Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập giới hạn dãy số: Tính giới hạn bằng định lí kẹp - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập giới hạn dãy số: Tính giới hạn bằng định lí kẹp - Ngô Tùng Hiếu

1. 3.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 1 Bài 1. Tìm lim . n n n! Hướng dẫn giải n Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức : n! > ( ) n (*) ( n N*). 3 1 Bằng phương pháp qui nạp. Thật vậy : với n =1, ta có 1 > (đúng). 3 k Giả sử (*) đúng với n = k tức là : k! > ( )k. Ta đi chứng minh (*) đúng với. 3 n = k+1. k k 1 3 k 1 Ta có (k+1)! = k!(k+1) >( ) k (k+1) = ( )k+1. > ( )k+1. 1 3 3 (1 )k 3 k Bất đẳng thức cuối này đúng vì :. 1 k k(k 1) 1 k(k 1)(k 2) (k k 1) 1 (1+ )k =1+ + . +.+ . =. k k 2! k 2 k! k k 1 1 1 1 2 k 1 1 1 1 1 = 1+1+ (1 ) +.+ (1 )(1 ) (1 ) 0 < < . n n! n 3 Vì lim = 0. n n 1 Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra: lim = 0. n n n! 1 Vậy lim(2014 ) =2014. n n! x1 1; x2 2 5 Cho dãy số xn thoả mãn 2 x . x n 1 ;n * n 2 2 ¥ 4 xn Tính I lim xn . Từ giả thiết suy ra mội số hạng của dãy đều dương.
2. y1 0; y2 1 Đặt yn log2 xn , ta có dãy * . 2yn 2 5yn 1 2yn ;n ¥ z1 2, z2 1 z 2; z 1 1 2 2zn 2 5zn 1 zn Lại đặt yn zn 2 , ta có dãy * . 2zn 2 5zn 1 zn ;n ¥ 1 Tìm được số hạng tổng quát của dãy là z 4. . n 2n Từ đó ta có lim yn 2 lim xn 4 . 2 an 5an 10 Bài 2. Cho dãy (an )n 1 : a1 1; an 1 , n 1. 5 an a) Chứng minh dãy (an ) hội tụ và tính lim an . a a a 5 5 b) Chứng minh 1 2 n , n 1 n 2 Hướng dẫn giải 3 a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: 1 a , n . n 2 5 5 x2 5x 10 10 Đặt A và xét hàm f (x) x, (x 5) . 2 5 x 5 x 10 3 1 Suy ra f (x) 1 0, x 1; . , như vậy f (x) nghịch biến trên đoạn ;1 2 5 x 2 2 a1 a3 a5 a2k 1 A lim a2k 1 b A Dẫn đến . . a2 a4 a6 a2k A lim a2k c A Kết hợp công thức xác định dãy ta được. c2 5c 10 b 5 c 5 5 b c . b2 5b 10 2 c 5 b 5 5 Vậy lim a . . n 2 5 5 b) Nhận xét: t 1; . thì t f (t) 5 5 2 Dẫn đến a2k 1 a2k 5 5 , k 1. 5 5 a a a a 2k . (1). 1 2 2k 1 2k 2 Như vậy bất đẳng thức đúng với n 2k .
3. 5 5 Trường hợp n 2k 1, chú ý a , kết hợp với (1) thu được:. 2k 1 2 5 5 a a a a a (2k 1) . 1 2 2k 1 2k 2k 1 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. un 1 une * Bài 3. Cho dãy số thực un :u1 , un 1 ,n ¥ . Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu 2 1 eun hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Chứng minh 1 un 0,n 2 1 . 1 e Với n 2, u 2 1;0 đúng. 2 1 e Giả sử 1 đúng với n k 2 , ta chứng minh 1 đúng với n k 1. un un un une Ta có un 0 e 1 1 e 0 0 . 1 eun u eun un 1 n un un un un 1 e ; 1 une e 1 e un 1 1(luôn đúng). e 1 eun Vậy (1) được chứng minh. x x xex e 1 x e Xét hàm f x x trên ;0 . Ta có f ' x 2 . 1 e 1 ex Hàm g x 1 x ex có g ' x 1 ex 0 với mọi x ;0 nên hàm này đồng biến trên ;0 . ex 1 x ex Suy ra g x g 0 0 , suy ra f ' x 2 0 . 1 ex hay hàm f x nghịch biến trên ;0 . e e 2 1 e 1 e e 2 1 e 2 e Ta có u2 , u3 , u4 u2 . 1 e 2 1 e e 2 1 e 1 e Suy ra f u4 f u2 u5 u3 0 u1 . Quy nạp ta được dãy u2n 1 giảm và dãy u2n tăng. Hơn nữa 1 un 0,n 2 nên mỗi dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử limu2n a, limu2n 1 b a,b 1;0 , lấy giới hạn hai vế ta được.
4. beb a a b ae 1 e a 2 a a 1 e e e1 e . aea b 1 ea t a 1 2 Đặt e t t ;1 , ta được phương trình 1 t t.t1 t 2 1 t ln 1 t 1 t ln t t ln t 0 . e Hàm h t 2 1 t ln 1 t 1 t ln t t ln t nghịch biến nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm, nhận 1 thấy t là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất. 2 1 1 Suy ra a ln , thay vào được b ln . 2 2 1 Vậy limu ln . n 2 2n 3 Bài 4. Cho dãy số a ,n 1 thỏa mãn a 1,a a ,n 2 và dãy b ,n 1 thỏa mãn n 1 n 2n n 1 n n bn  ai ,n 1. Chứng minh dãy bn có giới hạn và tìm giới hạn đó. i 1 Hướng dẫn giải Ta có 2nan 2n 3 an 1 an 1 2 n 1 an 1 nan ,n 1. n Do đó bn  2 iai i 1 ai 1 2 1 n 1 an 1 . i 1 1 Ta chứng minh bằng quy nạp rằng na ,n 1. n n Thật vậy:. - Với n = 1, ta có a1 1 nên khẳng định đúng. 2 n 1 3 2n 1 1 - Giả sử khẳng định đúng với n n 1 . Ta có an 1 an , ta cần chứng minh 2 n 1 2n 2 n n 2n 1 1 1 2n 1 n 1 2n n . 2n 2 n n n 1 n 1 4n2 4n 1 n 1 4n3 1 3n . Bất đẳng thức cuối đúng nên khẳng định trên đúng với n 1. Theo nguyên lí qui nạp thì khẳng định được chứng minh. 1 Ta có 2 1 2 1 n 1 an 1 bn 2 . n 1 Theo nguyên lí kẹp thì dãy bn có giới hạn và limbn 2 .
5. 1 u1 2 Bài 5. Cho dãy số bn được xác định bởi: . 1 1 u u u 2 n 1 n n n 2 4 Chứng minh dãy số hội tụ và tìm limun . x Hướng dẫn giải 1 Ta chứng minh u cot ;n ¥ (*) . n 2n 2n 1 1 1 Thật vậy: n 1 : u cot . 1 21 21 1 2 (*) đúng với n 1. 1 Giả sử (*) đúng tới n k , k ¥ * , nghĩa là có : u cot . k 2k 2k 1 1 1 Ta chứng minh (*) cũng đúng với n= k+1. Thật vậy u u u 2 . k 1 k k k 2 4 1 1 1 1 1 cot cot2 cot cot2 1 . k k 1 k k 1 k k 1 k 1 k 1 2 2 2 4 2 4 2 2 2 1 1 cot ( vì khi k thì 0; sin 0 ). k 1 k 1 k 1 2 2 sin 2 2k 1 cos 1 2cos2 1 k 1 1 k 2 1 . 2 2 cot . k 1 k 1 k 1 k 2 2 sin 2 2sin cos 2 2 2k 1 2k 2 2k 2 (*) cũng đúng với n k 1. 1 Vậy u cot ;n ¥ . n 2n 2n 1 cos 2n 1 1 2n 1 2 2 limun lim . lim cos . x x n x n 1 2 2 2n 1 2n 1 2 Vậy dãy hội tụ và có limun . x Bài 6. Cho phương trình: xn x2 x 1 0 với n N, n 2 . 1)Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n 2 , thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất xn . 2)Xét dãy số sau đây: Un n xn 1 , n 2,3,4, Tìm limUn ? .
6. Hướng dẫn giải Xét phương trình: f x x n x 2 x 1 0 , với n nguyên, n 2 (1). +) Ta có: f ’ x nxn 1 – 2x –1. Do n 2 , nên khi x 1 thì f ’ x 0 . Vậy f x là hàm số đồng biến trên 1; . Lại có: f 1 2 0 ; f 2 2n – 7 0 ( vì n nguyên và n 2 n 3). Ta có: f 1 f 2 0 và f x liên tục, đồng biến nên phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất trên 1; . +) Mặt khác với 0 x 1 thì xn x2 ( do n 2 ) suy ra f x 0 với mọi 0 x 1. Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên, n 2 . n 2 Gọi xn là nghiệm dương duy nhất của phương trình x – x – x –1 0 . Bây giờ xét dãy Un với Un n xn 1 , n 3,4,5, . n 2 n 2 Ta có: xn xn xn 1 0 hay xn xn xn 1 . Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:. 2 xn xn 1 1   1 n 2 2 n so 1 xn xn xn 1 n xn xn 1 .1.1 1 < (2). n 1 sô 1 n 2 (Chú ý rằng ở đây 1 xn nên xn xn 1 1, vì thế trong bất đẳng thức không có dấu bằng). 6 +) Mặt khác do x 2 , nên x 2 x 6 , nên từ (2) có: 1 x 1 (3). n n n n n 6 Bất đẳng thức (3) đúng với mọi n 3 và lim 0 nên từ (3) ta có: lim x 1. n n 2 n 2 2 ln xn xn 1 +) Ta có: xn xn xn 1 nln xn ln xn xn 1 n . ln xn xn 1 2 Từ đó: n xn 1 ln xn xn 1 (5). ln xn Đặt yn xn 1 lim yn 0 . Ta có: suy ra từ (5) limUn lim n xn 1 ln 3. Vậy: limUn ln 3 . ln xn ln yn 1 ln t 1 Bài 7. Cho số thực a, xét dãy số xn được lim lim lim 1 xác định bởi n 1 t 0 xn 1 yn t 3 xn 6xn 6 x1 a, xn 1 2 ,n 1,2, Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn hữu 3xn 9xn 7 hạn, tìm giới hạn đó?.
7. Hướng dẫn giải Với a 1thì xn 1,n 1nên lim xn 1. n 3 3 xn 1 1 xn 1 2 Với a 1 thì xn 1 2 , xn 2 2 ,n 2 . 3xn 1 9xn 1 7 3xn 1 9xn 1 7 3 3n 1 xn 2 xn 1 2 a 2 Do đó ,n 1. xn 1 xn 1 1 a 1 n 1 n 1 2 a 1 3 a 2 3 Từ đó, tính được xn n 1 n 1 ,n 1,. a 2 3 a 1 3 3 Kết luận + a a 1 a 2 lim xn 2 . 2 n 3 + a a 1 a 2 lim xn 1. 2 n 3 3 3 + a xn ,n 1 lim xn 2 2 n 2 2012 u1 Bài 8. Cho dãy số (un ) xác định như sau: 2013 . Tìm lim un . n 2 un 2un 1 1 0 , n 1,2,3, Hướng dẫn giải u2 1 Ta có : u 2 2u 1 0 u n . n n 1 n 1 2 2 x2 1 x2 1 1 Xét hàm số : f (x) . 2 2 2 2 f '(x) x . . x 1 0 1 2 Ta có :. f x 0 f x 3 0 8 1 2 1 1 1 3 u 1 u 0 u 0. 2 1 2 2 2 3 8 Vậy : n 2 thì 1 un 0 . u2 1 u 2 2u 1 0 u n . n n 1 n 1 2
8. x2 1 1 Gọi a là nghiệm của : x ( x ( ;0)) a 1 2 . 2 2 Ta có : un 1 a f (un ) f (a) . Theo định lí La-grăng : f (un ) f (a) f '(a) . un a . 1 1 Do f '(a) f (u ) f (a) u a . 2 n 2 n 2 n 1 1 1 un 1 a un a un 1 a u1 a . 2 2 2 n 1 Mà lim 0 lim (un 1 a) 0 lim un 1 a 1 2 . n 2 n n Vậy : lim un 1 2 . n 1 u0 2 Bài 9. Cho dãy số u  xác định như sau: 2 . Chứng minh rằng dãy số u  n u 5 n n un 1 ,n ¥ 2 un 2 có giới hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải * Vì 0 u0 1 nên 0 un 1,n ¥ . 9 * Áp dụng BĐT Cauchy ta có un 2 6 . Dấu bằng xảy ra un 1. un 2 9 un 2 6 ,n ¥ . un 2 2 un 5 1 9 * un 1 un 2 2 1,n ¥ . 2 un 2 2 un 2 1 9 * un 1 un un 1 . 2 2 un 2 1 9 Xét hàm số f x x 1 . 2 2 x 2 1 9 f ' x 0,x 1 f x nghịch biến trên 1; . 2 2 x 2 2 * * Vì un 1 f un f 1 0 un 1 un ,n ¥ . ungiảm và bị chặn dưới un có giới hạn hữu hạn. 2 un 5 * Giả sử limun a 1 a . Từ un 1 chuyển qua giới hạn ta có. 2 un 2
9. a2 5 a 1 a . 2 a 2 a 5(loai) * Vậy limun 1. 2 * un 1 Bài 10. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: u1 4 và un 1 un 2 , với n ¥ . Tìm lim . n u1.u2 un Hướng dẫn giải Với mọi n 1,2, ; ta có. 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 un 1 4 un 2 4 un 4un un un 4 un .un 1(un 1 4) . 2 2 2 2 2 2 un un 1 u2 u1 (u1 4) 12 un .un 1 u1 (1). 2 u 4 Từ (1) ta có: n 1 12 ; n 1,2, (2). u .u u 2 1 2 n u1.u2 un 2 Mặt khác, vì u1 4 2 nên từ un 1 un 2 và chứng minh bằng quy nạp ta thu được un 2 với mọi n 1,2, 4 4 Do đó u .u u 2n ; n ¥ * . Khi đó, 0 ; n 1,2, 1 2 n 2 22n u1.u2 un 4 nên theo nguyên lý kẹp giữa ta có: lim 0 . n 2 u1.u2 un 2 u Vậy, từ (2) suy ra: lim n 1 12 . n u1.u2 un Mặt khác, hàm số f (x) x liên tục trên nửa khoảng [0; ) nên. 2 2 u u u lim n 1 lim n 1 lim n 1 12 . n n n u1u2 un u1u2 un u1u2 un u Kết luận: lim n 1 12 . n u1.u2 un Bài 11. a) Chứng minh rằng có đúng một dãy số thực (xn )n 0 thỏa mãn. x x x 1, 0 x 1n 1và (1 x )2 (1 x )2 n n 1 n 1 0 n n n 1 2 b) Với dãy (xn ) xác định như trên, xét dãy (yn )n 0 xác định bởi yn x0 x1 xnn 0. Chứng minh rằng dãy (yn )n 0 có giới hạn hữu hạn khi n . Hãy tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải
10. a) Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng xn xác định duy nhất với mỗi n 0. Để làm được điều này ta cần dùng kết quả (chứng minh của nó là đơn giản) sau: Với mỗi số thực m [0;1] , phương trình t m (1 t)2 (1 m)2 có đúng một nghiệm trên [0;1] . 2 1 1 1 1 1 b) Để ý rằng y x (x x ) (x x )  (x x ) x n 1 n 2 0 2 0 1 2 1 2 2 n 1 n 2 n 3 Ta có giới hạn cần tìm bằng . . 2 Bài 12. Giả sử Fn n 1,2, là dãy Fibonacci ( F1 F2 1; Fn 1 Fn Fn 1 với ). Chứng minh rằng Fn 1 1 nếu a với mọi n 1,2,3, thì dãy số xn , trong đó x1 a, xn 1 n 1,2,3 , Fn 1 xn là xác định và nó có giới hạn hữu hạn khi n tăng lên vô hạn. Tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Giả sử x1, x2 , , xm đã được xác định. Khi đó xm 1 được xác định khi xm 1. 1 * Nếu xm 1 thì do xm nên xm 1 2 . 1 xm 1 F2 F3 Từ giả thiết F1 F2 1; Fn 1 Fn Fn 1 ta viết xm , xm 1 . F1 F2 Fi 2 Giả sử xm i , với i nào đó, 0 i m 2 . Fi 1 1 1 Fi 1 Fi 3 Vì xm i nên xm i 1 1 1 . 1 xm i 1 xm i Fi 2 Fi 2 Fm 1 Fm 1 Khi đó x1 . Mâu thuẫn với giả thiết x1 . Như vậy (xn ) là dãy số xác định. Fm Fm 1 5 1 5 1 Phương trình x x2 x 1 0 có hai nghiệm u ,v . Có hai trường hợp xảy ra:. 1 x 2 2 5 1 Trường hợp 1: x1 v . Khi đó xn x1,n 1. Do đó lim xn . n 2 1 1 v Trường hợp 2: x1 v . Chú ý v xn xn v . Do đó xn v,n 1. 1 xn v xn u Đặt zn , ta có. xn v 1 u x u 1 x (1 u) ux u2 ux u x u u z n 1 n n n . n .z . n 1 x v 1 (1 v) vx v2 vx v x v v n n 1 v n n n 1 xn
11. n u u Từ đó có zn .z1 nên zn 0 khi n (vì 1). v v xn u u vzn Từ zn suy ra xn dần tới u khi n (do zn 0 ). xn v 1 zn 5 1 Tức là trong trường hợp này lim xn . n 2 3 Bài 13. Cho dãy số yn thỏa mãn y1 0, yn 1 y1 y2 yn ,n 1. Chứng minh rằng dãy số y  n  có giới hạn bằng 0 khi n . n  Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có y3 y y3 ,n 2 , do đó dãy số y là dãy tăng, vì. n 1 n n nn 2 3 3 2 2 vậy yn 1 yn yn yn (yn 1) yn 1(yn 1) . 2 2 2 2 2 yn 1 yn 1,n 2 yn 1 yn 1 y2 n 1. 2 2 2 yn 1 y2 n 1 y2 n 1 2 . Mà lim 2 0 nên theo định lý kẹp ta có. n 1 (n 1) (n 1) 2 yn 1 yn 1 yn lim 0 lim 0 lim 0. n 1 n 1 n 3 3 3 Bài 14. Cho un là một dãy số dương. Đặt Sn u1 u2 un với n 1,2, Giả sử 1 un 1 Sn 1 un un 1 với n 2,3, Tìm limun . Sn 1 Hướng dẫn giải 3 Ta có Sn 1 Sn un 1 0,n 1,2, Sn là dãy số tăng. 3 Nếu dãy số Sn bị chặn trên thì Sn là một dãy hội tụ và limun lim Sn 1 Sn 0 limun 0 . Xét trường hợp dãy số Sn không bị chặn trên thì lim Sn . Từ giả thiết ta có Sn 1un 1 un Snun un 1,n 2,3, . Từ đây ta thu được Snun un 1 S2u2 u1,n 2,3, un 1 S2u2 u1 S2u2 u1 Do đó un 0 un ,n 2,3, Sn Sn Sn Theo nguyên lí kẹp ta có limun 0 . Vậy trong mọi trường hợp ta đều có limun 0 .
12. u1 1 Bài 15. Cho dãy số (un ) xác định bởi công thức truy hồi: 1 * . Chứng minh u u 2,n n 1 n ¥ un rằng dãy (un ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 1 1 1 Đặt f (x) x 2; g(x) f ( f (x)) x 2 2 . Khi đó. 1 x x x 2 x 2 2 x x2 1 2 1 1 g '(x) 2 0 g(x) g( ) 0 f ( f (x)) x,x ( ;1) (*) 4 1 2 2 x x 2 x 1 Mặt khác f '(x) 0,x ( ;1) nên. 2 1 1 1 1 1 f (x) f ( ) f ( f (x)) f ( ) ,x ( ;1) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 Từ (*) và ( ) suy ra: f ( f (x)) x,x ( ;1) 2 2 1 1 Vậy: 1 u u 1 u u u , Do đó (u ) là đơn điệu giảm và bị chặn dưới nên tồn 1 3 2 1 3 5 2 2n 1 1 tại limu2n 1 n 2 1 Vì f (x) liên tục trên ;1 nên. 2 1 u2n f (u2n 1) limu2n f limu2n 1 n n 2 Vậy dãy (un ) được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn. Do đó dãy (un ) có giới hạn 1 bằng 2 Bài 16. Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:. 1. f x y f (x) f (y) với mọi x, y ¡ . 2. f (x) ex 1 với mỗi x ¡ . Hướng dẫn giải f x 0 f (x) f (0) f (0) 0 và bởi vì f (0) e0 1 0 nên f (0) 0 . f (x ( x)) f (x) f ( x) f (x) f ( x) 0 (1) .
13. x x x f (x) f f 2 e 2 1 . 2 2 x x x x f (x) 2 e 2 1 f (x) f f 4 e 4 1 . 2 2 x Dùng quy nạp theo ta CM được 2n . n 1,2, f (x) 2 e 1 x0 Cố định x ¡ ta có f (x ) 2n e 2n 1 . 0 0 x0 x0 2n n 2n e 1 Xét dãy an 2 e 1 ta có : lim an lim x0 x0 . x0 2n Vậy f (x0 ) x0 ,x0 ¡ (2) . Vậy f (x) f ( x) x ( x) 0 (3) . Kết hợp ( 1) và (3) ta được f (x) f ( x) 0 . Từ (2) f ( x) x f (x) x (4) . Kết hợp ( 2) và (4) ta được f (x) x,x ¡ . Thử lại f (x) x ta thấy đúng. x1 1, Bài 17. Cho dãy số x được xác định như sau 3 . Chứng minh rằng x có n xn n xn 1 xn n 1 n2 giới hạn hữu hạn khi n dần đến vô cùng. Hướng dẫn giải Dễ thấy xn 0 , với mọi n nguyên dương, nên dãy số đã cho là dãy tăng thực sự. Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên. * Ta chứng minh xn 8,n ¥ . Thật vậy, với n 1 x1 1 8 nên điều cần chứng minh đúng. Giả sử ta có: xn 8 , với n nguyên dương. Ta cần chứng minh xn 1 8. n 3 x n 1 Theo công thức xác định dãy số có: x x k 1 2 1 2.2 8 . n 1 1  2  2 k 1 k k 1 k Do đó xn 8 với mọi n nguyên dương từ đó suy ra điều phải chứng minh.
14. 1 3 a ;a 1 4 2 10 Bài 18. Cho dãy số thực an xác định bởi . Chứng minh rằng dãy 1 a a2 a n n 1 ,n ¥ ,n 2 n 2 6 3 an có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Có a1,a2 0;1 , giả sử a1,a2 , ,ak 0;1 ,k ¥ ,k 2 . Từ công thức truy hồi ta có:. 1 1 a a2 1 1 1 0 0 a k k 1 1, vì 0 a ,a 1 a 0;1 . 2 k 1 2 6 3 2 6 3 k 1 k k 1 * Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được an 0;1 ,n ¥ . 1 3 x x y y 1 2 4 1 2 10 Xét hai dãy số mới xn : và yn : với n ¥ ;n 2 . 1 x x2 1 y y2 x n n 1 y n n 1 n 1 2 6 3 n 1 2 6 3 1 Có 0 x x x 1, giả sử ta có 0 x x x 1,k ¥ ,k 3 , khi đó. 1 2 2 3 1 2 k 1 x x2 1 x x2 x k 1 k 2 k k 1 x . k 2 6 3 2 6 3 k 1 Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được xn là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có giới hạn hữu hạn lim xn . 3 1 2 Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được 2 . 2 6 3 1 Do xn  0;1 nên suy ra 1. Chứng minh tương tự đối với dãy số yn , ta cũng có lim yn 1. * Cuối cùng ta chứng minh xn an yn ,n ¥ (1) bằng phương pháp quy nạp:. Ta có x1 a1 y1 và a2 x2 y2 , với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng. Giả sử (1) đúng tới k ¥ ,k 2 , tức là xi ai yi ,i 1,2, ,k . Khi đó. 1 x x2 1 a a2 1 y y2 x k k 1 a k k 1 k k 1 y . k 1 2 6 3 k 1 2 6 3 2 6 3 k 1 Từ xn an yn ,n ¥ ,n 1 và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được lim an 1. 2 2 Bài 19. Cho hai dãy số an ; bn xác định bởi a1 3,b1 2 , an 1 an 2bn và bn 1 2anbn với n = 1, 2n 2n 2, 3, . Tìm lim bn và lim a1a2 an . n n Hướng dẫn giải
15. Với mọi n = 1,2,3, ta có. 2 2 2 an 1 bn 1 2 an 2bn 2 2anbn an bn 2 . Do đó:. 2 22 2n 1 2n 1 2n an bn 2 an 1 bn 1 2 an 2 bn 2 2 a1 b1 2 3 2 2 2 1 . 2n Tương tự ta có: an bn 2 2 1 . 1 2n 2n 1 2n 2n Từ đó: an 2 1 2 1 ;bn 2 1 2 1 . 2 2 2 2n 2n n 2 1 n 2 1 2 2n 2n 2 Chú ý: bn an 2 1 và lim 2 1, nên theo nguyên lí kẹp ta có: 4 2 n 4 2 2n 2n lim bn lim an 2 1. n n bn 1 b2 b3 bn 1 bn 1 Mặt khác: bn 1 2anbn hay an (n 1) . Suy ra: a1a2 an . n . Do đó 2bn 2b1 2b2 2bn 2 2 1 2n 2n 2n lim a1a2 an = lim bn 1 2 1 3 2 2 (vì lim 1). n n n 2n 1 3 a ;a 1 4 2 10 Bài 20. Cho dãy số thực an xác định bởi . Chứng minh rằng dãy 1 a a2 a n n 1 ,n ¥ ,n 2 n 2 6 3 an có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải + Ta Có a1,a2 0;1 , giả sử a1,a2 , ,ak 0;1 ,k ¥ ,k 2 . Từ công thức truy hồi ta có:. 1 1 a a2 1 1 1 0 0 a k k 1 1, vì 0 a ,a 1 a 0;1 . 2 k 1 2 6 3 2 6 3 k 1 k k 1 * Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được an 0;1 ,n ¥ . 1 x x 1 2 4 + Xét hai dãy số mới xn : . 1 x x2 x n n 1 ,n ¥ ,n 2 n 1 2 6 3 3 y y 1 2 10 và yn : . 1 y y2 y n n 1 ,n ¥ ,n 2 n 1 2 6 3 1 - Có 0 x x x 1, giả sử ta có 0 x x x 1,k ¥ ,k 3 , khi đó. 1 2 2 3 1 2 k
16. 1 x x2 1 x x2 x k 1 k 2 k k 1 x . k 2 6 3 2 6 3 k 1 Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được xn là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1, nên nó có 3 1 2 giới hạn hữu hạn lim x . Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được 2 . n 2 6 3 1 Do xn  0;1 nên suy ra 1. - Chứng minh tương tự đối với dãy số yn , ta cũng có lim yn 1. * - Cuối cùng ta chứng minh xn an yn ,n ¥ (1) bằng phương pháp quy nạp:. Ta có x1 a1 y1 và a2 x2 y2 , với n = 1, 2 bất đẳng thức (1) đúng. Giả sử (1) đúng tới k ¥ ,k 2 , tức là xi ai yi ,i 1,2, ,k . Khi đó. 1 x x2 1 a a2 1 y y2 x k k 1 a k k 1 k k 1 y . k 1 2 6 3 k 1 2 6 3 2 6 3 k 1 + Từ xn an yn ,n ¥ ,n 1 và áp dụng định lý kẹp ta suy ra được lim an 1. 1 Bài 21. Tìm giới hạn: lim(2014 ) . n n! Hướng dẫn giải n n * Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: n! (*) n N ). 3 1 Bằng phương pháp qui nạp. Thật vậy: với n 1, ta có 1 (đúng). 3 k k Giả sử (*) đúng với n k tức là: k! . Ta đi chứng minh (*) đúng với. 3 n k 1. k k k 1 3 k 1 Ta có k 1 ! k! k 1 k 1 ( )k 1 . ( )k 1 . 1 3 3 (1 )k 3 k Bất đẳng thức cuối này đúng vì:. k 1 k k(k 1) 1 k(k 1)(k 2) (k k 1) 1 1 1 . 2 . 2 k k 2! k k! k 1 1 1 1 2 k 1 1 1 (1 ) (1 )(1 ) (1 ) 2! k k! k k k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2! n! 2 2n 1 2 2n 1 1 . 1 3 1 1 2
17. n n n n Vậy (*) đúng với n k 1. Do đó n! , từ đây ta suy ra n!> . 3 3 1 3 3 => 0 . Vì lim 0 . n n! n n n 1 Do đó theo định lý về giới hạn kẹp giữa ta suy ra: lim = 0. n n n! 1 Vậy lim(2014 ) =2014. n n!