Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập giới hạn dãy số: Tính giới hạn bằng các công thức cơ bản - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập giới hạn dãy số: Tính giới hạn bằng các công thức cơ bản - Ngô Tùng Hiếu

1. 3.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN u1 1 Bài 1. Cho dãy số an thỏa mãn 1 . Tìm tất cả các số thực a sao cho dãy số un 1 un n ¥ * 3 un ua x xác định bởi x n ( n ¥ *) hội tụ và giới hạn của nó khác 0. n n n Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có dãy số un là dãy số dương và tăng(1). 1 Giả sử u bị chặn trên suy ra nó hội tụ. Đặt L limu , ta có ngay L L (vô lý). n n 3 L Vì vậy un không bị chặn trên (2). Từ (1) và (2) ta có limun . 4 4 3 3 1 Xét lim un 1 un . Đặt vn 4 ( n ¥ *), ta có limvn 0 . 3 un 4 3 4 4 4 1 1 1 1 v 3 1 v3 4v2 6v 4 u 3 u 3 v 4 n n n n . n 1 n 3 n v v 8 4 4 n n 1 v 3 1 v 3 1 vn n n 4 4 4 3 3 3 4 un 4 Suy ra lim un 1 un . Từ đó lim (sử dụng trung bình Cesaro). 3 n 3 4 khi a 4 3 a 4 u u 3 a 4 Ta có lim n lim n .u 3 0 khi a . n n n 3 4 4 khi a 3 3 4 Vậy a là giá trị cần tìm. 3 1 u ;u 3 1 2 2 Bài 2. Cho dãy số u xác định như sau: n u .u 1 n 1 n * un 2 ,n N un 1 un a) Chứng minh rằng tồn tại vô số giá trị nguyên dương của n để un 1. b) Chứng minh rằng un có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải
2. * un 1 1 un 1 a) Trước hết ta luôn có un 0, n N . Xét un 2 1 (1). un 1 un * * Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được u3n , u3n 1 1,n N và u3n 2 1, n N . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. un 1 1 un 1 b) Ta có un 2 1 (2). un 1 un u 1 u 1 u 1 Chia vế của (1) cho (2) có n 2 n 1 . n ,n N * . un 2 1 un 1 1 un 1 un 1 * * Đặt vn n N , ta có vn 2 vn 1.vnn N . un 1 Fn 1 Fn 2 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được vn v2 .v1 , với Fn là dãy số Phibonxi: F1 F2 1 * . Fn 2 Fn 1 Fn ,n N F F 1 n 1 1 n 2 Hay vn . 0 khi n , dẫn đến limun 1. 2 3 Bài 3. Cho dãy số un được xác định như sau. u1 1 . u u u 2 u 4 u 6 16,n * n 1 n n n n ¥ n 1 Đặt vn  , hãy tính limvn . i 1 ui 5 Hướng dẫn giải * Dễ thấy un 0,n ¥ . Theo bài ra ta có. 2 2 2 2 2 un 1 un 6un un 6un 8 16 un 6un 4 un 6un 4 . 1 1 1 Suy ra un 1 1 un 1 un 5 . un 1 1 un 1 un 5 n 1 n 1 1 1 1 1 1 Do đó vn   . i 1 ui 5 i 1 ui 1 ui 1 1 u1 1 un 1 1 2 un 1 1 2 Mặt khác, từ un 1 un 6un 4 ta suy ra un 1 6un . Kết hợp với u1 1 ta có. n 1 * 1 un 6 ,n ¥ limun lim 0 . un 1 1
3. 1 1 1 Từ đó ta có limvn lim . 2 un 1 1 2 * 2 * Bài 4. Cho dãy số thực un với n ¥ thỏa mãn ln 1 un nun 1,n ¥ . n 1 nu Tìm lim n . n un Hướng dẫn giải * 2 Với mỗi n ¥ , đặt fn x ln 1 x nx 1, x ¡ . 2 2x x 1 Ta có f ' x n n 1 0 . n 1 x2 1 x2 ' x 1 fn x 0 . n 1 Do đó fn x là hàm tăng thực sự trên ¡ . fn 0 1 0 Ta có 1 1 . fn ln 1 2 0 n n 1 Do đó !u ¡ sao cho f u 0 và 0 u . n n n n n Ta thấy lim un 0 . n 1 2 u2 lim ln 1 un n 1 Do đó: n . 2 lim nun lim 1 ln 1 un 1 n n 2 1 n 1 nu nln 1 un n 2 u2 Vậy lim lim lim nun ln 1 un n 1 n n n un un 4 a1 Bài 5. Cho dãy số an thỏa mãn: 3 n 1,n ¥ . 2 2 n 2 an n an 1 n 1 anan 1 Tìm lim an . Hướng dẫn giải 2 2 * n 2 n Dễ thấy an 0,n ¥ . Từ giả thiết ta có n 1 . an 1 an * 1 1 Với mỗi n ¥ , đặt yn ta có y1 1 và. an 4
4. 2 2 1 2 1 2 2 n n 2 yn 1 n yn n 1 n 2 yn 1 n yn yn 1 2 yn . 4 4 n 2 2 2 2 2 n 1 n 2 1 4 4n2 n 1 Do đó yn y1 2 an 2 . n 1 n 1 3 n 1 n2 16 n2 n 1 Vậy lim an 4 . Bài 6. Tính các giới hạn sau: x3 8 2x 1 a) lim 2 . b) lim . x 2 x 4 x 2 x 2 Hướng dẫn giải 2 x3 8 x 2x 4 a).lim lim 3 . x 2 x2 4 x 2 x 2 2x 1 b) lim . x 2 x 2 x x2 xn n Bài 7. Tính giới hạn lim . x 1 x 1 Hướng dẫn giải x x2 xn n (x 1) (x2 1) (xn 1) lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 (x 1)[1 (x 1) (x2 x 1) (xn 1 1)] lim . x 1 x 1 lim 1 (x 1) (x2 x 1) (xn 1 1) . x 1 n(n 1) 1 2 3  n 2 . n 1 ax 1 a Bài 8. Cho n là số nguyên dương và a 0 .Chứng minh rằng: Lim x 0 x n Hướng dẫn giải Đặt y n 1 ax, khi đó từ x 0 y 1 n 1 ax y 1 y 1 a Vậy Lim aLim a Lim x 0 x y 1 yn 1 y 1 y 1 yn 1 yn 2 y n Bài 9. Tính các giới hạn sau:. 1 13 53 93 (4n 3)3 cos5x xsin x a/ lim 2 b/ lim . n 1 5 9 (4n 3) x 0 cos3x Hướng dẫn giải Câu a.
5. n n 13 53 93 (4n 3)3 (4i 3)3 (64i3 144i2 108i 27) . i 1 i 1 n n n = 64i3 144i2 108i 27n . i 1 i 1 i 1 n(4n 2) 1 5 9 (4n 3) 2n2 n . 2 n n n 2 n(n 1) 2 n(n 1)(2n 1) 3 n(n 1) Mà ta có các công thức: i ; i ; i . i 1 2 i 1 6 i 1 2 Do đó: P(x) 13 53 93 (4n 3)3 là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 64 / 4 16 . 2 Và Q(x) 1 5 9 (4n 3) là một đa thức bậc 4 có hệ số bậc 4 là 4 . 13 53 93 (4n 3)3 16 Do đó: lim 4 . n 1 5 9 (4n 3)2 4 Câu b. cos5x cos3x 1 cos3x xsin x.cos3x cos5x xsin x cos5x cos3x cos5x cos3x lim = lim 1 . x 0 cos3x x 0 cos3x cos5x cos3x 2sin 4xsin x sin 4x sin x 8 Vì lim lim lim . . 8 . x 0 xsin x.cos3x x 0 xsin x.cos3x x 0 4x x cos3x 1 1 xsin x cos5x cos3x cos5x 8 Vì lim 0 và áp dụng công thức lim 1 u u e , nên lim e . x 0 cos3x u 0 x 0 cos3x x 2 1 Bài 10. Cho dãy số xn thỏa mãn x 2x 3x (n 1)x . Tìm limu với x 1 2 3 n 1 ,n 1,n . n n 2 ¥ n(n 1) 3 un (n 1) xn . . Hướng dẫn giải 1 Ta có x . 2 3 Với n 3: x 2x 3x nx n3 x (1). 1 2 3 n n 3 x1 2x2 3x3 (n 1)xn 1 (n 1) xn 1 (2). 3 3 Từ (1) và (2) ta có nxn n xn (n 1) xn 1 . (n 1)3 x n 1 n Suy ra x n 1 ( )2. .x . n n3 n n n 1 n 1 n 1 n 2 2 n n 1 3 x ( )2.( )2 ( )2. . x . n n n 1 3 n 1 n 4 2
6. 4 4(n 1)2 x suy ra limu = lim 4 . n n2 (n 1) n n2 3x 1.3 2 x 2 Bài 11. Tính giới hạn hàm số : L lim . x 1 x 1 Hướng dẫn giải Ta có:. 3x 1.3 2 x 2 3x 1.3 2 x 3x 1 3x 1 2 lim lim . x 1 x 1 x 1 x 1 3 2 x 1 3x 1 2 = lim 3x 1 lim . x 1 x 1 x 1 x 1 3 3 2 3 ( 2 x 1) (2 x) 2 x 1 ( 3x 1 2)( 3x 1 2) = lim 3x 1 lim . x 1 (x 1) 3 (2 x)2 3 2 x 1 x 1 (x 1)( 3x 1 2) (2 x 1) (3x 1 4) = lim 3x 1 lim . x 1 (x 1) 3 (2 x)2 3 2 x 1 x 1 (x 1)( 3x 1 2) ( 3x 1) 3 1 = lim lim = . x 1 3 (2 x)2 3 2 x 1 x 1 ( 3x 1 2) 12 x2 3 2011x 2009 Lim Bài 12. Tính: x 1 x 1 . Hướng dẫn giải x2 3 2 2011(x 1) x2 3 4 lim lim[ 2011] x 1 x 1 x 1 (x 1)( x 3 2) . x 1 4021 lim( 2011) x 1 x 3 2 2 4 a 1 3 Bài 13. Cho dãy số an thỏa mãn: n 1,n ¥ . Tìm lim an . 2 2 n 2 an n an 1 n 1 anan 1 Hướng dẫn giải 2 2 * n 2 n Dễ thấy an 0,n ¥ . Từ giả thiết ta có n 1 . an 1 an * 1 1 Với mỗi n ¥ , đặt yn ta có y1 1 và. an 4 2 2 1 2 1 2 2 n n 2 yn 1 n yn n 1 n 2 yn 1 n yn yn 1 2 yn . 4 4 n 2
7. 2 2 2 2 n 1 n 2 1 4 4n2 n 1 Do đó yn y1 2 an 2 . n 1 n 1 3 n 1 n2 16 n2 n 1 Vậy lim an 4 . 1 a Bài 14. Cho dãy số xn thỏa mãn x1 0, xn (3xn 1 3 ), n 2,3, 4 xn 1 Hướng dẫn giải 1 a 4 Ta có xn (xn 1 xn 1 xn 1 3 ) a với mọi n 2 . 4 xn 1 Do đó dãy xn bị chặn dưới. xn 3 a 3 1 Với mọi n 3 , ta có 4 1 xn xn–1 . xn 1 4 4xn 1 4 4 Do đó xn là dãy giảm. 4 Từ đó suy ra dãy xn có giới hạn và dễ dàng tìm được lim xn a . x1 3 Bài 15. Cho dãy số thực xn : 1 . Xét dãy số yn cho bởi : x 3 ,n 1,2,3, n 1 xn (3 5)n yn n ;n 1,2,3, Chứng minh dãy số yn có giới hạn hữu hạn và tính giớn hạn đó. 2 .x1.x2.x3 xn Hướng dẫn giải 1 . Ta có : xn 1 3 xn .xn 1 3xn 1 ;n 1,2,3, xn . Đặt : zn x1.x2.x3 xn thì ta có zn 2 x1.x2.x3 xn .xn 1.xn 2 . zn .xn 1.xn 2 . zn .(3xn 1 1) . 3zn xn 1 zn . 3zn 1 zn . z1 x1 3 8 Khi đó : z2 x1.x2 3. 8 . Suy ra zn là dãy truy hồi tuyến tính cấp 2. 3 zn 2 3zn 1 zn ;n 1,2,3, 3 5 Xét phương trình đặc trưng : t 2 3t 1 0 t . 2
8. n n 3 5 3 5 Dãy có số hạng tổng quát dạng z  . n 2 2 3 5 3 5  3 5 3 5 2 2 10 trong đó : . 7 3 5 7 3 5 5 3 5   8 2 2 10 . Lúc này, ta có. n n 3 5 3 5 n (3 5) 2 2 1 yn n n n n . 2 .x1.x2.x3 xn zn 3 5 3 5 3 5   2 2 3 5 1 1 1 3 5 5 Suy ra : lim yn n . 3 5  5 3 5 2 .lim  10 3 5 3 5 5 . Vậy : y khi n . n 2 un 3 Bài 16. Cho dãy số un xác định bởi: u0 1, un 1 n ¥ . Tìm lim n un ? . 2 2 n n un un 1 Hướng dẫn giải u u 1 n Từ giả thiết u n n ta có u n n * nên v xác định bởi v u có n 1 2 2  ¥ n 1 2 2  ¥ n n  k n un un 1 n un n k 0 giới hạn hữu hạn, giả sử lim vn c (c hữu hạn). n un 1 2 1 Cũng từ un 1 2 2 n ¥ ta có n un n ¥ . n un un 1 un 1 un 1 1 2 n un n ¥ . un 1 un 1 1 2 Do đó 0 u0 . u1 u0 1 1 2 1 u1 . u2 u1 . 1 1 2 (n 1) un 1 . un un 1
9. 1 1 (n 1)n(2n 1) n 1 Cộng theo vế ta được : uk . un u0 6 k 0 1 (n 1)n(2n 1) vn 1 1 3 3 3 . n un 6n n 1 vn Mà lim 0 ( do lim vn c ) nên. n n3 n 1 (n 1)n(2n 1) 1 3 lim lim hay lim n un 3. n 3 n 3 n n un 6n 3 4 Bài 17. Cho dãy số xn xác định bởi : x1 1, xn 1 1 , n 1. Chứng minh dãy xn có giới hạn 1 xn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải 4 4 4 Ta có x 1 3; x 1 2 x ; x 1 x . 2 2 3 4 1 4 3 2 4 Hàm số f (x) 1 liên tục và nghịch biến trên [0,+ ), 1 f (x) 5 . 1 x 4 Ta có xn 1 1 f (xn ),n (xn ) bị chặn. 1 xn x1 x3 f (x1) f (x3 ) x2 x4 f (x2 ) f (x4 ) x3 x5 suy ra dãy (x2n 1) tăng và dãy (x2n ) giảm suy ra (x2n 1),(x2n ) là các dãy hội tụ. Giả sử lim x2n a;lim x2n 1 b (a,b 1) . Từ x2n 1 f (x2n ) lim x2n 1 lim f (x2n ) b f (a) . Từ x2n 2 f (x2n 1) lim x2n 2 lim f (x2n 1) a f (b) . 4 b 1 1 a Giải hệ phương trình a b 4 2 . Vậy lim xn 2 . 4 a 1 1 b 1 xn Bài 18. Cho x1 2014, x2 2013 và xn 2 (1 )xn 1 , n 2,3, Tìm lim xn . n n n Hướng dẫn giải n n n k xn 1 xn ( 1) ( 1) ( 1) Ta có xn 2 xn 1 xn 2 xn 1 (x2 x1) và xn 2 x1  . n n! n! k 1 k! ( 1)k ( 1)k 1 Dãy này rõ ràng hội tụ và có giới hạn là x1  x1 1  x1 1 . k 1 k! k 0 k! e
10. 1 Từ đó suy ra lim xn 2015 . n e