›
›
›

Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng - Bài 4: Ôn tập

docx 27 trang nhungbui22 11/08/2022 2640
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng - Bài 4: Ôn tập", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxon_tap_hinh_hoc_lop_10_chuong_2_tich_vo_huong_va_ung_dung_ba.docx

Nội dung text: Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng - Bài 4: Ôn tập

  1. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Ban thực hiện Tên giáo viên Đơn vị công tác GV Soạn Cô Nguyễn Thị Mai Trường THPT Chuyên Ngoại Ngữ (Hà Nội) GV phản biện Cô Đặng Thị Thùy Giang Trường THPT Tân Phước Khánh (Bình Dương) TT Tổ soạn Cô Thanh Minh Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Gia Lai) TT Tổ phản biện Cô Phạm Thị Hoài Trường THCS Nguyễn Hiền (Nha Trang) Người triển khai Thầy Phạm Lê Duy Trường THPT Chu Văn An (An Giang) ÔN TẬP CHƯƠNG II A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0 ĐẾN 180 . 1. Định nghĩa Trong mặt phẳng tọa độ Oxy .Với mỗi góc 00 1800 , ta xác định điểm M trên trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O sao cho x·OM . Giả sử điểm M có tọa độ x; y . Khi đó: y x sin y; cos x;tan ( 900 ); cot ( 00 , 1800 ) x y Các số sin ,cos , tan ,cot  được gọi là giá trị lượng giác của góc . Chú ý: Từ định nghĩa ta có: Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox, Oy khi đó M OP;OQ . Với 00 1800 ta có 0 sin 1; 1 cos 1 Dấu của giá trị lượng giác: Góc 00 900 1800 sin + + cos + - tan + - cot + - 2. Tính chất Góc phụ nhau Góc bù nhau sin(900 ) cos sin(1800 ) sin cos(900 ) sin cos(1800 ) cos tan(900 ) cot tan(1800 ) tan cot(900 ) tan cot(1800 ) cot 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt Góc 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 sin 1 2 3 3 2 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 cos 3 2 1 1 2 3 1 0 –1 2 2 2 2 2 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 1
  2. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH tan 3   2 0 1 3  3 1 AB2 EF 2 AB EF 0 3 cot  3 3 3 1 0 1 3  3 3 4. Các hệ thức lượng giác cơ bản sin 1) tan ( 900 ) ; cos cos 2) cot ( 00 ; 1800 ) sin 3) tan .cot 1 ( 00 ; 900 ; 1800 ) 4) sin2 cos2 1 1 5) 1 tan2 ( 900 ) cos2 1 6) 1 cot2 ( 00 ; 1800 ) sin2 II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ 1. Định nghĩa: a) Góc giữa hai vectơ.   Cho hai vectơ a và b đều khác 0 . Từ điểm O bất kỳ dựng các vectơ OA a và OB b . Số đo góc AOB được gọi là số đo góc giữa hai vectơ a và b . + Quy ước : Nếu a 0 hoặc b 0 thì ta xem góc giữa hai vectơ a và b là tùy ý (từ 00 đến 1800 ). + Kí hiệu: a;b b) Tích vô hướng của hai vectơ. Tích vô hướng của hai véc tơ a và b là một số thực được xác định bởi: a.b a b .cos(a,b) . 2. Tính chất: Với ba véc tơ bất kì a,b,c và mọi số thực k ta luôn có: 1) a.b b.a 2) a(b c) a.b a.c 3) (ka)b k(a.b) a(kb) 2 2 4) a 0, a 0 a 0 Chú ý: Ta có kết quả sau: + Nếu hai véc tơ a và b khác 0 thì a  b a.b 0 2 2 + a.a a a gọi là bình phương vô hướng của véc tơ a . O; R 2 2 2 2 + (a b)2 a 2a.b b , (a b)(a b) a b 3. Công thức hình chiếu và phương tích của một điểm với đường tròn. a) Công thức hình chiếu.   Cho hai vectơ AB, CD . Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B lên đường thẳng CD khi đó ta có     AB.CD A' B '.CD NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 2
  3. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH b) phương tích của một điểm với đường tròn. Cho đường tròn và điểm M. Một đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Biểu thức   MA.MB được gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn O; R . Kí hiệu là PM / O .   2 2 2 Chú ý: Ta có PM / O MA.MB MO R MT với T là tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ điểm M 3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng Cho hai vectơ a (x ; y ) và b (x ; y ) . Khi đó 1 1 2 2 1) a.b x1x2 y1 y2 2) a (x; y) | a | x2 y2 a.b x x y y 3) cos(a,b) 1 2 1 2 2 2 2 2 a b x1 y1 x2 y2 Hệ quả: + a  b x1x2 y1 y2 0 2 2 + Nếu A(xA; yA ) và B(xB ; yB ) thì AB (xB xA ) (yB yA ) III. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 1. Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC a, AC b và AB c . Ta có : a2 b2 c2 2bc.cos A A b2 c2 a2 2ca.cos B 2 2 2 c a b 2ab.cosC b Hệ quả: c b2 c2 a2 cos A 2bc B a C c2 a2 b2 cos B Hình 2.6 2ca a2 b2 c2 cosC 2ab 2. Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC a, AC b , AB c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Ta có : a b c 2R sin A sin B sin C 3. Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với ma , mb , mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C. Ta có : 2(b2 c2 ) a2 m2 a 4 2(a2 c2 ) b2 m2 b 4 2(a2 b2 ) c2 m2 c 4 4. Diện tích tam giác Với tam giác ABC ta kí hiệu ha , hb , hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 3
  4. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH AB; R, r a b c lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p là nửa chu vi tam giác; S là 2 diện tích tam giác. Khi đó ta có: 1 1 1 S = ah bh ch 2 a 2 b 2 c 1 1 1 = bcsin A casin B absin C 2 2 2 abc = 4R = pr = p( p a)( p b)( p c) (công thức Hê–rông) B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Với những giá trị nào của góc 00 1800 thì: sin a) sin .cos có giá trị âm. b) có giá trị âm. tan tan c) có giá trị dương. cos Lời giải a) sin .cos 0 cos 0 900 1800 . sin sin .cos b) 0 0 cos 0,sin 0 900 1800 . tan sin tan sin sin 0 0 0 0 0 c) 0 2 0 0 90 hay 90 180 . cos cos cos 0 3 Ví dụ 2. Cho cos . Hãy tính sin , tan ,cot . 5 Lời giải 9 16 4 Ta có: sin2 1 cos2 1 sin (vì sin 0 ) 25 25 5 sin 4 3 4 3 tan : . Do đó cot . cos 5 5 3 4 Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có đường cao AH . Tính góc     a) AB, AC . b) AH,CB .     c) CA, BC . d) AH, BA . Lời giải   a) Ta có AB, AC B· AC 600 .   b) Ta có AH,CB 900 vì AH  BC . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 4
  5. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH       c) Vẽ CD BC thì CA, BC CA,CD ·ACD 1200 .       d) Vẽ BK AH thì AH, BA BK, BA K· BA 1500 . Ví dụ 4. Cho tam giác ABC với A 2;4 , B 3;1 ,C 3; 1 a) Tìm điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. b) Tìm chân A' của đường cao vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC . Lời giải ïì ì ï xD - 2 = 3 + 3 ï xD = 8 a) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi Û í Û í . Vậy D(8; 2). ï - = - - ï = îï yD 4 1 1 îï yD 2 uuuur uuur ì ïì AA' ^ BC ï AA'.BC = 0 b) Gọi A'(x; y) là chân đường cao AA' của tam giác ABC . Ta có íï Û íï uuur uuur . ï A' Î BC ï îï ïî BA' = kBC ïì ïì 3 ï ï x = uuuur uuur uuur   ï 6x- 2y = 4 ï Mà AA' = (x- 2; y - 4),BC = (6;- 2),BA' = (x + 3; y - 1) nên AD BC íï Û íï 5 . ï - 2x- 6y = 0 ï 1 ï ï y = - îï ïî 5 3 1 Vậy A' ; . 5 5 Ví dụ 5. Cho tam giác ABC biết a) a 12.b 13,c 15 . Tính cos A và góc A . b) AB 5, AC 8, µA 600 . Tính cạnh BC . Lời giải Áp dụng định lí hàm số cosin b2 c2 a2 132 152 122 25 a) Ta có cos A . 2bc 2.13.15 39 Suy ra A 500 . b) Ta có BC 2 AC 2 AB2 2AC.AB.cos A 82 52 2.8.5.cos600 49 . Vậy BC 7 . Ví dụ 6. Cho tam giác ABC , biết a) µA 600 , Bµ 450 ,b 4 . Tính cạnh a và c . b) µA 600 ,a 6 . Tính R . Lời giải Áp dụng định lí hàm số sin a b c a) Ta có . sin A sin B sin C bsin A 4sin 600 bsin C 4sin 750 Suy ra a 4,9 và c 5,5. sin B sin 450 sin B sin 450 a 6 b) Ta có R 3,5 . 2sin A 2sin 600 Ví dụ 7. Cho tam giác ABC biết a 21,b 17,c 10 a) Tính diện tích S của tam giác ABC và chiều cao ha . b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r và trung tuyến ma . Lời giải NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 5
  6. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 21 17 10 a) Ta có p 24. 2 Theo công thức Hê-rông, ta có S 24 24 2 24 17 24 10 84 . 2S 2.84 Do đó: h 8 . a a 21 S 84 b) Ta có S p.r r 3,5 p 24 b2 c2 a2 172 102 212 337 Độ dài trung tuyến m 2 84,25 a 2 4 2 4 4 Suy ra ma 84,25 9,18. Ví dụ 8. Cho tam giác ABC có µA 600 ,b 20,c 25 a) Tính diện tích S và chiều cao ha . b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R và bán kính đường tròn nội tiếp r . Lời giải 1 1 1 3 a) Ta có S bc.sin A .20.35.sin 600 .20.35. 175 3 . 2 2 2 2 Hơn nữa a2 b2 c2 2bc cos A 352 202 35.20 925 . Vậy a 925 30,41. 1 2S 350. 3 Từ công thức S ah h 19,94 . 2 a a a 925 a a 925 b) Từ công thức 2R R 17,56 . sin A 3 3 1 2S bcsin A Từ công thức S p.r với p a b c ta có r 7,10 . 2 a b c a b c PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0H2-2.1-2] Cho hai véc tơ a và b đều khác vec tơ 0 . Khẳng định nào sau đây đúng? A. ab a b .B. ab a b .cos a, b . C. ab ab .cos a, b . D. ab a b .sin a, b . Lời giải Chọn B Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vec tơ, ta có ab a b .cos a, b . Câu 2. [0H2-2.2-2] Cho hai vectơ a 4;3 , b 1; 7 . Tính góc giữa hai vectơ đó. A. 135 . B. 45. C. 30 . D. 60 . Lời giải Chọn A NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 6
  7. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 4. 1 3. 7 1 Ta có cos a,b a,b 135. 5. 50 2 Câu 3. [0H2-3.0-2] Cho tam giác ABC vuông tại A . Khẳng định nào sau đây sai?         A. AB.AC BA.BC . B. AC.CB AC.BC .         C. AB.BC CA.CB .D. AC.BC BC.AB . Lời giải Chọn D B A C   Tam giác ABC vuông tại A suy ra AB.AC 0 .   BA.BC BA.BC.cos B 0 . Suy ra A đúng.       AC.CB AC.C B.cosC 0 , AC.CB AC.C B.cosC 0 AC.CB 0.Suy ra B đúng.     AC.BC AC.C B.cosC 0, CA.CB CA.C B.cosC 0 . Suy ra C đúng. Vậy đáp án sai là.D. Câu 4. [0H2-3.1-2] Cho tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây đúng? A. a2 b2 c2 2bc cos A . B. a2 b2 c2 2bcsin A . C. a2 b2 c2 2bcsin A .D. a2 b2 c2 2bc cos A. Lời giải Chọn D Câu 5. [0H2-3.1-2] Cho tam giác ABC có BC 10, µA 30o . Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 10 A. 10. B. . C. 10 3 . D. 5 . 3 Lời giải Chọn A BC 10 2R R 10. sin A 2.sin 300 Câu 6. [0H2-1.3-2] Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đáy lớn CD Biết AB AD và 3 tan BDC . Tính cos B· AD . 4 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 7
  8. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 17 7 7 17 A. .B. . C. . D. . 25 25 25 25 Lời giải Chọn B A B β α α D C ABD cân tại A. 3 1 16 tan cos2 . 4 1 tan2 25 cos BAD cos 2 1 2sin2  7 sin  cos cos BAD 1 2cos2 25 Câu 7. [0H2-3.4-2] Cho tam giác ABC có AB 9, AC 12, BC 15 . Khi đó đường trung tuyến AM của tam giác có độ dài bằng bao nhiêu? A. 9 . B. 10.C. 7.5. D. 8 . Lời giải Chọn C AB2 AC 2 BC 2 92 122 152 225 AM 2 AM 7.5. 2 4 2 4 4 Câu 8. [0H2-2.7-2] Cho tam giác ABC có diện tích bằng S . Gọi M , N là hai điểm thỏa mãn     AM 2AB và CN 2AC . Tính diện tích tam giác AMN theo S . A. 2S . B. 8S . C. 4S . D. 6S Lời giải Chọn A N A C B M NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 8
  9. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH       Ta có: AM 2AB ; CN 2AC AN AC.     M· AN AM ; AN 2AB; AC 1800 B· AC 1 1 S .AM.AN.sin M· AN .2AB.AC.sin 1800 B· AC 2S. AMN 2 2 Câu 9. [0H2-3.4-2] Cho một tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là 4cm , 7cm và 9cm . Góc lớn nhất của tam giác đó có cos in bằng bao nhiêu? 19 19 2 2 A. . B. .C. . D. . 21 21 7 7 Lời giải Chọn C Gọi là góc lớn nhất của tam giác, đối diện với cạnh có độ đài 9cm . 72 42 92 2 Ta có: cos . 2.7.4 7   Câu 10. [0H2-2.4-2] Cho hình vuông ABCD có AB 2 . Tích vô hướng AB.CA có giá trị bằng bao nhiêu? A. 2 .B. 4 . C. 2 . D. 4 . Lời giải Chọn B          Ta có: AB.CA AB. CB BA AB.CB AB.BA 0 2.2 4 ( Do AB  CB ) Câu 11. [0H2-3.5-2] Cho tam giác ABC có diện tích 12. Nếu tăng độ dài cạnh AB lên ba lần, đồng thời giảmđộ dài cạnh AC còn một nửa và giữ nguyên độ lớn của góc A thì được một tam giác mới có diện tích S bằng bao nhiêu? A. S 8 . B. S 60 . C. S 16 .D. S 18 . Lời giải Chọn D 1 Ta có: Diện tích tam giác ban đầu: S AB.AC.sin A 1 2 1 1 3 3 Diện tích tam giác lúc sau: S .3AB. AC.sin A S .12 18 . 2 2 2 1 2 Câu 12. [0H2-3.1-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A 1;3 và B 6;2 . Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB (với O là gốc tọa độ) là: 50 A. 6 . B. 5 . C. 50 .D. . 2 Lời giải Chọn D NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 9
  10. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH     Ta có: OA 1;3 ; OB 6;2 OA.OB 0 OAB vuông tại O . AB 50 Đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB có bán kính R . 2 2 Câu 13. [0H2-2.8-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trực tâm là gốc tọa độ O , hai đỉnh A 2;2 và B 3;5 . Tọa độ của đỉnh C là: 3 5 3 5 3 11 3 11 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 4 4 4 4 4 4 4 4 Lời giải Chọn A Gọi C a;b     Ta có: OC a;b ; AB 5;3 ; OA 2;2 ; CB 3 a;5 b   OC  AB OC.AB 0 Do O là trực tâm ABC , hay   OA  BC OA.CB 0 3 a 5a 3b 0 5a 3b 0 4 3 5 C ; . 2 3 a 2 5 b 0 2a 2b 4 5 4 4 b 4 Câu 14. [0H2-2.1-2] Cho hai véctơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai? 1 2 2 2 A. a.b a b cos a, b . B. a.b a b a b . 2 2 2 2 1 2 2 2 C. a . b a.b . D. a.b a b a b . 2 Lời giải Chọn C 2 2 2 2 2 Ta có: a.b a b cos a, b a.b a b cos a,b a . b .cos a,b Vậy đáp án C sai.      Câu 15. [0H2-2.4-2] Cho hình vuông ABCD có cạnh a . Giá trị biểu thức BC BD BA AC AB là: A. 0 .B. 2a 2 . C. 2a 2 . D. 2 2a 2 . Lời giải Chọn B          Ta có: BC BD BA AC AB BC BD BA .BC NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 10
  11. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH       1 BC.BC BD.BC BA.BC BC 2 BD.BC.cos 45o 0 a2 a 2.a. 2a2 . 2 Câu 16. [0H2-2.9-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A 4;3 , B 2;7 , C 3; 8 . Tọa độ chân đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC là: A. 1; 4 . B. 1; 4 .C. 1; 4 . D. 4;1 . Lời giải Chọn C Gọi H a;b là đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC .    AH a 4;b 3 ; BC 5; 15 ; BH a 2;b 7   1 a 4 3 b 3 0 AH.BC 0 a 3b 13 a 1 Và   a 2 b 3 . BH k BC 3a b 1 b 4 1 3 Câu 17. [0H2-3.2-2] Cho tam giác ABC có BC 6 , AC 2 và AB 3 1. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng: A. 5 . B. 3 .C. 2 . D. 2 . Lời giải Chọn C Ta có: R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC . CA2 CB2 AB2 6 4 4 2 3 3 3 cosC . 2CA.CB 2.2. 6 2 6 3 1 sin C 1 cos2 C . 2 2 AB 3 1 R 2 . 2sin C 3 1 2. 2 2     Câu 18. [0H2-2.4-2] Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tích vô hướng AB AD . BC BD bằng: a 2 A. 2a 2 .B. a2 . C. 2a 2 . D. . 2 Lời giải Chọn B            Ta có: AB AD . BC BD AC. BC BD BC.AC BD.AC a 2.a.cos 45o a2 . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 11
  12. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Câu 19. [0H2-2.3-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A 2;3 , B 1; 4 , C 2; 4 . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Tam giác ABC vuông tại A .B. Tam giác ABC vuông tại C . C. Tam giác ABC đều. D. Tam giác ABC cân tại A . Lời giải Chọn B     Ta có: AC 0; 7 ; BC 3;0 AC.BC 0, hay ABC vuông tại C . Câu 20. [0H2-2.10-2] Cho hai điểm cố định A , B và AB a . Tập hợp điểm M thỏa mãn   1 AM.AB a2 là: 2 A. Đường trung trực của đoạn AB . B. Đường vuông góc với AB tại A . C. Đường vuông góc với AB tại A .D.Trung điểm của đoạn AB . Lời giải Chọn A   1 Ta có: AM.AB a2 . 2 Lấy điểm I là trung điểm của AB , I cố định.          1   AM.AB AI IM .AB AI.AB IM.AB a2 IM.AB 2   IM.AB 0 IM  AB , hay tập hợp điểm M là đường trung trực của AB . Câu 21. [0H2-2.6-3] Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Hai điểm M , N thay đổi lần lượt trên cạnh AB , AD sao cho AM x 0 x 1 , DN y 0 y 1 . Tìm mối liên hệ giữa x và y sao cho CM  BN . A. x y 0 . B. x y 2 0 . C. x y 1 . D. x y 3 0 . Lời giải Chọn A       Ta có: CM.BN CB BM BA AN         CB.BA CB.AN BM.BA BM.AN 0 1 1 y 1 1 x 0 y x .   Để CM  BN thì CM.BN 0 , hay x y 0 Câu 22. [0H2-2.4-3] Cho tam giác ABC đều cạnh a và M là điểm thuộc tia đối của tia BC sao cho   BC 2MB . Khi đó BA.CM bằng: 3a 2 3a 2 a 2 3 a 2 3 A. .B. . C. . D. . 2 4 2 4 Lời giải Chọn B NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 12
  13. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH  3    3   3 3a2 Ta có: CM CB ; BA.CM BA.CB BA.CB.cos120o . 2 2 2 4 Câu 23. [0H2-2.4-3] Cho ba véctơ a , b , c thỏa mãn: a 1, b 4, c 5 và 5 a b 4c 0 . Khi đó M a.b b.c c.a có giá trị là: 77 A. 19, 25 . B. . C. 18, 25 . D. 18, 25 . 2 Lời giải Chọn A 5 5 a b 4c 0 c a b ; 4 4 1 2 2 16 2 1 2 2 16 2 1 a b c a.b a b c a b c . 5 2 25 2 25 2 5 5 2 2 1 5 M a.b b.c c.a a.b a b a b a.b a b . 15 19,25 . 4 4 2 4 Câu 24. [0H2-3.2-2] Cho tam giác ABC và các đẳng thức: 1 1 : S bcsin A . 2 : S p a p b p c 2 c2 a2 b2 3 : m 2 4 : b2 a2 c2 2ac cos B a 2 4 a b c 5 : S pR 6 : 2R sin B sin C sin A Hỏi trong 6 đẳng thức trên, có bao nhiêu đẳng thức sai? A. 1. B. 2 . C. 3 .D. 4 . Lời giải Chọn D Các đẳng thức sai là: 2 , sửa: S p p a p b p c NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 13
  14. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH c2 b2 a2 3 : sửa: m 2 a 2 4 5 : S pr a b c 6 : 2R sin A sin B sin C Vậy có 4 đáp án sai. Câu 25. [0H2-3.1-3] Cho tam giác ABC có CA 2 , CB 3 2 , Cµ 45o . Độ dài đường cao qua C là: 3 10 3 10 A. 10 . B. .C. . D. 6 10 . 10 5 Lời giải Chọn C 1 Ta có: AB2 AC 2 BC 2 2AC.BC.cosC 4 18 2.2.3 2. 10 AB 10 . 2 1 1 AC.BC 2.3 2 1 3 10 Mà S AB.h AC.BC.sin C h .sin C . . 2 C 2 C AB 10 2 5 Câu 26. [0H2-1.4-2] Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC biết A 1;3 , B 2; 2 , C 3;1 . Tính cosin góc A của tam giác. 2 1 2 1 A. cos A .B. cos A . C. cos A . D. cos A . 17 17 17 17 Lời giải: Chọn B   AB 3; 5 , AC 2; 2 .     AB.AC 3.2 5.2 1 cos A cos AB; AC AB.AC 34.2 2 17 Câu 27. [0H2-1.4-2] Cho a , b có a 2b vuông góc với vectơ 5a 4b và a b . Khi đó: 2 3 1 A. cos a,b . B. cos a,b 90 . C. cos a,b . D. cos a,b . 2 2 2 Lời giải Chọn D +Vì a 2b vuông góc với vectơ 5a 4b nên: 2 2 2 2 5a 8b a 2b . 5a 4b 0 5a 8b 6a.b 0 a.b . 6 2 2 2 3a Ta có a b a b . Suy ra a.b 6 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 14
  15. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 2 3a a.b 6 1 + cos a,b 2 . a b a 2   Câu 28. [0H2-2.1-2] Cho tam giác ABC vuông tại B , BC a 3 . Tính AC.CB a2 3 a2 3 A. 3a2 . B. . C. D. 3a2 . 2 2 Lời giải Chọn D A B a 3 C         AC.CB AC CB .cos AC,CB AC CB .cos 180 Cµ     BC AC CB .cosCµ AC CB . BC 2 3a2 . AC 2 Câu 29. [0H2-1.2-2] Biết sin , 90 180 . Hỏi giá trị tan là bao nhiêu? 3 2 5 2 5 A. 2. B. 2 .C. . D. . 5 5 Lời giải Chọn C 4 5 Vì 90 180 cos 0 cos 1 sin2 1 . 9 3 sin 2 5 Vậy tan . cos 5 sin cos Câu 30. [0H2-1.2-2] Cho tan 2 . Tính B sin3 3cos3 2sin 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 A. B . B. B . C. B . D. B . 3 8 2 8 2 3 8 2 1 8 2 1 Lời giải Chọn A 1 1 tan . 2 2 sin cos 2 2 tan 1 tan 1 tan B cos cos 3 3 1 3 2 sin 3cos 2sin tan3 3 2 tan . tan 3 2 tan 1 tan cos2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 15
  16. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 1 tan2 tan 1 3 2 1 . 3tan3 2 tan 3 8 2 3 Câu 31. [0H2-3.1-2] Cho ABC có a 4 , c 5 , Bµ 150 . Tính diện tích tam giác ABC . A. S 10 . B. S 10 3 .C. S 5. D. S 5 3 . Lời giải Chọn C 1 1 Diện tích tam giác ABC là S acsin Bµ .4.5sin150 5 . 2 2 Câu 32. [0H2-1.2-2] Cho cot 2 , 0 180 . Tính sin và cos . 1 6 1 6 A. sin , cos .B. sin , cos . 3 3 3 3 6 1 6 1 C. sin , cos . D. sin , cos . 2 3 2 3 Lời giải Chọn B Ta thấy cot 2 0 nên suy ra 90 180 . 1 1 1 1 Và: sin2 sin . 1 cot2 1 2 3 3 1 Do 0 180 nên sin 0 sin . 3 cos 1 6 Mà: cot cos cot .sin 2. . sin 3 3 1 Câu 33. [0H2-1.2-2] Cho sin x cos x . Tính P sin x cos x . 5 3 4 5 7 A. P . B. P . C. P .D. P . 4 5 6 5 Lời giải Chọn D Ta có: P2 sin x cos x 2 1 2sin x.cos x . Theo giả thiết: 1 1 2 1 24 sin x cos x sin x cos x 1 2sin x.cos x 2sin x.cos x . 5 25 25 25 24 49 7 Do đó: P2 1 P (Vì P 0). 25 25 5     Câu 34. [0H2-2.1-3] Cho tam giác ABC vuông tại A có AB a , BC 2a . Tính BC.CA BA.AC theo a .         A. BC.CA BA.AC a 3 .B. BC.CA BA.AC 3a2 . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 16
  17. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH         C. BC.CA BA.AC a 3 . D. BC.CA BA.AC 3a2 . Lời giải Chọn B   Tam giác ABC vuông tại A AC 2 BC 2 AB2 3a2 và BA.AC 0     2   2   Mặt khác: BA BC CA BA BC CA BA2 BC 2 CA2 2.BC.CA .   BA2 BC 2 CA2 a2 4a2 3a2 BC.CA 3a2 . 2 2     Vậy BC.CA BA.AC 3a2 . Câu 35. [0H2-2.3-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 3;0 , B 3;0 và C 2;6 . Gọi H a;b là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a 6b. A. a 6b 5 . B. a 6b 6.C. a 6b 7 . D. a 6b 8 . Lời giải Chọn C Gọi H a;b là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho khi đó ta có:     AH a 3;b , BC 1;6 AH.BC 0 a 3 6b 0     BH a 3;b , AC 5;6 BH.AC 0 5a 15 6b 0 a 2 a 6b 3 Từ đó ta có hệ phương trình 5 a 6b 7 5a 6b 15 b 6 Câu 36. [0H2-1.2-2] Tính giá trị biểu thức P sin 30cos60 sin 60cos30. A. P 1. B. P 0 . C. P 3 . D. P 3 . Lời giải Chọn A Ta có P sin 30.sin 30 cos30.cos30 sin2 30 cos2 30 1. Câu 38. [0H2-3.1-2] Cho một hình bình hành ABCD có AB a , BC b . Công thức nào dưới đây là công thức tính diện tích của hình bình hành đó? A. a2 b2 .B. absin ·ABC . C. ab . D. 2 a b . Lời giải Chọn B 1 S 2S 2. .AB.BC sin ·ABC absin ·ABC . ABCD ABC 2 Câu 39. [0H2-2.1-2] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ; cho các véctơ a 1; 3 , b 2;5 . Tính tích vô hướng của a a 2b . A. 26 .B. 16 . C. 16. D. 36 . Lời giải Chọn B NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 17
  18. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 2 2 a a 2b a 2ab 12 3 2 1.2 3 .5 16 . Câu 41. [0H2-2.3-2] Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm A 2; 1 và B 2;1 . Tìm điểm M thuộc tia Ox sao cho tam giác ABM vuông tại M . A. M 5;0 . B. M 3;0 và M 3;0 . C. M 5;0 . D. M 5;0 và M 5;0 . Lời giải Chọn A Gọi M m;0 Ox , m 0 .   AM m 2;1 , BM m 2; 1 .   Tam giác ABM vuông tại M AM.BM 0 m2 4 1 0 m 5 . Vậy M 5;0 . Câu 45. [0H2-3.1-2] Tam giác ABC vuông tại A có AC 6 cm , BC 10 cm . Đường tròn nội tiếp tam giác đó có bán kính r là A. 1 cm . B. 2 cm .C. 2 cm . D. 3 cm . Lời giải Chọn C Do tam giác ABC vuông tại A có AC 6 cm , BC 10 cm nên AB BC 2 AC 2 102 62 8 . 1 Diện tích tam giác ABC là S AB.AC 24 . ABC 2 2S 2.24 Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r ABC 2 . AB BC CA 6 8 10 Câu 46. [0H2-3.1-2] Tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R 4 cm có diện tích là A. 12 3 cm2 . B. 13 2 cm2 . C. 13 cm2 . D. 15 cm2 . Lời giải Chọn A abc Ta có diện tích tam giác ABC là S . Do tam giác ABC đều nên ABC 4R 3 3 a 2Rsin A 3 S 2R2 sin3 A 2.42. sin 60 12 3 cm2 . ABC 4R 4R Câu 47. [0H2-3.1-2] Tam giác ABC vuông cân tại A có AB a . Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính r bằng a a a a A. . B. .C. . D. . 2 2 2 2 3 Lời giải Chọn C Tam giác ABC vuông cân tại A có AB a nên BC a 2 . 1 a2 Diện tích tam giác ABC là S AB.AC . ABC 2 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 18
  19. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 2S a2 a Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r ABC . AB BC CA a a a 2 2 2 Câu 48. [0H2-3.1-2] Tam giác ABC có ba cạnh thoả mãn điều kiện a b c a b c 3ab . Khi đó số đo của ¶C là A. 120 . B. 30 . C. 45.D. 60 . Lời giải Chọn D Ta có: a b c a b c 3ab a b 2 c2 3ab a2 b2 c2 ab . a2 b2 c2 ab 1 Theo hệ quả của định lí hàm cosin: cos ¶C ¶C 60 . 2ab 2ab 2 Câu 49. [0H2-3.1-2] Hình bình hành ABCD có AB a , BC a 2 và B· AD 45. Khi đó hình bình hành có diện tích là A. 2a2 . B. a2 2 .C. a2 . D. a2 3 . Lời giải Chọn C a 2 B C a 45° A a 2 D 1 Ta có: S 2S 2. .AB.AD.sin 45 a2 . ABCD ABD 2 Câu 50. [0H2-3.2-2] Tam giác ABC có µA 120 thì câu nào sau đây đúng A. a2 b2 c2 3bc .B. a2 b2 c2 bc . C. a2 b2 c2 3bc . D. a2 b2 c2 bc . Lời giải Chọn B Ta có a2 b2 c2 2ab.cos A b2 c2 2ab.cos120 b2 c2 ab . Câu 51. [0H2-3.1-2] Tam giác ABC có µA 60 ; b 10 ; c 20 . Diện tích của tam giác ABC bằng A. 50 3 . B. 50 . C. 50 2 . D. 50 5 . Lời giải Chọn A 1 Ta có S bc.sin A 50 3 . 2 Câu 52. [0H2-3.4-2] Cho tam giác ABC có a 2 ; b 6 ; c 1 3 . Góc µA là A. 30 .B. 45. C. 68 . D. 75 . Lời giải Chọn B NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 19
  20. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 2 b2 c2 a2 6 1 3 4 2 cos A µA 45 . 2bc 2. 6. 1 3 2 Câu 53. [0H2-3.2-3] Cho tam giác ABC , các đường cao ha , hb , hc thỏa mãn hệ thức 3ha 2hb hc . Tìm hệ thức giữa a , b , c 3 2 1 3 2 1 A. . B. 3a 2b c . C. 3a 2b c . D. . a b c a b c Lời giải Chọn D 6S 4S 2S 3 2 1 3h 2h h . a b c a b c a b c Câu 54. [0H2-3.2-3] Cho tam giác ABC , nếu 2ha hb hc thì 2 1 1 A. . B. 2sin A sin B sin C . sin A sin B sin C 2 1 1 C. sin A 2sin B 2sin C . D. . sin A sin B sin C Lời giải Chọn A 4S 2S 2S 4 2 2 2h h h a b c a b c 2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C 2 1 1 . sin A sin B sin C Câu 55. [0H2-3.2-3] Diện tích S của tam giác sẽ thỏa mãn hệ thức nào trong hai hệ thức sau đây? I. S 2 p p a p b p c II. 16S 2 a b c a b c a b c b c a A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Cả I và II. D. Không có. Lời giải Chọn A Áp dụng công thức Hê – rông S p p a p b p c S 2 p p a p b p c a b c Nếu thay p vào công thức Hê – rông thì ta có: 2 8S 2 a b c a b c a b c b c a . Câu 56. [0H2-3.4-2] Trong tam giác ABC có AB 2cm , AC 1cm , µA 60°. Khi đó độ dài cạnh BC là A. 1cm . B. 2cm .C. 3 cm . D. 5 cm . Lời giải Chọn C Ta có BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos A BC 2 22 12 2.2.1.cos60 BC 2 3 Vậy BC 3 cm . Câu 57. [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có: a 5 ; b 3 ; c 5 . Số đo của góc B· AC là NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 20
  21. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH A. µA 60° . B. µA 30°. C. µA 45° . D. µA 90°. Lời giải Chọn A b2 c2 a2 32 52 52 3 1 Ta có cos A cos A cos A µA 60° . 2bc 2.3.5 10 2 Câu 58. [0H2-3.1-3] Tam giác ABC vuông cân tại A và nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R . R Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Khi đó tỉ số bằng r 2 2 2 1 2 1 A. 1 2 . B. . C. . D. . 2 2 2 Lời giải Chọn A abc S Ta có R , r 4S P Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên b c và a b2 c2 b 2 a b c abc. 2b2 1 2 R abc.p 2 a a 2b Xét tỉ số 2 2 2 1 2 . 1 2 r 4S 4. . b.c 2b 2b 4 Câu 60. [0H2-3.4-4] Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB 12m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của giác kế có chiều cao h 1,3m . Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1 , B1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được góc · · DA1C1 49 và DB1C1 35 . Tính chiều cao CD của tháp. A. 22,77 m . B. 21,47 m . C. 20,47 m . D. 21,77 m . Lời giải Chọn A · · · Ta có C1DA1 90 49 41; C1DB1 90 35 55 , nên A1DB1 14 . A B A D 12.sin 35 Xét tam giác A DB , có 1 1 1 A D 28,45m . 1 1 · · 1 sin A1DB1 sin A1B1D sin14 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 21
  22. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Xét tam giác C1 A1D vuông tại C1 , có · C1D sin C1 A1D C1D A1D.sin C1 A1D 28,45.sin 49 21,47 m A1D CD C1D CC1 22,77 m . Câu 61. [0H2-3.4-4] Trên nóc một tòa nhà có cột ăng-ten cao 5m . Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten dưới góc 50 và 40 so với phương nằm ngang (như hình vẽ bên). Chiều cao của tòa nhà (được làm tròn đến hàng phần mười) là A. 21,2m . B. 14,2m . C. 11,9m .D. 18,9m . Lời giải Chọn D Ta có chiều cao của tòa nhà chính là đoạn BH . Mà BH CD DH CD 7 . CD Xét tam giác ACD vuông tại D có AC sin 40 5 CD Xét tam giác ABD vuông tại D có AB sin 50 Xét tam giác ABC có: BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cos B· AC 1 1 2cos10 2 10 10cos10 25 2 2 CD 2 CD 2 25 0 sin 50 sin 40 sin 40sin 50 sin 50 sin 40sin 50 sin 50 CD 11,9 BH 7 11,9 18,9 (m). Vậy tòa nhà cao 18,9 m . 1 Câu 62. [0H2-3.1-3] Cho tam giác ABC có a 5 cm , c 9 cm , cosC . Tính độ dài đường cao 10 ABC ha hạ từ A của tam giác . 462 462 21 11 21 11 A. h cm . B. h cm . C. h cm .D. h cm . a 40 a 10 a 40 a 10 Lời giải Chọn D NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 22
  23. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có: 2 2 2 2 1 2 b 7 c a b 2a.b.cosC 81 25 b 2.5.b. b b 56 0 10 b 8 Ta nhận được b 7(cm) Diện tích tam giác ABC là S ABC p p a p b p c 21 21 21 21 21 11 2 5 7 9 (cm ) 2 2 2 2 4 21 11 2S 21 11 Độ dài đường cao h 2 (cm) a a 5 10 Câu 63. [0H2-3.1-4] Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M thỏa mãn MO 3R . Một đường kính AB thay đổi trên đường tròn. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S MA MB . A. min S 6R . B. min S 4R . C. min S 2R . D. min S R . Lời giải Chọn A Gọi M· OA M· OB 180 . Ta có MA MO2 AO2 2MO.AO.cos 9R2 R2 6R2 cos R 10 6cos . MB MO2 BO2 2MO.BO.cos 180 9R2 R2 6R2 cos R 10 6cos . Xét C 10 6cos 10 6cos C 2 20 2 100 36cos2 20 2 100 36 36 . 2 cos 1 0 Suy ra C 6 . Dấu " " xẩy ra khi cos 1 . cos 1 180 Ta có S MA MB R 10 6cos 10 6cos 6R . Suy ra min S 6R khi và chỉ khỉ A , O , B , M thẳng hàng. Câu 64. [0H2-3.4-4] Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa đường tròn bán kính 1 m , người ta cắt ra một hình chữ nhật. Hỏi có thể cắt được miếng tôn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu? A. 1,6 m2 . B. 2 m2 .C. 1 m2 . D. 0,8 m2 . Lời giải NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 23
  24. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Chọn C Xét đường tròn bán kính 1, ta cắt trên đó một hình chữ nhật ABCD . 1 Khi đó S AC.BD.sin 2sin 2 . ABCD 2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 90 . Vậy diện tích lớn nhất của miếng tôn cắt trên nửa đường tròn bằng 1.   Câu 67. [0H2-2.2-3] Đoạn thẳng AB có độ dài 2a , I là trung điểm AB . Khi MA.MB 3a2 . Độ dài MI là A. 2a . B. a . C. a 3 . D. a 7 . Lời giải Chọn A      2  2 + Vì I là trung điểm đoạn AB nên ta có: MA MB 2MI MA MB 4MI   MA2 2MA.MB MB2 4MI 2 MA2 MB2 6a2 4MI 2 1 . + Theo công thức độ dài đường trung tuyến: MA2 MB2 AB2 MA2 MB2 MI 2 MI 2 a2 4MI 2 2 MA2 MB2 4a2 2 2 4 2 + Từ 1 và 2 suy ra MA2 MB2 10a2 . Thay vào 1 ta được: 10a2 6a2 4MI 2 MI 2 4a2 MI 2a . Câu 68. [0H2-2.4-4] Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a . Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 5a2 4MA2 MB2 MC 2 nằm trên một đường tròn C có bán kính R . Tính R . 2 a a a 3 a A. R . B. R . C. R .D. R . 3 4 2 6 Lời giải NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 24
  25. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Chọn D Gọi N là trung điểm đoạn BC .        Gọi I là điểm thỏa: 4IA IB IC 0 4IA 2IN 0 2IA IN 0 , nên điểm I thuộc đoạn thẳng AN sao cho IN 2IA . 1 1 a 3 a 3 2 2 a 3 a 3 Khi đó: IA AN . , và IN AN . . 3 3 2 6 3 3 2 3 a2 a2 7a2 IB2 IC 2 IN 2 BN 2 . 3 4 12 5a2   2   2   2 5a2 Ta có: 4MA2 MB2 MC 2 4 MI IA MI IB MI IC . 2 2 a 5 a2 7a2 5a2 a 6MI 2 4IA2 IB2 IC 2 6MI 2 4. 2. MI . 2 12 12 2 6 Câu 69. [0H2-2.3-3] Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A 2;3 , B 2;1 . Điểm C thuộc tia Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C có tọa độ là A. C 3;0 . B. C 3;0 .C. C 1;0 . D. C 2;0 . Lời giải Chọn C   Ta có : C Ox C x;0 . Khi đó : AC x 2; 3 ; BC x 2; 1 .     Tam giác ABC vuông tại C AC  BC AC.BC 0 x2 4 3 0 x 1. Vậy C 1;0 hoặc C 1;0 . Câu 70. [0H2-2.1-3] [0H2-3] Cho tam giác ABC vuông cân tại A , AB 1. Khẳng định nào sau đây sai.         A. AB.BC 1. B. CA.CB 1. C. AB.AC 0 .D. AB.CB 1. Lời giải Chọn D  Gọi D là đỉnh thứ IB 1;b 2 của hình bình hành ABCD . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 25
  26. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH     · 2 Khi đó : AB.BC AB.AD AB.AD.cos BAD 1. 2. 1. 2   Suy ra AB.CB 1. 2017 1 Câu 71. [0H2-1.2-3] Biết sin , 90 180 . Tính giá trị của biểu thức 2018 sin M cot . 1 cos 2017 1 2017 1 2018 2018 A. M . B. M . C. M .D. M . 2018 2018 2017 1 2017 1 Lời giải Chọn D sin cos sin 1 cos 1 2018 M cot . 1 cos sin 1 cos sin 1 cos sin 2017 1 Câu 73. [0H2-2.1-3] Cho ba véc-tơ a , b , c thỏa mãn: a 4 , b 1, c 5 và 5 b a 3c 0 . Khi       đó biểu thức M a .b b .c c .a có giá trị là 67 A. 29 . B. . C. 18,25. D. 18,25. 2 Lời giải Chọn A 2 2 Ta có 5 b a 3c 0 5 a b 3c 25 a b 9c 2 2 2 25 a 2ab b 9c a.b 4 . Tương tự: 5 b a 3c 0 5a 5b 3c b.c 5 . 5 b a 3c 0 5b 5a 3c a.c 20 . Vậy M 4 5 20 29 . Câu 74. [0H2-2.3-3] Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Hai điểm M , N thay đổi lần lượt ở trên cạnh AB , AD sao cho AM x 0 x 1 , DN y 0 y 1 . Tìm mối liên hệ giữa x và y sao cho CM  BN . A. x y 0. B. x y 2 0. C. x y 1. D. x y 3 0. Lời giải Chọn A Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Khi đó: D 0;0 ,C 1;0 , A 0;1 ; B 1;1 , M x;1 ; N 0; y .   Ta có: CM x 1;1 ; BN 1; y 1 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 26
  27. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯƠNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH   Do đó: CM  BN CM .BN 0 x y 0 . y 1 A M B x N y 1 D C x Câu 75. [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC có b c b c b c A. m . B. m .C. m . D. m b c . a 2 a 2 a 2 a Lời giải Chọn C 2 b2 c2 a2 m2 Ta có a 4 a b c 2 b2 c2 b c 2 b2 c2 2bc b c 2 Suy ra m2 a 4 4 4 b c Hay m . a 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 27