›
›
›

Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng - Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ

docx 32 trang nhungbui22 11/08/2022 2160
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng - Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxon_tap_hinh_hoc_lop_10_chuong_2_tich_vo_huong_va_ung_dung_ba.docx

Nội dung text: Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng - Bài 2: Tích vô hướng của hai vectơ

  1. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Ban thực hiện Tên giáo viên Đơn vị cơng tác GV Soạn Thầy Nguyễn Thanh Tâm Trường THPT Vĩnh Long (Vĩnh Long) GV phản biện Thầy Phạm Đặng Tuân Trường THPT Nguyễn Thị Diệu (TP Hồ Chí Minh) TT Tổ soạn Cơ Thanh Minh Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Gia Lai) TT Tổ phản biện Cơ Phạm Thị Hồi Trường THCS Nguyễn Hiền (Nha Trang) Người triển khai Thầy Phạm Lê Duy Trường THPT Chu Văn An (An Giang) BÀI 2. TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM 1. Định nghĩa Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0. Tích vơ hướng của a và b là một số, kí hiệu là a.b, được xác định bởi cơng thức sau: a.b a . b cos a,b Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ a và b bằng vectơ 0 ta quy ước a.b 0 Chú ý Với a và b khác vectơ 0 ta cĩ a.b 0 a  b.  Khi a b tích vơ hướng a.a được kí hiệu là a2 và số này được gọi là bình phương vơ hướng của vectơ a. Ta cĩ: 2 2 a a . a .cos00 a 2. Các tính chất của tích vơ hướng Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vơ hướng: Với ba vectơ a, b, c bất kì và mọi số k ta cĩ: a.b b.a (tính chất giao hốn); a b c a.b a.c (tính chất phân phối); ka .b k a.b a. kb ; 2 2 a 0, a 0 a 0 NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 1
  2. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Nhận xét. Từ các tính chất của tích vơ hướng của hai vectơ ta suy ra: 2 a b a 2 2a.b b 2 ; 2 2 2 a b a 2a.b b ; 2 2 a b a b a b . 3. Biểu thức tọa độ của tích vơ hướng  Trên mặt phẳng tọa độ O;i; j , cho hai vectơ a a1;a2 , b b1;b2 . Khi đĩ tích vơ hướng a.b là: a.b a1b1 a2b2 Nhận xét. Hai vectơ a a1;a2 , b b1;b2 đều khác vectơ 0 vuơng gĩc với nhau khi và chỉ khi a1b1 a2b2 0 4. Ứng dụng a) Độ dài của vectơ Độ dài của vectơ a a1;a2 được tính theo cơng thức: 2 2 a a1 a2 b) Gĩc giữa hai vectơ Từ định nghĩa tích vơ hướng của hai vectơ ta suy ra nếu a a1;a2 và b b1;b2 đều khác 0 thì ta cĩ a.b a b a b cos a;b 1 1 2 2 2 2 2 2 a . b a1 a2 . b1 b2 c) Khoảng cách giữa hai điểm Khoảng cách giữa hai điểm A xA; yA và B xB ; yB được tính theo cơng thức: 2 2 AB xB xA yB yA NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 2
  3. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tích vơ hướng của hai vectơ.  Phương pháp giải. Dựa vào định nghĩa a.b a . b cos a;b Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vơ hướng của hai vectơ PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: [0H2-2.1-1] Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ AB a, BC 2a và G là trọng tâm.     a) Tính các tích vơ hướng: BA.BC ; BC.CA       b) Tính giá trị của biểu thức AB.BC BC.CA CA.AB       c) Tính giá trị của biểu thức GA.GB GB.GC GC.GA Lời giải a) * Theo định nghĩa tích vơ hướng ta cĩ         BA.BC BA . BC cos BA, BC 2a2cos BA, BC .   a 1 Mặt khác cos BA, BC cos·ABC 2a 2   Nên BA.BC a2       * Ta cĩ BC.CA CB.CA CB . CA cos·ACB Theo định lý Pitago ta cĩ CA 2a 2 a2 a 3   a 3 Suy ra BC.CA a 3.2a. 3a2 2a       b) Cách 1: Vì tam giác ABC vuơng tại A nên CA.AB 0 và từ câu a ta cĩ AB.BC a2 , BC.CA 3a2 .       Suy ra AB.BC BC.CA CA.AB 4a2    Cách 2: Từ AB BC CA 0 và hằng đẳng thức NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 3
  4. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH    2       AB BC CA AB2 BC 2 CA2 2 AB.BC BC.CA CA.AB Ta cĩ       1 AB.BC BC.CA CA.AB AB2 BC 2 CA2 4a2 2    c) Tương tự cách 2 của câu b) vì GA GB GC 0 nên       1 GA.GB GB.GC GC.GA GA2 GB2 GC 2 2 Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của BC,CA, AB 2 2 2 2 4a Dễ thấy tam giác ABM đều nên GA AM 3 9 Theo định lý Pitago ta cĩ: 2 2 2 4 2 4 2 2 4 2 3a 7a GB BN AB AN a 9 9 9 4 9 2 2 2 4 2 4 2 2 4 2 a 13a GC CP AC AP 3a 9 9 9 4 9       1 4a2 7a2 13a2 4a2 Suy ra GA.GB GB.GC GC.GA . 2 9 9 9 3 Ví dụ 2: [0H2-2.1-2] Cho hình vuơng ABCD cạnh a . M là trung điểm của AB , G là trọng tâm tam giác ADM . Tính giá trị các biểu thức sau:        a) (AB AD)(BD BC) b) CG. CA DM Lời giải    a) Theo quy tắc hình bình hành ta cĩ AB AD AC         Do đĩ (AB AD)(BD BC) AC.BD AC.BC     CA.CB CA . CB cos·ACB     ( AC.BD 0 vì AC  BD ) NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 4
  5. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Mặt khác ·ACB 450 và theo định lý Pitago ta cĩ : AC a2 a2 a 2     Suy ra (AB AD)(BD BC) a.a 2 cos 450 a2     b) Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên CG CD CA CM    Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta cĩ CA AB AD và  1   1    1   CM CB CA CB AB AD AB 2AD 2 2 2     1   5   Suy ra CG AB AB AD AB 2AD AB 2AD 2 2       1   Ta lại cĩ CA DM AB AD AM AD AB 2AD 2        2 5 1 5 2 2 21a Nên CG. CA DM AB 2AD AB 2AD AB 4AD . 2 2 4 4 Ví dụ 3: [0H2-2.1-1] Cho tam giác ABC cĩ BC a, CA b, AB c . M là trung điểm của BC , D là chân đường phân giác trong gĩc A .   a) Tính AB.AC , rồi suy ra cos A.  2  2 b) Tính AM và AD Lời giải   1  2  2   2 1 1 a) Ta cĩ AB.AC AB AC AB AC AB2 AC 2 CB2 c2 b2 a2 2 2 2   Mặt khác AB.AC AB.AC cos A cbcos A 1 c2 b2 a2 Suy ra c2 b2 a2 cbcos A hay cos A 2 2bc  1   b) * Vì M là trung điểm của BC nên AM AB AC 2  2 1   2 1  2    2 Suy ra AM AB AC AB 2ABAC AC 4 4 NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 5
  6. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH   1 Theo câu a) ta cĩ AB.AC c2 b2 a2 nên 2  2 b2 c2 a2 2 1 2 1 2 2 2 2 AM c 2. c b a b 4 2 4 BD AB c * Theo tính chất đường phân giác thì DC AC b  BD  b  Suy ra BD DC DC (*) DC c       Mặt khác BD AD AB và DC AC AD thay vào (*) ta được   b      2  2  2    2 AD AB AC AD b c AD bAB cAC b c AD bAB 2bcABAC cAC c   2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 bc b c AD b c 2bc. c b a c b AD 2 b c a b c a 2 b c  2 4bc Hay AD p p a b c 2 2 bc Nhận xét : Từ câu b) suy ra độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A là l p p a a b c PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0H2-2.1-1]Cho a và b là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. a.b a . b . B. a.b 0 . C. a.b 1. D. a.b a . b . Lời giải Chọn A Do a và b là hai vectơ cùng hướng nên a,b 00  cos a,b 1. Vậy a.b a . b . Câu 2. [0H2-2.1-1]Cho hai vectơ a và b khác 0 . Xác định gĩc giữa hai vectơ a và b khi a.b a . b . A. 180o . B. 0o . C. 90o . D. 45o . Lời giải Chọn A Ta cĩ a.b a . b .cos a,b . NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 6
  7. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Mà theo giả thiết a.b a . b , suy ra cos a,b 1 a,b 1800 Câu 3. [0H2-2.1-1]Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a 3, b 2 và a.b 3. Xác định gĩc giữa hai vectơ a và b. A. 30o . B. 45o . C. 60o .D. 120o . Lời giải Chọn D a.b 3 1 0 Ta cĩ a.b a . b .cos a,b  cos a,b  a,b 120 a . b 3.2 2 2 Câu 4. [0H2-2.1-2]Cho hai vectơ a và b thỏa mãn a b 1 và hai vectơ u a 3b và v a b vuơng 5 gĩc với nhau. Xác định gĩc giữa hai vectơ a và b. A. 90o .B. 180o . C. 60o . D. 45o . Lời giải Chọn B 2 2 2 13 2 Ta cĩ u  v  u.v 0 a 3b a b 0 a ab 3b 0 5 5 5 a b 1  ab 1 a.b 0 Suy ra cos a,b 1 a,b 180 a . b Câu 5. [0H2-2.1-2]Cho hai vectơ a và b . Đẳng thức nào sau đây sai? 1 2 2 2 1 2 2 2 A. a.b a b a b B. a.b a b a b 2 2 1 2 2 1 2 2 C. a.b a b a b D. a.b a b a b 2 4 Lời giải Chọn C 1 1 2 2 2 1 Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số và  a.b a b a b . nên thử kiểm 2 2 4 tra đáp án C và D. 2 2 2 2 1 2 2 Ta cĩ a b a b a b a b 4ab  a.b a b a b Chọn C. 4 NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 7
  8. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 2 2 2 2 A đúng, vì a b a b a b . a b a.a a.b b.a b.b a b 2a.b 2 2 2 2 B đúng, vì a b a b a b . a b a.a a.b b.a b.b a b 2a.b 1 2 2 2  a.b a b a b 2   Câu 6. [0H2-2.1-1] Cho tam giác đều ABC cĩ cạnh bằng a. Tính tích vơ hướng AB.AC.     a2 3   a2   a2 A. AB.AC 2a2. B. AB.AC C. AB.AC D. AB.AC 2 2 2 Lời giải Chọn D     Xác định được gĩc AB, AC là gĩc µA nên AB, AC 600.     a2 Do đĩ AB.AC AB.AC.cos AB, AC a.a.cos600 . 2   Câu 7. [0H2-2.1-2] Cho tam giác đều ABC cĩ cạnh bằng a. Tính tích vơ hướng AB.BC.     a2 3   a2   a2 A. AB.BC a2 B. AB.BC C. AB.BC D. AB.BC 2 2 2 Lời giải Chọn C     Xác định được gĩc AB, BC là gĩc ngồi của gĩc Bµ nên AB, BC 1200     a2 Do đĩ AB.BC AB.BC.cos AB, BC a.a.cos1200 2 Câu 8. [0H2-2.1-2] Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC cĩ cạnh bằng a . Mệnh đề nào sau đây là sai?   1   1   a2   1 A. AB.AC a2 B. AC.CB a2 C. GA.GB D. AB.AG a2 2 2 6 2 Lời giải Chọn C Dựa vào đáp án, ta cĩ nhận xét sau:     Xác định được gĩc AB, AC là gĩc µA nên AB, AC 600     a2 Do đĩ AB.AC AB.AC.cos AB, AC a.a.cos600  A đúng. 2 NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 8
  9. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH     Xác định được gĩc AC,CB là gĩc ngồi của gĩc Cµ nên AC,CB 1200     a2 Do đĩ AC.CB AC.CB.cos AC,CB a.a.cos1200  B đúng. 2     Xác định được gĩc GA,GB là gĩc ·AGB nên GA,GB 1200     a a a2 Do đĩ GA.GB GA.GB.cos GA,GB . .cos1200  C sai. Chọn C. 3 3 6     Xác định được gĩc AB, AG là gĩc G· AB nên AB, AG 300     a a2 Do đĩ AB.AG AB.AG.cos AB, AG a. .cos300  D đúng. 3 2 Câu 9. [0H2-2.1-2] Cho tam giác đều ABC cĩ cạnh bằng a và chiều cao AH . Mệnh đề nào sau đây là sai?       a2   a2 A. AH.BC 0 B. AB, HA 1500 C. AB.AC D. AC.CB 2 2 Lời giải Chọn D     Xác định được gĩc AC,CB là gĩc ngồi của gĩc µA nên AC,CB 1200     a2 Do đĩ AC.CB AC.CB.cos AC,CB a.a.cos1200 2   Câu 10. [0H2-2.1-2] Cho tam giác ABC vuơng cân tại A và cĩ AB AC a. Tính AB.BC.       a2 2   a2 2 A. AB.BC a2 B. AB.BC a2 C. AB.BC D. AB.BC 2 2 Lời giải Chọn A     Xác định được gĩc AB, BC là gĩc ngồi của gĩc Bµ nên AB, BC 1350     Do đĩ AB.BC AB.BC.cos AB, BC a.a 2.cos1350 a2   Câu 11. [0H2-2.1-2] Cho tam giác ABC vuơng tại A và cĩ AB c, AC b. Tính BA.BC.         A. BA.BC b2 B. BA.BC c2 C. BA.BC b2 c2 D. BA.BC b2 c2 Lời giải Chọn B NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 9
  10. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH     c Ta cĩ BA.BC BA.BC.cos BA, BC BA.BC.cos Bµ c. b2 c2 . c2 b2 c2   Cách khác. Tam giác ABC vuơng tại A suy ra AB  AC AB.AC 0       2   Ta cĩ BA.BC BA. BA AC BA BA.AC AB2 c2   Câu 12. [0H2-2.1-2] Cho ba điểm A, B,C thỏa AB 2 cm, BC 3 cm, CA 5 cm Tính CA.CB         A. CA.CB 13 B. CA.CB 15 C. CA.CB 17 D. CA.CB 19 Lời giải Chọn B Ta cĩ AB BC CA ba điểm A, B, C thẳng hàng và AC  I 4; 1 . nằm giữa A, C.     Khi đĩ CA.CB CA.CB.cos CA,CB 3.5.cos00 15  2   2   Cách khác. Ta cĩ AB2 AB CB CA CB2 2CBCA CA2   1 1  CBCA CB2 CA2 AB2 32 52 22 15 2 2    Câu 13. [0H2-2.1-2] Cho tam giác ABC cĩ BC a, CA b, AB c Tính P AB AC .BC c2 b2 c2 b2 a2 c2 b2 a2 A. P b2 c2 B. P C. P D. P 2 3 2 Lời giải Chọn A        Ta cĩ P AB AC .BC AB AC . BA AC      2  2 AC AB . AC AB AC AB AC 2 AB2 b2 c2    Câu 14. [0H2-2.1-2] Cho hình vuơng ABCD cạnh a . Tính P AC. CD CA A. P 1 B. P 3a2 C. P 3a2 D. P 2a2 Lời giải Chọn C Từ giả thiết suy ra AC a 2           2 Ta cĩ P AC. CD CA AC.CD AC.CA CA.CD AC   2 CA.CD cos CA,CD AC 2 a 2.a.cos 450 a 2 3a2 NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 10
  11. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Câu 15. [0H2-2.1-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 3; 1 , B 2;10 , C 4;2 Tính tích vơ   hướng AB.AC         A. AB.AC 40 B. AB.AC 40 C. AB.AC 26 D. AB.AC 26 Lời giải Chọn A   Ta cĩ AB 1;11 , AC 7;3 .   Suy ra AB.AC 1 . 7 11.3 40 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 3; 1 và   B 2;10 . Tính tích vơ hướng AO.OB         A. AO.OB 4 . B. AO.OB 0 . C. AO.OB 4 . D. AO.OB 16 . Lời giải Chọn C     Ta cĩ AO 3;1 , OB 2;10 .Suy ra AO.OB 3.2 1.10 4 . Câu 16. [0H2-2.1-1] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 4i 6 j và b 3i 7 j. Tính tích vơ hướng a.b A. a.b 30 . B. a.b 3. C. a.b 30 . D. a.b 43 . Lời giải Chọn A Từ giả thiết suy ra a 4;6 và b 3; 7 Suy ra a.b 4.3 6. 7 30 Câu 17. [0H2-2.1-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 3;2 và b 1; 7 . Tìm tọa độ vectơ c biết c.a 9 và c.b 20 A. c 1; 3 B. c 1;3 C. c 1; 3 D. c 1;3 Lời giải Chọn B Gọi c x; y NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 11
  12. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH c.a 9 3x 2y 9 x 1 Ta cĩ  c 1;3 c.b 20 x 7y 20 y 3 Câu 18. [0H2-2.1-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a 1;2 , b 4;3 và c 2;3 . Tính P a. b c . A. P 0 B. P 18 C. P 20 D. P 28 Lời giải Chọn B Ta cĩ b c 6;6 .Suy ra P a. b c 1.6 2.6 18. Câu 19. [0H2-2.1-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 1;1 và b 2;0 . Tính cosin của gĩc giữa hai vectơ a và b 1 2 1 1 A. cos a,b B. cos a,b C. cos a,b D. cos a,b 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn B a.b 1.2 1.0 2 Ta cĩ cos a,b a . b 1 2 12 . 22 02 2 Câu 20. [0H2-2.1-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 2; 1 và b 4; 3 . Tính cosin của gĩc giữa hai vectơ a và b 5 2 5 3 1 A. cos a,b B. cos a,b C. cos a,b D. cos a,b 5 5 2 2 Lời giải Chọn A a.b 2.4 1 . 3 5 Ta cĩ cos a,b a . b 4 1. 16 9 5 Câu 21. [0H2-2.1-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a 4;3 và b 1;7 . Tính gĩc giữa hai vectơ a và b. A. 90O B. 60O C. 45O D. 30O Lời giải Chọn C NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 12
  13. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH a.b 4.1 3.7 2 Ta cĩ cos a,b  a,b 450 a . b 16 9. 1 49 2  Câu 22. [0H2-2.1-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ x 1;2 và y 3; 1 . Tính gĩc  giữa hai vectơ x và y A. 45O B. 60O C. 90O D. 135O Lời giải Chọn D   x.y 1. 3 2. 1 2  Ta cĩ cos x, y   x, y 1350 x . y 1 4. 9 1 2 Câu 23. [0H2-2.1-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 1;2 , B 1;1 và C 5; 1 . Tính cosin   của gĩc giữa hai vectơ AB và AC   1   3 A. cos AB, AC B. cos AB, AC 2 2   2   5 C. cos AB, AC D. cos AB, AC 5 5 Lời giải Chọn D   Ta cĩ AB 2; 1 và AC 4; 3 .     AB.AC 2.4 1 . 3 5 Suy ra cos AB, AC   AB . AC 4 1. 16 9 5 Câu 24. [0H2-2.1-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ A 6;0 , B 3;1 và C 1; 1 . Tính số đo gĩc B của tam giác đã cho. A. 15O B. 60O C. 120O D. 135O Lời giải Chọn D   Ta cĩ BA 3; 1 và BC 4; 2 . Suy ra:     BA.BC 3. 4 1 . 2 2   cos BA, BC    Bµ BA, BC 135O BA . BC 9 1. 16 4 2 Câu 25. [0H2-2.1-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 8;0 , B 0;4 , C 2;0 và D 3; 5 . Khẳng định nào sau đây là đúng? NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 13
  14. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH A. Hai gĩc B· AD và B· CD phụ nhau. B. Gĩc B· CD là gĩc nhọn.     C. cos AB, AD cos CB,CD D. Hai gĩc B· AD và B· CD bù nhau. Lời giải Chọn D     Ta cĩ AB 8;4 , AD 5; 5 , CB 2;4 , CD 5;5   8.5 4. 5 1 cos AB, AD 82 42 . 52 52 10 Suy ra   2 . 5 4. 5 1 cos CB,CD 2 2 2 2 2 4 . 5 5 10      cos AB, AD cos CB,CD 0 B· AD B· CD 1800 Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức về tích vơ hướng hoặc độ dài.  Phương pháp giải. Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ đẳng thức  2 AB2 AB Sử dụng các tính chất của tích vơ hướng, các quy tắc phép tốn vectơ Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vơ hướng. PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: [0H2-2.2-1] Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý.   Chứng minh rằng : MA.MB IM 2 IA2 Lời giải    2  2 Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là MA.MB IM IA   Để làm xuất hiện IM , IA ở VP, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào ta được         VT MI IA . MI IB MI IA . MI IA  2  2 IM IA VP (đpcm). Ví dụ 2: [0H2-2.1-2] Cho bốn điểm A, B,C, D bất kì. Chứng minh rằng:       DA.BC DB.CA DC.AB 0 (*). Từ đĩ suy ra một cách chứng minh định lí: "Ba đường cao trong tam giác đồng qui". Lời giải       Ta cĩ: DA.BC DB.CA DC.AB NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 14
  15. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH          DA. DC DB DB. DA DC DC. DB DA             DA.DC DA.DB DB.DA DB.DC DC.DB DC.DA 0 (đpcm) Gọi H là giao của hai đường cao xuất phát từ đỉnh A, B.     Khi đĩ ta cĩ HA.BC 0, HC.AB 0 (1) Từ đẳng thức (*) ta cho điểm D trùng với điểm H ta được       HA.BC HB.CA HC.AB 0 (2)   Từ (1) (2) ta cĩ HB.CA 0 suy ra BH vuơng gĩc với AC Hay ba đường cao trong tam giác đồng quy (đpcm). Ví dụ 3: [0H2-2.2-2] Cho nửa đường trịn đường kính AB . Cĩ AC và BD là hai dây thuộc nửa đường trịn     cắt nhau tại E . Chứng minh rằng : AE.AC BE.BD AB2 Lời giải       Ta cĩ VT AE. AB BC BE. BA AD C         D AE.AB AE.BC BE.BA BE.AD Vì AB là đường kính nên ·ADB 900 , ·ACB 900 E     Suy ra AE.BC 0, BE.AD 0 A B         2 Hình 2.4 Do đĩ VT AE.AB BE.BA AB AE EB AB VP (đpcm). Ví dụ 4: [0H2-2.2-3] Cho tam giác ABC cĩ BC a,CA b, AB c và I là tâm đường trịn nội tiếp. Chứng minh rằng aIA2 bIB2 cIC 2 abc Lời giải       2 Ta cĩ: aIA bIB cIC 0 aIA bIB cIC 0       a2 IA2 b2 IB2 c2 IC 2 2abIA.IB 2bcIB.IC 2caIC.IA 0 a2 IA2 b2 IB2 c2 IC 2 ab IA2 IB2 AB2 bc IB2 IC 2 BC 2 ca IA2 IC 2 CA2 0 a2 ab ca IA2 b2 ba bc IB2 c2 ca cb IC 2 abc2 ab2c a2bc 0 a b c a2 IA2 b2 IB2 c2 IC 2 a b c abc a2 IA2 b2 IB2 c2 IC 2 abc (đpcm). PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0H2-2.2-2] Cho tam giác ABC cĩ BC a, CA b, AB c. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Đẳng NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 15
  16. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH thức nào sau đây đúng ?   b2 c2   c2 b2 A. AM.BC . B. AM.BC . 2 2   c2 b2 a2   c2 b2 a2 C. AM.BC . D. AM.BC . 3 2 Lời giải Chọn A    Vì M là trung điểm của BC suy ra AB AC 2 AM   1    1     Khi đĩ AM.BC AB AC .BC AB AC . BA AC 2 2 2 2 1     1  2  2 1 b c AC AB . AC AB AC AB AC 2 AB2 2 2 2 2 Câu 2. [0H2-2.2-2] Cho ba điểm O, A, B khơng thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vơ hướng    OA OB .AB 0 là A. tam giác OAB đều.B. tam giác OAB cân tại O. C. tam giác OAB vuơng tại O. D. tam giác OAB vuơng cân tại O. Lời giải Chọn B        Ta cĩ OA OB .AB 0 OA OB . OB OA 0  2  2 OB OA 0 OB2 OA2 0 OB OA Câu 3. [0H2-2.2-1] Cho M , N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?            A. MN NP PQ MN.NP MN.PQ .B. MP.MN MN.MP .         C. MN.PQ PQ.MN . D. MN PQ MN PQ MN 2 PQ2 . Lời giải Chọn B Đáp án A đúng theo tính chất phân phối.     Đáp án B sai. Sửa lại cho đúng MP.MN MN.MP . Đáp án C đúng theo tính chất giao hốn. Đáp án D đúng theo tính chất phân phối. Chọn B Câu 4. [0H2-2.2-1] Cho hình vuơng ABCD cạnh a. Đẳng thức nào sau đây đúng ? NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 16
  17. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH       2   1 A. AB.AC a2 B. AB.AC a2 2 C. AB.AC a2 D. AB.AC a2 2 2 Lời giải Chọn A     2 Ta cĩ AB, AC B· AC 450 nên AB.AC AB.AC.cos 450 a.a 2. a2 2 Câu 5. [0H2-2.2-1] Cho hình vuơng ABCD cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Đẳng thức nào sau đây đúng ?         A. AE.AB 2a2. B. AE.AB 3a2. C. AE.AB 5a2. D. AE.AB 5a2. Lời giải Chọn A Ta cĩ C là trung điểm của DE nên DE 2a. A B          Khi đĩ AE.AB AD DE .AB AD.AB DE.AB 0   0 2 DE.AB.cos DE, AB DE.AB.cos0 2a . D C E Câu 6. [0H2-2.2-3] Cho hình vuơng ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho AC AM . Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Đẳng thức nào sau đây đúng ? 4         A. MB.MN 4. B. MB.MN 0. C. MB.MN 4. D. MB.MN 16. Lời giải Chọn B   Giả thiết khơng cho gĩc, ta phân tích các vectơ MB, MN theo các vectơ cĩ giá vuơng gĩc với nhau.     1   1   3  1  MB AB AM AB AC AB AB AD AB AD. A B 4 4 4 4      1   1  1   MN AN AM AD DN AC AD DC AB AD M 4 2 4  1  1   3  1  AD AB AB AD AD AB. Suy ra: 2 4 4 4 D N C   3  1  3  1  1    2  2   MB.MN AB AD AD AB 3AB.AD 3AB 3AD AD.AB 4 4 4 4 16 1 0 3a2 3a2 0 0 . 16 NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 17
  18. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Câu 7. [0H2-2.2-2] Cho hình chữ nhật ABCD cĩ AB 8, AD 5. Đẳng thức nào sau đây đúng ?         A. AB.BD 62. B. AB.BD 64. C. AB.BD 62. D. AB.BD 64. Lời giải Chọn D   Giả thiết khơng cho gĩc, ta phân tích các vectơ AB, BD theo các vectơ cĩ giá vuơng gĩc với nhau.            Ta cĩ AB.BD AB. BA BC AB.BA AB.BC AB.AB 0 AB2 64 . Câu 8. [0H2-2.2-2] Cho hình thoi ABCD cĩ AC 8 và BD 6. Đẳng thức nào sau đây đúng ?         A. AB.AC 24. B. AB.AC 26. C. AB.AC 28. D. AB.AC 32. Lời giải Chọn D Gọi O AC  BD , giả thiết khơng cho gĩc, ta phân tích các B   vectơ AB, AC theo các vectơ cĩ giá vuơng gĩc với nhau. Ta cĩ A C          1   1 AB.AC AO OB .AC AO.AC OB.AC AC.AC 0 AC 2 32 . 2 2 D Câu 9. [0H2-2.2-2] Cho hình chữ nhật ABCD cĩ AB a và AD a 2 . Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Đẳng thức nào sau đây đúng ?         A. BK.AC 0. B. BK.AC a2 2. C. BK.AC a2 2. D. BK.AC 2a2. Lời giải Chọn A A K D Ta cĩ AC BD AB2 AD2 2a2 a2 a 3.     1  BK BA AK BA AD B C Ta cĩ 2    AC AB AD    1     BK.AC BA AD AB AD 2     1   1   1 2 BA.AB BA.AD AD.AB AD.AD a2 0 0 a 2 0. 2 2 2 5 7  cos ·ABC 1 sin2 ·ABC (vì ·ABC nhọn). 16   Mặt khác gĩc giữa hai vectơ AB, BC là gĩc ngồi của gĩc ·ABC   5 7 Suy ra cos AB, BC cos 1800 ·ABC cos ·ABC . 16 NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 18
  19. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Câu 10. [0H2-2.2-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ A 4;1 , B 2;4 , C 2; 2 . Tìm tọa độ tâm I của đường trịn ngoại tiếp tam giác đã cho. 1 1 1 1 A. I ;1 . B. I ;1 . C. I 1; . D. I 1; . 4 4 4 4 Lời giải Chọn B  AI x 4; y 1  Gọi I x; y . Ta cĩ BI x 2; y 4 .  CI x 2; y 2 IA2 IB2 IA IB IC Do I là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC nên 2 2 IB IC 2 2 2 2 2 2 1 x 4 y 1 x 2 y 4 x 4 x 2 9 x 4 . x 2 2 y 4 2 x 2 2 y 2 2 y 1 y 1 Câu 11. [0H2-2.2-4] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A 2;0 , B 0;2 và C 0;7 . Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D của hình thang cân ABCD. A. D 7;0 . B. D 7;0 , D 2;9 . C. D 0;7 , D 9;2 . D. D 9;2 . Lời giải Chọn B Để tứ giác ABCD là hình thang cân, ta cần cĩ một cặp cạnh đối song song khơng bằng nhau và cặp cạnh cịn lại cĩ độ dài bằng nhau. Gọi D x; y . AB P CD   Trường hợp 1: CD k AB (với k 1) AB CD x 2k x 0; y 7 2k;2k . 1 y 2k 7  2 2 AD x 2; y AD x 2 y 2 2 Ta cĩ   AD BC x 2 y 25. 2 BC 0;5 BC 5 k 1 loại 2 2 Từ 1 và 2 , ta cĩ 2k 2 2k 7 25 7  D 7;0 . k 2 NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 19
  20. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH AD P BC Trường hợp 2: . Làm tương tự ta được D 2;9 . AD BC Vậy D 7;0 hoặc D 2;9 . Dạng 3: Điều kiện vuơng gĩc.  Phương pháp giải. Cho a (x1; y1), b (x2 ; y2 ) . Khi đĩ a  b a.b 0 x1x2 y1 y2 0 PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ 1 Ví dụ 1: [0H2-2.3-1] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u i 5 j và v ki 4 j. Tìm k để vectơ 2 u vuơng gĩc với v. Lời giải 1 Từ giả thiết suy ra u ; 5 ,v k; 4 . 2 1 Yêu cầu bài tốn: u  v k 5 4 0 k 40 . 2 Ví dụ 2: [0H2-2.3-1] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 2;4 và B 8;4 . Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hồnh sao cho tam giác ABC vuơng tại C. Lời giải  CA 2 c;4 Ta cĩ C Ox nên C c;0 và  . CB 8 c;4   Tam giác ABC vuơng tại C nên CA.CB 0 2 c . 8 c 4.4 0 c 6 C 6;0 c2 6c 0 . c 0 C 0;0 Ví dụ 3: [0H2-2.3-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ A 2;4 , B 3;1 , C 3; 1 . Tìm tọa độ chân đường cao A' vẽ từ đỉnh A của tam giác đã cho. Lời giải  AA' x 2; y 4  Gọi A' x; y . Ta cĩ BC 6; 2 .  BA' x 3; y 1 Vì A' là chân đường cao vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC nên NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 20
  21. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH AA'  BC B, C, A' thẳng hàng 3   x 2 .6 y 4 . 2 0 x AA'.BC 0 6x 2y 4 5   x 3 y 1 . BA' k BC 2x 6y 0 1 6 2 y 5 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0H2-2.3-1] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ a 2;3 , b 4;1 và c ka mb với k, m ¡ . Biết rằng vectơ c vuơng gĩc với vectơ a b . Khẳng định nào sau đây đúng? A. 2k 2m B. 3k 2m C. 2k 3m 0 D. 3k 2m 0. Lời giải Chọn C c ka mb 2k 4m;3k m Ta cĩ . a b 2;4 Để c  a b c a b 0 2 2k 4m 4 3k m 0 2k 3m 0. Câu 2. [0H2-2.3-1] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u 3;4 và v 8;6 . Khẳng định nào sau đây đúng? 1 A. u v . B. M 0; . và v cùng phương. 2 C. u vuơng gĩc với v . D. u v. Lời giải Chọn C Ta cĩ u.v 3. 8 4.6 0 suy ra u vuơng gĩc với v . Câu 3. [0H2-2.3-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A 7; 3 , B 8;4 , C 1;5 và D 0; 2 . Khẳng định nào sau đây đúng?   A. AC  CB. B. Tam giác ABC đều. C. Tứ giác ABCD là hình vuơng. D. Tứ giác ABCD khơng nội tiếp đường trịn. Lời giải Chọn C NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 21
  22. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH  AB 1;7 AB 12 72 5 2  BC 7;1 BC 5 2 Ta cĩ   AB BC CD DA 5 2. CD 1; 7 CD 5 2  DA 7; 1 DA 5 2   Lại cĩ AB.BC 1 7 7.1 0 nên AB  BC . Từ đĩ suy ra ABCD là hình vuơng. Câu 4. [0H2-2.3-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ A 1;1 , B 1;3 và C 1; 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều. B. Tam giác ABC cĩ ba gĩc đều nhọn. C. Tam giác ABC cân tại B .D. Tam giác ABC vuơng cân tại A . Lời giải Chọn D    Ta cĩ AB 2;2 , BC 0; 4 và AC 2; 2 . AB AC 2 2 Suy ra . Vậy tam giác ABC vuơng cân tại A. 2 2 2 AB AC BC Câu 5. [0H2-2.3-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1;2 và B 3;1 . Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuơng tại A. A. C 0;6 . B. C 5;0 . C. C 3;1 . D. C 0; 6 . Lời giải Chọn A  AB 4; 1 Ta cĩ C Oy nên C 0;c và  . AC 1;c 2   Tam giác ABC vuơng tại A nên AB.AC 0 4 . 1 1 c 2 0 c 6. Vậy C 0;6 . Câu 6. [0H2-2.3-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ A 3;0 , B 3;0 và C 2;6 . Gọi H a;b là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a 6b. A. a 6b 5 . B. a 6b 6.C. a 6b 7 . D. a 6b 8 . Lời giải Chọn C NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 22
  23. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH   AH a 3;b & BC 1;6 Ta cĩ   . Từ giả thiết, ta cĩ: BH a 3;b & AC 5;6   a 2 AH.BC 0 a 3 . 1 b.6 0   5  a 6b 7. BH.AC 0 a 3 .5 b.6 0 b 6 Câu 7. [0H2-2.3-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ A 4;3 , B 2;7 và C 3; 8 . Tìm toạ độ chân đường cao A' kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC. A. A' 1; 4 . B. A' 1;4 .C. A' 1;4 . D. A' 4;1 . Lời giải Chọn C  AA' x 4; y 3  Gọi A' x; y . Ta cĩ BC 5; 15 .  BA' x 2; y 7   AA'  BC AA'.BC 0 1 Từ giả thiết, ta cĩ   . B, A', C thang hang BA' k BC 2 1 5 x 4 15 y 3 0 x 3y 13. x 2 y 7 2 3x y 1. 5 15 x 3y 13 x 1 Giải hệ  A' 1;4 . 3x y 1 y 4 Câu 8. [0H2-2.3-3] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ A 3;0 , B 3;0 và C 2;6 . Gọi H a;b là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a 6b. A. a 6b 5 .B. a 6b 6.C. a 6b 7 .D. a 6b 8 . Lời giải Chọn C Gọi H a;b là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho khi đĩ ta cĩ:     AH a 3;b , BC 1;6 AH.BC 0 a 3 6b 0     BH a 3;b , AC 5;6 BH.AC 0 5a 15 6b 0 NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 23
  24. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH a 2 a 6b 3 Từ đĩ ta cĩ hệ phương trình 5 a 6b 7 . 5a 6b 15 b 6 Câu 9. [0H2-2.3-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác MNP vuơng tại M . Biết điểm M 2;1 , N 3; 2 và P là điểm nằm trên trục Oy . Tính diện tích tam giác MNP . 10 5 16 20 A. .B. .C. .D. . 3 3 3 3 Lời giải Chọn A   P nằm trên Oy P 0; p mà MNP vuơng tại M MP.MN 0 . 1 2 3p 3 0 p . 3  2 10  1 2 10 10 MP , MN 10 S 10 . 3 2 3 3 Dạng 4: Các bài tốn tìm tập hợp điểm.  Phương pháp giải. Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau: Cho A, B là các điểm cố định. M là điểm di động  Nếu AM k với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường trịn tâm A , bán kính . R k Nếu MA.MB 0 thì tập hợp các điểm M là đường trịn đường kính AB  Nếu MA.a 0 với a khác 0 cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuơng gĩc với giá của vectơ a PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: [0H2-2.4-2] Cho hai điểm A, B cố định cĩ độ dài bằng a , vectơ a khác 0 và số thực k cho trước. Tìm tập hợp điểm M sao cho   3a2 a) MA.MB 4   b) MA.MB MA2 Lời giải a) Gọi I là trung điểm của AB ta cĩ   3a2     3a2 MA.MB MI IA MI IB 4 4 NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 24
  25. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 3a2   MI 2 IA2 (Do IB IA ) 4 a2 3a2 MI 2 4 4 MI a Vậy tập hợp điểm M là đường trịn tâm I bán kính R a .      2 b) Ta cĩ MA.MB MA2 MA.MB MA        MA. MA MB 0 MA.BA 0 MA  BA Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng vuơng gĩc với đường thẳng AB tại A .     Ví dụ 2: [0H2-2.4-3] Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp điểm M sao cho MA 2MB 3CB BC 0 Lời giải   Gọi I là điểm xác định bởi IA 2IB 0     Khi đĩ MA 2MB 3CB BC 0      MI IA 2 MI IB .BC 3BC 2   MI.BC BC 2 Gọi M ', I ' lần lượt là hình chiếu của M , I lên đường thẳng BC Theo cơng thức hình chiếu ta cĩ       MI.BC M ' I '.BC do đĩ M ' I '.BC BC 2   Vì BC 2 0 nên M ' I ', BC cùng hướng suy ra   M ' I '.BC BC 2 M ' I '.BC BC 2 M ' I ' BC Do I cố định nên I ' cố định suy ra M ' cố định. Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M ' và vuơng gĩc với BC . Ví dụ 3: [0H2-2.4-4] Cho hình vuơng ABCD cạnh a và số thực k cho trước.     Tìm tập hợp điểm M sao cho MA.MC MB.MD k Lời giải NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 25
  26. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Gọi I là tâm của hình vuơng ABCD       Ta cĩ : MA.MC MI IA MI IC      MI 2 MI IC IA IA.IC   MI 2 IA.IC     Tương tự MB.MD MI 2 IB.ID         Nên MA.MC MB.MD k 2MI 2 IB.ID IA.IC k k 2MI 2 IB2 IA2 k MI 2 IA2 2 k MI 2 a2 2 k k a2 MI IA2 2 2 Nếu k a2 : Tập hợp điểm M là tập rỗng Nếu k a2 thì MI 0 M  I suy ra tập hợp điểm M là điểm I k a2 Nếu k a2 thì MI 2 k a2 suy ra tập hợp điểm M là đường trịn tâm I bán kính R . 2 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM    Câu 1. [0H2-2.4-2] Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MB MC 0 là: A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường trịn. Lời giải Chọn D.    Gọi I là trung điểm BC  MB MC 2MI.          Ta cĩ MA MB MC 0 MA.2MI 0 MA.MI 0 MA  MI . * Biểu thức * chứng tỏ MA  MI hay M nhìn đoạn AI dưới một gĩc vuơng nên tập hợp các điểm M là đường trịn đường kính AI. NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 26
  27. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH     Câu 2. [0H2-2.4-2] Tìm tập các hợp điểm M thỏa mãn MB MA MB MC 0 với A, B, C là ba đỉnh của tam giác. A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường trịn. Lời giải Chọn D.     Gọi G là trọng tâm tam giác ABC  MA MB MC 3MG.           Ta cĩ MB MA MB MC 0 MB.3MG 0 MB.MG 0 MB  MG. * Biểu thức * chứng tỏ MB  MG hay M nhìn đoạn BG dưới một gĩc vuơng nên tập hợp các điểm M là đường trịn đường kính BG.   Câu 3. [0H2-2.4-1] Cho tam giác ABC . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA.BC 0 là: A. một điểm.B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường trịn. Lời giải Chọn B.   Ta cĩ MA.BC 0 MA  BC. Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuơng gĩc với BC. Câu 4. [0H2-2.4-2] Cho hai điểm A, B cố định cĩ khoảng cách bằng a . Tập hợp các điểm N thỏa mãn   AN.AB 2a2 là: A. một điểm.B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường trịn. Lời giải Chọn B.   Gọi C là điểm đối xứng của A qua B . Khi đĩ AC 2AB.    2 Suy ra AB.AC 2AB 2a2.     Kết hợp với giả thiết, ta cĩ AN.AB AB.AC      AB AN AC 0 AB.CN 0 CN  AB . Vậy tập hợp các điểm N là đường thẳng qua C và vuơng gĩc với AB.   Câu 5. [0H2-2.4-2] Cho hai điểm A, B cố định và AB 8. Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA.MB 16 là: A. một điểm. B. đường thẳng. C. đoạn thẳng. D. đường trịn. Lời giải Chọn A. NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 27
  28. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH   Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB  IA IB.           Ta cĩ MA.MB MI IA MI IB MI IA MI IA 2  2  2 AB MI IA MI 2 IA2 MI 2 . 4 AB2 AB2 82 Theo giả thiết, ta cĩ MI 2 16 MI 2 16 16 0  M  I. 4 4 4 Câu 6. [0H2-2.4-3] Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a . Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức 5a2 4MA2 MB2 MC 2 nằm trên một đường trịn C cĩ bán kính R . Tính R . 2 a a a 3 a A. R .B. R .C. R .D. R . 3 4 2 6 Lời giải Chọn D Gọi là trung điểm đoạn . N  BC      Gọi I là điểm thỏa: 4IA IB IC 0 4IA 2IN 0 2IA IN 0 , nên điểm I thuộc đoạn thẳng AN sao cho IN 2IA . 1 1 a 3 a 3 2 2 a 3 a 3 Khi đĩ: IA AN . , và IN AN . . 3 3 2 6 3 3 2 3 a2 a2 7a2 IB2 IC 2 IN 2 BN 2 . 3 4 12 2 5a   2   2   2 5a2 Ta cĩ: 4MA2 MB2 MC 2 4 MI IA MI IB MI IC . 2 2 a 5 a2 7a2 5a2 a 6MI 2 4IA2 IB2 IC 2 6MI 2 4. 2. MI . 2 12 12 2 6 Câu 7. [0H2-2.4-3] Cho tam giác đều ABC cạnh 18cm . Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức      2MA 3MB 4MC MA MB là A. Tập rỗng.B. Đường trịn cố định cĩ bán kính R 2cm . NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 28
  29. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH C. Đường trịn cố định cĩ bán kính R 3cm .D. Một đường thẳng. Lời giải Chọn B    Ta cĩ MA MB AB 18.     1  4  Dựng điểm I thỏa mãn 2IA 3IB 4IC 0 AI AB AC . 3 9       Khi đĩ: 2MA 3MB 4MC MA MB 9 MI 18 IM 2 . Do đĩ tập hợp các điểm M là đường trịn cố định cĩ bán kính R 2cm . Dạng 5: Cực trị. PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: [0H2-2.5-2] Cho tam giác ABC cĩ A 1;2 , B 2;6 , C 9;8 . a) Chứng minh tam giác ABC vuơng tại A . b) Xác định tọa độ điểm H thuộc BC sao cho AH ngắn nhất. Lời giải     a) Ta cĩ AB 3;4 , AC 8;6 AB. AC 3.8 4.6 0   Do đĩ AB  AC hay tam giác ABC vuơng tại A . b) AH khi H là hình chiếu của A lên BC Gọi H x; y là hình chiếu của A lên BC .    Ta cĩ AH x 1; y 2 , BH x 2; y 6 , BC 11;2   AH  BC AH.BC 0 11 x 1 2 y 2 0 Hay 11x 2y 15 0 (1)   x 2 y 6 Mặt khác BH, BC cùng phương nên 2x 11y 70 0 (2) 11 2 1 32 Từ (1) và (2) suy ra x , y 5 5 NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 29
  30. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 1 32 Vậy hình chiếu của A lên BC là H ; . 5 5 Ví dụ 2: [0H2-2.5-4] Cho điểm A 2;1 . Lấy điểm B nằm trên trục hồnh cĩ hồnh độ khơng âm sao và điểm C trên trục tung cĩ tung độ dương sao cho tam giác ABC vuơng tại A . Tìm toạ độ B, C để tam giác ABC cĩ diện tích lớn nhất. Lời giải Gọi B b;0 , C 0;c với b 0 , c 0 .   Suy ra AB b 2; 1 , AC 2;c 1   Theo giả thiết ta cĩ tam giác ABC vuơng tại A nên AB.AC 0 b 2 2 1. c 1 0 c 2b 5 1 1 Ta cĩ S AB.AC (b 2)2 1. 22 (c 1)2 ABC 2 2 (b 2)2 1 b2 4b 5 5 Vì c 0 nên 2b 5 0 0 b 2 5 Xét hàm số y x2 4x 5 với 0 x 2 Bảng biến thiên 5 Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số y x2 4x 5 với 0 x là y 5 khi x 0 . Do đĩ diện tích tam giác 2 ABC lớn nhất khi và chỉ khi b 0 , suy ra c 5 . Vậy B 0;0 , C 0;5 là điểm cần tìm. PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0H2-2.5-2] Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A 1; 1 và B 3;2 . Tìm M thuộc trục tung sao cho MA2 MB2 nhỏ nhất. 1 1 A. M 0;1 . B. M 0; 1 .C. M 0; . D. M 0; . 2 2 Lời giải Chọn C NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 30
  31. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH  MA 1; 1 m Ta cĩ M Oy nên M 0;m và  . MB 3;2 m  2  2 Khi đĩ MA2 MB2 MA MB 12 1 m 2 32 2 m 2 2m2 2m 15. 2 1 29 29 2 m ; m ¡ . 2 2 2 2 2 29 1 1 Suy ra MA MB  . Dấu '' '' xảy ra khi và chỉ khi m  M 0; . min 2 2 2 Câu 2. [0H2-2.5-3] Trong hệ tọa độ Oxy , cho hai điểm A 2; 3 , B 3; 4 . Tìm tọa độ điểm M trên trục hồnh sao cho chu vi tam giác AMB nhỏ nhất. 18 17 A. M ;0 .B. M 4;0 .C. M 3;0 .D. M ;0 . 7 7 Lời giải Chọn D  Cách 1: Do M trên trục hồnh M x;0 , AB 1; 1 AB 2 .   AM x 2;3 , BM x 3;4 2 2 2 2 Ta cĩ chu vi tam giác AMB : PABM 2 x 2 3 x 3 4 2 x 2 2 32 3 x 2 42 2 x 2 3 x 2 3 4 2 x 2 3 17 17 PABM 6 2 . Dấu bằng xảy ra khi x M ;0 . 3 x 4 7 7 Cách 2: Lấy đối xứng A qua Ox ta được A 2;3 . Ta cĩ MA MB MA MB A B . Dấu bằng xảy ra khi M trùng với giao điểm của A B với Ox .    Câu 3. [0H2-2.5-3] Cho M 1; 2 , N 3;2 , P 4; 1 . Tìm E trên Ox sao cho EM EN EP nhỏ nhất. A. E 4;0 .B. E 3;0 .C. E 1;0 .D. E 2;0 . Lời giải Chọn D Do E Ox E a;0 .    Ta cĩ: EM 1 a; 2 ; EN 3 a;2 ; EP 4 a; 1    Suy ra EM EN EP 6 3a; 1 .    2 2 Do đĩ: EM EN EP 6 3a 1 6 3a 2 1 1. NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 31
  32. TÊN CHUYÊN ĐỀ : TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH    Giá trị nhỏ nhất của EM EN EP bằng 1. Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi 6 3a 0 a 2 . Vậy E 2;0 . NHĨM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 32