›
›
›

Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 3: Tích của vectơ với một số

docx 30 trang nhungbui22 11/08/2022 3420
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 3: Tích của vectơ với một số", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxon_tap_hinh_hoc_lop_10_chuong_1_vecto_bai_3_tich_cua_vecto_v.docx

Nội dung text: Ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 1: Vectơ - Bài 3: Tích của vectơ với một số

  1. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH CHUYÊN ĐỀ VECTƠ (CHƯƠNG 1 LỚP 10) BÀI 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ 2 A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM 2 B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 2 Dạng 1: Xác định vectơ ka 2 Dạng 2: Hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng 10 Dạng 3: Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương 12 Dạng 4: Đẳng thức vectơ chứa tích của vectơ với một số 18 Ban thực hiện Tên giáo viên Đơn vị công tác GV Soạn Thầy Bùi Văn Huấn Trường PT DTNT Hòa Bình (Hòa Bình) GV phản biện Thầy Nguyễn Đình Hải Lớp học TH Class Ngã Tư Sở (Hà Nội) TT Tổ soạn Cô Phạm Thị Hoài Trường THCS Nguyễn Hiền (Nha Trang) TT Tổ phản biện Thầy Nguyễn Văn Vũ Trường THPT YaLy (Gia Lai) Người triển khai Thầy Phạm Lê Duy Trường THPT Chu Văn An (An Giang) NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 1
  2. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH BÀI 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN CẦN NẮM I. ĐỊNH NGHĨA Cho vectơ a và số k . Tích của vectơ a và số k là một vectơ, kí hiệu là ka , được xác định như sau: ka cùng hướng với a nếu k 0 , ka ngược hướng với a nếu k 0 . ka k . a . II. TÍNH CHẤT 1. Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số k và l , ta có: k a b ka kb (k l)a ka la ; k la (kl)a ; 0.a 0 , k.0 0 . 1.a a , 1 .a a . ka 0 k 0 hoặc a 0 . 2. Tính chất trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:      M là trung điểm của đoạn thẳng AB MA MB 0 OA OB 2OM (O tuỳ ý). Hệ thức trọng tâm tam giác:        G là trọng tâm ABC GA GB GC 0 OA OB OC 3OG (O tuỳ ý). III. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI VECTƠ CÙNG PHƯƠNG, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG 1. Điều kiện để hai vectơ cùng phương a và b a 0 cùng phương k ¡ :b ka . 2. Điều kiện để ba điểm thẳng hàng   Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng k 0: AB k AC . IV. BIỂU THỊ MỘT VECTƠ THEO HAI VECTƠ KHÔNG CÙNG PHƯƠNG Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Khi đó mọi vectơ x đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho x ma nb . B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vectơ ka {Dựa vào định nghĩa và các tính chất của tích vectơ với một số } PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ    Ví dụ 1. Cho a AB và điểm O . Xác định hai điểm M và N sao cho: OM 3a; ON 4a Lời giải Vẽ d đi qua O và song song với giá của a (nếu O thuộc giá của a thì d là giá của a )   Trên d lấy điểm M sao cho OM 3 a , OM và a cùng hướng khi đó OM 3a . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 2
  3. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH   Trên d lấy điểm N sao cho ON 4 a , ON và a ngược hướng nên ON 4a . 1 Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM AB . Tìm k trong 5 các đẳng thức sau:   a) AM k AB   b) MA kMB   c) MA k AB Lời giải A M B    | AM | AM 1   1 a) AM k AB | k |  , vì AM  AB k . | AB | AB 5 5 1 b) k . 4 1 c) k . 5   Ví dụ 3. Cho hai điểm phân biệt A, B . Xác định điểm M biết 2MA 3MB 0 Lời giải Ta có:          2MA 3MB 0 2MA 3(MA AB) 0 MA 3AB 0 AM 3AB   AM , AB cùng hướng và AM 3AB . Ví dụ 4. Cho tam giác ABC .    a) Tìm điểm K sao cho KA 2KB CB    b) Tìm điểm M sao cho MA MB 2MC 0 Lời giải           a) Ta có: KA 2KB CB KA 2KB KB KC KA KB KC 0 K là trọng tâm của tam giác ABC .        b) Gọi I là trung điểm của AB . Ta có: MA MB 2MC 0 2MI 2MC 0 MI MC 0 M là trung điểm của IC . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 3
  4. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH Ví dụ 5. Cho tam giác đều ABC cạnh a . Tính    a) AB AC BC   b) AB AC Lời giải           a) AB AC BC (AB BC) AC AC AC 2AC 2 AC 2AC 2a . b) Gọi H là trung điểm của BC . Ta có:     2 2 2 2 a AB AC 2AH 2 AH 2AH 2 AB BH 2 a a 3 2 Ví dụ 6. Cho ABC vuông tại B có µA 300 , AB a . Gọi I là trung điểm của AC . Hãy tính:   a) BA BC   b) AB AC Lời giải a 3 AB a 2a 3 Ta có: BC AB tan A a tan 300 , AC 3 cos A cos300 3     AC 2a 3 a) BA BC 2BI 2 BI 2BI 2. AC . 2 3 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 4
  5. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH     2 2 2 2 a 3 a 39 b) AB AC 2AM 2 AM 2AM 2 AB BM 2 a . 6 3 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0H1-3.1-1] Khẳng định nào sai? A. 1.a a B. ka và a cùng hướng khi k 0 C. ka và a cùng hướng khi k 0 D. Hai vectơ a và b 0 cùng phương khi có một số k để a kb Lời giải Chọn C (Dựa vào định nghĩa tích của một số với một vectơ)   Câu 2. [0H1-3.3-2] Trên đường thẳng MN lấy điểm P sao cho MN 3MP . Điểm P được xác định đúng trong hình vẽ nào sau đây: A. Hình 3 B. Hình 4 C. Hình 1 D. Hình 2 Lời giải Chọn A       MN 3MP MN ngược hướng với MP và MN 3 MP .   Câu 3. [0H1-3.1-1] Cho ba điểm phân biệt A, B,C . Nếu AB 3AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng?         A. BC 4AC B. BC 2AC C. BC 2AC D. BC 4AC Lời giải Chọn D Câu 4. [0H1-3.1-1] Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của BC .Khẳng định nào sau đây đúng uur uur uur uur uur uuur uuur uur A. BI = IC B. 3BI = 2IC C. BI = 2IC D. 2BI = IC Lời giải Chọn A NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 5
  6. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH uur uur uur uur Vì I là trung điểm của BC nên BI = CI và BI cùng hướng với IC do đó hai vectơ BI , IC uur uur bằng nhau hay BI = IC . Câu 5. [0H1-3.1-2] Cho tam giác ABC . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?        1  A. AB 2AM B. AC 2CN C. BC 2NM D. CN AC 2 Lời giải Chọn B  Câu 6. [0H1-3.1-1] Cho a 0 và điểm O . Gọi M , N lần lượt là hai điểm thỏa mãn OM 3a và  ON 4a . Khi đó:     A. MN 7a B. MN 5a C. MN 7a D. MN 5a Lời giải Chọn C    Ta có: MN ON OM 4a 3a 7a . Câu 7. [0H1-3.1-1] Tìm giá trị của m sao cho a mb , biết rằng a,b ngược hướng và a 5, b 15 1 1 A. m 3 B. m C. m D. m 3 3 3 Lời giải Chọn B a 5 1 Do a,b ngược hướng nên m . b 15 3   Câu 8. [0H1-3.1-2] Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 2a . Độ dài của AB AC bằng: a 3 A. 2a B. a 3 C. 2a 3 D. 2 Lời giải Chọn C    2a 3 Gọi H là trung điểm của BC . Khi đó: AB AC 2.AH 2.AH 2. 2a 3 . 2 Câu 9. [0H1-3.3-2] Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của AB . Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức    MA MB 2MC 0 . A. M là trung điểm của BC NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 6
  7. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH B. M là trung điểm của IC C. M là trung điểm của IA D. M là điểm trên cạnh IC sao cho IM 2MC Lời giải Chọn B        MA MB 2MC 0 2MI 2MC 0 MI MC 0 M là trung điểm của IC .     Câu 10. [0H1-3.3-2] Cho hình bình hành ABCD , điểm M thõa mãn 4AM AB AD AC . Khi đó điểm M là: A. Trung điểm của AC B. Điểm C C. Trung điểm của AB D. Trung điểm của AD Lời giải Chọn A        1  Theo quy tắc hình bình hành, ta có: 4AM AB AD AC 4AM 2.AC AM .AC 2 M là trung điểm của AC . Câu 11. [0H1-3.1-2] Cho hình thoi ABCD tâm O , cạnh 2a . Góc B· AD 600 . Tính độ dài vectơ   AB AD .     A. AB AD 2a 3 B. AB AD a 3     C. AB AD 3a D. AB AD 3a 3 Lời giải Chọn A Tam giác ABD cân tại A và có góc B· AD 600 nên ABD đều     AB AD AC 2AO 2.AO 2. AB2 BO2 2. 4a2 a2 2a 3      Câu 12. [0H1-3.1-3] Cho tam giác ABC có điểm O thỏa mãn: OA OB 2OC OA OB . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Tam giác ABC đều B. Tam giác ABC cân tại C C. Tam giác ABC vuông tại C D. Tam giác ABC cân tại B Lời giải NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 7
  8. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH Chọn C Gọi I là trung điểm của AB . Ta có:             OA OB 2OC OA OB OA OC OB OC BA CA CB AB  1 2.CI AB 2CI AB CI AB Tam giác ABC vuông tại C . 2 Câu 13. [0H1-3.1-3] Cho tam giác OAB vuông cân tạ O với OA OB a . Độ dài của véc tơ 21  5  u OA OB là: 4 2 a 140 a 321 a 520 a 541 A. B. C. D. 4 4 4 4 Lời giải Chọn D  21   5  Dựng điểm M , N sao cho: OM OA,ON OB . Khi đó: 4 2    2 2 2 2 21a 5a a 541 u OM ON NM MN OM ON . 4 2 4 Câu 14. [0H1-3.1-3] Cho ngũ giác ABCDE . Gọi M , N, P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,CD, DE . Gọi I và J lần lượt là trung điểm các đoạn MP và NQ . Khẳng định nào sau đây đúng?  1   1   1   1  A. IJ AE B. IJ AE C. IJ AE D. IJ AE 2 3 4 5 Lời giải Chọn C NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 8
  9. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH          Ta có: 2IJ IQ IN IM MQ IP PN MQ PN     MQ MA AE EQ     1    1      2MQ AE BD MQ AE BD , PN BD MQ MB BD DQ 2 2  1   1  1   1  Suy ra: 2IJ AE BD BD AE IJ AE . 2 2 2 4 1 Câu 15. [0H1-3.1-2] Cho đoạn thẳng AB . Gọi M là một điểm trên AB sao cho AM AB . Khẳng 4 định nào sau đây sai?  1   1   3    A. MA MB . B. AM AB . C. BM BA . D. MB 3MA. 3 4 4 1 Câu 16. [0H1-3.1-2] Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm trên đoạn AB sao cho MA AB . Trong 5 các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?  1   1     4  A. AM AB B. MA MB C. MB 4MA D. MB AB 5 4 5 Lời giải Chọn D    4  Ta thấy MB và AB cùng hướng nên MB AB là sai. 5 Câu 17. [0H1-3.1-3] Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm AM .   Đường thẳng BN cắt AC tại P . Khi đó AC xCP thì giá trị của x là: 4 2 3 5 A. B. C. D. 3 3 2 3 Lời giải Chọn C NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 9
  10. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH Kẻ MK / /BP (K AC) . Do M là trung điểm của BC nên suy ra K là trung điểm của CP Vì MK / /BP MK / /NP mà N là trung điểm của AM nên suy ra P là trung điểm của AK  3  3 Do đó: AP PK KC . Vậy AC CP x . 2 2 Dạng 2: Hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng {Điều kiện hai vectơ cùng phương, điều kiện ba điểm thẳng hàng } PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM . Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao 1 AK AC . Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. 3 Lời giải     1     Ta có 2BI BA BM BA BC 4BI 2BA BC 1 2     1   1   2  1  Ta có BK BA AK BA AC BA (BC BA) BA BC 3 3 3 3    3BK 2BA BC 2    4  Từ 1 và 2 3BK 4BI BK BI B, I, K thẳng hàng. 3 Ví dụ 2. Cho tam giác ABC . Hai điểm M , N được xác định bởi hệ thức:      BC MA 0 , AB NA 3AC 0 . Chứng minh MN / / AC . Lời giải           Ta có BC MA AB NA 3AC 0 hay AC MN 3AC 0 MN 2AC .   Vậy MN, AC cùng phương.   Theo giả thiết BC AM . Mà A, B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A, B,C, M là bốn đỉnh của hình bình hành M không thuộc AC . Vậy MN / / AC . PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0H1-3.5-1] Cho ba điểm A, B,C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng là: NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 10
  11. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH         A. AB AC B. k 0 : AB k.AC C. AC AB BC D. MA MB 3MC, điểm M Lời giải Chọn B   Câu 2. [0H1-3.5-2] Cho ABC . Đặt a BC,b AC . Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương? A. 2a b,a 2b B. a 2b,2a b C. 5a b, 10a 2b D. a b,a b Lời giải Chọn C Ta có: 10a 2b 2.(5a b) 5a b và 10a 2b cùng phương. Câu 3. [0H1-3.1-1] Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương? 1 1 A. 3a b và a 6b B. a b và 2a b 2 2 1 1 1 C. a b và a b D. a b và a 2b 2 2 2 Lời giải Chọn C  Câu 4. [0H1-3.1-1] Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây là cùng phương? 1 3 3 A. u 2a 3b và v a 3b B. u a 3b và v 2a b 2 5 5 2 3 1 1 C. u a 3b và v 2a 9b D. u 2a b và v a b 3 2 3 4 Lời giải Chọn D Câu 5. [0H1-3.1-2] Biết rằng hai vec tơ a và b không cùng phương nhưng hai vec tơ 3a 2b và (x 1)a 4b cùng phương. Khi đó giá trị của x là: A. 7 B. 7 C. 5 D. 6 Lời giải Chọn A x 1 4 Điều kiện để hai vec tơ 3a 2b và (x 1)a 4b cùng phương là: x 7 . 3 2 Câu 6. [0H1-3.1-2] Biết rằng hai vec tơ a và b không cùng phương nhưng hai vec tơ 2a 3b và a x 1 b cùng phương. Khi đó giá trị của x là: 1 3 1 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 Lời giải Chọn C NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 11
  12. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH   Câu 7. [0H1-3.5-3] Cho tam giác ABC . Hai điểm M , N được xác định bởi các hệ thức BC MA 0 ,    AB NA 3AC 0 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. MN  AC B. MN / / AC C. M nằm trên đường thẳng AC D. Hai đường thẳng MN và AC trùng nhau Lời giải Chọn B     Ta có: BC MA 0 AM BC M là điểm thứ tư của hình bình hành ABCM nên M AC (1)      Cộng vế theo vế hai đẳng thức BC MA 0 , AB NA 3AC 0 , ta được:      BC MA AB NA 3AC 0            (MA AN) (AB BC) 3AC 0 MN AC 3AC MN 2AC MN cùng phương  với AC (2) Từ (1) và (2) suy ra MN / / AC . Dạng 3: Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho tam giác ABC . Gọi M là một điểm trên cạnh BC sao cho MB 2MC . Chứng minh rằng:  1  2  AM AB AC . 3 3 Lời giải     1   1   1  2  Ta có: AM AC CM AC BC AC (AC AB) AB AC (đpcm). 3 3 3 3 Ví dụ 2. Cho ABC có trọng tâm G . Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh    BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF . Đặt u AE,v AF . Hãy phân tích các vectơ AI    , AG , DE , DC theo hai vectơ u và v . Lời giải NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 12
  13. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH    Ta có: AEDF là hình bình hành AD AE AF  1  1   1 Ta có AI AD (AE AF) (u v) 2 2 2  2  2   2 AG AD (AE AF) (u v) 3 3 3    DE FA AF 0.u ( 1)v     DC FE AE AF u v Ví dụ 3. Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC , trọng tâm G . Hãy phân tích các      vectơ AB , BC , CA theo hai vectơ u AK , v BM Lời giải C M K G A B    2  2  * AB AG GB AK BM 3 3     2  1  1  4  * BC 2BK 2 BG GK 2. BM AK AK BM 3 3 3 3      1  * CA AC (AK KC) (AK BC) 2 PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0H1-3.4-2] Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho   MB 3MC . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?  1  3     A. AM AB AC B. AM 2AB AC 2 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 13
  14. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH     1   C. AM AB AC D. AM (AB AC) 2 Lời giải Chọn A Gọi I là trung điểm của BC . Khi đó C là trung điểm của MI . Ta có:       1    1  3  AM AI 2AC AM AI 2AC (AB AC) 2AC AB AC . 2 2 2 Câu 2. [0H1-3.4-3] Cho tam giác ABC biết AB 8, AC 9, BC 11. Gọi M là trung điểm BC và N là điểm trên đoạn AC sao cho AN x (0 x 9) . Hệ thức nào sau đây đúng?  1 x  1   x 1  1  A. MN AC AB B. MN CA BA 2 9 2 9 2 2  x 1  1   x 1  1  C. MN AC AB D. MN AC AB 9 2 2 9 2 2 Lời giải Chọn D    x  1   x 1  1  Ta có: MN AN AM AC (AB AC) AC AB . 9 2 9 2 2 Câu 3. [0H1-3.4-3] Cho tam giác ABC . Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?  2  1   1  1  A. AH AC AB B. AH AC AB 3 3 3 3  2  1   2  1  C. AH AC AB D. AH AB AC 3 3 3 3 Lời giải Chọn A NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 14
  15. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH Gọi M,I lần lượt là trung điểm của BC và AC . Ta thấy AHCG là hình bình hành nên     2    2 1    AH AG AC AH AM AC AH . AB AC AC 3 3 2   1    2  1  AH AC AB AC AH AC AB . 3 3 3 Câu 4. [0H1-3.4-2] Cho tam giác ABC có trọng tâm G . Gọi các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA và AB . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?  1  1   1  1   3  3   2  2  A. AG AE AF B. AG AE AF C. AG AE AF D. AG AE AF 2 2 3 3 2 2 3 3 Lời giải Chọn D  2  2 1   1   2  2  Ta có: AG AD . AB AC 2AF 2AE AE AF . 3 3 2 3 3 3  2  Câu 5. [0H1-3.4-2] Cho tam giác ABC . Gọi D là điểm sao cho BD BC và I là trung điểm của 3  2    cạnh AD , M là điểm thỏa mãn AM AC. Vectơ BI được phân tích theo hai vectơ BA và 5  BC . Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?  1  1   1  1  A. BI BA BC . B. BI BA BC . 2 3 2 2  1  3   1  1  C. BI BA BC . D. BI BA BC . 2 4 4 6 Lời giải Chọn A Ta có: I là trung điểm của cạnh AD nên  1   1  2 1  1  BI BA BD BA BC BA BC 2 2 3 2 3 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 15
  16. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH Câu 6. [0H1-3.4-2] Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB , N là điểm thuộc AC sao cho   CN 2NA . K là trung điểm của MN . Mệnh đề nào sau đây là đúng?  1  1   1  1  A. AK AB AC. B. AK AB AC. 4 6 2 3  1  1   1  2  C. AK AB AC. D. AK AB AC. 4 3 2 3 Lời giải Chọn A A N M K B C  1     1  Ta có M là trung điểm AB nên AM AB ; CN 2NA AN AC . 2 3  1   1  1  Do đó AK AM AN AB AC. 2 4 6 Câu 7. [0H1-3.4-3] Cho tứ giác ABCD , O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Gọi G theo  thứ tự là trọng tâm của tam giác OAB và OCD . Khi đó GG bằng: 1   2     1   A. AC BD . B. AC BD . C. 3 AC BD .D. AC BD . 2 3 3 Lời giải Chọn D B G C A O G' D  1    Vì G là trọng tâm của tam giác OCD nên GG GO GC GD . (1) 3       Vì G là trọng tâm của tam giác OAB nên: GO GA GB 0 GO GA GB (2)  1     1   Từ (1) và (2) suy ra: GG GA GB GC GD AC BD . 3 3 Câu 8. [0H1-3.4-2] Cho tam giác ABC với phân giác trong AD . Biết AB 5 , BC 6 , CA 7 . Khi  đó AD bằng: NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 16
  17. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH 5  7  7  5  7  5  5  7  A. AB AC . B. AB AC .C. AB AC . D. AB AC . 12 12 12 12 12 12 12 12 Lời giải Chọn C A 7 5 B D C Vì AD là phân giác trong của tam giác ABC nên: BD AB 5  5  BD DC DC AC 7 7   5   AD AB AC AD 7  7  5  AD AB AC . 12 12 Câu 9. [0H1-3.4-2] Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC 2NA . Gọi K là trung điểm của MN . Khi đó:  1  1   1  1  A. AK AB AC B. AK AB AC 6 4 4 6  1  1   1  1  C. AK AB AC D. AK AB AC 4 6 6 4 Lời giải Chọn C  1  Câu 10. [0H1-3.4-2] Cho tam giác ABC , N là điểm xác định bởi CN BC , G là trọng tâm tam giác 2    ABC . Hệ thức tính AC theo AG, AN là:  2  1   4  1  A. AC AG AN B. AC AG AN 3 2 3 2  3  1   3  1  C. AC AG AN D. AC AG AN 4 2 4 2 Lời giải Chọn C Câu 11. [0H1-3.4-3] Cho AD và BE là hai phân giác trong của tam giác ABC . Biết AB 4 , BC 5  và CA 6 . Khi đó DE bằng: 5  3  3  5  9  3  3  9  A. CA CB . B. CA CB . C. CA CB . D. CA CB . 9 5 5 9 5 5 5 5 Lời giải NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 17
  18. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH Chọn A A E B D C CD AC 6 CD 6 AD là phân giác trong của tam giác ABC nên DB AB 4 CD DB 6 4 CD 6  3  CD CB . CB 10 5 CE 5  5  Tương tự: CE CA. CA 9 9    5  3  Vậy DE CE CD CA CB . 9 5 Dạng 4: Đẳng thức vectơ chứa tích của vectơ với một số PHẦN 1: CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1. Cho tứ giác ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BD . Chứng minh rằng:    AB CD 2IJ . Lời giải     IJ IA AB BJ        Ta có:     2IJ (IA IC) (AB CD) (BJ DJ ) IJ IC CD DJ      2IJ 0 AB CD 0 AB CD . Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD .      a) Chứng minh rằng: AC BD AD BC 2EF     b) Gọi G là trung điểm của EF . Chứng minh rằng GA GB GC GD 0 Lời giải NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 18
  19. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH              a) AC BD AE EF FC BE EF FD 2EF AE BE FC FD   2EF 0 0 2EF 1              AD BC AE EF FD BE EF FC 2EF AE BE FD FC   2EF 0 0 2EF 2      Từ 1 và 2 suy ra: AC BD AD BC 2EF         b) GA GB GC GD 2GE 2GF 2 GE GF 20 0 .     Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD . Chứng minh rằng: AB 2AC AD 3AC Lời giải          VT AB 2AC AD AB AD 2AC AC 2AC 3AC VP . Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu G và G lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A B C thì     3GG AA BB CC . Lời giải    VP AA' BB' CC '          AG GG ' G ' A' BG GG ' G 'B' CG GG ' G 'C '        3GG ' AG BG CG G ' A' G 'B' G 'C '         3GG ' (GA GB GC) G ' A' G 'B' G 'C ' 3GG' = VP. PHẦN 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. [0H1-3.2-2] Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Hãy chọn hệ thức đúng:      A. 2MA MB 3MC AC 2BC      B. 2MA MB 3MC 2AC BC      C. 2MA MB 3MC 2CA CB NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 19
  20. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH      D. 2MA MB 3MC 2CB CA Lời giải Chọn C Câu 2. [0H1-3.2-3] Cho tam giác ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm của tam giác. Hệ thức đúng là:  3     1    A. OH OG B. OH 3OG C. OG GH D. 2GO 3OH 2 2 Lời giải Chọn B Câu 3. [0H1-3.2-2] Ba trung tuyến AM , BN, CP của tam giác ABC đồng quy tại G . Hỏi vectơ    AM BN CP bằng vectơ nào? 3       1    A. GA GB CG B. 3 MG NG GP C. AB BC AC D. 0 2 2 Lời giải Chọn D A P N G B M C    3  3  3  3    Ta có: AM BN CP AG BG CG AG BG CG 0 . 2 2 2 2 Câu 4. [0H1-3.2-2] Cho hình chữ nhật ABCD , I và K lần lượt là trung điểm của BC, CD . Hệ thức nào sau đây đúng?        A. AI AK 2 AC B. AI AK AB AD      3  C. AI AK IK D. AI AK AC 2 Lời giải Chọn D Câu 5. [0H1-3.2-3] Cho tam giác đều ABC tâm O . Điểm M là điểm bất kỳ trong tam giác. Hình chiếu của M xuống ba cạnh của tam giác lần lượt là D, E, F . Hệ thức giữa các vectơ     MD, ME, MF, MO là:    1     2  A. MD ME MF MO B. MD ME MF MO 2 3    3     3  C. MD ME MF MO D. MD ME MF MO 4 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 20
  21. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH Câu 6. [0H1-3.2-2] Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N là trung điểm AB và DC . Lấy các điểm P, Q lần     lượt thuộc các đường thẳng AD và BC sao cho PA 2PD , QB 2QC . Khẳng định nào sau đây đúng?  1      A. MN AD BC . B. MN MP MQ . 2  1    1     C. MN AD BC . D. MN MD MC NB NA . 2 4 Câu 7. [0H1-3.2-1] Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB . Với điểm M bất kỳ, ta luôn có:            1  A. MA MB MI B. MA MB 2MI C. MA MB 3MI D. MA MB MI 2 Lời giải Chọn B    Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng: Với điểm M bất kỳ, ta luôn có MA MB 2MI Câu 8. [0H1-3.2-1] Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Với mọi điểm M , ta luôn có:         A. MA MB MC MG B. MA MB MC 2MG         C. MA MB MC 3MG D. MA MB MC 4MG Lời giải Chọn C Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác: Với mọi điểm M , ta luôn có     MA MB MC 3MG . Câu 9. [0H1-3.2-2] Cho ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC . Đẳng thức nào đúng?    1        A. GA 2GI B. IG IA C. GB GC 2GI D. GB GC GA 3 Lời giải    Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng, ta có: GB GC 2GI . Câu 10. [0H1-3.2-2] Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào đúng?             A. AC BD 2BC B. AC BC AB C. AC BD 2CD D. AC AD CD Lời giải Chọn A NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 21
  22. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH           Ta có: AC BD AB BC BC CD 2BC (AB CD) 2BC . Câu 11. [0H1-3.2-2] Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng?   2           A. AB AC AG B. BA BC 3BG C. CA CB CG D. AB AC BC 0 3 Lời giải Chọn B    3   Gọi M là trung điểm của AC . Khi đó: BA BC 2BM 2. BG 3BG . 2 Câu 12. [0H1-3.2-2] Cho hình vuông ABCD có tâm là O . Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?      1    1     A. AB AD 2AO B. AD DO CA C. OA OB CB D. AC DB 4AB 2 2 Lời giải Chọn D          AC DB AB BC DC CB AB DC 2AB . Câu 13. [0H1-3.2-2] Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khi đó   AC BD bằng:     A. MN B. 2MN C. 3MN D. 2MN Lời giải Chọn B     MN MA AC CN    Ta có:     2MN AC BD . MN MB BD DN NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 22
  23. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH Câu 14. [0H1-3.2-2] Cho hình bình hành ABCD tâm O và điểm M bất kì. Khẳng định nào sau đây đúng?           A. MA MB MC MD MO B. MA MB MC MD 2MO           C. MA MB MC MD 3MO D. MA MB MC MD 4MO Lời giải Chọn D            Ta có: MA MB MC MD (MA MC) (MB MD) 2MO 2MO 4MO Câu 15. [0H1-3.2-3] Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi H là trực tâm của tam giác. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?         A. OH 4OG B. OH 3OG C. OH 2OG D. 3OH OG Lời giải Chọn B   Gọi D là điểm đối xứng với A qua O . Ta có: HA HD 2HO (1)    Vì HBDC là hình bình hành nên HD HB HC (2) Từ (1),(2) suy ra:            HA HB HC 2HO (HO OA) (HO OB) (HO OC) 2HO            3HO (OA OB OC) 2HO OA OB OC HO 3OG OH . Câu 16. [0H1-3.2-3] Cho tứ giác ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , I là điểm trên GC     sao cho IC 3IG . Với mọi điểm M ta luôn có MA MB MC MD bằng:     A. 2MI B. 3MI C. 4MI D. 5MI Lời giải Chọn C NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 23
  24. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH   Ta có: 3IG IC . Do G là trọng tâm của tam giác ABD nên             IA IB ID 3IG IA IB ID IC IA IB IC ID 0 Khi đó:             MA MB MC MD MI IA MI IB MI IC MI ID        4MI (IA IB IC ID) 4MI 0 4MI Câu 17. [0H1-3.2-4] Cho tam giác đều ABC có tâm O . Gọi I là một điểm tùy ý bên trong tam giác    a  ABC . Hạ ID, IE, IF tương ứng vuông góc với BC,CA, AB . Giả sử ID IE IF IO (với b a là phân số tối giản). Khi đó a b bằng: b A. 5 B. 4 C. 6 D. 7 Lời giải Chọn A Qua điểm I dựng các đoạn MQ / / AB, PS / /BC, NR / /CA. Vì ABC là tam giác đều nên các tam giác IMN, IPQ, IRS cũng là tam giác đều. Suy ra D, E, F lần lượt là trung điểm của MN, PQ, RS .    1   1   1   Khi đó: ID IE IF IM IN IP IQ IR IS 2 2 2 1       1    IQ IR IM IS IN IP IA IB IC 2 2 1  3  .3IO IO a 3,b 2 . Do đó: a b 5 . 2 2    Câu 18. [0H1-3.6-3] Cho tam giác ABC , có bao nhiêu điểm M thoả mãn: MA MB MC 1 A. 0 B. 1 C. 2D. vô số NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 24
  25. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH Lời giải Chọn D Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC     1 Ta có MA MB MC 3MG 3MG 1 MG 3    1 Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MB MC 1 là đường tròn tâm G bán kính R . 3 Câu 19. [0H1-3.3-3] Cho tam giác ABC và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng vectơ     v MA MB 2MC . Hãy xác định vị trí của điểm D sao cho CD v . A. D là điểm thứ tư của hình bình hành ABCD B. D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD C. D là trọng tâm của tam giác ABC D. D là trực tâm của tam giác ABC Lời giải Chọn B           Ta có: v MA MB 2MC MA MC MB MC CA CB 2CI (Với I là trung điểm của AB )   Vậy vectơ v không phụ thuộc vào vị trú điểm M . Khi đó: CD v 2CI I là trung điểm của CD Vậy D D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD . Câu 20. [0H1-3.7-4] Cho tam giác ABC và đường thẳng d . Gọi O là điểm thỏa mãn hệ thức       OA OB 2OC 0. Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho vectơ v MA MB 2MC có độ dài nhỏ nhất. A. Điểm M là hình chiếu vuông góc của O trên d B. Điểm M là hình chiếu vuông góc của A trên d C. Điểm M là hình chiếu vuông góc của B trên d D. Điểm M là giao điểm của AB và d Lời giải Chọn A NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 25
  26. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH Gọi I là trung điểm của AB .        Khi đó: OA OB 2OC 0 2OI 2OC 0 OI OC 0 O là trung điểm của IC Ta có:               v MA MB 2MC OA OM OB OM 2(OC OM ) OA OB 2OC 4OM 4OM Do đó v 4OM . Độ dài vectơ v nhỏ nhất khi và chỉ khi 4OM nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuong góc của O trên d . Câu 21. [0H1-3.3-3] Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của AB và N thuộc cạnh AC sao cho    NC 2NA . Hãy xác định điểm K thỏa mãn: 3AB 2AC 12AK 0 và điểm D thỏa mãn:    3AB 4AC 12KD 0 . A. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của BC B. K là trung điểm của BC và D là trung điểm của MN C. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AB D. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AC Lời giải Chọn A Ta có:   AB 2AM        1     3AB 2AC 12AK 0 3.2AM 2.3AN 12AK 0 AK AM AN AC 3AN 2 Suy ra K là trung điểm của MN Ta có:            3AB 4AC 12KD 0 3AB 4AC 12 AD AK 0 3AB 4AC 12AK 12AD          1   12AD 3AB 4AC 3AB 2AC 12AD 6AB 6AC AD AB AC 2 Suy ra D là trung điểm của BC .     Câu 22. [0H1-3.3-2] Cho hình bình hành ABCD, điểm M thỏa 4AM AB AC AD . Khi đó điểm M là: NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 26
  27. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH A. trung điểm AC B. điểm C C. trung điểm AB D. trung điểm AD Lời giải Chọn A     Câu 23. [0H1-3.6-2] Cho hình chữ nhật ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MB MC MD là: A. Đường tròn đường kính AB . B. Đường tròn đường kính BC . C. Đường trung trực của cạnh AD . D. Đường trung trực của cạnh AB . Lời giải Chọn C A E B M D F C Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và DC .       MA MB MC MD 2ME 2MF ME MF Do đó M thuộc đường trung trực của đoạn EF hay M thuộc đường trung trực của cạnh AD . Câu 24. [0H1-3.6-2] Cho hình bình hành ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn     MA MC MB MD là: A. Một đường thẳng. B. Một đường tròn. C. Toàn bộ mặt phẳng ABCD . D. Tập rỗng. Lời giải Chọn C A B O D C Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD . Ta có:       MA MC MB MD 2MO 2MO MO MO (đúng với mọi M ) Vậy tập hợp các điểm M là toàn bộ mặt phẳng ABCD . NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 27
  28. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH      Câu 25. [0H1-3.6-2] Cho tam giác ABC và điểm M thỏa 2 MA MB MC 3 MB MC . Tập hợp M là: A. Một đường trònB. Một đường thẳng C. Một đoạn thẳng D. Nửa đường thẳng Lời giải Chọn B    Câu 26. [0H1-3.6-2] Cho tam giác ABC. Có bao nhiêu điểm M thỏa MA MB MC 3 A. 1 B. 2 C. 3D. Vô số Lời giải Chọn D      Câu 27. [0H1-3.6-3] Cho tam giác ABC và điểm M thỏa 3MA 2MB MC MB MA . Tập hợp M là: A. Một đoạn thẳngB. Một đường tròn C. Nửa đường tròn D. Một đường thẳng Lời giải Chọn B Câu 28. [0H1-3.2-2] Cho năm điểm A, B,C, D, E . Khẳng định nào đúng?       A. AC CD EC 2 AE DB CB       B. AC CD EC 3 AE DB CB       AE DB CB C. AC CD EC 4       D. AC CD EC AE DB CB Lời giải Chọn D             AC CD EC AE DB CB AC AE CD CB EC DB 0     EC BD EC DB 0   BD DB 0 (đúng) ĐPCM. Câu 29. [0H1-3.7-4] Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho  1    BH HC . Điểm M di động nằm trên BC sao cho BM x BC . Tìm x sao cho độ dài của 3   vectơ M A G C đạt giá trị nhỏ nhất. 4 5 6 5 A. . B. . C. . D. . 5 6 5 4 Lời giải Chọn B NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 28
  29. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH A E P G B H M Q F C      Dựng hình bình hành AGCE . Ta có MA GC MA AE ME .    Kẻ EF  BC F BC . Khi đó MA GC ME ME EF .   Do đó MA GC nhỏ nhất khi M  F . Gọi P là trung điểm AC , Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC Q BC . 3 Khi đó P là trung điểm GE nên BP BE . 4 BQ BP 3  4  Ta có BPQ và BEF đồng dạng nên hay BF BQ . BF BE 4 3  1  Mặt khác, BH HC . 3  1  PQ là đường trung bình AHC nên Q là trung điểm HC hay HQ HC . 2    1  1  5  5 3  5  Suy ra BQ BH HQ HC HC HC . BC BC. 3 2 6 6 4 8  4  5  Do đó BF BQ BC . 3 6 Câu 30. [0H1-3.7-3] Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a. Một điểm M di động sao cho     MA MB MA MB . Gọi H là hình chiếu của M lên AB . Tính độ dài lớn nhất của MH ? a a 3 A. . B. . C. a. D. 2a. 2 2 Lời giải Chọn A NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 29
  30. CHUYÊN ĐỀ: VECTƠ TLDH M A B H O N    Gọi N là đỉnh thứ 4 của hình bình hành MANB . Khi đó MA MB MN .       Ta có MA MB MA MB MN BA hay MN AB . Suy ra MANB là hình chữ nhật nên ·AMB 90o . Do đó M nằm trên đường tròn tâm O đường kính AB . AB a MH lớn nhất khi H trùng với tâm O hay max MH MO . 2 2 NHÓM SOẠN CHUYÊN ĐỀ KHỐI 10 30