Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Dãy số. Cấp số nhân. Cấp số cộng - Mức độ 3 phần 2 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 3: Dãy số. Cấp số nhân. Cấp số cộng - Mức độ 3 phần 2 (Có đáp án)

1. Câu 1: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-MĐ 903 lần 1-năm 2017-2018) Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước 4 ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao nhiêu ghế? A. 2250 .B. 1740.C. 4380 .D. 2190 . Lời giải Chọn C Gọi u1,u2 , u30 lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai, và dãy ghế số ba mươi. Ta có công thức truy hồi ta có un un 1 4 , n 2,3, ,30 . Ký hiệu: S30 u1 u2 u30 , theo công thức tổng các số hạng của một cấp số cộng với u1 15 , d 4 ta được: 30 S30 2u1 30 1 4 15 2.15 29.4 2190 . 2 Câu 2: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 1 MĐ 904 năm 2017-2018) Cho hình vuông A1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Gọi Ak 1 , Bk 1 , Ck 1 , Dk 1 thứ tự là trung điểm các cạnh Ak Bk , BkCk , Ck Dk , Dk Ak (với k 1, 2, ). Chu vi của hình vuông A2018B2018C2018D2018 bằng 2 2 2 2 A. . B. . C. . D. . 22018 21007 22017 21006 Lời giải : Chọn B Hình vuông có cạnh bằng a thì có chu vi là 4a . Hình vuông có các đỉnh là trung điểm của hình a 2 vuông ban đầu có cạnh bằng có chu vi là 2a 2 . 2 Đường chéo của hình vuông A1B1C1D1 có độ dài bằng 2 nên cạnh của hình vuông A2 B2C2 D2 2 có độ dài bằng . 2 Đường chéo của hình vuông A2 B2C2 D2 có độ dài bằng 1 nên cạnh của hình vuông A3B3C3D3 1 có độ dài bằng . 2 2 Đường chéo của hình vuông A B C D có độ dài bằng nên cạnh của hình vuông 3 3 3 3 2 1 A B C D có độ dài bằng . 4 4 4 4 2 2
2. 1 Cứ như thế độ dài các cạnh hình vuông tạo thành một cấp số nhân có u 1, công bội q 1 2 1 nên độ dài cạnh của hình vuông A2018B2018C2018D2018 là: u2008 2017 nên chu vi hình vuông 2 4 2 đó là: 4u2018 2017 1007 . 2 2 Câu 3: (THPT Chuyên Trần Phú-Hải Phòng lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số un với 1 1 1 u . Tính limu . n 1.3 3.5 2n 1 2n 1 n 1 1 A. 0 .B. .C. .D. 1. 2 4 Lời giải Chọn B * Cách 1: 1 1 1 1 Ta có suy ra 2n 1 2n 1 2 2n 1 2n 1 1 1 1 1 1.3 2 1 3 1 1 1 1 3.5 2 3 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 un nên limun lim . 1.3 3.5 2n 1 2n 1 2 1 2n 1 2 1 2n 1 2 * Cách 2: 1 2 3 n Ta có u ; u ; u . Ta chứng minh u * bằng qui nạp 1 3 2 5 3 7 n 2n 1 + Với n 1, công thức * đúng. k + Giả sử công thức * đúng với n k 1 u . Ta cần chứng minh k 2k 1 k 1 u . Thật vậy, ta có k 1 2 k 1 1 1 k 1 2k 2 3k 1 uk 1 uk 2 k 1 1 2 k 1 1 2k 1 2k 1 2k 3 2k 1 2k 3 k 1 2k 1 k 1 n . Vậy công thức u * đúng với mọi n ¥ * . 2k 1 2k 3 2 k 1 1 n 2n 1 n 1 Khi đó limu lim . n 2n 1 2 Câu 4: (THPT Hà Huy Tập-Hà Tĩnh-lần 1 năm 2017-2018) Cho tứ diện S.ABC có SA SB SC AB AC a và BC a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC .
3. A. 45.B. 120 .C. 60 . D. 90 . Lời giải Chọn C Cách 1: Gọi M là trung điểm của BC . Ta có: BC 2 AB2 AC 2 nên tam giác ABC vuông cân tại A . Và BC 2 SB2 SC 2 nên tam giác SBC vuông cân tại S . Vẽ hình chữ nhật (cũng là hình vuông) ABDC ·AB, SC S· CD và SC CD a . 2 2 a 2 a 2 AM SM MD a . 2 2 SAM vuông tại M . SM  BC  ABCD   SM  ABCD SM  MD . SM  AM  ABCD  2 2 2 2 2 2 2 a 2 a 2 a a SD SM MD SD a . 2 2 2 2 Suy ra tam giác SCD đều ·AB, SC S· CD 60 . Cách 2:        SC.AB SC. SB SA SC.SB.cos B· SC SC.SA.cos ·ASC cos SC, AB     SC. AB SC. AB SC.AB a.a.cos90 a.a.cos60 1   SC; AB 120 . a.a 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và SC là 60 .
4. Câu 5: (THPT Thạch Thành 2-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số an xác định bởi a1 2 , an 1 2an , n 1, n ¥ . Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số. 2050 A. .B. 2046 .C. 682 .D. 2046 . 3 Lời giải Chọn C a a 2 Vì n 1 2 suy ra a là một cấp số nhân với 1 . n an q 2 10 a1 1 q Suy ra S 682 . 10 1 q 41 Câu 6: (THPT Yên Lạc-Vĩnh Phúc-lần 3 năm 2017-2018) Cho dãy số u xác định bởi u và n 1 20 un 1 21un 1 với mọi n 1. Tìm số hạng thứ 2018 của dãy số đã cho. 1 1 A. u 2.212018 . B. u 2.212017 . 2018 20 2018 20 1 1 C. u 2.212017 . D. u 2.212018 . 2018 20 2018 20 Lời giải Chọn C 1 1 Ta có un 1 21un 1 un 1 21 un . 20 20 1 Đặt v u , ta có v 21v . n n 20 n 1 n 41 1 Do đó v là một CSN với v 2 và công bội q 21. n 1 20 20 1 Do đó số hạng tổng quát của dãy v là v v .qn 1 2.21n 1 u 2.21n 1 . n n 1 n 20 1 Khi đó u 2.212017 . 2018 20 Câu 7: (SGD Bắc Ninh năm 2017-2018) Cho hình vuông C1 có cạnh bằng a . Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 (Hình vẽ).
5. Từ hình vuông C2 lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông C1 ,C2 , C3 ,., Cn Gọi Si là diện tích của hình vuông Ci i 1,2,3,  . Đặt T S1 S2 S3 Sn 32 Biết T , tính a ? 3 5 A. 2 .B. .C. 2 .D. 2 2 . 2 Lời giải Chọn A 2 2 3 1 a 10 Cạnh của hình vuông C2 là: a2 a a . Do đó diện tích 4 4 4 5 5 S a2 S . 2 8 8 1 2 2 2 3 1 a 10 10 Cạnh của hình vuông C là: a a a 2 a . Do đó diện tích 3 3 2 2 4 4 4 4 2 5 2 5 S3 a S2 . Lý luận tương tự ta có các S1 , S2 , S3 , Sn tạo thành một dãy cấp số 8 8 5 nhân lùi vô hạn có u S và công bội q . 1 1 8 S 8a2 32 T 1 . Với T ta có a2 4 a 2 . 1 q 3 3 Câu 8: (THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An- lần 1 năm 2017-2018) Cho hai cấp số cộng an : a1 4 ; a2 7 ; ; a100 và bn : b1 1; b2 6; ;b100 . Hỏi có bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên. A. 32.B. 20 . C. 33.D. 53. Lời giải Chọn B Cấp số cộng an : a1 4 ; a2 7 ; ; a100 có số hạng tổng quát: an 4 n 1 3 3n 1. Cấp số cộng bn : b1 1; b2 6; ;b100 có số hạng tổng quát:bm 1 m 1 5 5m 4 . Các số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên thỏa mãn hệ: 3n 1 5m 4 3n 5 m 1 1 n 100 1 n 100 . 1 m 100 1 m 100 Vì 3n 5 m 1 nên n5 và m 13 với m 1 0 Ta lại có n 100 3n 300 5 m 1 300 m 61. Có m 13 m 3t 1, t ¥ *. Vì 1 m 61 1 3t 1 61 0 t 20 . Vì t ¥ * t 1;2;3; ;20 . Vậy có 20 số hạng có mặt đồng thời ở hai dãy số trên.
6. Câu 9: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc - lần 3 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng un biết u5 18 và 4Sn S2n . Tìm số hạng đầu tiên u1 và công sai d của cấp số cộng. A. u1 2 ; d 4 .B. u1 2 ; d 3 . C. u1 2 ; d 2 .D. u1 3; d 2 . Lời giải Chọn A Ta có: u5 18 u1 4d 18 1 . n n 1 d 2n 2n 1 d 4Sn S2n 4 nu1 2nu1 4u1 2nd 2d 2u1 2nd d 2 2 2u1 d 0 2 . Từ 1 và 2 suy ra u1 2 ; d 4 . Câu 10: (THPT Lê Hoàn-Thanh Hóa-lần 1 năm 2017-2018) Cho cấp số cộng un biết u5 18 và 4Sn S2n . Giá trị u1 và d là A. u1 2 , d 3.B. u1 3, d 2 .C. u1 2 , d 2 .D. u1 2 , d 4 . Lời giải Chọn D Ta có u5 18 u1 4d 18 . 5.4 10.9 Lại có 4S5 S10 4 5u1 d 10u1 d 2u1 d 0 . 2 2 u1 4d 18 u1 2 Khi đó ta có hệ phương trình . 2u1 d 0 d 4 sin Câu 11: (THPT Tứ Kỳ-Hải Dương năm 2017-2018) Giả sử , cos , tan theo thứ tự đó là một 6 cấp số nhân. Tính cos 2 . 3 3 1 1 A. .B. .C. .D. . 2 2 2 2 Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện: cos 0 k k ¢ . 2 sin sin2 Theo tính chất của cấp số nhân, ta có: cos2 .tan 6cos2 . 6 cos 1 6cos3 sin2 0 6cos3 cos2 1 0 cos . 2 2 2 1 1 Ta có: cos 2 2cos 1 2. 1 . 2 2 Câu 12: (THPT Hậu Lộc 2-Thanh Hóa năm 2017-2018) Cho bốn số a, b , c, d theo thứ tự đó tạo 148 thành cấp số nhân với công bội khác 1. Biết tổng ba số hạng đầu bằng , đồng thời 9
7. theo thứ tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức T a b c d . 101 100 100 101 A. T .B. T .C. T . D. T . 27 27 27 27 Lời giải Chọn C ac b2 1 2 Ta có bd c 2 . 148 a b c 3 9 Và cấp số cộng có u1 a , u4 b , u8 c . Gọi x là công sai của cấp số cộng. Vì cấp số nhân có công bội khác 1 nên x 0 . b a 3x Ta có : 4 . c a 7x Từ 1 và 4 ta được : a a 7x a 3x 2 ax 9x2 0 . Do x 0 nên a 9x . 148 Từ 3 và 4 , suy ra 3a 10x . 9 16 b 3 a 4 64 Do đó : 4 c . x 9 9 256 d 27 100 Vậy T a b c d . 27 Câu 13: (THPT Chuyên Biên Hòa-Hà Nam-lần 1 năm 2017-2018) Tính tổng S 1 2.2 3.22 4.23 2018.22017 A. S 2017.22018 1.B. S 2017.22018 .C. S 2018.22018 1. D. S 2019.22018 1. Lời giải Chọn A Ta có A 1 2 22 23 2n 2n 1 1 Xét 2S 1.2 2.22 3.23 4.24 2017.22017 2018.22018 Và S 1 2.2 3.22 4.23 2017.22016 2018.22017 Suy ra S 2018.22018 1 2 22 23 22017 2018.22018 22018 1 2017.22018 1. Câu 14: (THTT số 5-488 tháng 2 năm 2018) Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2 , thứ 9 , thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 820 ? A. 20 .B. 42 .C. 21.D. 17 . Lời giải
8. Chọn A Gọi ba số đó là x , y , z . Do ba số là các số hạng thứ 2 , thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng nên ta có: x ; y x 7d ; z x 42d (với d là công sai của cấp số cộng). Theo giả thiết, ta có: x y z x x 7d x 42d 3x 49d 217 . Mặt khác, do x , y , z là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên: 2 2 d 0 y xz x 7d x x 42d d 4x 7d 0 4x 7d 0 217 217 2460 Với d 0 , ta có: x y z . Suy ra n 820 : N . 3 3 217 4x 7d 0 x 7 Với 4x 7d 0 , ta có: . Suy ra u1 7 4 3 . 3x 49d 217 d 4 n 20 2u n 1 d n 1 2.3 4 n 1 n Do đó, Sn 820 820 820 41 2 2 n 2 Vậy n 20 . Câu 15: (THPT Mộ Đức-Quãng Ngãi-lần 1 năm 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi S M là trung điểm của SA (hình vẽ bên cạnh). Biết hai đường thẳng CM và SB hợp nhau một góc 45 , khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SB bằng bao nhiêu? M 1 1 A. .B. . 5 6 A C 1 1 C. . D. . 3 2 B Lời giải Chọn B S M H A C N B Gọi N là trung điểm cạnh AB nên MN //SB . ·CM , SB ·CM , MN C· MN Ta có CN  AB , CN  SA suy ra CN  SAB hay CN  NM 3 CN a 3 3 1 2 CN , tan C· MN MN , AM MN 2 AN 2 2 MN 2 4 4 2 d CM , SB d SB, CMN d B, CMN d A, CMN Kẻ AH  MN suy ra d A, CMN AH
9. 1 1 1 1 6 4 2 AH . AH 2 AN 2 AM 2 AH 2 6 THI THỬ – THPT MỘ ĐỨC 2 – QUẢNG NGÃI GV giải: Đặng Thanh Quang – CÂU 38 – 39 Câu 16: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Cho dãy số un xác định bởi n n u 2017sin 2018cos . Mệnh đề nào dưới đây đúng? n 2 3 A. un 9 un , n ¥ .B. un 15 un , n ¥ .C. un 12 un , n ¥ .D. un 6 un , n ¥ . Lời giải Chọn C Ta có u 2017sin n 12 2018cos n 12 n 12 2 3 n n n n 2017sin 6 2018cos 4 2017sin 2018cos un . 2 3 2 3 Câu 17: (THPT Hoàng Hoa Thám-Hưng Yên-lần 1 năm 2017-2018) Cho hai cấp số cộng xn : 4 , 7 , 10, và yn : 1, 6 , 11, . Hỏi trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung? A. 404 .B. 673.C. 403.D. 672 . Lời giải Chọn C Số hạng tổng quát của cấp số cộng xn là: xn 4 n 1 .3 3n 1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng yn là: ym 1 m 1 .5 5m 4 . Giả sử k là 1 số hạng chung của hai cấp số cộng trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số. * Vì k là 1 số hạng của cấp số cộng xn nên k 3i 1 với 1 i 2018 và i ¥ . * Vì k là 1 số hạng của cấp số cộng yn nên k 5 j 4 với 1 j 2018 và j ¥ . Do đó 3i 1 5 j 4 3i 5 j 5 i5 i 5;10;15; ;2015 có 403 số hạng chung.