Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập dãy số: Phương trình đặc trưng - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập dãy số: Phương trình đặc trưng - Ngô Tùng Hiếu

1. 1.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG. un 1 Bài 1. Cho dãy số un xác định bởi u1 1, u2 2, un 2 un 2un 1, n 1. Tìm lim . n un Hướng dẫn giải Dễ thấy dãy đã cho là dãy số dương, do đó không có số hạng nào của dãy bằng 0. Từ công thức truy hồi u u của dãy ta có n 2 2 n ,n 1 un 1 un 1 un 1 1 Đặt vn ,n 1, ta được dãy số v1 2,vn 1 2 ,n 1. . un vn Dễ thấy dãy vn là dãy số dương và vn 2, n 1. Do đó. 1 1 1 5 5 5 2 vn 1 ,n 1. Vậy ta có 2 vn . vn 2 vn 2 2 2 1 5 1 Xét hàm số f x 2 , x 2; . Ta có f ' x 0,x. Do đó có hai dãy con đơn điệu của dãy x 2 x2 vn và hai dãy con này đều bị chặn nên chúng có giới hạn. Giả sử a lim v2n và b lim v2n 1 thì ta có n n hệ. 1 a 2 a b 1 2 b a b a b 1 2 . 1 ab 1 b 2 ab 1 a Ta thấy chỉ có a b 1 2 thỏa mãn và đây là giới hạn cần tìm. u 4u2 4u 0,n 1 n 1 n n Bài 2. Tìm số các dãy số un thỏa mãn điều kiện: 1 . u2004 2 Hướng dẫn giải . Viết lại un 1 4un 1– un f un với f x 4x 1– x . Nhận xét: f x 0;1 x 0;1 1 Vì vậy: u 0;1 u 0;1 u 0;1 u 0;1 2004 2 2003 2002 1 . Với 0 u 1 tồn tại duy nhất : 0 a và u sin2a . 1 2 1 2 2 2 2 2 2 Lúc đó: u2 4sin a(1– sin a) sin 2a ; u3 4sin 2a(1– sin 2a) sin 4a . 1 1 Quy nạp ta được: u sin2 (2n 1 a) cos(2n ) . n 2 2
2. 1 1 1 1 u cos(22004 ) . 2004 2 2 2 2 cos(22004 ) 0 22004 k (2k 1),k Z. . 2 22005 1 1 Vì 0 a nên 0 (2k 1) k 22003 . 2 22005 2 2 2 Do k Z nên: k 0;1;2; ;22003 –1. 2003 2 2003 Từ đó có tất cả 2 giá trị u1 thỏa bài toán: u1 sin (2k 1) ,k {0;1; ;2 1}. 22005 2003 Do đó có tất cả 2 dãy số un thỏa điều kiện đã cho. Bài 3. Cho x1, x2 , , xn , là các nghiệm dương của phương trình tan x x được sắp theo thứ tự tăng dần. Tính lim xn xn 1 . n Hướng dẫn giải 1 Xét hàm số f (x) tan x x , với x k ; k . Ta có f '(x) 2 1 0 => f (x) tăng từ 2 2 cos x đến . Suy ra: trong khoảng k ; k phương trình tan x x có nghiệm duy nhất xk . 2 2 xk yk k với yk ; => tan yn tan xn yn n => lim yn . 2 2 n 2 lim xn xn 1 = lim yn n yn 1 n 1 = lim yn yn 1 . n n n u 2014 (u ) 1 Bài 4. Cho dãy số n xác định như sau: 2 2 . Tìm điều kiện của un 1 un (1 2a)un a n 1,2, a ¡ để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Hướng dẫn giải 2 Ta có: un 1 un (un a) 0 un 1 un ; n 1,2,3, * Suy ra dãy số (un ) tăng; từ đó dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên. 2 2 Giả sử tồn tại limun L (L ¡ ) , thì chuyển qua giới hạn hệ thức un 1 un (1 2a)un a ta có: L L2 (1 2a)L a2 L a . * - Nếu có chỉ số k ¥ mà uk a thì un a; n k nên L a trái với kết quả limun L a . 2 2 Do đó: uk a với mọi k 1,2, hay un (1 2a)un a a, n 1,2,3, nói riêng 2 2 u1 (1 2a)u1 a a a 1 u1 a a 1 2014 a từ đó ta được 2014 a 2015 . * Đảo lại: Nếu 2014 a 2015 a 1 u1 a .
3. 2 2 (u1 a 1)(u1 a) 0 u1 (1 2a)u1 a a 0 u2 a . và u1 u2 a 1 u2 a . Bằng quy nạp ta chứng minh được a 1 un a, n 1,2,3, (H/s trình bày ra). Như vậy dãy (un ) tăng, bị chặn trên bới a , do đó dãy (un ) có giới hạn hữu hạn. Kết luận: Với điều kiện 2014 a 2015 thì dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và limun a . Bài 5. Cho hai dãy số an và bn được xác định như sau:. 2an .bn a1 2,b1 1, an 1 ;bn 1 an 1.bn , n 1,2,. an bn Chứng minh rằng an và bn có cùng giới hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Bằng quy nạp, ta chứng minh rằng:. n n 2 .sin n 2 .sin n a 2 .3 1 ;b 2 .3 (2). n n sin .cos sin 3 2n.3 3 Từ (1), (2) tồn tại lim an và lim bn . n n 2n.sin 2n.3 3 2 3 Ngoài ra: lim an lim . n n sin .cos sin 9 3 2n.3 3 2 3 limbn lim an .lim cos . n n n 2n.3 9 2 3 Vậy hai dãy a , b  có cùng giới hạn chung là . n n 9 1 x 1 2 Bài 6. Cho dãy số (xn) thỏa mãn: . Chứng minh dãy số trên có giới hạn. x2 x x n ; n 1 n 1 n n2 Hướng dẫn giải n n 1 *) Ta chứng minh x n2 với mọi n 1 (1). n 2 Thật vậy: n 1 đúng. k k 1 Giả sử (1) đúng với n k 1: x k 2 . k 2
4. 2 2 xk 2 xk 2 2 xk 1 k 1 xk 2 k 1 = 2 xk k k 1 . k k 2 k 1 k k 1 2 3 k 1 k k 1 1 k 1 . k 2 2 2 2 k 1 3 k 1 k 1 k 2 k (đpcm). 2 2 2 *) Ta chứng minh xn có giới hạn. NX: xn tăng và xn 0 với mọi n . 1 1 1 2 1 1 1 1 Ta có 2 2 1 2 xn với mọi n 1. xn xn 1 xn n n n 1 x1 xn n 2 2 Vậy xn có giới hạn. Bài 7. Tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba trung điểm của ba cạnh tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC Xây dựng dãy các tam giác A1B1C1, A2 B2C2 , A3B3C3 , sao cho tam giác A1B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 1 và với mỗi số nguyên n 2, tam giác An BnCn là tam giác trung bình của tam giác An 1Bn 1Cn 1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu rn tương ứng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác An BnCn . Chứng minh rằng dãy số rn là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân đó?. Hướng dẫn giải 1 1 + r là một cấp số nhân với công bội q và số hạng đầu r n 2 1 3 1 + Số hạng tổng quát: r n 3.2n 1 Bài 8. Cho dãy số an được xác định bởi: a1 1 và an 1 an 2n 1 với mọi n 1. Xét dãy số bn mà: bn an 1 an với mọi n 1. a) Chứng minh rằng dãy số bn là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. b) Cho số nguyên dương N . Hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số bn theo N . Từ đó, hãy suy ra số hạng tổng quát của dãy số an Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết bn 2n 1 bn là một cấp số cộng với số hạng đầu b1 1 và công sai d 2 2 b) + Tổng N số hạng đầu của dãy bn là: SN N 2 + Số hạng tổng quát của dãy an là: an n 2n 2
5. u1 1,u2 2,u3 40 2 2 Bài 9. Cho dãy số un được xác định bởi 10un 1.un 3 24un 1.un 2 . un n 4,5,6, un 2.un 3 Tìm số n nhỏ nhất để un chia hết cho 2048. Hướng dẫn giải 2 un 10un 1.un 3 24.un 2 10un 1 24un 2 un Từ công thức truy hồi cuả dãy , đặt vn , thì dãy ( vn ) xác un 1 un 2.un 3 un 2 un 3 un 1 v2 2,v3 20 định bởi . vn 10vn 1 24vn 2 ,n 4,5,6 2 n 1 n 1 Phương trình đặc trưng : x 10x 24 0 , từ đó suy ra : vn 6 4 . (n 1)n 2 n 1 n 1 n 2 n 2 un vn .vn 1.vn 2 v2 2 (3 2 ).(3 2 ) (3 2) . (n 1)n n 1 n 1 n 2 n 2 2 Do (3 2 ).(3 2 ) (3 2) là số là số lẻ nên un 2048 2 2048 . n(n 1) 11 n 6. 2 Vậy n 6 là giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện bài toán.