Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 2: Tổ hợp. Xác suất - Mức độ 4 phần 1 (Có đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp câu hỏi Đại số Lớp 11 được tách từ đề luyện thi THPT Quốc gia năm 2018 - Chương 2: Tổ hợp. Xác suất - Mức độ 4 phần 1 (Có đáp án)

1. Câu 1: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho dãy số an xác định bởi a1 5, an 1 q.an 3 với mọi n 1, trong đó q là hằng số, q 0 , q 1. Biết công thức số 1 qn 1 hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng a .qn 1  . Tính 2 ? n 1 q A. 13.B. 9 .C. 11.D. 16. Lời giải Chọn C 3 Cách 1. Ta có: a k q a k k kq 3 k n 1 n 1 q 2 n Đặt vn an k vn 1 q.vn q .vn 1 q .v1 n 1 n 1 n 1 3 Khi đó vn q .v1 q . a1 k q . 5 1 q n 1 n 1 3 n 1 3 3 n 1 1 q Vậy an vn k q . 5 k q . 5 5.q 3. . 1 q 1 q 1 q 1 q Do đó: 5;  3 2 5 2.3 11. Cách 2. Theo giả thiết ta có a1 5, a2 5q 3 . Áp dụng công thức tổng quát, ta được 1 1 1 1 1 q a1 .q  1 q 5 5 , suy ra , hay 2 1 5q 3 q 3 2 1 1 q   a2 .q  q  1 q 2 5 2.3 11 Câu 2: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Một khối lập phương có độ dài cạnh là 2cm được chia thành 8 khối lập phương cạnh 1cm . Hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ các đỉnh của khối lập phương cạnh 1cm . A. 2876 .B. 2898 . C. 2915 .D. 2012 . Lời giải Chọn A Có tất cả 27 điểm. 3 Chọn 3 điểm trong 27 có C27 2925. Có tất cả 8.2 6.2 4.2 4 3 2 2 2 49 bộ ba điểm thẳng hàng. Vậy có 2925 49 2876 tam giác. Câu 3: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của một cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến thắng là người đầu tiên thắng
2. được năm ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai mới thắng 2 ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng. 3 4 7 1 A. .B. .C. .D. . 4 5 8 2 Lời giải Chọn C Theo giả thiết hai người ngang tài ngang sức nên xác suất thắng thua trong một ván đấu là 0,5;0,5 . Xét tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai thắng 2 ván. Để người thứ nhất chiến thắng thì người thứ nhất cần thắng 1 ván và người thứ hai thắng không quá hai ván. Có ba khả năng: TH1: Đánh 1 ván. Người thứ nhất thắng xác suất là 0,5. TH2: Đánh 2 ván. Người thứ nhất thắng ở ván thứ hai xác suất là 0,5 2 . TH3: Đánh 3 ván. Người thứ nhất thắng ở ván thứ ba xác suất là 0,5 3 . 2 3 7 Vậy P 0,5 0,5 0,5 8 Câu 4: (THPT Chuyên Bắc Ninh-lần 1-năm 2017-2018) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C 0 C1 C 2 C n 2100 n 3 n n n n . 1.2 2.3 3.4 n 1 n 2 n 1 n 2 A. n 101. B. n 98. C. n 99 . D. n 100 . Lời giải Chọn B Cách 1: Ta có: C k n! n 2 ! C k 2 n n 2 . k 1 k 2 k! n k ! k 1 k 2 n k ! k 2 ! n 1 n 2 n 1 n 2 n C k n C k 2 Suy ra:  n  n 2 k 0 k 1 k 2 k 0 n 1 n 2 C 0 C1 C 2 C n C 2 C3 C 4 C n 2 n n n n n 2 n 2 n 2 n 2 . 1.2 2.3 3.4 n 1 n 2 n 1 n 2 n 2 0 1 2 2 3 3 n 2 n 2 Ta xét khai triển sau: 1 x Cn 2 x.Cn 2 x .Cn 2 x .Cn 2 x .Cn 2 . n 2 0 1 2 3 n 2 Chọn x 1 2 Cn 2 Cn 2 Cn 2 Cn 2 Cn 2 . 2100 n 3 2n 2 C 0 C1 Do đó: n 2 n 2 2100 2n 2 n 98 . n 1 n 2 n 1 n 2 Cách 2: Ta có: 0 1 2 n Cn Cn Cn Cn 1 1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 n S Cn Cn Cn Cn 1.2 2.3 3.4 n 1 n 2 1 2 2 3 3 4 n 1 n 2 1 0 1 1 1 2 1 n 1 0 1 1 1 2 1 n = Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn 1 2 3 n 1 2 3 4 n 2 1 1 1 1 Lại có: 1 x ndx x 1 x n dx 2 1 x n dx 1 x n 1 dx 0 0 0 0
3. 1 1 1 0 1 1 1 2 1 n 1 0 1 1 1 2 1 n 2 n 1 1 n 2 Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn Cn 1 x 1 x 1 2 3 n 1 2 3 4 n 2 n 1 0 n 2 0 2.2n 1 2 2n 2 1 2n 2 n 3 S n 1 n 2 n 1 n 2 2n 2 n 3 2100 n 3 Câu 5: Kết hợp giả thiết có n 98 .(THPT Hai Bà Trưng-Vĩnh Phúc- n 1 n 2 n 1 n 2 lần 1-năm 2017-2018) Xét một bảng ô vuông gồm 4 4 ô vuông. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó một trong hai số 1 hoặc 1 sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng 0 . Hỏi có bao nhiêu cách? A. 72 .B. 90 .C. 80 . D. 144 . Lời giải Chọn B Nhận xét 1: Trên mỗi hàng có 2 số 1 và 2 số 1, mỗi cột có 2 số 1 và 2 số 1 Nhận xét 2: Để tổng các số trong mỗi hàng và trong mỗi cột bằng 0 đồng thời có không quá hai số bằng nhau và ba hàng đầu tiên đã được xếp số thì ta chỉ có một cách xếp hàng thứ tư. Do vậy ta tìm số cách xếp ba hàng đầu tiên. Phương pháp giải bài này là xếp theo hàng. (Hình vẽ). Các hàng được đánh số như sau: Hàng 1 Hàng 2 Hàng 3 Hàng 4 4! Nếu xếp tự do thì mỗi hàng đều có 6 cách điền số mà tổng các số bằng 0, đó là các 2!.2! cách xếp như sau (Ta gọi là các bộ số từ 1 đến 6 ): 11 1 1 1 , 1 1 11 2 , 1 111 3 , 11 11 4 ,1 11 1 5 , 111 1 6 Giả sử hàng 1 được xếp như bộ 1 . Số cách xếp hàng 2 có các khả năng sau KN1: Hàng 2 xếp giống hàng 1: Có 1 cách xếp ( bộ 1 ). Hàng 3 có 1 cách ( bộ 3 ). Hàng 4 có 1 cách. Vậy có 1.1.1.1 1 cách xếp. KN2: Hàng 2 xếp đối xứng với hàng 1: Có 1 cách xếp (bộ 3 ) Hàng 3 có 6 cách ( lấy thoải mái từ các bộ vì tổng hai hàng trên đã bằng 0 ). Hàng 4 có 1 cách. Vậy có 1.1.6.1 6 cách xếp. KN3: Hàng 2 xếp trùng với cách xếp hàng 1 ở 2 vị trí: Có 4 cách xếp ( 4 bộ còn lại) Khi đó, với mỗi cách xếp hàng thứ 2 , hàng 3 có 2 cách.Hàng 4 có 1 cách. Vậy có 1.1.6.1 6 cách xếp. Vì vai trò các bộ số như nhau nên số cách xếp thỏa mãn ycbt là 6. 1 6 6 90 cách. Câu 6: (THPT Việt Trì-Phú Thọ-lần 1-năm 2017-2018) Thầy X có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách toán, 5 cuốn sách lí và 6 cuốn sách hóa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy X chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn.
4. 5 661 660 6 A. .B. . C. .D. . 6 715 713 7 Lời giải Chọn B Gọi A là biến cố “Số cuốn sách còn lại của thầy X có đủ 3 môn”, suy ra A là biến cố “Số cuốn sách còn lại của thầy X không có đủ 3 môn”= “Thầy X đã lấy hết số sách của một môn học”. 8 Số phần tử của không gian mẫu là: n  C15 6435 54 661 n A C 4.C 4 C5.C3 C 6.C 2 486 P A P A 1 P A 4 11 5 10 6 9 715 715 Câu 7: (THPT Chuyên Lam-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018) Một con thỏ di chuyển từ địa điểm A đến địa điểm B bằng cách qua các điểm nút (trong lưới cho ở hình vẽ) thì chỉ di chuyển sang phải hoặc đi lên (mỗi cách di chuyển như vậy xem là một cách đi). Biết nếu thỏ di chuyển đến nút C thì bị cáo ăn thịt, tính xác suất để thỏ đến được vị trí B . B C A 1 2 3 5 A. .B. .C. .D. . 2 3 4 12 Lời giải Chọn A B I C A Vẽ thêm cho em điểm J ngay phía trên điểm I nhé Kiến thức : Nếu di chuyển trên lưới theo hướng lên trên hoặc sang ngang thì đi từ O 0;0 đến m n A m;n sẽ có Cm n Cm n cách. 2 2 Số cách di chuyển từ A đến I là C5 , số cách di chuyển từ I đến B là C4 . 2 2 Số phần tử không gian mẫu: n  C5 .C4 60 . Gọi X là biến cố thỏ đến được vị trí B . 2 Số cách di chuyển từ A đến I là C5 , số cách di chuyển từ I đến J là 1 cách, số cách di 1 2 1 chuyển từ J đến B là C3 .Ta có n X C5 .1.C3 30 n X 1 P X . n  2 Câu 8: (THTT Số 3-486 tháng 12 năm 2017-2018) Mỗi lượt, ta gieo một con súc sắc (loại 6 mặt, cân đối) và một đồng xu (cân đối). Tính xác suất để trong 3 lượt gieo như vậy, có ít nhất một lượt gieo được kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp. 397 1385 1331 1603 A. .B. .C. . D. . 1728 1728 1728 1728
5. Lời giải Chọn A Trước hết ta tính xác suất để trong một lượt gieo thứ k không được kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp. 1 1 Số phần tử của không gian mẫu là C2.C6 12. Số cách gieo để được kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện 12 1 11 mặt sấp là C1.C1 1. Vậy P A 1 1 k 12 12 Gọi A là biến cố trong 3 lượt gieo có ít nhất một lượt gieo được kết quả con xúc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp. 3 11 397 Khi đó P A 1 P A1 A2 A3 1 . 12 1728 Câu 9: (SGD Vĩnh Phúc-KSCL lần 1 năm 2017-2018) Biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai n n k 2 2 k k 2 n k 2 3 triển x Cn 1 x . bằng 49 . Khi đó hệ số của số hạng chứa x trong khai x k 0 x triển đó là A. 60x3 .B. 60 .C. 160 .D. 160x3 . Lời giải Chọn C n n k n 2 2 k k 2 n k 2 k k k 2n 3k Ta có x Cn 1 x . C6 1 .2 .x . x k 0 x k 0 0 1 2 2 Vì tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển bằng 49 nên Cn 2Cn 2 Cn 49 * . Điều kiện n N* , n 2 . n n 1 Khi đó * 1 2n 22. 49 1 2n 2n2 2n 49 2n2 4n 48 0 2 n 4 (loại), n 6 (nhận). 6 2 2 Với n 6 ta có nhị thức x . x k k k 12 3k Số hạng tổng quát của khai triển là: C6 1 .2 .x k N, 0 k 6 . Số hạng chứa x3 ứng với k thỏa mãn 12 3k 3 k 3 (nhận). 3 3 3 3 Vậy hệ số của số hạng chứa x trong khai triển là C6 1 .2 160 . Câu 10: (THPT Triệu Sơn 3-Thanh Hóa năm 2017-2018) Tính tổng 1 1 2 2 2 2 2017 2017 2 2018 2018 2 S C2018 C2018 C2018 C2018 2018 2017 2 1 1 1 2018 2018 A. S C 2018 .B. S C 2018 .C. S C1009 .D. S C 2018 . 2018 4036 2018 4036 2019 2018 2019 4036 Lời giải Chọn D n k 1 Ta có C k .C k 1 với k ¥ , n ¥ , n k nên: n k n
6. 1 2018 2 2017 2017 2 2018 1 S C1 . C 0 C 2 . C1 C 2017 . C 2016 C 2018. C 2017 2018 2018 1 2018 2017 2018 2 2018 2 2018 2017 2018 1 2018 2018 2018 1 0 2 1 2017 2016 2018 2017 k 2018 k C2018.C2018 C2018.C2018 C2018 .C2018 C2018 .C2018 . Mà C2018 C2018 suy ra 1 2018 2 2017 2017 2 2018 1 S C2018.C2018 C2018.C2018 C2018 .C2018 C2018 .C2018 . Mặt khác ta có: 2018 2018 2018 2018 2018 k k 2018 2018 k k l l k l k l 1 x  C2018 x 1 x . 1 x  C2018 x . C2018 x  C2018.C2018.x 1 . k 0 k 0 l 0 k,l 0 Suy ra hệ số của số hạng chứa x2019 trong khai triển của 1 là 1 2018 2 2017 2017 2 2018 1 S C2018.C2018 C2018.C2018 C2018 .C2018 C2018 .C2018 . Lại do 1 x 2018 . 1 x 2018 1 x 4036 ; 4036 4036 n n 2019 1 x  C4036 x 2 suy ra hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của 2 là n 0 2019 C4036 . 1 2018 2 2017 2017 2 2018 1 2019 Vậy S C2018.C2018 C2018.C2018 C2018 .C2018 C2018 .C2018 C4036 4036! 4036 2018 4036! 2018 C 2018 . 2019!. 4036 2019 ! 2019 2018!. 4036 2018 ! 2019 4036 Câu 11: (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 2 học sinh lớp 12A , 3 học sinh lớp 12B và 5 học sinh lớp 12C thành một hàng ngang. Xác suất để trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau bằng 11 1 1 1 A. .B. .C. .D. . 630 126 105 42 Lời giải Chọn A Số cách xếp 10 học sinh vào 10 vị trí: n  10! cách. Gọi A là biến cố: “Trong 10 học sinh trên không có 2 học sinh cùng lớp đứng cạnh nhau”. Sắp xếp 5 học sinh lớp 12C vào 5 vị trí, có 5! cách. Ứng mỗi cách xếp 5 học sinh lớp 12C sẽ có 6 khoảng trống gồm 4 vị trí ở giữa và hai vị trí hai đầu để xếp các học sinh còn lại. C1 C2 C3 C4 C5 3 TH1: Xếp 3 học sinh lớp 12B vào 4 vị trí trống ở giữa (không xếp vào hai đầu), có A4 cách. Ứng với mỗi cách xếp đó, chọn lấy 1 trong 2 học sinh lớp 12A xếp vào vị trí trống thứ 4 (để hai học sinh lớp 12C không được ngồi cạnh nhau), có 2 cách. Học sinh lớp 12A còn lại có 8 vị trí để xếp, có 8 cách. 3 Theo quy tắc nhân, ta có 5!.A4 .2.8 cách. TH2: Xếp 2 trong 3 học sinh lớp 12B vào 4 vị trí trống ở giữa và học sinh còn lại xếp vào 1 2 hai đầu, có C3.2.A4 cách. Ứng với mỗi cách xếp đó sẽ còn 2 vị trí trống ở giữa, xếp 2 học sinh lớp 12A vào vị trí đó, có 2 cách. 1 2 Theo quy tắc nhân, ta có 5!.C3.2.A4 .2 cách.
7. Do đó số cách xếp không có học sinh cùng lớp ngồi cạnh nhau là 3 1 2 n A 5!.A4 .2.8 5!.C3.2.A4 .2 63360 cách. n A 63360 11 Vậy P A . n  10! 630