Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Hình học phẳng - Dạng 5: Hình học Oxy về điểm - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Hình học phẳng - Dạng 5: Hình học Oxy về điểm - Ngô Tùng Hiếu

1. Loại 5: Hỡnh học Oxy về điểm. Cõu 1. [SỞ THỪA THIấN HUẾ ( Vũng 1)- năm học 2003-2004] Tỡm hai điểm A, B lần lượt ở trờn elip (E) và đường trũn (C): x2 y2 (E) : 1, (C): (x – 11)2 + (y – 13)2 = 34. 50 18 sao cho độ dài AB là nhỏ nhất. Lời giải (C) là đường trũn tõm I(11;13) bỏn kớnh R = 34 . Nhận xột rằng A (E), B (C) nờn đoạn AB ngắn nhất thỡ ba điểm I, A, B thẳng hàng. 2 2 x y x0 5 2cost A(x0;y0) (E) : 1 nờn 50 18 y0 3 2 sin t 2 2 2 2 2 IA =(x0–11) +(y0 – 13) = (5 2cost-11) (3 2 sin t 13) . IA2=290+50cos2t+18sin2t -110 2 cost - 78 2 sint. 2 2 2 2 2 IA 136 110 cost- 78 sin t 136 . 2 2 Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi: t = A(5;3). 4 Vậy độ dài AB nhỏ nhất là: d =2 34 - 34 = 34 khi A(5;3) và từ đú suy ra được B(8;8). y Cõu 2. [Đề HSG 11-Bảng A] • I Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC cú đường trũn nội tiếp tiếp xỳc với ba cạnh BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P. Gọi BD là trung điểm của cạnh BC. Biết M(-1;1), phương trỡnh NP là x+y-4=0 và phương trỡnh AD là A14x-13y+7=0. Tỡm tọa độ điểmx A. Lời giải A Kộo dài IM cắt NP tại K. Kẻ đường thẳng qua K E K N song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại E, F. P F I Ta cú: cỏc tứ giỏc KEPI và KNFI nội tiếp nờn B C Kã EI Kã PI;Kã NI Kã FI M D Mà Kã PI Kã NI suy ra Kã EI Kã FI Do đú, K là trung điểm EF Suy ra A, K, D thẳng hàng
2. hay K là giao điểm của NP và AD Tọa độ K là nghiệm của hệ 5 x x y 4 0 3 5 7 K( ; ). 14x 13y 7 0 7 3 3 y 3 Phương trỡnh IM đi qua M và K là x 2y 3 0. I(2a 3;a) IA : x y a 3 0 A(32 13a;35 14a). 3a 7 IA 35 15a 2;d(I,NP) ;IM 5 a 1 2 2 2 a 2 I(1;2) Ta cú: d(I,NP).IA IP IM a 3 I(3;3). Vỡ I và M cựng phớa với NP nờn ta cú I(1;2). Khi đú A(6;7) Cõu 3. [Trường THPT Đụ Lương 3- Nghệ An- năm học 2012-2013] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giỏc ABC và đường thẳng (d): x-y+1=0. Gọi D(4;2), E(1;1), N(3;0) lần lượt là chõn đường cao kẻ từ A, chõn đường cao kẻ từ B và trung điểm cạnh AB. Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc ABC, biết rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trờn đường thẳng (d) và điểm M cú hoành độ lớn hơn 3. LOẠI 5:Hỡnh học Oxy về điểm Cõu 4. [CHỌN HSG NĂM HỌC 2015-2016-VĨNH PHÚC] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giỏc ABC cõn tại A, M là trung điểm của AB . 7 Đường thẳng CM : y 3 0 và K 3; là trọng tõm tam giỏc ACM . Đường thẳng AB 3 đi qua điểm D 1;4 . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc ABC , biết điểm M cú hoành độ dương và tõmđường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC thuộc đường thẳng 2x y 4 0. Hướng dẫn giải
3. A M K N G E I B H C Gọi I là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC. Trước hết ta chứng minh MC ^ IK. Thật vậy, gọi H, N lần lượt là trung điểm BC, AC; G = AH ầCM . Suy ra G là trọng tõm tam giỏc ABC.Mặt khỏc K là trọng tõm tam giỏc ACM nờn KG || HE . Suy ra KG || AB . Mà IM ^ AB nờn KG ^ IM . Rừ ràng AH ^ MK nờn G là trực tõm tam giỏc MIK . Suy ra MC ^ IK . uuuur uuur ộm = - 4 (l) DM ^ IM Û DM.IM = 0 Û (m- 1)(m + 3)- 5 = 0 Û m2 + 2m- 8 = 0 Û ờ ởờm = 2 (tm) Đường thẳng KI qua K và vuụng gúc với CM nờn cú phương trỡnh: x + 3 = 0. ùỡ x + 3 = 0 ùỡ x = - 3 Tọa độ I thỏa món hệ ớù Û ớù ị I (- 3;- 2). ợù 2x- y + 4 = 0 ợù y = - 2 uuuur uuur Gọi M (m;3)ẻ MC, m > 0. Ta cú DM = (m- 1;- 1); IM = (m + 3;5). uuuur Suy ra M (2;3), DM = (1;- 1). Từ đú suy ra AB : x + y - 5 = 0. Gọi C(c;3)ẻ CM . 7 Do K 3; là trọng tõm ACM nờn A(- 11- c;1). Mà A ẻ AB suy ra 3 - 11- c + 1- 5 = 0 Û c = - 15. Từ đú A(4;1), B(0;5),C(- 15;3). Thử lại ta thấyAB ạ AC . Suy ra khụng tồn tạiA,B,C. LOẠI 5:Hỡnh học Oxy về điểm. Cõu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú A( 5;2) . M ( 1; 2) là điểm nằm bờn trong hỡnh bỡnh hành sao cho Mã DC Mã BC và MB  MC . Tỡm tọa độ điểm D biết 1 tan Dã AM .(Cụm Quỳnh Lưu 2016-2017) 2 Hướng dẫn giải:
4. A B M E C D Gọi E là điểm thứ tư của hỡnh bỡnh hành MABE, dễ thấy MECD cũng là hỡnh bỡnh hành nờn Mã EC Mã DC. Mà Mã DC Mã BC suy ra Mã EC Mã BC hay tứ giỏc BECM nội tiếp. Suy ra Bã MC Bã EC 180o Bã EC 180o 90o 90o Ta cú AMD BEC (c.c.c) ãAMB Bã EC 90o hay AMD vuụng tại M DM 1 1 Vỡ tan Dã AM DM MA. MA 2 2 Ta cú MA 4 2 MD 2 2 AD2 MA2 MD2 40 . AD2 40 (x 5)2 (y 2)2 40 Giả sử D(x; y) ta cú . 2 2 2 MD 8 (x 1) (y 2) 8 Giải hệ phương trỡnh trờn được hai nghiệm: ( 3; 4), (1;0). Vậy cú hai điểm D thỏa món đề bài là: D( 3; 4), D(1;0). Cõu 6. Trong mặt phẳng Oxy , cho ABC cú B(4; 3) và tõm đường trũn nội tiếp là J . Gọi P, N,M lần lượt là tiếp điểm của đường trũn (J) với cỏc cạnh AB, AC, BC . Điểm H( 2;3) là giao điểm của NP với BJ . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh của tam giỏc ABC biết phương trỡnh AC : 2x y 9 0. (Cụm Quỳnh Lưu –Hoàng Mai 2016-2017) Hướng dẫn giải: Ta cú: DBPH = DBMH ã ã ỹ ị APN = HMC ù ýù ị HãMC = HãNC ã ã ã ù APN = ANP = HNCỵù tứ giỏc MNHC nội tiếp, mà tứ giỏc MJNC nội tiếp đường trũn đường kớnh JC nờn H thuộc đường trũn đường kớnh JC BH  HC +) Viết được phương trỡnh CH C AC  CH C( 4;1) +) Lấy C ' đối xứng C qua BH C ' AB C '(0;5)
5. +) Viết được phương trỡnh AB A AC  AB A( 1;7) Cõu 7. [ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NGH Ệ AN- 2015-2016 ] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giỏc ABC cú đường trũn nội tiếp tiếp xỳc với ba cạnh BC,CA, AB lần lượt tại M , N,P . Gọi D D là trung điểm của cạnh BC . Biết M 1;1 , phương trỡnh NP là x y 4 0 và phương trỡnh AD là 14x 13y 7 0 . Tỡm tọa độ điểm A. Cõu 8. (THPT Diễn Chõu 2 –Nghệ An- thi học sinh giỏi trường 2016-2017 toỏn 10). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d1 : 2x 3y 2 0; d2 :3x 2y 10 0 và điểm M 1; 2 . a. Lập phương trỡnh đường thẳng đi qua M cắt d1 tại A và cắt d2 tại B sao cho: MA MB . b. Lập phương trỡnh đường thẳng d đi qua M và tạo với d1 , d2 một tam giỏc cõn đỉnh I d1  d2 . Cõu 9. (THPT Diễn Chõu 2 –Nghệ An- thi học sinh giỏi trường 2016-2017 toỏn 10). Cho đường trũn C : x2 y2 25 và đường thẳng d : 2x y 0 . Đường thẳng d cắt đường trũn C tại hai điểm B , C . a. Tỡm tọa độ B , C và tớnh độ dài BC . b. Tỡm điểm A thuộc đường trũn C sao cho diện tớch tam giỏc ABC lớn nhất. Cõu 10. ( Sở GDĐT Nghệ An- thi chọn học sinh giỏi tỉnh 2005-2006 lớp 12) 1 Trong mặt phẳng tọa dộ Oxy cho hỡnh chữ nhật ABCD tõm I ; 0 . Phương trỡnh đường 2 thẳng AB là x 2y 2 0 và AB 2AD . Tỡm tọa độ cỏc đỉnh A , B , C , D biết rằng đỉnh A cú hoành độ õm. Cõu 11. (Đề thi chọn học sinh giỏi 11) Cho tam giỏc ABC cú A 0; 0 , B 2; 4 , C 6; 0 và cỏc điểm M trờn cạnh AB , N trờn cạnh BC , P và Q trờn cạnh AC sao cho MNPQ là hỡnh vuụng. Tỡm tọa độ cỏc điểm M , N , P , Q . Cõu 12. (Đề thi chọn học sinh giỏi 11) Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú diện tớch là 22 . Phương trỡnh BD : 2x y 3 0 , điểm M 3; 2 thuộc đường thẳng AB , điểm N 4; 3 thuộc đường thẳng BC . Viết phương trỡnh đường thẳng chứa cỏc cạnh của hỡnh chữ nhật biết điểm B cú hoành độ là một số nguyờn. Lời giải
6.   Gọi B(b; 2b – 3), b Z , MB b 3;2b 5 , NB b 4;2b 6   MB.NB 0 (b 3)(b 4) (2b 5)(2b 6) 0 b 1 2 5b 23b 18 0 18 b 5 Do b nguyờn nờn b = 1 Vậy B(1; - 1) PT AB: 3x + 4y + 1 = 0, PT BC: 4x – 3y – 7 = 0 11d 11 2 2d 22(d 1)2 S AD.DC . ABCD 5 5 25 22(d 1)2 S 22 22 ABCD 25 2 d 6 (d 1) 25 d 4