Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Phương trình lượng giác (Phần 2) - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Phương trình lượng giác (Phần 2) - Ngô Tùng Hiếu

1. Câu 1: Giải các phương trình sau đây: sin x 1 sin 2x cos 2x Hướng dẫn giải: Ta có: sin x sin x cos2 x cos x 1 1 sin x sin x cos2 x cos x 4 4 2 2 1 1 sin x cos x 2 2 cos x 1 1 1 sin x cos x 2 2 sin x cos x 1 sin x 0 1 1 cos x 0 sin x cos x sin x cos x 2 2 2 sin x cos x x k2 ,k Z cos x 1 cos x 0 cos x 0 2 1 5 sin x sin x 1 0 sin x 2 . x k2 5 1 k,m ¢ x arcsin m2 2 Câu 2: Giải các phương trình lượng giác sau: a) sin x cos x 2 3 cos 2x 2 t anx 1 b) 2 sinx cot x 1 c) 4(cos4 x sin4 x) 1 sin 2x Hướng dẫn giải: a) sin x cos x 2 3 cos 2x 2 sin 2x 3 cos 2x 1 1 sin(2x ) 3 2 2x k2 x k 3 6 12 k Z 5 2x k2 x k 3 6 4 t anx 1 b) 2 sinx cot x 1
2. sinx 0 Điều kiện: cos x 0 cot x 1 sinx cos x sinx pt . 2 sinx cos x cos x sinx sinx 2 sinx 0 cos x 1 sinx( 2) 0 cos x sinx 0 1 cos x 2 Với sinx 0, không thỏa mãn điều kiện 1 Với cos x x k2 0 k Z 2 4 Giá trị x k2 0 k Z bị loại do điều kiện cot x 1 4 Vậy pt đã cho có họ nghiệm là: x k2 0 k Z 4 c) 4(cos4 x sin4 x) 1 sin 2x 4(1 2sin2 x.cos2 x) 1 sin 2x 1 4(1 sin2 2x) 1 sin 2x 2 2sin2 2x sin 2x 3 0 sin 2x 1 . 3 sin 2x 2 sin 2x 1 x k k Z 4 1 Câu 3: Giải phương trình cosx.cos2x . 4 Hướng dẫn giải x k không phải là nghiệm.nhân thêm sin x vào hai vế để đưa về pt sin 4x sin x . k2 k2 Suy ra x ; x . 3 5 5 2 3 Vì x k nên pt có các nghiệm x k2 ; x k2 ; x k2 . 3 5 5
3. Câu 4: Giải phương trình 5 sin2 x sinx 2cosx . Hướng dẫn giải VT 5 sin2 x 5 . Theo BĐT Bunhiacôpski sinx 2cosx (12 22 )(sin2 x cos2 x) 5 . Vậy phương trình xảy ra khi và chỉ khi k x sin 2x 0 2 (Hệ phương trình vô nghiệm). sin x 2cos x 5 2 1 sin(x ) 1; sin ;cos 5 5 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Câu 5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos( x2 ) cos[ (x2 2x 1)]. Hướng dẫn giải x2 x2 2x 1 2k cos( x2 ) cos[ (x2 2x 1)] x2 [ (x2 2x 1)]; k ¢ 2 2 x (x 2x 1) 2k 2x 1 2k 0 (1) 2 2x 2x 1 2k 0 (2) Ta có: 1 2k 1 (1) x ; k ¢ x (nghiệm dương nhỏ nhất khi k 1). 2 min 2 1 (2) có 4k 1 0 k k 1(do k nguyên). 4 1 4k 1 1 4k 1 (2) có hai nghiệm x 0; x 0. 1 2 2 2 1 3 Suy ra nghiệm dương x nhỏ nhất khi k 1. Khi đó x 0 1 1min 2 1 3 Vậy nghiệm dương nhỏ nhất của pt là x . 1min 2 Câu 6: Cho phương trình: cos 2x – 2m 1 cos x m 1 0 . 3 a. Giải phương trình khi m . 2 3 b. Tìm m để phương trình có nghiệm x ; . 2 2 Hướng dẫn giải
4. 3 a. khi m phương trình 2cos 2x 8cos x 5 0 4cos 2 x 8cos x 3 0 . 2 x k2 (k ) . 3 3 b. Tìm m để phương trình có nghiệm x ; . 2 2 1 2 cos x phương trình 2cos x (2m 1)cos x m 0 2 . cos x m 3 1 với x ; ta có 1 cos x 0 nên cos x không thoả mãn. 2 2 2 3 Do đó phương trình đã cho có nghiệm x ; 1 m 0 . 2 2 Câu 7: Tìm nghiệm của phương trình cos x sin x cos 2x. 1 sin 2x 0 thỏa mãn điều kiện: 2004 x 2005. Hướng dẫn giải cos x sin x cos 2x. 1 sin 2x 0 (*) + 1 sin 2x cos x sin x cos2x cos x sin x cos x sin x + * cos x sin x 1 cos x sin x cos x sin x  0 cos x sin x 0 1 hoặc cos x sin x cos x sin x 1 2 + 1 cos2x 0 (1) + 2 1 sin 2x 1 sin 2x 1 sin 2x 0 (vì sin 2x 0 không thể xảy ra) Ta có: * cos2x 0 hoặc sin 2x 0 sin 4x 0 x k , k ¢ . 4 + Với điều kiện 2004 x 2005, chọn số nguyên k 2552 . Vậy x 638 . Câu 8: Cho phương trình msin x cos x 1 m (1) ( m là tham số). a. Giải phương trình (1) với m 1. b. Tìm m để phương trình có nghiệm. Hướng dẫn giải a. Với m 1. Thay vào phương trình 1 ta được: 1 sin x cos x 0 2 sin x 0 sin x 0 x k x k . 4 4 4 4
5. b. Phương trình có nghiệm m2 1 1 m 2 m2 1 1 2m m2 m 1. 2 x (2 3)cos x 2sin 2 4 Câu 9: Giải phương trình: 1 2cos x Hướng dẫn giải Điều kiện: cos x 0 . 2 x (2 3)cos x 2sin 2 4 Ta có: 1 2cos x 2 x 2 3 cos x 2sin 2cos x 2 4 3 cos x 1 cos x 0 sin x 3 cos x 1 2 1 3 1 1 sin x cos x sin x.cos cos x.sin 2 2 2 3 3 2 x k2 x k2 3 6 2 sin x sin , k ¢ . 3 6 7 x k2 x k2 3 6 6 7 Vậy phương trình có họ nghiệm là x k2 và x k2 , k ¢ . 2 6 m Câu 10: Cho phương trình msin x m 1 cos x . Tìm các giá trị của m sao cho phương trình cos x đã cho có nghiệm. Lời giải ĐKXĐ: cos x 0 . Với điều kiện đó chia hai vế của phương trình cho cos x , ta được: m tan x m 1 m 1 tan2 x m tan2 x m tan x 1 0 Đặt tan x t , ta được phương trình: mt 2 mt 1 0 * Do phương trình tan x t có nghiệm với mọi t nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ 2 m 0 khi * có nghiệm m 4m 0 . m 4 Câu 11: Giải phương trình sin 2x cot 3x sin 2x 2 cos5x 0 2 Lời giải ĐKXĐ: sin 3x 0 . Ta có: sin 2x cot 3x sin 2x 2 cos5x 0 2
6. cos3x cos 2x sin 2x 2 cos5x 0 sin 3x cos 2x cos3x sin 2xsin 3x 2 cos5xsin 3x 0 cos5x 1 2 sin 3x 0 . 5x k x k 2 10 5 cos5x 0 2 2 3x k2 x k k ¢ . sin 3x 4 12 3 2 2 3x k2 x k 4 4 3 1 Câu 12: Giải phương trình 2 tan x cot 2x 2sin 2x sin 2x Lời giải Điều kiện: x k . 2 1 2 tan x cot 2x 2sin 2x sin 2x 1 cos 2x 2 tan x 2sin 2x sin 2x 2sin2 x 2 tan x 2sin 2x 2sin 2x tan x 2sin x cos x tan x 2sin 2x . 4sin x 4cos2 x 1 0 sin x 2cos 2x 1 0 sin x 0 l 2 1 2x k2 x k , k ¢ . cos 2x 3 3 2 Câu 13: Giải phương trình sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x Lời giải sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x 1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x cos12x cos6x cos10x cos8x 0 sin 9x.sin 3x 2sin 9x.sin x 0 sin 9x sin 3x sin x 0 2sin 9x.sin 2x.cos x 0 sin 9x 0 9x k x k 9 sin 2x 0 2x k k ¢ cos x 0 x k x k 2 2 Câu 14: Giải phương trình 3cos x 2 sin x 2
7. Lời giải 2 3cos x 2 sin x 2 2 sin x 2 3cos x (Điều kiện: cos x ) 3 4 1 cos2 x 4 12cos x 9cos2 x 13cos2 x 12cos x 0 . cos x 0 12 cos x 0 x k , k ¢ . cos x l 2 13 Câu 15: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình cos2 x 4cos x m 0 có nghiệm. Lời giải Đặt t cos x , điều kiện 1 t 1. Phương trình cos2 x 4cos x m 0 (1) trở thành t 2 4t m 0 f t 4t t 2 m (2). Để (1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm t  1;1. Lập bảng biến thiên của f t , dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là 5 m 3 . Câu 16: Với giá trị nào của m thì phương trình sin 2x 3 cos 2x 1 m có nghiệm? Lời giải 1 3 1 m sin 2x 3 cos 2x 1 m sin 2x cos 2x 2 2 2 1 m 1 m sin 2x cos cos 2xsin sin 2x 3 3 2 3 2 1 m 1 m Phương trình có nghiệm 1 1 1 2 1 m 2 3 m 1. 2 2 Câu 17: Cho 3 số thực a b c 0 . Số nghiệm của phương trình asin x bcos x c trên khoảng ;0 là 2 A. 0 . B. 1. C. 2 . D. thay đổi theo a,b,c . Lời giải a b c asin x bcos x c sin x cos x (1) a2 b2 a2 b2 a2 b2 c sin x sin  (2) (vì 0 1) a2 b2 Trên khoảng ;0 thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất. 2
8. Giải thích: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, các họ nghiệm của phương trình sin u sin v sẽ được biểu diễn bởi 2 điểm đối xứng với nhau qua Oy , mà ở đây đề bài chỉ cho trên 1 góc phần tư thứ IV nên chỉ có 1 nghiệm duy nhất. Câu 18: Với giá trị nào của m thì phương trình cos2 x 2sin x cos x sin2 x m có nghiệm Lời giải 2 2 Ta có: cos x 2sin x cos x sin x m cos 2x sin 2x m 2 sin 2x m 4 m sin 2x . 4 2 m Phương trình có nghiệm khi 1 2 m 2 . 2 Câu 19: Gọi M , m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2sin x 2cos x 2sin 2x . Lời giải Đặt t sin x cos x 2 cos x , 2 t 2 . 4 Ta có t 2 sin x cos x 2 1 sin 2x sin 2x t 2 1. Ta được hàm số y 2t 2 2t 2, 2 t 2 . Bảng biến thiên: 1 t 2 2 2 y 2 2 2 5 2 2 2 2 5 Suy ra M ; m 2 2 2 . 2 Câu 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình m2 2 cos2 x 4msin x cos x m2 3 vô nghiệm. Lời giải 1 cos 2x m2 2 cos2 x 4msin x cos x m2 3 m2 2 4msin x cos x m2 3 2 m2 2 cos 2x 4msin 2x m2 4 . 2 2 Phương trình vô nghiệm m2 2 16m2 m2 4 m2 1 1 m 1. Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2sin x mcos x 1 m có nghiệm x ; . 2 2 Lời giải
9. x cos 0 không là nghiệm của phương trình. 2 x 2t 1 t 2 Đặt t tan sin x ; cos x . 2 1 t 2 1 t 2 2t 1 t 2 Ta được phương trình 2. m. 1 m t 2 4t 1 2m 0 1 . 1 t 2 1 t 2 Phương trình có nghiệm x ; 1 có nghiệm t  1;1. 2 2 Phương trình 1 t 2 4t 1 2m là phương trình hoành độ giao điểm parabol P : y t 2 4t 1 và đường thẳng d : y 2m . Bảng biến thiên của hàm số y t 2 4t 1 t 1 1 2 6 y 2 Dựa vào bảng biến thiên, phương trình 1 có nghiệm x ; 2 2m 6 1 m 3 . 2 2 2 Câu 22: Phương trình sin x 3 cos x 5 cos 4x có bao nhiêu nghiệm dương bé hơn 10? 3 Lời giải 2 2 sin x 3 cos x 5 cos 4x 4sin x 5 cos 4x . 3 3 3 2 2 Ta có: 0 sin x 1 0 4sin x 4 . 3 3 1 cos 4x 1 4 5 cos 4x 6 . 3 3 2 sin x 1 x k 3 3 2 Dấu " " xảy ra cos 4x 1 4x l2 , k,l ¢ 3 3 x k , k ¢ Vậy có 4 nghiệm dương bé hơn 10 ứng với k 0,k 1,k 2,k 3 . 6 2cos 4x Câu 23: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cot x tan x trên đường tròn lượng giác ta sin 2x được bao nhiêu điểm? Lời giải k Điều kiện: sin 2x 0 2x k x , k ¢ . 2
10. 2cos 4x cosx sin x cos 4x cot x tan x cos 2x cos 4x sin 2x sin x cos x sin x.cos x 1 cos 2x 2cos2 2x cos 2x 1 0 2 . cos 2x 1 + Với cos 2x 1 sin 2x 0 (không thỏa điều kiện). 1 + Với cos 2x x k , k ¢ (thỏa điều kiện). 2 3 Biểu diễn hai họ nghiệm x k , k ¢ trên đường tròn lượng giác ta được 4 điểm. 3