Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng - Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nội dung text: Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng - Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

1. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH CHUYÊN ĐỀ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ (HÌNH HỌC CHƯƠNG 2 LỚP 10) BÀI 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 2 A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM 2 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 3 Dạng 1: Giải tam giác 3 Dạng 2: Hệ thức liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác, nhận dạng tam giác 13 Ban thực hiện Tên giáo viên Đơn vị công tác GV Soạn Thầy Dũng Phan Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai (Bình Thuận) GV phản biện Cô Thanh Minh Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Gia Lai) TT Tổ soạn Cô Thanh Minh Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Gia Lai) TT Tổ phản biện Cô Phạm Thị Hoài Trường THCS Nguyễn Hiền (Nha Trang) Người triển khai Thầy Phạm Lê Duy Trường THPT Chu Văn An (An Giang) NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 1
2. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH BÀI 3. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC. A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM Cho tam giác ABC, BC a, CA b, AB c, S là diện tích tam giác. Giả sử ha ,hb ,hc lần lượt là độ dài các đường cao đi qua ba đỉnh A, B,C; ma ,mb ,mc lần lượt là các đường trung tuyến đi qua ba đỉnh A, B,C. R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nột tiếp của tam giác ABC . Ta có kết quả sau đây: 1. Định lí côsin a2 b2 c2 2bc.cos A, b2 c2 a2 2ca.cos B, c2 a2 b2 2ab.cosC. *Hệ quả của định lí côsin b2 c2 a2 a2 c2 b2 b2 a2 c2 cos A , cos B ,cosC . 2bc 2ac 2ab a b c 2. Định lí sin trong tam giác: 2R. sin A sin B sinC 3. Công thức trung tuyến 2(b2 c2 ) a2 2(a2 c2 ) b2 2(a2 b2 ) c2 m2 , m2 , m2 a 4 b 4 c 4 4. Công thức diện tích: 1 1 1 a) S ah bh ch . 2 a 2 b 2 c 1 1 1 b) S bcsin A casin B absinC 2 2 2 abc c) S 4R 1 d) S pr với p a b c 2 e) Công thức Hê- Rông S p p a p b p c NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 2
3. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Giải tam giác {Tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác.} Phương pháp giải: + Áp dụng các công thức sách giáo khoa như: định lí cosin, hệ quả của định lí cosin, định lí sin, công thức tính độ dài đường trung tuyến, các công thức liên quan đến diện tích để vận dụng vào làm bài. PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: [0H2-3.4-1] Cho tam giác ABC có AB 4, AC 6, µA 1200. Tính độ dài cạnh BC Lời giải BC 2 AB2 AC 2 2AB.AC.cosA 62 42 2.6.4.cos1200 1 62 42 2.6.4. 76 BC 76 2 19. 2 µ Ví dụ 2: [0H2-3.4-2] Cho tam giác ABC có a 7;b 8;c 5 . Tính A, S,ha , R. Lời giải b2 c2 a2 82 52 72 1 + cos A µA 60 . 2bc 2.8.5 2 1 1 + S b.c.sin A .8.5.sin 60 10 3 . 2 2 1 2S 2.10 3 20 3 + Ta có: S a.h h . 2 a a a 7 7 a.b.c a.b.c 7.8.5 7 3 + Ta có: S R . 4R 4S 4.10 3 3 Ví dụ 3: [0H2-3.4-1] Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là AB 2 , BC 5 , CA 6 . Tính độ dài đường trung tuyến MA , với M là trung điểm của BC . Lời giải Áp dụng công thức tình độ dài trung tuyến ta có: AB2 AC 2 BC 2 22 62 52 55 MA . 2 4 2 4 2 Ví dụ 4: [0H2-3.4-2] Tam giác ABC vuông tại A có AC 6 cm , BC 10 cm . Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Lời giải Do tam giác ABC vuông tại A có AC 6 cm , BC 10 cm nên AB BC 2 AC 2 102 62 8 . 1 Diện tích tam giác ABC là S AB.AC 24 . ABC 2 2S 2.24 Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là r ABC 2 . AB BC CA 6 8 10 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 3
4. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 3 Ví dụ 5: [0H2-3.4-3] Cho tam giác ABC có b 7 , c 5 , cos A . Tính độ dài đường cao h của tam 5 a giác ABC . Lời giải A b c ha C B H a 3 Theo định lí hàm cos ta có a2 b2 c2 2bc cos A 49 25 2.7.5. 32 a 4 2 . 5 3 4 Ta lại có: cos A sin A . 5 5 1 1 4 Diện tích tam giác ABC là S bcsin A .7.5. 14 . ABC 2 2 5 1 2S 28 7 2 Vì S a.h nên h ABC ABC 2 a a a 4 2 2 7 2 Vậy h . a 2 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0H2-3.4-1] Cho ABC có BC a , B· AC 120 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là a 3 a a 3 A. R . B. R . C. R .D. R a . 2 2 3 Lời giải Chọn D BC 1 a a 3 Theo định lý sin trong tam giác ta có 2R R . . sin B· AC 2 sin120 3 Câu 2. [0H2-3.4-1] Tam giác ABC có a 8, c 3, Bµ 60. Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu? A. 49 . B. 97 .C. 7 . D. 61 . Lời giải Chọn C b2 a2 c2 2ac cos B 82 32 2.8.3cos60 49 b 7 . Câu 3. [0H2-3.4-1] Cho ABC có a 4 , c 5 , Bµ 150 . Tính diện tích tam giác ABC . A. S 10 . B. S 10 3 .C. S 5. D. S 5 3 . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 4
5. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Lời giải Chọn C 1 1 Diện tích tam giác ABC là S acsin Bµ .4.5sin150 5 . 2 2 Câu 4. [0H2-3.4-2] Một tam giác có ba cạnh là 52 , 56 , 60 . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là 65 A. . B. 40 .C. 32,5 . D. 65,8 . 4 Lời giải Chọn C 52 56 60 Ta có: p 84 . 2 Áp dụng hệ thức Hê – rông ta có: S 84 84 52 84 56 84 60 1344 . abc abc 52.56.60 Mặt khác S R 32,5. 4R 4S 4.1344 Câu 5. [0H2-3.4-2] Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 60 . Biết CA 200 m , CB 180 m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu? A. 228 m . B. 20 91 m . C. 112 m . D. 168 m . Lời giải Chọn B AB2 CA2 CB2 2CA.CB.cos60 36400 AB 20 91 m . Câu 6. [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có góc A nhọn, AB 5 , AC 8 , diện tích bằng 12. Tính độ dài cạnh BC. A. 2 3 . B. 4 .C. 5 . D. 3 2 . Lời giải Chọn C 1 2S 2.12 3 Ta có: S .AB.AC.sin A sin A µA 3652 12 2 AB.AC 5.8 5 BC 2 AB2 AC 2 2.AB.AC.cos A 52 82 2.5.8.cos3652 12 25 BC 5 . Câu 7. [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có AB 4 , AC 6 và trung tuyến BM 3 . Tính độ dài cạnh BC . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 5
6. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH A. 17 .B. 2 5 . C. 4 . D. 8 . Lời giải Chọn B B 4 3 A 6 M C AB2 BC 2 AC 2 Ta có: BM 2 2 4 2 2 2 AC 2 BC 2 BM AB 4 2 2 6 2 2 3 4 20 BC 2 5 . 4 Câu 8. [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có AB 4 , AC 10 và đường trung tuyến AM 6 . Tính độ dài cạnh BC . A. 2 6 . B. 5 . C. 22 .D. 2 22 . Lời giải Chọn D A 4 10 6 B M C AC 2 AB2 BC 2 Ta có: AM 2 2 4 2 2 2 2 2 AC AB 2 10 4 2 BC 4 AM 4 6 88 BC 2 22 . 2 2 Câu 9. [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có µA 75, Bµ 45, AC 2 . Tính cạnh AB . 2 6 6 A. .B. 6 . C. . D. . 2 2 3 Lời giải Chọn B b c b.sin C AC.sin C 2.sin(180 75 45 ) Ta có: AB c 6 . sin B sin C sin B sin B sin 45 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 6
7. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH . Câu 10. [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có Bµ 60, Cµ 45 , AB 3 . Tính cạnh AC . 3 6 3 2 2 6 A. . B. . C. 6 . D. . 2 2 3 Lời giải Chọn A b c c.sin B AB.sin B 3.sin 60 3. 6 Ta có: AC b . sin B sin C sin C sin C sin 45 2 AB Câu 11. [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có các góc µA 75, Bµ 45. Tính tỉ số . AC 6 6 A. . B. 6 .C. . D. 1,2 . 3 2 Lời giải Chọn C b c AB c sin C sin(180 75 45) 6 Ta có: . sin B sin C AC b sin B sin 45 2 1 Câu 12. [0H2-3.4-3] Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB c và cos(A B) . 3 c 2 3c 2 9c 2 3c A. .B. . C. . D. . 2 8 8 2 Lời giải Chọn B 1 Ta có cosC cos(A B) . 3 2 1 2 2 Do đó sin C 1 . 3 3 AB AB 3 2c 2R R . sin C 2sin C 8 AB Câu 13. [0H2-3.4-2] Tam giác ABC có các góc µA 105 , Bµ 45. Tính tỉ số . AC 2 2 6 A. . B. 2 . C. . D. . 2 2 3 Lời giải. Chọn A b c AB c sin C sin(180 105 45) 2 Ta có: . sin B sin C AC b sin B sin 45 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 7
8. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Câu 14. [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có AB 4 , AC 5, BC 6 . Tính cos(B C) . 1 1 A. . B. .C. –0,125. D. 0,75. 8 4 Lời giải. Chọn C Ta có c AB 4 , b AC 5 , a BC 6 . b 2 c 2 a 2 1 Tính cos A . 2.b.c 8 1 Để ý cos(B C) cos A 0,125 . 8 Câu 15. [0H2-3.1-3] Tam giác có ba cạnh lần lượt là 2,3, 4 . Góc bé nhất của tam giác có sin bằng bao nhiêu? 15 7 1 14 A. . B. . C. . D. . 8 8 2 8 Lời giải. Chọn A Góc bé nhất ứng với cạnh có số đo bé nhất. b2 c2 a2 7 Giả sử a 2,b 3, c 4. Ta có cos A . 2.b.c 8 2 7 15 Do đó sin A 1 . 8 8 Câu 16. [0H2-3.1-3] Tam giác có ba cạnh lần lượt là 3 , 8 , 9 . Góc lớn nhất của tam giác có cosin bằng bao nhiêu? 1 1 17 4 A. .B. . C. . D. . 6 6 4 25 Lời giải Chọn B 32 82 92 1 Góc lớn nhất tương ứng với cạnh lớn nhất: cos . 2.3.8 6 Câu 17. [0H2-3.1-3] Hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm cạnh BC , F là trung điểm cạnh AE . Tìm độ dài đoạn thẳng DF . a 13 a 5 a 3 3a A. . B. . C. . D. . 4 4 2 4 Lời giải Chọn A NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 8
9. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH A B F E D C 2 2 a a 5 Ta có: AE DE a 2 2 Dùng công thức độ dài trung tuyến: 2 2 5a 2 2 2 a 2 2 a 13 2 DA DE AE 4 5a 13a DF . DF 4 2 4 2 16 16 Câu 18. [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có BC 12 ,CA 9 , AB 6. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM 4. Tính độ dài đoạn thẳng AM A. 2 5 . B. 3 2 . C. 20 .D. 19 . Lời giải Chọn D AB2 BC 2 AC 2 62 122 92 11 cos B 2AB.BC 2.6.12 16 11 AM AB2 BM 2 2AB.BM.cosB 62 42 2.6.4. 19 . 16 Câu 19. [0H2-3.1-3] Tam giác ABC vuông tại A có AB AC a . Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BC BM . Độ dài AM bằng bao nhiêu? 3 a 17 a 5 2a 2 2a A .B. . C. . D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn B NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 9
10. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH A C M B BC AB2 AC 2 a2 a2 a 2 a 2 BC AB 2 a 2 BM 3 2 a 2 a 2 2 a 5 2 2 0 2 . AM AB BM 2AB.BM.cos 45 a 2a. . 3 3 2 3 1 Câu 20. [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có cos A B , AC 4 , BC 5 . Tính cạnh AB 8 A. 46 . B. 11. C. 5 2 . D. 6 . Lời giải Chọn A 1 1 Vì trong tam giác ABC ta có A B bù với góc C nên cos A B cosC 8 8 1 AB AC 2 BC 2 2AB.BC.cosC 42 52 2.4.5. 6 . 8 1 Câu 21. [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có AB 7 , AC 5 và cos B C . Tính BC 5 A. 2 15 . B. 4 22 . C. 4 15 . D. 2 22 . Lời giải Chọn A 1 Vì trong tam giác ABC ta có B C bù với góc A nên cos B C 5 1 cos A 5 1 BC AB2 AC 2 2AB.AC.cosA 72 52 2.7.5. 2 15 . 5 Câu 22. [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có BC 5 , AC 3 và cot C 2 . Tính cạnh AB 9 A. 6 . B. 2 . C. . D. 2 10 . 5 Lời giải Chọn B NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 10
11. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Từ giả thiết cot C 2 , ta suy ra C là góc nhọn 1 2 1 1 4 2 cot C 2 tan C cos C 2 2 cosC 2 1 tan C 1 5 5 1 2 2 2 AB AC 2 BC 2 2AB.BC.cosC 32 5 2.3. 5. 2 . 5 Câu 23. [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có AB 3 , AC 4 và tan A 2 2 . Tính cạnh BC A. 3 2 . B. 4 3 .C. 33 . D. 7 . Lời giải Chọn C Từ giả thiết tan A 2 2 , ta suy ra A là góc tù 1 1 1 1 tan A 2 2 cos2 A cos A 1 tan2 A 1 (2 2)2 9 3 2 2 2 2 1 BC AB AC 2AB.AC.cosA 3 4 2.3.4. 33 . 3 Câu 24. [0H2-3.1-2] Cho tam giác ABC có cạnh BC a , cạnh CA b . Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi góc C bằng: A. 60o .B. 90o .C. 150o .D. 120o . Lờigiải Chọn B 1 Diện tích của tam giác ABC là: S a.b.sin C 2 S lớn nhất khi sin C lớn nhất, hay sin C 1 Cµ 90o . Câu 25. [0H2-3.1-4] Cho tam giác MPQ vuông tại P . Trên cạnh MQ lấy hai điểm E, F sao cho các góc M· PE , E· PF , F· PQ bằng nhau. Đặt MP q, PQ m, PE x, PF y . Trong các hệ thức sau, hệ thức nào đúng? A. ME EF FQ .B. ME 2 q2 x2 xq . C. MF 2 q2 y2 yq . D. MQ2 q2 m2 2qm . Lờigiải Chọn C M E q x F y m P Q NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 11
12. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH M· PQ Từ giả thiết, suy ra M· PE E· PF F· PQ 30o 3 Tam giác MPF có M· PF M· PE E· PF 60o ; 2 2 1 2 2 MF 2 MP2 PF 2 2.MP.PF.cos M· PF q y 2.y.q. q y yq . 2 Câu 26. [0H2-3.1-3] Tính góc C của tam giác ABC biết a b và a a2 c2 b b2 c2 . A. C 150 .B. C 120 . C. C 60 . D. C 30. Lời giải Chọn C Ta có: a a2 c2 b b2 c2 a3 b3 c2 a b 0 a b a2 ab b2 c2 a b 0 a2 b2 c2 1 a2 ab b2 c2 0 cosC . Do đó: C 120 . 2ab 2 1 Câu 27. [0H2-3.1-3] Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB 12 và cot(A B) . 3 9 10 A. 2 10 . B. . C. 5 10 . D. 3 2 . 5 Lời giải Chọn A 1 1 Ta có: cot(A B) nên cot C , suy ra3cosC sin C . 3 3 3 3 10 Mà sin2 C cos2 C 1 sin C . 10 10 AB AB 2R R 2 10 . sin C 2sin C 1 Câu 28. [0H2-3.1-3] Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AB 10 và tan(A B) . 3 5 10 10 10 A. . B. . C. .D. 5 10 . 9 3 5 Lời giải Chọn D 1 1 Ta có: tan(A B) nên tan C . 3 3 1 10 Do đó 3sin C cosC , mà sin2 C cos2 C 1 sin C . 10 10 AB AB 2R R 5 10 . sin C 2sin C NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 12
13. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 1 3 Câu 29. [0H2-3.1-3] Tam giác ABC có AB 4 , AC 6 , cos B , cosC .Tính cạnh BC . 8 4 A. 7 .B. 5 . C. 3 3 . D. 2 . Lời giải. Chọn B 63 7 sin B 1 cos2 B , sin C 1 cos2 C . 8 4 9 cos A cos(B C) sin B.sinC cos B.cosC . 16 Do đó BC AB 2 AC 2 2.AB.AC.cos A 5 . Câu 30. [0H2-3.1-4] Cho tam giác cân ABC có µA 1200 và AB AC a . Lấy điểm M trên cạnh BC sao 2BC cho BM . Tính độ dài AM 5 a 3 11a a 7 a 6 A. . B. .C. . D. . 3 5 5 4 Lời giải Chọn C A a C a M 30 B 2 2 0 2 2 1 2a 3 BC AB AC 2ABAC cos120 a a 2a.a. a 3 BM 2 5 2 2a 3 2a 3 3 a 7 2 2 0 2 . AM AB BM 2AB.BM.cos30 a 2a. . 5 5 2 5 Dạng 2: Hệ thức liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác, nhận dạng tam giác PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ sin A Ví dụ 1: [0H2-3.3-3] Cho tam giác ABC thỏa 2cosC . Tam giác ABC là tam giác gì? sin B Lời giải sin A a a2 b2 c2 Ta có: 2cosC 2cosC a 2b.cosC a 2b. sin B b 2ab NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 13
14. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH a2 a2 b2 c2 b c Tam giác ABC cân tại A. Ví dụ 2: [0H2-3.2-2] Chứng minh trong tam giác ABC ta có: ha 2R.sin B.sin C Lời giải b Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có: 2R 2R.sin B b sin B Do đó: ha 2R.sin B.sin C ha b.sin C ( đúng) Ví dụ 3: [0H2-3.2-2] Cho tam giác ABC . Chứng minh S R.r. sin A sin B sin C . Lời giải a b c a b c Ta có : VP R.r. r. r.p S ( đpcm). 2R 2R 2R 2 b3 c3 a3 a2 Ví dụ 4 : [0H2-3.3-3] Cho tam giác ABC thỏa b c a . Chứng minh tam giác ABC là tam giác a 2b.cosC đều. Lời giải 3 3 3 3 3 3 2 2 3 2 2 2 b c a 2 b c a a b a c a b c b bc c a 0 a Ta có: b c a a2 b2 c2 a2 b2 c2 a 2b. a a 2b.cosC 2ab a 1 bc 2bc.cosA 0 cos A A 60 2 2 2 b c b c b c Vì tam giác ABC cân có 1 góc bằng 60 nên tam giác ABC là tam giác đều. Ví dụ 5: [0H2-3.2-3] Chứng minh trong tam giác ABC ta có: sin B.cosC sin C.cos B sin A Lời giải b a2 b2 c2 c a2 c2 b2 a2 b2 c2 a2 c2 b2 2a2 a VT . . sin A 2R 2ab 2R 2ac 4aR 4aR 4aR 2R PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0H2-3.2-1] Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau: b2 c2 a2 a2 c2 b2 A. m2 . B. m2 . a 2 4 a 2 4 2c2 2b2 a2 a2 b2 c2 C. m2 . D. m2 . a 4 a 2 4 Lời giải Chọn C b2 c2 a2 2b2 2c2 a2 Theo công thức đường trung tuyến ta có m2 . a 2 4 4 Câu 2. [0H2-3.2-1] Trong tam giác ABC , câu nào sau đây đúng? A. a2 b2 c2 2bc.cos A. B. a2 b2 c2 2bc.cos A . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 14
15. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 2 2 2 2 2 2 C. a b c bc.cos A . D. a b c bc.cos A . Lời giải Chọn B Áp dụng định lí hàm số cos tại đỉnh A ta có: a2 b2 c2 2bc.cos A . Câu 3. [0H2-3.3-1] Nếu tam giác ABC có a2 b2 c2 thì: A. µA là góc tù. B. µA là góc vuông.C. µA là góc nhọn. D. µA là góc nhỏ nhất. Lời giải Chọn C 2 2 2 2 2 2 b c a 2 2 2 Ta có a b c 2bc cos A cos A do a b c nên cos A 0 2bc Câu 4. [0H2-3.2-2] Tam giác ABC có ba cạnh thoả mãn điều kiện a b c a b c 3ab . Khi đó số đo của ¶C là A. 120 . B. 30 . C. 45.D. 60 . Lời giải Chọn D Ta có: a b c a b c 3ab a b 2 c2 3ab a2 b2 c2 ab . a2 b2 c2 ab 1 Theo hệ quả của định lí hàm cosin: cos ¶C ¶C 60 . 2ab 2ab 2 Câu 5. [0H2-3.2-2] Cho tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 A. ma mb mc a b c . B. ma mb mc a b c . 3 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 C. ma mb mc a b c . D. ma mb mc a b c . 3 4 Lời giải Sử dụng công thức trung tuyến, ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b 2c a 2c 2a b 2a 2b c 3 2 2 2 ma mb mc a b c 4 4 4 4 Câu 6. [0H2-3.3-2] Cho tam giác ABC thỏa mãn c a.cos B . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC là tam giác cân. B. Tam giác ABC là tam giác nhọn. C. Tam giác ABC là tam giác vuông. D. Tam giác ABC là tam giác tù Lời giải 2 2 2 2 2 2 a c b a c b 2 2 2 Ta có: c a.cos B c a. c c b a 2ac 2c Theo định lí pi ta go tam giác ABC vuông tại A . Câu 7. [0H2-3.2-2] Diện tích S của tam giác sẽ thỏa mãn hệ thức nào trong hai hệ thức sau đây? I. S 2 p p a p b p c . II. 16S 2 a b c a b c a b c a b c . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 15
16. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH A. Chỉ I.B. Chỉ II.C. Cả I và II.D. Không có. Lời giải Chọn C Ta có: I. đúng vì là công thức Hê-rông tính diện tích tam giác. a b c a b c a b c a b c Khi đó: S 2 . . . 2 2 2 2 16S 2 a b c a b c a b c a b c . Do đó II. đúng Câu 8. [0H2-3.2-3] Cho tam giác ABC , các đường cao ha , hb , hc thỏa mãn hệ thức 3ha 2hb hc . Tìm hệ thức giữa a, b, c . 3 2 1 3 2 1 A. . B. 3a 2b c . C. 3a 2b c .D. . a b c a b c Lời giải Chọn D Kí hiệu S SV ABC . 3.2S 2.2S 2S 3 2 1 Ta có: 3h 2h h . a b c a b c a b c Câu 9. [0H2-3.2-2] Trong tam giác ABC , hệ thức nào sau đây sai? b.sin A c.sin A A. a . B. sin C . C. a 2R.sin A . D. b R.tan B . sin B a Lời giải Chọn D a b c Theo định lí hàm số sin ta có: 2R sin A sinB sinC Suy ra: a b b.sin A + a . sin A sinB sin B a c c.sin A + sin C . sin A sinC a a + 2R a 2R.sin A. sin A b b b + 2R Rsin B R tan B . sinB 2 2cosB Câu 10. [0H2-3.2-3] Cho tam giác ABC thỏa mãn hệ thức b c 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. cos B cosC 2cos A .B. sin B sin C 2sin A . 1 C. sin B sin C sin A . D. sin B cosC 2sin A. 2 Lời giải Chọn B NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 16
17. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH a 2Rsin A a b c Ta có 2R b 2Rsin B . sin A sin B sin C c 2Rsin C Mà b c 2a 2Rsin B 2Rsin C 4Rsin A sin B sin C 2sin A. Câu 11. [0H2-3.2-2] Tam giác ABC có A 120 thì câu nào sau đây đúng? A. a2 b2 c2 3bc . B. a2 b2 c2 bc . 2 2 2 2 2 2 C. a b c 3bc . D. a b c bc . Lời giải Chọn B Áp dụng định lí hàm số cos tại đỉnh A ta có: a2 b2 c2 2bc.cos A . a2 b2 c2 2bc.cos120 a2 b2 c2 bc . Câu 12. [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC , điều kiện để hai trung tuyến vẽ từ A và B vuông góc với nhau là: A. 2a2 2b2 5c2 . B. 3a2 3b2 5c2 . C. 2a2 2b2 3c2 .D. a2 b2 5c2 . Lời giải Chọn D Vì hai trung tuyến vẽ từ A và B vuông góc với nhau nên VABG vuông tại G với G là trọng tâm tam giác ABC . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 b c a a c b Khi đó: c GA GB c 9 2 4 2 4 2 2 2 4 2 a b 2 2 2 c c 5c a b . 9 4 4 Câu 13. [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC , nếu có a2 b.c thì : 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 A. 2 .B. ha hb .hc .C. 2 . D. 2 . ha hb hc ha hb hc ha hb hc Lời giải Chọn B 2 2 2S 2S 2S 1 1 1 2 Ta có : a b.c . 2 . ha hb .hc . ha hb hc ha hb hc Câu 14. [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC , nếu có 2ha hb hc thì : 2 1 1 A. . B. 2sin A sin B sin C . sin A sin B sin C 2 1 1 C.sin A 2sin B 2sin C . D. . sin A sin B sin C Lời giải Chọn A Ta có : NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 17
18. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 2S 2S 2S 2 1 1 2 1 1 2h h h 2. a b c a b c a b c 2R.sin A 2R.sin B 2R.sin C 2 1 1 . sin A sin B sin C Câu 15. [0H2-3.2-3] Trong tam giác ABC , câu nào sâu đây đúng? b c b c b c A. m .B. m .C. m . D. m b c . a 2 a 2 a 2 a Lời giải Chọn C 2 2 b2 c2 a2 b c b c a2 Ta có: m2 a 2 4 4 2 2 b c b c Vì b c a b c a2 m2 m . a 4 a 2 Câu 16. [0H2-3.2-3]Tam giác ABC có các cạnh a , b , c thỏa mãn điều kiện a b c a b c 3ab . Tính số đo của góc C . A. 45.B. 60 . C. 120 . D. 30 . Lời giải Chọn B Ta có: a b c a b c 3ab a b 2 c2 3ab a2 b2 c2 ab . a2 b2 c2 1 Mà cosC Cµ 60 . 2ab 2 Câu 17. [0H2-3.2-3] Cho tam giác ABC , xét các bất đẳng thức sau: I. a b c . II. a b c . III. ma mb mc a b c . Hỏi khẳng định nào sau đây đúng? A. Chỉ I, II. B. Chỉ II, III. C. Chỉ I, III. D. Cả I, II, III. Lời giải Chọn D Ta có I. và II. đúng vì đây là bất đẳng thức tam giác 2 2 b2 c2 a2 b c b c a2 Ta có : m2 . a 2 4 4 2 2 b c b c Vì b c a b c a2 m2 m . a 4 a 2 a c a c Tương tự ta có : m ; m . b 2 c 2 Do đó : ma mb mc a b c . Vậy III. Đúng. NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 18
19. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Câu 18. [0H2-3.2-3] Tam giác ABC có các cạnh a , b , c thỏa mãn điều kiện b2 c2 a2 3bc . Tính số đo của góc A . A. 45. B. 60 . C. 120 . D. 30 . Lời giải Chọn D 3 Ta có: b2 c2 a2 3bc 2bc cos A 3bc cos A A 30 . 2 a2 b2 c2 1 Mà cosC Cµ 60 . 2ab 2 Câu 19. [0H2-3.3-3] Tam giác ABC a.cos B b.cos A . Tam giác ABC là tam giác gì? A.Tam giác vuông. B. Tam giác đều. C. Tám giác vuông cânD. Tam giác cân. Lời giải Chọn D a2 c2 b2 b2 c2 a2 Ta có: a.cos B b.cos A a. b. a2 b2 a b . 2ac 2bc Vậy tam giác ABC cân. Câu 20. [0H2-3.2-4] Cho tam giác ABC vuông tại A , AC b , AB c . Lấy điểm M trên cạnh BC sao cho MB góc B· AM 30 Tính tỉ số . MC b 3 3c 3c b c A. .B. . C. . D. . 3c 3b b b c Lời giải Chọn B B M 30° 60° A C . MB AM AM.sin 30 AM Ta có MB . sin 30 sin B sin B 2.sin B MC AM AM.sin 60 AM 3 MC . sin 60 sin C sin C 2.sin C MB sin C c 3c Do đó . MC 3 sin B 3b 3b Câu 21. [0H2-3.3-3] Mệnh đề nào sau đây sai? A. Nếu a2 b2 c2 thì A là góc tù. B. Nếu tam giác ABC có một góc tù thì a2 b2 c2 . C. Nếu a2 b2 c2 thì A là góc nhọn. NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 19
20. CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH D. Nếu a2 b2 c2 thì A là góc vuông. Lời giải Chọn B b2 c2 a2 Ta có : cos A . 2bc Do đó : * a2 b2 c2 thì cos A 0 do đó A là góc tù nên A. đúng. * a2 b2 c2 thì cos A 0 do đó A là góc nhọn nên C. đúng. * a2 b2 c2 thì cos A 0 do đó A là góc vuông nên D. đúng. * Nếu tam giác ABC có góc B tù thì b2 a2 c2 ; nếu góc C tù thì c2 a2 b2 do đó B. sai. NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 20