Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập bất đẳng thức số 4 - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập bất đẳng thức số 4 - Ngô Tùng Hiếu

1. Bài 1. Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn A B C . Tính các góc của tam giác đó khi biểu 2 thức sau đạt giá trị nhỏ nhất P 2cos 4C 4cos 2C cos 2A cos 2B . Hướng dẫn giải 1 Ta có A B C C 0 cosC . 3 2 2 cos 2A cos 2B 2cos A B cos A B 2cocC cos A B 2cosC (3). ( Do cosC 0 và cos A B 1). Dấu bằng trong (3) xảy ra khi A B hoặc C . 2 2 Từ đó P 4 2cos2 C 1 2 2cos2 C 1 1 2cosC 8cos2 C 2cos2 C 1 2cosC . 2 16cos4 C 8cos2 C 1 1 2cosC 4 4cos2 C 1 1 2cosC 4 4 (4). Dấu bằng trong (4) xảy ra khi C . 3 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất khi A B C . 3 Bài 2. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức: (b c)2 (a c)2 (a b)2 A . b2 c2 2 a2 c2 2 a2 b2 2 Hướng dẫn giải (b c)2 (a c)2 (a b)2 a2 bc b2 ac c2 ab A = 3 2( ) b2 c2 2 a2 c2 2 a2 b2 2 a2 1 b2 1 c2 1 a2 bc b2 ac c2 ab Đặt B , khi đó A 3 2B . a2 1 b2 1 c2 1 Ta có đẳng thức sau: (a2 bc)(b c) (b2 ac)(a c) (c2 ab)(a b) 0 (*) (a2 bc)(b c) (b2 ac)(a c) (c2 ab)(a b) B (a2 1)(b c) (b2 1)(a c) (c2 1)(a b) Không mất tính tổng quát ta giả sử: a b c . Ta có: (a2 bc)(b c) (b2 ac)(a c) (c2 ab)(a b) 1 1 1 (a2 1)(b c) (b2 1)(a c) (c2 1)(a b) Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsep cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều và đẳng thức (*) ta có B 0 A 3. 1 Kết Luận : Min A 3 khi a b c . 3
2. Bài 3. Chứng minh rằng với bất kỳ số các số thực dương a,b,c, ta có a2 b2 c2 2abc 3 1 a 1 b 1 c . Hướng dẫn giải Đặt f a,b,c a2 b2 c2 abc 2 a b c ab bc ca .Ta phải chứng minh tất cả các giá trị của f đều không âm. Nếu a,b,c 3 hiển nhiên. b c Ta có thể giả sử rằng a 3 và đặt m . Khi đó: 2 3 a b c 2 f a,b,c f a,m,m 0 4 Ta phải chứng minh: f a,m,m 0 , điều này chính là a 1 m2 2 a 1 m a2 a 1 0 Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng, vì biệt thức 2 m 4 a 1 a 1 0 Bài 4. Cho a,b,c các số thực dương thay đổi thỏa mãn a2 b2 c2 6 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu a 2b 5c thức P . bc ca ab Bài 5. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy yz zx 1. Chứng minh rằng : x y z 1 1 1 21 2 2 2 . 1 x2 1 y2 1 z2 x y z 2 Bài 6. Cho đa thức f x a1sinx a2sin 2x  an sin nx với ai ¡ , n N *, biết f x sin nx ,  x ¡ . Chứng minh rằng | a1 + 2a2 + + nan | ≤ n. Hướng dẫn giải +) f ’ x a1cosx 2a2cos 2x  nancos nx , f ’ 0 a1 2a2  nan (1) f(x)- f (0) f(x) +) Do f ’ 0 lim lim . x 0 x 0 x 0 x f(x) f(x) | f(x)| |sin(nx)| Vì f ’ 0 =| lim |≤ lim lim ≤ lim n , 2 . x 0 x x 0 x x 0 | x | x 0 | x | +) Từ 1 , 2 được điều phải chứng minh. Bài 7. Cho 0 a1 a2 an 2n là các số nguyên thỏa mãn bội số chung nhỏ nhất của hai số bất 2n kì trong chúng đều lớn hơn 2n . Chứng minh rằng a1 . (x là kí hiệu phần nguyên của 3 số thực x ). Hướng dẫn giải Cho 0 a1 a2 an 2n là các số nguyên thỏa mãn bội số chung nhỏ nhất của hai số bất 2n kì trong chúng đều lớn hơn . Chứng minh rằng a1 . 3 (x là kí hiệu phần nguyên của số thực x ). Rõ ràng, trong các số trên không tồn tại cặp số nào mà số này chia hết cho số kia (vì nếu trái lại tk thì bội chung nhỏ nhất của chúng nhỏ hơn hoặc bằng ). Ta viết ak 2 Ak với Ak là số lẻ. Ta
3. thấy các giá trị Ak là phân biệt. Thật vậy, nếu tồn tại Ai Aj A thì ti t j lcm ai ,a j 2 A ai 2n hoặc lcm ai ,a j 2 A a j 2n mâu thuẫn với giả thiết. Mặt khác từ 1 đến ta có n số lẻ phân biệt. Do đó các giá trị Ak là các số lẻ từ 1 đến theo một thứ tự nào đó. t1 Xét a1 2 A1 . 2n t1 Nếu a1 thì 3a1 2 3A1 2n 3A1 2n . Do đó 3A1 là một số lẻ nhỏ hơn , tức là 3 3A1 Aj nào đó. t j t1 Như vậy a j 2 3A1 . Khi đó lcm a1,a j 2 3A1 3a1 2n mâu thuẫn với giả thiết hoặc t j lcm a1,a j 2 3A1 a j 2n , mâu thuẫn với điều giả sử. 2n Vậy điều giả sử là sai, tức là ta có a1 . 3 Bài 8. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3abc a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ). 2 2 2 Bài 9. Chứng minh rằng:  x, y, z ¢ thì: x y z 2(xy xz). x y y z z x 1 1 1 Bài 10. Cho x, y, z R . Chứng minh rằng: . xy z2 yz x2 zx y2 x y z a b c Bài 11. Cho a,b,c 0 và a b c 6 . Chứng minh rằng: 2 . b3 1 c3 1 a3 1 5 4a 1 a Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: P trong đó a là tham số 5 4a 2 1 a 6 5 thực và 1 a . 4 Bài 13. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c 2 3 4. 3 b3 c3 3 c3 a3 3 a3 b3 Bài 14. Cho a,b,c là ba số dương và thoả mãn a b c 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 3 3a 1 3 3b 1 3 3c 1. Bài 15. Cho a,b,c là ba số dương. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 1. a3 (b c)3 b3 (c a)3 c3 (a b)3 1 2 3 Bài 16. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn (3a + 2b + c)( + + ) = 2014 . Tìm giá trị lớn nhất a b c b 2c 1002 72a2 c2 của biểu thức: P = . a Hướng dẫn giải Đặt b ax,c ay, x, y 0 . 2 3 x 3x 3x 6 9 9x 2y Giả thiết 3 2x y (1 ) 2014 2004 y x y 2 2y 2 x y 2y x x 3x 3x 3972y ≥ 18 x 3972 x 2 2y y y+3
4. 3972y Có P x 2y 1002 72 y2 ≤ + 2y 1002 72 y2 = f y . y+3 11816 1002y Xét hàm số f y với y 0, ta có f ’ y = 2 2 và (y+3) 72 y2 11816.3 1002.72 f ’’ y = 3 < 0 ,  y 0 f ’ y đồng biến trên (0; ) . (y+3) 72 y2 Ta có f ’ 3 0 . Lập bảng biến thiên suy ra GTLN của P f 3 7026 . 1 1 1 1 a b c 3 abc Bài 17. Chứng minh rằng: với mọi a,b,c 0 . a b b c c a 2 3 abc a (a b)(b c)(c a) Bài 18. Cho 3 số dương a,b,c thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: bc ca ab P . a 3 bc b 3 ca c 3 ab Bài 19. Cho a,b,c 0 và abc 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 P . a2 b c b2 a c c2 b a Bài 20. Cho x y z 0 và không có hai số nào đồng thời bằng 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 z2 y2 z2 z2 xy P . y2 z2 x2 z2 x2 y2 Hướng dẫn giải x2 z2 y2 z2 z2 xy Ta có P y2 z2 x2 z2 x2 y2 1 Xét hàm f (t) t ; t 1, dễ thấy f t đồng biến trên 1; . t x2 z2 x Do x y z y 0 và dễ có được 1. y2 z2 y x2 z2 x x2 z2 y2 z2 x y Suy ra f 2 2 f 2 2 2 2 y z y y z x z y x x y xy Vậy P , 1 y x x2 y2 x 1 t Đặt t (t 1) , ta được P t . y t t 4 1 1 t Xét hàm g(t) t ,t 1, ta có t t 4 1 1 1 t 4 1 t 2 1 g '(t) 1 t 2 1 2 4 4 2 4 4 t (t 1) t 1 t (t 1) t 1 Với t 1 thì dễ thấy ngay g '(t) 0 , suy ra hàm g(t) đồng biến trên 1; 1 1 Suy ra g(t) g(1) 2 P 2 . 2 2 1 Đẳng thức xảy ra khi x y; z 0 . Vậy min P 2 . 2
5. 1 1 1 Bài 21. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a b c . Chứng minh rằng a b c 1 1 1 3 . 2a b c 2 a 2b c 2 a b 2c 2 16 Hướng dẫn giải 1 1 1 Ta có (1). 2a b c 2 a b a c 2 4 a b a c 1 1 1 Tương tự 2 . a 2b c 2 b a b c 2 4 b a b c 1 1 1 (3). a b 2c 2 c a c b 2 4 c a c b Cộng 1 , 2 , 3 theo vế ta có a b c VT 2 a b b c c a a b c 3 Ta cần chứng minh VT 2 a b b c c a 16 Trước hết ta chứng minh hai bất đẳng thức sau: + Mọi số dương a,b,c : 9 a b b c c a 8 a b c ab bc ca Thật vậy bất đẳng thức trên tương đương với a2b ab2 a2c ac2 b2c bc2 6abc. (Đúng) + Mọi số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện trên ta luôn có: ab bc ca 3 . 1 1 1 Từ giả thiết: a b c ab bc ca abc(a b c) a b c Và từ bất đẳng thức quen thuộc ab bc ca 2 3a2b c 3a b2c 3a b c2 ab bc ca 2 3abc a b c ab bc ca 3. a b c 9 3 Ta có VT . 2 a b b c c a 16 ab bc ca 16 Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c 1. Bài 22. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ac 12 và bc 8. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể được 1 1 1 8 của biểu thức D a b c 2  ab bc ca abc Bài 23. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ac 12 và bc 8. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể được 1 1 1 8 của biểu thức D a b c 2  ab bc ca abc Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có a b 6 a b 6 a b 6 33 · · 3, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi , (1) 3 2 ab 3 2 ab 3 2 ab
6. b c 8 b c 8 b c 8 33 · · 3, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi , (2) 2 4 bc 3 4 bc 2 4 bc c a 12 c a 12 c a 12 33 · · 3, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi , (3) 4 3 ca 4 3 ca 4 3 ca a b c 24 a b c 24 a b c 24 4 4 · · · 4, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi , (4) 3 2 4 abc 3 2 4 abc 3 2 4 abc 6 32 84 24 26 78 (1) 4 (2) 7 (3) (4) 3 a b c 40 hay 3D 40 ab bc ca abc bc ca 1 1 1 1 Mặt khác, từ giả thiết suy ra và . Do đó ca 12 bc 8 1 1 13 117 121 40 3D 26 78 3D 39 3D D bc ca 4 12 12 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 3, b 2, c 4. 121 Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức D bằng , đạt được khi a 3, b 2, c 4. 12 Bài 24. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn: x y z 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y z P . xy 1 yz 1 zx 1 Bài 25. Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a2 b2 c2 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a3 b3 c3 P . 2b 3c 2c 3a 2a 3b Hướng dẫn giải x2 y2 z2 x y z Bài 26. Chứng minh bất đẳng thức sau: . y2 z2 x2 y z x Hướng dẫn giải 2 1 1 1 3 Bài 27. Chứng minh: . 3 1001 1002 2000 4 Hướng dẫn giải Bài 28. Cho a,b,c là ba số dương và a b c 3 . Chứng minh rằng: 3 3a 5b 3 3b 5c 3 3c 5a 6 . Hướng dẫn giải 1 1 3a 5b 8 8 3 3a 5b 3 (3a 5b)8.8 . 4 4 3 Tương tự rồi cộng vế theo vế ta được điều cần chứng minh. 1 4 9 Bài 29. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 1. Chứng minh rằng 36 . x y z