Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập bất đẳng thức số 7 - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập bất đẳng thức số 7 - Ngô Tùng Hiếu

1. Câu 1. Cho ba số thực dương thay đổi a,b,c thỏa mãn: a2 b2 c2 (a b c) ab bc ca. 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a(a 2b 2) b(b 2c 2) c(c 2a 2) . abc Hướng dẫn giải Từ giả thiết, ta có: (a b c)2 (a b c) ab bc ca 2(ab bc ca) (a b c ab bc ca)(a b c 2 ab bc ca) 0 a b c 2 ab bc ca a2 b2 c2 2(ab bc ca) (b c a)2 4bc (1). Vì vai trò a, b, c như nhau nên giả sử a min a,b,c . Từ (1) ta có b c a 2 bc. 1 Khi đó, P a2 b2 c2 2(ab bc ca) 2(a b c) abc 1 1 2(a b c) 2(b c a) 4a abc abc 1 1 2 bc 2 bc 4a 4.4 2 bc.2 bc.4a. 8. abc abc 1 Dấu bằng xảy ra chẳng hạn khi a b ,c 2. 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8. Câu 2. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x y z 1. Chứng minh: x3 y3 z3 1 . xy yz xz yz xy xz 2 Hướng dẫn giải Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x y z 1 x z 1 y, x y 1 z, y z 1 x . x3 y3 z3 x3 y3 z3 Khi đó T . xy yz xz yz xy xz y 1 y z 1 z x 1 x x3 y 1 y x3 y 1 y 3x Xét 3.3 . . ; y 1 y 2 4 y 1 y 2 4 2 y3 z 1 z y3 z 1 z 3y 3. 3 . . ; z 1 z 2 4 z 1 z 2 4 2 z3 x 1 x z3 x 1 x 3z 3. 3 . . . x 1 x 2 4 x 1 x 2 4 2 Cộng từng vế tương ứng của 3 bất đẳng thức trên ta được 1 3 x y z 3 1 1 T x y z x y z T ; dấu "=" xảy ra x y z . 2 4 2 2 3 x3 y3 z3 1 1 Vậy , dấu "=" xảy ra x y z . xy yz xz yz xy xz 2 3 Câu 3. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1 4abc Chứng minh: 5 a b c 9 8 bc ca ab Hướng dẫn giải Biến đổi giả thiết về 8abc 4 ab bc ca 2 a b c 1 4 ab bc ca 4 a b c 3
2. 2a 1 2b 1 2c 1 2a 1 2b 1 2b 1 2c 1 2c 1 2a 1 a b c 1 . 1 2a 1 2b 1 2c 2 a b c a b c a b c 2 ab bc ca 1 1 2a 1 2b 1 2c 3 2 a b c 3 2 a b c 3 a b c 2 ab bc ca 9 3 a b c 6 ab bc ca . Lại có 2 a b c 2 ab bc ca . Cộng vế hai bất đẳng thức cùng chiều có đpcm. Câu 4. Cho ba số dương a,b,c thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức bc ca ab P . a 3 bc b 3 ca c 3 ab Hướng dẫn giải Đặt x a, y b, z c; x, y, z 0; . yz zx xy Khi đó: P . x2 3yz y2 3zx z2 3xy 3yz 3zx 3xy Ta có 3P x2 3yz y2 3zx z2 3xy x2 y2 z2 3 2 2 2 3 Q . x 3yz y 3zx z 3xy Áp dụng bất đẳng thức Cô - si 2 x y z x2 3yz y2 3zx z2 3xy 2 2 2 x 3yz y 3zx z 3xy Q. x2 y2 z2 3xy 3yz 3zx x y z 2 x y z 2 Q . Mặt khác xy yz zx . x y z 2 xy yz zx 3 3 9 3 Suy ra Q , do đó 3P P . 4 4 4 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c. Vậy giá trị lớn nhất của P bằng . 4 1 Câu 5. Cho x, y, z 0 và x.y.z . Chứng minh rằng 6 1 1 1 3 x3 2y 3z 8y3 (3z x) 27z3 x 2y 2 Câu 6. Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c 3 . Chứng minh rằng: a4 b4 c4 a3 b3 c3 Câu 7. Cho các số dương x, y thỏa mãn điều kiện x y z 1. Chứng minh rằng: x5 y5 z5 1 y4 z4 x4 Câu 8. Trong các số thực x, y thỏa mãn phương trình x y 2 2 3x y xy 1 . Hãy tìm cặp x; y để biểu thức P x2 y2 đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
3. Câu 9. Cho ba số dương a,b,c . Chứng minh rằng a3 b3 c3 (a b c)2 a) b c c a a b 6 a b c b) 1 b 2c c 2a a 2b Câu 10. Xét các số thực x, y, z thỏa mãn 25 x2 y2 z2 16xy 25. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P xy yz zx. x, y, z 1 8 1 1 Câu 11. Cho 1 1 1 . Chứng minh rằng 2 1 xy 1 yz 1 zx 1 1 x 1 y 1 z Hướng dẫn giải 1 1 1 1 Đặt a ;b ;c ; khi đó ta có: 0 a,b,c và a b c 1. 1 x 1 y 1 z 2 1 a 1 b c Hơn nữa : xy 1 . . a b ab 8ab bc ca Do đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: T 2 . c a b 1 1 Đặt ab u; a b v . Do 0 a,b,c và a b c 1, nên v 1 và 2 2 2 b c v2 v2 u bc . Suy ra 0 u 2 4 4 2 2 8ab c b a 8u v2 2u Ta có T 1 v . c ab 1 v u 8u v2 2u Xét hàm số f u 1 v . . 1 v u 2 2 2 / 8 v 1 v // 2v 1 v v Ta có: f u 2 ; f u 3 0 ; u 0; 1 v u u 4 8 v2 1 v v 1 v Cho f / u 0 0 u 1 v u2 2 2 v 1 v v2 v 1 v Nếu thì v 2 2 . Khi đó u là điểm cực tiểu của f u trên nữa 2 2 4 2 2 v2 v 1 v khoảng 0; . Nên f u f 4 2 2 v 2 4 2 2 Vì v 2 2 nên f u 7 2 6 2 v 1 v v2 Nếu thì v 2 2 . Khi đó 2 2 4 v2 2v2 4v2 4v 2 1 f u f 2 1 v , v ;2 2 . 4 1 v 1 v 2 1 1 Đẳng thức xảy ra khi a b và c hay x y 3 và c 1. 4 2