Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập dãy số, giới hạn số 5 - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập dãy số, giới hạn số 5 - Ngô Tùng Hiếu

1. II. PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN 1. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Bài 1. Tam giác mà 3 đỉnh của nó là ba trung điểm của ba cạnh tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC. Xây dựng dãy các tam giác A1B1C1, A2 B2C2 , A3B3C3 , sao cho tam giác A1B1C1 là một tam giác đều cạnh bằng 1 và với mỗi số nguyên n 2, tam giác An BnCn là tam giác trung bình của tam giác An 1Bn 1Cn 1 . Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu rn tương ứng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác An BnCn . Chứng minh rằng dãy số rn là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân đó? Hướng dẫn giải 1 1 + r là một cấp số nhân với công bội q và số hạng đầu r . n 2 1 3 1 + Số hạng tổng quát: r . n 3.2n 1 Bài 2. Cho dãy số an được xác định bởi: a1 1 và an 1 an 2n 1 với mọi n 1. Xét dãy số bn mà: bn an 1 an với mọi n 1. a. Chứng minh rằng dãy số bn là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. b. Cho số nguyên dương N . Hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số bn theo N . Từ đó, hãy suy ra số hạng tổng quát của dãy số an . Hướng dẫn giải a. Từ giả thiết bn 2n 1 bn là một cấp số cộng với số hạng đầu b1 1 và công sai d 2. 2 b. + Tổng N số hạng đầu của dãy bn là: SN N . 2 + Số hạng tổng quát của dãy an là: an n 2n 2. 1.2. DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI Bài 3. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u 4 1 1 u (u 4 4 1 2u ),n ¥ * n 1 9 n n Tìm công thức của số hạng tổng quát (un ) ? Hướng dẫn giải x2 1 Đặt x 1 2u x2 1 2u , x 0 u n n n n n n n 2 Thay vào giả thiết: x2 1 1 x2 1 n 1 ( n 4 4x ) (3x )2 (x 4)2 3x x 4,n N *, x 0 2 9 2 n n 1 n n 1 n n n 1 n n Ta có 3xn 1 xn 4 3 xn 1 3 xn 4.3 . n n * Đặt yn 3 .xn yn 1 yn 4.3 ,n N
2. n n 1 n 1 yn 1 y1 4(3 3 3) yn 1 y1 6 2.3 n Ta có x1 3 y1 9 yn 3 2.3 1 1 4 1 Suy ra x 2 ,n N * u (3 ),n N * . n 3n 1 n 2 3n 1 32n 2 un * Bài 4. Cho dãy số un xác định bởi: u1 1; un 1 ,n ¥ . 2un 1 Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n. Hướng dẫn giải * un 1 1 Ta có un 0,n ¥ . Khi đó un 1 2 . 2un 1 un 1 un * 1 * Với mọi n ¥ , đặt vn v1 1; vn 1 vn 2, n ¥ . un Suy ra, dãy số vn là cấp số cộng có v1 1 và công sai d 2. * Do đó, vn v1 n 1 d 2n 1, n ¥ . 1 1 Vậy un . vn 2n 1 n * Bài 5. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 1; un 1 2un 3 ,n ¥ . Tìm công thức số hạng tổng quát un theo n . Hướng dẫn giải Với mọi n ¥ * , ta có n n 1 n un 1 2un 3 un 1 3 2(un 3 ) n * Xét dãy số (vn ), với vn un 3 ,n ¥ . Ta có: vn 1 2vn . Do đó, dãy số (vn ) là một cấp số nhân có công bội q 2 và số hạng đầu bằng 2. n 1 n Suy ra vn v1.q 2 . n n n Vậy un vn 3 3 2 . 3 n 4 * Bài 6. Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1 1;un 1 un 2 ,n ¥ . Tìm công thức số 2 n 3n 2 hạng tổng quát un theo n . Hướng dẫn giải Với mọi n ¥ * , ta có n 4 2 3 2u 3(u ) 2u 3(u ) n 1 n (n 1)(n 2) n 1 n n 2 n 1 3 3 3 3 3 2(u ) 3(u ) u (u ). n 1 n 2 n n 1 n 1 n 2 2 n n 1 3 3 1 dãy số (v ),v u là cấp số nhân có công bội q và v . n n n n 1 2 1 2 n 1 n 1 3 1 * 3 1 3 * vn . ,n ¥ un ,n ¥ . 2 2 n 1 2 2
3. u1 3 Bài 7. Cho dãy số (un) xác định bởi: 5u 3 * . u n , n n 1 ¥ 3un 1 un 1 * Xét dãy số vn với vn , n ¥ . . Chứng minh dãy số vn là một cấp số cộng. Tìm số hạng un 1 tổng quát của dãy số un . Hướng dẫn giải un 1 vn 1 Ta có vn un thay vào hệ thức truy hồi ta có un 1 vn 1 v 1 5. n 3 v 1 v 1 v 1 2v 8 v 1 2v 8 n 1 n n 1 n n 1 n v 1 v 1 v 1 2v 4 2 4 n 1 3. n 1 n 1 n vn 1 hay vn 1 vn 3 và v1 2 . Suy ra dãy số vn là một cấp số cộng có v1 2 và công sai d 3. Ta có vn v1 n 1 d 2 3 n 1 3n 1. 3n 1 1 3n Do đó u . Thử lại thấy dãy số này thỏa mãn. n 3n 1 1 3n 2 3n Vậy số hạng tổng quát của dãy số u là u n ¥ *. n n 3n 2 1.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG 1.4. PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ PHỤ 1.5. DÃY SỐ SINH BỞI PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH 1.6. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC 1.7. CÁC DẠNG KHÁC Bài 8. Cho dãy số dương xn thoả mãn: xn xn 1 2xn 2 với mọi số tự nhiên n 1. Chứng minh rằng dãy {xn} hội tụ . Hướng dẫn giải Đặt yn max xn ; xn 1. * Từ (1) và (2) suy ra yn yn 1 0; n ¥ a lim(yn ) . Với  0 tuỳ ý, khi n đủ lớn, ta có  yn a 0 . • Nếu yn a thì  yn a xn a 0 . • Nếu xn a thì xn 1 a yn 1 xn 1 . Mà xn xn 1 2xn 1 2a xn xn 1 2a a xn 2a xn 1 a . Tóm lại, cả hai trường hợp đều dẫn đến xn a  . Vậy dãy số {xn} hội tụ . Bài 9. Cho phương trình x2 x 1 0 với là số nguyên dương. Gọi  là nghiệm dương của phương trình. Dãy số xn được xác định như sau: x0 , xn 1  xn , n 0,1,2,3, Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao cho xn chia hết cho .
4. Hướng dẫn giải Đầu tiên ta chứng minh  là số vô tỉ. Thật vậy, nếu  là số hữu tỉ thì  là số nguyên (do hệ số cao nhất của x2 là 1) và  là ước của 1. Do đó  1 suy ra 0 , trái giả thiết. Do đó  xn 1   xn 1  xn 1  1 xn  xn 1 xn 1 x x 1 1 x n x n x n x  n 1   n 1   n 1 xn 2 1 xn 1 1 (1) . Lại có   1 0 , suy ra    xn xn xn  xn xn xn 1 xn xn xn xn 1 1 (do (1)).    * Vậy xn 1  xn 1 1 (mod ) . Từ đó bằng quy nạp ta có với mọi k ¥ , n 2k 1, thì xn 1  xn (2k 1) (k 1) (mod ) (2) * Chọn k 1 l l ¥ , n 1 2l , từ (2) ta có x2l  x0 l l  0 (mod ) . * Vậy x2l chia hết cho , l ¥ . Bài 10. Cho dãy an với n > 0 được xác định bởi: a1 1;a2 2;a3 6;a4 12 an 4 2a n 3 an 2 2a n 1 an n 1 a. Chứng minh an chia hết cho n với mọi giá trị nguyên dương của n . a b. Đặt b n . Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương n để 2015 là một ước của b . n n n Hướng dẫn giải a) Ta có b1 1; b2 1; b3 2; b4 3 . Dễ thấy bn Fn với n 1;2;3;4. Bằng quy nạp ta chứng minh dãy bn trùng với dãy Fn . Thật vậy: Mệnh đề đúng với n 1;2;3;4. Giả sử mệnh đề đúng đến n 3 . Khi đó ta có: n 4 bn 4 2 n 3 Fn 3 n 2 Fn 2 2 n 1 Fn 1 nFn . Dùng công thức của dãy Fibonaci : Fm 2 Fm 1 Fm ta dễ dàng biến đổi vế phải thành n 4 Fn 4 suy ra bn 4 Fn 4. Vậy mệnh đề đúng với n 4 , do đó nó đúng với mọi n nguyên dương. Điều đó chứng tỏ an luôn chia hết cho n với mọi n nguyên dương. b) Gọi rn là số dư của bn cho 2015 với n 1;2;3 Trước tiên ta chứng minh rn là một dãy tuần hoàn. Thật vậy: Ta có bn 2 bn 1 bn rn 2  rn 1 rn mod 2015 . Vì có vô hạn các cặp r1;r2 , r2 ;r3 , , rn ;rn 1 nhưng chỉ nhận hữu hạn giá trị khác nhau nên tồn tại ít nhất hai phần tử của dãy trùng nhau. Ta giả sử là rm ;rm 1 rm T ;rm T 1 (với T là một số nguyên dương). Ta chứng minh rn tuần hoàn với chu kỳ T. +) Ta có: rm 2  rm 1 rm mod 2015 ; rm T 2 rm T 1 rm T mod 2015 rm 2  rm T 2 mod 2015 rm 2 rm T 2.
5. Tiếp tục như vậy ta chứng minh được: rm k rm T k với mọi k 0. (1) +) Ta có: rm 1  rm 1 rm mod 2015 ; rm T 1  rm T 1 rm T mod 2015 rm 1  rm T 1 mod 2015 rm 1 rm T 1. Bằng quy nạp ta chứng minh được: rm k rm T k với k 1;2;3; ;m 1. (2) Từ (1) và (2) suy ra rn ,n 0 là một dãy tuần hoàn Bổ sung vào dãy bn phần tử b0 0 thỏa mãn b0 b1 b2 suy ra r0 0. Khi đó dãy rn là dãy tuần hoàn bắt đầu từ phần tử đầu tiên r0 0. Do đó tồn tại vô số phần tử trong dãy rn bằng 0.Như vậy câu b) được chứng minh xong. Bài 11. Cho dãy số un được xác định như sau: u0 0, u1 1, un 2 2un 1 un , n 0,1,2, Chứng 2014 2014 minh rằng 2 un khi và chỉ khi 2 n . Hướng dẫn giải 1 n n Công thức tổng quát u 1 2 1 2 n 2 2 n n Đặt 1 2 a, 1 2 b ab 1 n 1 1 2 2 Ta có un a b , u2n a b un a b 2 2 2 2 n n Đặt Sn a b 1 2 1 2 . Khi đó ta được dãy Sn được xác định như sau: S1 2, S2 6, Sn 2 2Sn 1 Sn , n 1,2, Do S1  2 mod 4 , S2  2 mod 4 nên bằng quy nạp ta được: Sn  2 mod 4 hay a b  2 mod 4 a b 2t, t,2 1 Do đó u2n 2un .t, t,2 1 Giả sử n 2k.t, t,2 1 u u 2k.u .A , trong đó u , A đều lẻ. n 2k.t t k t k * 3 * Bài 12. Cho dãy số an : a1 ¥ , an 1 an 2019, n ¥ . Chứng minh có nhiều nhất 1 số hạng của dãy là số chính phương. Hướng dẫn giải So sánh đồng dư của an , an 1 và an 2 theo modun 4 ta có (chú ý 2019  3 mod 4 ) an 0 1 2 3 an 1 3 0 3 2 an 2 2 3 2 3 Một số chính phương khi chia 4 có số dư là 0 hoặc 1. Vì vậy từ số hạng thứ 3 trở đi, dãy không có số chính phương nào. 2 2 Nếu cả a1 và a2 đều chính phương, giả sử a1 a , a2 b , suy ra b2 a6 2019 b a3 b a3 2019 . Hơn nữa khi phân tích 2019 thành tích chỉ có 2 cách 2019 1.2019 3.673 .
6. b a3 1 b 1010 Trường hợp 1: , vô lí do 1009 không là lập phương. 3 3 b a 2019 a 1009 b a3 3 b 338 Trường hợp 2: , vô lí do 335 không là lập phương. 3 3 b a 673 a 335 Vậy điều giả sử sai, nghĩa là dãy trên có nhiều nhất 1 số chính phương. 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ 3. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài 13. Cho dãy số (an ) thỏa mãn: lim(5an 1 3an ) 4 . Tính lim an . Hướng dẫn giải Đặt an 2 bn . Từ giả thiết suy ra lim(5bn 1 3bn ) 0 . Với số dương  bé tùy ý, tồn tại số N sao cho với n N thì ta có:  5b 3b (1) n 1 n 5  - Nếu b .b 0 thì từ (1) dẫn đến 5b 3b b  n 1 n n 1 n 5 n - Xét trường hợp bn 1.bn 0 hay bn 1, bn cùng dấu, chẳng hạn chúng cùng dương.   . Nếu 2b b 0 thì kết hợp với (1): 3(2b b ) b dẫn đến b . n 1 n n 1 n n 1 5 n 1 5  Mà từ (1) ta có 3b 5b b  n n 1 5 n 5 1  . Nếu 2b b 0 thì kết hợp với (1): (b b ) b dẫn đến b  n 1 n 2 n 1 n 2 n 5 n Tóm lại luôn có bn  , hay lim(bn ) 0 . Vậy lim(an ) 2 . 2015 un 2un 4 Bài 14. Cho dãy (un ) xác định như sau: u1 = 3 và un 1 2014 , n 1,2,3 un un 6 n 1 Với mỗi số nguyên dương n , đặt vn . Tìm lim vn .  2014 n i 1 ui 4 Hướng dẫn giải 2015 un 2un 4 (un 2)(un 4) Đặt 2014 ta có un 1 2 2014 2 , (*) un un 6 (un 4) (un 2) Bằng quy nạp ta chứng minh được un 3, n 1. 1 2 un 2un 4 (un 2) Xét un 1 un un 0, un 3. un un 6 un un 6 Do đó (un ) là dãy tăng và 3 u1 u2  un  a 1 a 4 Giả sử (un ) bị chặn trên, suy ra lim un a , a 3. Khi đó ta có a a 2 3(vô lí), suy ra n a a 6 (un ) không bị chặn trên. Vậy lim un . n 1 1 1 1 1 1 Từ (*) suy ra , hay . un 1 2 un 2 un 4 un 4 un 2 un 1 2
7. n 1 n 1 1 1 v  1 n  2014  . i 1 ui 4 i 1 ui 2 ui 1 2 un 1 2 1 Vậy lim vn lim (1 ) 1. n n un 1 2 u1 3 Bài 15. Cho dãy số u được xác định bởi . Chứng minh rằng dãy n 3 un 1 3un 1 2 un , n 1 un có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải u1 3 Dãy số u được xác định bởi n 3 un 1 3un 1 2 un , n 1 Ta chứng minh un 2, n 1 Thật vậy ta có u1 3 2 3 Giả sử uk 2, k 1, khi đó uk 1 3uk 1 2 uk 2 2 2 nên 3 2 uk 1 3uk 1 2 0 uk 1 1 uk 1 2 0 uk 1 2 . Do đó theo nguyên lý quy nạp thì un 2, n 1 Xét hàm số f t t3 3t trên khoảng 2, Ta có f ' t 3t 2 3 0, t 2 Do đó hàm số f t đồng biến trên khoảng 2, 3 3 Mặt khác ta có u1 3u1 18 5 u2 3u2 f u1 f u2 u1 u2 3 3 Giả sử uk uk 1 k 1 2 uk 2 uk 1 uk 1 3uk 1 uk 2 3uk 2 f uk 1 f uk 2 uk 1 uk 2 Do đó un un 1, n 1 Dãy un là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 2 nên dãy un có giới hạn hữu hạn 3 Giả sử limun a a 2 . Từ hệ thức truy hồi un 1 3un 1 2 un chuyển qua giới hạn ta được: 2 a3 3a 2 a a3 3a 2 a a 2 a5 2a4 2a3 4a2 a 1 0 a 2 a2 a3 4 2a3 a 1 a 1 0 a 2 a 2 Vậy limun 2 . Bài 16. Cho dãy số xn thỏa mãn: x1 2015 2 * và xn 1 xn . xn 1 n N (*) n 1 Tìm: lim  . i 1 xi 1 Hướng dẫn giải * * Ta có: xn 0 n N 2 xn 1 * Và: xn 1 0 n N xn là dãy số tăng. xn
8. * Đặt un xn * * un xác định vì xn 0 n N và un 0 n N 2 un 1 xn 1 xn 1 un 1 Nên từ giả thiết (*) ta có: 2 2 2 2 un 1 un . un 1 un . un 1 2 * un 1 un un n N (1) * Xét dãy số un ta có: 2 * . un 1 un un 0 n N un tăng. . Giả sử un có giới hạn là a . Từ (1) ta có: a a2 a a 0 (loại) un tăng và không bị chặn limun * Ta có: 1 u2 u u u u 1 1 n n 1 n n 1 n 2 2 un 1 un 1 un un un .un un 1.un un un 1 n 1 1 1  i1 1 ui 1 u1 un 1 n 1 1 1 1 lim  lim i 1 ui 1 u1 un 1 2015 n 1 1 Vậy: lim  . i 1 xi 1 2015 u1 5 Bài 17. Cho dãy số un ; (n = 1; 2; ) được xác định bởi: . un 1 un 12 Chứng minh dãy số un có giới hạn. Tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Dự doán giới hạn của dãy số,bằng cách giải phương trình: a 0 a a 12 a 4 2 a a 12 Nhận xét u1 5 u2 u1 12 17 u1 u3 u2 12 17 12 u2 Ta dự đoán dãy số un là dãy số giảm và bị chặn dưới bởi 4 tức là un 4 Chứng minh dãy số un bị chặn: tức là un 4 khi n 1, u1 5 4 vậy n 1 đúng. Giả sử uk 4 , ta chứng minh:uk 1 4 Thật vậy ta có: 2 2 2 uk 1 uk 12 0 uk 1 uk 12 uk 1 12 uk 4 uk 1 16 uk 1 4 Vậy dãy số un bị chặn dưới Ta chứng minh dãy số un là dãy số giảm Ta có:
9. 2 un un 12 (un 4)(un 3) un 1 un un 12 un un 1 un 0 (vì un 4 ). un 12 un un 12 un Vậy dãy số un giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn. Đặt limun a thì limun 1 a. Ta có: un 1 un 12 limun 1 lim un 12 a a 12 a 4 Vậy limun 4. 3.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN u1 1 Bài 18. Cho dãy số an thỏa mãn 1 . un 1 un n ¥ * 3 un ua Tìm tất cả các số thực a sao cho dãy số x xác định bởi x n ( n ¥ *) hội tụ và giới hạn của nó n n n khác 0. Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có dãy số un là dãy số dương và tăng (1) 1 Giả sử u bị chặn trên suy ra nó hội tụ. Đặt L limu , ta có ngay L L (vô lý). n n 3 L Vì vậy un không bị chặn trên (2) Từ (1) và (2) ta có limun . 4 4 3 3 1 Xét lim un 1 un . Đặt vn 4 ( n ¥ *), ta có limvn 0 3 un 4 3 4 4 4 1 1 1 1 v 3 1 v3 4v2 6v 4 u 3 u 3 v 4 n n n n . n 1 n 3 n v v 8 4 4 n n 1 v 3 1 v 3 1 vn n n 4 4 4 3 3 3 4 un 4 Suy ra lim un 1 un . Từ đó lim (sử dụng trung bình Cesaro). 3 n 3 4 khi a 4 3 a 4 u u 3 a 4 Ta có lim n lim n .u 3 0 khi a . n n n 3 4 4 khi a 3 3 4 Vậy a là giá trị cần tìm. 3 1 u ;u 3 1 2 2 Bài 19. Cho dãy số u xác định như sau: n u .u 1 n 1 n * un 2 ,n N un 1 un a. Chứng minh rằng tồn tại vô số giá trị nguyên dương của n để un 1.
10. b. Chứng minh rằng un có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải * un 1 1 un 1 a. Trước hết ta luôn có un 0, n N . Xét un 2 1 (1). un 1 un * * Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được u3n , u3n 1 1,n N và u3n 2 1, n N . Từ đó suy ra điều phải chứng minh. un 1 1 un 1 b. Ta có un 2 1 (2). un 1 un u 1 u 1 u 1 Chia vế của (1) cho (2) có n 2 n 1 . n ,n N * . un 2 1 un 1 1 un 1 un 1 * * Đặt vn n N , ta có vn 2 vn 1.vnn N . un 1 Fn 1 Fn 2 Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được vn v2 .v1 , với Fn là dãy số Phibonxi: F1 F2 1 * Fn 2 Fn 1 Fn ,n N F F 1 n 1 1 n 2 Hay vn . 0 khi n , dẫn đến limun 1. 2 3 3.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 2 an 5an 10 Bài 20. Cho dãy (an )n 1 : a1 1; an 1 , n 1. 5 an a. Chứng minh dãy (an ) hội tụ và tính lim an . a a a 5 5 b. Chứng minh 1 2 n , n 1. n 2 Hướng dẫn giải 3 a) Bằng phương pháp chứng minh qui nạp ta có: 1 a , n . n 2 5 5 x2 5x 10 10 Đặt A và xét hàm f (x) x, (x 5) . 2 5 x 5 x 10 3 1 Suy ra f (x) 1 0, x 1; . , như vậy f (x) nghịch biến trên đoạn ;1 . 2 5 x 2 2 a1 a3 a5 a2k 1 A lim a2k 1 b A Dẫn đến . a2 a4 a6 a2k A lim a2k c A Kết hợp công thức xác định dãy ta được c2 5c 10 b 5 c 5 5 b c b2 5b 10 2 c 5 b
11. 5 5 Vậy lim a . n 2 5 5 b) Nhận xét: t 1; . thì t f (t) 5 5. 2 Dẫn đến a2k 1 a2k 5 5 , k 1. 5 5 a a a a 2k . (1) 1 2 2k 1 2k 2 Như vậy bất đẳng thức đúng với n 2k . 5 5 Trường hợp n 2k 1, chú ý a , kết hợp với (1) thu được: 2k 1 2 5 5 a a a a a (2k 1) . 1 2 2k 1 2k 2k 1 2 Vậy bất đẳng thức được chứng minh. un 1 une * Bài 21. Cho dãy số thực un :u1 , un 1 ,n ¥ . 2 1 eun Chứng minh dãy trên có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó. Hướng dẫn giải Chứng minh 1 un 0,n 2 1 . 1 e Với n 2, u 2 1;0 đúng. 2 1 e Giả sử 1 đúng với n k 2 , ta chứng minh 1 đúng với n k 1. un un un une Ta có un 0 e 1 1 e 0 0 . 1 eun un un 1 une un un un un 1 e ; 1 une e 1 e un 1 1(luôn đúng) e 1 eun Vậy (1) được chứng minh. x x xex e 1 x e Xét hàm f x x trên ;0 . Ta có f ' x 2 . 1 e 1 ex Hàm g x 1 x ex có g ' x 1 ex 0 với mọi x ;0 nên hàm này đồng biến trên ;0 . ex 1 x ex Suy ra g x g 0 0 , suy ra f ' x 2 0 1 ex hay hàm f x nghịch biến trên ;0 . e e 2 1 e 1 e e 2 1 e 2 e Ta có u2 , u3 , u4 u2 . 1 e 2 1 e e 2 1 e 1 e Suy ra f u4 f u2 u5 u3 0 u1
12. Quy nạp ta được dãy u2n 1 giảm và dãy u2n tăng. Hơn nữa 1 un 0,n 2 nên mỗi dãy trên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử limu2n a, limu2n 1 b a,b 1;0 , lấy giới hạn hai vế ta được beb a a b ae 1 e a 2 a a 1 e e e1 e aea b 1 ea t a 1 2 Đặt e t t ;1 , ta được phương trình 1 t t.t1 t 2 1 t ln 1 t 1 t ln t t ln t 0 e Hàm h t 2 1 t ln 1 t 1 t ln t t ln t nghịch biến nên phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm, 1 nhận thấy t là nghiệm nên nó là nghiệm duy nhất. 2 1 1 Suy ra a ln , thay vào được b ln . 2 2 1 Vậy limu ln . n 2 1 1 1 Bài 22. Cho dãy số {un} có số hạng tổng quát:un . Tìm lim un ? n2 1 n2 2 n2 n n 3.3. CÁC DẠNG KHÁC Bài 23. Cho phương trình xn xn 1 x 1 0 . Chứng tỏ rằng với mỗi n nguyên dương thì phương trình có duy nhất một nghiệm dương xn và tìm lim xn . x 1 1 1 1 1 Bài 24. Tính giới hạn B lim . n n 1 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1 x1 a Bài 25. Cho a 0 và a 1, xét dãy số xác định như sau: . x 3x2 1 x3 3x n 1 n n n Hãy chứng minh dãy số yn với yn a 1 xn có giới hạn và tìm giới hạn đó. 1 Bài 26. Cho dãy số x xác định bởi x a ¡ , x x , n 1,2, n n 1 1 n 1 n 2n 1 Chứng minh rằng với mọi a dãy số đã cho hội tụ và tìm lim xn theo a . n 4. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 4.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA 4.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN x 2x 1 3 3x 2 2 Bài 27. Tính giới hạn A lim . x 1 x2 1 3x 1.3 2 x 2 Bài 28. Tính giới hạn hàm số : L lim . x 1 x 1 Hướng dẫn giải Ta có:
13. 3x 1.3 2 x 2 3x 1.3 2 x 3x 1 3x 1 2 lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 3 2 x 1 3x 1 2 = lim 3x 1 lim x 1 x 1 x 1 x 1 3 3 2 3 ( 2 x 1) (2 x) 2 x 1 ( 3x 1 2)( 3x 1 2) = lim 3x 1 lim x 1 (x 1) 3 (2 x)2 3 2 x 1 x 1 (x 1)( 3x 1 2) (2 x 1) (3x 1 4) = lim 3x 1 lim x 1 (x 1) 3 (2 x)2 3 2 x 1 x 1 (x 1)( 3x 1 2) ( 3x 1) 3 1 = lim lim = . x 1 3 (2 x)2 3 2 x 1 x 1 ( 3x 1 2) 12 2x 1 3 x 2 Bài 29. Tìm giới hạn A = lim . x 1 x 1 2011 2012 Bài 30. Tính giới hạn L lim 2011 2012 . x 1 1 x 1 x 4.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP 4.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐẠO HÀM 4.4. CÁC DẠNG KHÁC