Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập bất đẳng thức số 3 - Ngô Tùng Hiếu

Nội dung text: Tài liệu ôn thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 - Bài tập bất đẳng thức số 3 - Ngô Tùng Hiếu

1. x2 Câu 1. (HSG tỉnh Hà Tĩnh 2008 – 2009) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x cos x cos 2x . 8 Câu 2. (HSG tỉnh Hà Tĩnh 2008 – 2009) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n 2 ta luôn có 1 2 n n 1 3 k 1. Cn 2. Cn  n. Cn 2 .n trong đó Cn là số tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử. Câu 3. (HSG tỉnh Nghệ An 2015 – 2016) Cho ba số thực dương thay đổi a,b,c thỏa mãn: a2 b2 c2 (a b c) ab bc ca. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 P a(a 2b 2) b(b 2c 2) c(c 2a 2) . abc Câu 4. (HSG tỉnh Nam Định) Cho phương trình x3 3x2 1 0 . Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt x1, x2 , x3 Giả sử x1 x2 x3 , chứng minh rằng: x1 x2 và 2 x1 2 x2 2 x3 27 . Câu 5. (HSG tỉnh Vĩnh Phúc 2012 – 2013) Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn a3 b5 a2 b2 . a2 b2 2 Chứng minh 2b . a2 b2 Câu 6. (THPT Dương Xá 2008 – 2009) Cho 4 số không âm a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: a b c d 1 1. Chứng minh rằng: abcd . 1 a 1 b 1 c 1 d 81 Hướng dẫn giải 1 b c d Từ giả thiết suy ra 1 a 1 b 1 c 1 d b c d Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm ; ; ta có 1 b 1 c 1 d 1 b c d bcd 33 1 a 1 b 1 c 1 d (1 b)(1 c)(1 d) Tương tự có 1 acd 33 1 b (1 a)(1 c)(1 d) 1 abd 33 1 c (1 a)(1 b)(1 d) 1 abc 33 1 d (1 a)(1 b)(1 c) Nhân vế với vế có 1 abcd 1 81 abcd (1 a)(1 b)(1 c)(1 d) (1 a)(1 b)(1 c)(1 d) 81 Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi a b c d . 3 Câu 7. (HSG tỉnh Trà Vinh 2015) Cho a,b,c 0 , a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 1 1 S a b c a b c
2. 1 1 1 1 Câu 8. (HSG tỉnh Trà Vinh 2015) Cho x, y,z 0 và 2 . Chứng minh: xyz . 1 x 1 y 1 z 8 Câu 9. (Đề xuất thi HSG khu vực duyên hải 2015 – Hà Nội) Cho x, y, z dương thỏa mãn x2 y y2 z z2 x xy yz zx 2xyz 1. Chứng minh: 2xyz . x 1 y 1 z 1 Hướng dẫn giải 2 x2 y2 y2 z2 z2 x2 xy yz zx Xét VT 1 xy y yz z xz x xy yz zx x y z Ta có xy yz zx 33 x2 y2 z2 3 2 4t 3 3 Đặt t xy yz zx , từ giả thiết có: 1 t 4x2 y2 z2 t hay xy yz zx 27 4 4 1 1 Thay vào giả thiết được: 2xyz 1– xy yz zx hay xyz . 4 8 Do đó, xy yz zx 6xyz Suy ra: xy yz zx 2 6xyz xy yz zx 2 Mặt khác: xy yz zx 2 3 xy.yz yz.zx zx.xy 2 xy yz zx 2 6xyz x y z 3 Cộng vế 2 và 3 có:3 xy yz zx 2 6xyz xy yz zx x y z 4 Kết hợp 1 và 4 ta có đpcm. 1 Dấu “=” xảy ra khi x y z . 2 Câu 10. (Đề xuất thi HSG khu vực duyên hải 2015 – Hưng Yên) Cho a,b,c 0 . Chứng minh rằng 2abc a 1 2 b 1 2 c 1 2 2 a b c 2 2 . Hướng dẫn giải Trong ba số a 1;b 1;c 1 luôn tồn tại hai số có tích không âm (nguyên lý Dirchlet). Không mất tính tổng quát, giả sử b 1 c 1 0 . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có 2 2 2 2 1 2 a 1 b 1 c 1 a 1 b c 2 2 a 1 2 b c . 2 1 2 2 2 Do đó abc 2 a 1 b 1 c 1 abc 2 a 1 2 b c 2 Mà abc 2 a 1 2 b c a b c a b 1 c 1 a b c 1 2 2 2 Suy ra abc 2 a 1 b 1 c 1 a b c chính là (1). 2 1 Dấu “=” khi và chỉ khi a b c 1 hoặc a 0, b c 1 và các hoán vị. 2 Câu 11. (Đề xuất thi HSG khu vực duyên hải 2015 – Phú Thọ) Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc 1. Chứng minh bất đẳng thức
3. ab bc ca 9 a3 b3 c3 . a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 Hướng dẫn giải Ta có 0 a b 4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 a4 b4 2a2b2 4ab a2 ab b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ab b a b ab 1 a b a b 4ab a ab b 2 2 1 2 2 a b 4ab a b 4 b a bc 1 b c ca 1 c a Tương tự có 1 2 2 ; 1 2 2 . b c 4 c b c a 4 a c Do đó, cộng theo vế các bất đẳng thức trên và sử dụng bất đẳng thức Schur cùng giả thiết abc 1 ta được ab bc ca 1 b c c a a b bc b c ca c a ab a b 3 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 4 a b c 4abc 1 1 a3 b3 c3 3abc a3 b3 c3 3 4 4 3 3 3 ab bc ca Hay a b c 4 2 2 2 2 2 2 9 1 a b b c c a Mặt khác 3 a3 b3 c3 3.33 abc 3 9 2 ab bc ca Từ 1 và 2 suy ra 4 a3 b3 c3 18 a2 b2 b2 c2 c2 a2 ab bc ca 9 Do vậy a3 b3 c3 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. Câu 12. (Đề xuất thi HSG khu vực duyên hải 2015 – Thái Nguyên)Cho x, y, z 0, x y z 1. Chứng minh rằng 4 x3 y3 z3 15xyz 1. Hướng dẫn giải Ta có 4 x3 y3 z3 15xyz 1 4 x y 3 3xy x y 4z3 15xyz 1 4 1 z 3 3xy 1 z z3 15xyz 1 4 1 z 3 12xy z 1 4z3 15xyz 1 f xy xy 27z 12 4z3 4 1 z 3 1. 2 2 1 z 1 z  Do 0 xy f xy min f 0 , f  4 4  2 2 1 z 2 19 Trong đó f 0 3 2z 1 1 0, f 1 z z 0 . 4 4 Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
4. Câu 13. (Đề xuất thi HSG Trại hè Hùng Vương – Sơn La)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy 1 yz 1 zx 1 x2 y2 z2 (x y z)2 4. Chứng minh rằng 3 . (x y)2 (y z)2 (z x)2 Hướng dẫn giải Theo giả thiết ta có: 2 x2 y2 z2 xy yz zx . Khi đó: xy 1 2xy x2 y2 z2 xy yz zx 2 2 2 (x y) (x y) (x y)2 (z x)(y x) (z x)(z y) 1 (x y)2 (x y)2 xy 1 (z x)(z y) Hay ta được : 2 2 1 2 (1) (x y) (x y) yz 1 (x y)(x z) Tương tự ta có: 2 2 1 2 (2) (y z) (y z) zx 1 (y z)(y x) 2 2 1 2 (3) (z x) (z x) Cộng tương ứng ba bất đẳng thức (1), (2), (3) và áp dụng bất đẳng thức Áp dụng BĐT Côsi ta có: xy 1 yz 1 zx 1 (z x)(z y) (x y)(x z) (y z)(y x) 2 2 2 2 3 2 2 2 (x y) (y z) (z x) (x y) (y z) (z x) (z x)(z y) (x y)(x z) (y z)(y x) 3 33 . . 3 3 6 (x y)2 (y z)2 (z x)2 xy 1 yz 1 zx 1 Khi đó: 3 . (x y)2 (y z)2 (z x)2 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y z . 3 Câu 14. (Đề xuất thi HSG khu vực duyên hải – Vĩnh Phúc) Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn 2 10 a b c 2 và ab bc ca 1. Chứng minh rằng a2b b2c c2a . 3 9 Hướng dẫn giải Đặt x a2b b2c c2a; y ab2 bc2 ca2 ; z abc Khi đó x y ab(a b) bc(b c) ca(c a) ab(2 c) bc(2 a) ca(2 b) 2 3z xy a3b3 b3c3 c3a3 abc(a3 b3 c3 ) 3a2b2c2 9z2 4z 1. Do đó x,y là nghiệm của phương trình: t 2 (2 3z)t 9z2 4z 1 0 (*) 4 Ta có (2 3z)2 4(9z2 4z 1) 0 0 z 27 2 3z 27z2 4z Khi đó x, y . 2
5. 2 3z 27z2 4z 2 Vậy bài toán quy về việc chứng minh (1) 2 3 2 3z 27z2 4z 10 và (2) 2 9 Thậy vậy (1) 3 27z2 4z 2 9z 81z2 18z 1 0 (9z 1)2 0 (đúng) Và (2) 9 27z2 4z 27z 2 2916z2 216z 4 0 (54z 2)2 0 (đúng) Vậy bài toán được chứng minh. Câu 15. (Đề xuất thi HSG trại hè Hùng Vương – Hà Giang) Cho ba số thực không âm x, y, z . Tìm giá trị 4 4 5 lớn nhất của biểu thức P . x2 y2 z2 4 (x y) (x 2z)(y 2z) (y z) (y 2x)(z 2x) Hướng dẫn giải Với mọi số thực không âm x, y, z Ta có: x y 4z x y 4z (x 2z)(y 2z) (x y) (x 2z)(y 2z) (x y) 2 2 x y 4z x 2 y2 2xy 4yz 4zx Mặt khác ta có: (x y) 2(x 2 y2 z2)(1) 2 2 (Vì 2xy x 2 y2; 4yz 2(y2 z2); 4zx 2(z2 x 2) y z 4x Tương tự ta có (y z) (y 2x)(z 2x) (y z) 2(x 2 y2 z2) (2) 2 4 4 5 Từ (1) và (2) ta suy ra P 2 2 2 2 2 2 x 2 y2 z2 4 2(x y z ) 2(x y z ) 4 9 Hay P .Đặt t x 2 y2 z2 4 , t 2 2 2 2 x 2 y2 z2 4 2(x y z ) 4 9 4 9 Khi đó P . Xét hàm số f (t) , t 2 t 2(t 2 4) t 2(t 2 4) 4 9t (4 t)(4t 3 7t 2 4t 16) f '(t) ; f '(t) 0 t 4 2 2 2 2 2 2 t (t 4) t (t 4) (do t > 2 nên 4t 3 7t 2 4t 16 4(t 3 4) t(7t 4) 0 ) . 5 Lập bảng biến thiên của hàm số f(t). Dựa vào bảng biến thiên ta có MaxP khi 8 x y z 2 5 . Câu 16. (Đề xuất thi HSG trại hè Hùng Vương – Lai Châu) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz 1. x4 y4 y4 z4 z4 x4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x5 y5 x4 y4 y5 z5 y4 z4 z5 x5 z4 x4 Hướng dẫn giải ab ab 1 Ta có a5 b5 ab a3b2 a2b3 ab a2b ab2 1
6. 1 1 c a2b ab2 abc ab a b c a b c bc a ca b Tương tự ta có: ; b5 c5 bc a b c c5 a5 ca a b c Suy ra P 1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Vậy MaxP 1. Câu 17. (HSG tỉnh Vĩnh Long 2016 – 2017) Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh 1 1 1 18 . p a p b p c a b c Hướng dẫn giải 1 1 4 4 4 Ta có: (1) p a p b 2 p (a b) a b c a b c 1 1 4 1 1 4 Tương tự ta có : (2); (3). p a p c b p b p c a 1 1 1 1 1 1 Cộng (1), (2) và (3) 2 4 . p a p b p c a b c 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c 1 1 1 1 1 1 9 Mặt khác: (a + b + c) 9 a b c a b c a b c 1 1 1 1 1 1 18 2 . p a p b p c a b c a b c Câu 18. (HSG tỉnh Vĩnh Long 2016 – 2017) Giả sử x, y, z là những số thực lớn hơn 2 . Cho biểu thức x y z P . Tìm giá trị của x, y, z để biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất y z 4 z x 4 x y 4 và tìm giá trị nhỏ nhất đó. Hướng dẫn giải Theo BĐT Cauchy cho hai số dương: 4 y z 4 y z y z x 4x 4. y z 4 y z 4 2 2 4 y z 4 y z y 4y z 4z Tương tự ta có: ; z x 4 z x x y 4 x y x y z Từ đó suy ra P 4 y z z x x y x y z 3 Mặt khác ta chứng minh được BĐT: ,x, y, z 0 y z z x x y 2 3 Do đó P 4. 6 . Dấu đẳng thức xảy ra khi x y z 4 2 Vậy min P 6 x y z 4 .
7. 3 Câu 19. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a b c . Chứng minh rằng 4 3 a 3b 3 b 3c 3 c 3a 3 . Đẳng thức xảy ra khi nào? Câu 20. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz 1. Chứng minh rằng 1 x3 y3 1 y3 z3 1 z3 x3 3 3 . Đẳng thức xảy ra khi nào? xy yz zx 1 Câu 21. Biết rằng sin2 x sin2 y . Tìm GTLN, GTNN của S tan2 x tan2 y . 2 Câu 22. Gọi x, y, z là khoảng cách từ một điểm M bất kì nằm trong tam giác ABC có ba góc nhọn đến a2 b2 c2 các cạnh BC, CA, AB . Chứng minh rằng x y z , a, b, c là độ dài các 2R cạnh của tma giác, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Dấu bằng xảy ra khi nào? Câu 23. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c , ta đều có: 1 1 1 1 1 1 1 . 5a2 2ab 2b2 5b2 2bc 2c2 5c2 2ca 2a2 3 a b c Câu 24. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 4 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức T a b 2 sin x csin 2x , trong đó x (0; ) . 2 x Câu 25. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y f (x) sin2 x với x ; . 2 2 2 n n 1 1 Câu 26. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y f (x) 1 2 1 2 với n là số tự nhiên. sin x cos x 3 Câu 27. Cho các số x, y, z thay dổi trên 0; 1 và thỏa mãn điều kiện x y z . Tìm GTLN, GTNN 2 của biểu thức P x2 y2 z2 . Câu 28. Cho x, y, z là những số dương. Chứng minh rằng x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2 3 xy yz zx . Câu 29. Giả sử x, y, z là các số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x y z 1 . Tìm giá trị lớn nhất x y z của biểu thức P . x 1 y 1 z 1 1 1 Câu 30. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y , x 0; . sin x cos x 2 2x 4x Câu 31. Tìm GTNN, GTLN của hàm số y sin cos 1. 1 x2 1 x2 2cos2 x cos x 1 Câu 32. Tìm GTNN, GTLN của hàm số y . cos x 1 Câu 33. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 3 thì
8. 3(a2 b2 c2 ) 4abc 13. a3 b3 c3 a2 b2 b2 c2 c2 a2 9 Câu 34. Chứng minh rằng , trong đó a, b, c là các số thực 2abc c2 ab a2 bc b2 ca 2 dương. 1 1 1 1 1 1 Câu 35. Tìm GTNN của biểu thức P 3 3 3 , trong đó a, b, c là các số thực a b b c c a 3 dương thỏa mãn điều kiện a b c . 2 Câu 36. Tìm GTNN, GTLN của hàm số y 2 x2 3x 2 3x2 10x 3 trên  4; 3. Câu 37. Tìm GTNN của biểu thức P x 2005 13x 3y 2006 x 2007 . Câu 38. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có a b c 1. a (a b)(a c) b (b c)(b a) c (c a)(c b) a2 b2 c2 Câu 39. Tìm GTNN của biểu thức T trong đó a, b, c là các số a2 (b c)2 b2 (c a)2 c2 (a b)2 thực dương khác 0 . Câu 40. Gọi M và m là GTNN, GTLN của hàm số F(x) cos 2006x k cos x trong đó k, là các tham số thực. Chứng minh rằng M 2 m2 2. Câu 41. Tam giác ABC có BC a,CA b, AB c với diện tích S . Gọi ma ,mb ,mc lần lượt là độ dài a2m2 b2m2 c2m2 các đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C . Chứng minh rằng S a b c . Đẳng 3(a2 b2 c2 ) thức xảy ra khi nào?