC . 29 Câu 2: HẾT (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình hộp ABCD.A B C D , AB 6 cm , BC BB 2 cm . Điểm E là trung điểm cạnh BC . Một tứ diện đều MNPQ có hai đỉnh M và N nằm trên đường thẳng C E , hai đỉnh P , Q nằm trên đường thẳng đi qua điểm B và cắt đường thẳng AD tại điểm F . Khoảng cách DF bằng A. 1 cm .B. 3 cm .C. 2 cm .D. 6 cm . Lời giải Chọn C A D B C A F D B E C Do tứ diện MNPQ đều nên ta có MN  PQ hay EC  B F .          Ta có: B F B A AF B A B B k AD B A B B k B C    1   Và EC EC CC B C B B 2   k k   Khi đó EC .BF B B2 B C 2 4 .4 0 k 2 nên AF 2AD 2 2
2. Vậy F là điểm trên AD sao D là trung điểm của AF . Do đó DF BC 2 cm . Câu 3: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a , điểm M thuộc cạnh SC sao cho SM 2MC . Mặt phẳng P chứa AM và song song với BD . Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi P . 3a2 4 26a2 2 26a2 2 3a2 A. .B. .C. .D. . 5 15 15 5 Lời giải Chọn C S N A I B M P O D C Gọi O AC  BD , I AM  SO . Trong SBD từ I kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại N , P . Suy ra thiết diện là tứ giác ANMP . BD  AC Ta có: BD  SAC BD  SO BD  AM . Mặt khác: BD / /NP . AM  NP . 1 S NP.AM . ANMP 2 + Tính AM : SA SC a Ta có: SAC vuông cân tại S . AC a 2
3. 2 2 2 2 2 a 13 AM SA SM a a . 3 3 + Tính AM : NP SI SI.BD Ta có: NP / /BD NP . BD SO SO SI Tính : SO S M I A O C SI Gọi k . SO      Ta có: AI AS SI SA kSO .     2  AM AS SM SA SC . 3      2  A , I , M thẳng hàng AI l AM SA kSO lSA lSC 3 1 4 k l 1 k  k    2  2 5 SA SA SC lSA lSC . 2 3 1 2 3 k l 0 l 2 3 5 SI 4 4 4a 2 NP BD . SO 5 5 5 1 1 4a 2 a 13 2 26a2 S NP.AM . . . ANMP 2 2 5 3 15 Câu 4: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hình hộp ABCD.A B C D . Biết     MA k.MC , NC l.ND . Khi MN song song với BD thì khẳng định nào sau đây đúng ? 3 A. k l .B. k l 3 .C. k l 4 .D. k l 2 . 2 Lời giải Chọn C
4.    Đặt AB a , AD b , AA c .          AA k AC k a b c Từ MA k.MC AA AM k AC AM AM . 1 k 1 k          AC l AD a b c lb và NC l.ND AC AN l. AD AN AN . 1 l 1 l    k a b c a b c lb Vậy MN AM AN 1 k 1 l k 1 k 1 1 a 1 b c . 1 k 1 l 1 k 1 k 1 l    Mặt khác, BD AD AB a b c . k 1 k 2k 1 1 1   1 k 1 l 1 k 1 k 1 l Để MN //BD thì MN //BD k 1 1 k 1 1 1 1 1 k 1 k 1 l 1 k 1 l 3k 1 1 1 2 k 3 . Từ đó ta có: l 1. 1 k 1 l 2 Vậy k l 4 . Câu 5: (THPT Kinh Môn 2-Hải Dương năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA 2BC và B· AC 120 . Hình chiếu vuông góc của A lên các đoạn SB và SC lần lượt là M và N . Góc của hai mặt phẳng ABC và AMN bằng A. 45.B. 60 .C. 15 .D. 30 . Lời giải Chọn D
5. S N M A C B D Kẻ đường kính AD của đường tròn ngoại tiếp ABC nên ·ABD ·ACD 90 . BD  BA Ta có BD  SAB hay BD  AM và AM  SB hay BD  SA AM  SBD AM  SD . Chứng minh tương tự ta được AN  SD . Suy ra SD  AMN , mà SA  ABC ABC , AMN SA, SD D· SA. 3 Ta có BC 2Rsin A AD. SA 2BC AD 3 . 2 AD 1 Vậy tan ·ASD ·ASD 30 . SA 3 Câu 6: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh bằng a và góc A bằng 60 , cạnh SC vuông góc với đáy và a 6 SC . Giá trị lượng giác cô-sin của góc giữa hai mặt phẳng SBD và SCD bằng 2 6 5 2 5 30 A. .B. .C. .D. . 6 5 5 6 Lời giải Chọn A Từ SC  ABCD SC  BD . BD  SC Từ BD  SAC . BD  AC Kẻ CK  SO , từ BD  SAC BD  CK . Như vậy CK  SBD CK  SD . Kẻ CH  SD , do CK  SD nên suy ra SD  CHK . Mặt khác CHK  SBD HK và CHK  SCD CK nên góc giữa hai mặt phẳng SBD và SCD bằng C· HK . Trong tam giác SCD vuông tại C , ta có: 1 1 1 1 1 5 a 3 2 2 2 2 2 2 CH . CH CD SC a a 6 3a 5 2 a 3 Vì ABCD là hình thoi cạnh bằng a và góc A bằng 60 nên CO . 2 Trong tam giác SCO vuông tại C , ta có:
6. 1 1 1 1 1 2 a 2 2 2 2 2 2 CK . CK CO SC a 3 a 6 a 2 2 2 Xét tam giác CHK vuông tại K , ta có 3a2 a2 a HK CH 2 CK 2 . 5 2 10 HK a a 3 6 cosC· HK : . CH 10 5 6 6 Vậy, cô-sin của góc giữa hai mặt phẳng SBD và SCD bằng . 6 S H D K A O C B Câu 7: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB tạo với đáy góc 450 . Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là tứ giác AB C D có diện tích bằng: a2 3 a2 3 a2 3 a2 3 A. .B. .C. . D. . 4 2 6 3 Lời giải Chọn C
7. S C' D' B' I A D O B C Dễ thấy S· BA 45 . Ta có B D  SC và BD  SC và SC không vuông góc với mặt phẳng SBD , suy ra BD / /B D . Nên từ I SO  AC nên từ I kẻ B D / /BD cắt SB , SD lần lượt tại B , D . AB  SC Từ trên suy ra B D  AC và AB  SB . AB  BC 1 a 6 B D SB a 2 1 a 2 Suy ra S AC .B D . Mà AC và B D . AB C D 2 3 BD SB 2.a 2 2 2 1 3 Vậy S AC .B D a2 . AB C D 2 6 Câu 8: (THPT Trần Nhân Tông-Quảng Ninh-lần 1 năm 2017-2018) Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh bên bằng 200m , góc ·ASB 15 bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS . Trong đó điểm L cố định và LS 40m . Hỏi khi đó cần dung ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí? A. 40 67 40 mét.B. 20 111 40 mét.C. 40 31 40 mét.D. 40 111 40 mét. S L K J I H G F E B C A D Hướng dẫn giải Chọn C Ta sử dụng phương pháp trải đa diện Cắt hình chóp theo cạnh bên SA rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau
8. S L K A J A E F B I D G H C C D A B Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng AL LS . Từ giả thiết về hình chóp đều S.ABCD ta có ·ASL 120. Ta có AL2 SA2 SL2 2SA.SL.cos ·ASL 2002 402 2.200.40.cos120 49600 . Nên AL 49600 40 31 . Vậy, chiều dài dây đèn led cần ít nhất là 40 31 40 mét.