›
›
›

Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Hình học không gian - Ngô Tùng Hiếu

doc 61 trang nhungbui22 11/08/2022 2840
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Hình học không gian - Ngô Tùng Hiếu", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • doctai_lieu_on_thi_hoc_sinh_gioi_toan_lop_11_chuyen_de_hinh_hoc.doc

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Hình học không gian - Ngô Tùng Hiếu

  1. CHUYấN ĐỀ HèNH HỌC KHễNG GIAN Bài 1. Xột cỏc hỡnh chúp n – giỏc S.A1 A2 An ( n là số tự nhiờn tựy ý lớn hơn 2 ) thỏa món đồng thời cỏc điều kiện sau: a/ Đỏy A1 A2 An cú tất cả cỏc cạnh đều bằng 1. ã ã ã 0 b/ SA1A2 SA2A3 SAn A1 60 Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất độ dài đường cao SH của hỡnh chúp nờu trờn. Hướng dẫn giải Chứng minh nếu hỡnh chúp S.A1 A2 An tồn tại thỡ khi đú hỡnh chúp là đều: Chứng minh rằng cỏc cạnh bờn bằng nhau Đặt : SA1 = x1 ; SA2 = x2 ; ; SAn = xn . Dựng định lý cosin trong cỏc tam giỏc SA1 A2 ; SA2 A3 ; ; SAn A1 ta cú: 2 2 0 2 x2 = 1+ x1 - 2x1 cos60 = 1+ x1 - x1 2 2 0 2 x3 = 1+ x2 - 2x2cos60 = 1+ x2 - x2 2 2 0 2 xn = 1+ xn- 1 - 2xn- 1cos60 = 1+ xn- 1 - xn- 1 2 2 0 2 x1 = 1+ xn - 2xn cos60 = 1+ xn - xn . ùỡ x2 = f (x ) ù 2 1 ù 2 ù x3 = f (x2 ) 1 3 ù ộ 3 ử 2 2 ù ờ ữ Đặt f (x) = x - x + 1= (x - ) + , ta cú hệ: ớ với x1 , x2 , , xn ẻ ;+ Ơ ữ 2 4 ù ờ2 ữ ù 2 ờ ứ ù x = f (x ) ở ù n n- 1 ù 2 ợù x1 = f (xn ) 3 f x Trờn ; đồng biến. 2 Do đú: x1 x2 thỡ vụ lý. Thật vậy: nếu x2 x2 x x x x . Ta cú x x ( vụ lý) x1 x2 f x1 f x2 2 3 2 3 n 1 1 1 Tương tự nếu x x cũng suy ra điều vụ lý: x x . Vậy . 1 2 1 1 x1 x2 Do ta được x2 x2 x 1 x 1. Từ đú ta được: . x1 x2 1 1 1 1 x1 x2 xn 1
  2. Chứng minh đỏy A1 A2 An là đa giỏc đều. Từ SA1 SA2 SAn 1 suy ra hỡnh vuụng gúc H của S lờn đỏy cỏch đều cỏc đỉnh của đỏy. Đa giỏc A1 A2 An cú cỏc cạnh bằng nhau và nội tiếp trong một đường trũn nờn là đa giỏc đều. a) Tỡm SH lớn nhất, nhỏ nhất. b) Chứng minh n 6 .Ta cú cỏc mặt bờn của hũnh chúp là cỏc tam giỏc đều cạnh 1. Ngoài ra: 0 ; 0 ; ; 0 . 60 A1SA2 A1HA2 60 A2SA3 A2 HA3 60 An SA1 An HA1 Do đú: n.600 3600 n 6 n 2 . • Tớnh SH và tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của SH : 1 Xột tam giỏc vuụng SHA : SH 2 SA2 HA2.SA 1;HA . 1 1 1 1 1 2sin n 1 1 1 1 SH2 1 1 1 cot g2 3 cot g2 , SH= 3 cot g2 n 3;4;5. 4sin2 4 4 4 4 2 4 n 2 2 1 1 n 3: SH ; n 4 : SH ; n 5: SH . 3 2 2 2 5 2 1 1 • Do đú giỏ trị lớn nhất của SH là , giỏ trị nhỏ nhất của SH là . 3 2 2 5 Bài 2. Cho hỡnh lập phương ABCD.A' B 'C ' D ' cạnh a .Gọi E, G, K lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh A' D ', B 'C ' và AA'. H là tõm của hỡnh vuụng DCDC '. M , N là hai điểm lần lượt ở trờn hai đường thẳng AD và EG sao cho MN vuụng gúc với KH và cắt KH .Tớnh độ dài đoạn MN theo a . Hướng dẫn giải D’ C’ H E D 1 C G A’ B’ M H I1 I E1 G1 N1 M D H1 C E1 I1 N1 G1 A B A B Xỏc định đoạn MN Gọi E1, N1, G1, H1 là hỡnh chiếu vuụng gúc của E, N, G, H trờn mặt phẳng ABCD . Do KH  MN (gt) và K KH  NN suy ra KH  MN , suy ra AH  MN tại . 1 1 1 1 I1 Mà theo giả thiết MN cắt KH tại I suy ra mà I là trung điểm của đoạn MN nờn I phải là II1 // NN1 1 trung điểm của MN1 .
  3. Từ đú suy ra cỏch dựng hai điểm M , N . Tớnh độ dài MN Đặt DAH1 H1 AN1 E1N1M . 1 1 3 AE 5 Xột tam giỏc vuụng DAH , ta cú: sin tg cos2 AN 1 a . 5 2 5 1 cos 2 6 5 1 a 5 a 5 Xột tam giỏc vuụng AIN , ta cú: IN AN .sin a. MN . 1 1 1 6 5 6 1 3 2 (Cỏch khỏc: Gọi P là trung điểm của CG , suy ra được N ở trờn AP , suy ra E N a .) 1 1 1 1 3 E N a 5 5 14 a 14 MN 1 1 MN2 NN2 MN2 a 2 a 2 a 2 MN . 1 cos 3 1 1 9 9 3 Cỏch khỏc: Dựng phương phỏp tọa độ trong khụng gian Bài 3. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy a 12,54(cm) ,cỏc cạnh bờn nghiờn với đỏy một gúc 720 . Tớnh thể tớch và diện tớch xung quanh của hỡnh chúp S.ABCD . Hướng dẫn giải a 2 Chiều cao của hỡnh chúp: SH tg720 27,29018628 2 1 Thể tớch của hỡnh chúp: V a2h 1430,475152 cm3 3 Trung đoạn của hỡnh chúp a2 d SH 2 28,00119939 4 1 2 Diện tớch xung quanh của hỡnh chúp: Sxq .4a.d 702,2700807 cm 2 Bài 4. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy a 12,54(cm) , a 12,54(cm) ,cỏc cạnh bờn nghiờn với đỏy một gúc 720 . a) Tớnh thể tớch hỡnh cầu S1 nội tiếp hỡnh chúp S.ABCD . b) Tớnh diện tớch của hỡnh trũn thiết diện của hỡnh cầu S1 cắt bởi mặt phẳng đi qua cỏc tiếp điểm của mặt cầu S2 với cỏc mặt bờn của hỡnh chúp S.ABCD . S Hướng dẫn giải SH.MH SH 27.29018628; IH 4.992806526 R (bỏn kớnh mặt cầu nội tiếp) MH MS K I A 720 D H B M C
  4. 4 Thể tớch hỡnh chúp S : V R3 521.342129(cm3 ) 1 3 SM 28,00119939 MH 6,27; IK IH Khoảng cỏch từ tõm I đến mặt phẳng đi qua cỏc tiếp điểm của S1 với cỏc mặt bờn của hỡnh chúp: S IH 2 d EI 4.866027997 SH IH E K 2 2 Bỏn kớnh đường trũn giao tuyến: r EK R d 1,117984141 I Diện tớch hỡnh trũn giao tuyến: S 74,38733486(cm2 ) H M Bài 5. Một thựng hỡnh trụ cú đường kớnh đỏy ( bờn trong) bằng 12,24 cm đựng nước cao lờn 4,56 cm so với mặt trong của đỏy. Một viờn bi hỡnh cầu được thả vào trong thựng thỡ mực nước dõng lờn sỏt với điểm cao nhất của viờn bi (nghĩa là mặt nước là tiếp diện của mặt cầu). Hóy tớnh bỏn kớnh của viờn bi. Hướng dẫn giải 4 Ta cú phương trỡnh : R2 h x3 R2 .2x 4x3 6R2 x 3R2 h 0 (0 x R) 3 Với R, x, h lần lượt là bỏn kớnh đỏy của hỡnh trụ, hỡnh cầu và chiều cao ban đầu của cột nước. Bấm mỏy giải phương trỡnh: 4x3 224,7264x 512,376192 0(0 x 6,12) Ta cú: x1 2,588826692; x2 5,857864771 (AB) :5x 3y 8 0; (AC) :3x 8y 42 0; (BC) : 2x 5y 3 0 B. Xột hai độ dài khỏc nhau a, b . Tỡm điều kiện của a, b để tồn tại tứ diện T cú một cạnh bằng a và cỏc cạnh cũn lại đều bằng b .Với tứ diện T này, hóy xỏc định mặt phẳng sao cho thiết diện của mặt phẳng và tứ diện T là một hỡnh vuụng V .Tớnh diện tớch của hỡnh vuụng V theo a và b . Điều kiện độ dài a, b : + Giả sử tứ diện T tồn tại. Gọi AB là cạnh bằng a , cỏc cạnh AC, AD, BC, BD, CD đều cựng bằng b . Gọi I là trung điểm cạnh CD .Tam giỏc AIB là tam giỏc cõn: b 3 AB a; AI BI . Từ AB AI BI Suy ra: 0 a b 3 2
  5. +Ngược lại với: 0 a b 3 .Dựng tam giỏc đều BCD cạnh b với chiều cao BI . BCD Dựng tam giỏc cõn AIB cú AB a , nằm trong mặt phẳng chứa BI và vuụng gúc với mặt phẳng .Ta cú: A mp BCD . Tứ diện ABCD thỏa điều kiện bài toỏn. A a Q M P D B I N C Xỏc định mặt phẳng : + Giả sử thiết diện MNPQ là hỡnh vuụng . Cỏc mặt của tứ diện T lần lượt chứa cỏc đoạn giao tuyến MN, NP, PQ, QM được gọi tờn là mặt I , mặt II , mặt III , mặt IV . Do MN // PQ; MQ // NP nờn cạnh chung của mặt I và mặt III ; cạnh chung của mặt II và mặt IV nằm trờn hai đường thẳng song song với mp . Ngoài ra hai đường thẳng này vuụng gúc với nhau, vỡ MN vuụng gúc MQ . + Do a khỏc b nờn tứ diện T chỉ cú một cặp cạnh đối vuụng gúc , đú là AB và CD . Vỡ vậy mặt phẳng phải song song với AB và CD . MA + Gọi giao điểm của mp với AC, BC, BD, AD , lần lượt là M , N, P, Q .Đặt: k . MC a kb a Ta cú: MN ; MQ . Từ MN MQ ta cú : k . 1 k 1 k b ab + Diện tớch của hỡnh vuụng MNPQ là : ( ) 2 a b
  6. Bài 6. Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD , cú đỏy là một hỡnh bỡnh hành. Gọi G là trọng tõm tam giỏc SAC . M là một điểm thay đổi trong miền hỡnh bỡnh hành ABCD .Tia MG cắt mặt bờn của hỡnh chúp tại điểm N MG NG .Đặt Q NG MG 1/ Tỡm tất cả cỏc vị trớ của điểm M sao cho Q đạt giỏ trị nhỏ nhất. 2/ Tỡm giỏ trị lớn nhất của Q . Hướng dẫn giải s N N' D' H C' G D A M O C B 1/ MG NG MG NG + Q 2 .Dấu bằng khi và chỉ khi 1 . NG MG NG MG + SG cắt mp ABCD tại tõm O của hỡnh bỡnh hành ABCD . Gọi K là trung điểm của SG . Từ K dựng mặt phẳng song song với mp ABCD cắt SA, SB, SC, SD lần lượt tại A1, B1, C1, D1 . Từ N dựng mặt phẳng song song với mp ABCD cắt SG tại N ' . NG N 'G NG Ta cú : ; 1 N ' trựng K N thuộc cạnh hỡnh bỡnh hành A B C D MG OG MG 1 1 1 1 Nối NK cắt cạnh hỡnh bỡnh hành A1B1C1D1 tại P , ta cú : PM // SG . ' ' ' ' + Từ đú Q 2 khi và chỉ khi M thuộc cạnh hỡnh bỡnh hành A1B1C1D1 ' ' ' ' A1B1C1D1 là hỡnh chiếu song song của hỡnh bỡnh hành A1B1C1D1 lờn mp ABCD theo phương SG . 2/ + Miền hỡnh bỡnh hành ABCD hợp bởi cỏc miền tam giỏc OAB, OBC, OCD, ODA
  7. M thuộc miền hỡnh bỡnh hành ABCD nờn M thuộc một trong bốn miền tam giỏc này. Chẳng hạn M thuộc miền O AB . M  A N  C '; M  B N  D '; M  O N  S . Do đú N thuộc miền SC ' D ' và N ' thuộc đoạn SH , với C ', D ' và H lần lượt là trung điểm của SC, SD và SO . HG N'G SG 1 NG Do đú: HG N 'G SG . Vỡ vậy: hay 2 . OG OG OG 2 MG NG 1 1 +Đặt : x Ta cú : Q x với x ;2 . MG x 2 1 1  5 Q ' 0 vàứ x ;2 x 1 . MaxQ Max Q ;Q 2 ;Q 1  . 2 2  2 5 +Giỏ trị lớn nhất của Q là : . Đạt khi M trựng với O hoặc cỏc đỉnh A, B, C, D . 2 Bài 7. Cho tứ diện ABCD cú diện tớch cỏc tam giỏc ADB và ADC là Sb và Sc . Mặt phẳng phõn giỏc của nhị diện tạo bởi hai mặt ADB và ADC cắt BC tại M . là gúc giữa hai mặt ADB và ADC . Chứng minh: MB S a/ b MC Sc 2S .S .cos b c 2 b/ Diện tớch Sm của tam giỏc ADM là: Sm . Sb Sc Hướng dẫn giải Cõu a: + Do M ở trờn mặt phẳng phõn giỏc của gúc nhị diện cạnh AD nờn khoảng cỏch từ M đến hai mặt phẳng ADB , ADC bằng nhau và kớ hiệu là d . + Do đú: MB dt(DBM) V S .d S ADBM b b MC dt(DCM) VADCM Sc.d Sc Cõu b: + Tớnh cụng thức thể tớch tứ diện:
  8. 1 1 1 sin 2S .S .sin V S .BH S .BK.sin S .BK.AD. b c ABCD 3 c 3 c 3 c AD 3AD A + VABCD VADBM VADCM , ỏp dụng cụng thức tớnh thể tớch trờn ta suy ra: 2S .S .sin 2S .S .sin 2S .S .sin b m c m b c 2 2 3AD 3AD 3AD K H 2S .S .cos D C b c 2 H Rỳt gọn, được: Sm . Sb Sc M S Bài 8. Với hai đường thẳng MN, PQ chộo nhau trong khụng gian, kớ hiệu d MN, PQ và MN, PQ lần lượt là khoảng cỏch và gúc giữa hai đường thẳng MN, PQ . a/ Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD thỏa điều kiện: d AB,CD d AC, BD d AD, BC thỡ trong ba số: cotg AB,CD ; cotg AC, BD ; cotg AD, BC cú một số bằng tổng hai số cũn lại. b/ Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD thỏa điều kiện: d AB,CD d AC, BD d AD, BC và AB,CD AC, BD AD, BC thỡ nú là hỡnh chúp tam giỏc đều. Hướng dẫn giải C a / D B1 • Dựng hỡnh hộp ngoại tiếp tứ diện AC BD B DAC . 1 1 1 1 A1 • Giả thiết d AB,CD d AC, BD d AD, BC D suy ra cỏc mặt của hỡnh hộp cựng diện tớch S . 1 Đặt a AB,a1 CD, AC b, BC b1, AD c, BC c1, AD1 z, AC1 y, AB1 x . A C1 • Từ hỡnh bỡnh hành AC1BD1 ta cú: a 4 a 2 1 y2 4 4 B a 2 a 2 2 y2 z2 ; cos AB,CD 1 1 a.a 2 1
  9. y2 z2 cos AB,CD a.a1 y2 z2 • Chỳ ý: S dtAC BD a asin AB,CD . Do đú: cot g AB,CD 1 1 1 2S z2 x2 x2 y2 Tương tự: cot g AC,BD ; 2S 2S • Nếu x y z thỡ cotg AB,CD cotg AC, BD cotg AD, BC cotg AD, BD . • Cỏc trường hợp khỏc cũng cú kết quả như thế. b/ • Từ cỏc kết quả cõu a/ nếu thờm AB,CD AC, BD AD, BC thỡ cotg AB,CD cotg AC, BD cotg AD, BC 0 . • Suy ra cỏc cặp cạnh đối của tứ diện ABCD vuụng gúc đụi một. a 2 a 2 b2 b2 c2 c2 • Lỳc này ta cũng cú: 1 1 1 (Do x = y = z) a.a1 b.b1 c.c1 • Suy ra a,a1 b,b1 c,c1 . Vỡ vậy phải cú ớt nhất một mặt của tứ diện ABCD là một tam giỏc đều. Từ đú ABCD là hỡnh chúp tam giỏc đều. Bài 9. Trong khụng gian cho ba tia Ox, Oy, Oz khụng đồng phẳng và ba điểm A, B, C ( khỏc điểm O ) lần lượt trờn Ox, Oy, Oz .Dóy số (a n) an là một cấp số cộng cú a1 0 và cụng sai d 0 . Với mỗi số n nguyờn dương, trờn cỏc tia Ox, Oy, Oz theo thứ tự lấy cỏc điểm An , Bn , Cn sao cho OA an .OAn ; OB an 1.OBn ; OB an 2.OCn .Chứng minh cỏc mặt phẳng An , Bn ,Cn luụn luụn đi qua một đường thẳng cố định. Hướng dẫn giải + Phỏt biểu và chứng minh mệnh đề: Nếu hai điểm X ,Y phõn biệt. Điều kiện cần và đủ để điểm S thuộc đường thẳng XY là tồn tại cặp số thực x, y thỏa:    OS xOX yOY , với điểm O tựy ý. x y 1 a a +Từ giả thiết: a là cấp số cộng cụng sai d 0 nờn: a a d n 1 n 1. n n 1 n d d + ỏp dụng nhận xột trờn, ta cú:  a  a  OI n 1 OB n OA thỡ I A B . d n d n n n
  10.     và OA a n OAn ; OB a n 1OBn ( do a n ,a n 1 0)    OB OA 1  Thế vào trờn ta được: OI AB , n=1,2 suy ra I cố định, nờn đường d d d thẳng An Bn luụn đi qua một điểm cố định I . + Tương tự, chứng minh được:  1  • B B luụn đi qua một điểm cố định J xỏc định bởi: OJ BC . n n d  1  • A C luụn đi qua một điểm cố định K xỏc định bởi: OK AC n n 2d Vậy cỏc đường thẳng An Bn , BnCn , AnCn lần lượt đi qua ba điểm I, J, K cố định. +Chứng minh ba điểm thẳng hàng:  1   1   1  Ta cú: OI AB , OJ BC , OK AC . d d 2d  1  1   1   1   Do đú: OK AC (AB BC) (d.OI d.OJ) (OI OJ) 2d 2d 2d 2 Vậy I, J, K thẳng hàng. Điều này chứng tỏ mặt phẳng An BnCn luụn đi qua một đường thẳng cố định. Bài 10. Trong khụng gian cho ba mặt phẳng cố định cú một điểm chung duy nhất. M là một điểm của khụng gian, cỏc đường thẳng đi qua M song song với hai mặt phẳng cắt mặt phẳng cũn lại lần lượt tại A, B, C . Biết MA MB MC 1998 .Tỡm tập hợp cỏc trọng tõm của tam giỏc ABC . Hướng dẫn giải + Gọi O là giao điểm của 3 mặt phẳng. a, b, c là 3 giao tuyến . Dựng tớnh chất hỡnh hộp và tớnh chất trọng uuuur 2 uuur tõm, ta cú: OM ' = OM , với M " là trọng tõm của ABC . 3 _U _B _C M_ _M' _O _C _A _V
  11. + Tỡm tập hợp cỏc điểm M : Ba mặt phẳng chia khụng gian làm 8 miền. Ta chỉ cần xột một miền: Gọi U, V, ệ thuộc a, b, c : OU ễ OV 1998. uuur uuur uuur uuur Chứng minh được: M thuộc miền trong tam giỏc UVệ khi và chỉ khi: OM = xOU + yOV + zOW với x y z 1. Mà MA MB MC 1998 x y z 1. Do đú: Tập cỏc điểm M là miền trong của tam giỏc UVệ . Suy ra cỏc điểm M ' ( trọng tõm của tam giỏc ABC ) là ảnh của miền trong tam giỏc UVệ qua phộp vị 2 tựtõm O tỉ 3 Bài 11. Cho hỡnh chúp S.ABCD , đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật cú AB a, BC b , SA SB SC SD c . K là hỡnh chiếu vuụng gúc của P xuống AC . a/ Tớnh độ dài đoạn vuụng gúc chung của SA và BK . b/ Gọi M , N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD . Chứng minh: Cỏc đường thẳng BM và MN vuụng gúc nhau. _S Hướng dẫn giải _D _N _C _K _M _O _A _B a) + Theo giả thiết ta được: SO  ABCD SAC  ABCD . Mà BK  SAC và B BK  AC BK  SA . + Gọi H là hỡnh chiếu của K xuống SA HK  SA và HK  BK ( vỡ HK  SAC ) HK là đoạn vuụng gúc chung của SA và BK . Suy ra được: BH  SA và HBK vuụng tại K .
  12. 1 1 1 a 2b2 + Do ABC vuụng đỉnh A nờn: BK2 . BK2 AB2 BC2 a 2 b2 a 2 c2 .a SI.AB + SAB cõn đỉnh S , BH là đường cao nờn HB 4 SA c + Do HBK vuụng tại K nờn: (4c2 a 2 )a 2 a 2b2 HK2 HB2 BK2 4c2 a 2 b2 (4c2 a 2 b2 )a 4 a 2 (4c2 a 2 b2 ) HK2 HK 4c2 (a 2 b2 ) 2c (a 2 b2 )    b) + 2BM BA BK ( vỡ M là trung điểm của AK )     1    1  + MN MB BC CN (AB KB) BC BA 2 2  1   + MN KB BC . 2 + Do đú:       4BM.MN (BA BK).(KB 2BC)         = BA.KB 2BA.BC BK.KB 2BK.BC       = BA.KB BK.KB 2BK.BC     = KB.(BA BK 2.BC)      = KB.(BA BC BK BC)        = KB.(CA CK) KB.CA KB.CK 0 Vậy: BK  MN . ( Cú thể tớnh và ỏp dụng định lý Pythagor). Bài 12. Cho tứ diện ABCD cúhai cạnh đối bằng b, c và cỏc cạnh cũn lại bằng a . a/ Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của tổng cỏc khoảng cỏch từ một điểm tựy ý trong khụng gian đến cỏc đỉnh của tứ diện. b/ Giả sử tứ diện ABCD thay đổi vị trớ trong khụng gian nhưng cú ba đỉnh A, B, C lần lượt ở trờn mặt cầu cố định và đồng tõm.Chứng minh rằng đỉnh D luụn ở trong một hỡnh cầu cố định khi độ dài a, b, c thay đổi thỏa cỏc giả đó cho. Hướng dẫn giải D a) D’ I A’ K0 C A J B
  13. • Ta cú thể giả sử AD b, BC c và cỏc cạnh cũn lại bằng a . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AD, BC . Ta dễ dàng suy ra I vuụng gúc với AD và BC và IJ chớnh là trục đối xứng của tứ diện. • Lấy M tựy ý trong khụng gian, M ' là điểm đối xứng của M qua IJ suy ra trung điểm K của MM ' chớnh là hỡnh chiếu của M trờn đường thẳng IJ và ta cú: • 2 MA MB MC MD MA MB MC MD M ' A M ' B M 'C M ' D MA M ' A MB M ' B MC M 'C MD M ' D 2KA 2KB 2KC 2KD 1 . ( Do tớnh chất: trung tuyến của một tam giỏc thỡ bộ hơn nữa tổng của hai cạnh cựng xuất phỏt từ một đỉnh của nú). • Do đú: MA MB MC MD KA KB KC KD • Bài toỏn trở thành tỡm điểm K trờn IJ sao cho KA KB KC KD bộ nhất. • Trong mặt phẳng BCI dựng hỡnh thang BCD ' A' sao cho IJ là trung điểm của hai đỏy và IA IA', ID ID ' . Ta thấy rằng: với K tựy ý trờn I thỡ KA KA' và KD KD ' . Do đú: KA KB KC KD KA' KB KC KD ' KA' KC KB KD ' A'C BD '. • Vậy KA KB KC KD nhỏ nhất khi K chớnh là giao điểm K0 của hai đường chộo A'C và BD ' . c2 b2 c2 b2 • Tớnh IJ : IJ2 DJ2 ID2 DC2 JC2 ID2 a 2 IJ a 2 . 4 4 4 4 2 2 2 2 2 BC A 'D' 2 b c 2 c b 2 bc • Tớnh BD': BD' IJ a a . 2 2 4 4 2 • Tổng cỏc khoảng cỏch nhỏ nhất là: d 2BD' 4a 2 2bc . b) • Gọi r1, r2 , r3 là bỏn kớnh cỏc mặt cầu tõm O và lần lượt đi qua cỏc đỉnh A, B, C . Ta cú: • . Do đú D ở trong hỡnh cầu cố định tõm O , bỏn OD OC DC OC AB OC OA OB r1 r2 r3 kớnh R r1 r2 r3 . Bài 13. Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhọn. M là điểm di động trờn BC . P, Q lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc của M lờn AB, AC .Tỡm tập hợp cỏc điểm S khụng phụ thuộc mặt phẳng ABC sao cho: g SA, PQ g SP, AQ g SQ, AP . ( ký hiệu g a,b là gúc giữa hai đường thẳng a, b ) Hướng dẫn giải + Với tứ diện ABCD ta chứng minh:
  14. g AB,CD g AD, BC g AC, BD AB  CD và AD  BC, AC  BD .       Thật vậy ta cú đẳng thức: AB.CD AC.DB AD.BC 0 . Từ đú nếu: g AB,CD g AD, BC g AC, BD thỡ AB.CD 1 AC.DB  2 AD.BC cos 0 Với 1,  2 nhận giỏ trị1 hay 1. Mặt khỏc ta cú bất đẳng thức đối với cỏc cạnh của tứ diện là: 0 AB.CD 1 AC.DB  2 AD.BC 0 , nờn 90 . + g SA, PQ g SP, AQ g SQ, AP 900 khi và chỉ khi hỡnh chiếu S lờn ABC là trực tõm tam giỏc APQ . BM + Đặt t . Gọi E, F là hỡnh chiếu của B và C lờn AC, AB . Ta cú: BC        MH MP MQ MB BP MC CQ mà ta cú:            BP tBE, CQ (1 t)CE, MB (1 t)BC, BH BM MH tBF (1 t)BE     +Suy ra: EH BH BE tEF . Tập hợp cỏc điểm H là đoạn EF . Vậy tập hợp cỏc điểm S là dải mặt phẳng ở giữa hai đường thẳng a, b lần lượt đi qua E, F và vuụng gúc mặt phẳng ABC . Bài 14. Cho tứ diện đều ABCD . Mặt phẳng P chứa cạnh BC và cắt cạnh AD của tứ diện tại E . Gọi x, y lần lượt là gúc tạo bởi P với cỏc mặt phẳng BCD và ABC 1 a, cm cos x y 3 5 2 b, Cho tan x . Tớnh tỉ số thể tớch 2 tứ diện ABCE và BCDE 7 Bài 15. Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy ABCD là hỡnh thang AD PBC và AD 2BC . Gọi M , N lần CP lượt là trung điểm của SA, SB . Mặt phẳng DMN cắt SC tại P . Tớnh tỉ số . CS Bài 16. Cho tam giỏc đều ABC : 1. M là điểm nằm trong tam giỏc sao cho MA2 MB2 MC 2 . Hóy tớnh gúc Bã MC. 2. Một điểm S nằm ngoài mặt phẳng ABC sao cho tứ diện SABC đều, gọi I, K là trung điểm của cỏc cạnh AC và SB . Trờn đường thấng AS và CK ta chọn cỏc điểm P, Q sao cho PQ // BI . Tớnh độ dài PQ biết cạnh của tứ diện cú độ dài bằng 1.
  15. Bài 17. Trong mặt phẳng cho đường trũn C Đường kớnh AB cố định và điểm M di động trờn C . Gọi S là điểm cố định trờn đường thẳng vuụng gúc với mp tại A . Hạ cỏc đường AI, AJ lần lượt vuụng gúc với SM và SB . 2.1 Chứng minh rằng AI  IJ . 2.2 Tỡm quỹ tớch của điểm I khi M di động trờn C . Bài 18. Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D cạnh a . a. Tớnh gúc giữa hai đường thẳng AC và A B . b. Gọi M , N , P lần lượt là cỏc điểm thuộc cỏc cạnh A B , BC , DD sao cho A M BN DP . Chứng minh rằng trọng tõm tam giỏc MNP luụn thuộc một đường thẳng cố định khi M , N , P thay đổi. Bài 19. Cho hỡnh lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 cú đỏy ABCD là hỡnh thoi M , N lần lượt là trung điểm của BB1 và CD . Mặt phẳng A1MC cắt AB tại E . a. Chứng minh tam giỏc ACE là tam giỏc vuụng. KC b. Mặt phẳng A1MN cắt CC1 tại K . Tớnh tỉ số . KC1 Bài 20. Cho lăng trụ đứng OAB.O1 A1B1 cú đỏy là tam giỏc vuụng cõn tại O , OA OB a , AA1 a 2 . Gọi M là trung điểm của OA . a. Xỏc định thiết diện giữa lăng trụ và mặt phẳng P đi qua M , vuụng gúc với A1B . b. Tớnh diện tớch thiết diện vừa tỡm được theo a . Bài 21. Cho tứ diện ABCD cú AB vuụng gúc với AC và chõn đường vuụng gúc hạ từ A đến mặt phẳng BCD là trực tõm của tam giỏc BCD . Chứng minh rằng BC CD DB 2 6 AB2 AD2 AC 2 . Bài 22. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm AB, AD,CD, BC . a. Chứng minh tứ giỏc MNPQ là hỡnh bỡnh hành. Tỡm điều kiện của tứ diện để MNPQ là hỡnh thoi. b. Mặt phẳng đi qua N và song song với AB,CD . Xỏc định thiết diện của và tứ diện ABCD . Thiết diện là hỡnh gỡ? Hướng dẫn giải
  16. 1/ (1,5 A điểm) 0,5 M N 0,5 F E D B 0,25 P Q 0,25 C 0,5 MN // BD *  MN // PQ PQ // BD  * Tương tự MQ // NP Kết luận: Tứ giỏc MNPQ là hỡnh bỡnh hành * MNPQ là hỡnh thoi khi AC = BD 2 / (1 *  ABD NE NE // AB 0,25 điểm) *  ACD NF NF // CD 0,25 Thiết diện là tứ giỏc NEQF 0,25 * Tứ giỏc NEQF là hỡnh bỡnh hành 0,25 Bài 23. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là nửa lục giỏc đều với cạnh a ( a 0 ). Cạnh SA vuụng gúc với SM đỏy và SA a 3 . M là một điểm khỏc B trờn SB sao cho AM  MD . Tớnh tỉ số . SB Hướng dẫn giải S H A D B C Đặt hỡnh chúp vào hệ trục toạ độ như hỡnh vẽ. Suy ra ta cú: A 0;0;0 , D 2a;0;0 , a a 3 S 0;0;a 3 và B ; ;0 . Suy ra phương trỡnh của SB là 2 2
  17. 2x 2y z a 3 a a 3 a 3 Gọi M x0 ; y0 ; z0 thuộc cạnh SB , ta cú: y0 3x0 . z0 a 3 2 3x0   Mặt khỏc AM  DN AM.DM 0 3a x2 2ax y2 z2 0 x 0 0 0 0 0 8 3a 3a 3 a 3  3  SM 3 M ; ; SM SB hay 8 8 4 4 SB 4 Bài 24. Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành tõm O và cỏc cạnh bờn cú độ dài bằng nhau. Một mặt phẳng ( ) thay đổi và luụn cắt cỏc cạnh bờn của chúp, gọi giao điểm của ( ) với cỏc cạnh bờn SA, SB, SC, SD lần lượt là M , N, P,Q . Đặt x SM , y SN , z SP , t SQ . Chứng 1 1 1 1 minh rằng: . x z y t Bài 25. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng tõm O , cạnh bằng a , mặt bờn SAB là tam giỏc đều và mp SAB vuụng gúc với mp ABCD . a. Tớnh cỏc khoảng cỏch: d O, SBC , d A, SCD , d AC, SB . b. Xỏc định tõm và tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp S.ABCD . c. Mặt phẳng P chứa AB và vuụng gúc với mặt phẳng SCD cắt hỡnh chúp đó cho theo thiết diện hỡnh gỡ? Tớnh diện tớch thiết diện theo a . Bài 26. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh 2a , SA vuụng gúc với mặt phẳng ABC và SA 3a . Gọi O là trọng tõm của tam giỏc ABC , H là hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm O lờn mặt phẳng SBC . 1/. Chứng minh rằng : H là trực tõm của tam giỏc SBC . 2/. Tớnh gúc giữa đường thẳng OH và mặt phẳng ABC . Hướng dẫn giải S 3a K C H A M O 2a B
  18. 1/. Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Do ABC đều, G là trọng tõm của ABC nờn ta cú AM  BC . Do SA  ABC nờn AM là hỡnh chiếu vuụng gúc của SM lờn ABC . Theo Định lớ ba đường vuụng gúc ta cú SM  BC . Mặt khỏc do H là hỡnh chiếu vuụng gúc của O lờn SBC nờn OH  BC và OM  BC Suy ra HM  BC . Suy ra SH  BC (1) * Do ABC đều nờn ta cú CO  AB Do SA  ABC nờn SA  OC . Từ đú suy raOC  SAB . Suy ra SB  OC . Mặt khỏc OH  SBC OH  SB Từ đú ta cú SB  COH . Suy ra CH  SB (2) Từ (1) và (2) suy ra H là trực tõm của SBC . 2/. Gọi K là hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm A lờn SBC . Do đú ta cúOH // AK . Ta cú đường thẳng AM là hỡnh chiếu vuụng gúc của đường thẳng AK lờn ABC .
  19. Vỡ vậy gúc giữa đường thẳng OH và ABC bằng gúc giữa đường thẳng AK và ABC bằng gúc giữa hai đường thẳng AK, AM bằng gúc Kã AM . Do Kã AM ãAMS 900 và ãASM ãAMS 900 nờn Kã AM ãASM Xột SAM vuụng tại A cú AM a 3 , SA 3a . AM 3 Suy ra tan ãASM tan ãASM ãASM 300 AS 3 Từ đú ta cú gúc OH, ABC 300 . Kết luận: OH, ABC 300 . Bài 27. Cho tứ diện ABCD cú cỏc cặp cạnh đối bằng nhau từng đụi một AB CD; AC BD; AD BC . Chứng minh với mọi điểm M trong khụng gian ta đều cú: MA2 MB2 MC 2 MD2 Bài 28. Cho hai đường thẳng d,d chộo nhau và vuụng gúc với nhau nhận OI làm đường vuụng gúc chung (O thuộc d và I thuộc d ). Trờn d lấy điểm A cố định, trờn d lấy hai điểm M , N di động sao cho mặt phẳng d,M vuụng gúc với mặt phẳng d, N . a/. Chứng minh trực tõm tam giỏc AMN cố định. b/. Xỏc định M , N để diện tớch tam giỏc AMN là nhỏ nhất. Bài 29. Cho tứ diện S.ABC cú SA SB SC 1, mặt phẳng P đi qua trọng tõm M của tứ diện, cắt cạnh SA,SB,SC lần lượt tại D, E, F (khỏc S ).  1 1  1  1  Chứng minh rằng: SM SD SE SF . 4 SD SE SF 1 1 1 Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức : . SD.SE SE.SF SF.SD Bài 30. Cho hỡnh chúp S.ABCD , cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với AB a 2, BC a và SA SB SC SD 2a . Gọi K là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn AC và H là hỡnh chiếu vuụng gúc của K trờn SA . 1/. Chứng minh rằng SA  BK . 2/. Tớnh gúc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng BKH . Bài 31. Cho gúc tam diện Sxyz thỏa món gúc xảSy 1210 ; xảSz 590 . Trờn tia Sx lấy điểm A sao cho SA a cho trước. Trờn tia phõn giỏc của gúc xảSy lấy điểm B thỏa món SB a 3 . Tớnh cỏc gúc của tam giỏc SAB . Bài 32. Cho hỡnh thang vuụng ABCD cú A D 900 , AB 2a,CD a, AD 3a và M là điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng AD . 1/. Xỏc định vị trớ của điểm M để hai đường thẳng BM và CM vuụng gúc với nhau. 2/. Lấy điểm S thuộc đường thẳng vuụng gúc với mp BCD tại M sao cho SM AM , xột mặt phẳng P qua điểm M và vuụng gúc với SA . Mặt phẳng P cắt hỡnh chúp SABCD theo thiết diện là hỡnh gỡ ? Tớnh diện tớch của thiết diện theo a, x biết x AM và 0 x 3a ?.
  20. Bài 33. Cho tứ diện ABCD cú cỏc đường cao AA', BB',CC ', DD' đồng qui tại một điểm thuộc miền trong của tứ diện. Cỏc đường thẳng AA', BB',CC ', DD' lại cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo A , B ,C , D thứ tự tại 1 1 1 1 . Chứng minh: AA BB CC DD 8 AA1 BB1 CC1 DD1 3 Bài 34. Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. M , N lần lượt là trung điểm của AB , SC . a/. Tỡm giao tuyến của SMN và SBD . MI b/. Tỡm giao điểm I của MN và SBD , tớnh tỷ số . MN Hướng dẫn giải S J N A D I M K B C a/. Trên ABCD gọi K là giao điểm của MC và BD . Ta có: S là điểm chung thứ nhất của 2 mp SMN và SBD . Mặt khác: - K BD nên K SBD - C SN nên C SMN do đó MC  SMN . - K MC nên K SMN . K là điểm chung thứ 2 của 2 mp SMN và SBD . Vậy: giao tuyến của SMN và SBD là SK .
  21. b/. Trên SMN gọi I là giao điểm của SK và MN . Ta có: I SK , mà SK  SBD nên I SBD . Vậy I là giao điểm của MN và SBD . 1 Gọi J là trung điểm của SK thì JN là đường trung bình của tam giác SKC nên JN // KC . 2 1 Mặt khác dễ thấy K là trọng tâm tam giác ABC nên MK KC . Do đó: JN // MK . 2 IM MK MI 1 Suy ra: 1 nên : . IN JN MN 2 Bài 35. Cho hỡnh thoi ABCD cú Bã AD 60o , AB 2a. Gọi H là trung điểm AB . Trờn đường thẳng d vuụng gúc với mặt phẳng ABCD tại H lấy điểm S thay đổi khỏc H . Trờn tia đối của tia BC 1 lấy điểm M sao cho BM BC. 4 a 3 a/. Khi SH . Chứng minh đường thẳng SM vuụng gúc với mặt phẳng SAD . 2 b/. Tớnh theo a độ dài của SH để gúc giữa SC và SAD cú số đo lớn nhất. Hướng dẫn giải S B M C K H I A N D
  22. 1 a 1 a/. Ta cú MB BC HB, Hã BM Hã AD 600 4 2 2 HBM vuụng tại M . a 3 HM HB.sin 60o . 2 Gọi N là giao của HM và AD . a 3 Ta cú: HN HM SH SMN vuụng tại S . 2 SH  AD(SH  (ABCD)) AD  (SMN) AD  SM MN  DA(AD / /BC) Kết hợp với SM  SN SM  (SAD) b/. Gọi là gúc giữa SC và SAD ; K là hỡnh chiếu vuụng gúc của H lờn SN ; I là giao của HC với AD . Lấy E đối xứng với I qua K . Vỡ AD  (SMN) AD  HK . Kết hợp với HK  SN KH  (SAD) . Mà HK là đường trung bỡnh của tam giỏc ICE nờn HK // CE . Suy ra CE  (SAD) tại E . Suy ra SEC vuụng tại E và SE là hỡnh chiếu của SC trờn SAD . Ta cú Cã SE . Đặt x SH (x 0) . Tam giỏc SHN vuụng tại H và HK là đường cao nờn SH.HN 3ax 2 3ax HK CE . SN 3a2 4x2 3a2 4x2 25a2 3a2 CH 2 CM 2 MC 2 7a2 4 4 Tam giỏc SHC vuụng tại H nờn SC SH 2 CH 2 x2 7a2 . EC 2 3ax 2 3ax sin . SC (4x2 3a2 )(x2 7a2 ) (4x4 21a4 ) 31a2 x2 2 3ax 12 sin sin . 4 21.a2 x2 31.a2 x2 4 21 31 21 Dấu đẳng thức xảy ra khi x 4 .a . 4 21 Vậy lớn nhất khi và chỉ khi sin lớn nhất khi và chỉ khi SH 4 .a. 4
  23. Bài 36. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thoi. Hỡnh chiếu vuụng gúc của S trờn mặt phẳng a 3 ABCD là trung điểm H của cạnh AB . Bã AD 600 , AB 2a,SH . Trờn tia đối của tia 2 1 BC lấy điểm M sao cho BM BC. 4 a/. Tớnh cụsin của gúc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ABCD . b/. Chứng minh rằng đường thẳng SM vuụng gúc với mặt phẳng SAD . S Hướng dẫn giải B M C H A N D a/. Vỡ H là hỡnh chiếu của S trờn ABCD nờn gúc giữa SD và ABCD là SãDH ( vỡ tam giỏc SDH vuụng tại H nờn SãDH nhọn) Tam giỏc ABD đều cạnh 2a nờn DH a 3 a 15 Ta cú SD SH 2 HD2 . 2 DH 2 Trong tam giỏc SHD ta cú: cosSãDH . SD 5 b/. Ta cú 1 a 1 MB BC HB, Hã BM Hã AD 600 4 2 2 HBM vuụng tại M . a 3 HM HB.sin 60o . 2 a 3 Gọi N là giao của HM và AD . Suy ra HN HM SH SMN vuụng tại S . 2
  24. SH  AD(SH  (ABCD)) AD  (SMN) AD  SM MN  DA(AD / /BC) Kết hợp với SM  SN SM  (SAD) Bài 37. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng tại B , cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy. SA a 3, AB BC a. Gọi H là hỡnh chiếu của A trờn SB . a/. Chứng minh rằng đường thẳng BC vuụng gúc với mặt phẳng SAB . b/. Tớnh độ dài đoạn thẳng HC theo a . Hướng dẫn giải S H A C B a/. Ta cú BC  AB (Vỡ ABC vuụng tại B ) (1) BC  SA (Vỡ SA  (ABC) ) (2) Từ (1) và (2) suy ra BC  (SAB) . b/. Ta cú AH  SB (theo giả thiết) (3) BC  (SAB) BC  AH (4) AH (SAB) Từ (3) và (4) suy ra AH  (SBC) AH  HC hay tam giỏc AHC vuụng tại H . 1 1 1 1 1 4 3a2 Tam giỏc SAC vuụng tại A cú AH là đường cao nờn AH 2 . AH 2 SA2 AB2 3a2 a2 3a2 4 Tam giỏc ABC vuụng tại B nờn AC 2 AB2 BC 2 2a2. a 5 Do đú, HC AC 2 AH 2 . 2
  25. Bài 38. Cho hỡnh chúp ABCD , M là điểm nằm trong hỡnh chúp. Kộo dài DM cắt mặt phẳng ABC tại N . Chứng minh: a) ãADN Bã DN Cã DN ãADB Bã DC Cã DA Dã MA Dã MB Dã MC ãAMB Bã MC Cã MA 3 Bài 39. Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N, P,Q, R, S lần lượt là trung điểm của DA, DB, DC, BC,CA, AB. a) Tớnh gúc giữa AB và CD biết AB CD 2a , MQ a 3 . b) Giả sử MQ NR SP . Chứng minh rằng: DA DB DC cos Bã DC cosCã DA cos ãADB Bài 40. Cho hỡnh lập phương ABCDA’B’C’D’ . Một mặt phẳng P bất kỡ đi qua BD’ và cắt cạnh AA’ ở E , cắt cạnh CC’ ở F . a) Chứng minh rằng tứ giỏc BED’F là hỡnh bỡnh hành và A’E CF . b) Tỡm E để diện tớch tứ giỏc BED’F đạt GTNN. Bài 41. Cho đường thẳng d vuụng gúc với mặt phẳng tam giỏc ABC tại A . Trờn d lấy điểm N và điểm M sao cho BN vuụng gúc với CM .       a) Chứng minh rằng BM.CN BA.CA AN.AM . b) Tỡm điều kiện cần và đủ để M , N nằm cựng phớa đối với A trờn đường thẳng d . Bài 42. Cho hỡnh chúp đỏy là đa giỏc đều S.ABCD . M cố định trờn SC . Mặt phẳng ( ) quay quanh trục AM cắt SB, SD tại P, Q. a) Xỏc định mặt phẳng ( ) để diện tớch tứ giỏc APMQ nhỏ nhất. 2 3 b) Cho AB 1;SA 3 ; CM . Tớnh diện tớch tứ giỏc SPMQ . 3 Bài 43. Cho tứ diện ABCD cú AB CD c; AD BC b; AC BD a. Gọi A1 , C1 lần lượt là trọng tõm của cỏc mặt đối diện với đỉnh A và đỉnh C . 2 2 2 a) Chứng minh rằng: AA1  CC1 a c 3b . b) Gọi AH là đường cao của tứ diện, H thuộc mặt phẳng BCD , H1 là trực tõm BCD . Kộo dài CH1 cắt 2 BD tại K . Chứng minh AH 4CH1.H1K . Bài 44. Cho 2 đường thẳng , ’ chộo nhau và vuụng gúc với nhau. Gọi AB là đường vuụng gúc chung (A , B ’). M và N là 2 điểm di động trờn ’ sao cho MAN 900 khụng đổi. I là điểm cố định trờn . a) Chứng minh rằng trực tõm H của tam giỏc MIN cố định. b) Tỡm tập hợp hỡnh chiếu K của M trờn IN . Bài 45. Cho gúc tam diện vuụng Oxyz , tia Ot bất kỡ nằm trong gúc tam diện. Gọi , , theo thứ tự là gúc hợp bởi tia Ot với cỏc tia Ox, Oy, Oz. 2 Chứng minh rằng: cot g .cot g.cot g 4
  26. Bài 46. Chứng minh rằng nếu một tứ diện MNPQ thỏa món điều kiện MN vuụng gúc với PQ và MP vuụng gúc với NQ thỡ MQ vuụng gúc với NP . Bài 47. Cho hỡnh chúp S.ABCD . đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành, AC cắt BD tại H và: ãASB Cã SD; Bã SC Dã SA. Chứng minh: SH vuụng gúc với mặt phẳng ABCD . Bài 48. a)Cho tứ diện ABCD và M là Một điểm nằm trong BCD . Chứng minh: Mã AB Mã AC Mã AD Bã AD Dã AC Cã AB S b)Gọi S và R là tổng độ dài cỏc cạnh và bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Hỏi tứ diện nào cú tỉ số lớn R nhất. Tỡm giỏ trị lớn nhất đú. Hướng dẫn giải a) Gọi K là giao điểmcủa BM và CD , ta cú : Mã AB Mã ACMã AB Mã AK Kã AC Kã AB Kã AC A Kã AB Kã ACBã AD Dã AK Kã AC Bã AD Dã AC Hay : Mã AB Mã ACBã AD Dã AC (1) tương tự : Mã AB Mã ADBã AC Cã AD (2) Mã AD Mã ACDã AB Bã AC (3) Cộng (1), (2), (3) theo từng vế ta cú đpcm.  D b) Gọi G và O lần lượt là trọng tõm và tõm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ta cú : 2 2 S BC CA AB DA DB DC B M K 6 BC 2 CA2 AB2 DA2 DB2 DC 2 (1) Mặt khỏc ta cú : C   2   2   2 BC 2 CA2 AB2 DA2 DB2 DC 2 OC OB OA OC OB OA   2   2   2     2 OA OD OB OD OC OD 16R2 OA OB OC OD 16R2 16OG2 16R2 (2) S BC CA AB DA DB DC Từ (1) và (2) S 2 6.16R2 hay 4 6 . đẳng thức xảy ra R G  O ABCD là tứ diện đều. S Và khi đú (max) 4 6. R
  27. Bài 49. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , SA  ABCD và độ dài SA a . Một mặt phẳng đi qua CD cắt cạnh SA, SB lần lượt ở M , N . Đặt AM x . a)Tớnh diện tớch tứ giỏc MNCD theo a, x . 2 b) Xỏc định x để thể tớch hỡnh chúp S.MNCD bằng lần thể tớch hỡnh chúp S.ABCD . 9 Hướng dẫn giải a) Gọi K là giao điểm của AE và MN ; H là giao điểmcủa AC và BD . Áp dụng định lý cosin trong tam giỏc ACE ta cú : AE 2 AC AE 2 . Mã EN Bã CD 900 MN 2EK. Theo Tớnh chất đường phõn giỏc SK trong SAE ta cú : AE 2 S EK . 4 4 1 S . AMEN 2 ML b) Gọi hỡnh chúp đều đú là S.ABCD , vỡ thiết diện cắtP tất cả cỏc mặt bờn nờn cỏc đỉnh K, M , L, N, P của ngũ giỏc đều N nằm trờn cỏc cạnh AB, SB, SC, SD, AD tương ứng K Khụng mất tớnh tổng quỏt, hỡnh chiếu trờn mặt phẳng vuụng D C gúc với cạnh BC .(xem hỡnh 3) S’ Giả sử B’K’: A’B’ p. H Vè M’K’ / /N’P’; M’P’ / /K’L’ nờn B’M’: B’S’ A’P’: A’S’ S’N’: A’S’ p. N’ A P’S’: A’S’ 1 p S’N’: A’S’ 1 p 2 M’ B HỡnhHỡnh 3 2 (vỡ M’N’ / /L’P’ ) P’ 2 3 5 p S’N’: A’S’ 1 p . 1 3p 0 p2 3p 1 0 p . 2 A’ Giả sử SA 1; ãASB 2a.Ta cú : NP2 p2 (1 p)2 2 p(1 p)cos và B’ K’ KP2 p2 4(1 p2 )sin 2 4 p(1 p)sin 2 ( cos 2 1 2sin2 ) 1 3p 4(1 3p)sin2 (Do 1 3p 0 ) 1 sin2 300 . Vậy mặt bờn của hỡnh chúplà tam giỏc đều. 4 Bài 50. a) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD . Trờn cạnh SC lấy điểm E . Thiết diện tạo thành do mặt phẳng đi qua AE và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại M , N.
  28. 2 3 Tớnh diện tớch thiết diện đú khi cho cạnh đỏy bằng 1, cạnh bờn bằng 3 và CE . 3 b) Giả sử thiết diện của hỡnh chúp tứ giỏc đều là một ngũ giỏc đều. Hóy chứng minh rằng mặt bờn của hỡnh chúp này là cỏc tam giỏc đều. Bài 51. Cho hỡnh chúptam giỏc đều S.ABC , cạnh đỏy bằng a và mỗi mặt của gúc tam diện đỉnh S bằng 300 . a. Hỏi phải cắt hỡnh chúp bằng một mặt phẳng đi qua A như thế nào để thiết diện tam giỏc AB’C’ (B’ SB, C’ SC) thu được cú chu vi nhỏ nhất. b. Tớnh giỏ trị chu vi nhỏ nhất đú theo a . 1 Bài 52. Cho lăng trụ ABC.A B C . Trờn tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM AB . Gọi E là 2 trung điểm AC . a)Xỏc định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng MEB . CD AK b) Gọi D BC  MEB , K AA  MEB . Tớnh tỉ số và . CB AA' Hướng dẫn giải +) Xỏc định được điểm D và suy ra hai giao tuyến DE và DD +) Xỏc định được điểm K ; suy rađược đoạn giao tuyến EK và KB’ +) Kết luận thiết diện là tứ giỏc DEKB’ b,(1,25) AK MA 1 AK 1 +) Xột tam giỏc MBB’ cú BB ' MB 3 AA' 3 1 +) Trong ABC . Dựng EN / / AB(N BC) , khi đú EN AB 2 DN NE 1 1 +) Xột tam giỏc DBM cú: DN BN DB BM 3 2 CD 1 Suy ra D là trung điểm CN . Vậy CB 4 Bài 53. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh thang AD / /BC và AD BC . Gọi M , N, E lần lượt là trung điểm của AB,CD, SA. a)Chứng minh rằng: MNE / / SBC . b) Chứng minh: SC / / MNE và AF khụng song song với SBC . c) Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp cắt bởi MNE . Thiết diện là hỡnh gỡ?
  29. Bài 54. Trong mặt phẳng P cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R và 1 điểm A cố định trờn O . Tứ giỏc ABCD biến thiờn nội tiếp trong O . sao cho 2 đường chộo luụn vuụng gúc với nhau. Trờn đường thẳng d vuụng gúc với mặt phẳng P tại A lấy1 điểm S . Nối S với A, B,C, D. a. Chứng minh 2 cạnh BD, SC vuụng gúc với nhau. b. Nờu cỏch xỏc định điểm I cỏch đều 5 điểm A, B,C, D, S. c. Tứ giỏc ABCD là hỡnh gỡ để diện tớch của nú lớn nhất. Tỡm GTLN đú theo R Hướng dẫn giải d d’ S I B A H O K C D P a, Vỡ SA  (P) nờn AC là hỡnh chiếu của SC trờn mp P Theo gt AC  BD nờn theo định lớ 3 đường vuụng gúc ta cú SC  BD . b, Cỏch dựng:
  30. Qua O kẻ đường thẳng d’ vuụng gúc với mp P . Dựng mp Q là mp trung trực của SA . Giao của mp Q và đường thẳng d’ là điểm I cần xỏc định CM: Vỡ I d ' nờn I cỏch đều A, B,C, D . Vỡ I mp(Q) nờn I cỏch đều S và A . Vậy điểm I vừa dựng cỏch đều 5 điểm A, B,C, D, S . 1 c, S AC.BD . Kẻ OH  AC tại H . Kẻ OK  BD tại K WABCD 2 Ta cú AC 2 AO2 OH 2 2 R2 OH 2 BD 2 BO2 OK 2 2 R2 OK 2 Để tứ giỏc ABCD cú diện tớch lớn nhất thỡ độ dài AC và BD lớn nhất khi và chỉ khi OH OK 0 H  O K  O 1 Vậy tứ giỏc ABCD là hỡnh vuụng. Khi đú S .2R.2R 2R2 WABCD 2 Bài 55. Cho hỡnh vuụng cạnh a tõm O . gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng ABCD sao cho SB SD , M là điểm tựy ý trờn AO với AM x . Mặt phẳng qua M và song song SA và BD cắt SO, SB, AB lõn lượt tại N, P,Q . a)Tứ giỏc MNPQ là hỡnh gỡ? b) SA a . Tớnh diện tớch MNPQ theo a và x . Tỡm x để diện tớch lớn nhất. Bài 56. Cho hỡnh lập phương ABCD.A B C D cạnh a . a) Tớnh gúc giữa hai đường thẳng AC và A B . b) Gọi M , N, P lần lượt là cỏc điểm thuộc cỏc cạnh A B , BC, DD sao cho A M BN DP . Chứng minh rằng trọng tõm tam giỏc MNP luụn thuộc một đường thẳng cố định khi M , N, P thay đổi.
  31. Bài 57. Cho hỡnh chúp cố định S.ABC cú cỏc gúc tam diện đỉnh A ba mặt vuụng. Hỡnh lăng trụ AMN.A M N thay đổi sao cho MN / /BC M AB; N AC ; cỏc điểm A , M , N lần lượt thuộc SA, SB, SC . Tỡm giỏ trị lớn nhất của thể tớch khối lăng trụ AMN.A M N theo thể tớch khối chúp S.ABC Bài 58. Cho hớnh chúp S.ABC cú SA SB AB AC a ,diện tớch tam giỏc SBC là S0 .Gọi M là điểm di động trờn SB , N là trung điểm của BC . Biết AN vuụng gúc với mặt phẳng SBC . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của diện tớch tam giỏc AMN theo a và S0 . Bài 59. Cho hỡnh chúp OABC . Xột cỏc điểm A1, B1,C1 theo thứ tự thuộc cỏc cạnh OA,OB,OC sao cho OA OB OC 3 . Chứng minh rằng khi cỏc điểm A1, B1,C1 thay đổi thỡ mặt phẳng (A1B1C1) đi qua một OA1 OB1 OC1 điểm cố định. Bài 60. Cho hỡnh hộp ABCDA1B1C1D1 . Hóy xỏc định cỏc điểm M , N theo thứ tự thuộc cỏc đoạn thẳng AC1 và B1D1 sao cho MN song song với A1D . Bài 61. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật. Biết SA a, AB a, BC 2a, cạnh bờn SA vuụng gúc với mf ABCD . a)Tớnh gúc giữa cỏc mặt phẳng SBC và SCD với ABCD . b) Gọi O là giao điểm của hai đường chộo AC và BD .Tớnh khoảng cỏch từ O đến mf SCD . Hướng dẫn giải Hỡnh vẽ ; a). Gúc giữa SCD với ABCD chớnh là gúc Sã DA Gúc giữa SBC với ABCD là gúc Sã BA 1 Ta cú tan Sã DA 2 tan Sã BA 1
  32. b). Từ A kẻ AJ  SD AJ  mf SDC . Nối CJ và từ O kẻ OI / / AJ OI  mf SCD . Vậy OI chớnh là khoảng cỏch cần tỡm 1 1 1 1 Ta cú OI AJ ; 2 AJ 2 SA2 AD2 a 5 Từ đú ta cú kết quả ; OJ 5 Bài 62. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , cạnh bờn SA a 2 vuụng gúc với mặt đỏy ABCD . a) Gọi M là trung điểm SD . Tớnh gúc giữa SA và CM . b) Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD cắt bởi mp đi qua A và vuụng gúc với SC . Tớnh diện tớch của thiết diện đú. Bài 63. Cho hỡnh tứ diện ABCD cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a , mặt bờn DBC là tam giỏc cõn đỉnh D , cạnh bờn DBC tạo với mặt đỏy một gúc bằng 600 . a) Chứng minh rằng AD vuụng gúc với BC . b) Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của D trờn mặt phẳng ABC .Chứng minh H nằm trờn trung tuyến AM của tam giỏc ABC . Tớnh DH , biết tam giỏc HBC vuụng. c) Gọi E là trung điểm AC . Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp cắt bởi mp P đi qua E và vuụng gúc với AB . Bài 64. Cho tứ diện ABCD cú AB CD a , AC BD b , AD BC c . M là điểm tựy ý trờn cạnh AB , P là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC,CD, DA lần lượt tại N, P,Q. Tỡm vị trớ của M và điều kiện của a,b,c để thiết diện MNPQ là hỡnh vuụng, tớnh diện tớch thiết diện trong trường hợp đú. Bài 65. Cho tứ diện ABCD . Tỡm M trong khụng gian sao cho MA2 MB2 MC 2 MD2 đạt giỏ trị nhỏ nhất. Bài 66. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy là hỡnh bỡnh hành tõm O . Gọi M là trung điểm SC . 1) Tỡm giao điểm F của đường thẳng SD và mặt phẳng ABM . 2) Gọi I là giao điểm của AM và SO . Chứng minh ba điểm B, I, F thẳng hàng BF 3) Tớnh tỉ số BI
  33. S F M I D C O` A B 1) Trong mp SDC dựng đường thẳng qua M song song với CD cắt SD tại F , suy ra F là trung điểm của SD MF PCD Do MF P AB Suy ra F thuộc mp ABM . AB PCD 2) Ta cú BI là giao tuyến của ABM và mp SBD . F SD  (SBD) F (SBD) Mặt khỏc suy ra F nằm trờn giao tuyến của mp SBD và mp ABM . F (ABM ) F (ABM ) Vậy B, I, F thẳng hàng. BF 3 3) Xột tam giỏc SBD cú I là trọng tõm nờn . BI 2 Bài 67. Cho hỡnh chúp S.ABCD , cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với AB a 2, BC a và SA SB SC SD 2a. . Gọi K là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn AC và H là hỡnh chiếu vuụng gúc của K trờn SA . a)Tớnh độ dài HK theo a . b)Gọi M , N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK,CD . CMR cỏc đoạn thẳng BM và MN vuụng gúc với nhau.
  34. Bài 68. (HSG Nghệ An 2016) Cho hỡnh thoi ABCD cú Bã AD=60o , AB 2a. Gọi H là trung điểm AB . Trờn đường thẳng d vuụng gúc với mặt phẳng ABCD tại H lấy điểm S thay đổi khỏc H . Trờn tia đối của 1 tia BC lấy điểm M sao cho BM BC . 4 a 3 a) Khi SH . Chứng minh đường thẳng SM vuụng gúc với mặt phẳng SAD . 2 b) Tớnh theo a độ dài của SH để gúc giữa SC và SAD cú số đo lớn nhất. Hướng dẫn giải Bài 69. (HSG Hà Tĩnh 2008) Cho hỡnh thang cõn ABCD cú đỏy lớn AD 2a , đỏy nhỏ BC a , cỏc cạnh bờn AB CD a . Trờn nửa đường thẳng At vuụng gúc với mặt phẳng ABCD lấy điểm S (khụng trựng với A). Mặt phẳng P đi qua điểm A và vuụng gúc với SD cắt cỏc cạnh SB, SC, SD tại B1,C1,D1 . a. Chứng minh rằng: AB1C1D1 là tứ giỏc nội tiếp được trong một đường trũn. b. Khi điểm S chạy trờn nửa đường thẳng At , chứng minh đường thẳng C1D1 đi qua một điểm cố định. Hướng dẫn giải Bài 70. (HSG Nghệ An Bảng B 2016) Cho hỡnh chúp tam giỏc S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a . Đường thẳng SA vuụng gúc với mặt phẳng ABC . Gọi M là trung điểm của đoạn AB , H là hỡnh chiếu vuụng gúc của C lờn SB . a) Chứng minh đường thẳng SB vuụng gúc với mp HCM . b) Biết gúc tạo bởi đường thẳng AB và mp HMC bằng 300. Tớnh diện tớch tam giỏc HMC . Bài 71. (HSG Quảng Bỡnh 2011) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi I, J lần lượt là trọng tõm cỏc tam giỏc ABC và DBC . Mặt phẳng ( ) qua IJ cắt cỏc cạnh AB, AC, DC, DB lần lượt tại cỏc điểm M, N, P, Q với AM = x , AN = y ( 0 x, y a ). a) Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui hoặc song song và MNPQ là hỡnh thang cõn. 4a 3a b) Chứng minh rằng: a(x y) 3xy . Suy ra: x y . 3 2 c) Tớnh diện tớch tứ giỏc MNPQ theo a và s x y . Bài 72. (HSG Vĩnh Phỳc 2011) Cho hỡnh hộp ABCD.A B C D cú tất cả cỏc mặt đều hỡnh vuụng cạnh a 1. Chứng minh rằng AC vuụng gúc với mặt phẳng A BD và đường thẳng AC đi qua trọng tõm của tam giỏc A BD . 2. Hóy xỏc định cỏc điểm M, N lần lượt nằm trờn cỏc cạnh A D , CD sao cho MN vuụng gúc với mặt phẳng CB D . Tớnh độ dài đoạn MN theo a .
  35. Bài 73. (HSG Vĩnh Phỳc 2016) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật và SA vuụng gúc với mặt phẳng ABCD . Biết AB a, BC a 3 và SD a 5. a) Đường thẳng qua A vuụng gúc với AC cắt cỏc đường thẳng CB,CD lần lượt tại I, J . Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn SC . Hóy xỏc định cỏc giao điểm K, L của SB, SD với HIJ và chứng minh rằng AK  SBC . b) Tớnh diện tớch tứ giỏc AKHL. Hướng dẫn giải S J J L H K D A A D I B C I B C Trong SCD gọi L SD  JH L SD  HIJ Trong SBC gọi K SB  IH K SB  HIJ IJ  AC Ta cú IJ  SAC IJ  SC , mà AH  SC . Suy ra SC  IJH . IJ  SA Suy ra AK  SC . Mà BC  SAB BC  AK .Vậy AK  SBC . SA.AC 2a SA.AB 2a b) Ta cú SA SD2 AD2 a 2 ; AH ; AK SA2 AC 2 3 SA2 AB2 6 2a Do AK  SBC AK  KH , do đú KH AH 2 AK 2 . 6 Tương tự phần (a) thỡ AL  SCD AL  HL . Từ đú tớnh được a 2 LH AH 2 AL2 . 15 1 1 8a2 Suy ra S S S AK.KH AL.LH . AKHL AKH ALH 2 2 15 Bài 74. (Bỡnh Sơn Vĩnh Phỳc) Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú đường cao SH . Mặt phẳng ( ) SH 1 đi qua A và vuụng gúc với SC , cắt SH tại H sao cho: 1 và cắt cỏc cạnh 1 SH 3 bờn SB,SC,SD lần lượt tại B ,C ,D . a) Tớnh tỷ số diện tớch thiết diện AB C D và diện tớch đỏy hỡnh chúp. b) Cho biết cạnh đỏy của hỡnh chúp là a . Tớnh SH .
  36. Bài 75. (HSG Vĩnh Phỳc 2012) 1. Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh bằng a 2 , cỏc cạnh bờn bằng nhau và bằng 3a ( a 0 ). Hóy xỏc định điểm O sao cho O cỏch đều tất cả cỏc đỉnh của hỡnh chúp S.ABCD và tớnh độ dài SO theo a . 2. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đường thẳng SA vuụng gúc với mặt phẳng (SBC). Gọi H là hỡnh chiếu của S lờn mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng đường thẳng SB vuụng gúc với đường thẳng SC, biết rằng 1 1 1 1 . SH 2 SA2 SB2 SC 2 3. Cho tứ diện ABCD thỏa món điều kiện AB CD, BC AD, AC BD và một điểm X thay đổi trong khụng gian. Tỡm vị trớ của điểm X sao cho tổng XA XB XC XD đạt giỏ trị nhỏ nhất. Hướng dẫn giải S M O D C I A B Gọi I AC  BD . Do SA SB SC SD nờn cỏc tam giỏc SAC, SBD cõn tại đỉnh S nờn SI vuụng gúc với AC, BD suy ra SI vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD). Dễ thấy mọi điểm nằm trờn đường thẳng SI cỏch đều cỏc đỉnh A, B, C, D. Trong tam giỏc SIC, dựng trung trực của cạnh SC cắt đường thẳng SI tại O suy ra OS OA OB OC OD . SM.SC 3a.3a 9a2 9 2a Ta cú SM.SC SO.SI SO . SI 2 SA2 IA2 2 9a2 a2 8 9 2a A Vậy SO . 8 Gọi K là giao điểm của đường thẳng AH và BC; trong mặt phẳng (SBC) gọi D là giao điểm của đường thẳng qua S, vuụng gúc với SC. Ta cú BC vuụng gúc với SH và SA nờn BC vuụng gúc với mặt phẳng (SAH) suy ra H BC vuụng gúc với SK. 1 1 1 S C Trong tam giỏc vuụng SAK ta cú 2 2 2 , kết hợp với giả SH SA SK K 1 1 1 thiết ta được 2 2 2 (1) B SK SB SC D
  37. 1 1 1 Trong tam giỏc vuụng SDC ta cú (2) SK 2 SD2 SC 2 Từ (1) và (2) ta được SB SD , từ đú suy ra B  D hay suy ra SB vuụng gúc với SC. A M Q G D B P N C Gọi G là trọng tõm của tứ diện; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh AB, CD, BC, AD. Ta cú tam giỏc ACD bằng tam giỏc BCD nờn AN BN suy ra MN  AB , tương tự ta chứng minh được MN  CD và đường thẳng PQ vuụng gúc với cả hai đường thẳng BC, AD. Từ đú suy GA GB GC GD . XA.GA XB.GB XC.GC XD.GD Ta cú XA XB XC XD GA         XA.GA XB.GB XC.GC XD.GD GA      XG. GA GB GC GD 4.GA2 4GA . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi X trựng với điểm G. Vậy GA XA XB XC XD nhỏ nhất khi và chỉ khi X là trọng tõm của tứ diện ABCD. Bài 76. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, tất cả cỏc cạnh bờn đều bằng a. Gọi điểm M thuộc cạnh SD sao cho SD 3SM , điểm G là trọng tõm tam giỏc BCD . a) Chứng minh rằng MG song song với mp SBC b) Gọi ( ) là mặt phẳng chứa MG và song với CD . Xỏc định và tớnh diện tớch thiết diện của hỡnh chúp với mp( ) c) Xỏc định điểm P thuộc MA và điểm Q thuộc BD sao cho PQ song song với SC . Tớnh PQ theo a . Hướng dẫn giải
  38. S M H D C E G F I A B a) Gọi I là trung điểm của BC DG DM 2 Ta cú MG / /SI mà SI  (SBC) nờn MG / / SBC DI DS 3 b) Qua G kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F . Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC tại H . Thiết diện của hỡnh chúp với mp( ) là tứ giỏc EFHM . Ta cú HM / /EF vỡ cựng song song với CD 2a a MD HC , DE CF , MẳDE HẳCF 600 nờn tam giỏc DME bằng tam giỏc CHF suy ra ME 3 3 HF do đú EFHM là hỡnh thang cõn 4a2 a2 2a a 1 a2 Ta cú EM 2 DM 2 DE 2 2DM.DE.cos600 2 . . 9 9 3 3 2 3 a MH ,EF = a .Gọi h là độ dài đường cao của hỡnh thang ta cú 3 2 2 2 2 EF HM a a a 2 h EM 2 3 9 3 1 1 a 2 4a 2a2 2 Diện tớch thiết diện là S .h.(EF HM ) . . EFHM 2 2 3 3 9
  39. S M P D C N Q A B c) Qua M dựng đường thẳng song song với SC cắt CD tại N. Nối A với N cắt BD tại Q. Trong mp (AMN) từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM tại P. Ta cú PQ//MN, MN//SC nờn PQ//MN Suy ra hai điểm P, Q thỏa món điều kiện bài toỏn. MN DM 2 AQ AB 3 AQ 3 Ta cú , SC DS 3 QN DN 2 AN 5 PQ AQ 3 PQ PQ MN 3 2 2 , . . MN AN 5 SC MN SC 5 3 5 2a Suy ra PQ 5 Bài 77. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi I,J lần lượt là trọng tõm cỏc tam giỏc ABC và DBC . Mặt phẳng ( ) qua IJ cắt cỏc cạnh AB, AC, DC, DB lần lượt tại cỏc điểm M, N, P, Q với AM x, AN y ( 0 x, y a ). a) Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui hoặc song song và MNPQ là hỡnh thang cõn. 4a 3a b) Chứng minh rằng: a(x y) 3xy . Suy ra: x y . 3 2 c) Tớnh diện tớch tứ giỏc MNPQ theo a và s x y . Hướng dẫn giải
  40. a) Ta cú: ( )  (ABC) MN , ( )  (BCD) PQ , (ABC)  (BCD) BC , ( ),(ABC),(BCD) phõn biệt nờn MN, PQ, BC song song hoặc đồng qui. KI KJ Gọi K là trung điểm BC , ta cú: nờn AD / /IJ , do đú AD / /(P) KA KD Cỏc mặt phẳng ABD , ADC đi qua AD cắt ( ) theo cỏc giao tuyến lần lượt là MQ, NP nờn : MQ / / AD, NP / / AD . Suy ra : MQ / / NP hay MNPQ là hỡnh thang. Ta cú: BAD, CAD là cỏc tam giỏc đều, MQ / / AD, NP / / AD Nờn AM DQ, AN DP . Suy ra : AMN DQP MN PQ , hay MNPQ là hỡnh thang cõn. ax 3 ay 3 b) Ta cú: S S S xy sin 600 sin 300 sin 300 3xy a(x y) AMN AMI ANI 3 3 (x y)2 3(x y)2 4a Vỡ : xy nờn ; a(x y) x y 4 4 3 Mặt khỏc: 0 x, y a (a x)(a y) 0 a2 a(x y) xy 0 a(x y) 3a 4a 3a a2 a(x y) 0 x y . Vậy : x y . 3 2 3 2 c) Ta cú: MQ BM a x , NP CN a y , MN 2 x2 y2 xy Gọi h là chiều cao hỡnh thang cõn MNPQ, ta cú: 2 a(x y) 2 2 2 2 3(x y) 8 2 2 2 MQ NP 3(x y ) 2xy 3(x y) 8xy 3 9s 8as h MN 2 4 4 4 12 MQ NP 2a s 8as Vậy: S h. 3s2 MNPQ 2 4 3 Bài 78. (HSG Hà Tĩnh 2013) Cho hỡnh chúp SABC cú SC  ABC và tam giỏc ABC vuụng tại B . Biết 13 AB a; AC a 3 và gúc giữa hai mặt phẳng SAB , SAC bằng với sin . Tớnh độ dài 19 SC theo a. Gọi H,K là hỡnh chiếu của C lờn SA,SB . Ta chứng minh được CK  (SAB), SA  (CHK) . Suy ra CHK vuụng tại K và SA  KH . Do đú CHK. S Đặt SC x 0 . Trong tam giỏc vuụng SAC ta cú 1 1 1 3a2 x2 H CH 2 . CH 2 CA2 CS 2 3a2 x2 x K 2a2 x2 Tương tự, trong tam giỏc vuụng SBC ta cú CK 2 . 2a2 x2 C A a B
  41. 13 CK 2 13 2(3a2 x2 ) 13 Ta cú sin x 6a , vỡ x > 0. Vậy SC 6a 19 CH 2 19 3(2a2 x2 ) 19 Bài 79. (HSG Quảng Bỡnh 2013) Cho hỡnh chúp S.ABCD , cú đỏy ABCD là hỡnh thang cõn AD / /BC và BC 2a , AB AD DC a a 0 . Mặt bờn SBC là tam giỏc đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Biết SD vuụng gúc với AC . a) Tớnh SD . b) Mặt phẳng ( ) qua điểm M thuộc đoạn OD ( M khỏcO, D ) và song song với hai đường thẳng SD và AC . Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng ( ). Biết MD x . Tỡm x để diện tớch thiết diện lớn nhất. a) Dễ thấy đỏy ABCD là nữa hỡnh lục giỏc đều cạnh a . Kẻ DT / / AC (T thuộc BC ). Suy ra CT AD a và DT vuụng gúc SD . Ta cú: DT AC a 3 . Xột tam giỏc SCT cú SC 2a, CT a, S SCT 1200 ST a 7 K Xột tam giỏc vuụng SDT cú DT a 3 , Q ST a 7 SD 2a b) Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt B C T AD, DC lần lượt tại N,P. J Qua M, N, P kẻ cỏc đường thẳng song song với SD cắt P O SB, SA, SC lần lượt tại K, J, Q . Thiết diện là ngũ giỏc NPQKJ . M A N D Ta cú: NJ, MK, PQ cựng vuụng gúc với NP . 1 1 dt NPQKJ dt NMKJ dt MPQK = (NJ MK)MN (MK PQ)MP 2 2 1 (NJ MK).NP do NJ PQ . 2 NP MD AC.MD x.a 3 Ta cú: NP 3x . AC OD OD a 3 a 2a. x NJ AN OM SD.OM 3 NJ 2(a x 3) SD AD OD OD a 3 KM BM SD.BM 2a. a 3 x 2 KM (a 3 x) SD BD BD a 3 3
  42. 1 2 Suy ra: dt NPQKJ 2(a x 3) (a 3 x) 3x 2(3a 2 3x)x 2 3 1 1 2 3 3 (3a 2 3x)2 3x (3a 2 3x) 2 3x a2 3 4 3 4 3 3 3 Diện tớch NPQKJ lớn nhất bằng a2 khi x a 4 4 Bài 80. (HSG Đà Nẵng 2011) 1) Cho hỡnh hộp ABCD.A' B 'C ' D '. Trờn cạnh AB lấy điểm M khỏc A và B. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (ACD '). a) Trỡnh bày cỏch dựng thiết diện của hỡnh hộp và mặt phẳng (P). b) Xỏc định vị trớ của M để thiết diện núi trờn cú diện tớch lớn nhất. 2) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành và M là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt cỏc cạnh SB, SD tại cỏc điểm B', D' khỏc S. Chứng minh rằng: 4 SB ' SD ' 3 . 3 SB SD 2 Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N. Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=ACBD) cắt B’D’ tại F. Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ lần lượt tại R, Q. Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ tại S. Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ tại P. Thiết diện là lục giỏc MNPQRS
  43. Do cỏc mặt đối diờn của hỡnh hộp song song nờn cỏc cạnh đối của lục giỏc thiết diờn MNPQRS song song và 3 cặp cạnh đú lần lượt song song với cỏc cạnh tam giỏc ACD’. Cỏc tam giỏc JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng MJ MA NC NK PC PK QD ' QI MJ=NK và PK=QI MN MB NB NM PC ' PQ QC ' QP Cỏc tam giỏc RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tớch của chỳng là S1 và gọi diện tớch cỏc tam giỏc JKI, ACD’ lần lượt là S2, S) AM Đặt k; ta cú điều kiện 0 k 1 và cú: AB 2 2 2 S1 JM AM AM 2 2 k S1 = k S S AC DC AB 2 2 2 S2 JK JM MK JM MK 2 2 k 1 S2 =( k + 2k +1)S Diện tớch thiết diện: S AC AC AC AC Std S2 3S1 2 2 1 3 1 3S Std 2S( k k ) 2S k (dấu bằng 2 4 2 2 S 1 xảy ra k ) 2 Lấy I = AMB'D' và O = ACBD, D' M ta cú: S, O, I là cỏc điểm chung của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD) I S, O, I thẳng hàng. D P C O Và I là trọng tõm cỏc mặt chộo SAC B' A SI 2 SO 3 N B SD SB Vẽ BP // B'I và DN // D'I P, N SO OP ON . Đặt x ; y SD ' SB ' SB SD SP SN 2SO 3 x y 2 3 x, y [1;2] (*) SB ' SD ' SI SI SI 2 2 2 1 1 3 2 4 1 1 3 2 4 Suy ra: 3 Suy ra: 3 x y xy x y 3 x y xy x y 3
  44. Bài 81. Cho tứ diện đều ABCD cú độ dài cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc cỏc cạnh AB, AC sao cho mặt phẳng DMN vuụng gúc với mặt phẳng ABC . Đặt AM x, AN y . Tỡm x, y để diện tớch toàn phần của tứ diện DAMN nhỏ nhất. Kẻ DH  MN , do DMN  ABC suy ra DH  ABC . Mà ABCD là tứ diện đều, nờn suy ra H là tõm của tam giỏc đều ABC . 1 3 D Ta cú: S . AM.AN.sin 600 = xy ; S S S AMN 2 4 AMN AMH ANH 1 1 1 3 = AM.AH.sin300 AN.AH.sin300 . x y . 2 2 4 3 3 1 3 C B Suy ra xy = . (x+y) x y 3xy 0 x, y 1 4 4 3 H N M Diện tớch toàn phần của tứ diện DAMN : A 1 1 S S S S S AD.AM.sin 600 AD.AN.sin 600 AMD AND DMN AMN 2 2 1 1 6 + DH.MN + AM.AN.sin 600 . = 3 xy + 3xy(3xy 1) . 2 2 6 2 4 Từ 3xy x y 2 xy xy xy . 3 9 3(4 2) 2 Suy ra min S , khi x y . 9 3 Cõu 1. Cho hỡnh chúp S.ABCD, đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Gọi C’ là trung điểm của SC, M là điểm thuộc cạnh SA. Mặt phẳng chứa C’M cắt cỏc cạnh SB, SD lần lượt tại B’, D’. a) Khi song song với BC. Xỏc định vị trớ của M để tứ giỏc B’C’D’M là hỡnh bỡnh hành. SB SD b) Khi thay đổi. Xỏc định vị trớ của M để 3. SB' SD' Hướng dẫn giải
  45. S M B' D' I C' A B O D C a) (2.5 điểm) Khi song song với BC. Xỏc định vị trớ của M để tứ giỏc B’C’D’M là hỡnh bỡnh hành. Gọi O là tõm hỡnh bỡnh hành ABCD. Gọi I C 'M  SO I B'D' . Ta cú: B'C'/ / BC BC / /( ) B'C'/ / D'M. D'M / /BC 1 1 Mặt khỏc, vỡ C’ là trung điểm SC nờn B'C ' BC AD . 2 2 1 Khi đú tứ giỏc B’C’D’M là hỡnh bỡnh hành khi D'M B'C ' AD . 2 Vậy M là trung điểm của SA. b, S C' I M E A C O F
  46. SB SD b) Khi thay đổi. Xỏc định vị trớ của M để 3. SB' SD' Xột ta giỏc SAC: Qua A, C lần lượt kẻ cỏc đường thẳng song song với C’M, cắt SO tại E, F. Ta cú: SA SE SC SF SA SC SO ; 2 . SM SI SC ' SI SM SC ' SI Tương tự, xột ta, giỏc SBD, ta cú: SB SD SO SB SD SA SC SA 2 2 . SB' SD' SI SB' SD' SM SC ' SM SB SD SA Vậy 3 1 M  A. SB' SD' SM Cõu 2. Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh thoi tõm O, cạnh a, gúc BAD=600; SO 3a vuụng gúc với mặt phẳng (ABCD); SO . Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm 4 của DE. 1/ Chứng minh (SOF)  (SAD). 2/ Tớnh khoảng cỏch từ O và C đến mặt phẳng (SAD). 3/ Gọi là mặt phẳng qua BC và vuụng gúc với mặt phẳng (SAD). Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp với mặt phẳng . Tớnh diện tớch của thiết diện này. Hướng dẫn giải S N M K H E F A D O B C
  47. 1/ Tam giỏc ABD đều nờn BE  AD ; OF//BE OF  AD (1). SO  (ABCD) SO  AD (2). Từ (1) và (2) AD  (SOF) (SAD)  (SOF) . 2/ Kẻ OH  SF tại H OH  (SAD) d(O;(SAD)) OH . 1 1 1 1 1 64 3a OH . OH 2 SO2 OF2 9a2 3a2 9a2 8 16 16 3a O là trung điểm của AC nờn d(C;(SAD)) 2d(O;(SAD)) . 4 3/ Gọi K là hỡnh chiếu của C trờn mp(SAD) H là trung điểm của AK. mp( )  mp(BCK) ; BC//AD nờn mp(BCK) cắt mp(SAD) theo giao tuyến song song với AD. Từ K kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD, SA tại M và N. Thiết diện tạo thành là hỡnh thang BCMN. 12a2 a 12 SF 2 SO2 OF2 SF . 16 4 SH SO2 3 SO2 SH.SF . SF SF 2 4 MN cắt SF tại trung điểm I MN là đường trung bỡnh của tam giỏc SAD. AD a MN 2 2 a 3a ( a) 2 (MN BC)CK 9a S 2 4 . td 2 2 16 Bài 82.[VĨNH PHÚC -2010-2011] Cho hỡnh hộp ABCD.A' B 'C ' D ' cú tất cả cỏc mặt đều là hỡnh vuụng cạnh a . a) Chứng minh rằng AC ' vuụng gúc với mặt phẳng A' BD và đường thẳng AC ' đi qua trọng tõm của tam giỏc A' BD . b) Hóy xỏc định cỏc điểm M , N lần lượt nằm trờn cỏc cạnh A' D, CD ' sao cho MN vuụng gúc với mặt phẳng CB ' D ' . Tớnh độ dài đoạn MN theo a . Hướng dẫn giải a) Ta cú BD  AC và BD  AA' nờn BD  ACC ' A' AC '  BD . Tương tự ta chứng minh được AC '  A' D . Từ đú ta suy ra AC '  A' BD . Gọi I là giao điểm của AC và BD . Khi đú G AC ' A' I chớnh là giao điểm của AC ' và mặt phẳng A' BD . GI AI Do AC / / A'C ' 2 suy ra G là trọng tõm của tam giỏc A' BD . GA' A'C '
  48.            b) Đặt A' A m, A' D ' n, A' B ' p m n p a;m.n n.p p.m 0     và A' M x.A' D; D ' N y.D 'C            Ta cú A' M x.m x.n; D ' N y.m y.p MN MA' A' D ' D ' N y x m 1 x n y p Do đường thẳng MN vuụng gúc với mặt phẳng (CB’D’) nờn ta cú      2 y x m 1 x n y p m n 0 x MN.B 'C 0 1 y 2x 0 3       MN.D 'C 0 y x m 1 x n y p m p 0 2 y x 0 1 y 3  2   1  Vậy M, N là cỏc điểm sao cho A' M A' D; D ' N D 'C 3 3  1  1 1  a2 a 3 Do đú ta cú MN m n p MN 2 MN . 3 3 3 3 3 A B I G D C M A' B' N D' C' Bài 83.[Cao Văn Bỏ – THPT Diễn Chõu 3 – 2009-2010] Cho hỡnh chúp S.ABCD , cú đỏy là hỡnh thang với AD / / BC. M là một điểm di động bờn trong tứ giỏc ABCD . Qua M vẽ những đường thẳng lần lượt song song với SA, SB cắt cỏc mặt phẳng SBC và SAD theo thứ tự tại N và P . a) Nờu cỏch dựng cỏc điểm N, P . MN MP b) Chứng minh: khụng đổi. SA SB c) Tỡm tập hợp điểm M sao cho diện tớch của tam giỏc MNP cú giỏ trị lớn nhất. Bài 84. [TRƯỜNG THPT CẨM THUỶ I 2008-2009] Cho tam giỏc S.ABCD đỏy là hỡnh thang, đỏy lớn BC 2a , đỏy bộ AD a, AB b . Mặt bờn SAD là tam giỏc đều. M là một điểm di động trờn AB , mp P qua điểm M và song song với SA, BC .
  49. a) Tỡm thiết diện của S.ABCD với mặt phẳng mp P . Thiết diện là hỡnh gỡ? b) Tớnh diện tớch thiết diện theo a và x AM 0 x b . Tỡm giỏ trị của x để diện tớch thiết diện lớn nhất Hướng dẫn giải a) Từ M kẻ đường thẳng song song BC và SA , lần lượt cắt DC tại N , SQ tại Q . Từ Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt SC tại P suy ra được MNPQ là thiết diện. Dễ dàng chứng minh được là hỡnh thang cõn. S P Q 2a C B M b N x D a A b) * Tớnh diện tớch thiết diện MNPQ b x x ab ax Sử dụng định lý Talets ta suy ra được MQ NP .a ; PQ .2a, MN b b b ba ax 3 Từ đú tớnh ra được QK . b 2 1 3a2 Áp dụng cụng thức S MN PQ .QK b x b 3x MNPQ 2 4b2 P Q N H K M *Tỡm x để SMNPQ đạt giỏ trị lớn nhất
  50. 2 3a2 3a2 3b 3x b 3x 3a2 SMNPQ 2 3b 3x b 3x 2 12b 12b 2 12 b Dấu "=" xảy ra khi x . 3 Bài 85. [THPT Quảng Xương 2 THANH HOÁ 2009- 2010] Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD cú cạnh đỏy bằng a và đường cao SO a . a) Tớnh gúc tạo bởi hai mặt phẳng ABCD và SCD . b) Gọi I là trọng tõm tam giỏc ABO , xỏc định hỡnh chiếu H của I lờn mp SCD và tớnh độ dài IH theo a . Hướng dẫn giải a) Gọi M là trung điểm CD suy ra gúc giữa ABCD và SCD là gúc SMO , a Tam giỏc SMO vuụng tại O , SO a, OM suy ra tan SMO 2 hay SMO 63,4 . 2 b) Kẻ OK là đường cao tam giỏc SOM suy ra OK vuụng gúc mp SCD , từ I kẻ đường thẳng song song với OK trong mp SOM cắt SM tại H thỡ H là điểm cần tỡm. 5 5 a 5 a 5 Ta cú IH .OK . 3 3 5 3
  51. Bài 86. Cho tứ diện ABCD cú cỏc đường cao AA', BB ', CC ', DD ' đồng qui tại một điểm thuộc miền trong của tứ diện. Cỏc đường thẳng AA', BB ', CC ', DD ' lại cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo thứ AA' BB ' CC ' DD ' 8 tự tại A1, B1,C1, D1 . Chứng minh: . AA1 BB1 CC1 DD1 3 Bài 87. a. Cho tứ diện ABCD . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC . Trờn cạnh BD lấy điểm K sao cho BK 2 KD . Tỡm giao điểm E của đường thẳng CD với mặt phẳng IJK . Chứng minh rằng DE DC . b. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh bỡnh hành. Hai điểm M và N lần lượt thay đổi trờn cỏc BM NC đoạn thẳng SB, AC sao cho x, x 0, x 1 , Gọi G là trọng tõm tam giỏc SCD . Chứng MS NA minh rằng MN luụn song song với một mặt phẳng cố định khi x thay đổi và tỡm x để NG / / SAD . Bài 88.[ễN THI ĐỘI TUYỂN FESTIVAL – ĐỀ SỐ 3] Cho hỡnh chúp S.ABC đều cạnh a , cạnh bờn a 3 bằng . Gọi P là mặt phẳng qua A song song với BC và vuụng gúc với mặt phẳng SBC . Gọi I 2 là trung điểm của BC . a) Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp với (P).Tớnh khoảng cỏch từ điểm I đến P . b) Tớnh sin với là gúc giữa AB và P . Bài 89.[ễN THI ĐỘI TUYỂN FESTIVAL – ĐỀ SỐ 2] Cho hỡnh lăng trụ ABC.A' B 'C ' cú AB a , AC 2a, AA’ 2a 5 và gúc BAC 120O . Gọi M là trung điểm của CC ' . a) CMR: MB  MA' . b) Tớnh khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng A’BM . Bài 90.[HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH, LỚP 11, 2005] Cho tứ diện OABC cú OA, OB, OC đụi một vuụng gúc với nhau tại O . Gọi A1, B1, C1 thứ tự là trung điểm của cỏc cạnh BC, CA, AB . a) Chứng minh tam giỏc A1B1C1 là tam giỏc nhọn. b) Biết số đo 3 gúc của tam giỏc ABC là A, B, C . Gọi là số đo của gúc nhị diện C1,OA1, B1  , tỡm cos theo B và C . c) Gọi d là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 cạnh OA, OB, OC và gọi h là độ dài lớn nhất trong độ dài 3 6 đường cao của tam giỏc ABC . Chứng minh rằng: h d h 3 Bài 91.[HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH, LỚP 11, 2004] Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cú cạnh đỏy bằng a . a) Ta coi hỡnh chúp đó cho là tứ diện SABC cú trọng tõm O , gọi là gúc giữa mp SAB và mp ABC . Hóy tớnh cos để O cỏch đều tất cả cỏc mặt của SABC . b) Biết ãASB 30 . Xột mặt phẳng P thay đổi đi qua A , sao cho mp P cắt cỏc đoạn thẳng SB, SC thứ tự tại B ', C ' . Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của chu vi tam giỏc AB 'C ' theo a .
  52. Bài 92.[HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TỈNH QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2011-2012] Cho tứ diện đều S.ABC . Gọi P là mặt phẳng đi qua đường cao SO của tứ diện; mặt phẳng P cắt cỏc mặt phẳng SBC , SCA và SAB lần lượt theo cỏc giao tuyến SM , SN, SP . Cỏc giao tuyến này lần lượt tạo với mặt phẳng ABC cỏc gúc ,  , . Chứng minh: tan2 tan2  tan2  12 Bài 93.[NGHỆ AN 2015-2016] Cho hỡnh thoi ABCD cú gúc Bã AD 600 , AB 2a . Gọi H là trung điểm AB . Trờn đường thẳng d vuụng gúc với mặt phẳng ABCD tại H lấy điểm S thay đổi khỏc H . 1 Trờn tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM BC . 4 a 3 a) Khi SH , chứng minh rằng đường thẳng SM vuụng gúc với mặt phẳng SAD . 2 b) Tớnh SH theo a để gúc giữa SC và SAD cú số đo lớn nhất. Bài 94.[TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG - BèNH ĐỊNH] Trong khụng gian cho khối đa diện cú số cạnh qua mỗi đỉnh là một số chẵn .Một thiết diện tạo bởi mặt phẳng khụng đi qua đỉnh nào của khối đa diện với khối đa diện .Chứng minh số cạnh của thiết diện là một số chẵn. Hướng dẫn giải Giả sử số đỉnh của thiết diện là m ;Ta xột một tron 2k . Tổng cỏc cạnh đi qua m đỉnh mới là 3m . 2k 3m Vậy số cạnh của khối đa diện này bằng Z m là số chẵn 2 Bài 95.[VĨNH PHÚC 2009-2010] Cho hỡnh chúp S.ABCD , cú đỏy ABCD là hỡnh chữ nhật với AB a 2, BC a và SA SB SC SD 2a . Gọi K là hỡnh chiếu vuụng gúc của B trờn AC và H là hỡnh chiếu vuụng gúc của K trờn SA . a) Tớnh độ dài HK theo a . b) Gọi M , N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK, CD . Chứng minh rằng cỏc đoạn thẳng BM và MN vuụng gúc với nhau. Bài 96.[TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho tứ diện S.ABC đều, gọi I, K là trung điểm của cỏc cạnh AC và SB . Trờn đường thẳng AS và CK ta chọn cỏc điểm P,Q sao cho PQ / /BI . Tớnh độ dài PQ biết cạnh của tứ diện cú độ dài bằng 1. Hướng dẫn giải
  53. S P E Q K A I C B F Ta cú PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK và song song với BI và mặt phẳng chứa SA và song song với BI . Trong mặt phẳng SBI kẻ KE / / BI, CE cắt SA ở P . Qua A kẻ A F / / BI ( F thuộc BC ) , CK cắt SF tại Q . Vậy PQ / / BI . SP 1 Ta cú I , E là cỏc trung điểm của AC và SI SA 3 PQ SP 1 1 Mà PQ AF AF SA 3 3 3 Ta cú AF 2BI 3 . Vậy PQ . 3 Bài 97.[TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho hỡnh chúp S.ABCD , đỏy ABCD là hỡnh vuụng và SA SB SC SD . Mặt phẳng P thay đổi nhưng luụn cắt cỏc cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A , B ,C , D ( A , B ,C , D khụng trựng với đầu mỳt cỏc đoạn thẳng SB SD SB .SD SA, SB, SC, SD . Chứng minh rằng: . SA SC SA .SC Hướng dẫn giải Gọi O là tõm đỏy ABCD , O A C  B D . Ta cú S,O,O thẳng hàng (do chỳng thuộc giao tuyến hai mặt phẳng SAC và SBD ). S D' A' O' C' D C B' O A B
  54. Đặt à SC Bã SD 2 . Trong tam giỏc SA C , ta cú: 1 1 1 S S S SA .SC sin 2 SA .SO sin SO .SC sin SA C SA O SC O 2 2 2 SA SC 2cos 2SA .SC cos SO SA SC (1). SA .SC SO SB SD 2cos Tương tự với tam giỏc SB D ta được (2). SB .SD SO SB SD SA SC SB SD SB .SD Từ (1) và (2) ta suy . Ta cú ĐPCM. SB .SD SA .SC SA SC SA .SC Bài 98. [THPT QUỲNH LƯU – HOÀNG MAI NGHỆ AN 2016 - 2017] Cho hỡnh chúp S.ABCD , đỏy ABCD là nửa lục giỏc đều với BC 2a , AB AD DC a a 0 . Mặt bờn SBC là tam giỏc đều. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Cho biết SD vuụng gúc với AC . a) Tớnh SD . b) Mặt phẳng ( ) qua điểm M thuộc đoạn OB ( M khụng trựng với B ), song song với SD và AC . Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD với mặt phẳng ( ). Tớnh diện tớch thiết diện theo a và x biết BM x 3 . Tỡm x để diện tớch thiết diện đú lớn nhất. Hướng dẫn giải a) Tớnh SD +) Dựng OI song song SD ( I thuộc cạnh SB ); AC BD a 3 OA AD 1 2 2a 3 Ta cú: OC AC OC BC 2 3 3 1 2a SI BS OI BI BO 2 3 3 +) Mặt khỏc: SD BS BD 3 3 SD OI 2 28a2 +) Áp dụng định lý cosin trong tam giỏc SIC , tớnh được IC 2 9 +) Do SD  AC và OI / /SD nờn OI  AC . 4a 3 Trong tam giỏc vuụng OIC , tớnh được OI SD OI 2a . 3 2 b) Xỏc định thiết diện của hỡnh chúp S.ABCD với mặt phẳng ( ). +) Xỏc định được thiết diện là tam giỏc NPQ (với N, P, Q lần lượt nằm trờn cỏc cạnh BA, BC, BS) MQ / /SD, NP / / AC +) Ta cú: NP  MQ SD  AC
  55. 1 Diện tớch thiết diện: S NP.MQ NPQ 2 +) Trong tam giỏc SBD , tớnh được MQ 2x 3 +) Trong tam giỏc BAC , tớnh được NP x 3 2 3 3x2 +) Diện tớch thiết diện: S NPQ 2 2a 3 2a +) Vỡ M thuộc đoạn BO ( M B ) nờn 0 x 3 BO 0 x 3 3 2 3 3 2a 2a2 3 2a2 3 Do đú, SNPQ . . Vậy, min SNPQ . 2 3 3 3 AB AC Bài 99. Cho tứ diện SABC. Hai điểm I, J thứ tự chuyển động trờn AB, AC sao cho 3. Chứng AI AJ minh rằng mặt phẳng (SIJ) luụn đi qua một đường thẳng cố định. Hướng dẫn giải   Đặt AB b; AC c. Gọi M là trung điểm BC, gọi G là trọng tõm tam giỏc ABC. Gỉa sử  AB 1 AC 1 3k 1  k    k AI kb 3 AJ c IJ AJ AI c kb AI k AJ k k 3k 1 3k 1 .     2  2 b c 3k 1 1 Ta cú: GI GA AI AG kb AM kb . kb b c. Ta thấy 3 3 2 3 3  3k 1 1 1 3k k 1 3k  GI b c c kb IJ. Vậy G, I, J thẳng hàng. Hay IJ luụn đi qua 3 3 3k 3k 1 3k điểm G cố định, hay mặt phẳng (SIJ) luụn đi qua đường thẳng cố định SG. Bài 100. Cho tứ diện OABC cú OA, OB, OC vuụng gúc với nhau từng đụi một. Gọi A, B, C là ba gúc của tam giỏc ABC và ,, lần lượt là gúc tạo bởi OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng: cos2 cos2 cos2 . sin 2A sin 2B sin 2C Hướng dẫn giải Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của O trờn mặt phẳng (ABC) H là trực tõm của tam giỏc ABC. Oã AH ;Oã BH ; Oã CH 
  56. AH 2 AH 2 AH Gọi AK là đường cao của tam giỏc ABC. Ta cú: cos2 1 OA2 AH.AK AK AB2 AC 2 BC 2 2OA2 Mặt khỏc: cos A 0 2AB.AC 2AB.AC Tương tự: cos B,cosC 0 nờn tam giỏc ABC nhọn. - Gọi R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC, ta cú: BC BC 2R ; sin A sin Bã HC 2R R cũng là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tam sin A sin Bã HC giỏc BHC. - Trong tam giỏc ABH: AH 2R.sin ãABH 2R.cos A BC AH BC.AH Nờn: sin 2A 2sin A.cos A 2 . 2 2R 2R R2 cos2 A R2 Từ (1) và (2) ta cú: sin 2A S ABC cos2B R2 cos2C R2 Chứng minh tương tự ta cũng cú: ; sin 2B S ABC sin 2C S ABC Vậy ta cú ĐPCM. Bài 101. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AB=c, AC=b.Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuụng gúc với mặt phẳng (ABC) ; S là một điểm di động trờn (P) sao cho S.ABC là hỡnh chúp cú hai mặt bờn SAB, SAC hợp với đỏy ABC hai gúc cú số đo lần lượt là và . Gọi H, I, J lần lượt là hỡnh chiếu vuụng gúc 2 của S trờn BC, AB, AC. a. Chứng minh rằng SH 2 HI.HJ . b. Tỡm giỏ trị lớn nhất của SH và khi đú hóy tỡm giỏ trị của . Hướng dẫn giải Bài 102. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, tất cả cỏc cạnh bờn đều bằng a. Gọi điểm M thuộc cạnh SD sao cho SD = 3SM, điểm G là trọng tõm tam giỏc BCD. a) Chứng minh rằng MG song song với mp(SBC) b) Gọi ( ) là mặt phẳng chứa MG và song với CD. Xỏc định và tớnh diện tớch thiết diện của hỡnh chúp với mp( )
  57. c) Xỏc định điểm P thuộc MA và điểm Q thuộc BD sao cho PQ song song với SC. Tớnh PQ theo a. Hướng dẫn giải S M H D C E G F I A B Gọi I là trung điểm của BC DG DM 2 Ta cú MG / /SI DI DS 3 Mà SI  (SBC) nờn MG //(SBC) Qua G kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC tại H Thiết diện của hỡnh chúp với mp( ) là tứ giỏc EFHM Ta cú HM//EF vỡ cựng song song với CD 2a a MD HC , DE CF , MDE HCF 600 nờn tam giỏc DME bằng tam giỏc CHF 3 3 suy ra ME = HF do đú EFHM là hỡnh thang cõn 4a2 a2 2a a 1 a2 Ta cú: EM 2 DM 2 DE2 2DM.DE.cos600 2 . . 9 9 3 3 2 3 a MH ,EF = a 3 2 2 2 2 EF HM a a a 2 Gọi h là độ dài đường cao của hỡnh thang ta cú h EM 2 3 9 3 1 1 a 2 4a 2a2 2 Diện tớch thiết diện là S .h.(EF HM ) . . EFHM 2 2 3 3 9
  58. S M P D C N Q A B Qua M dựng đường thẳng song song với SC cắt CD tại N. Nối A với N cắt BD tại Q. Trong mp (AMN) từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM tại P. Ta cú PQ//MN, MN//SC nờn PQ//MN Suy ra hai điểm P, Q thỏa món điều kiện bài toỏn. MN DM 2 AQ AB 3 AQ 3 Ta cú , SC DS 3 QN DN 2 AN 5 PQ AQ 3 PQ PQ MN 3 2 2 , . . MN AN 5 SC MN SC 5 3 5 2a Suy ra PQ . 5 Bài 103. Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ cú cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và B’C’. Dựng và tớnh đoạn vuụng gúc chung của AN và DM. ’ D C’ A’ B’ N Gọi I là trung điểm của BC. NI  mp(ABCD) NI  DM (1đ) K D C H Chứng minh được: AI  DM I A M B DM  mp(AIN) Gọi H là giao điểm của AI và DM, từ H hạ HK  AN ,HK là đoạn vuụng gúc chung của AN và DM,
  59. a Tớnh được AH 5 a 5 AI 2 3a AN 2 AKH đồng dạng AIN KH AH IN AN a a 2a KH . 5 3a 3 5 2 2a 5 Vậy khoảng cỏch AN và DM là: 15 Bài 104. Cho tứ diện ABCD, Chứng minh rằng 6 mặt phẳng ,mỗi mặt phẳng đi qua trung điểm một cạnh và vuụng gúc với cạnh đối diện đồng quy tại một điểm. Bài 105. Cho hỡnh chúp SABC cú SC  ABC và tam giỏc ABC vuụng tại B. Biết AB a; AC a 3 13 và gúc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SAC) bằng với sin . Tớnh độ dài SC theo a. 19 Hướng dẫn giải Xột hai trường hợp: +) B và C khụng tự. Khi đú A 2 2 1 cosCBB ' sin C ,cosC B’ 5 5 5 BB ' 5 C’ BC H cosCBB ' 2 CC ' 4 3 Suy ra sin B ,cos B C BC 5 5 B 2 BB ' 5 1 5 sin A sin B cosC sin C cos B AB S AB.CC ' . 5 sin A 2 2 2 +) B hoặc C tự.
  60. 2 1 Do BB ' CC ' nờn B C và C tự sin C ,cosC . 5 5 4 3 2 25 25 Cũn sin B ,cos B (giống trường hợp 1) sin A , AB Suy ra S . 5 5 5 5 2 2 Bài 106. Cho tứ diện ABCD , O là điểm bất kỡ nằm trong miền tam giỏc BCD . Từ O kẻ cỏc đường thẳng song song với AB, AC, AD cắt cỏc mặt phẳng ACD , ABD , ABC lần lượt tai M , N, P . OM ON OP Chứng minh rằng: khụng đổi. AB AC AD Bài 107. Cho hỡnh hộp ABCD.A’B’C’D’ cú tất cả cỏc mặt đều là hỡnh vuụng cạnh a . a) Chứng minh rằng AC’ vuụng gúc với mặt phẳng A’BD và đường thẳng A’C đi qua trọng tõm tam giỏc A’BD . b) Hóy xỏc định cỏc điểm M , N lần lượt nằm trờn cỏc cạnh A’D, CD’ sao cho MN vuụng gúc với mặt phẳng CB’D’ . Tớnh độ dài đoạn MN theo a . Bài 108. Cho hỡnh chúp S.ABCD . Tứ giỏc đỏy cú AB và CD cắt nhau tại E . AD và BC cắt nhau tại F . AC và BD cắt nhau tại G . P là mặt phẳng cắt SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. a) Tỡm giao điểm D’ của SD và P . b) Với điều kiện nào của P thỡ A’B’C’D’ là hỡnh bỡnh hành. Bài 109. Cho tứ diện ABCD , mặt phẳng ( ) song song với hai đường thẳng AD và BC . Gọi M , N, P,Q tương ứng là giao điểm của ( ) với cỏc đường thẳng AB, AC, CD, DB . Xỏc định tất cả cỏc vị trớ của ( ) để: a) Tứ giỏc MNPQ là hỡnh thoi. b) Diện tớch thiết diện giữa ( ) và tứ diện ABCD là lớn nhất. Bài 110. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A cú AB c, AC b .Gọi P là mặt phẳng qua BC và vuụng gúc với mặt phẳng ABC ; S là một điểm di động trờn P sao cho S.ABC là hỡnh chúp cú hai mặt bờn SAB , SAC hợp với đỏy ABC hai gúc cú số đo lần lượt là và . Gọi H, I, J lần lượt là hỡnh 2 chiếu vuụng gúc của S trờn BC, AB, AC . a) Chứng minh rằng SH 2 HI.HJ . b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của SH và khi đú hóy tỡm giỏ trị của . Bài 111. Cho hỡnh lăng trụ tứ giỏc ABCD.A’B’C’D’. Một mặt phẳng (P) thay đổi song song với hai đỏy của lăng trụ, cắt cỏc đoạn thẳng AB’, BC’, CD’, DA’ tương ứng lần lượt tại cỏc điểm M, N, P, Q. Hóy xỏc định vị trớ của mặt phẳng (P) sao cho tứ giỏc MNPQ cú diện tớch lớn nhất. Bài 112. Cho hỡnh chúp S.ABCD, ABCD là hỡnh vuụng và SAB là tam giỏc đều, mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C vuụng gúc với mặt phẳng chứa tam giỏc SAB. Gọi M là một điểm di động trờn đoạn AB và P là hỡnh chiếu vuụng gúc của S lờn CM. a) Tỡm quỹ tớch của điểm P khi M di động. b) Xỏc định vị trớ của điểm M để độ dài đoạn thẳng nối M với trung điểm của đoạn SC đạt giỏ trị lớn nhất. Bài 113. Gọi O là một điểm trờn cạnh AB của tứ diện ABCD (O khụng trựng với A và B). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AOCD cắt cỏc cạnh BC và BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M và N (M C, N D). Mặt cầu ngọai tiếp tứ diện BOCD cắt cỏc cạnh AC và AD của tứ diện ABCD lần lượt tại P và Q (P C, Q D). Chứng minh rằng tam giỏc OMN đồng dạng với tam giỏc OQP. Bài 114. Cho P là một điểm cố định nằm bờn trong một hỡnh cầu cho trước. Ba đoạn thẳng PA, PB, PC đụi một vuụng gúc với nhau, cú ba đầu mỳt A, B, C nằm trờn mặt cầu. Gọi G là trọng tõm tam giỏc ABC.
  61. a) Tớnh PG theo PA, PB, PC. b) Tỡm quỹ tớch điểm G khi A, B, C thay đổi. Bài 115. Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD đỉnh S, cạnh đỏy của hỡnh chúp cú độ dài bằng 2, chiều cao bằng h. Gọi C1(O;r) là hỡnh cầu tõm O bỏn kớnh r nội tiếp hỡnh chúp; gọi C2 (K;R) là hỡnh cầu tõm K bỏn kớnh R tiếp xỳc với 8 cạnh của hỡnh chúp. Biết rằng khoảng cỏch từ O đến mặt phẳng (ABCD) bằng khoảng cỏch từ K đến mặt phẳng (ABCD). 1 h2 1 a) Chứng minh rằng: r . h b) Tớnh giỏ trị của h, từ đú suy ra thể tớch hỡnh chúp. Bài 116. Cho hỡnh lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, cú cỏc cạnh bằng a. Xột cỏc đoạn thẳng MN cú hai đầu mỳt M, N lần lượt nằm trờn cỏc đoạn thẳng BC’, CA’ và song song với mặt phẳng(ABB’A’). Tỡm theo a độ dài của đoạn thẳng ngắn nhất trong cỏc đoạn thẳng ấy. Khi MN ngắn nhất hỏi MN cú vuụng gúc với BC’ và CA’ hay khụng? Chứng minh. Bài 117. Cho tứ diện OABC cú ba cạnh OA, OB, OC đụi một vuụng gúc với nhau. Gọi H là chõn được vuụng gúc hạ từ O đến (ABC). a) Chứng minh rằng H là trực tõm tam giỏc ABC. abc 3 b) Chứng minh rằng a.S b.S c.S . HBC HAC HAB 2 Bài 118. Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh thang vuụng tại A và D, AB=2CD=2AD, SA vuụng gúc với đỏy tại A. Gọi M là trung điểm của SC, K là điểm di động trờn AB. Tỡm tập hợp hỡnh chiếu của H của M lờn CK. Bài 119. Cho tứ diện ABCD cú trọng tõm G . Tỡm điểm M sao cho tổng: MA MB MC MD đạt giỏ trị bộ nhất. GB.GC.GD GA.GC.GD GA.GB.GD GA.GB.GC