Tài liệu Toán Lớp 10 - Chủ đề 6: Vectơ

58 trang nhungbui22 11/08/2022 4070

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Toán Lớp 10 - Chủ đề 6: Vectơ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tai_lieu_toan_lop_10_chu_de_6_vecto.doc

Nội dung text: Tài liệu Toán Lớp 10 - Chủ đề 6: Vectơ

CHUÛ ÑEÀ VECTÔ 6.  Baøi 01 ÑÒNH NGHÓA 1. Khái niệm vectơ Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng. Định nghĩa. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí uuur A hiệu là AB và đọc là “ vectơ AB “. Để vẽ B uuur được vectơ AB ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh a dấu mũi tên ở đầu nút B. x r r r r Vectơ còn được kí hiệu là a, b, x, y, khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó. 2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó. Định nghĩa. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. uuur uuur Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương. 3. Hai vectơ bằng nhau Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ uuur uuur uuur đó. Độ dài của AB được kí hiệu là AB , như vậy AB = AB. Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị. r r Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí r r hiệu a = b r Chú ý. Khi cho trước vectơ a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất uur r sao cho OA = a. 4. Vectơ – không Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó. Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và uuur điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu la AA và được gọi là vectơ – không.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. XÁC ĐỊNH VECTƠ Câu 1. Vectơ có điểm đầu là D , điểm cuối là E được kí hiệu là: uuur uuur uuur A. DE. B. DE . C. ED. D. DE. Câu 2. Cho tam giác ABC , có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C ? A. 3. B. 6. C. 4. D. 9. Câu 3. Cho tứ giác ABCD . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác? A. 4. B. 6. C. 8. D. 12. Vấn đề 2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG Câu 4. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ. B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ. C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ. D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ. Câu 5. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khi đó: uuur uuur A. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB cùng phương với AC. uuur uuur B. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với AB. uuur uuur C. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với AB. uuur uuur D. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là AB = AC. Câu 6. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC . Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng? uuuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uur A. MN và CB. B. AB và MB. C. MA và MB. D. AN và CA. Câu 7. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Số các vectơ khác vectơ không, cùng uuur phương với OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: A. 4. B. 6. C. 7. D. 9. Vấn đề 3. HAI VECTƠ BẰNG NHAU uuur Câu 8. Với DE (khác vectơ không) thì độ dài đoạn ED được gọi là uuur uuur A. Phương của ED. B. Hướng của ED. uuur uuur C. Giá của ED. D. Độ dài của ED. Câu 9. Mệnh đề nào sau đây sai? uuur r r A. AA = 0. B. 0 cùng hướng với mọi vectơ. uuur r C. AB > 0. D. 0 cùng phương với mọi vectơ. Câu 10. Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi
A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau. B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành. C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau. uuur uuur Câu 12. Cho tứ giác ABCD . Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB = CD ? A. ABCD là hình bình hành. B. ABDC là hình bình hành. C. AD và BC có cùng trung điểm. D. AB = CD. uuur uuur Câu 13. Từ mệnh đề AB = CD , ta suy ra uuur uuur uuur uuur A. AB cùng hướng CD. B. AB cùng phương CD. uuur uuur C. AB = CD . D. ABCD là hình bình hành. Hỏi khẳng định nào là sai? Câu 14. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai? uuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur A. AB = DC. B. OB = DO. C. OA = OC. D. CB = DA. Câu 15. Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây là sai? uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur A. MN = QP. B. QP = MN . C. MQ = NP. D. MN = AC . Câu 16. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây là đúng? uuur uuur uuur uuur A. AC = BD. B. AB = CD. uuur uuur uuur uuur C. AB = BC . D. AB, AC cùng hướng. Câu 17. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD . Mệnh đề nào sau đây đúng? uur uuur uur uuur A. OA = OC. B. OB và OD cùng hướng. uuur uuur uuur uuur C. AC và BD cùng hướng. D. AC = BD . Câu 18. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC . Đẳng thức nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur A. MA = MB. B. AB = AC. C. MN = BC. D. BC = 2 MN . Câu 19. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Gọi M là trung điểm BC . Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uuur uuuur a 3 uuuur uuuur a 3 A. MB = MC. B. AM = . C. AM = a. D. AM = . 2 2 Câu 20. Cho hình thoi ABCD cạnh a và B·AD = 60° . Đẳng thức nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB = AD. B. BD = a. C. BD = AC. D. BC = DA. Câu 21. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O . Đẳng thức nào sau đây là sai? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur A. AB = ED. B. AB = AF . C. OD = BC. D. OB = OE. uuur Câu 22. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Số các vectơ bằng OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là A. 2. B. 3. C. 4. D. 6. Câu 23. Cho tam giác ABC có trực tâm H . Gọi D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. HA = CD và AD = CH .B. HA = CD và AD = HC .
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur C. HA = CD và AC = CH . D. HA = CD và AD = HC và OB = OD . uuur r uuur uuur Câu 24. Cho AB ¹ 0 và một điểm C . Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB = CD ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. uuur r uuur uuur Câu 25. Cho AB ¹ 0 và một điểm C , có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB = CD. A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số.  Baøi 02 TOÂNG VAØ HIEÄU CUÛA HAI VECTÔ 1. Tổng của hai vectơ r r uuur r uuur r Định nghĩa. Cho hai vectơ a và b. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB = a và BC = b. Vectơ uuur r r r r AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b. Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a và b là r r uuur r r a + b. Vậy AC = a + b. Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ. 2. Quy tắc hình bình hành uuur uuur uuur Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC. 3. Tính chất của phép cộng các vectơ r r r Với ba vectơ a, b, c tùy ý ta có r r r r • a + b = b + a (tính chất giao hoán); r r r r r r • (a + b )+ c = a + (b + c ) (tính chất kết hợp); r r r r r • a + 0 = 0 + a = a (tính chất của vectơ – không).
4. Hiệu của hai vectơ a) Vectơ đối r r Cho vectơ a. Vectơ có độ dài và ngược hướng với a được gọi là vectơ đối của vectơ r r a, kí hiệu là - a. uuur uuur uuur uuur Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của AB là BA, nghĩa là - AB = BA. r r Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0. b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ r r r r r r Định nghĩa. Cho hai vectơ a và b. Ta gọi hiệu của hai vectơ a và b là vectơ a + (- b ), r r r r r r kí hiệu a - b. Như vậy a - b = a + (- b ) uuur uur uur Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có AB = OB - OA. Chú ý. 1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ. 2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có uuur uuur uuur AB + BC = AC (quy tắc ba điểm); uuur uuur uur AB - AC = CB (quy tắc trừ). Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ. 5. Áp dụng uur uur r a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA + IB = 0. uuur uuur uuur r b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuuur uuur A. AB + AC = BC. B. MP + NM = NP. uur uuur uur uuur uur uuur C. CA + BA = CB. D. AA + BB = AB. r r r r r Câu 2. Cho a và b là các vectơ khác 0 với a là vectơ đối của b . Khẳng định nào sau đây sai? r r r r A. Hai vectơ a, b cùng phương.B. Hai vectơ a, b ngược hướng. r r r r C. Hai vectơ a, b cùng độ dài.D. Hai vectơ a, b chung điểm đầu. Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng? uur uuur uuur uuur uuur uuur A. CA- BA = BC. B. AB + AC = BC. uuur uur uur uuur uuur uur C. AB + CA = CB. D. AB - BC = CA. uuur uuur Câu 4. Cho AB = - CD . Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur A. AB và CD cùng hướng.B. AB và CD cùng độ dài. uuur uuur r B. ABCD là hình bình hành.D. AB + DC = 0. uuuur uuur uuur uuur uuur Câu 5. Tính tổng MN + PQ + RN + NP + QR . uuur uuuur uuur uuur A. MR. B. MN. C. PR. D. MP. Câu 6. Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là: uur uur uur uur uur uur A. IA = IB. B. IA = IB. C. IA = - IB. D. AI = BI. Câu 7. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB ? uur uur r uur uur r uur uur A. IA = IB. B. IA + IB = 0. C. IA- IB = 0. D. IA = IB. Câu 8. Cho DABC cân ở A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB = AC. B. HC = - HB. C. AB = AC . D. BC = 2HC. Câu 9. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur A. AB = BC. B. AB = CD. C. AC = BD. D. AD = CB . Câu 10. Mệnh đề nào sau đây sai? uuur uuur r A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA + MB = 0. uuur uuur uuur r B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0. uur uuur uur C. Nếu ABCD là hình bình hành thì CB + CD = CA. D. Nếu ba điểm phân biệt A, B, C nằm tùy ý trên một đường thẳng thì uuur uuur uuur AB + BC = AC . Câu 11. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai? uur uur uuur uur uuur uuur uur A. OA- OB = CD. B. OB - OC = OD - OA. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur C. AB - AD = DB. D. BC - BA = DC - DA. uur uuur Câu 12. Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Tính OB - OC . uuur uuur uuur uur uuur A. BC. B. DA. C. OD - OA. D. AB. Câu 13. Cộng các vectơ có cùng độ dài 5 và cùng giá. Khẳng định nào sau đây đúng? r A. Cộng 5 vectơ ta được kết quả là 0. r B. Cộng 4 vectơ đôi một ngược hướng ta được kết quả là 0. r C. Cộng 121 vectơ ta được kết quả là 0. D. Cộng 25 vectơ ta được vectơ có độ dài là 0. Câu 14. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Mệnh đề nào sau đây đúng? uuur uuur uur uur uuur A. AB = BC = CA. B. CA = - AB.
uuur uuur uur uur uuur C. AB = BC = CA = a. D. CA = - BC. Câu 15. Cho tam giác ABC , với M là trung điểm BC . Mệnh đề nào sau đây đúng? uuuur uuur uuur r uuur uuur uuur A. AM + MB + BA = 0. B. MA + MB = AB. uuur uuur uuur uuur uuur uuuur C. MA + MB = MC. D. AB + AC = AM. Câu 16. Cho tam giác ABC , với M , N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Khẳng định nào sau đây sai? uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r A. AB + BC + AC = 0. B. AP + BM + CN = 0. uuuur uuur uuur r uur uuur uuur C. MN + NP + PM = 0. D. PB + MC = MP. Câu 17. Cho ba điểm A, B, C . Mệnh đề nào sau đây đúng? uuur uuur uur r A. AB + BC = AC. B. AB + BC + CA = 0. uuur uuur uur uuur uuur uur uuur C. AB = BC Û CA = BC . D. AB - CA = BC. Câu 18. Cho tam giác ABC có AB = AC và đường cao AH . Đẳng thức nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur r A. AB + AC = AH. B. HA + HB + HC = 0. uuur uuur r uuur uuur C. HB + HC = 0. D. AB = AC. Câu 19. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AH + HB = AH + HC . B. AH - AB = AC - AH. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur C. BC - BA = HC - HA. D. AH = AB - AH . Câu 20. Cho M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Hỏi uuur uuur vectơ MP + NP bằng vectơ nào? uuur uur uuuur uuur uuur A. AP. B. PB. C. MN. D. MB + NB. Câu 21. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với (O) tại hai điểm A và B . Mệnh đề nào sau đây đúng? uur uur uuur uur A.OA = - OB. B. AB = - OB. C.OA = - OB. D. AB = - BA. Câu 22. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến MT, MT ¢ (T và T ¢ là hai tiếp điểm). Khẳng định nào sau đây đúng? uuuur uuuur uuur uuuur A. MT = MT ¢. B. MT + MT ¢= TT ¢. C. MT = MT ¢. D. OT = - OT ¢. Câu 23. Cho bốn điểm A, B, C, D . Mệnh đề nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur A. AB + CD = AD + CB. B. AB + BC + CD = DA. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur C. AB + BC = CD + DA. D. AB + AD = CD + CB. Câu 24. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Vectơ nào trong các vectơ dưới đây uur bằng CA? uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uur A. BC + AB. B. - OA + OC. C. BA + DA. D. DC - CB. Câu 25. Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào sau đây đúng? uur uuur uuur uuur uuur uuur A. OA + OC + OE = 0. B. BC + FE = AD. uur uuur uur uuur uuur uuur uuur C. OA + OC + OB = EB. D. AB + CD + EF = 0. uuur uuur Câu 26. Cho O là tâm hình bình hành ABCD . Hỏi vectơ (AO - DO) bằng vectơ nào? uuur uuur uuur uuur A. BA. B. BC. C. DC. D. AC. Câu 27. Cho hình bình hành ABCD và tâm O của nó. Đẳng thức nào sau đây sai? uur uur uuur uuur r uuur uuur uuur A. OA + OB + OC + OD = 0. B. AC = AB + AD.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur C. BA + BC = DA + DC . D. AB + CD = AB + CB. Câu 28. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD ; hai điểm E, F lần lượt là trung điểm AB, BC . Đẳng thức nào sau đây sai? uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. DO = EB - EO. B. OC = EB + EO. uur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r C. OA + OC + OD + OE + OF = 0. D. BE + BF - DO = 0. Câu 29. Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. GA + GC + GD = BD. B. GA + GC + GD = CD. uuur uuur uuur ur uuur uuur uuur uuur C. GA + GC + GD = O. D. GA + GD + GC = CD. Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuur r A. AC = BD. B. AB + AC + AD = 0. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur C. AB - AD = AB + AD D. BC + BD = AC - AB . Vấn đề 2. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ uuur uuur Câu 31. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Khi đó AB + AC bằng: uuur uuur uuur uuur a 3 A. AB + AC = a 3. B. AB + AC = . 2 uuur uuur C. AB + AC = 2a. D. Một đáp án khác. uuur uuur Câu 32. Cho tam giác vuông cân ABC tại A có AB = a . Tính AB + AC . uuur uuur uuur uuur a 2 A. AB + AC = a 2. B. AB + AC = . 2 uuur uuur uuur uuur C. AB + AC = 2a. D. AB + AC = a. uuur uuur Câu 33. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh C , AB = 2 . Tính độ dài của AB + AC. uuur uuur uuur uuur A. AB + AC = 5. B. AB + AC = 2 5. uuur uuur uuur uuur C. AB + AC = 3. D. AB + AC = 2 3. uur uuur Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 . Tính CA + AB . uur uuur uur uuur uur uuur A. CA + AB = 2. B. CA + AB = 2 13. C. CA + AB = 5. D. uur uuur CA + AB = 13. uuur uuur Câu 35. Tam giác ABC có AB = AC = a, A·BC = 120° . Tính độ dài vectơ tổng AB + AC . uuur uuur uuur uuur A. AB + AC = a 3. B. AB+ AC = a. uuur uuur a uuur uuur C. AB + AC = . D. AB + AC = 2a. 2 uur uuur Câu 36. Cho tam giác ABC đều cạnh a , H là trung điểm của BC . Tính CA- HC . uur uuur a uur uuur 3a uur uuur 2 3a uur uuur a 7 A. CA- HC = . B. CA- HC = . C. CA- HC = . D. CA- HC = . 2 2 3 2 Câu 37. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12 . Tính độ dài r uuur uuur của vectơ v = GB + GC .
r r r r A. v = 2. B. v = 2 3. C. v = 8. D. v = 4. uuur uuur Câu 38. Cho hình thoi ABCD có AC = 2a, BD = a . Tính AC + BD . uuur uuur uuur uuur A. AC + BD = 3a. B. AC + BD = a 3. uuur uuur uuur uuur C. AC + BD = a 5. D. AC + BD = 5a. uuur uuur Câu 39. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính AB - DA . uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB - DA = 0. B. AB - DA = a. C. AB - DA = a 2. D. uuur uuur AB - DA = 2a. uur uuur Câu 40. Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O . Tính OB + OC . uur uuur uur uuur uur uuur a A. OB + OC = a. B. OB + OC = a 2. C. OB + OC = . D. 2 uur uuur a 2 OB + OC = . 2 Vấn đề 3. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ uuur uuur uuur r Câu 41. Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA + MB + MC = 0 . Xác định vị trí điểm M. A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM. B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB. C. M trùng C. D. M là trọng tâm tam giác ABC. uuur uuur uuur uuur Câu 42. Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MB - MC = BM - BA là? A. đường thẳng AB. B. trung trực đoạn BC. C. đường tròn tâm A, bán kính BC. D. đường thẳng qua A và song song với BC. Câu 43. Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn uuur uuur uuur uuuur MA + MB - MC = MD là? A. một đường tròn. B. một đường thẳng. C. tập rỗng.D. một đoạn thẳng. uuur uuur uuur Câu 44. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MB + MC = AB . Tìm vị trí điểm M. A. M là trung điểm của AC. B. M là trung điểm của AB. C. M là trung điểm của BC. D. M là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM. uuur uuur uuur r Câu 45. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA- MB + MC = 0 . Mệnh đề nào sau đây sai? uuuur uuur uuur A. MABC là hình bình hành. B. AM + AB = AC. uuur uuur uuur uuur uuur C. BA + BC = BM. D. MA = BC.  Baøi 03
TÍCH CUÛA VECTÔ VÔÙI MOÄT SOÁ 1. Định nghĩa r r r r Cho số k ¹ 0 và vectơ a ¹ 0. Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là k a, r r r cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k . a . 2. Tính chất r r Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có r r r r • k(a + b )= k a + k b ; r r r • (h + k)a = h a + k a ; r r • h(k a)= (hk)a ; r r r r • 1.a = a, (- 1).a = - a. 3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có uuur uuur uuur MA + MB = 2 MI. b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có uuur uuur uuur uuuur GA + GB + GC = 3 MG. 4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương r r r r r r Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b (b ¹ 0) cùng phương là có một số k để a = k b. Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để uuur uuur AB = k AC. 5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương r r r Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được r r một cách duy nhất theo hai vectơ a và b, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho r r r x = h a + k b. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ uur uur Câu 1. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = a. Tính 2OA- OB .
A. a. B. (1+ 2)a. C. a 5. D. 2a 2. Câu 2. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = a. Khẳng định nào dưới đây là sai ? uur uur uur uur A. 3OA + 4OB = 5a. B. 2OA + 3OB = 5a. uur uur uur uur C. 7OA- 2OB = 5a. D. 11OA - 6OB = 5a. Vấn đề 2. PHÂN TÍCH VECTƠ Câu 3. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng ? uur uur uur r uur uur uur r A. IB + 2IC + IA = 0. B. IB + IC + 2IA = 0. uur uur uur r uur uur uur r C. 2IB + IC + IA = 0. D. IB + IC + IA = 0. Câu 4. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng ? uur 1 uuur uuur uur 1 uuur uuur A. AI = AB + AC . B. AI = AB - AC . 4 ( ) 4 ( ) uur 1 uuur 1 uuur uur 1 uuur 1 uuur C. AI = AB + AC. D. AI = AB - AC. 4 2 4 2 Câu 5. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng ? uuur 2 uuur uuur uuur 1 uuur uuur A. AG = AB + AC . B. AG = AB + AC . 3 ( ) 3( ) uuur 1 uuur 2 uuur uur 2 uuur uuur C. AG = AB + AC. D. AI = AB + 3AC. 3 2 3 Câu 6. Cho tứ giác ABCD, trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M , N sao cho uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur 3 AM = 2 AB và 3 DN = 2 DC. Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC. uuuur 1 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 2 uuur A. MN = AD + BC. B. MN = AD - BC. 3 3 3 3 uuuur 1 uuur 2 uuur uuuur 2 uuur 1 uuur C. MN = AD + BC. D. MN = AD + BC. 3 3 3 3 Câu 7. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Khẳng định nào sau đây sai ? uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur A. MN = MD + CN + DC. B. MN = AB - MD + BN. uuuur 1 uuur uuur uuuur 1 uuur uuur C. MN = AB + DC . D. MN = AD + BC . 2 ( ) 2 ( ) Câu 8. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng ? uuuur 1 uuur uuur uuuur 1 uuur uuur A. DM = CD + BC. B. DM = CD - BC. 2 2 uuuur 1 uuur uuur uuuur 1 uuur uuur C. DM = DC - BC. D. DM = DC + BC. 2 2 Câu 9. Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB sao cho 3 AM = AB và N là trung uuuur uuur uuur điểm của AC. Tính MN theo AB và AC. uuuur 1 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 1 uuur A. MN = AC + AB. B. MN = AC - AB. 2 3 2 3
uuuur 1 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 1 uuur C. MN = AB + AC. D. MN = AC - AB. 2 3 2 3 Câu 10. Cho tam giác ABC, hai điểm M , N chia cạnh BC theo ba phần bằng nhau uuuur uuur uuur BM = MN = NC. Tính AM theo AB và AC. uuuur 2 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 2 uuur A. AM = AB + AC. B. AM = AB + AC. 3 3 3 3 uuuur 2 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 2 uuur C. AM = AB - AC. D. AM = AB - AC. 3 3 3 3 uuur uuuur uuur Câu 11. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính AB theo AM và BC. uuur uuuur 1 uuur uuur uuur 1 uuuur A. AB = AM + BC. B. AB = BC + AM. 2 2 uuur uuuur 1 uuur uuur uuur 1 uuuur C. AB = AM - BC. D. AB = BC - AM. 2 2 Câu 12. Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó: uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur A. AK = AB + AC. B. AK = AB - AC. 6 4 4 6 uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur C. AK = AB + AC. D. AK = AB - AC. 4 6 6 4 uuur uuur uuur Câu 13. Cho hình bình hành ABCD. Tính AB theo AC và BD. uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur A. AB = AC + BD. B. AB = AC - BD. 2 2 2 2 uuur uuuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur C. AB = AM - BC. D. AB = AC - BD. 2 2 r uuur r uuur Câu 14. Cho tam giác ABC và đặt a = BC, b = AC. Cặp vectơ nào sau đây cùng phương ? r r r r r r r r A. 2a + b, a + 2b. B. 2a - b, a - 2b. r r r r r r r r C. 5a + b, - 10 a - 2b. D. a + b, a - b. uuur uuur uuur Câu 15. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA = MB + MC. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. Ba điểm C, M , B thẳng hàng. B. AM là phân giác trong của góc B·AC. C. A, M và trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng. uuuur uuur r D. AM + BC = 0. Vấn đề 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Câu 16. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của BC. Đẳng thức nào sau đây đúng ? uuur uur uur 1 uur uuur uuur uur uuur uuur uuur A. GA = 2GI. B. IG = - IA. C. GB + GC = 2GI. D. GB + GC = GA. 3 Câu 17. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây sai ? uuur 2 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur A. GA = AM. B. AB + AC = 3AG. C. GA = BG + CG. D. GB + GC = GM. 3 Câu 18. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Khẳng định nào sau đây đúng ?
uuuur uuur uuur uuur uuur A. AM = MB = MC. B. MB = MC. uuur uuur uuur uuuur BC C. MB = - MC. D. AM = . 2 Câu 19. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khẳng định nào sau đây sai ? uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur 1 uuur A. AB = 2AM. B. AC = 2NC. C. BC = - 2MN. D. CN = - AC. 2 Câu 20. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng ? uuur uuur 2 uuur uuur uuur uuur A. AB + AC = AG. B. BA + BC = 3BG. 3 uur uur uuur uuur uuur uuur r C. CA + CB = CG. D. AB + AC + BC = 0. uur uur Câu 21. Cho tam giác đều ABC và điểm I thỏa mãn IA = 2IB. Mệnh đề nào sau đây đúng ? uur uur uur uur uur CA- 2CB uur CA + 2CB A. CI = . B. CI = . 3 3 uur uur uur uur uur uur CA + 2CB C. CI = - CA + 2CB. D. CI = . - 3 Câu 22. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Hãy chọn hệ thức đúng: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. 2MA + MB - 3MC = AC + 2BC. B. 2MA + MB - 3MC = 2AC + BC. uuur uuur uuur uur uur uuur uuur uuur uur uur C. 2MA + MB - 3MC = 2CA + CB. D. 2MA + MB - 3MC = 2CB - CA. Câu 23. Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Mệnh đề nào sau đây sai ? uuur uuur uuur uuur uuur 1 uur A. AB + AD = 2AO. B. AD + DO = - CA. 2 uur uur 1 uur uuur uuur uuur C. OA + OB = CB. D. AC + DB = 4 AB. 2 Câu 24. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đúng ? uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AC + BD = 2BC. B. AC + BC = AB. uuur uuur uuur uuur uuur uuur C. AC - BD = 2CD. D. AC - AD = CD. Câu 25. Cho hình bình hành ABCD, có M là giao điểm của hai đường chéo. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai. uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB + BC = AC. B. AB + AD = AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur C. BA + BC = 2 BM. D. MA + MB = MC + MD. Vấn đề 4. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ uuur uuur uur Câu 26. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2MA + MB = CA. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. M trùng A. B. M trùng B. C. M trùng C. D. M là trọng tâm của tam giác ABC. uuur r uuur r Câu 27. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Đặt GA = a, GB = b . Hãy tìm m, n để có uuur r r BC = ma + nb. A. m = 1,n = 2. B. m = - 1,n = - 2. C. m = 2,n = 1. D. m = - 2,n = - 1. Câu 28. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và điểm M thỏa mãn đẳng thức vectơ uuur uuur uuur MA = x MB + y MC. Tính giá trị biểu thức P = x + y.
A. P = 0. B. P = 2. C. P = - 2. D. P = 3. Câu 29. Cho hình chữ nhật ABCD và số thực k > 0. Tìm tập hợp các điểm M thỏa uuur uuur uuur uuuur mãn đẳng thức MA + MB + MC + MD = k. A. Một đoạn thẳng.B. Một đường thẳng. C. Một đường tròn.D. Một điểm. Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của hai đường chéo. Tìm tập hợp uuur uuur uuur uuuur các điểm M thỏa mãn MA + MB = MC + MD . A. Trung trực của đoạn thẳng AB. B. Trung trực của đoạn thẳng AD. AC C. Đường tròn tâm I, bán kính . D. Đường tròn tâm I, bán kính 2 AB + BC . 2 Câu 31. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tìm tập uuur uuur uuur uuur hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức MA + MB = MA- MB . AB A. Đường tròn tâm I, đường kính . 2 B. Đường tròn đường kính AB. C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB. D. Đường trung trực đoạn thẳng IA. Câu 32. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tìm tập uuur uuur uuur uuur hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA + MB = MA + 2MB . A. Đường trung trực của đoạn thẳng AB. B. Đường tròn đường kính AB. C. Đường trung trực đoạn thẳng IA. D. Đường tròn tâm A, bán kính AB. Câu 33. Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Tìm tập hợp các điểm M thỏa uuur uuur uuur uuur mãn MA + MB = MA + MC . A. Đường trung trực của đoạn BC.B. Đường tròn đường kính BC. C. Đường tròn tâm G, bán kính a .D. Đường trung trực đoạn thẳng 3 AG. Câu 34. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng uuur uuur uuur uuur uuur thức 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a. a a a a A. r = . B. r = . C. r = . D. r = . 3 9 2 6 uuur uuur uuur Câu 35. Cho tam giác ABC . Có bao nhiêu điểm M thỏa MA + MB + MC = 3 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.  Baøi 04 HEÄ TRUÏC TOÏA ÑOÄ
1. Trục và độ dài đại số trên trục a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm r O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e. r Ta kí hiệu trục đó là (O;e ) r b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục (O;e ). Khi đó có duy nhất một số k sao cho uuur r OM = k e. Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho. r uuur r c) Cho hai điểm A và B trên trục (O;e ). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a e. Ta uuur uuur gọi số a là độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a = AB. uuur r uuur r Nhận xét. Nếu AB cùng hướng với e thì AB = AB, còn nếu AB ngược hướng với e thì AB = - AB. r Nếu hai điểm A và B trên trục (O;e ) có tọa độ lần lượt là a và b thì AB = b - a. 2. Hệ trục tọa độ r r r r a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ (O;i , j ) gồm hai trục (O;i ) và (O; j ) vuông góc với nhau. r Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục (O;i ) được gọi là trục hoành r r r và kí hiệu là Ox, trục (O; j ) được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ i và j là r r r r các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và i = j = 1. Hệ trục tọa độ (O;i , j ) còn được kí hiệu là Oxy. Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy. b) Tọa độ của vectơ r uur r Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý. Vẽ OA = u và gọi A , A lần lượt là hình uur uuur uuur 1 2 chiếu của vuông góc của A lên Ox và Oy. Ta có OA = OA1 + OA2 và cặp số duy nhất (x; y) uuur r uuur r r r r để OA1 = x i , OA2 = y j. Như vậy u = x i + y j. Cặp số (x; y) duy nhất đó được gọi là tọa độ r của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxy và viết r r u = (x; y) hoặc u (x; y). Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của r vectơ u. Như vậy r r r r u = (x; y)Û u = x i + y j
Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau. ur ì r ur r ï x = x¢ Nếu u = (x; y) và u¢= (x ¢; y¢) thì u = u¢Û í îï y = y¢ Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó. c) Tọa độ của một điểm uuur Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó. Như vậy, cặp số (x; y) là tọa độ của điểm uuur M khi và chỉ khi OM = (x; y). Khi đó ta viết M (x; y) hoặc M = (x; y). Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M. Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là x M , tung độ của điểm M còn được kí hiệu là yM . uuur r r M = (x; y)Û OM = x i + y j uuuur uuuur Chú ý rằng, nếu MM1 ^ Ox, MM 2 ^ Oy thì x = OM1, y = OM 2 . d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng uuur Cho hai điểm A(x A ; yA ) và B(xB ; yB ). Ta có AB = (xB - x A ; yB - yA ). r r r r r 3. Tọa độ của các vectơ u + v, u - v, k u Ta có các công thức sau: r r Cho u = (u1;u2 ), v = (v1;v2 ) Khi đó r r • u + v = (u1 + u2 ;v1 + v2 ); r r • u - v = (u1 - u2 ;v1 - v2 ); r • k u = (k u1;k u2 ), k Î ¡ . r r r r Nhận xét. Hai vectơ u = (u1;u2 ), v = (v1;v2 ) với v ¹ 0 cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho u1 = k v1 và u2 = k v2 . 4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác a) Cho đoạn thẳng AB có A(x A ; yA ), B(xB ; yB ). Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm I (xI ; yI ) của đoạn thẳng AB là x + x y + y x = A B , y = A B . I 2 I 2 b) Cho tam giác ABC có A(x A ; yA ), B(xB ; yB ), C (xC ; yC ). Khi đó tọa độ của trọng tâm G(xG ; yG ) của tam giác ABC được tính theo công thức x + x + x y + y + y x = A B C , y = A B C . G 3 G 3 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. TỌA ĐỘ VECTƠ Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? r r r A. a = (- 5;0), b = (- 4;0) cùng hướng.B. c = (7;3) là vectơ đối của ur d = (- 7;3). r r r r C. u = (4;2), v = (8;3) cùng phương.D. a = (6;3), b = (2;1) ngược hướng. r r Câu 2. Cho u = (3;- 2), v = (1;6). Chọn khẳng định đúng? r r r r r A. u + v và a = (- 4;4) ngược hướng.B. u, v cùng phương. r r r r r r C. u - v và b = (6;- 24) cùng hướng.D. 2u + v, v cùng phương. r r r r Câu 3. Trong hệ trục tọa độ (O;i; j) tọa độ i + j là: A. (0;1). B. (1;- 1). C. (- 1;1). D. (1;1). r r r r Câu 4. Cho a = (3;- 4), b = (- 1;2). Tìm tọa độ của a + b. A. (- 4;6). B. (2;- 2). C. (4;- 6). D. (- 3;- 8). r r r r Câu 5. Cho a = (- 1;2), b = (5;- 7). Tìm tọa độ của a - b. A. (6;- 9). B. (4;- 5). C. (- 6;9). D. (- 5;- 14). r r r r r r r r Câu 6. Cho u = 2i - j và v = i + xj . Xác định x sao cho u và v cùng phương. 1 1 A. x = - 1.B. x = - .C. x = . D. x = 2 . 2 4 r r r r Câu 7. Cho a = (- 5;0), b = (4;x). Tìm x để hai vectơ a, b cùng phương. A. x = - 5. B. x = 4. C. x = 0. D. x = - 1. r r r r r r Câu 8. Cho a = (x;2), b = (- 5;1), c = (x;7). Tìm x biết c = 2a + 3b . A. x = - 15. B. x = 3. C. x = 15. D. x = 5. r r r r r Câu 9. Cho a = (2;- 4), b = (- 5;3). Tìm tọa độ của u = 2a - b r r r r A. u = (7;- 7). B. u = (9;- 11). C. u = (9;- 5). D. u = (- 1;5). r r r r r r Câu 10. Cho ba vectơ a = (2;1), b (3;4), c = (7;2). Giá trị của k, h để c = k.a + h.b là: A. k = 2,5; h = - 1,3. B. k = 4,6; h = - 5,1. C. k = 4,4; h = - 0,6. D. k = 3,4; h = - 0,2. Vấn đề 2. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM Câu 11. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC, C Î Ox. Khẳng định nào sau đây đúng? uuur A. AB có tung độ khác 0. B. A, B có tung độ khác nhau. C. C có hoành độ khác 0. D. x A + xC - xB = 0. Câu 12. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(- 5;- 2), B(- 5;3), C (3;3), D(3;- 2). Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uuur A. AB, CD cùng hướng. B. ABCD là hình chữ nhật. uur uur uuur C. I (- 1;1) là trung điểm AC. D. OA + OB = OC.
Câu 13. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(3;- 2), B(7;1), C (0;1), D(- 8;- 5). Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur A. AB, CD là hai vectơ đối nhau.B. AB, CD ngược hướng. uuur uuur C. AB, CD cùng hướng. D. A, B, C, D thẳng hàng. Câu 14. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(- 1;5), B(5;5), C (- 1;11). Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uuur A. A, B, C thẳng hàng. B. AB, AC cùng phương. uuur uuur uuur uuur C. AB, AC không cùng phương. D. AB, AC cùng hướng. Câu 15. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(2;1), B(2;- 1), C (- 2;- 3), D(- 2;- 1). Xét ba mệnh đề: (I ) ABCD là hình thoi. (II ) ABCD là hình bình hành. (III ) AC cắt BD tại M (0;- 1). Chọn khẳng định đúng A. Chỉ (I ) đúng. B. Chỉ (II ) đúng. C. Chỉ (II ) và (III ) đúng. D. Cả ba đều đúng. Câu 16. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(- 1;1), B(0;2), C (3;1), D(0;- 2). Khẳng định nào sau đây sai? A. AB P DC. B. AC = BD. C. AD = BC. D. AD P BC. Câu 17. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(- 1;1), B(1;3), C (- 2;0). Khẳng định nào sau đây sai? uuur uuur A. AB = 2AC. B. A,B,C thẳng hàng. uuur 2 uuur uuur uur r C. BA = BC. D. BA + 2CA = 0. 3 Câu 18. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;3), B(- 1;2), C (- 2;1). Tìm tọa độ của vectơ uuur uuur AB - AC ? A. (- 5;- 3). B. (1;1). C. (- 1;2). D. (4;0). uuur Câu 19. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(5;2), B(10;8). Tìm tọa độ của vectơ AB ? A. (15;10). B. (2;4). C. (5;6). D. (50;16). Câu 20. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(2;- 3), B(4;7). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB A. (6;4). B. (2;10). C. (3;2). D. (8;- 21). Câu 21. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3;5), B(1;2), C (5;2). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ? A. (- 3;4). B. (4;0). C. ( 2;3). D. (3;3). Câu 22. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(1;1), B(2;- 1), C (4;3), D(3;5). Khẳng định nào sau đây đúng? æ 5ö A. Tứ giác ABCD là hình bình hành. B. Gç2; ÷ là trọng tâm tam giác èç 3ø÷ BCD. uuur uuur uuur uuur C. AB = CD. D. AC, AD cùng phương.
Câu 23. Trong hệ tọa độ Oxy, cho M (3;- 4). Gọi M1, M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox,Oy. Khẳng định nào đúng? A. OM = - 3. B. OM = 4. uuuur1 uuuur uuuur2 uuuur C. OM1 - OM 2 = (- 3;- 4). D. OM1 + OM 2 = (3;- 4). Câu 24. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có gốc O làm tâm hình vuông và các cạnh của nó song song với các trục tọa độ. Khẳng định nào đúng? uur uur uur uur uuur A. OA + OB = AB. B. OA- OB, DC cùng hướng. C. x A = - xC , yA = yC . D. xB = - xC , yB = - yC . Câu 25. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2;1), B(0;- 3), C (3;1). Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. A. (5;5). B. (5;- 2). C. (5;- 4). D. (- 1;- 4). Câu 26. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;1), B(3;2), C (6;5). Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. A. (4;3). B. (3;4). C. (4;4). D. (8;6). uuuur uuur Câu 27. Cho ba điểm M ,N,K thỏa MN = kMP . Tìm k để N là trung điểm MP ? 1 A. . B. - 1. C. 2. D. - 2. 2 Câu 28. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B(9;7), C (11;- 1). Gọi M ,N lần lượt uuuur là trung điểm của AB, AC. Tìm tọa độ vectơ MN ? A. (2;- 8). B. (1;- 4). C. (10;6). D. (5;3). Câu 29. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2;3), N (0;- 4), P (- 1;6) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA, AB . Tìm tọa độ đỉnh A ? A. (1;5). B. (- 3;- 1). C. (- 2;- 7). D. (1;- 10). Câu 30. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(6;1), B(- 3;5) và trọng tâm G(- 1;1). Tìm tọa độ đỉnh C ? A. (6;- 3). B. (- 6;3). C. (- 6;- 3). D. (- 3;6). Câu 31. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;1), B(- 2;- 2), C (- 7;- 7). Khẳng định nào sau đây đúng? A. G(2;2) là trọng tâm tam giác ABC. B. B ở giữa hai điểm A và C. uuur uuur C. A ở giữa hai điểm B và C. D. AB, AC cùng hướng. Câu 32. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 2;2), B(3;5) và trọng tâm là gốc O . Tìm tọa độ đỉnh C ? A. (- 1;- 7). B. (2;- 2). C. (- 3;- 5). D. (1;7). Câu 33. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(1;2), B(- 2;3). Tìm tọa độ đỉểm I sao cho uur uur r IA + 2IB = 0 æ 2ö æ 8ö A. (1;2). B. ç1; ÷. C. ç- 1; ÷. D. (2;- 2). èç 5ø÷ èç 3÷ø Câu 34. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(2;5), B(1;1), C (3;3). Tìm tọa độ đỉểm E sao cho uuur uuur uuur AE = 3AB - 2AC A. (3;- 3). B. (- 3;3). C. (- 3;- 3). D. (- 2;- 3).
Câu 35. Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(2;- 3), B(3;4). Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho A,B, M thẳng hàng. æ 5 1ö æ17 ö A. M (1;0). B. M (4;0). C. M ç- ;- ÷. D. M ç ;0÷. èç 3 3ø÷ èç 7 ø÷
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT CHUÛ ÑEÀ VECTÔ 6.  Baøi 01 ÑÒNH NGHÓA 1. Khái niệm vectơ Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng. Định nghĩa. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí uuur A hiệu là AB và đọc là “ vectơ AB “. Để vẽ B uuur được vectơ AB ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh a dấu mũi tên ở đầu nút B. x r r r r Vectơ còn được kí hiệu là a, b, x, y, khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó. 2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó. Định nghĩa. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. uuur uuur Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương. 3. Hai vectơ bằng nhau Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ uuur uuur uuur đó. Độ dài của AB được kí hiệu là AB , như vậy AB = AB. Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị. r r Hai vectơ a và b được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí r r hiệu a = b r Chú ý. Khi cho trước vectơ a và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất uur r sao cho OA = a. 4. Vectơ – không Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó. Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và uuur điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu la AA và được gọi là vectơ – không.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. XÁC ĐỊNH VECTƠ Câu 1. Vectơ có điểm đầu là D , điểm cuối là E được kí hiệu là: uuur uuur uuur A. DE. B. DE . C. ED. D. DE. Lời giải. Chọn D. Câu 2. Cho tam giác ABC , có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh A, B, C ? A. 3. B. 6. C. 4. D. 9. uuur uuur uuur uur uur uuur Lời giải. Chọn B. Đó là các vectơ: AB, BA, BC, CB, CA, AC. Câu 3. Cho tứ giác ABCD . Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và cuối là các đỉnh của tứ giác? A. 4. B. 6. C. 8. D. 12. Lời giải. Một vectơ khác vectơ không được xác định bởi 2 điểm phân biệt. Do đó có 12 cách chọn 2 điểm trong 4 điểm của tứ giác (có tính thứ tự các điểm) nên có thể lập được 12 vectơ. Chọn D. Vấn đề 2. HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG Câu 4. Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Có duy nhất một vectơ cùng phương với mọi vectơ. B. Có ít nhất hai vectơ có cùng phương với mọi vectơ. C. Có vô số vectơ cùng phương với mọi vectơ. D. Không có vectơ nào cùng phương với mọi vectơ. Lời giải. Chọn A. Vì Vectơ - không cùng phương với mọi vectơ. Câu 5. Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Khi đó: uuur uuur A. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là AB cùng phương với AC. uuur uuur B. Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với AB. uuur uuur C. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là với mọi M , MA cùng phương với AB. uuur uuur D. Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng là AB = AC. Lời giải. Chọn A. Câu 6. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC . Hỏi cặp vectơ nào sau đây cùng hướng? uuuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uur A. MN và CB. B. AB và MB. C. MA và MB. D. AN và CA. Lời giải. Chọn B. Câu 7. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Số các vectơ khác vectơ không, cùng uuur phương với OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: A. 4. B. 6. C. 7. D. 9. Lời giải. Chọn B.
C B D A O E F uuur uuur uuur uuur uuur uur Đó là các vectơ: AB, BA, DE, ED, FC, CF . Vấn đề 3. HAI VECTƠ BẰNG NHAU uuur Câu 8. Với DE (khác vectơ không) thì độ dài đoạn ED được gọi là uuur uuur A. Phương của ED. B. Hướng của ED. uuur uuur C. Giá của ED. D. Độ dài của ED. Lời giải. Chọn D. Câu 9. Mệnh đề nào sau đây sai? uuur r r A. AA = 0. B. 0 cùng hướng với mọi vectơ. uuur r C. AB > 0. D. 0 cùng phương với mọi vectơ. uuur Lời giải. Chọn C. Vì có thể xảy ra trường hợp AB = 0 Û A º B. Câu 10. Hai vectơ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi A. Giá của chúng trùng nhau và độ dài của chúng bằng nhau. B. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một hình bình hành. C. Chúng trùng với một trong các cặp cạnh đối của một tam giác đều.D. Chúng cùng hướng và độ dài của chúng bằng nhau. Lời giải. Chọn D. Câu 11. Gọi C là trung điểm của đoạn thẳng AB . Khẳng định nào sau đây là đúng? uur uur uuur uuur A. CA = CB. B. AB và AC cùng phương. uuur uur uuur uuur C. AB và CB ngược hướng. D. AB = BC . Lời giải. Chọn B. uuur uuur Câu 12. Cho tứ giác ABCD . Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để AB = CD ? A. ABCD là hình bình hành. B. ABDC là hình bình hành. C. AD và BC có cùng trung điểm. D. AB = CD. Lời giải. Ta có: uuur uuur ïì AB P CD  AB = CD Þ íï Þ ABDC là hình bình hành. îï AB = CD ïì AB P CD uuur uuur  Mặt khác, ABDC là hình bình hành Þ íï Þ AB = CD . îï AB = CD uuur uuur Do đó, điều kiện cần và đủ để AB = CD là ABDC là hình bình hành. Chọn B. uuur uuur Câu 13. Từ mệnh đề AB = CD , ta suy ra uuur uuur uuur uuur A. AB cùng hướng CD. B. AB cùng phương CD.
uuur uuur C. AB = CD . D. ABCD là hình bình hành. Hỏi khẳng định nào là sai? Lời giải. Chọn D. Phải suy ra ABDC là hình bình hành. Câu 14. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai? uuur uuur uur uuur uur uuur uur uuur A. AB = DC. B. OB = DO. C. OA = OC. D. CB = DA. Lời giải. Chọn C. Câu 15. Cho tứ giác ABCD. Gọi M , N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Khẳng định nào sau đây là sai? uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur A. MN = QP. B. QP = MN . C. MQ = NP. D. MN = AC . Lời giải. Chọn D. A M Q B D N P C ïì MN P PQ 1 Ta có íï (do cùng song song và bằng AC ). îï MN = PQ 2 Do đó MNPQ là hình bình hành. Câu 16. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây là đúng? uuur uuur uuur uuur A. AC = BD. B. AB = CD. uuur uuur uuur uuur C. AB = BC . D. AB, AC cùng hướng. uuur uuur Lời giải. Chọn C. Vì AB = BC Û AB = BC . Câu 17. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật ABCD . Mệnh đề nào sau đây đúng? uur uuur uur uuur A. OA = OC. B. OB và OD cùng hướng. uuur uuur uuur uuur C. AC và BD cùng hướng. D. AC = BD . Lời giải. Chọn D. Câu 18. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC . Đẳng thức nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur A. MA = MB. B. AB = AC. C. MN = BC. D. BC = 2 MN . Lời giải.
A M N B C Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC . uuur uuuur Do đó BC = 2MN ¾ ¾® BC = 2 MN . Chọn D. Câu 19. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Gọi M là trung điểm BC . Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uuur uuuur a 3 uuuur uuuur a 3 A. MB = MC. B. AM = . C. AM = a. D. AM = . 2 2 Lời giải. Chọn D. Câu 20. Cho hình thoi ABCD cạnh a và B·AD = 60° . Đẳng thức nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB = AD. B. BD = a. C. BD = AC. D. BC = DA. Lời giải. B A C D uuur Từ giả thiết suy ra tam giác ABD đều cạnh a nên BD = a ¾ ¾® BD = a. Chọn B. Câu 21. Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O . Đẳng thức nào sau đây là sai? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur A. AB = ED. B. AB = AF . C. OD = BC. D. OB = OE. Lời giải. Chọn D. C B D A O E F uuur Câu 22. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O . Số các vectơ bằng OC có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là A. 2. B. 3. C. 4. D. 6.
Lời giải. C B D A O E F uuur uuur Đó là các vectơ: AB, ED . Chọn A. Câu 23. Cho tam giác ABC có trực tâm H . Gọi D là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. HA = CD và AD = CH .B. HA = CD và AD = HC . uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur C. HA = CD và AC = CH . D. HA = CD và AD = HC và OB = OD . Lời giải. A D H O B C Ta có AH ^ BC và DC ^ BC (do góc D·CB chắn nửa đường tròn). Suy ra AH P DC. Tương tự ta cũng có CH P AD. uuur uuur uuur uuur Suy ra tứ giác ADCH là hình bình hành. Do đó HA = CD và AD = HC . Chọn B. uuur r uuur uuur Câu 24. Cho AB ¹ 0 và một điểm C . Có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB = CD ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. uuur uuur Lời giải. Ta có AB = CD Û AB = CD . Suy ra tập hợp các điểm D thỏa yêu cầu bài toán là đường tròn tâm C, bán kính AB . Chọn D. uuur r uuur uuur Câu 25. Cho AB ¹ 0 và một điểm C , có bao nhiêu điểm D thỏa mãn AB = CD. A. 1. B. 2. C. 0. D. Vô số. Lời giải. Chọn A.
 Baøi 02 TOÂNG VAØ HIEÄU CUÛA HAI VECTÔ 1. Tổng của hai vectơ r r uuur r uuur r Định nghĩa. Cho hai vectơ a và b. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ AB = a và BC = b. Vectơ uuur r r r r AC được gọi là tổng của hai vectơ a và b. Ta kí hiệu tổng của hai vectơ a và b là r r uuur r r a + b. Vậy AC = a + b. Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ. 2. Quy tắc hình bình hành uuur uuur uuur Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC. 3. Tính chất của phép cộng các vectơ r r r Với ba vectơ a, b, c tùy ý ta có r r r r • a + b = b + a (tính chất giao hoán); r r r r r r • (a + b )+ c = a + (b + c ) (tính chất kết hợp); r r r r r • a + 0 = 0 + a = a (tính chất của vectơ – không). 4. Hiệu của hai vectơ a) Vectơ đối
r r Cho vectơ a. Vectơ có độ dài và ngược hướng với a được gọi là vectơ đối của vectơ r r a, kí hiệu là - a. uuur uuur uuur uuur Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của AB là BA, nghĩa là - AB = BA. r r Đặc biệt, vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0. b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ r r r r r r Định nghĩa. Cho hai vectơ a và b. Ta gọi hiệu của hai vectơ a và b là vectơ a + (- b ), r r r r r r kí hiệu a - b. Như vậy a - b = a + (- b ) uuur uur uur Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có AB = OB - OA. Chú ý. 1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ. 2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có uuur uuur uuur AB + BC = AC (quy tắc ba điểm); uuur uuur uur AB - AC = CB (quy tắc trừ). Thực chất hai quy tắc trên được suy ra từ phép cộng vectơ. 5. Áp dụng uur uur r a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA + IB = 0. uuur uuur uuur r b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TÍNH TỔNG CÁC VECTƠ CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Câu 1. Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuuur uuur A. AB + AC = BC. B. MP + NM = NP. uur uuur uur uuur uur uuur C. CA + BA = CB. D. AA + BB = AB. Lời giải. Xét các đáp án: uuur uuur uuur uuur  Đáp án A. Ta có AB + AC = AD ¹ BC (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Vậy A sai. uuur uuuur uuuur uuur uuur  Đáp án B. Ta có MP + NM = NM + MP = NP . Vậy B đúng.
uur uuur uuur uuur uuur uur  Đáp án C. Ta có CA + BA = - (AC + AB)= - AD ¹ CB (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Vậy C sai. uuur uur r r r uuur  Đáp án D. Ta có AA + BB = 0 + 0 = 0 ¹ AB . Vậy D sai. Chọn B. r r r r r Câu 2. Cho a và b là các vectơ khác 0 với a là vectơ đối của b . Khẳng định nào sau đây sai? r r r r A. Hai vectơ a, b cùng phương.B. Hai vectơ a, b ngược hướng. r r r r C. Hai vectơ a, b cùng độ dài.D. Hai vectơ a, b chung điểm đầu. Lời giải. Chọn D. r r r r Ta có a = - b . Do đó, a và b cùng phương, cùng độ dài và ngược hướng nhau. Câu 3. Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Đẳng thức nào sau đây đúng? uur uuur uuur uuur uuur uuur A. CA- BA = BC. B. AB + AC = BC. uuur uur uur uuur uuur uur C. AB + CA = CB. D. AB - BC = CA. Lời giải. Xét các đáp án: uur uuur uur uuur uur uuur  Đáp án A. Ta có CA- BA = CA + AB = CB = - BC . Vậy A sai. uuur uuur uuur uuur  Đáp án B. Ta có AB + AC = AD ¹ BC (với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Vậy B sai. uuur uur uur uuur uur  Đáp án C. Ta có AB + CA = CA + AB = CB . Vậy C đúng. Chọn C. uuur uuur Câu 4. Cho AB = - CD . Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur A. AB và CD cùng hướng.B. AB và CD cùng độ dài. uuur uuur r B. ABCD là hình bình hành.D. AB + DC = 0. uuur uuur uuur Lời giải. Ta có AB = - CD = DC . Do đó: uuur uuur  AB và CD ngược hướng. uuur uuur  AB và CD cùng độ dài. uuur uuur  ABCD là hình bình hành nếu AB và CD không cùng giá. uuur uuur r  AB + CD = 0. Chọn B. uuuur uuur uuur uuur uuur Câu 5. Tính tổng MN + PQ + RN + NP + QR . uuur uuuur uuur uuur A. MR. B. MN. C. PR. D. MP. uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur Lời giải. Ta có MN + PQ + RN + NP + QR = MN + NP + PQ + QR + RN = MN . Chọn A. Câu 6. Cho hai điểm A và B phân biệt. Điều kiện để I là trung điểm AB là: uur uur uur uur uur uur A. IA = IB. B. IA = IB. C. IA = - IB. D. AI = BI. Lời giải. Chọn C. Câu 7. Điều kiện nào là điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB ? uur uur r uur uur r uur uur A. IA = IB. B. IA + IB = 0. C. IA- IB = 0. D. IA = IB. Lời giải. Điều kiện cần và đủ để I là trung điểm của đoạn thẳng AB là uur uur uur uur r IA = - IB Û IA + IB = 0 . Chọn B. Câu 8. Cho DABC cân ở A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB = AC. B. HC = - HB. C. AB = AC . D. BC = 2HC. Lời giải.
DABC cân ở A , đường cao AH . Do đó, H là trung A điểm BC . Ta có: uuur uuur  AB = AC ¾ ¾® AB = AC uuur uuur ì ï HC = - HB B H C  H là trung điểm BC ¾ ¾® íï uuur uuur . ï îï BC = 2HC Chọn A. Câu 9. Cho hình vuông ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur A. AB = BC. B. AB = CD. C. AC = BD. D. AD = CB . Lời giải. uuur uuur ì ï AB = DC A B ABCD là hình vuông ¾ ¾® íï uuur uuur uur uuur uur . ï AD = BC = - CB Þ AD = CB îï Chọn D. D C Câu 10. Mệnh đề nào sau đây sai? uuur uuur r A. Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì MA + MB = 0. uuur uuur uuur r B. Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì GA + GB + GC = 0. uur uuur uur C. Nếu ABCD là hình bình hành thì CB + CD = CA. D. Nếu ba điểm phân biệt A, B, C nằm tùy ý trên một đường thẳng thì uuur uuur uuur AB + BC = AC . Lời giải. Chọn D. uuur uuur uuur Vời ba điểm phân biệt A, B, C năm trên một đường thẳng, AB + BC = AC khi B nằm giữa A và C . Câu 11. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào sau đây sai? uur uur uuur uur uuur uuur uur A. OA- OB = CD. B. OB - OC = OD - OA. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur C. AB - AD = DB. D. BC - BA = DC - DA. Lời giải. Xét các đáp án: uur uur uuur uuur  Đáp án A. Ta có OA- OB = BA = CD . Vậy A A B đúng. uur uuur uur uuur ì O ï OB - OC = CB = - AD  Đáp án B. Ta có íï uuur uur uuur . Vậy B ï D C îï OD - OA = AD sai. uuur uuur uuur  Đáp án C. Ta có AB - AD = DB. Vậy C đúng. uuur uuur uuur ì ï BC - BA = AC  Đáp án D. Ta có íï uuur uuur uuur . Vậy D đúng. ï îï DC - DA = AC Chọn B. uur uuur Câu 12. Gọi O là tâm hình vuông ABCD . Tính OB - OC . uuur uuur uuur uur uuur A. BC. B. DA. C. OD - OA. D. AB. uur uuur uur uuur Lời giải. Ta có OB - OC = CB = DA . Chọn B. Câu 13. Cộng các vectơ có cùng độ dài 5 và cùng giá. Khẳng định nào sau đây đúng? r A. Cộng 5 vectơ ta được kết quả là 0.
r B. Cộng 4 vectơ đôi một ngược hướng ta được kết quả là 0. r C. Cộng 121 vectơ ta được kết quả là 0. D. Cộng 25 vectơ ta được vectơ có độ dài là 0. r Lời giải. Cộng số chẵn các vectơ ngược hướng cùng độ dài ta được vectơ 0 . Chọn B. Câu 14. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Mệnh đề nào sau đây đúng? uuur uuur uur uur uuur A. AB = BC = CA. B. CA = - AB. uuur uuur uur uur uuur C. AB = BC = CA = a. D. CA = - BC. uuur uuur uur Lời giải. Độ dài các cạnh của tam giác là a thì độ dài các vectơ AB = BC = CA = a . Chọn C. Câu 15. Cho tam giác ABC , với M là trung điểm BC . Mệnh đề nào sau đây đúng? uuuur uuur uuur r uuur uuur uuur A. AM + MB + BA = 0. B. MA + MB = AB. uuur uuur uuur uuur uuur uuuur C. MA + MB = MC. D. AB + AC = AM. Lời giải. Xét các đáp án: uuuur uuur uuur r  Đáp án A. Ta có AM + MB + BA = 0 (theo A quy tắc ba điểm). uuur uuur uuuur  Đáp án B, C. Ta có MA + MB = 2MN (với N điểm N là trung điểm của AB ). uuur uuur uuuur  Đáp án D. Ta có AB + AC = 2AM . B M C Chọn A. Câu 16. Cho tam giác ABC , với M , N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB . Khẳng định nào sau đây sai? uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r A. AB + BC + AC = 0. B. AP + BM + CN = 0. uuuur uuur uuur r uur uuur uuur C. MN + NP + PM = 0. D. PB + MC = MP. Lời giải. Xét các đáp án: uuur uuur uur uuur r  Đáp án A. Ta có AB + BC + CA = AA = 0. A  Đáp án B. Ta có uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uur AP + BM + CN = AB + BC + CA P N 2 2 2 1 uuur uuur uur 1 uuur r = AB + BC + CA = AA = 0. C 2 ( ) 2 B M uuuur uuur uuur uuuur r  Đáp án C. Ta có MN + NP + PM = MM = 0. uur uuur 1 uuur 1 uuur 1 uuur uuur uuur uuur  Đáp án D. Ta có PB + MC = AB + BC = AC = AN = PM = - MP. 2 2 2 Chọn D. Câu 17. Cho ba điểm A, B, C . Mệnh đề nào sau đây đúng? uuur uuur uur r A. AB + BC = AC. B. AB + BC + CA = 0. uuur uuur uur uuur uuur uur uuur C. AB = BC Û CA = BC . D. AB - CA = BC. Lời giải. Đáp án A chỉ đúng khi 3 điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C . Đáp án B đúng theo quy tắc ba điểm. Chọn B. Câu 18. Cho tam giác ABC có AB = AC và đường cao AH . Đẳng thức nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur r A. AB + AC = AH. B. HA + HB + HC = 0. uuur uuur r uuur uuur C. HB + HC = 0. D. AB = AC.
Lời giải. Do DABC cân tại A , AH là đường cao nên H là trung điểm BC . Xét các đáp án: A uuur uuur uuur  Đáp án A. Ta có AB + AC = 2AH. uuur uuur uuur uuur r uuur r  Đáp án B. Ta có HA + HB + HC = HA + 0 = HA ¹ 0. uuur uuur r  Đáp án C. Ta có HB + HC = 0 ( H là trung điểm BC ). uuur uuur  Đáp án D. Do AB và AC không cùng hướng uuur uuur B H C nên AB ¹ AC. Chọn C. Câu 19. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A , đường cao AH . Khẳng định nào sau đây sai? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AH + HB = AH + HC . B. AH - AB = AC - AH. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur C. BC - BA = HC - HA. D. AH = AB - AH . Lời giải. Do DABC cân tại A , AH là đường cao nên H là trung điểm BC . Xét các đáp án: A uuur uuur uuur ïì AH + HB = AB = a ï  Đáp án A. Ta có íï ï uuur uuur uuur ï AH + HC = AC = a îï uuur uuur uuur uuur B C Þ AH + HB = AH + HC . H uuur uuur uuur ì ï AH - AB = BH  Đáp án B. Ta có íï uuur uuur uuur uuur . ï îï AH - AC = CH = - BH uuur uuur uuur uuur uuur  Đáp án C. Ta có BC - BA = HC - HA = AC. uuur uuur uuur uuur  Đáp án D. Ta có AB - AH = HB = AH . (do DABC vuông cân tại A ). Chọn B. Câu 20. Cho M , N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC. Hỏi uuur uuur vectơ MP + NP bằng vectơ nào? uuur uur uuuur uuur uuur A. AP. B. PB. C. MN. D. MB + NB. Lời giải. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có NP = BM ¾ ¾® MP + NP = MP + BM = BP. A Chọn B. M P B N C Câu 21. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến song song với nhau tiếp xúc với (O) tại hai điểm A và B . Mệnh đề nào sau đây đúng? uur uur uuur uur A.OA = - OB. B. AB = - OB. C.OA = - OB. D. AB = - BA. Lời giải. Do hai tiếp tuyến song song và A, B là hai tiếp điểm nên AB là đường kính. Do đó O là trung uur uur B A điểm của AB . Suy ra OA = - OB . Chọn A. O
Câu 22. Cho đường tròn O và hai tiếp tuyến MT, MT ¢ (T và T ¢ là hai tiếp điểm). Khẳng định nào sau đây đúng? uuuur uuuur uuur uuuur A. MT = MT ¢. B. MT + MT ¢= TT ¢. C. MT = MT ¢. D. OT = - OT ¢. Lời giải. Do MT, MT ¢ là hai tiếp tuyến (T và T ¢ là hai T tiếp điểm) nên MT = MT ¢.Chọn C. O M T' Câu 23. Cho bốn điểm A, B, C, D . Mệnh đề nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur A. AB + CD = AD + CB. B. AB + BC + CD = DA. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur C. AB + BC = CD + DA. D. AB + AD = CD + CB. uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uur Lời giải. Ta có AB + CD = AD + DB + CB + BD = AD + CB . Chọn A. Câu 24. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD . Vectơ nào trong các vectơ dưới đây uur bằng CA? uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uur A. BC + AB. B. - OA + OC. C. BA + DA. D. DC - CB. Lời giải. Xét các đáp án: uuur uuur uuur uuur uuur uur  Đáp án A. Ta có BC + AB = AB + BC = AC = - CA. A uur uuur uuur uur uuur uur B  Đáp án B. Ta có - OA + OC = OC - OA = AC = - CA. uuur uuur uuur uuur uuur uur  Đáp án C. Ta có BA + DA = - (AD + AB)= - AC = CA. O uuur uur uuur uuur uuur uur uur DC - CB = DC + BC = - CD + CB = - CA.  Đáp án D. Ta có ( ) D C Chọn C. Câu 25. Cho lục giác đều ABCDEF và O là tâm của nó. Đẳng thức nào sau đây đúng? uur uuur uuur uuur uuur uuur A. OA + OC + OE = 0. B. BC + FE = AD. uur uuur uur uuur uuur uuur uuur C. OA + OC + OB = EB. D. AB + CD + EF = 0. Lời giải. Ta có OABC là hình bình hành. A B uur uuur uur uur uuur uur uur Þ OA + OC = OB Þ OA + OC + OB = 2OB. uuur uur O là trung điểm của EB Þ EB = 2OB. O uur uuur uur uuur uur F C Þ OA + OC + OB = EB = 2OB. Chọn C. E D uuur uuur Câu 26. Cho O là tâm hình bình hành ABCD . Hỏi vectơ (AO - DO) bằng vectơ nào? uuur uuur uuur uuur A. BA. B. BC. C. DC. D. AC. uuur uuur uuur uur uuur uuur Lời giải. Ta có AO - DO = OD - OA = AD = BC . Chọn B. A B O D C Câu 27. Cho hình bình hành ABCD và tâm O của nó. Đẳng thức nào sau đây sai? uur uur uuur uuur r uuur uuur uuur A. OA + OB + OC + OD = 0. B. AC = AB + AD. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur C. BA + BC = DA + DC . D. AB + CD = AB + CB. Lời giải. Xét các đáp án:
uur uur uuur uuur uur uuur uur uuur r  Đáp án A. Ta có OA + OB + OC + OD = (OA + OC )+ (OB + OD)= 0. uuur uuur uuur  Đáp án B. Ta có AB + AD = AC (quy tắc A B hình bình hành). ì uuur uuur uuur O ï BA + BC = BD = BD ï D C  Đáp án C. Ta có íï . ï uuur uuur uuur ï DA + DC = DB = BD îï  Đáp án D. Do uuur uur uuur uuur uuur uur CD ¹ CB Þ (AB + CD)¹ (AB + CB). Chọn D. Câu 28. Gọi O là tâm hình bình hành ABCD ; hai điểm E, F lần lượt là trung điểm AB, BC . Đẳng thức nào sau đây sai? uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. DO = EB - EO. B. OC = EB + EO. uur uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur r C. OA + OC + OD + OE + OF = 0. D. BE + BF - DO = 0. Lời giải. Ta có OF, OE lần lượt là đường trung bình của A E B tam giác DBCD và DABC . F O Þ BEOF là hình bình hành. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur D C BE + BF = BO Þ BE + BF - DO = BO - DO = OD - OB = BD. Chọn D. Câu 29. Cho hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Mệnh đề nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. GA + GC + GD = BD. B. GA + GC + GD = CD. uuur uuur uuur ur uuur uuur uuur uuur C. GA + GC + GD = O. D. GA + GD + GC = CD. Lời giải. B C G A D uuur uuur uuur ur Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA + GB + GC = O. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Do đó GA + GC + GD = GA + GC + (GB + BC + CD)= (GA + GB + GC )+ BC + CD uuur uuur uuur = BC + CD = BD . Chọn A. Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD . Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur uuur r A. AC = BD. B. AB + AC + AD = 0. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur C. AB - AD = AB + AD D. BC + BD = AC - AB . Lời giải. uuur uuur uuur uuur uuur uuur Ta có AB - AD = DB = BD; AB + AD = AC = AC. A B uuur uuur uuur uuur Mà BD = AC Þ AB - AD = AB + AD Chọn C. D C
Vấn đề 2. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ uuur uuur Câu 31. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Khi đó AB + AC bằng: uuur uuur uuur uuur a 3 A. AB + AC = a 3. B. AB + AC = . 2 uuur uuur C. AB + AC = 2a. D. Một đáp án khác. Lời giải. Gọi H là trung điểm của BC Þ AH ^ BC. A BC 3 a 3 Suy ra AH = = . 2 2 uuur uuur uuur a 3 Ta lại có AB + AC = 2AH = 2. = a 3 . 2 B H C uuur uuur Câu 32. Cho tam giác vuông cân ABC tại A có AB = a . Tính AB + AC . uuur uuur uuur uuur a 2 A. AB + AC = a 2. B. AB + AC = . 2 uuur uuur uuur uuur C. AB + AC = 2a. D. AB + AC = a. Lời giải. Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình B D vuông. uuur uuur uuur Þ AB + AC = AD = AD = a 2. Chọn A. A C uuur uuur Câu 33. Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh C , AB = 2 . Tính độ dài của AB + AC. uuur uuur uuur uuur A. AB + AC = 5. B. AB + AC = 2 5. uuur uuur uuur uuur C. AB + AC = 3. D. AB + AC = 2 3. Lời giải. A C I B Ta có AB = 2 ¾ ¾® AC = CB = 1. 5 Gọi I là trung điểm BC ¾ ¾® AI = AC 2 + CI 2 = . 2 uuur uuur uur uuur uuur uur 5 Khi đó AC + AB = 2AI ¾ ¾® AC + AB = 2 AI = 2. = 5. Chọn A. 2 uur uuur Câu 34. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 . Tính CA + AB .
uur uuur uur uuur uur uuur A. CA + AB = 2. B. CA + AB = 2 13. C. CA + AB = 5. D. uur uuur CA + AB = 13. Lời giải. Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình chữ nhật. uur uuur uur Ta có CA + AB = CB = BC = AC 2 + AB 2 = 32 + 42 = 5 . Chọn C. uuur uuur Câu 35. Tam giác ABC có AB = AC = a, A·BC = 120° . Tính độ dài vectơ tổng AB + AC . uuur uuur uuur uuur A. AB + AC = a 3. B. AB+ AC = a. uuur uuur a uuur uuur C. AB + AC = . D. AB + AC = 2a. 2 Lời giải. Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình A thoi. uuur uuur uuur Ta có AB + AC = AD = AD. B C · 0 ABDC là hình thoi có ABC = 120 D Þ DABD và DADC là hai tam giác đều Þ AD = AB = a. Chọn B. uur uuur Câu 36. Cho tam giác ABC đều cạnh a , H là trung điểm của BC . Tính CA- HC . uur uuur a uur uuur 3a uur uuur 2 3a uur uuur a 7 A. CA- HC = . B. CA- HC = . C. CA- HC = . D. CA- HC = . 2 2 3 2 Lời giải. Gọi D là điểm thỏa mãn tứ giác ACHD là hình bình D A hành. Þ AHBD là hình chữ nhật. uur uuur uur uuur uuur CA- HC = CA + CH = CD = CD. B H C 3a2 a 7 Ta có: CD = BD 2 + BC 2 = AH 2 + BC 2 = + a2 = . 4 2 Chọn D. Câu 37. Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC = 12 . Tính độ dài r uuur uuur của vectơ v = GB + GC . r r r r A. v = 2. B. v = 2 3. C. v = 8. D. v = 4. Lời giải. B Gọi M là trung điểm của BC. uuur uuur uuur r uuur uuur uuur Ta có GA + GB + GC = 0 Þ GB + GC = GA = GA M 2 2 1 BC G Mà GA = AM = . .BC = = 4. 3 3 2 3 A C Chọn D. uuur uuur Câu 38. Cho hình thoi ABCD có AC = 2a, BD = a . Tính AC + BD . uuur uuur uuur uuur A. AC + BD = 3a. B. AC + BD = a 3. uuur uuur uuur uuur C. AC + BD = a 5. D. AC + BD = 5a. Lời giải.
Gọi O = AC ÇBD . B Gọi M là trung điểm của CD uuur uuur uuur uuur uuur A C AC + BD = 2 OC + OD = 2 2OM = 4OM O M 1 a2 D = 4. CD = 2 OD 2 + OC 2 = 2 + a2 = a 5. 2 4 Chọn C. uuur uuur Câu 39. Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính AB - DA . uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB - DA = 0. B. AB - DA = a. C. AB - DA = a 2. D. uuur uuur AB - DA = 2a. uuur uuur uuur uuur uuur Lời giải. Ta có AB - DA = AB + AD = AC = AC = a 2. Chọn C. uur uuur Câu 40. Cho hình vuông ABCD cạnh a , tâm O . Tính OB + OC . uur uuur uur uuur uur uuur a A. OB + OC = a. B. OB + OC = a 2. C. OB + OC = . D. 2 uur uuur a 2 OB + OC = . 2 Lời giải. Gọi M là trung điểm của BC . A B uur uuur uuur Þ OB + OC = 2 OM = 2OM = AB = a. M Chọn A. O D C Vấn đề 3. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ uuur uuur uuur r Câu 41. Cho tam giác ABC có M thỏa mãn điều kiện MA + MB + MC = 0 . Xác định vị trí điểm M. A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM. B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB. C. M trùng C. D. M là trọng tâm tam giác ABC. Lời giải. Gọi G là trọng tâm tam giác DABC . uuur uuur uuur r Ta có GA + GB + GC = 0 Þ M º G . Chọn D. uuur uuur uuur uuur Câu 42. Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MB - MC = BM - BA là? A. đường thẳng AB. B. trung trực đoạn BC. C. đường tròn tâm A, bán kính BC. D. đường thẳng qua A và song song với BC. uuur uuur uuur uuur uur uuuur Lời giải. Ta có MB - MC = BM - BA Û CB = AM Þ AM = BC Mà A, B, C cố định Þ Tập hợp điểm M là đường tròn tâm A , bán kính BC . Chọn C.
Câu 43. Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn uuur uuur uuur uuuur MA + MB - MC = MD là? A. một đường tròn. B. một đường thẳng. C. tập rỗng.D. một đoạn thẳng. Lời giải. uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur MA + MB - MC = MD Û MB - MC = MD - MA A uur uuur B Û CB = AD sai Þ Không có điểm M thỏa mãn. D C Chọn C. uuur uuur uuur Câu 44. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MB + MC = AB . Tìm vị trí điểm M. A. M là trung điểm của AC. B. M là trung điểm của AB. C. M là trung điểm của BC. D. M là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM. Lời giải. A Gọi I là trung điểm của BC. uuur uuur uuur Þ MB + MC = 2MI M uuur uuur Þ AB = 2MI Þ M là trung điểm AC. B C Chọn A. I uuur uuur uuur r Câu 45. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn điều kiện MA- MB + MC = 0 . Mệnh đề nào sau đây sai? uuuur uuur uuur A. MABC là hình bình hành. B. AM + AB = AC. uuur uuur uuur uuur uuur C. BA + BC = BM. D. MA = BC. Lời giải. uuur uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur Ta có MA- MB + MC = 0 Û BA + MC = 0 Û MC = AB A M Þ MABC là hình bình hành. Chọn A. B C
 Baøi 03 TÍCH CUÛA VECTÔ VÔÙI MOÄT SOÁ 1. Định nghĩa r r r r Cho số k ¹ 0 và vectơ a ¹ 0. Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu là k a, r r r cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k < 0 và có độ dài bằng k . a . 2. Tính chất r r Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có r r r r • k(a + b )= k a + k b ; r r r • (h + k)a = h a + k a ; r r • h(k a)= (hk)a ; r r r r • 1.a = a, (- 1).a = - a. 3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có uuur uuur uuur MA + MB = 2 MI. b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có uuur uuur uuur uuuur GA + GB + GC = 3 MG. 4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương r r r r r r Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b (b ¹ 0) cùng phương là có một số k để a = k b. Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để uuur uuur AB = k AC. 5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương r r r Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được r r một cách duy nhất theo hai vectơ a và b, nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho r r r x = h a + k b. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TÍNH ĐỘ DÀI VECTƠ
uur uur Câu 1. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = a. Tính 2OA- OB . A. a. B. (1+ 2)a. C. a 5. D. 2a 2. Lời giải. Gọi C là điểm đối xứng của O qua C A Þ OC = 2a. Tam giác OBC vuông tại O, có BC = OB 2 + OC 2 = a 5. uur uur uuur uur uuur uur uur uuur Ta có 2OA- OB = OC - OB = BC suy ra 2OA- OB = BC = a 5. A Chọn C. O B Câu 2. Cho tam giác OAB vuông cân tại O, cạnh OA = a. Khẳng định nào dưới đây là sai ? uur uur uur uur A. 3OA + 4OB = 5a. B. 2OA + 3OB = 5a. uur uur uur uur C. 7OA- 2OB = 5a. D. 11OA - 6OB = 5a. Lời giải. Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau: uur uuur • A đúng, gọi C nằm trên tia đối của tia AO sao cho OC = 3OA Þ 3OA = OC. uur uuur Và D nằm trên tia đối của tia BO sao cho OD = 4OB Þ 4OB = OD. C E A O B D uuur uuur uuur Dựng hình chữ nhật OCED suy ra OC + OD = OE (quy tắc hình bình hành). uur uur uuur uuur uuur Ta có 3OA + 4OB = OC + OD = OE = OE = CD = OC 2 + OD 2 = 5a. uur uur uur uur • B đúng, vì 2OA + 3OB = 2 OA + 3 OB = 2a + 3a = 5a. • C sai, xử lý tương tự như ý đáp án A. uur uur uur uur • D đúng, vì 11OA - 6OB = 11 OA - 6 OB = 11a - 6a = 5a. Chọn C. Vấn đề 2. PHÂN TÍCH VECTƠ Câu 3. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng ? uur uur uur r uur uur uur r A. IB + 2IC + IA = 0. B. IB + IC + 2IA = 0. uur uur uur r uur uur uur r C. 2IB + IC + IA = 0. D. IB + IC + IA = 0. Lời giải.
A I B M C uur uur uuur Vì M là trung điểm BC nên IB + IC = 2IM. uur uuur r Mặt khác I là trung điểm AM nên IA + IM = 0. uur uur uur uuur uur uuur uur r Suy ra IB + IC + 2IA = 2IM + 2IA = 2(IM + IA)= 0. Chọn B. Câu 4. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Khẳng định nào sau đây đúng ? uur 1 uuur uuur uur 1 uuur uuur A. AI = AB + AC . B. AI = AB - AC . 4 ( ) 4 ( ) uur 1 uuur 1 uuur uur 1 uuur 1 uuur C. AI = AB + AC. D. AI = AB - AC. 4 2 4 2 Lời giải. A I B M C uuur uuur uuuur Vì M là trung điểm BC nên AB + AC = 2 AM. (1) uur uuuur Mặt khác I là trung điểm AM nên 2 AI = AM. (2) uuur uuur uur uur 1 uuur uuur Từ (1), (2) suy ra AB + AC = 4 AI Û AI = AB + AC . Chọn A. 4 ( ) Câu 5. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng ? uuur 2 uuur uuur uuur 1 uuur uuur A. AG = AB + AC . B. AG = AB + AC . 3 ( ) 3( ) uuur 1 uuur 2 uuur uur 2 uuur uuur C. AG = AB + AC. D. AI = AB + 3AC. 3 2 3 Lời giải. A G B M C
uuur 2 uuuur Vì G là trọng tâm của tam giác ABC Þ AG = AM. 3 uuur uuur uuuur uuuur 1 uuur uuur Và M là trung điểm của BC Þ AB + AC = 2 AM Û AM = AB + AC . 2 ( ) uuur 2 1 uuur uuur 1 uuur uuur Do đó AG = . AB + AC = AB + AC . Chọn B. 3 2 ( ) 3( ) Câu 6. Cho tứ giác ABCD, trên cạnh AB, CD lấy lần lượt các điểm M , N sao cho uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur 3 AM = 2 AB và 3 DN = 2 DC. Tính vectơ MN theo hai vectơ AD, BC. uuuur 1 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 2 uuur A. MN = AD + BC. B. MN = AD - BC. 3 3 3 3 uuuur 1 uuur 2 uuur uuuur 2 uuur 1 uuur C. MN = AD + BC. D. MN = AD + BC. 3 3 3 3 Lời giải. A D M B N C uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur Ta có MN = MA + AD + DN và MN = MB + BC + CN. uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Suy ra 3 MN = MA + AD + DN + 2(MB + BC + CN ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur = (MA + 2MB)+ AD + 2BC + (DN + 2CN ). uuur uuur r uuur uuur r Theo bài ra, ta có MA + 2 MB = 0 và DN + 2CN = 0. uuuur uuur uuur uuuur 1 uuur 2 uuur Vậy 3 MN = AD + 2 BC Û MN = AD + BC. Chọn C. 3 3 Câu 7. Cho hình thang ABCD có đáy là AB và CD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Khẳng định nào sau đây sai ? uuuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur A. MN = MD + CN + DC. B. MN = AB - MD + BN. uuuur 1 uuur uuur uuuur 1 uuur uuur C. MN = AB + DC . D. MN = AD + BC . 2 ( ) 2 ( ) Lời giải. A B M N D C uuur uuuur r ì ï MA + MD = 0 Vì M , N lần lượt là trung điểm của AD, BC Þ íï uuur uuur r ï îï NB + NC = 0 Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau: uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur · A đúng, vì MD + CN + DC = MN = (MD + DC )+ CN = MC + CN = MN. uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur · B đúng, vì AB - MD + BN = (AB + BN )- MD = AN - AM = MN. uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuur · C đúng, vì MN = MA + AD + DN và MN = MD + DC + CN
uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur 1 uuur uuur Suy ra 2MN = MA + MD + AD + BC + DN + CN Û MN = AD + BC . ( ) ( ) 2 ( ) · D sai, vì theo phân tích ở đáp án C. Chọn D. Câu 8. Cho hình bình hành ABCD có M là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng ? uuuur 1 uuur uuur uuuur 1 uuur uuur A. DM = CD + BC. B. DM = CD - BC. 2 2 uuuur 1 uuur uuur uuuur 1 uuur uuur C. DM = DC - BC. D. DM = DC + BC. 2 2 uuur uuur uuur Lời giải. Vì ABCD là hình bình hành nên DB = DA + DC. uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur Và M là trung điểm AB nên 2 DM = DA + DB Û 2 DM = 2 DA + DC. uuuur uuur uuur uuuur 1 uuur uuur Û 2 DM = - 2 BC + DC suy ra DM = DC - BC. Chọn C. 2 Câu 9. Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh AB sao cho 3 AM = AB và N là trung uuuur uuur uuur điểm của AC. Tính MN theo AB và AC. uuuur 1 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 1 uuur A. MN = AC + AB. B. MN = AC - AB. 2 3 2 3 uuuur 1 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 1 uuur C. MN = AB + AC. D. MN = AC - AB. 2 3 2 3 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur Lời giải. Vì N là trung điểm AC nên 2 MN = MA + MC = MA + MA + AC. uuuur uuur uuur 2 uuur uuur uuuur 1 uuur 1 uuur Û 2MN = 2 MA + AC = - AB + AC. Suy ra MN = - AB + AC. Chọn B. 3 3 2 Câu 10. Cho tam giác ABC, hai điểm M , N chia cạnh BC theo ba phần bằng nhau uuuur uuur uuur BM = MN = NC. Tính AM theo AB và AC. uuuur 2 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 2 uuur A. AM = AB + AC. B. AM = AB + AC. 3 3 3 3 uuuur 2 uuur 1 uuur uuuur 1 uuur 2 uuur C. AM = AB - AC. D. AM = AB - AC. 3 3 3 3 uuuur uuur uuur uuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur 2 uuur 1 uuur Lời giải. Ta có AM = AB + BM = AB + BC = AB + AC - AB = AB + AC. 3 3( ) 3 3 Chọn A. uuur uuuur uuur Câu 11. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. Tính AB theo AM và BC. uuur uuuur 1 uuur uuur uuur 1 uuuur A. AB = AM + BC. B. AB = BC + AM. 2 2 uuur uuuur 1 uuur uuur uuur 1 uuuur C. AB = AM - BC. D. AB = BC - AM. 2 2 uuur uuuur uuur uuuur 1 uuur Lời giải. Ta có AB = AM + MB = AM - BC. Chọn C. 2 Câu 12. Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó: uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur A. AK = AB + AC. B. AK = AB - AC. 6 4 4 6 uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur C. AK = AB + AC. D. AK = AB - AC. 4 6 6 4 uuur 1 uuuur uuur 1 æ1 uuur 1 uuurö 1 uuur 1 uuur Lời giải. Ta có AK = AM + AN = ç AB + AC÷= AB + AC . Chọn C. 2 ( ) 2 èç2 3 ø÷ 4 6 uuur uuur uuur Câu 13. Cho hình bình hành ABCD. Tính AB theo AC và BD.
uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur A. AB = AC + BD. B. AB = AC - BD. 2 2 2 2 uuur uuuur 1 uuur uuur 1 uuur uuur C. AB = AM - BC. D. AB = AC - BD. 2 2 uur uuur r Lời giải. Vì ABCD là hình bình hành nên CB + AD = 0. uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur Ta có AB = AC + CB và AB = AD + DB Þ 2AB = AC + DB + (CB + AD) uuur uuur uuur 1 uuur 1 uuur uuur 1 uuur 1 uuur = AC + DB Þ AB = AC + DB. Vậy AB = AC + BD. Chọn A. 2 2 2 2 r uuur r uuur Câu 14. Cho tam giác ABC và đặt a = BC, b = AC. Cặp vectơ nào sau đây cùng phương ? r r r r r r r r A. 2a + b, a + 2b. B. 2a - b, a - 2b. r r r r r r r r C. 5a + b, - 10 a - 2b. D. a + b, a - b. r r r r r r r r Lời giải. Dễ thấy - 10 a - 2b = - 2(5a + b) nên hai vectơ 5a + b, - 10a - 2b cùng phương. Chọn C. uuur uuur uuur Câu 15. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn MA = MB + MC. Khẳng định nào sau đây đúng ? A. Ba điểm C, M , B thẳng hàng. B. AM là phân giác trong của góc B·AC. C. A, M và trọng tâm tam giác ABC thẳng hàng. uuuur uuur r D. AM + BC = 0. Lời giải. Gọi I, G lần lượt là trung điểm BC và trọng tâm tam giác ABC. uuur uuur uuur Vì I là trung điểm BC nên MB + MC = 2 MI. uuur uuur uuur uuur uuur Theo bài ra, ta có MA = MB + MC suy ra MA = 2MI Þ A, M , I thẳng hàng Mặt khác G là trọng tâm của tam giác ABC Þ G Î AI. Do đó, ba điểm A, M , G thẳng hàng. Chọn C. Vấn đề 3. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Câu 16. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và I là trung điểm của BC. Đẳng thức nào sau đây đúng ? uuur uur uur 1 uur uuur uuur uur uuur uuur uuur A. GA = 2GI. B. IG = - IA. C. GB + GC = 2GI. D. GB + GC = GA. 3 uur uur r Lời giải. Vì I là trung điểm của BC suy ra IB + IC = 0. uuur uur uur ïì uuur uuur uur uur uur uur ï GB = GI + IB Ta có í uuur uur uur Þ GB + GC = I14B4+24I4C43+ 2GI = 2GI. Chọn C. ï r îï GC = GI + IC 0 Câu 17. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M là trung điểm BC. Khẳng định nào sau đây sai ?
uuur 2 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur A. GA = AM. B. AB + AC = 3AG. C. GA = BG + CG. D. GB + GC = GM. 3 uuur uuur r Lời giải. Vì M là trung điểm của BC suy ra MB + MC = 0. uuur uuuur uuur ïì uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur ï GB = GM + MB Ta có í uuur uuuur uuur Þ GB + GC = 1M44B44+24M44C43+ 2GM = 2GM. Chọn D. ï r îï GC = GM + MC 0 Câu 18. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. Khẳng định nào sau đây đúng ? uuuur uuur uuur uuur uuur A. AM = MB = MC. B. MB = MC. uuur uuur uuur uuuur BC C. MB = - MC. D. AM = . 2 uuur uuur r uuur uuur Lời giải. Vì M là trung điểm của BC nên MB + MC = 0 Û MB = - MC. Chọn C. Câu 19. Cho tam giác ABC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khẳng định nào sau đây sai ? uuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur 1 uuur A. AB = 2AM. B. AC = 2NC. C. BC = - 2MN. D. CN = - AC. 2 Lời giải. Vì M , N lần lượt là trung điểm của AB, AC. 1 Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC Þ MN = BC. 2 uuur uuuur uuur uuuur Mà BC, MN là hai vectơ cùng hướng nên BC = 2 MN. Chọn C. Câu 20. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng ? uuur uuur 2 uuur uuur uuur uuur A. AB + AC = AG. B. BA + BC = 3BG. 3 uur uur uuur uuur uuur uuur r C. CA + CB = CG. D. AB + AC + BC = 0. uuur uuur uuur Lời giải. Gọi E là trung điểm của AC Þ BA + BC = 2 BE. (1) uuur 3 uuur Mà G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra BE = BG. (2) 2 uuur uuur 3 uuur uuur Từ (1), (2) suy ra BA + BC = 2. BG = 3 BG. Chọn B. 2 uur uur Câu 21. Cho tam giác đều ABC và điểm I thỏa mãn IA = 2IB. Mệnh đề nào sau đây đúng ? uur uur uur uur uur CA- 2CB uur CA + 2CB A. CI = . B. CI = . 3 3 uur uur uur uur uur uur CA + 2CB C. CI = - CA + 2CB. D. CI = . - 3 uur uur uur uuur uur uuur Lời giải. Từ giả thiết IA = 2IB Þ B là trung điểm của IA Þ BI = AB; AI = 2AB. uur uur uur ì ï CI = CB + BI uur uur uur uur uur uur uur uuur uuur Lại có íï uur uur uur Þ 2CI = CB + CA + BI + AI = CA + CB + AB + 2AB. ï îï CI = CA + AI uur uur uuur uur uur uur uur uur uur uur uur uur uur = CA + CB + 3AB Û 2CI = CA + CB + 3(CB - CA)= - 2CA + 4CB Û CI = - CA + 2CB.
Chọn C. Câu 22. Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Hãy chọn hệ thức đúng: uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. 2MA + MB - 3MC = AC + 2BC. B. 2MA + MB - 3MC = 2AC + BC. uuur uuur uuur uur uur uuur uuur uuur uur uur C. 2MA + MB - 3MC = 2CA + CB. D. 2MA + MB - 3MC = 2CB - CA. uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur uur Lời giải. Ta có 2MA + MB - 3MC = 2MC + 2CA + MC + CB - 3MC = 2CA + CB. Chọn C. Câu 23. Cho hình vuông ABCD có tâm là O. Mệnh đề nào sau đây sai ? uuur uuur uuur uuur uuur 1 uur A. AB + AD = 2AO. B. AD + DO = - CA. 2 uur uur 1 uur uuur uuur uuur C. OA + OB = CB. D. AC + DB = 4 AB. 2 uur uur uuur uur uur uuur uur uur uuur r Lời giải. Ta có OA + OB = - OC + OB = OB - OC = CB (vì OA + OC = 0 ). Chọn C. Câu 24. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đúng ? uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AC + BD = 2BC. B. AC + BC = AB. uuur uuur uuur uuur uuur uuur C. AC - BD = 2CD. D. AC - AD = CD. uuur uuur uuur ïì uuur uuur uuur uuur uuur uuur ï AC = AB + BC Lời giải. Ta có í uuur uuur uuur Þ AC + BD = 2BC + 1A4B442+4C4D43= 2BC. Chọn A. ï r îï BD = BC + CD 0 Câu 25. Cho hình bình hành ABCD, có M là giao điểm của hai đường chéo. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai. uuur uuur uuur uuur uuur uuur A. AB + BC = AC. B. AB + AD = AC. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur C. BA + BC = 2 BM. D. MA + MB = MC + MD. uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur Lời giải. Ta có MA + MB = MC + MD Û MA- MD = MC - MB Û DA = BC uuur uuur Suy ra điều trên không thể xảy ra vì DA = - BC. Chọn D. Vấn đề 4. XÁC ĐỊNH ĐIỂM THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ uuur uuur uur Câu 26. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn 2MA + MB = CA. Khẳng định nào sau đây là đúng ? A. M trùng A. B. M trùng B. C. M trùng C. D. M là trọng tâm của tam giác ABC. uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur Lời giải. Ta có 2MA + MB = CA Û 2MA + MB = CM + MA. uuur uuur uuur uuur uuur uuur r Û MA + MB = - MC Û MA + MB + MC = 0 (*) Vậy từ đẳng thức (*) Þ M là trọng tâm của tam giác ABC. Chọn D. uuur r uuur r Câu 27. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Đặt GA = a, GB = b . Hãy tìm m, n để có uuur r r BC = ma + nb. A. m = 1,n = 2. B. m = - 1,n = - 2. C. m = 2,n = 1. D. m = - 2,n = - 1. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Lời giải. Ta có BC = BG + GC = BG - (GA + GB)= - GA- 2GB (do GA + GB + GC = 0). Chọn B. Câu 28. Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng và điểm M thỏa mãn đẳng thức vectơ uuur uuur uuur MA = x MB + y MC. Tính giá trị biểu thức P = x + y. A. P = 0. B. P = 2. C. P = - 2. D. P = 3. uuur uuur Lời giải. Do AB và AC không cùng phương nên tồn tại các số thực x, y sao cho
uuuur uuur uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur AM = x AB + yAC, " M Û AM = x AM + x MB + yAM + yMC uuuur uuur uuur uuur uuur uuur Û (1- x - y)AM = x MB + yMC Û (x + y - 1)MA = x MB + yMC. uuur uuur uuur Theo bài ra, ta có MA = x MB + yMC suy ra x + y - 1 = 1 Û x + y = 2. Chọn B. Câu 29. Cho hình chữ nhật ABCD và số thực k > 0. Tìm tập hợp các điểm M thỏa uuur uuur uuur uuuur mãn đẳng thức MA + MB + MC + MD = k. A. Một đoạn thẳng.B. Một đường thẳng. C. Một đường tròn.D. Một điểm. uuur uuur uuur ì ï 2MI = MA + MC Lời giải. Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD, ta có íï uuur uuur uuuur , " M. ï îï 2MI = MB + MD uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur k Do đó MA + MB + MC + MD = k Û 2MI + 2MI = k Û 4 MI = k Û MI = (*). 4 Vì I là điểm cố định nên tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức (*) là đường k tròn tâm I, bán kính R = . Chọn C. 4 Câu 30. Cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của hai đường chéo. Tìm tập hợp uuur uuur uuur uuuur các điểm M thỏa mãn MA + MB = MC + MD . A. Trung trực của đoạn thẳng AB. B. Trung trực của đoạn thẳng AD. AC C. Đường tròn tâm I, bán kính . D. Đường tròn tâm I, bán kính 2 AB + BC . 2 uuur uuur uuur ì ï MA + MB = 2ME Lời giải. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Khi đó íï uuur uuuur uuur , " M. ï îï MC + MD = 2MF uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur Do đó MA + MB = MC + MD Û 2 ME = 2 MF Û ME = MF (*). Vì E, F là hai điểm cố định nên từ đẳng thức (*) Þ tập hợp các điểm M là trung trực của đoạn thằng EF hay chính là trung trực của đoạn thẳng AD. Chọn B. Câu 31. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tìm tập uuur uuur uuur uuur hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức MA + MB = MA- MB . AB A. Đường tròn tâm I, đường kính . 2 B. Đường tròn đường kính AB. C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB. D. Đường trung trực đoạn thẳng IA. uuur uuur uuur Lời giải. Vì I là trung điểm của AB suy ra MA + MB = 2 MI. uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB Do đó MA + MB = MA- MB Û 2 MI = BA Û MI = (*). 2 Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức (*) là đường tròn tâm I, bán kính
AB R = . Chọn A. 2 Câu 32. Cho hai điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tìm tập uuur uuur uuur uuur hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 2MA + MB = MA + 2MB . A. Đường trung trực của đoạn thẳng AB. B. Đường tròn đường kính AB. C. Đường trung trực đoạn thẳng IA. D. Đường tròn tâm A, bán kính AB. uuur uuur r Lời giải. Chọn điểm E thuộc đoạn AB sao cho EB = 2EA Þ 2EA + EB = 0. uur uur r Chọn điểm F thuộc đoạn AB sao cho FA = 2FB Þ 2FB + FA = 0. uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uur Ta có 2MA + MB = MA + 2MB Û 2ME + 2EA + ME + EB = 2MF + 2FB + MF + FA uuur uuur uuur uuur uur uur uuur uuur Û 3 ME + 2 EA + EB = 3 MF + 2 FA + FB Û 3 ME = 3 MF Û ME = MF (*). 144442r 44443 144442r 44443 0 0 Vì E, F là hai điểm cố định nên từ đẳng thức (*) suy ra tập hợp các điểm M là trung trực của đoạn thẳng EF. Gọi I là trung điểm của AB suy ra I cũng là trung điểm của EF. uuur uuur uuur uuur Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn 2MA + MB = MA + 2MB là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Chọn A. Câu 33. Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Tìm tập hợp các điểm M thỏa uuur uuur uuur uuur mãn MA + MB = MA + MC . A. Đường trung trực của đoạn BC.B. Đường tròn đường kính BC. C. Đường tròn tâm G, bán kính a .D. Đường trung trực đoạn thẳng 3 AG. uuur uuur uuur ì ï MA + MB = 2MI Lời giải. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó íï uuur uuur uuur . ï îï MA + MC = 2MJ uuur uuur uuur uuur uuur uuur Theo bài ra, ta có MA + MB = MA + MC Û 2 MI = 2 MJ Û MI = MJ. uuur uuur uuur uuur Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn MA + MB = MA + MC là đường trung trực của đoạn thẳng IJ , cũng chính là đường trung trực của đoạn thẳng BC vì IJ là đường trung bình của tam giác ABC. Chọn A. Câu 34. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng uuur uuur uuur uuur uuur thức 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA là đường tròn cố định có bán kính R. Tính bán kính R theo a. a a a a A. r = . B. r = . C. r = . D. r = . 3 9 2 6 Lời giải. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. uuur uuur uuur uuur uur uuur uur uuur uur Ta có 2MA + 3MB + 4MC = 2(MI + IA)+ 3(MI + IB)+ 4(MI + IC ).
uur uur uur r uur uur uur uur uur r Chọn điểm I sao cho 2IA + 3IB + 4IC = 0 Û 3(IA + IB + IC )+ IC - IA = 0. uur uur uur uur Mà G là trọng tâm của tam giác ABC Þ IA + IB + IC = 3 IG. uur uur uur r uur uur uur r uur uur Khi đó 9 IG + IC - IA = 0 Û 9 IG + AI + IC = 0 Û 9 IG = CA (*). uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uur uur uuur Do đó 2MA + 3MB + 4MC = MB - MA Û 9MI + 2IA + 3IB + 4IC = AB Û 9MI = AB. Vì I là điểm cố định thỏa mãn (*) nên tập hợp các điểm M cần tìm là đường tròn tâm AB a I, bán kính r = = . Chọn B. 9 9 uuur uuur uuur Câu 35. Cho tam giác ABC . Có bao nhiêu điểm M thỏa MA + MB + MC = 3 ? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Lời giải. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC nên G cố định duy nhất và uuur uuur uuur r GA + GB + GC = 0 . uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur Ta có MA + MB + MC = 3 Û GA + GB + GC - 3GM = 3 Û 3 GM = 3 Û GM = 1 . Vậy có vô số điểm M thỏa mãn, với tập hợp M là đường tròn tâm G bán kính bằng 1. Chọn D.
 Baøi 04 HEÄ TRUÏC TOÏA ÑOÄ 1. Trục và độ dài đại số trên trục a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm r O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e. r Ta kí hiệu trục đó là (O;e ) r b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục (O;e ). Khi đó có duy nhất một số k sao cho uuur r OM = k e. Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho. r uuur r c) Cho hai điểm A và B trên trục (O;e ). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a e. Ta uuur uuur gọi số a là độ dài đại số của vectơ AB đối với trục đã cho và kí hiệu a = AB. uuur r uuur r Nhận xét. Nếu AB cùng hướng với e thì AB = AB, còn nếu AB ngược hướng với e thì AB = - AB. r Nếu hai điểm A và B trên trục (O;e ) có tọa độ lần lượt là a và b thì AB = b - a. 2. Hệ trục tọa độ r r r r a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ (O;i , j ) gồm hai trục (O;i ) và (O; j ) vuông góc với nhau. r Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục (O;i ) được gọi là trục hoành r r r và kí hiệu là Ox, trục (O; j ) được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ i và j là r r r r các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và i = j = 1. Hệ trục tọa độ (O;i , j ) còn được kí hiệu là Oxy. Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy. b) Tọa độ của vectơ r uur r Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ u tùy ý. Vẽ OA = u và gọi A , A lần lượt là hình uur uuur uuur 1 2 chiếu của vuông góc của A lên Ox và Oy. Ta có OA = OA1 + OA2 và cặp số duy nhất (x; y) uuur r uuur r r r r để OA1 = x i , OA2 = y j. Như vậy u = x i + y j.
Cặp số (x; y) duy nhất đó được gọi là tọa độ r của vectơ u đối với hệ tọa độ Oxy và viết r r u = (x; y) hoặc u (x; y). Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của r vectơ u. Như vậy r r r r u = (x; y)Û u = x i + y j Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau. ur ì r ur r ï x = x¢ Nếu u = (x; y) và u¢= (x ¢; y¢) thì u = u¢Û í îï y = y¢ Như vậy, mỗi vectơ được hoàn toàn xác định khi biết tọa độ của nó. c) Tọa độ của một điểm uuur Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ OM đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó. Như vậy, cặp số (x; y) là tọa độ của điểm uuur M khi và chỉ khi OM = (x; y). Khi đó ta viết M (x; y) hoặc M = (x; y). Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M. Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là x M , tung độ của điểm M còn được kí hiệu là yM . uuur r r M = (x; y)Û OM = x i + y j uuuur uuuur Chú ý rằng, nếu MM1 ^ Ox, MM 2 ^ Oy thì x = OM1, y = OM 2 . d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng uuur Cho hai điểm A(x A ; yA ) và B(xB ; yB ). Ta có AB = (xB - x A ; yB - yA ). r r r r r 3. Tọa độ của các vectơ u + v, u - v, k u Ta có các công thức sau: r r Cho u = (u1;u2 ), v = (v1;v2 ) Khi đó r r • u + v = (u1 + u2 ;v1 + v2 ); r r • u - v = (u1 - u2 ;v1 - v2 ); r • k u = (k u1;k u2 ), k Î ¡ . r r r r Nhận xét. Hai vectơ u = (u1;u2 ), v = (v1;v2 ) với v ¹ 0 cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho u1 = k v1 và u2 = k v2 . 4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác a) Cho đoạn thẳng AB có A(x A ; yA ), B(xB ; yB ). Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm I (xI ; yI ) của đoạn thẳng AB là x + x y + y x = A B , y = A B . I 2 I 2
b) Cho tam giác ABC có A(x A ; yA ), B(xB ; yB ), C (xC ; yC ). Khi đó tọa độ của trọng tâm G(xG ; yG ) của tam giác ABC được tính theo công thức x + x + x y + y + y x = A B C , y = A B C . G 3 G 3 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. TỌA ĐỘ VECTƠ Câu 1. Khẳng định nào sau đây là đúng? r r r A. a = (- 5;0), b = (- 4;0) cùng hướng.B. c = (7;3) là vectơ đối của ur d = (- 7;3). r r r r C. u = (4;2), v = (8;3) cùng phương.D. a = (6;3), b = (2;1) ngược hướng. r 5 5 r r r Lời giải. Ta có a = (- 5;0)= (- 4;0)= b ¾ ¾® a, b cùng hướng. Chọn A. 4 4 r r Câu 2. Cho u = (3;- 2), v = (1;6). Chọn khẳng định đúng? r r r r r A. u + v và a = (- 4;4) ngược hướng.B. u, v cùng phương. r r r r r r C. u - v và b = (6;- 24) cùng hướng.D. 2u + v, v cùng phương. r r r r Lời giải. Ta có u + v = (4;4) và u - v = (2;- 8) 4 4 r r r Xét tỉ số ¹ ¾ ¾® u + v và a = (- 4;4) không cùng phương. Loại A - 4 4 3 - 2 r r Xét tỉ số ¹ ¾ ¾® u, v không cùng phương. Loại B 1 6 2 - 8 r r r Xét tỉ số = = 3 > 0 ¾ ¾® u - v và b = (6;- 24) cùng hướng. Chọn C. 6 - 24 r r r r Câu 3. Trong hệ trục tọa độ (O;i; j) tọa độ i + j là: A. (0;1). B. (1;- 1). C. (- 1;1). D. (1;1). r r r r Lời giải. Ta có i = (1;0), j = (0;1)¾ ¾® i + j = (1;1). Chọn D. r r r r Câu 4. Cho a = (3;- 4), b = (- 1;2). Tìm tọa độ của a + b. A. (- 4;6). B. (2;- 2). C. (4;- 6). D. (- 3;- 8). r r Lời giải. Ta có a + b = (3+ (- 1);- 4 + 2)= (2;- 2). Chọn B. r r r r Câu 5. Cho a = (- 1;2), b = (5;- 7). Tìm tọa độ của a - b. A. (6;- 9). B. (4;- 5). C. (- 6;9). D. (- 5;- 14). r r Lời giải. Ta có a - b = (- 1- 5;2- (- 7))= (- 6;9). Chọn C. r r r r r r r r Câu 6. Cho u = 2i - j và v = i + xj . Xác định x sao cho u và v cùng phương. 1 1 A. x = - 1.B. x = - .C. x = . D. x = 2 . 2 4 r r ì r r ï u = 2i - j ¾ ¾® u = (2; - 1) Lời giải. Ta có íï r r . ï r r îï v = i + xj ¾ ¾® v = (1; x) r r r r 1 Để u và v cùng phương thì v = k.u Û x = - . Chọn B. 2
r r r r Câu 7. Cho a = (- 5;0), b = (4;x). Tìm x để hai vectơ a, b cùng phương. A. x = - 5. B. x = 4. C. x = 0. D. x = - 1. Lời giải. Chọn C. r r r r r r Câu 8. Cho a = (x;2), b = (- 5;1), c = (x;7). Tìm x biết c = 2a + 3b . A. x = - 15. B. x = 3. C. x = 15. D. x = 5. ïì x = 2x - 15 Lời giải. Ta có (x;7)= 2(x;2)+ 3(- 5;1) ¬ ¾® íï ¬ ¾® x = 15. Chọn C. îï 7 = 2.2 + 3.1 r r r r r Câu 9. Cho a = (2;- 4), b = (- 5;3). Tìm tọa độ của u = 2a - b r r r r A. u = (7;- 7). B. u = (9;- 11). C. u = (9;- 5). D. u = (- 1;5). r Lời giải. Ta có u = 2(2;- 4)- (- 5;3)= (9;- 11). Chọn B. r r r r r r Câu 10. Cho ba vectơ a = (2;1), b (3;4), c = (7;2). Giá trị của k, h để c = k.a + h.b là: A. k = 2,5; h = - 1,3. B. k = 4,6; h = - 5,1. C. k = 4,4; h = - 0,6. D. k = 3,4; h = - 0,2. r ü k.a = (2k;k) ï r r r ïì 7 = 2k + 3h ïì k = 4,4 Lời giải. Ta có r ýï Þ c = k.a + h.b Û íï Û íï . Chọn C. ï ï 2 = k + 4h ï h = - 0,6 h.b = (3h;4h)þï îï îï Vấn đề 2. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM Câu 11. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC, C Î Ox. Khẳng định nào sau đây đúng? uuur A. AB có tung độ khác 0. B. A, B có tung độ khác nhau. C. C có hoành độ khác 0. D. x + x - x = 0. A C uuur B uuur Lời giải. Ta có OABC là hình bình hành ¾ ¾® AB = OC = (xC ;0). Chọn C. Câu 12. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(- 5;- 2), B(- 5;3), C (3;3), D(3;- 2). Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uuur A. AB, CD cùng hướng. B. ABCD là hình chữ nhật. uur uur uuur C. I (- 1;1) là trung điểm AC. D. OA + OB = OC. uuur uuur uuur Lời giải. Ta có AB = (0;5), DC = (0;5), AD = (8;0) uuur uuur AB.AD = 0¬ ¾® AB ^ AD (1) uuur uuur AB = DC ¬ ¾® ABCD là hình bình hành (2) (1)(2)¾ ¾® ABCD là hình chữ nhật. Chọn B. Câu 13. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(3;- 2), B(7;1), C (0;1), D(- 8;- 5). Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uuur uuur uuur A. AB, CD là hai vectơ đối nhau.B. AB, CD ngược hướng. uuur uuur C. AB, CD cùng hướng. D. A, B, C, D thẳng hàng. uuur uuur uuur uuur uuur Lời giải. Ta có AB = (4;3), CD = (- 8;- 6)= - 2AB ¾ ¾® AB, CD ngược hướng. Chọn B. Câu 14. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(- 1;5), B(5;5), C (- 1;11). Khẳng định nào sau đây đúng? uuur uuur A. A, B, C thẳng hàng. B. AB, AC cùng phương.
uuur uuur uuur uuur C. AB, AC không cùng phương. D. AB, AC cùng hướng. uuur uuur uuur uuur Lời giải. Ta có AB = (6;0), AC = (0;6)¾ ¾® AB, AC không cùng phương. Chọn C. Câu 15. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(2;1), B(2;- 1), C (- 2;- 3), D(- 2;- 1). Xét ba mệnh đề: (I ) ABCD là hình thoi. (II ) ABCD là hình bình hành. (III ) AC cắt BD tại M (0;- 1). Chọn khẳng định đúng A. Chỉ (I ) đúng. B. Chỉ (II ) đúng. C. Chỉ (II ) và (III ) đúng. D. Cả ba đều đúng. uuur uuur uuur uuur Lời giải. Ta có AB = (0;- 2), DC = (0;- 2)¾ A¾B=¾DC¾® ABCD là hình bình hành. Trung điểm AC là (0;- 1)¾ ¾® (III ) đúng. uuur uuur uuur uuur AC = (- 4;- 4), BD = (- 4;0)¾ ¾® AC.BD = 16 ¹ 0¬ ¾® AC,BD không vuông góc nhau. Chọn C. Câu 16. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(- 1;1), B(0;2), C (3;1), D(0;- 2). Khẳng định nào sau đây sai? A. AB P DC. B. AC = BD. C. AD = BC. D. AD P BC. uuur uuur uuur uuur Lời giải. Ta có AB = (1;1), DC = (3;3) và DC = (3;3)= 3AB ¾ ¾® AB P DC. uuur ì ï AC = (4;0)Þ AC = 4 íï uuur ¾ ¾® AC = BD = 4 ï îï BD = (0;- 4)Þ BD = 4 uuur ì ï AD = (1;- 3)Þ AD = 10 íï uuur ¾ ¾® AD = BC ï îï BC = (3;- 1)Þ BC = 10 Chọn D. Câu 17. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(- 1;1), B(1;3), C (- 2;0). Khẳng định nào sau đây sai? uuur uuur A. AB = 2AC. B. A,B,C thẳng hàng. uuur 2 uuur uuur uur r C. BA = BC. D. BA + 2CA = 0. 3 uuur uuur uuur uuur Lời giải. Ta có AB = (2;2), AC = (- 1;- 1) và AB = - 2AC. Chọn A. Câu 18. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;3), B(- 1;2), C (- 2;1). Tìm tọa độ của vectơ uuur uuur AB - AC ? A. (- 5;- 3). B. (1;1). C. (- 1;2). D. (4;0). uuur uuur uur Lời giải. Ta có AB - AC = CB = (1;1). Chọn B. uuur Câu 19. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(5;2), B(10;8). Tìm tọa độ của vectơ AB ? A. (15;10). B. (2;4). C. (5;6). D. (50;16). uuur Lời giải. Ta có AB = (5;6). Chọn C. Câu 20. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(2;- 3), B(4;7). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB A. (6;4). B. (2;10). C. (3;2). D. (8;- 21).
æ2 + 4 - 3+ 7ö Lời giải. Ta có I = ç ; ÷= (3;2). Chọn C. èç 2 2 ø÷ Câu 21. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3;5), B(1;2), C (5;2). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC ? A. (- 3;4). B. (4;0). C. ( 2;3). D. (3;3). æ3+ 1+ 5 5+ 2 + 2ö Lời giải. Ta có tọa độ G = ç ; ÷= (3;3). Chọn D. èç 3 3 ø÷ Câu 22. Trong hệ tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(1;1), B(2;- 1), C (4;3), D(3;5). Khẳng định nào sau đây đúng? æ 5ö A. Tứ giác ABCD là hình bình hành. B. Gç2; ÷ là trọng tâm tam giác èç 3ø÷ BCD. uuur uuur uuur uuur C. AB = CD. D. AC, AD cùng phương. uuur uuur Lời giải. Ta có AB = (1;- 2), DC = (1;- 2)¾ ¾® Tứ giác ABCD là hình bình hành. Chọn A. Câu 23. Trong hệ tọa độ Oxy, cho M (3;- 4). Gọi M1, M 2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox,Oy. Khẳng định nào đúng? A. OM = - 3. B. OM = 4. uuuur1 uuuur uuuur2 uuuur C. OM1 - OM 2 = (- 3;- 4). D. OM1 + OM 2 = (3;- 4). Lời giải. Ta có M1 = (3;0), M 2 = (0;- 4). A. Sai vì OM1 = 3. B. Sai vì OM = - 4. uuuur2 uuuur uuuuuur C. Sai vì OM1 - OM 2 = M 2 M1 = (3;4). Chọn D. Câu 24. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có gốc O làm tâm hình vuông và các cạnh của nó song song với các trục tọa độ. Khẳng định nào đúng? uur uur uur uur uuur A. OA + OB = AB. B. OA- OB, DC cùng hướng. C. x A = - xC , yA = yC . D. xB = - xC , yB = - yC . uur uur uuur uur uur uur uuur Lời giải. Ta có OA + OB = CO + OB = CB = AB. (do OA = CO ). Chọn A. Câu 25. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2;1), B(0;- 3), C (3;1). Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. A. (5;5). B. (5;- 2). C. (5;- 4). D. (- 1;- 4). Lời giải. A B D C
uuur uuur Gọi D(x; y), ABCD là hình bình hành ¬ ¾® AD = BC ¬ ¾® (x - 2; y - 1)= (3;4) ïì x - 2 = 3 ïì x = 5 ¬ ¾® íï ¬ ¾® íï îï y - 1 = 4 îï y = 5 Vậy D(5;5). Chọn A. Câu 26. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1;1), B(3;2), C (6;5). Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. A. (4;3). B. (3;4). C. (4;4). D. (8;6). uuur uuur Lời giải. Gọi D(x; y), ABCD là hình bình hành ¬ ¾® AD = BC ¬ ¾® (x - 1; y - 1)= (3;3) ïì x - 1 = 3 ïì x = 4 ¬ ¾® íï ¬ ¾® íï îï y - 1 = 3 îï y = 4 Vậy D(4;4). Chọn C. uuuur uuur Câu 27. Cho ba điểm M ,N,K thỏa MN = kMP . Tìm k để N là trung điểm MP ? 1 A. . B. - 1. C. 2. D. - 2. 2 uuuur 1 uuur Lời giải. Ta có N là trung điểm MP ¬ ¾® MN = MP. Chọn A. 2 Câu 28. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B(9;7), C (11;- 1). Gọi M ,N lần lượt uuuur là trung điểm của AB, AC. Tìm tọa độ vectơ MN ? A. (2;- 8). B. (1;- 4). C. (10;6). D. (5;3). Lời giải. A N M C B uuuur 1 uuur 1 Ta có MN = BC = (2;- 8)= (1;- 4). Chọn B. 2 2 Câu 29. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2;3), N (0;- 4), P (- 1;6) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA, AB . Tìm tọa độ đỉnh A ? A. (1;5). B. (- 3;- 1). C. (- 2;- 7). D. (1;- 10). Lời giải.
A N P C M B uur uuuur Gọi A(x; y). Ta có PA = MN ¬ ¾® (x + 1; y - 6)= (- 2;- 7) ïì x + 1 = - 2 ïì x = - 3 ¬ ¾® íï ¬ ¾® íï . Vậy A(- 3;- 1). Chọn B. îï y - 6 = - 7 îï y = - 1 Câu 30. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(6;1), B(- 3;5) và trọng tâm G(- 1;1). Tìm tọa độ đỉnh C ? A. (6;- 3). B. (- 6;3). C. (- 6;- 3). D. (- 3;6). ïì 6 + (- 3)+ x ï = - 1 ï 3 ïì x = - 6 Lời giải. Gọi C (x; y). Ta có G là trọng tâm ¬ ¾® íï ¬ ¾® íï ï 1+ 5+ y ï y = - 3 ï = 1 îï îï 3 Vậy C (- 6;- 3). Chọn C. Câu 31. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1;1), B(- 2;- 2), C (- 7;- 7). Khẳng định nào sau đây đúng? A. G(2;2) là trọng tâm tam giác ABC. B. B ở giữa hai điểm A và C. uuur uuur C. A ở giữa hai điểm B và C. D. AB, AC cùng hướng. uuur uuur uuur uuur Lời giải. Ta có AB = (- 3;- 3), AC = (6;6) và AC = - 2AB Vậy A ở giữa hai điểm B và C. Chọn C. Câu 32. Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 2;2), B(3;5) và trọng tâm là gốc O . Tìm tọa độ đỉnh C ? A. (- 1;- 7). B. (2;- 2). C. (- 3;- 5). D. (1;7). ïì - 2 + 3+ x ï = 0 ï 3 ïì x = - 1 Lời giải. Gọi C (x; y). Ta có O là trọng tâm ¬ ¾® íï ¬ ¾® íï ï 2 + 5+ y ï y = - 7 ï = 0 îï îï 3 Vậy C (- 1;- 7). Chọn A. Câu 33. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(1;2), B(- 2;3). Tìm tọa độ đỉểm I sao cho uur uur r IA + 2IB = 0 æ 2ö æ 8ö A. (1;2). B. ç1; ÷. C. ç- 1; ÷. D. (2;- 2). èç 5ø÷ èç 3÷ø uur uur r Lời giải. Gọi I (x; y). Ta có IA + 2IB = 0¬ ¾® (1- x;2- y)+ 2(- 2- x;3- y)= (0;0)
ïì x = - 1 ïì 1- x - 4 - 2x = 0 ï ¬ ¾® í ¬ ¾® í 8 îï 2- y + 6- 2y = 0 ï y = îï 3 æ 8ö Vậy I ç- 1; ÷. Chọn C. èç 3ø÷ Câu 34. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(2;5), B(1;1), C (3;3). Tìm tọa độ đỉểm E sao cho uuur uuur uuur AE = 3AB - 2AC A. (3;- 3). B. (- 3;3). C. (- 3;- 3). D. (- 2;- 3). Lời giải. Gọi E (x; y). uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur Ta có AE = 3AB - 2AC ¬ ¾® AE - AB = 2(AB - AC )¬ ¾® BE = 2CB ïì x - 1 = - 4 ïì x = - 3 (x - 1; y - 1)= 2(- 2;- 2)¬ ¾® íï ¬ ¾® íï îï y - 1 = - 4 îï y = - 3 Vậy E (- 3;- 3). Chọn C. Câu 35. Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A(2;- 3), B(3;4). Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho A,B, M thẳng hàng. æ 5 1ö æ17 ö A. M (1;0). B. M (4;0). C. M ç- ;- ÷. D. M ç ;0÷. èç 3 3ø÷ èç 7 ø÷ Lời giải. Điểm M Î Ox Þ M (m;0). uuur uuuur Ta có AB = (1;7) và AM = (m - 2;3). m - 2 3 17 Để A,B, M thẳng hàng Û = Û m = . Chọn D. 1 7 7