›
›
›

Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng - Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0⁰ đến 180⁰

docx 23 trang nhungbui22 11/08/2022 2660
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng - Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0⁰ đến 180⁰", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxon_tap_hinh_hoc_lop_10_chuong_2_tich_vo_huong_va_ung_dung_ba.docx

Nội dung text: Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 2: Tích vô hướng và ứng dụng - Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0⁰ đến 180⁰

  1. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH CHUYÊN ĐỀ 2 TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG (CHƯƠNG 2 LỚP 10) 0 0 BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲTỪ 0 ĐẾN 180 . 2 A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM 2 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 4 Dạng 1: Tính các giá trị biểu thức lượng giác 4 Dạng 2: Tính giá trị của một biểu thức lượng giác , khi biết trước một giá trị lượng giác 7 Dạng 3: Chứng minh các đẳng thức, Rút gọn các biểu thức lượng giác 13 Dạng 4: Xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa 2 đường thẳng 18 Ban thực hiện Tên giáo viên Đơn vị công tác GV Soạn Thầy Phạm Đặng Tuân Trường THPT Nguyễn Thị Diệu (TP Hồ Chí Minh) GV phản biện Thầy Nguyễn Thanh Tâm Trường THPT Vĩnh Long (Vĩnh Long) TT Tổ soạn Cô Thanh Minh Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Gia Lai) TT Tổ phản biện Cô Phạm Thị Hoài Trường THCS Nguyễn Hiền (Nha Trang) Người triển khai Thầy Phạm Lê Duy Trường THPT Chu Văn An (An Giang) NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 1
  2. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲTỪ 00 ĐẾN 1800 . A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC (CUNG). 1. Định nghĩa. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy .Với góc 0o 180o , ta xác định được duy nhất điểm M trên trên đường nửa đường tròn đơn vị tâm O , sao cho x·OM , biết M x; y . y x Khi đó:sin y; cos x; tan ( 90o ); cot ( 0o ,180o ) x y Các số sin ,cos ,tan ,cot  được gọi là giá trị lượng giác của góc . y M(x;y) Q O P x Hình 2.1 Chú ý: Với 0o 180o ta có 0 sin 1; 1 cos 1 2. Dấu của giá trị lượng giác. Góc a 0o 90o 180o sina + + cosa + - tana + - cota + - II. TÍNH CHẤT Góc phụ nhau Góc bù nhau sin(90o - a) = cosa sin(180o - a) = sina cos(90o - a) = sina cos(180o - a) = - cosa tan(90o - a) = cota tan(180o - a) = - tana cot(90o - a) = tana cot(180o - a) = - cota III. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC ĐẶC BIỆT Góc a 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 1 1 sina 0 2 3 1 3 2 0 2 2 2 2 2 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 2
  3. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 3 2 1 1 2 3 cosa 1 0 - - - –1 2 2 2 2 2 2 3 3 tana 0 1 3  - 3 - 1 - 0 3 3 3 3 cota  3 1 0 - - 1 - 3  3 3 IV. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Công thức: sin tan ( 90o ) ; cos cos cot ( 0o ; 180o ) sin tan .cot 1 ( 0o ; 90o ; 180o ) sin2 cos2 1 1 1 tan2 ( 90o ) cos2 1 1 cot2 ( 0o ; 180o ) sin2 Chứng minh: - Hệ thức 1), 2) và 3) dễ dàng suy ra từ định nghĩa. - Ta có sin OQ, cos OP . Suy ra: 2 2 sin2 cos2 OQ OP OQ2 OP2 + Nếu 0o , 90o hoặc 180o thì dễ dàng thấy sin2 cos2 1 + Nếu 0o , 90o và 180o . Khi đó theo định lý Pitago : sin2 cos2 OQ2 OP2 OQ2 QM 2 OM 2 1 Vậy, sin2 cos2 1 sin2 cos2 sin2 1 Mặt khác 1 tan2 1 suy ra được 5) cos2 cos2 cos2 cos2 sin2 cos2 1 Tương tự 1 cot2 1 suy ra được 6) sin2 sin2 sin2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 3
  4. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tính các giá trị biểu thức lượng giác Phương pháp giải: · Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc · Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt · Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: [0H2-1.3-1] Tính giá trị các biểu thức sau: a) A a2 sin 90o b2 cos90o c2 cos180o b) B 3 sin2 90o 2cos2 60o 3tan2 45o c) C sin2 450 2sin2 50o 3cos2 45o 2sin2 40o 4 tan 55o.tan 35o Lời giải a) A a2 sin 90o b2 cos90o c2 cos180o a2.1 b2.0 c2. 1 a2 c2 . 2 2 2 o 2 o 2 o 2 1 2 b) B 3 sin 90 2cos 60 3tan 45 3 1 2 3 1. 2 2 c) C sin2 450 2sin2 50o 3cos2 45o 2sin2 40o 4 tan 55o.tan 35o 2 2 2 2 2 0 2 0 1 3 C 3 2 sin 50 cos 40 4 2 4 4 . 2 2 2 2 Ví dụ 2: [0H2-1.3-2] Tính giá trị các biểu thức sau: a) A sin2 3o sin2 15o sin2 75o sin2 87o b) B cos0o cos 20o cos 40o cos160o cos180o c) C tan 5o tan10o tan15o tan80o tan85o Lời giải: a) A sin2 3o sin2 87o sin2 15o sin2 75o sin2 3o cos2 3o sin2 15o cos2 15o 1 1 2 b) B cos0o cos180o cos 20o cos160o cos80o cos100o cos0o cos0o cos 20o cos 20o cos80o cos80o 0 c) C tan 5o tan85o tan15o tan 75o tan 45o tan 45o tan 5o cot 5o tan15o cot 5o tan 45o cot 5o 1 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: [0H2-1.3-1] Giá trị của cos60o sin 30o bằng bao nhiêu? 3 3 A. B. 3 C. D. 2 3 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 4
  5. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Lời giải Chọn D 1 1 Ta có cos60o sin 30o 1. 2 2 Câu 2: [0H2-1.3-1] Giá trị của tan 30o cot 30o bằng bao nhiêu? 4 1 3 2 A. B. C. D. 2 3 3 3 Lời giải Chọn A 3 4 3 tan 30o cot 30o 3 . 3 3 Câu 3: [0H2-1.3-1] Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai? A. sin 0o cos0o 1 B. sin 90o cos90o 1 C. sin180o cos180o 1 D. sin 60o cos60o 1 Lời giải Chọn D Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Câu 4: [0H2-1.3-1] Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? A. cos60o sin 30o .B. cos60o sin120o . C. cos30o sin120o . D. sin 60o cos120o . Lời giải Chọn B Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Câu 5: [0H2-1.3-1] Đẳng thức nào sau đây sai? A. sin 45o sin 45o 2 . B. sin 30o cos60o 1. C. sin 60o cos150o 0 .D. sin120o cos30o 0 . Lời giải Chọn D Giá trị lượng giác của góc đặc biệt. Câu 6: [0H2-1.3-1] Giá trị cos 45o sin 45o bằng bao nhiêu? A. 1.B. 2 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn B Ta có cos 45o sin 45o 2 . Câu 7: [0H2-1.3-1] Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng? A. sin 180o cos . B. sin 180o sin . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 5
  6. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH C. sin 180o sin . D. sin 180o cos . Lời giải Chọn C Câu 8: [0H2-1.3-1] Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai? A. sin 0o cos0o 0 . B. sin 90o cos90o 1. 3 1 C. sin180o cos180o 1. D. sin 60o cos60o . 2 Lời giải Chọn A Ta có sin 0o cos0o 1. Câu 9: [0H2-1.3-1] Cho là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng? A. sin 0 . B. cos 0 .C. tan 0 . D. cot 0 . Lời giải Chọn C Góc tù có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ II, có giá trị sin 0 , còn cos , tan và cot đều nhỏ hơn 0 . Câu 10: [0H2-1.3-2] Giá trị của E sin 36o cos6o sin126o cos84o là 1 3 A. . B. . C. 1. D. 1. 2 2 Lời giải Chọn A 1 E sin 36o cos6o sin 90o 36o cos 90o 6o sin 36o cos6o cos36o sin 6o sin 30o 2 Câu 11: [0H2-1.3-2] Giá trị của biểu thức A sin2 51o sin2 55o sin2 39o sin2 35o là A. 3. B. 4. C. 1.D. 2. Lời giải Chọn D A sin2 51o sin2 39o sin2 55o sin2 35o sin2 51o cos2 51o sin2 55o cos2 55o 2 . Câu 12: [0H2-1.3-2] Giá trị của biểu thức A tan1o tan 2o tan 3o tan88o tan89o là A. 0 . B. 2. C. 3.D. 1. Lời giải Chọn D A tan1o.tan89o . tan 2o.tan88o tan 44o.tan 46o .tan 45o 1. Câu 13: [0H2-1.3-2] Tổng sin2 2o sin2 4o sin2 6o sin2 84o sin2 86o sin2 88o bằng NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 6
  7. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH A. 21. B. 23.C. 22. D. 24. Lời giải Chọn C S sin2 2o sin2 4o sin2 6o sin2 84o sin2 86o sin2 88o 2 o 2 o 2 o 2 o 2 o 2 o sin 2 sin 88 sin 4 sin 86 sin 44 sin 46 sin2 2o cos2 2o sin2 4o cos2 4o sin2 44o cos2 44o 22 . Câu 14: [0H2-1.3-2] Giá trị của A tan 5o.tan10o.tan15o tan80o.tan85o là A. 2.B. 1. C. 0 . D. 1. Lời giải Chọn B A tan 5.tan85 . tan10.tan80 tan 40 tan 50 .tan 45 1. Câu 15: [0H2-1.3-2] Giá trị của B cos2 73 cos2 87 cos2 3 cos2 17 là A. 2 .B. 2. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn B B cos2 73o cos2 17o cos2 87o cos2 3o cos2 73o sin2 73o cos2 87o sin2 87o 2 . Dạng 2: Tính giá trị của một biểu thức lượng giác , khi biết trước một giá trị lượng giác. Phương pháp giải: · Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản · Dựa vào dấu của giá trị lượng giác · Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ 1 Ví dụ 1: a) [0H2-1.3-1] Chosin với 900 1800 . Tính cos và tan 3 2 b) [0H2-1.3-1] Cho cos và sin 0 . Tính sin và cot 3 c) [0H2-1.3-1] Cho tan  2 2 tính giá trị lượng giác còn lại. Lời giải: a) Vì 900 1800 nên cos 0 mặt khác sin2 cos2 1 suy ra 1 2 2 cos 1 sin2 1 9 3 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 7
  8. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 1 sin 1 Do đó tan 3 cos 2 2 2 2 3 4 5 b) Vì sin2 cos2 1 và sin 0 , nên sin 1 cos2 1 và 9 3 2 cos 2 cot 3 sin 5 5 3 1 c) Vì tan 2 2 0 cos 0 mặt khác tan2 1 cos2 1 1 1 Nên cos tan2 1 8 1 3 sin 1 2 2 Ta có tan sin tan .cos 2 2. cos 3 3 1 cos 1 cot 3 sin 2 2 2 2 3 3 tan 3cot Ví dụ 2: a) [0H2-1.3-2] Cho cos với 00 900 . Tính A . 4 tan cot sin cos b) [0H2-1.3-2] Cho tan 2 . Tính B sin3 3cos3 2sin Lời giải: 1 1 tan 3 2 tan2 3 2 a) Ta có A tan cos 1 2 cos2 1 2 1 tan tan 1 tan cos2 9 17 Suy ra A 1 2. 16 8 sin cos 2 2 3 3 tan tan 1 tan 1 b) B cos cos sin3 3cos3 2sin tan3 3 2 tan tan2 1 cos3 cos3 cos3 2 2 1 2 1 3 2 1 Suy ra B . 2 2 3 2 2 2 1 3 8 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 8
  9. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Ví dụ 3: Biết sin x cos x m a) [0H2-1.3-3] Tìm sin4 x cos4 x . b) [0H2-1.3-4] Chứng minh rằng m 2 . Lời giải: a) Ta có sin x cos x 2 sin2 x 2sin x cos x cos2 x 1 2sin x cos x (*) m2 1 Mặt khác sin x cos x m nên m2 1 2sin cos hay sin cos 2 Đặt A sin4 x cos4 x . Ta có A sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x sin x cos x sin x cos x A2 sin x cos x 2 sin x cos x 2 1 2sin x cos x 1 2sin x cos x 2 2 2 4 2 4 2 m 1 m 1 3 2m m 3 2m m A 1 1 .Vậy A 2 2 4 2 b) Ta có 2sin x cos x sin2 x cos2 x 1 Kết hợp với (*) suy ra sin x cos x 2 2 sin x cos x 2 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1 Câu 1: [0H2-1.3-1] Cho cos x . Tính biểu thức P 3sin2 x 4 cos2 x 2 13 7 11 15 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 4 Lời giải Chọn A 2 2 2 2 2 2 1 13 Ta có P 3sin x 4cos x 3 sin x cos x cos x 3 . 2 4 1 Câu 2: [0H2-1.3-1] Biết cos . Giá trị đúng của biểu thức P sin2 3cos2 là: 3 1 10 11 4 A. . B. .C. . D. . 3 9 9 3 Lời giải Chọn C 1 11 cos P sin2 3cos2 sin2 cos2 2cos2 1 2cos2 . 3 9 1 Câu 3: [0H2-1.3-1] Cho biết tan . Tính cot . 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 9
  10. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 1 1 A. cot 2 . B. cot 2 . C. cot . D. cot . 4 2 Lời giải Chọn A 1 tan .cot 1 cot 2 . tan 2 Câu 4: [0H2-1.3-2] Cho biết cos và 0 . Tính tan ? 3 2 5 5 5 5 A. . B. . C. .D. . 4 2 2 2 Lời giải Chọn D 1 5 5 Do 0 tan 0 . Ta có: 1 tan2 tan2 tan . 2 cos2 4 2 5 Câu 5: [0H2-1.3-2] Cho là góc tù và sin . Giá trị của biểu thức 3sin 2 cos là 13 9 9 A. 3.B. . C. 3 . D. . 13 13 Lời giải Chọn B 144 12 Ta có cos2 1 sin2 cos 169 13 12 Do là góc tù nên cos 0 , từ đó cos 13 5 12 9 Như vậy 3sin 2 cos 3 2 . 13 13 13 Câu 6: [0H2-1.3-3] Cho biết sin cos a . Giá trị của sin .cos bằng bao nhiêu? A. sin .cos a2 . B. sin .cos 2a . 1 a2 a2 1 C. sin .cos .D. sin .cos . 2 2 Lời giải Chọn D 2 2 a 1 a2 sin cos 1 2sin cos sin cos . 2 2 cot 3 tan Câu 7: [0H2-1.3-3] Cho biết cos . Tính giá trị của biểu thức E ? 3 2 cot tan NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 10
  11. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 19 19 25 25 A. .B. . C. . D. 13 13 13 13 Lời giải Chọn B 3 2 2 cot 3 tan 1 3 tan2 3 tan 1 2 2 3 2 cos2 19 E cos . 2 2 1 2 2 cot tan 2 tan 1 1 tan 1 1 cos 13 cos2 Câu 8: [0H2-1.3-3] Cho biết cot 5 . Tính giá trị của E 2 cos2 5sin cos 1? 10 100 50 101 A. . B. . C. .D. . 26 26 26 26 Lời giải Chọn D 2 2 1 1 2 101 E sin 2 cot 5cot 2 2 3cot 5cot 1 . sin 1 cot 26 1 3sin 4 cos Câu 9: [0H2-1.3-3] Cho cot . Giá trị của biểu thức A là: 3 2sin 5cos 15 15 A. . B. 13 . C. .D. 13. 13 13 Lời giải Chọn D 3sin 4sin .cot 3 4 cot A 13 . 2sin 5sin .cot 2 5cot 2 cot 3 tan Câu 10: [0H2-1.3-3] Cho biết cos . Giá trị của biểu thức E bằng bao nhiêu? 3 2 cot tan 25 11 11 25 A. . B. .C. . D. . 3 13 3 13 Lời giải Chọn C 3 2 4 cot 3 tan 1 3 tan2 4 3 tan 1 2 4 cos2 3 11 E cos . 2 2 1 2 2 cot tan 2 tan 3 1 tan 3 3cos 1 3 cos2 Câu 11: [0H2-1.3-3] Biết sin a cos a 2 . Hỏi giá trị của sin4 a cos4 a bằng bao nhiêu? 3 1 A. .B. . C. 1. D. 0 . 2 2 Lời giải NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 11
  12. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH Chọn B 2 1 Ta có: sin a cos a 2 2 sin a cos a sin a.cos a . 2 2 4 4 2 2 2 2 1 1 sin a cos a sin a cos a 2sin a cos a 1 2 . 2 2 Câu 12: [0H2-1.3-3] Cho tan cot m . Tìm m để tan2 cot2 7 . A. m 9 . B. m 3 . C. m 3.D. m 3. Lời giải Chọn D 7 tan2 cot2 tan cot 2 2 m2 9 m 3. Câu 13: [0H2-1.3-4] Cho biết 3cos sin 1, 0o 90o Giá trị của tan bằng 4 3 4 5 A. tan B. tan C. tan D. tan 3 4 5 4 Lời giải Chọn A Ta có 3cos sin 1 3cos sin 1 9 cos2 sin 1 2 9 cos2 sin2 2sin 1 9 1 sin2 sin2 2sin 1 sin 1 2 o o 10sin 2sin 8 0 4 . • sin 1: không thỏa mãn vì 0 90 sin 5 4 3 sin 4 • sin cos  tan . 5 5 cos 3 0 0 Câu 14: [0H2-1.3-4] Cho biết 2 cos 2 sin 2 , 0 90 . Tính giá trị của cot . 5 3 2 2 A. cot B. cot C. cot D. cot 4 4 4 2 Lời giải Chọn C Ta có 2 cos 2 sin 2 2 sin 2 2 cos 2sin2 2 2 cos 2 2sin2 4 8cos 4cos2 2 1 cos2 4 8cos 4cos2 cos 1 6cos2 8cos 2 0 1 . cos 3 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 12
  13. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH • cos 1: không thỏa mãn vì 0o 90o 1 2 2 cos 2 • cos sin  cot . 3 3 sin 4 1 Câu 15: [0H2-1.3-4] Cho biết cos sin . Giá trị của P tan2 cot2 bằng bao nhiêu? 3 5 7 9 11 A. P .B. P . C. P . D. P . 4 4 4 4 Lời giải Chọn B 1 2 1 1 4 Ta có cos sin cos sin 1 2sin cos sin cos . 3 9 9 9 2 2 2 2 sin cos Ta có P tan cot tan cot 2 tan cot 2 cos sin 2 2 2 sin2 cos2 1 9 7 2 2 2 . sin cos sin cos 4 4 1 Câu 16: [0H2-1.3-4] Cho biết sin cos . Giá trị của P sin4 cos4 bằng bao nhiêu? 5 15 17 19 21 A. P B. P C. P D. P 5 5 5 5 Lời giải Chọn B 1 2 1 1 2 Ta có sin cos sin cos 1 2sin cos sin cos . 5 5 5 5 2 2 17 P sin4 cos4 sin2 cos2 2sin2 cos2 1 2 sin cos . 5 Dạng 3: Chứng minh các đẳng thức, Rút gọn các biểu thức lượng giác Phương pháp giải: · Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản · Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác · Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ . PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: [0H2-1.3-2] Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) sin4 x cos4 x 1 2sin2 x.cos2 x 1 cot x tan x 1 b) 1 cot x tan x 1 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 13
  14. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH cos x sin x c) tan3 x tan2 x tan x 1 cos3 x Lời giải a) sin4 x cos4 x sin4 x cos4 x 2sin2 x cos2 x 2sin2 x cos2 x 2 sin2 x cos2 x 2sin2 x cos2 x 1 2sin2 x cos2 x 1 tan x 1 1 1 cot x tan x 1 b) t anx t anx 1 tan x 1 1 cot x 1 tan x 1 tan x tan x cos x sin x 1 sin x c) tan2 x 1 tan x tan2 x 1 cos3 x cos2 x cos3 x tan3 x tan2 x tan x 1 Ví dụ 2: [0H2-1.3-3] Cho tam giác ABC . 3 B 3 B sin cos cos A C Chứng minh 2 2 .tan B 2 A C A C sin B cos sin 2 2 Lời giải: Vì A B C 1800 nên 3 B 3 B sin cos cos 1800 B VT 2 2 .tan B 1800 B 1800 B sin B cos sin 2 2 B B sin3 cos3 cos B B B 2 2 .tan B sin2 cos2 1 2 VP B B sin cos sin B 2 2 2 2 Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 3: [0H2-1.3-2] Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa) a) A sin(90o x) cos(180o x) sin2 x(1 tan2 x) tan2 x 1 1 1 b) B . 2 sin x 1 cos x 1 cos x Lời giải: 1 a) A cos x cos x sin2 x. tan2 x 0 cos2 x NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 14
  15. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 1 1 cos x 1 cos x b) B . 2 sin x 1 cos x 1 cos x 1 2 1 2 . 2 . 2 sin x 1 cos2 x sin x sin2 x 1 2 2 2 1 2 cot x sin x Ví dụ 4: [0H2-1.3-3] Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x . P sin4 x 6 cos2 x 3cos4 x cos4 x 6sin2 x 3sin4 x Lời giải 2 2 P 1 cos2 x 6 cos2 x 3cos4 x 1 sin2 x 6sin2 x 3sin4 x 2 2 4cos4 x 4cos2 x 1 4sin4 x 4sin2 x 1 2cos2 x 1 2sin2 x 1 2cos2 x 1 2sin2 x 1 3 Vậy P không phụ thuộc vào x . PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: [0H2-1.3-1] Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. sin2 cos 2 1. B. sin2 cos2 1. 2 C. sin 2 cos 2 1.D. sin2 2 cos2 2 1. Lời giải Chọn D Công thức lượng giác cơ bản. Câu 2: [0H2-1.3-1] Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. sin2 cos 2 1. B. sin2 cos2 1. C. sin 2 cos 2 1.D. sin2 cos2 1. 2 Lời giải Chọn D Công thức lượng giác cơ bản. Câu 3: [0H2-1.3-1] Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng? A. sin 2 cos 2 1. B. sin 2 cos 2 1.C. sin2 cos 2 1.D. sin2 cos2 1. Lời giải Chọn D Công thức lượng giác cơ bản. Câu 4: [0H2-1.3-1] Rút gọn biểu thức sau A tan x cot x 2 tan x cot x 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 15
  16. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH A. A 4. B. A 1. C. A 2. D. A 3 Lời giải Chọn A A tan2 x 2 tan x.cot x cot2 x tan2 x 2 tan x.cot x cot2 x 4 . Câu 5: [0H2-1.3-1] Đơn giản biểu thức G 1 sin2 x cot2 x 1 cot2 x . 1 A. sin2 x . B. cos2 x . C. . D. cos x . cos x Lời giải Chọn A 2 2 2 2 2 2 G 1 sin x 1 cot x 1 sin x.cot x 1 1 cos x sin x . Câu 6: [0H2-1.3-1] Khẳng định nào sau đây là sai? 1 A. sin2 cos2 1. B. 1 cot2 sin 0 . sin2 1 C. tan .cot 1 sin .cos 0 . D. 1 tan2 cos 0 . cos2 Lời giải Chọn C sin x cos x tan .cot . 1. cos x sin x 1 sin2 x Câu 7: [0H2-1.3-1] Rút gọn biểu thức P ta được 2sin x.cos x 1 1 A. P tan x .B. P cot x . C. P 2 cot x . D. P 2 tan x . 2 2 Lời giải Chọn B 1 sin2 x cos2 x cos x 1 P cot x . 2sin x.cos x 2sin x.cos x 2sin x 2 Câu 8: [0H2-1.3-2] Đẳng thức nào sau đây là sai? A. cos x sin x 2 cos x sin x 2 2,x . B. tan2 x sin2 x tan2 x sin2 x,x 90 C. sin4 x cos4 x 1 2sin2 x cos2 x,x .D. sin6 x cos6 x 1 3sin2 x cos2 x,x Lời giải Chọn D sin6 x cos6 x sin2 x cos2 x 1 sin2 x cos2 x . Câu 9: [0H2-1.3-2] Đẳng thức nào sau đây là sai? NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 16
  17. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH 1 cos x sin x A. x 0 , x 180 . sin x 1 cos x 1 B. tan x cot x x 0 ,90 ,180 sin x cos x 1 C. tan2 x cot2 x 2 x 0 ,90 ,180 sin2 x cos2 x D. sin2 2x cos2 2x 2 . Lời giải Chọn D sin2 2x cos2 2x 1. Câu 10: [0H2-1.3-2] Biểu thức tan2 xsin2 x tan2 x sin2 x có giá trị bằng A. 1.B. 0 . C. 2. D. 1. Lời giải Chọn B 2 2 2 2 2 2 2 2 sin x 2 2 tan xsin x tan x sin x tan x sin x 1 sin x 2 cos x sin x 0 . cos x Câu 11: [0H2-1.3-2] Biểu thức cot a tan a 2 bằng 1 1 1 1 A. . B. cot2 a tan2 a2 .C. . D. cot2 a tan2 a 2 . sin2 cos2 sin2 cos2 Lời giải Chọn C 2 2 2 2 2 1 1 cot a tan a cot a 2cot a.tan a tan a cot a 1 tan a 1 2 2 . sin a cos a sin x Câu 12: [0H2-1.3-2] Đơn giản biểu thức E cot x ta được 1 cos x 1 1 A. sin x . B. .C. . D. cos x . cos x sin x Lời giải Chọn C sin x cos x sin x cos x 1 cos x sin x.sin x E cot x 1 cos x sin x 1 cos x sin x 1 cos x 2 cos x 1 cos x 1 cos x cos x 1 cos x 1 cos x 1 cos x 1 . sin x 1 cos x sin x 1 cos x sin x cot2 x cos2 x sin x.cos x Câu 13: [0H2-1.3-2] Rút gọn biểu thức sau A . cot2 x cot x NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 17
  18. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH A. A 1. B. A 2. C. A 3. D. A 4. Lời giải Chọn A cot2 x cos2 x sin x.cos x cos2 x sin x.cos x A 1 1 sin2 x sin2 x 1. cot2 x cot x cot2 x cot x Câu 14: [0H2-1.3-3] Biểu thức f x 3 sin4 x cos4 x 2 sin6 x cos6 x có giá trị bằng: A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 0 . Lời giải Chọn A sin4 x cos4 x 1 2sin2 x cos2 x . sin6 x cos6 x 1 3sin2 x cos2 x . f x 3 1 2sin2 x cos2 x 2 1 3sin2 x cos2 x 1. Câu 15: [0H2-1.3-3] Biểu thức: f x cos4 x cos2 xsin2 x sin2 x có giá trị bằng A. 1. B. 2. C. 2. D. 1. Lời giải Chọn A f x cos2 x cos2 x sin2 x sin2 x cos2 x sin2 x 1. Câu 16: [0H2-1.3-3] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai? A. sin x cos x 2 12sin x cos x . B. sin4 x cos4 x 12sin2 x cos2 x . C. sin x cos x 2 1 2sin x cos x .D. sin6 x cos6 x 1sin2 x cos2 x . Lời giải Chọn D 3 3 3 sin6 x cos6 x sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x 3 sin2 x cos2 x .sin2 x.cos2 x 1 3sin2 x.cos2 x . Dạng 4: Xác định góc giữa hai vectơ, góc giữa 2 đường thẳng. Phương pháp giải: · Sử dụng định nghĩa góc giữa 2 vectơ. · Sử dụng tính chất của tam giác, hình vuông PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ:   Ví dụ 1. [0H2-1.4-2] Cho tam giác đều ABC. Tính P cos AB, BC Lời giải NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 18
  19. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH C A B E       Vẽ BE AB . Khi đó AB, BC BE, BC C· BE 180 C· BA 1200   1  cos AB, BC cos1200 . 2 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1: [0H2-1.4-1] Tam giác ABC vuông ở A và có góc Bˆ 50o .Hệ thức nào sau đây sai?         A. AB, BC 130o . B. BC, AC 40o . C. AB, CB 50o .D. AC, CB 40o . Lời giải Chọn D (Bạn đọc tự vẽ hình)   Vì AC, CB 1800 ·ACB 1800 400 1400. Câu 2: [0H2-1.4-2] Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP . Góc nào sau đây bằng 120o ?         A. MN, NP . B. MO,ON . C. MN,OP . D. MN, MP . Lời giải Chọn A P F O E N M       • Vẽ NE MN . Khi đó MN, NP NE, NP P· NE 180o M· NP 180o 60o 120o .       • Vẽ OF MO . Khi đó MO,ON OF,ON N· OF 60o   • Vì MN  OP MN,OP 90o .   • Ta có MN, MP N· MP 60o . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 19
  20. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH       Câu 3: [0H2-1.4-2] Cho tam giác đều ABC. Tính P cos AB, BC cos BC,CA cos CA, AB . 3 3 3 3 3 3 A. P . B. P .C. P . D. P . 2 2 2 2 Lời giải Chọn C C A B E       Vẽ BE AB . Khi đó AB, BC BE, BC C· BE 180o C· BA 120o   1 cos AB, BC cos120o . 2     1 Tương tự, ta cũng có cos BC,CA cos CA, AB . 2       3 Vậy cos AB, BC cos BC,CA cos CA, AB . 2   Câu 4: [0H2-1.4-2] Cho tam giác đều ABC có đường cao AH Tính AH, BA . A. 30o . B. 60o . C. 120o .D. 150o . Lời giải Chọn D C H a B A E   Vẽ AE BA .   Khi đó AH, AE H· AE (hình vẽ)     AH, BA AH, AE 180o B· AH 180o 30o 150o .   Câu 5: [0H2-1.4-2] Tam giác ABC vuông ở A và có BC 2AC. Tính cos AC,CB .   1   1 A. cos AC,CB .B. cos AC,CB . 2 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 20
  21. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH   3   3 C. cos AC,CB . D. cos AC,CB . 2 2 Lời giải Chọn B C A B   Xác định được AC,CB 180o ·ACB AC 1 Ta có cos ·ACB ·ACB 60o CB 2    AC,CB 180o ·ACB 120o   1 Vậy cos AC,CB cos120o 2       Câu 6: [0H2-1.4-2] Cho tam giác ABC . Tính tổng AB, BC BC,CA CA, AB . A. 180o .B. 360o . C. 270o . D. 120o . Lời giải Chọn B   AB, BC 180o ·ABC   o Ta có BC,CA 180 B· CA   CA, AB 180o C· AB        AB, BC BC,CA CA, AB 540o ·ABC B· CA C· AB 540o 180o 360o     Câu 7: [0H2-1.4-2] Cho tam giác ABC với Aˆ 60o . Tính tổng AB, BC BC,CA . A. 120o B. 360o C. 270o D. 240o Lời giải Chọn D NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 21
  22. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH   o · AB, BC 180 ABC Ta có   BC,CA 180o B· CA      AB, BC BC,CA 360o ·ABC B· CA 360o 180o B· AC 360o 180o 60o 240o   Câu 8: [0H2-1.4-2] Cho hình vuông ABCD . Tính cos AC, BA .   2   2 A. cos AC, BA .B. cos AC, BA . 2 2     C. cos AC, BA 0 . D. cos AC, BA 1. Lời giải Chọn B C D B A E   Vẽ AE BA .     2 Khi đó cos AC, BA cos AC, AE cos C· AE cos1350 . 2       Câu 9: [0H2-1.4-2] Cho hình vuông ABCD tâm O Tính tổng AB, DC AD,CB CO, DC . A. 45o B. 405o C. 315o D. 225o Lời giải Chọn C A B O D C E     • Ta có AB, DC cùng hướng nên AB, DC 0o . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 22
  23. TÊN CHUYÊN ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG TLDH .     • Ta có AD,CB ngược hướng nên AD,CB 180o   • Vẽ CE DC , khi đó     CO, DC CO,CE O· CE 135o       Vậy AB, DC AD,CB CO, DC 0o 180o 135o 315o Câu 10: [0H2-1.4-3] Tam giác ABC có góc A bằng 100o và có trực tâm H. Tính tổng       HA, HB HB, HC HC, HA . A. 360o B. 180o C. 80o D. 160o Lời giải Chọn D H F I A 0 100 B C   HA, HB B· HA   Ta có HB, HC B· HC   HC, HA C· HA        HA, HB HB, HC HC, HA B· HA B· HC C· HA 2B· HC 2 180o 100o 160o . (do tứ giác HIAF nội tiếp) NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 23