Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Bài 2: Phương trình của đường tròn

Nội dung text: Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng - Bài 2: Phương trình của đường tròn

1. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (CHƯƠNG 3 LỚP 10) BÀI 2. ĐƯỜNG TRÒN 2 A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM 2 1. Các dạng phương trình đường tròn 2 1.1. Dạng 1 2 1.2. Dạng 2 2 2. Sự tương giao của đường thẳng và đường tròn 2 3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn 2 3.1. Viết phương trình tiếp tuyến D với C tại điểm M 0 C 2 3.2. Viết phương trình tiếp tuyến D với C tại điểm M 0 C 2 3.3. Viết phương trình tiếp tuyến D với C biết D song song với D1 2 3.4. Viết phương trình tiếp tuyến D với C biết D vuông góc với D1 3 4. Vị trí tương đối của hai đường tròn 3 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 3 Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn 3 Dạng 2: Viết phương trình đường tròn 9 Dạng 3: Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng với đường tròn 17 Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn 27 Ban thực hiện Tên giáo viên Đơn vị công tác GV Soạn Thầy Đặng Quang Thanh Trường THPT Trần Kỳ Phong (Quảng Ngãi) GV phản biện Thầy Hoàng An Dinh Trường THPT Lộc Thái (Bình Phước) TT Tổ soạn Thầy Lưu Xuân Hiển Trường THPT Thạnh An (Cần Thơ) TT Tổ phản biện Cô Thanh Minh Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Gia Lai) Người triển khai Thầy Phạm Lê Duy Trường THPT Chu Văn An (An Giang) NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 1
2. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM 1. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 1.1.Dạng 1 : Phương trình đường tròn C có tâm I a;b bán kính R Phương trình có dạng : x a 2 y b 2 R2 1.2.Dạng 2 : Phương trình x2 y2 2ax 2by c 0 với a2 b2 c 0 là phương trình đường tròn tâm I a;b bán kính R a2 b2 c . 2. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Cho đường thẳng D : Ax By C 0 và đường tròn C : x a 2 y b 2 R2 có tâm I a;b D  C M ; N d I; D R D  C M d I; D R D  C  d I; D R 3. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN 3.1.Viết phương trình tiếp tuyến D với C tại điểm M 0 C Bước 1: Tìm tọa độ tâm I của C .  Bước 2: Tiếp tuyến D là đường thẳng đi qua M 0 và có VTPT là M 0 I 3.2. Viết phương trình tiếp tuyến D với C tại điểm M 0 C Bước 1: Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của C . Bước 2: D là đường thẳng đi qua M 0 nên có dạng a x x0 b y y0 0 Bước 3: D tiếp xúc với C d I; D R * . Giải * tìm được mối liên hệ giữa a &b . Chọn a &b phù hợp để kết luận. 3.3.Viết phương trình tiếp tuyến D với C biết D song song với D1 : Ax By C 0 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 2
3. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH Bước 1: Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của C . Bước 2: D P D1 : Ax By C 0 nên phương trình có dạng Ax By C ' 0 (C ' C) Bước 3: D tiếp xúc với C d I; D R * . Giải * tìm được C ' so với đk để kết luận. 3.4. Viết phương trình tiếp tuyến D với C biết D vuông góc với D1 : Ax By C 0 Bước 1: Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của C . Bước 2: D  D1 : Ax By C 0 nên phương trình có dạng Bx Ay C ' 0 Bước 3: D tiếp xúc với C d I; D R * . Giải * tìm được C ' so với đk để kết luận. 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Cho đường tròn C1 có tâm I1 , bán kính R1 và đường tròn C2 có tâm I2 , bán kính R2 . Giả sử R1 R2 . Ta có: Hai đường tròn tiếp xúc I1I2 R1 R2 Hai đường tròn cắt nhau R1 R2 I1I2 R1 R2 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn Phương pháp giải. Cách 1: + Đưa phương trình về dạng: C : x2 y2 2ax 2by c 0 (1) + Xét dấu biểu thức P a2 b2 c Nếu P 0 thì (1) là phương trình đường tròn C có tâm I a;b và bán kính R a2 b2 c Nếu P 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn. Cách 2: Đưa phương trình về dạng: (x a)2 (y b)2 P (2). Nếu P 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I a;b và bán kính R P Nếu P 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn. PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có. NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 3
4. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH 1) x2 y2 2x 4y 9 0 (1) 2) x2 y2 6x 4y 13 0 (2) 3) 2x2 2y2 6x 4y 1 0 (3) 4) 2x2 y2 2x 3y 9 0 (4) Lời giải 1) Phương trình (1) có dạng x2 y2 2ax 2by c 0 với a 1; b 2; c 9 Ta có a2 b2 c 1 4 9 0 Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn. 2) Ta có: a2 b2 c 9 4 13 0 Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn. 1 3) Ta có: 3 x2 y2 3x 2y 0 2 2 2 2 3 2 1 15 Suy ra: P a b c 1 0 2 2 4 3 15 Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm I ;1 bán kính R 2 2 4) Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x 2 và y2 khác nhau. Ví dụ 2. Cho phương trình x2 y2 2mx 4 m 2 y 6 m 0 (1) a) Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn. b) Nếu (1) là phương trình đường tròn hãy tìm toạ độ tâm và bán kính theo m Lời giải a) Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a2 b2 c 0 Với a m; b 2 m 2 ; c 6 m 2 2 2 m 2 Hay m 4 m 2 6 m 0 5m 15m 10 0 m 1 b) Với điều kiện trên thì đường tròn có tâm I m;2 m 2 và bán kính: R 5m2 15m 10 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 4
5. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH 2 2 Ví dụ 3. Cho phương trình đường cong (Cm ) : x y m 2 x m 4 y m 1 0 (2) a) Chứng minh rằng (2) là phương trình một đường tròn b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn khi m thay đổi c) Chứng minh rằng khi m thay đổi họ các đường tròn (Cm ) luôn đi qua hai điểm cố định. Lời giải 2 2 2 2 2 m 2 m 4 m 2 4 a) Ta có a b c m 1 0 2 2 2 Suy ra (2) là phương trình đường tròn với mọi m m 2 x I 2 b) Đường tròn có tâm I : suy ra xI yI 1 0 m 4 y I 2 Vậy tập hợp tâm các đường tròn là đường thẳng : x y 1 0 c) Gọi M x0 ; y0 là điểm cố định mà họ (Cm ) luôn đi qua. 2 2 Khi đó ta có: xo y0 m 2 x0 m 4 y0 m 1 0, m 2 2 x0 y0 1 m xo y0 2x0 4y0 1 0, m x0 y0 1 0 x0 1 x0 1 hoặc 2 2 x0 y0 2x0 4y0 1 0 y0 0 y0 2 Vậy có hai điểm cố định mà họ( Cm ) luôn đi qua với mọi m là M1 1;0 và M 2 1;2 . PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0H3-2.1-1] Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn? (I) x2 y2 4x 15y 12 0 . (II) x2 y2 3x 4y 20 0 . (III) 2x2 2y2 4x 6y 1 0 . A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).C. Chỉ (III). D. Chỉ (I) và (III). Lời giải Chọn D NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 5
6. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH 2 2 2 15 289 I có: a b c 4 12 0 2 4 2 2 2 2 3 4 55 II có: a b c 20 0 2 2 4 2 2 2 1 2 2 3 1 11 III x y 2x 3y 0 , phương trình này có: a b c 1 0 2 2 2 4 Vậy chỉ I và III là phương trình đường tròn. Câu 2. [0H3-2.1-1] Để x2 y2 ax by c 0 (1) là phương trình đường tròn, điều kiện cần và đủ là A. a2 b2 c 0 .B. a2 b2 c 0 .C. a2 b2 4c 0 .D. a2 b2 4c 0 . Lời giải Chọn C Ta có: x2 y2 ax by c 0 1 2 2 2 2 2 a a 2 b b a b x 2. .x y 2. .y c 0 2 2 2 2 4 4 2 2 a b a2 b2 x y c 2 2 4 4 a2 b2 Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: c 0 a2 b2 4c 0 4 4 Câu 3. [0H3-2.1-1] Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ? A. x2 y2 x y 9 0 .B. x2 y2 x 0 . C. x2 y2 2xy 1 0. D. x2 y2 2x 3y 1 0. Lời giải Chọn B Loại C vì có số hạng 2xy . 1 Câu A: a b , c 9 a2 b2 c 0 nên không phải phương trình đường tròn. 2 Câu D: loại vì có y2 . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 6
7. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH 1 Câu B: a , b 0, c 0 a2 b2 c 0 nên là phương trình đường tròn. 2 Câu 4. [0H3-2.1-2] Phương trình x2 y2 2(m 1)x 2(m 2)y 6m 7 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi A. m 0. B. m 1.C. m 1.D. m 1 hoặc m 1. Lời giải Chọn D Ta có: x2 y2 2 m 1 x 2 m 2 y 6m 7 0 1 x2 2 m 1 x m 1 2 y2 2 m 2 y m 2 2 m 1 2 m 2 2 6m 7 0 2 2 2 x m 1 y m 2 2m 2 2 m 1 Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: 2m 2 0 m 1 2 2 Câu 5. [0H3-2.1-2] Cho đường cong Cm : x y – 8x 10y m 0 . Với giá trị nào của m thì Cm là đường tròn có bán kính bằng 7 ? A. m 4 . B. m 8 .C. m –8 . D. m = – 4 . Lời giải Chọn C Ta có R 42 52 m 7 m 8 . Câu 6. [0H3-2.1-2] Đường tròn 3x2 3y2 – 6x 9y 9 0 có bán kính bằng bao nhiêu ? 15 5 A. .B. .C. 25 .D. 5 . 2 2 Lời giải Chọn B 3x2 3y2 – 6x 9y 9 0 x2 y2 – 2x 3y 3 0 . 2 2 3 25 5 Suy ra P 1 3 0 . Vậy bán kính là: R . 2 4 2 Câu 7. [0H3-2.1-2] Đường tròn 2x2 2y2 – 8x 4y 1 0 có tâm là điểm nào sau đây ? NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 7
8. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH A. 8;4 .B. 2; 1 . C. 8; 4 .D. 2;1 . Lời giải Chọn B 1 2x2 2y2 – 8x 4y 1 0 x2 y2 – 4x 2y 0 . 2 Vậy tâm là: I 2; 1 . Câu 8. [0H3-2.2-2] Cho hai điểm A 2;1 , B 3;5 . Tập hợp điểm M x; y nhìn AB dưới một góc vuông nằm trên đường tròn có phương trình là A. x2 y2 x 6y 1 0 . B. x2 y2 x 6y 1 0 . C. x2 y2 5x 4y 11 0 . D. Đáp án khác. Lời giải Chọn A Tập hợp điểm M x; y nhìn AB dưới một góc vuông nằm trên đường tròn đường kính AB và tâm là trung điểm của AB . 1 Tọa độ tâm đường tròn là trung điểm của AB : I ;3 . 2 AB 52 42 41 Bán kính đường tròn: R . 2 2 2 2 1 2 41 2 2 Phương trình đường tròn: x y 3 x y x 6y 1 0. 2 4 Câu 9. [0H3-2.2-2] Cho hai điểm A( 4;2) và B(2; 3) . Tập hợp điểm M (x; y) thỏa mãn MA2 MB2 31 có phương trình là A. x2 y2 2x y 1 0 .B. x2 y2 6x 5y 1 0. C. x2 y2 2x 6y 22 0 .D. x2 y2 2x 6y 22 0. Lời giải Chọn A. Ta có: MA2 MB2 31 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 8
9. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH x 4 2 y 2 2 x 2 2 y 3 2 31 x2 y2 2x y 1 0 . Câu 10. [0H3-2.1-2] Cho A 1;0 , B 2;4 và C 4;1 . Chứng minh rằng tập hợp các điểm M thoả mãn 3MA2 MB2 2MC 2 là một đường tròn C . Tìm tính bán kính của (C). 107 25 25 A. .B. 5 .C. . D. . 2 2 4 Lời giải Chọn A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3MA MB 2MC 3 x 1 3y x 2 y 4 2 x 4 2 y 1 11 107 x2 y2 9x 2y 0 . Bán kính của (C) là: R . 2 2 Dạng 2: Viết phương trình đường tròn Phương pháp giải. Cách 1: + Tìm toạ độ tâm I a;b của đường tròn (C) + Tìm bán kính R của đường tròn (C) + Viết phương trình của (C) theo dạng (x a)2 (y b)2 R2 . Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 y2 2ax 2by c 0 (Hoặc x2 y2 2ax 2by c 0 ). + Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c. + Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C). Chú ý: * A C IA R * C tiếp xúc với đường thẳng tại A IA d I; R * C tiếp xúc với hai đường thẳng 1 và 2 d I; 1 d I; 2 R PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Viết phương trình đường tròn trong mỗi trường hợp sau: a) Có tâm I 1; 5 và đi qua O 0;0 . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 9
10. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH b) Nhận AB làm đường kính với A 1;1 , B 7;5 . c) Đi qua ba điểm: M 2;4 , N 5;5 , P 6; 2 Lời giải a) Đường tròn cần tìm có bán kính là OI 12 52 26 nên có phương trình là x 1 2 y 5 2 26 b) Gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra I 4;3 AI 4 1 2 3 1 2 13 Đường tròn cần tìm có đường kính là AB suy ra nó nhận I 4;3 làm tâm và bán kính R AI 13 nên có phương trình là x 4 2 y 3 2 13 c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: x2 y2 2ax 2by c 0 . Do đường tròn đi qua ba điểm M , N, P nên ta có hệ phương trình: 4 16 4a 8b c 0 a 2 25 25 10a 10b c 0 b 1 36 4 12a 4b c 0 c 20 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x2 y2 4x 2y 20 0 Nhận xét: Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau Gọi I x; y và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm IM 2 IN 2 IM IN IP Vì 2 2 nên ta có hệ IM IP 2 2 2 2 x 2 y 4 x 5 y 5 x 2 2 2 2 2 y 1 x 2 y 4 x 6 y 2 Ví dụ 2. Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau: a) (C) có tâm I 1;2 và tiếp xúc với đường thẳng : x 2y 7 0 b) (C) đi qua A 2; 1 và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Oy NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 10
11. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH c) (C) có tâm nằm trên đường thẳng d : x 6y 10 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d1 :3x 4y 5 0 và d2 : 4x 3y 5 0 Lời giải a) Bán kính đường tròn (C) chính là khoẳng cách từ I tới đường thẳng nên 1 4 7 2 R d I; 1 4 5 2 2 4 Vậy phương trình đường tròn (C) là : x 1 y 2 5 b) Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm của đường tròn có dạng I R; R trong đó R là bán kính đường tròn (C). 2 2 2 2 2 2 R 1 Ta có: R IA R 2 R 1 R R 6R 5 0 R 5 Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài là: x 1 2 y 1 2 1 và x 5 2 y 5 2 25 c) Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K 6a 10;a Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d1, d2 nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R suy ra a 0 3(6a 10) 4a 5 4(6a 10) 3a 5 22a 35 21a 35 70 5 5 a 43 - Với a 0 thì K 10;0 và R 7 suy ra C : x 10 2 y2 49 2 2 2 70 10 70 7 10 70 7 - Với a thì K ; và R suy ra C : x y 43 43 43 43 43 43 43 Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là 2 2 2 2 2 10 70 7 C : x 10 y 49 và C : x y 43 43 43 Ví dụ 3. Cho hai điểm A 8;0 và B 0;6 . a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 11
12. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH Lời giải a) Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB suy ra I 4;3 và Bán kính R IA 8 4 2 0 3 2 5 Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: x 4 2 y 3 2 25 b) Ta có OA 8; OB 6; AB 82 62 10 1 Mặt khác OA.OB pr (vì cùng bằng diện tích tam giác ABC ) 2 OA.OB Suy ra r 2 OA OB AB Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ là 2;2 Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: x 2 2 y 2 2 4 Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 3x y 0 . và d2 : 3x y 0 . Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông 3 tại B. Viết phương trình của (C), biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành 2 độ dương. Lời giải d2 A d 1 B C Vì A d1 A a; 3a , a 0; B, C d2 B b; 3b , C c; 3c   Suy ra AB b a; 3 a b , AC c a; 3 c a Tam giác ABC vuông tại B do đó AC là đường kính của đường tròn C. NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 12
13. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH   Do đó AC  d1 AC.u1 0 1. c a 3. 3 a c 0 2a c 0 (1)   AB  d2 AB.u2 0 1. b a 3 a b 0 2b a 0 (2) 1 1 2 3a 2 2 3 Mặt khác S d A;d .BC . c b 3 c b 2a c b 1(3) ABC 2 2 2 2 2 3 Từ (1), (2) suy ra 2 c b 3a thế vào (3) ta được a 3a 1 a 3 3 2 3 3 2 3 Do đó b , c A ; 1 , C ; 2 6 3 3 3 3 3 AC Suy ra (C) nhận I ; là trung điểm AC làm tâm và bán kính là R 1 6 2 2 2 2 3 3 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là C : x x 1. 6 2 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0H3-2.2-1] Đường tròn tâm I(3; 1) và bán kính R 2 có phương trình là A. (x 3)2 (y 1)2 4.B. (x 3)2 (y 1)2 4 . C. (x 3)2 (y 1)2 4.D. (x 3)2 (y 1)2 4 . Lời giải Chọn C. Phương trình đường tròn có tâm I 3; 1 , bán kính R 2 là: x 3 2 y 1 2 4 Câu 2. [0H3-2.2-2] Đường tròn tâm I( 1;2) và đi qua điểm M (2;1) có phương trình là A. x2 y2 2x 4y 5 0 .B. x2 y2 2x 4y 3 0. C. x2 y2 2x 4y 5 0 .D. x2 y2 2x 4y 5 0. Lời giải Chọn A. Đường tròn có tâm I 1;2 và đi qua M 2;1 thì có bán kính là: R IM 32 1 2 10 Khi đó có phương trình là: x 1 2 y 2 2 10 x2 y2 2x 4y 5 0 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 13
14. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH Câu 3. [0H3-2.2-2] Cho hai điểm A(5; 1) , B( 3;7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là A. x2 y2 2x 6y 22 0 .B. x2 y2 2x 6y 22 0. C. x2 y2 2x y 1 0 . D. x2 y2 6x 5y 1 0. Lời giải Chọn C. Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I 1;3 . 1 1 2 2 Bán kính R AB 3 5 7 1 4 2 2 2 Vậy phương trình đường tròn là: x 1 2 y 3 2 32 x2 y2 2x 6y 22 0 Câu 4. [0H3-2.2-2] Đường tròn (C) tâm I( 4;3) và tiếp xúc với trục tung có phương trình là A. x2 y2 4x 3y 9 0 .B. (x 4)2 (y 3)2 16 . C (x 4)2 (y 3)2 16 .D. x2 y2 8x 6y 12 0. Lời giải Chọn B. C tiếp xúc với y 'Oy và có tâm I 4; 3 nên: a 4, b 3, R a 4 . Do đó, C có phương trình x 4 2 y 3 2 16 . Câu 5. [0H3-2.2-2] Đường tròn (C) tâm I(4; 3) và tiếp xúc với đườngthẳng :3x 4y 5 0 có phương trình là A. (x 4)2 (y 3)2 1.B. (x 4)2 (y 3)2 1. C (x 4)2 (y 3)2 1.D. (x 4)2 (y 3)2 1 Lời giải Chọn B. 3.4 4.3 5 C có bán kính R d I, 1. 32 4 2 Do đó, C có phương trình (x 4)2 (y 3)2 1. NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 14
15. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH Câu 6. [0H3-2.2-3] Đường tròn C đi qua điểm A 2;4 và tiếp xúc với các trục tọa độ có phương trình là A. (x 2)2 (y 2)2 4 hoặc (x 10)2 (y 10)2 100 B. (x 2)2 (y 2)2 4 hoặc (x 10)2 (y 10)2 100 C. (x 2)2 (y 2)2 4 hoặc (x 10)2 (y 10)2 100 D. (x 2)2 (y 2)2 4 hoặc (x 10)2 (y 10)2 100 Lời giải Chọn A. C : x a 2 y b 2 R2 tiếp xúc với các trục tọa độ nên a b R và điểm A 2; 4 C nằm trong góc phần tư thứ nhất nên I a;b cũng ở góc phần tư thứ nhất. Suy ra a b R . Vậy x a 2 y a 2 a2 C . 2 2 2 2 a 2 x 2 y 2 4 A C 2 a 4 a a2 a2 12a 20 0 a 10 2 2 x 10 y 10 100 Câu 7. [0H3-2.2-2] Đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1;3) , B(3;1) và có tâm nằm trên đường thẳng d : 2x y 7 0 có phương trình là A. (x 7)2 (y 7)2 102 .B. (x 7)2 (y 7)2 164 . C. (x 3)2 (y 5)2 25 . C. (x 3)2 (y 5)2 25 . Lời giải Chọn B. I a; b là tâm của đường tròn C , do đó: AI 2 BI 2 a 1 2 b 3 2 a 3 2 b 1 2 Hay : a b (1) . Mà I a;b d : 2x y 7 0 nên 2a b 7 0 (2) . Thay (1) vào (2) ta có: a 7 b 7 R2 AI 2 164 . Vậy C : x 7 2 y 7 2 164 . Câu 8. [0H3-2.2-3] Đường tròn (C) tiếp xúc với trục tung tại điểm A(0; 2) và đi qua điểm B(4; 2) có phương trình là NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 15
16. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH A. (x 2)2 (y 2)2 4.B. (x 2)2 (y 2)2 4 C. (x 3)2 (y 2)2 4 D. (x 3)2 (y 2)2 4 Lời giải Chọn A. Vì yA yB 2 nên AB  y 'Oy và AB là đường kính của C . Suy ra I 2; 2 và bán kính R IA 2 . Vậy C : x 2 2 y 2 2 4 . Câu 9. [0H3-2.2-2] Tâm của đường tròn qua ba điểm A 2; 1 , B 2; 5 , C 2; 1 thuộc đường thẳng có phương trình A. x y 3 0 .B. x y 3 0 C. x y 3 0 D. x y 3 0 Lời giải Chọn A. Phương trình C có dạng: x2 y2 2ax 2by c 0 (a2 b2 c 0) . Tâm I a; b . A 2; 1 C 4 1 4a 2b c 0 a 0 B 2; 5 C 4 25 4a 10b c 0 b 3 I 0; 3 4 1 4a 2b c 0 c 1 C 2; 1 C Lần lượt thế tọa độ I vào các phương trình để kiểm tra. Câu 10. [0H3-2.2-2] Đường tròn đi qua 3 điểm A 0;2 , B 2;2 , C(1;1 2) có phương trình là A. x2 y2 2x 2y 2 0 .B. x2 y2 2x 2y 0 . C. x2 y2 2x 2y 2 0 .D. x2 y2 2x 2y 2 0 . Lời giải Chọn B. Gọi phương trình đường tròn cần tìm có dạng: x2 y2 2ax 2by c 0 a2 b2 c 0 . Đường tròn đi qua 3 điểm A 0;2 , B 2;2 , C(1;1 2) nên ta có: 4 4b c 0 a 1 8 4a 4b c 0 b 1 4 2 2 2a 2 1 2 b c 0 c 0 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 16
17. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A 0;2 , B 2;2 , C(1;1 2) là x2 y2 2x 2y 0 Câu 11. [0H3-2.2-3] Đường tròn đi qua 3 điểm A 11;8 , B 13;8 , C 14;7 có bán kính R bằng A. 2 . B.1.C. 5 .D. 2 . Lời giải Chọn C. Gọi phương trình đường tròn cần tìm có dạng: x2 y2 2ax 2by c 0 a2 b2 c 0 . Đường tròn đi qua 3 điểm A 11;8 , B 13;8 , C 14;7 nên ta có: 121 64 22a 16b c 0 a 12 169 64 26a 16b c 0 b 6 196 49 28a 14b c 0 c 175 Ta có R a2 b2 c 5 Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A 11;8 , B 13;8 , C 14;7 có bán kính là R 5 Dạng 3: Vị trí tương đối của điểm; đường thẳng; đường tròn với đường tròn Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (C) Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính IM + Nếu IM R suy ra M nằm trong đường tròn + Nếu IM R suy ra M thuộc đường tròn + Nếu IM R suy ra M nằm ngoài đường tròn Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn (C) Xác định tâm I và bán kính R của đường tròn (C) và tính d I; + Nếu d I; R suy ra cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt + Nếu d I; R suy ra tiếp xúc với đường tròn + Nếu d I; R suy ra không cắt đường tròn Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng và đường tròn (C) bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ. NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 17
18. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường tròn (C') Xác định tâm I, bán kính R của đường tròn (C) và tâm I', bán kính R' của đường tròn (C') và tính II ' , R R ', R R ' + Nếu II ' R R ' suy ra hai đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau + Nếu II ' R R ' suy ra hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau + Nếu II ' R R ' suy ra hai đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau + Nếu II ' R R ' suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau + Nếu R R ' II ' R R ' suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt Chú ý: Số nghiệm của hệ phương trình tạo bởi phương trình đường thẳng (C) và đường tròn (C') bằng số giao điểm của chúng. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ. PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho đường thẳng : x y 1 0 và đường tròn C : x2 y2 4x 2y 4 0 a) Chứng minh điểm M 2;1 nằm trong đường tròn b) Xét vị trí tương đối giữa và C c) Viết phương trình đường thẳng ' vuông góc với và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất. Lời giải a) Đường tròn (C) có tâm I 2; 1 và bán kính R 3. Ta có IM 2 2 2 1 1 2 2 3 R do đó M nằm trong đường tròn. 2 1 1 b) Vì d I; 2 2 3 R nên cắt C tại hai điểm phân biệt. 1 1 c) Vì ' vuông góc với và cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách của chúng là lớn nhất nên ' vuông góc với và đi qua tâm I của đường tròn (C).  Do đó ' nhận vectơ u 1;1 làm vectơ pháp tuyến suy ra ':1 x 2 1 y 1 0 hay x y 1 0 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là ': x y 1 0 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 18
19. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH Ví dụ 2. Trong mặt phẳng Oxy , cho hai đường tròn C : x2 y2 2x 6y 15 0 và C ' : x2 y2 6x 2y 3 0 a) Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B c) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B và O Lời giải a) Cách 1: C có tâm I 1;3 và bán kính R 5, C có tâm I ' 3;1 và bán kính R 13 II ' 3 1 2 1 3 2 2 2 Ta thấy R1 R2 I1I2 R1 R2 suy ra hai đường tròn cắt nhau. Cách 2: Xét hệ phương trình x2 y2 2x 6y 15 0 x2 y2 2x 6y 15 0 2 2 x y 6x 2y 3 0 x y 3 0 2 2 y 2 y 3 y2 2 y 3 6y 15 0 y y 6 0 y 3 x y 3 x y 3 x y 3 Suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm có tọa độ là A 1; 2 và B 6;3  b) Đường thẳng đi qua hai điểm A, B nhận AB 5;5 làm vectơ chỉ phương suy ra phương trình x 1 5t đường thẳng cần tìm là y 2 5t c) Cách 1: Đường tròn cần tìm (C") có dạng x2 y2 2ax 2by c 0 7 a 2 1 4 2a 4b c 0 1 (C") đi qua ba điểm A, B và O nên ta có hệ 36 9 12a 6b c 0 b 2 c 0 c 0 Vậy (C") : x2 y2 7x y 0 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 19
20. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH Cách 2: Vì A, B là giao điểm của hai đường tròn (C) và (C') nên tọa độ đều thỏa mãn phương trình x2 y2 2x 6y 15 m x2 y2 6x 2y 3 0 (*) Tọa độ điểm O thỏa mãn phương trình (*) khi và chỉ khi 15 m. 3 0 m 5 Khi đó phương trình (*) trở thành x2 y2 7x y 0 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là x2 y2 7x y 0 Ví dụ 3. Cho đường tròn (C) : x2 y2 2x 4y 4 0 có tâm I và đường thẳng : 2x my 1 2 0 a) Tìm m để đường thẳng cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B b) Tìm m để diện tích tam giác IAB là lớn nhất Lời giải I B A H a) Đường tròn (C) có tâm I 1; 2 , bán kính R 3 cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi 2 2m 1 2 d I; R 3 2 m2 5m2 5m 17 0 (đúng với mọi m) 1 9 9 b) Ta có S IA.IB.sin ·AIB sin ·AIB IAB 2 2 2 9 Suy max S khi và chỉ khi sin ·AIB 1 ·AIB 900 IAB 2 3 Gọi H là hình chiếu của I lên khi đó ·AIH 450 IH IA.cos 450 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 20
21. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH 1 2m 3 Ta có d I; IH m2 8m 16 0 m 4 2 m2 2 Vậy với m 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán. PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0H3-1.2-3] Cho đường tròn (C) : (x 1)2 (y 3)2 4 và đường thẳng d :3x 4y 5 0 . Phương trình của đường thẳng d song song với đường thẳng d và chắn trên (C) một dây cung có độ dài lớn nhất là A. 4x 3y 13 0 .B. 3x 4y 25 0 .C. 3x 4y 15 0 .D. 4x 3y 20 0 . Lời giải Chọn C. C có tâm I 1;3 và R 2. d // d d :3x 4y c 0 . Yêu cầu bài toán có nghĩa là d qua tâm I 1; 3 của C , tức là : 3 12 c 0 c 1 Vậy d :3x 4y 15 0 . Câu 2. [0H3-2.4-2] Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng : x 2y 3 0 và đường tròn (C) : x2 y2 2x 4y 0 A. 3;3 và 1;1 .B. 1;1 và 3; 3 . C. 3;3 và 1;1 . D. 2;1 và 2; 1 . Lời giải Chọn A. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình sau x 2y 3 0 x 2y 3 2 2 2 2 x y 2x 4y 0 2y 3 y 2 2y 3 4y 0 y2 4y 3 0 y 1 y 3 hoặc x 2y 3 x 1 x 3 Vậy tọa độ giao điểm là 3;3 và 1;1 . Câu 3. [0H3-1.2-3] Cho đường tròn (C) : x2 y2 4x 6y 5 0 . Đường thẳng d đi qua A(3;2) và cắt (C) theo một dây cung ngắn nhất có phương trình là A. 2x y 2 0 .B. x y 1 0 . C. x y 1 0.D. x y 1 0 . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 21
22. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH Lời giải Chọn C. N H A M I f x; y x2 y2 4x 6y 5. f (3;2) 9 4 12 12 5 6 0. Vậy A 3; 2 ở trong C .  Dây cung MN ngắn nhất IH lớn nhất H  A MN có vectơ pháp tuyến là IA 1; 1 . Vậy d có phương trình: 1(x 3) 1(y 2) 0 x y 1 0 . Câu 4. [0H3-1.2-3] Cho đường tròn (C) : x2 y2 6x 2y 5 0 và đường thẳng d đi qua điểm A( 4;2) , cắt (C) tại hai điểm M , N sao cho A là trung điểm của MN . Phương trình của đường thẳng d là A. x y 6 0 .B. 7x 3y 34 0 .C. 7x 3y 30 0 . D. 7x y 35 0. Lời giải Chọn A. C có tâm I 3;1 , R 5 . Do đó, IA 2 R A ở trong C .  A là trung điểm của MN IA  MN IA 1;1 là vectơ pháp tuyến của d , nên d có phương trình: 1(x 4) 1(y 2) 0 x y 6 0 . Câu 5. [0H3-2.4-2] Cho đường tròn (C) : x2 y2 4x 6y 3 0. Mệnh đề nào sau đây đúng? (I) Điểm A(1;1) nằm ngoài (C) . (II) Điểm O(0;0) nằm trong (C) . (III) (C) cắt trục tung tại hai điểm phân biệt. A. Chỉ (I). B. Chỉ (II).C. Chỉ (III). D. Cả (I), (II) và (III). NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 22
23. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH Lời giải Chọn D. Đặt f x; y x2 y2 4x 6y 3 f 1;1 1 1 4 6 3 1 0 A ở ngoài C . f 0;0 3 0 O 0; 0 ở trong C . x 0 y2 6y 3 0 . Phương trình này có hai nghiệm, suy ra C cắt y 'Oy tại 2 điểm. Câu 6. [0H3-1.2-3] Cho đường tròn (C) : x2 y2 2x 6y 6 0 và đường thẳng d : 4x 3y 5 0 . Đường thẳng d song song với đường thẳng d và chắn trên (C) một dây cung có độ dại bằng 2 3 có phương trình là A. 4x 3y 8 0 .B. 4x 3y 8 0 hoặc 4x 3y 18 . C. 4x 3y 8 0 .D. 4x 3y 8 0 . Lời giải N H M I C có tâm I 1; 3 , R 2 d // d d có phương trình 4x 3y m 0 m 5 . Vẽ IH  MN HM 3 IH 2 R2 HM 2 4 3 1. 4.1 3.( 3) m m 8 d I,d IH 1 m 13 5 16 9 m 18. d : 4x 3y 8 0 Vậy: . d : 4x 3y 18 0 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 23
24. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH Câu 7. [0H3-1.2-3] Cho đường tròn (C) : x2 y2 6x 2y 5 0 và đường thẳng d đi qua điểm A( 4;2) , cắt (C) tại hai điểm M , N sao cho A là trung điểm của MN . Phương trình của đường thẳng d là A. x y 6 0 .B. 7x 3y 34 0 .C. 7x 3y 30 0 . D. 7x y 35 0. Lời giải Chọn A. C có tâm I 3;1 , R 5 . Do đó, IA 2 R A ở trong C .  A là trung điểm của MN IA  MN IA 1;1 là vectơ pháp tuyến của d , nên d có phương trình: 1(x 4) 1(y 2) 0 x y 6 0 . Câu 8. [0H3-2.4-3] Đường tròn x2 y2 2x 2y 23 0 cắt đường thẳng x y 2 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu? A.10.B. 8 . C. 6 .D. 3 2 . Lời giải Chọn A. 2 5 2 2 5 2 2 2 2 x x x y 2x 2y 23 0 2x 4x 23 0 2 2 Giải hệ PT hay x y 2 0 y 2 x 2 5 2 2 5 2 y y 2 2 Độ dài dây cung AB 10 . 2 2 Câu 9. [0H3-2.5-3] Tìm giao điểm 2 đường tròn C1 : x y 4 0 và 2 2 C2 : x y 4x 4y 4 0 A. 2; 2 và ( 2; 2 .B. 0;2 và 0; 2 . C. 2;0 và 0;2 . D. 2;0 và 2;0 . Lời giải Chọn C. NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 24
25. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH x2 y2 4 0 x2 y2 4 0 x2 y2 4 0 Giải hệ PT 2 2 x y 4x 4y 4 0 4 4x 4y 4 0 x y 2 2 2 x2 2 x 4 0 x2 2 x 4 0 x 0 x 2 hay . y 2 x y 2 x y 2 y 0 Vậy giao điểm A 0;2 , B 2;0 . 2 2 Câu 10. [0H3-2.5-2] Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn C1 : x y 4 và 2 2 C2 : (x 10) (y 16) 1. A. Cắt nhau.B. Không cắt nhau. C. Tiếp xúc ngoài. D. Tiếp xúc trong. Lời giải Chọn B. C1 có tâm và bán kính: I1  0;0 , R1 2 ; C2 có tâm và bán kính: I2 10;16 , R2 1; 2 2 khoảng cách giữa hai tâm I1I2 10 16 2 89 R1 R2 . Vậy C1 và C2 không có điểm chung. Câu 11. [0H3-2.4-2] Với những giá trị nào của m thì đường thẳng : 4x 3y m 0 tiếp xúc với đường tròn C : x2 y2 9 0 . A. m 3 .B. m 3 và m 3 . C. m 3 .D. m 15 và m 15 . Lời giải Chọn D. Đường tròn C có tâm và bán kính là I  0;0 , R 3. m m 15 tiếp xúc C d I, R 3 5 m 15 Câu 12. [0H3-2.4-2] Một đường tròn có tâm I(1;3) tiếp xúc với đường thẳng :3x 4y 0 . Hỏi bán kính đường tròn bằng bao nhiêu ? 3 A. .B. 1.C. 3 .D. 15. 5 Lời giải Chọn C. NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 25
26. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH 3.1 3.4 ycbt R d(I; ) 3. 32 42 Câu 13. [0H3-2.4-2] Đường tròn (x a)2 (y b)2 R2 cắt đường thẳng x y a b 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu ? R 2 A. 2R .B. R 2 . C. .D. R . 2 Lời giải Chọn A. Vì đường tròn có tâm I(a;b) , bán kính R và tâm I(a;b) thuộc đường thẳng x y a b 0 . Nên độ dài của dây cung bằng độ dài đường kính bằng 2R . 2 2 Câu 14. [0H3-2.5-2] Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C1) : x y 4x 0 và 2 2 (C2 ) : x y 8y 0 . A. Tiếp xúc trong. B. Không cắt nhau. C. Cắt nhau. D. Tiếp xúc ngoài. Lời giải Chọn C. 2 2 Đường tròn (C1) : x y 4x 0 có tâm I1(2;0) , bán kính R1 2 . 2 2 Đường tròn (C2 ) : x y 8y 0 có tâm I2 (0; 4) , bán kính R2 4 . Ta có R2 R1 I1I2 2 5 R2 R1 nên hai đường tròn cắt nhau. Câu 15. [0H3-2.4-2] Đường tròn (C) có tâm I( 1;3) và tiếp xúc với đường thẳng d :3x 4y 5 0 tại điểm H có tọa độ là 1 7 1 7 1 7 1 7 A. ; .B. ; .C. ; . D. ; . 5 5 5 5 5 5 5 5 Lời giải Chọn B. IH  d IH : 4x 3y c 0 . Đường thẳng IH qua I 1; 3 nên 4( 1) 3.3 c 0 c 5 . Vậy IH : 4x 3y 5 0. NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 26
27. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH 1 x 4x 3y 5 0 5 1 7 Giải hệ: H ; . 3x 4y 5 0 7 5 5 y 5 2 2 Câu 16. [0H3-2.5-2] Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn C1 : x y 4 và 2 2 C2 : (x 3) (y 4) 25 . A.Không cắt nhau.B.Cắt nhau.C.Tiếp xúc ngoài.D.Tiếp xúc trong. Hướng dẫn giải Chọn B. Ta có: tâm I1 0;0 , I2 3;4 , bán kính R1 2, R2 5 nên R 2 R1 3 I1I2 5 R 2 R1 7 nên 2 đường tròn trên cắt nhau. Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn Phương pháp giải. Cho đường tròn (C) tâm I a;b , bán kính R Nếu biết tiếp điểm là M x0 ; y0 thì tiếp tuyến đó đi qua M và nhận vectơ  IM x0 a; y0 b làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là x0 a x x0 y0 b y y0 0 Nếu không biết tiếp điểm thì dùng điều kiện: Đường thẳng tiếp xúc đường tròn (C) khi và chỉ khi d I; R để xác định tiếp tuyến. PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho đường tròn (C) có phương trình x2 y2 6x 2y 6 0 và điểm hai điểm A 1; 1 ; B 1;3 a) Chứng minh rằng điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngoài đường tròn b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ B. Lời giải Đường tròn (C) có tâm I 3; 1 bán kính R 32 1 6 2 . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 27
28. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH a) Ta có: IA 2 R; IB 2 5 R suy ra điểm A thuộc đường tròn và điểm B nằm ngoài đường tròn  b) Tiếp tuyến của (C) tại điểm A nhận IA 2;0 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là 2 x 1 0 y 1 0 hay x 1 b) Phương trình đường thẳng đi qua B có dạng: a x 1 b y 3 0 (với a2 b2 0 ) hay ax by a 3b 0 Đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn d I; R 3a b a 3b 2 2 2 2 b 0 2 a 2b a b 3b 4ab 0 a2 b2 3b 4a + Nếu b 0 , chọn a 1 suy ra phương trình tiếp tuyến là x 1. + Nếu 3b 4a , chọn a 3, b 4 suy ra phương trình tiếp tuyến là 3x 4y 15 0 Vậy qua A kẻ được hai tiếp tuyến với (C) có phương trình là x 1 và 3x 4y 15 0 Ví dụ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn C : x2 y2 4x 4y 1 0 trong trường a) Đường thẳng vuông góc với đường thẳng ': 2x 3y 4 0 b) Đường thẳng hợp với trục hoành một góc 450 Lời giải a) Đường tròn (C) có tâm I 2; 2 , bán kính R 3 Vì  ' nên nhận u 3;2 làm VTPT do đó phương trình có dạng 3x 2y c 0 Đường thẳng là tiếp tuyến với đường tròn (C) khi và chỉ khi 10 c d I; 3 3 c 10 3 13 13 Vậy có hai tiếp tuyến là : 3x 2y 10 3 13 0 b) Giả sử phương trình đường thẳng : ax by c 0, a2 b2 0 Đường thẳng là tiếp tuyến với đường tròn (C) khi và chỉ khi NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 28
29. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH 2a 2b c d I; 3 3 2a 2b c 2 9 a2 b2 (*) a2 b2 Đường thẳng hợp với trục hoành một góc 450 suy ra b b cos ;Ox cos 450 a b hoặc a b a2 b2 a2 b2 TH1: Nếu a b thay vào (*) ta có 18a2 c2 c 3 2a , chọn a b 1 c 3 2 suy ra : x y 3 2 0 c 3 2 4 a TH2: Nếu a b thay vào (*) ta có 18a2 4a c 2 c 3 2 4 a Với c 3 2 4 a , chọn a 1, b 1, c 3 2 4 : x y 3 2 4 0 Với c 3 2 4 a , chọn a 1, b 1, c 3 2 4 : x y 3 2 4 0 Vậy có bốn đường thẳng thỏa mãn là 1,2 : x y 3 2 0, 3 : x y 3 2 4 0 và 4 : x y 3 2 4 0 Ví dụ 3. Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau: 2 2 2 2 C1 : x y 4y 5 0 và C2 : x y 6x 8y 16 0 Lời giải Đường tròn C1 có tâm I1 0;2 bán kính R1 3 Đường tròn C2 có tâm I2 3; 4 bán kính R2 3 Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình : ax by c 0 với a2 b2 0 2 2 d(I1, ) 3 2b c 3 a b * là tiếp tuyến chung của C1 và C2 d(I , ) 3 2 2 2 3a 4b c 3 a b a 2b Suy ra 2b c 3a 4b c 3a 2b c 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 29
30. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH TH1: Nếu a 2b chọn a 2, b 1 thay vào (*) ta được c 2 3 5 nên ta có 2 tiếp tuyến là 2x y 2 3 5 0 3a 2b TH2: Nếu c thay vào (*) ta được 2b a 2 a2 b2 a 0 hoặc 3a 4b 0 2 + Với a 0 c b , chọn b c 1 ta được : y 1 0 + Với 3a 4b 0 c 3b , chọn a 4, b 3, c 9 ta được : 4x 3y 9 0 Vậy có 4 tiếp tuyến chung của hai đường tròn là : 2x y 2 3 5 0, y 1 0, 4x 3y 9 0 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0H3-2.3-2] Cho đường tròn (C) : (x 3)2 (y 1)2 10 . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(4;4) là A. x 3y 5 0 .B. x 3y 4 0 .C. x 3y 16 0 .D. x 3y 16 0 . Lời giải Chọn D.  C có tâm I 3;1 IA 1; 3 là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến D. Suy ra D :1 x 4 3 y 4 0 x 3y 16 0. Câu 2. [0H3-2.3-3] Cho đường tròn (C) : (x 2)2 (y 2)2 9. Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A( 5;1) là A. x y 4 0 và x y 2 0 .B. x 5 và y 1. C. 2x y 3 0 và 3x 2y 2 0.D. 3x 2y 2 0 và 2x 3y 5 0 . Lời giải Chọn B. C có tâm I 2; 2 và bán kính R 3. n A; B là vectơ pháp tuyến nên D : A x 5 B y 1 0 . D là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi : A 2 5 B 2 1 A 0 chon B 0 y 1 d I, R 3 A.B 0 . A2 B2 B 0 chon A 0 x 5 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 30
31. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH Câu 3. [0H3-2.3-3] Cho đường tròn (C) : x2 y2 2x 6y 5 0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng D : x 2y 15 0 là A. x 2y 0 và x 2y 10 0 .B. x 2y 0 và x 2y 10 0 . C. x 2y 1 0 và x 2y 3 0 .D. x 2y 1 0 và x 2y 3 0 . Lời giải Chọn A. C có tâm I 1; 3 và bán kính R 1 9 5 5, d : x 2y m 0 . d là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi: 1 6 m m 5 5 m 0 d : x 2y 0 d I, d R 5 m 5 5 . 1 4 m 5 5 m 10 d : x 2y 10 0 Câu 4. [0H3-2.3-2] Cho đường tròn (C) : x2 y2 6x 2y 5 0 và đường thẳng d : 2x (m 2)y m 7 0 . Với giá trị nào của m thì d là tiếp tuyến của (C) ? A. m 3 .B. m 15 . C. m 13 .D. m 3 hoặc m 13 . Lời giải Chọn D. C có tâm I 3; 1 và bán kính R 5 . d là tiếp tuyến của C khi va chỉ khi: 6 m 2 m 7 2 m 3 d I, d R 5 m 16m 39 0 . 4 (m 2)2 m 13 Câu 5. [0H3-2.3-3] Cho đường tròn C : x2 y2 2x 8y 23 9 và điểm M 8; 3 . Độ dài đoạn tiếp tuyến của C xuất phát từ M là : 10 A.10.B. 2 10 .C. .D. 10 . 2 Lời giải Chọn D. Đường tròn C : x2 y2 2x 8y 23 9 có tâm I 1; 4 bán kính R 40 . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 31
32. CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TLDH Độ dài tiếp tuyến là IM 2 R2 10 . Câu 6. [0H3-2.1-2] Nếu đường tròn C : x 1 2 y 3 2 R2 tiếp xúc với đường thẳng d :5x 12y 60 0 thì giá trị của R là: 19 A. R 2 2 .B. R .C. R 5 .D. R 2 . 13 Lời giải Chọn B. Đường tròn C : x 1 2 y 3 2 R2 có tâm I 1;3 bán kính R . Đường thẳng d :5x 12y 60 0tiếp xúc với đường tròn C khi 5.1 12.3 60 19 d d I,d 53 123 13 Câu 7. [0H3-2.3-2] Cho đường tròn C : x 3 2 y 1 2 5. Phương trình tiếp tuyến của C song song với đường thẳng d : 2x y 7 0là A. 2x y 0; 2x y 10 0 .B. 2x y 1 0; 2x y 1 0 . C. 2x y 10 0; 2x y 10 0 .D. 2x y 0; x 2y 10 0 . Lời giải Chọn A. Phương trình tiếp tuyến có dạng : 2x y m 0 với m 7 . Đường tròn C : x 3 2 y 1 2 5 có tâm I 3; 1 và bán kính R 5 2.3 1 m m 0 Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn C khi d I; R 5 5 m 10 Vậy 1 : 2x y 0; 2 : 2x y 10 0 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 32